18300

РІВНЯННЯ. Лінійні рівняння з однією зміною та їх розв’язування

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 27 РІВНЯННЯ Рівняння з однією зміною як предикат та його основні характеристики. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь та наслідки з них. Лінійні рівняння з однією зміною та їх розвязування з аналізом використаної при цьому теор

Украинкский

2013-07-07

80 KB

30 чел.

Лекція 27

РІВНЯННЯ

  1.  Рівняння з однією зміною як предикат та його основні характеристики.
  2.  Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь та наслідки з них.
  3.  Лінійні рівняння з однією зміною та їх розв’язування (з аналізом використаної при цьому теорії).

  1.  Рівняння з однією зміною як предикат

та його основні характеристики

Нехай на множині М задано два вирази f(x) і q(x) з однією змінною х. Предикат виду f(x) =  q(x), х М,  для якого потрібно знайти область істинності, називається рівнянням з однією змінною. Вирази f(x) і q(x) називаються частинами рівняння, f(x) лівою,  q(x) правою. У випадку, коли хоч одна із частин рівняння є алгебраїчною сумою, то доданки суми називаються членами рівняння. Множина М називається областю визначення рівняння.

Згідно з означенням, рівняння з однією змінною є предикатом, а тому до нього можна застосувати всі ті поняття, які використовуються для характеристики предиката. Множина істинності предиката, що задає рівняння, називається множиною розв’язків рівняння (множиною коренів рівняння), а кожне число, яке належить цій множині, називається розв’язком (коренем) даного рівняння. Розв’язати дане рівняння – значить знайти множину його розв’язків.

Часто область визначення рівняння не вказується, в цьому випадку її потрібно встановити: вона є перерізом областей визначення кожного з виразів f(x) і q(x) рівняння (кожної з частин рівняння). В залежності від області визначення рівняння може мати різні множини розвязків. Наприклад, рівняння

(х – 1) (х + 2) (х2 3)(х2 + 1) = 0

на множині натуральних чисел має один розв’язок, бо тільки при х = 1 добуток множників дорівнює нулю, на множині цілих чисел – два розв’язки { – 2; 1} , а на множині дійсних чисел – чотири розв'язки { – 2;; 1, }.

Прийнято також не вказувати область визначення рівняння в тих випадках, коли вона рівна найширшій числовій множині, яка відома тому, хто його розвязує. Зокрема, по мірі ознайомлення учнів з числовими множнами, такою множиною для молодших школярів є множина цілих невідємних чисел, а для учнів середньої школи – множина дійсних чисел.

  1.  Рівносильні рівняння.

Теореми про рівносильність рівнянь та наслідки з них

Два рівняння з однією змінною, визначені на множині М, називаються рівносильними на ній, якщо їх множини розв’язків збігаються. Два рівняння, визначені на множині М, є рівносильними на ній і тоді, коли на цій множині вони розв’язків не мають.

З означення випливає, що рівносильність рівнянь істотно залежить від їх області визначення: зміна її може привести до порушення рівносильності. Наприклад, рівняння

(х – 1)(х + 3) = 0   і (х – 1)(х + 2) = 0

рівносильні на множині натуральних чисел, бо вони мають на ній своїм розв’язком лише число 1, і нерівносильні на множні цілих чисел, бо на ній, крім одиниці, перше рівняння має розвязком число – 3, а друге – число –2.

Відношення рівносильності рівнянь є відношенням еквівалентності і задає на множинні рівнянь розбиття на класи рівносильних між собою рівнянь. Це дає змогу при розв’язуванні рівнянь заміняти їх на рівносильні, розв’язки яких легше знайти.

В процесі розвязування над рівняннями здійснюються різні перетворення. Однак не всі з них приводять до одержання рівносильних рівнянь. Наприклад, заміна рівняння

        (х – 1)(х – 3) = х – 3                                        (1)

рівнянням

       х – 1 = 1                                                        (2)

неправильна, бо рівняння нерівносильні на множині дійсних чисел. Справді, рівняння (1) має множину розв’язків {2, 3}, а (2) – { 2 }. Рівняння (2) одержане з рівняння (1) діленням обох частин на вираз х – 3 , який дорівнює нулю при х = 3 і при цьому втратили розв'язок х = 3 першого рівняння.

Якщо ж рівняння

                                        х – 1 = 2                                                   (3)

замінити рівнянням

                                                   (х – 1)2 = 4,                                                (4)

то також одержиться нерівносильне йому рівняння, бо рівняння (3) має множину розв’язків { 3 } , а рівняння (4) – { – 1; З }, Отже, множини розв’язків не рівні, а тому, за означенням, рівняння нерівносильні на множині дійсних чисел. Розвязок х = – 1 буде стороннім для рівняння (3). З точки зору математичної логіки рівняння (4) є лише логічним наслідком рівняная (3).

Користуючись поняттями математичної логіки можна дати означення рівносильності рівнянь з однією змінною по-іншому.

Два рівняння з однією змінною, визначені на множині М, називаються рівносильними на ній, якщо кожне з них є логічним наслідком іншого.

Широке використання перетворень, що їх доводиться виконувати при розвязуванні рівнянь, базуються на застосуванні таких двох теорем.

Теорема 1. Якщо до обох частин рівняння з однією змінною, визначеного на множині М, додати вираз, визначений на цій же множині, то одержиться рівняння, рівносильне заданому на множині М.

►   Нехай

           f(x) = q(x),    xМ,                                           (1)

дане рівняння і ϕ(х), х М,  вираз, який додаємо до обох частин рівняння (1). Тоді

         f(x) + ϕ(х) = q(x) +ϕ(х),                            (2) 

є одержаним рівнянням.

Нехай х0  довільний розвязок рівняння (1). Підставивши х0 в рівняння (1), одержимо істинну числову рівність

             f(x0) = q(x0).                                               (3)

До обох частин істинної числової рівності (3) додамо числовий вираз  ϕ(х0) і одержимо істинну числову рівність, на основі властивості 1 § 23 п.2,

f(x0) + ϕ(х0) = q(x0) +ϕ(х0),

яка означає, що х0 є розв'язком рівняння (2).

Отже, довільний розв’язок рівняння (1) є розв’язком рівняння (2), тобто рівняння (2) є логічним наслідком рівняння (1).

Нехай тепер .х0 – довільний розвязок рівняння (2), тоді

             f(x0) + ϕ(х0) = q(x0) +ϕ(х0)                                (4)

є істинною числовою рівністю. Віднявши від обох частин рівності (4) числовий вираз ϕ(х0), одержимо істинну числову рівність, на основі властивості 1 § 23 п.2,

f(x0) = q(x0),

яка означає, що х0 є розвязком рівняння (1).

Значить, довільний розв’язок рівняння (2) є розв’язком рівняння (1),  тобто рівняння (1) є логічним наслідком рівняння (2).

Таким чином, кожне з рівнянь є логічним наслідком іншого, що й доводить їх рівносильність.   ◄

Наслідок 1. До обох частин рівняння з однією змінною можна додати (відняти) одне і те ж число, і одержиться рівняння рівносильне  даному.

Наслідок 2. Члени рівняння з однією змінною можна переносити з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, при цьому одержиться рівняння рівносильне даному.

Наслідок 3. При потребі всі члени рівняння з однією змінною можна перенести в одну з частин рівняння, а інша буде рівна нулю, і одержиться рівняння рівносильне даному.

Теорема 2. Якщо обидві частини рівняння з однією змінною, визначеного на множині М, помножити на вираз, визначений на цій же множині і відмінний від нуля, то одержиться рівняння, рівносильне даному на множині М .

Доведення теореми 2 аналогічне доведенню теореми 1, лише при цьому використовуються властивості 3 і 4 істинних числових рівностей § 23 п.2.

Наслідок 4. Обидві частини рівняння з однією змінною можна помножити (поділити) на одне і те ж число, яке відмінне від нуля, і при цьому одержиться рівняння  рівносильне даному.

Наслідок 5,  Рівняння    рівносильне рівнянню  f(x) = 0, х М.

Задача 3. Не розвязуючи рівнянь

x  4 = 3 і  х2 – 16 = 3(х + 4),

вказати, на яких множинах і на основі яких тверджень вони рівносильні.

►  Рівняння

x  4 = 3 і  х2 – 16 = 3(х + 4)

визначені на множині дійсних чисел R, тобто їх область визначення М = R. Якщо ліву частину х2 – 16 другого рівняння записати (х – 4)(х + 4), то воно набере вигляду

(х – 4)(х + 4) = 3(х + 4).

Тепер неважко встановити, що друге рівняння одержане з першого рівняння шляхом множення обох його частин на вираз х + 4, який не дорівнює нулю на множині М1 = ] - , -4 [∪] –4, + ∞[, а не на множині R . Тому за теоремою 2 про рівносильність рівнянь приходимо до висновку, що дані рівняння будуть рівносильними на множині

М1 = ] - , -4 [∪] –4, + ∞[ =R \ {  – 4 }

 і нерівносильними на множині дійсних чисел R.   ◄

При користуванні теоремами 1 і 2 та наслідками з них завжди потрібно пам’ятати, що рівняння рівносильні лише на області визначення вихідного рівняння. Одержане ж рівняння в більшості випадків має більш широку область визначення, значить може мати і більше розв’язків. Серед них розв’язками вихідного рівняння є тільки ті, що належать його області визначення.

Задача 4. Розвязати рівняння

4х – 1 +  = 19 – х + .

► Спочатку встановимо область визначення даного рівняння. Нею буде множина всіх дійсних чисел, за винятком числа 4, бо вираз  при х = 4 не має смислу. Отже, М = R \ { 4 }. На основі наслідку 3 з теореми 1 перенесемо всі члени даного рівняння в ліву частину, тоді матимемо

4х – 1 + 19 +  х   = 0.

Звівши подібні члени, дістанемо рівняння

  5х – 20 = 0       

областю визначення якого є вже множина дійсних чисел. Одержане рівняння має розвязок х = 4, який не є розв’язком даного рівняння, бо 4  М. Отже, дане рівняння розвязків не має. Поява стороннього розвязку для нього пояснюється тим, що внаслідок рівності нулю суми

 + ( –  )

область визначення одержаного рівняння розширилась і число 4 ввійшло в неї,

Відповідь: х  ∅.◀ 

Оскільки рівняння з однією змінною є предикатами, то над ними можна виконувати всі операції логіки висловлень, зокрема диз’юнкцію і кон’юнкцію.

Диз’юнкція рівнянь називається сукупністю рівнянь (позначається квадратною дужкою зліва), а кон’юнкція рівнянь – системою рівнянь (позначається фігурною дужкою зліва).

 Теорема 3. Рівняння   

f1(x)f2(x)∙… fп(x)=0, х М,

 рівносильне сукупності рівнянь

Доведення теореми 3 аналогічне доведенню теорем 1 і 2.

Існують різні методи розв’язування рівнянь. Одним із загальних методів розв’язування рівнянь є послідовна заміна їх на рівносильні за допомогою перетворень, що базуються на теоремах 1 і 2 та наслідках з них, поки не прийдуть до рівняння, розв’язки якого легко знайти. Крім того, до таких методів можна віднести зведення рівняння до сукупності рівнянь на основі теореми 3 або спрощення його на основі введення нових змінних. Наприклад, рівняння

(х + 3)(х – 5)(х – 8) = 0

можна розглядати як дизюнкцію рівнянь

(х + 3) = 0,  (х – 5) = 0, (х – 8) = 0,

розв’язки яких легко знайти:  – 3, 5, 8. Отже, множина розв’язків вихідного рівняння є об’єднанням множин розв’язків кожного з одержаних рівнянь, а саме { –3 , 5, 8}.

 


Задача 5.
Розв’язати рівняння

х44х3 + 8х + 46(х2 2х – 2) + 5 = 0.

 ► Дане рівняння можна записати так:

х44х3 + 4х2 4х2 + 8х + 46(х2 2х – 2) + 5 = 0 або

(х22х – 2)2 – 6(х2 2 х – 2) + 5 = 0 .

Поклавши  х2 2х – 2 = у, , одержимо рівняння

у26у + 5 = 0,

розвязками якого є у = 1, у = 5.

Підставивши ці розвязки замість у у співвідношення х2 2х – 2 = у, дістанемо рівняння

х2 2х – 2 = 1   і  х2 2х – 2 = 5,

з яких знаходимо розвязки даного рівняння:

х1 = 1,   х2 = 3,  х3 = 1 – 2,  х4 = 1 + 2.

Відповідь:   х   { - 1; 3; 1; 1 – 2, 1 + 2}.◄

  1.  Лінійні рівняння з однією зміною та їх розв’язування

(з аналізом використаної при цьому теорії)

Рівняння виду

  а1 х + b1 = а2 ∙х + b2,   а1, а2, b1, b2, х  R                         (1)

називається лінійним рівнянням з однією змінною. На основі наслідків теореми 1, перенесемо члени рівняння, що містять змінну, в ліву частину, а вільні члени (члени, що не містять змінної) – в  праву і зведемо подібні члени. Одержимо рівняння

                           ах = b,                                                 (2)

яке рівносильне рівнянню (1).

Якщо а ≠ 0, то рівняння (2) називається рівнянням першого степеня з однією змінною.

Можливі випадки:

1) а ≠ 0, тоді за наслідком 4 з теореми 2 рівняння (2) буде рівносильне рівнянню

х = .

В цьому випадку рівняння (2), а значить, і рівносильне йому рівняння (1), матиме один розвязок х   {}.

2) а = 0,  b = 0, тоді рівняння (2) набере вигляд

0 ∙ х = 0.

Будь-яке число буде його розвязком, бо добуток довільного числа і нуля дорівнює нулю. Отже, рівняння (2), а значить, і рівняння (1) своїми розв’язками матиме будь-яке дійсне число, тобто х R .

3) а = 0, b  0. тоді рівняння (2) набере вигляд

0 ∙ х = bn.

Воно не має розвязків, бо добуток  будь-якого числа та  нуля дорівнює нулю і ліва частина ні при якому значенні змінної не може дорівнювати правій. Отже, х ∈ ∅.

Задача 6. Розвязати рівняння

2х + 3 –5х – 4 = х + 3 + х – 7х.

► Перенесемо члени, що містять змінну, в ліву частину рівняння, а вільні члени – в праву частину і зведемо подібні члени:

2х – 5х – х – х + 7х = 3 – 3 + 4  2х = 4.

2 0, тоді, на основі наслідку 4 теореми 2, дістанемо, що х = 2.

Відповідь: х {2}.  ◄

Програма початкової школи передбачає лише ознайомлення з поняттям рівняння з однією змінною та розв’язування окремих із них способом підбору або на основі залежності між компонентами і результатами арифметичних операцій.

Задача 7. Розвязати рівняння

     14 – (5х + 10) : 3 = 4                                              (1)

на основі залежності між компонентами і результатами арифметичних операцій.

► 1. Із зазначених у лівій частині рівняння (1) операцій останньою є віднімання. Змінна міститься у невідомому відємнику, який одержиться, коли від зменшуваного відняти різницю: 14 – 4 = 10. Отже,

(5х + 10) : 3 = 10.                                     (2)

2. Останньою операцією у виразі лівої частини рівняння (2) є ділення. Змінна знаходиться в невідомому діленому, яке дорівнює добутку частки і дільника: 10 ∙ 3 = 3. Значить,

5х + 10 = 30.                                                (3)

3. Останньою операцією у виразі лівої частини рівняння (3) є додавання. Змінна міститься у невідомому доданку, який дорівнює різниці суми і відомого доданка: 30 – 10 = 20, а тому маємо

5х = 20.                                                           (4)

4. У лівій частині рівняння (4) невідомим є один із множників, який дорівнює частці від ділення добутку на відомий множник:

х = 20 : 5 = 4.

Отже, х = 4.

Всі рівняння (2) – (4), які отримувалась при здійсненні перетворень, рівносильні даному на основі теорем 1 і 2, а тому знайдений розв’язок х = 4 останнього рівняння буде і розвязком  рівняння (1).

Відповідь:  х {4}.  ◄


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13695. Подчинившись закону толпы, мы возрващаемся в каменный век 13.43 KB
  Подчинившись закону толпы мы возрващаемся в каменный векЯ согласна с автором что толпа неорганизованная общность которая в целом опасна для общества потому что в толпе люди становятся неуправляемым стадом поэтому автор говорит что возвращаемся в каменный век. Толп...
13696. Пусть погибнет мир, но закон должен быть соблюден 14.1 KB
  Пусть погибнет мир но закон должен быть соблюден.Изречение римского праваДанное высказывание настолько парадоксально что трудно и согласиться и не согласиться с ним полностью. С одной стороны я согласна с тем что закон обязательно должен соблюдаться. Ведь законы
13697. Правонарушение. Что есть право и в чем состоит правонарушение, это должен определить закон 13.59 KB
  Что есть право и в чем состоит правонарушение это должен определить закон Латинское юридическое изречение.Эссе № 1На протяжении многих столетий государство принимает законы которым должен следовать каждый. Любое непослушание несоблюдение этих законов ведет к нак...
13698. Есть 2 мирные формы насилия: закон и приличия 14.97 KB
  Есть 2 мирные формы насилия: закон и приличия И.Гете.Что такое насилие Обычно говоря о насилии мы имеем в виду жестокость. Но в высказывании Гете слово насилие имеет иное значение: запрет ограничение свободы. Значит смысл этого высказывания заключается в том что обществ...
13699. Законы нужны не только для того, чтобы устрашать граждан, но и для того, чтобы помогать им 13.87 KB
  Законы нужны не только для того чтобы устрашать граждан но и для того чтобы помогать им Вольтер /Правоведение/ Я согласна с Вольтером. Действительно система законодательства в государстве создана именно с этой целью. Вся система законов направлена на то чтобы упоряд...
13700. Имею право или обязан 14.15 KB
  Имею право или обязан Конституция РФ предусматривает как соблюдение прав так и соблюдение обязанностей всех людей находящихся на территории РФ. Но что же всётаки первично: права или обязанностиВозьмём Конституцию. Статья 30 гласит: Каждый имеет право на объединени...
13701. Когда гремит оружие, законы молчат 14.46 KB
  Когда гремит оружие законы молчат. Цицерон Данная мудрость высказанная Цицероном является из по кон веков актуальной ведь проблема войны и мира всегда волновала человечество. Всего 250 лет на Земле царил мир и это дает повод задуматься. Каждый день происходят локальн
13702. Совесть есть закон законов 14.25 KB
  Совесть есть закон законов Ламартин Французский поэт и историк Ламартин ставит совесть выше закона. В данном эссе я решила проанализировать эту точку зрения и выяснить так ли это на самом деле. Стоит отметить что я придерживаюсь той же позиции что и Ламартин и что мо
13703. Обществознание Я считаю обязательным для каждого бесприкословно и неуклонно повиноваться законам 14.21 KB
  Я считаю обязательным для каждого бесприкословно и неуклонно повиноваться законам Сократ Эссе:В своем высказывании Сократ говорил о верховенстве права в обществе. Предположим если в обществе граждане отказываются повиноваться законам это приведет к росту преступн