18299

ВИРАЗИ. Вирази із замінимим та їх основні характеристики

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 26 ВИРАЗИ Числовий вираз і його значення. Числові рівності і їх властивості. Числові нерівності та їх властивості. Вирази із замінимим та їх основні характеристики. Відношення тотожності на множині виразів. Тотожні перетворення на множині вира...

Украинкский

2013-07-07

109 KB

21 чел.

Лекція 26

ВИРАЗИ

  1.  Числовий вираз і його значення.
  2.  Числові рівності і їх властивості.
  3.  Числові нерівності та їх властивості.
  4.  Вирази із замінимим та їх основні характеристики.
  5.  Відношення тотожності на множині виразів. Тотожні перетворення на множині виразів. Тотожності.
  6.  Вирази в початковому курсі математики: розв’язування арифметичних задач за допомогою складання виразів.

  1.  Числовий вираз і його значення

Поняття виразу, числових рівностей і нерівностей, рівняння і нерівності із змінними, їх системи і сукупності знаходять широке застосування в різних науках, тому їх вивченню приділяється велика увага. Всі ці поняття можуть бути по-різному означені. Серед них найбільш простими і науково точними є ті, що базуються на використанні теорії множин і математичної логіки.

Під числовим виразом  розуміють запис чисел та операцій над ними, в якому за попередньою домовленістю відомий порядок виконання операцій над ними. Кожне число є також числовим виразом. Числа виразу називаються його компонентами.

Порядок операцій у числовому виразі регулюється круглими дужками: спочатку операції виконуються у найглибших дужках, потім у наступних і т.д., зовнішні дужки опускаються. Якщо ж дужки в числовому виразі відсутні, то порядок виконання арифметичних операцій такий: множення або ділення, потім додавання або віднімання в порядку їх запису.

Говорячи про числові вирази, мають на увазі, що результати зазначених у них операцій існують, тобто операції виконувані. Але якщо в числовому виразі є, наприклад, операція ділення з дільником рівним нулю, то її результат не існує. В цьому випадку говорять, що числовий вираз не має змісту. Зокрема, числовий вираз (4 + 5) : (6 – 2 ∙ 3)  не має змісту, бо при виконанні зазначених операцій у ньому з’являється необхідність ділення на нуль.

Якщо в числивому виразі виконати всі зазначені операції, то одержане число називається його значенням. Якщо числовий вираз є числом, то це число і називається його значенням. Залежно від  значень числові вирази поділяються на додатні, від’ємні і нульові, записується це так:  А > 0, А < 0, А = 0. Числові вирази  не  завжди мають значення в тій числовій множині, з якої беруть їх компоненти. Наприклад, числовий вираз  15 : (4 – 7) не має значення у множині натуральних чисел, бо різниця чисел 4 і 7 не має значення у множині натуральних чисел. Хоча компоненти і значення виразів  (3 – 8) + (14 – 3) і ((1 + 8) : 18)6  є натуральними числами, але їх не можна розглядати над множиною натуральних чисел, бо результати проміжних операцій  3 – 8 = – 5  і  (1 + 8) : 18 =  не  є  натуральними числами. Це пояснюється тим, що не всі операції є виконуваними над певними числовими множинами. При розгляді числових  виразів  у  всіх  випадках, коли  не  вказано,  з  яких  числових множин  беруться  їх  компоненти, мають  на  увазі  множину  дійсних  чисел.

Числовим виразам при потребі дають назви за останніми в них операціями. Наприклад, вираз 4 + 36 : 9 називають сумою числа 4 і частки чисел  36  і  9.

Числові  вирази  не  є висловленнями, бо про них не можна сказати істинні вони чи хибні. Домовимося позначати числові вирази великими латинськими буквами, а множину всіх виразів –  W.


Задача 1.
Розв’язати задачу і скласти числовий вираз для  її  розв'язування.

На  виготовлення 32 столових і 60 чайних ложок пішло 3 кг 400 г срібла. Маса однієї столової ложки на 20 г більша від маси однієї чайної ложки. Яка маса всіх столових ложок?

►  Аналіз задачі. Потрібно знайти масу всіх столових ложок. Число столових ложок рівне 32. Отже, треба знати масу однієї столової ложки. Відомо, що виготовили 32 столових і 60 чайних ложок. Можна знайти число всіх виготовлених ложок. Якби всі вони були одного виду, наприклад столові, то, знаючи їх масу, можна знайти масу однієї ложки. Столова ложка має масу на 20 г більшу, ніж чайна, і якщо замінити чайні ложки столовими, то маса всіх ложок збільшиться, причому можна знайти  на скільки збільшиться. Значить, можна знайти і масу всіх ложок, якби вони були столовими. Після цього легко взнати масу однієї столової ложки і дати відповідь на питання задачі.

2. Розв'язування  задачі.

Скільки всього виготовлено ложок?  

32 + 60 = 92 (лож.)

2) На скільки маса 60 столових ложок більша, ніж маса 60 чайних ложок?

20 · 60 = 1200 (г)

3) Яка  маса  92  столових  ложок?

3400 + 1200 = 4600 (г)

4) Яка маса однієї столової ложки?

4600 : 92 = 50 (г)

5) Яка маса 32 столових ложок?

50 · 32 = 1600 (г) = 1 кг 600 г.

3. Складання числового виразу.

При складанні числового виразу, за допомогою якого знаходиться розв’язок задачі, потрібно, піднімаючись вгору по діях її питань, послідовно заміняти компоненти дій до тих пір, поки не будуть використані всі дані задачі.

Для  задачі, що розглядається, вираз  можна скласти так:

1600 = 50 · 32 = (4600 : 92) · 32 = ((3400 + 1200) :

: (32 + 60) · 32 = ((3400 + 20 · 60) : (32 + 60)) · 32.

Отже, вираз  для  розв'язування  задачі  має  вигляд:

((3400 + 20 · 60) : (32 + 60)) · 32.

Відповідь: маса столових ложок 1 кг 600 г.    ◄         

Тому що числові вирази мають не більше одного значення, то за допомогою них можна розв’язувати лише ті задачі, в яких потрібно знайти тільки одне число. Наприклад, якби в задачі, що  розглядалася вище, потрібно було б знайти масу столових і чайних ложок окремо, то виразу для її розв’язування не можна скласти.

Задача 2. У магазині є 40 ящиків картоплі та 10 ящиків моркви. Маса одного ящика картоплі – 30 кг, маса одного ящика моркви – 20 кг.

До  даної умови задачі сформулювати питання так, щоб розв’язок задачі знаходився за допомогою виразу:

1) 30 • 40 + 20 • 10;     2) 30 • 40 - 20 • 10;     3)(30 • 40) : (20 • 10);

4) (30 • 40 + 20 • 10) : (40 + 10);      5)  30 • 40 + 200.

► 1. Вираз 30 • 40 + 20 • 10 є сумою. Перший доданок є добутком чисел 30   і 40 і означає масу картоплі в магазині. Другий доданок є добутком чисел 20 і 10 і означає масу моркви в магазині. А тому питання до умови задачі, розв’язок якої знаходиться за допомогою даного виразу, може бути сформульовано так: Скільки всього  кілограмів картоплі і моркви є  в магазині?

2. Вираз 30 • 40 – 20 • 10 є різницею добутків чисел 30 і 40 та 20 і 10. А тому питання до умови задачі, щоб розв’язок її знаходився за допомогою даного виразу,  можна  сформулювати  так: На скільки кілограмів більше в магазині картоплі, ніж моркви?

3. Вираз (30 • 40) : (20 • 10) є часткою добутків чисел 30 і 40 та 20 і 10. А тому питання в цьому випадку можна сформулювати так: У скільки разів більше в магазині картоплі, ніж моркви?

4. Вираз (30 • 40 + 20 • 10) : (40 + 10)  є  часткою  сум  чисел. У цьому випадку питання може бути поставлене так: Яка в середньому маса одного ящика  картоплі  чи  моркви?

5. Вираз 30 •  40 + 200 містить число 200, якого немає серед умов задачі. Тому не можна поставити питання до умови задачі, щоб розв’язок задачі можна було б знайти за допомогою даного виразу. 

  1.  Числові рівності і їх властивості

Два числові вирази називаються рівними, якщо рівні їх числові значення. Відношення рівності на множині числових виразів є відношенням еквівалентності, бо таким воно є для числових множин, а тому визначає розбиття на класи рівних між собою виразів. Це дає змогу в усіх випадках, коли цікавляться значенням виразу, а не його структурою, заміняти один вираз на рівний йому. Наприклад, вираз 4 + 4 + 4 + 4 + 4 можна замінити виразом 4 • 5 або 20.

Два довільних числові вирази А  і  B, з’єднані між собою знаком рівності “ = ”, утворюють числову рівність (записується А = B). Числові вирази А і B називаються частинами числової рівності: А лівою, Bправою.

З точки зору математичної логіки числова рівність є висловленням, яке істинне тоді і тільки тоді, коли значення лівої частини дорівнює значенню правої частини. Істинне висловлення, що визначається числовою рівністю часто називають істинною (правильною) числовою рівністю. Над числовими рівностями, як над висловленнями, можна виконувати всі операції логіки висловлень, зокрема, кон’юнкцію і  диз’юнкцію.

Істинні числові рівності мають властивості, що базуються на властивостях  дійсних  чисел.

1. Якщо до обох частин числової рівності додати (відняти) один і той же числовий вираз, то  знову  одержиться  числова  рівність

А, B, С  W : А = В А + С = В + С;

А, B, С  W : А = ВА – С = В – С .

►Відношення рівності числових виразів має рефлексивну властивість, тому для довільних числових виразів  А  і  С  

                                                  .                                                  (1)

За умовою А=B. Замінивши А на B у правій частині рівності (1), на основі  симетричної властивості відношення рівності, одержуємо

А + С = B + С.◄

Наслідок 1. Якщо одна із частин числової рівності є алгебраїчною сумою, то будь-який  її  доданок  можна  з  однієї  частини  перенести в іншу частину, але при цьому його знак змінити на протилежкий, зокрема

А, B, С  W : А + С = ВА = В – С;

А, B, С  W : А = В А – В = 0

Наслідок 2. Якщо в обох частинах числової рівності є рівні доданки, то їх можна опустити і знову одержаться числова рівність, зокрема

А, B, С  W: А + С = B + С А = B.

2. Числові рівності можна почленно додавати (віднімати) і знову одержиться числова рівність, зокрема

А, B, С, F  W : ( А = B)  (C = F)  (A + C = B + F).

► Нехай А, B, С, і F – довільні числові вирази такі, що

(А = B) (С = F)                                       за властивістю 1

(A + C = B + C)(B + C = B + F)за транзитивністю відношення рівності для числових виразів

A + C = В + F.                                            

Аналогічно доводяться наступні властивості числових рівностей.

3. Якщо обидві частини числової рівності помножити на один і той же числовий вираз, то знову одержиться числова рівність:

А, B, С W: А = B АС = BС.

4. Якщо обидві частини числової рівності поділити на один і той же числовий вираз, значення якого відмінне від нуля, то знову одержиться числова рівність:

А, B, С  W: (АС = BС) (С 0)(А = B).

5. Числові рівностї можна почленно перемножати і знову одержиться числова рівність, зокрема:         

А, B, С, F W: ( А = B) (C = F)  (AC = BF).

6. Обидві частини числової рівності можна почленно підносити до степеня з натуральним показником і знову одержиться числова рівність:

n N  А, B  W: А = B A n= Bn .

7. Якщо числові вирази, відмінні від нуля, рівні між собою, то рівними будуть і обернені їм вирази:

А, B W : ( А = B )∧ (А ≠ 0)B ≠ 0)().

  1.  Числові нерівності та їх властивості

З двох числових виразів більшим  називається той, значення якого більше, позначається знаком “ > “:

А, B W:А > B:а > b,

де а і b є відповідно значеннями виразів А і B. Відношення "більше" на множині числових виразів є відношенням строгого лінійного порядку, бо таким воно є для числових множин. Це дає можливість класи рівних між собою числових виразів строго лінійно впорядкувати.

Відношення "менше" (позначається " < ") означається як обернене до відношення "більше", а тому воно також є відношенням строгого лінійного порядку.

Відношення "більше або рівне" (позначається “ ≥ “) на множині числових виразів означається як об'єднання двох відношень "рівне" і "більше". Відношення ж "менше або рівне"(позначається “ ≤ “) може бути означене або як об’єднання відношень “рівне” і “менше”, або ж як відношення обернене до відношення “більше або рівне”. Останні два відношення є відношеннями нестрогого лінійного порядку на множині числових виразів.

Два довільних числових вирази А і B, між якими поставлено один із знаків  “ < “, “ > “, “ ≤ “, “ ≥ “ утворюють числову нерівність (записується          А < B, А >B, А B, А B). Числові вирази А і B називаються частинами числової нерівності, Алівою, Bправою.

Числова нерівність є також висловленням, яке істинне тоді і тільки тоді, коли значення лівої частини знаходиться із значенням правої частини  в тому відношенні, що визначається знаком нерівності. Істинне висловлення, що задається числовою нерівністю, називається істинною числовою нерівністю. 

До числових нерівностей, як і до числових рівностей, застосовуються операції логіки висловлень, зокрема кон’юнкція і диз’юнкція. Наприклад, для числових нерівностей 3 < 5 і 7 ≥ 10 їх кон’юнкція має вид ( 3 < 5) ( 7 ≥ 10) записується

а дизюнкція ( 3 < 5) ( 7 ≥ 10) записується

Логічне значення кон’юнкції “0”, а диз’юнкції – “1”, бо  складові висловлення мають різні логічні значення: “3 < 5” – “1”, а “7 ≥ 10” – “0”.

Дві або більше числові нерівності називаються нерівностями одного (однакового) смислу, якщо у всіх них ліві і праві частини знаходяться в одному і тому ж самому відношенні порядку. Дві числові нерівності називаються нерівностями протилежного смислу, якщо відношення, в якому знаходяться ліва і права частина однієї з них, є оберненим до відношення порядку, що пов’язує ліву і праву частини другої нерівності.

Наприклад, числові нерівності А1 > B1, А2 > B2, А3 > B3 є нерівностями однакового смислу,  а числові нерівності C F і C  F є нерівностями протилежного смислу.

Істинні числові нерівності мають ряд властивостей, що базуються на їх означеннях та властивостях дійсних чисел.

1.А, B  W : А > B ↔ B < А,

          2. 1) А, B  W : А > B ↔ А – B > 0,

              2) А, B  W : А < B  ↔ А – B < 0.

Доведемо 1). Нехай А і B – довільні числові вирази, значеннями яких є числа а і b відповідно, такі, що

А >B            за означенням відношення " більше " для числових виразів

а > b             за означенням відношення “більше” для дійсних чисел

а – b  > 0     за означенням відношення “більше” для числових виразів

А B > 0.     ◄                   

3. Якщо до обох частин числової нерівності додати (відняти) один і той же числовий вираз, то знову одержиться нерівність того ж смислу, що й задана, зокрема

1)А, B, С  W : А  > B А + С  > B + С,

2)А, B, С  W : А  > B А – С  > B – С.

► Доведемо 1). Нехай А , B, С – довільні числові вирази, значення яких  а, b, с відповідно, такі, що

А > B             ⇒  за властивістю 2

 А B > 0         за означенням відношення "більше" для числових виразів

а - b > 0                     за властивістю нуля при додаванні дійсних чисел

(а – b) +  0 > 0         за властивістю додавання протилежних чисел

(а – b) + (с – с) > 0 за властивістю додавання і віднімання дійсних чисел

(а + с)(b + с) > 0   за монотонністю додавання дійсних чисел

а + с > b + с               за означенням відношення "більше" для числових виразів

А + С  > B + С.     ◄

Наслідок 1. Якщо хоч одна із частин числової нерівності є алгебраїчною сумою числових виразів, то будь-який доданок можна перенести з однієї частини в іншу, змінивши знак перед ним на протилежний, зокрема

А, B, С  W: А  > B + С  А – С  > B .

Наслідок 2. Якщо в обох частинах   числової нерівності є рівні доданки, то їх можна опустити і одержиться нерівність того ж самого смислу, зокрема

А, B, С W: А + С  > B + С  А  > B .

4. Числові нерівності одного і того ж самого смислу можна почленно додавати і знову одержиться нерівність того ж смислу, що й дані, зокрема

А, B, С, F  W: ( А  > B) (С > F)(A + C  > B + F).

► Нехай А, B, С, F  - довільні числові вирази такі, що

(А > B)(С > F)                           за властивістю 3

(A + C > B + С)∧(B + C > B+F) за транзитивністю відношення “більше" для числових виразів

 A + C  > B + F. ◄

5. Числові нерівності протилежних смислів можна почленно віднімати і одержиться нерівність того ж смислу, що й нерівність, від якої віднімають, зокрема

А, B, С, F  W: ( А  > B) (С < F)(AC  > B – F).

►  Нехай А, B, С, F – довільні числові вирази такі, що

 (А > B) (С < F)     за властивістю 1

(А > B) (F  > С)         за властивістю 4

 А + F  > B + C             за наслідком 1

AC  > BF.                

При розгляді наступних властивостей числових нерівностей слід звернути увагу на те, що знаки одержуваних нерівностей суттєво залежать від того, на додатний чи відємний числові вирази множаться вихідні нерівності.

6. Якщо обидві частини числової нерівності помножити (поділити) на один і той же числовий вираз, значення якого додатне, то знову одержиться нерівність того ж смислу, що й дана, зокрема

А, B, С,   W: (А > B)(С > 0) (AC > ).

А, B, С,   W: (АС  > ) (С > 0)(A  > B).

7. Якщо обидві частини числової нерівності помножити (поділити) на один і той же числовий вираз, значення якого відємне, то одержиться нерівність протилежного смислу до даної, зокрема

А, B, С,   W: (А > B) (С < 0) (AC < BС),

А, B, С,   W: (А С > ) (С < 0)  → (A < B).

► Нехай А, B, С – довільні числові вирази, значеннями яких є дійсні числа а, b, с відповідно, такі, що

(А > B) (С < 0)         за означенням відношень " > " і " < " для числових    виразів

(а > b) (с < 0)          ⇒        за властивістю множення дійсних чисел

ас < bс                     ⇒        за властивістю відношень " > " і "<"     для  числових виразів

AC < BС.            ◄

8. Числові нерівності одного і того ж самого смислу з додатними частинами можна почленно множити і знову одержиться нерівність, того ж смислу, що й задані, зокрема                 

А, B, С, F  W: (А > B > 0) (С > F  > 0) (AC  > BF).

► Нехай А, B, С, Fдовільні додатні  числові вирази такі, що

(А > B ) (С > F)                          за  властивістю 6

(АC > BC) (BС > BF)             за транзитивністю відношення “більше” для числових виразів

A C > BF .             

Наслідок 3. Обидві частини числової нерівності з додатними частинами можна підносити до степеня з натуральним показником і знову одержиться нерівність того ж самого смислу, що й задана, зокрема    

                       n N  А, B W: А  > B > 0 → An > Bn .

9. Дві числові нерівності одного і того ж самого смислу з відємними частинами можна почленно перемножати і знову одержиться нерівність протилежного смислу до даних нерівностей, зокрема

А, B, С, F  W: (А < B < 0) (С < F < 0)(AC  > BF).

10. Відношення порядку, що пов’язують два додатних (від’ємних) числових вирази, i вирази, які є обернені до них, є оберненими між собою, зокрема            

А, B  W: (А > B)(АB  >  0) (<).

  1.  Вирази із замінимим та їх основні характеристики

Як відомо, одна із відмінностей між математичною мовою і природною мовою полягає у вживанні в ній змінних. У природній мові деякі слова також можуть вживатися як змінні. Наприклад, у реченні "тигр має красиву ходу" слово "тигр" є змінною; у реченні ж "цей тигр має красиву ходу" слово "тигр" уже не є змінною. Між словами-змінними в природній мові і змінними в математиці існує суттєва різниця: слово можна вживати як змінну для елементів тільки певної множини, а в математиці – для елементів будь-яких множин.

Широке застосування різного роду змінних дозволяє виразити на математичній мові загальні закономірності.

Під змінними розуміють знаки, що відіграють роль порожніх місць у математичному тексті, які дозволяється заповнювати іменами елементів із деяких множин, що складають область значень цих змінних.

В початковому курсі математики, перш ніж вводити  букви для позначення змінних, використовують “порожні місця”, наприклад 4 + ... = 9 (учням задають питання: яке число потрібно записати замість крапок, щоб одержати правильну рівність?), або місця, на які підставляється одне і те ж саме число, позначаються “порожніми віконечками” однакової форми, наприклад,

+    =    + □ -

запис комутативного (переставного) закону додавання на мові з порожніми віконечками. Перехід від запису

+    =    + □  

до запису х + у = у + х вже не складає труднощів і підказує роль букв-змінних х і у в останньому. Від запису х + у = у + х, де х і у – змінні для натуральних чисел, а "+" є знаком операції додавання, можна перейти до більш загального запису

                                ∀х, у  М : х у = у х,                              (1)

де х і у – змінні для елементів деякої множини М, а  ∗ - змінна для операції у множині М. Запис (1) є символічним записом комутативного закону бінарної операції. Зокрема, якщо:

1) М – числова множина, то х і у будуть числовими змінними;

2) М – множина висловлень, то х і у – пропозиційні змінні,

Елементи, які можна підставляти замість змінної, називаються її значеннями, а всі вони складають область визначення змінної. У всіх випадках, коли мова йде про змінну, обовязково вказується або область визначення змінної, або її легко встановити з контексту. Змінні, значеннями яких є числа, називаються числовими змінними.

Якщо в числовому виразі одне або декілька чисел замінити змінними, то одержимо вираз із змінними або числову форму.

Кожна числова форма задає деяке відображення. Наприкад, числова форма 3х + 2, де х А = {1, 2, 3, 4} визначає відображення множини А на множину значень числової форми f(A) = {5, 8, 11, 14}

f: А →  f (A).

Зважаючи на те, що область визначення числової форми 3х + 2 є скінченною множиною, то відображення можна задати і таблицею

А

1

2

3

4

f(A)

5

8

11

14

Тому, що числова форма 3х + 2 задає відобаження f, то її можна позначити f(x) i записати   f(x) = 3x + 2.

Таким чином, символ f(x) застосовується для позначення числової форми, що містить змінну х і задає відображення f деякої множини А на множину f(A). Записи f(1), f(2),  і т. д. означають значення образів відповідно чисел 1, 2 і т.д. при відображенні.

Числова форма з двома змінними х і у, де х А, у B також задає деяке відображання f, що ставить у відповідність кожній парі (х, у)  А × B деяке число – значення числової форми f при даній парі значень змінних і т.д. Отже, числові форми прийнято позначати f(x),  g(x, y),φ(х, у, z), f(x1, x2, …, xn).

Підставивши в числову форму замість кожної змінної на всіх місцях її входження конкретні числа, одержимо числовий вираз, значення якого називається значенням числової форми на заданому наборі значень змінних. Тут і далі, говорячи про "змінну" мають на увазі "числову змінну".

Кожна числова форма характеризується кількістю числових змінних, що входять у неї, і областю визначення. Областю визначення числової форми f(x1, x2, …, xn) (позначається Df або D f(x1, x2, …, xn)) називається множина тих наборів значень змінних, при яких числова форма має значення. Числова форма вважається заданою, якщо вказано її область визначення. Якщо ж область визначення числової форми не вказано, то її слід встановити.

Числові вирази і числові форми часто називають виразами. Якщо вони містять лише арифметичні операції та операції піднесення до раціонального степеня, то їх прийнято називати алгебраїчними.

Алгебраїчний вираз називається раціональним, якщо він не містить операції добування коренів із виразів, що містять змінні. Раціональний вираз називається цілим раціональним виразом або многочленом, якщо він не містить операції ділення на вирази, що містять змінні. Раціональний вираз називається дробовим, якщо він містить операції ділення на вирази, що містять змінні.

Задача 3. Встановити область визначення виразу

f(x)=.

► Даний вираз містить операцію ділення на вираз х2 5х + 6, що містить змінну. Область визначення виразу f(x) складатимуть ті дійсні числа, при яких вираз х2 5х + 6 не дорівнює нулю. Такими числами є всі дійсні числа, крім       х = 2 або х = 3. Отже, областю визначення виразу

f(x)=

буде множина ] – ∞ ; 2 [ ] 2; 3 [ ] 3; + ∞ [.

Відповідь: х  R∖{2 ; 3}  або   х  ] – ∞ ; 2 [ ] 2; 3 [ ] 3; + ∞ [. ◄

  1.  Відношення тотожності на множині виразів. Тотожні перетворення на множині виразів. Тотожності

Два вирази із спільною областю визначення називаються тотожно рівними на ній, якщо рівні їх значення при будь-яких значеннях змінних із області визначення. Тотожна рівність виразів істотно залежить від їх області визначення: зміна області визначення може привести до порушення тотожної рівності. Наприклад, вирази х і │х│ є тотожно рівними на множині невідємних дійсних чисел і не є тотожно рівними на множині дійсних чисел, бо при х = – 2         – 2 2.

Можна, де це потрібно, вважати, що вирази містять однакову кількість змінних, бо при додаванні до виразів членів із коефіцієнтами рівними нулю одержується тотожно рівний йому вираз.

Відношення тотожної рівності виразів є відношенням еквівалентності на множині всіх виразів. Це дозволяє вирази з одного класу еквівалентності не відрізняти один від одного, якщо тільки не цікавляться їх структурою.

Два тотожно рівні на множині М вирази f( x1, x2, …, xn ) і q ( x1, x2, …, xn ), з’єднані між собою знаком рівності, називаються тотожністю (позначається       f( x1, x2, …, xn ) = q( x1, x2, …, xn )). Прикладами тотожностей є формули скороченого множення; формули, що виражають закони арифметичних операцій тощо.

Заміна одного виразу тотожно рівним йому виразом називається тотожним перетворенням виразу. Тотожними перетвореннями виразів широко користуються , коли не цікавляться їх структурою, зокрема при:

1) спрощенні виразів;

2) наданні виразу спеціального вигляду;

3) розвязуванні рівнянь і нерівностей;

4) доведенні тотожностей.

  1.  Вирази в початковому курсі математики: розв’язування арифметичних задач за допомогою складання виразів

З числовими виразами знайомляться вже учні початкових класів. Спочатку з виразами виду 5 + 3, 8 – 2, називаючи  їх відповідно сумою і різницею. Потім розглядаються числові вирази все більш складної структури. Терміни "математичний вираз", "значення виразу" зявляються в лексиконі учнів, коли вони вже виконують обчислення в межах сотні. В процесі навчання учні знаходять  значення  числових  виразів; записують розв’язок, коли це можливо і є потреба, текстової задачі у вигляді числового виразу; складають за даними виразами задачі. При виконанні таких завдань вони неминуче зустрічаються з числовими виразами, значення яких не можна знайти у множині натуральних чисел. Наприклад, про вираз 4 – 7 учні говорять, що його значення не можна знайти, бо не можна від меншого числа відняти більше.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69152. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ 585.5 KB
  Стержень - элемент удлинённой формы, работающий на растяжение-сжатие от продольных (осевых) сил (рис. 12.1,а). Стержни в авиационных конструкциях - это стрингеры крыла, фюзеляжа, оперения, пояса лонжеронов, тяги проводки управления и т.д.
69153. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗРУШАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ ПОДКРЕПЛЁННОЙ ПАНЕЛИ 473.5 KB
  Панель элемент авиационной конструкции состоящий из пластинки обшивки и стержней стрингеров подкрепляющих её. В зависимости от характера соединения обшивки со стрингерами различают панели: клёпаной конструкции; сварной клеесварной и клеевой конструкции; монолитные...
69154. СИЛОВЫЕ СХЕМЫ, КОНСТРУКЦИЯ И РАБОТА КРЫЛЬЕВ 2.83 MB
  В обычной конструкции крыла силовыми элементами являются рис.1: обшивка; лонжероны и стрингеры продольный набор крыла; нервюры поперечный набор крыла; соединения заклепочные болтовые сварные или клеевые. Конструкция крыла 1 обшивка; 2 лонжерон; 3 стрингер; 4 нервюра; 5 соединения...
69155. СТРЕЛОВИДНЫЕ КРЫЛЬЯ 740.5 KB
  Нормальные нервюры могут устанавливаться перпендикулярно к оси крыла рис. вдоль хорд фактического обтекания крыла потоком рис. Если они поставлены по потоку то форма профиля в плоскости фактического обтекания крыла выдерживается лучше.
69156. Устройства, улучшающие взлетно-посадочные характеристики самолета 354 KB
  Устройства улучшающие взлетно посадочные характеристики самолета повысить несущие свойства крыла cyS можно обычными средствами механизации или энергетическими которые обеспечивают увеличение подъемной силы за счет силовой установки. Средства механизации повышают несущие свойства крыла.
69157. ИСТОРИЯ РАЗИТИЯ САМОЛЕТОВ. ЭТАПЫ ИХ СОЗДАНИЯ И ЭКСПЛУАТАЦИИ 385.5 KB
  Полет на аппаратах легче воздуха называется воздухоплаванием а на аппаратах тяжелее воздуха авиацией от латинского vis птица. Процесс развития самолетов обусловлен взаимным влиянием и взаимодействием между наукой производством и эксплуатацией самолетов.
69158. КОНСТРУКЦИЯ САМОЛЕТОВ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ 1.55 MB
  Основные агрегаты самолета Самолеты относятся к летательным аппаратам тяжелее воздуха им характерен аэродинамический принцип полета. У самолетов подъемная сила Y создается за счет энергии воздушного потока омывающего несущею поверхность которая неподвижно закреплена относительно...
69159. НАГРУЗКИ САМОЛЕТА ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ МАНЕВРОВ 884 KB
  В полете на самолет действуют: рис.1: тяга двигателя Р; аэродинамические силы подъемная сила Y и лобовое сопротивление Q; сила тяжести G. Эти силы показаны для самолета рассматриваемого в виде материальной точки. В общем случае силы действующие на самолет не находятся в равновесии.
69160. НАГРУЗКИ САМОЛЕТА ПРИ ПОЛЕТЕ В НЕСПОКОЙНОМ ВОЗДУХЕ 2.03 MB
  Турбулентность атмосферы Перегрузки от действия неспокойного воздуха возникают при движении воздуха направление которого не совпадает с направлением полета самолета или при турбулентных пульсациях воздуха. На высотах которые больше 1000 м эти потоки затухают и полет...