18301

НЕРІВНОСТІ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 28 НЕРІВНОСТІ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ Нерівності з однією змінною як предикат та їх основні характеристики. Рівносильні нерівності. Теорема про рівносильність нерівностей та наслідки з них. Лінійні нерівності з однією змінною та їх розв’язування з аналі...

Украинкский

2013-07-07

204.5 KB

64 чел.

Лекція 28

НЕРІВНОСТІ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

  1.  Нерівності з однією змінною як предикат та їх основні характеристики.
  2.  Рівносильні нерівності. Теорема про рівносильність нерівностей та наслідки з них.
  3.  Лінійні нерівності з однією змінною та їх розв’язування (з аналізом використаної теорії).
  4.  Системи і сукупності нерівностей з однією змінною та їх розв’язання.
  5.  Нерівності в початковому курсі математики: підходи до означення, способи розв’язування.

Питання на самостійне опрацювання

Рівняння і нерівності з двома змінними

  1.  Рівняння з двома змінними як предикат і його основні характеристики. Графік рівняння.
  2.  Системи і сукупності рівнянь з двома змінними та способи їх розв’язування.
  3.  Нерівність з двома змінними як предикат і її основні характеристики. Графічне розв’язання нерівностей з двома змінними.
  4.  Системи та сукупності нерівностей з двома змінними та їх графічне розв’язування.

  1.  
    Нерівності з однією змінною як предикат

та їх основні характеристики

Нехай на множині М задано два вирази з однією змінною х: f(х) і q(х). Предикати виду

f(х) <  q(х),   f(х) >  q(х),

f(х)   q(х),    f(х)   q(х),

для яких потрібно знайти їх області істинності називаються нерівностями з однією змінною. Множина М називається областю визначення нерівності з однією змінною, а вирази f(х) і q(х) її частинами,  q(х) правою, f(х) – лівою. Якщо для нерівності з однією змінною не вказано область визначення, то її потрібно встановити. Вона є перерізом областей визначення виразів f(х) і q(х).

Область істинності предиката, що задає нерівність, називається множиною розв’язків нерівності з однією змінною, а кожне число, яке належить множині розв’язків, – розв’язком нерівності. Розв’язати нерівність з однією змінною – це значить знайти її множину розв’язків.

  1.  Рівносильні нерівності.

Теорема про рівносильність нерівностей та наслідки з них

Дві нерівності з однією змінною, визначені на множині М, називаються рівносильними на ній, якщо їх множини розв’язків збігаються. Якщо нерівності не мають розв’язків, то вони також рівносильні. З означення випливає, що рівносильність нерівностей залежить від їх області визначення. 3міна її може привести до порушення рівносильності. Наприклад, нерівності

(х – 2)(х + 3) > 0  і  х24 > 0

рівносильні на множині додатних дійсних чисел і нерівносильні на множині дійсних чисел, бо на множині R+ їх множина розв’язків рівна ]2; + ∞[, а на множині R перша нерівність має множиною розв’язків множину                        ] - ∞; – 3 [∪]2; + ∞ [, а друга – ] – ∞; – 2[ ] 2; + ∞ [.

Користуючись поняттями математичної логіки, можна дати означення, як і у випадку рівнянь, рівносильності нерівностей з однією змінною по-іншому. Дві нерівності з однією змінною, визначені на множині М, називаються рівносильними на ній, якщо кожна з них є логічним наслідком іншої.

Над нерівностями з однією змінною при їх розв’язуванні виконуються також перетворення, що базуються на застосуванні таких трьох теорем.

Теорема 1. Якщо до обох частин нерівності з однією змінною, визначеної на множині М, додати вираз, визначений на цій же множині, то одержиться нерівність того ж смислу рівносильна заданій на множині М.

► Нехай

f(х) <  q(х), х  М,                              (1)

дана нерівність, ϕ(х) – вираз, який додаємо до обох частин нерівності (1). Тоді

f(х) + ϕ(х) <  q(х) + ϕ(х), х  М                         (2)

є одержаною нерівністю.

Нехай х0 – довільний розвязок нерівності (1). Підставивши х0 у нерівність (1), одержимо істинну числову нерівність

                f(х0) <  q(х0).                                              (3)

До обох частин істинної числової нерівності (3) додамо числовий вираз  ϕ(х0) і на основі властивості 3, § 23 п.3, істинних числових нерівностей, одержимо істинну числову нерівність

       f(х0) + ϕ(х0)  <  q(х0) + ϕ(х0),                                (4)

яка означає, що х0 є розвязком нерівності  (2).

Отже, довільний розв’язок нерівності з однією змінною (1) є розв’язком нерівності (2), тобто нерівність (2) є логічним наслідком нерівності (1).

Нехай тепер х0 – довільний розвязок нерівності (2), тоді 

  f(х0) + ϕ (х0)  <  q(х0) + ϕ (х0),                                  (5)

є істинною числовою нерівністю. Віднявши від обох частин числової нерівності (5) числовий вираз  ϕ (х0), одержимо, на основі властивості 3 §23 п.3 істинних числових нерівностей, істинну числову нерівність 

f(х0)  <  q(х0),

яка означає, що х0 є розв’язком нерівності (1). Значить, довільний розв’язок нерівності (2) є розв’язком нерівності (1), тобто нерівність (1) є логічним наслідком нерівності (2).

Таким чином, кожна з нерівностей з однією змінною є логічним наслідком іншої, що й доводить їх рівносильність.     ◄

Наслідок 1. До обох частий нерівності з однією змінною можна додати (відняти) одне і те ж саме число і при цьому одержиться рівносильна їй нерівність того ж самого смислу.

Наслідок 2. Члени нерівності з однією змінною можна переносити з однієї частини в іншу з протилежним знаком, при цьому одержиться нерівність рівносильна заданій того самого смислу.

Теорема 2. Якщо обидві частини нерівності з однією змінною, визначеної на множині М, помножити на вираз, який додатний для всіх чисел із множини М, то одержиться нерівність тогож самого смислу, рівносильна заданій на множині М.

Доведення теореми 2 аналогічне доведенню теореми 1, тільки при цьому використовується властивість 6, § 23 п. З істинних числових нерівностей.

Наслідок 3. Обидві частини нерівності з однією змінною можна помножити (поділити) на одне і те ж додатне число, при цьому одержиться нерівність того к самого смислу, рівносильна заданій.

Теорема 3. Якщо обидві чатини нерівності з однією змінною, визначеної на множині М, помножити на вираз, який від’ємний для всіх чисел із множини  М, і знак нерівності змінити на обернений, то одержиться нерівність, рівносильна заданій на множині М .

Доведення теореми 3 аналогічне доведенню теорем 1 і 2, тільки при цьому використовується властивість 7 § 23 п.З істинних числових нерівностей.

Наслідок 4. Обидві частини нерівності з однією змінною можна помножити (поділити) на одне і теж від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на обернений, при цьому одержиться нерівність рівносильна заданій,

Задача 1. Не розвязуючи нерівностей

3х + 2 > 5  і    3х + 2 + > 5 + ,

вказати, на яких множинах і на основі яких тверджень вони рівносильні .

► Нерівність   3х + 2 > 5  визначена на множині  М1 = ] – ∞;  +  ∞[.

Нерівність 3х + 2 + > 5 + , визначена всюди, де х – 6 ≠ 0, тобто, коли х ≠ 6. Отже, область її визначення є множина М2 =] – ∞;  6 [] 6;  +  ∞ [. . Оскільки  М2  М1, то перша нерівність буде також визначена на множині М2. Друга нерівність одержана з першої додаванням до обох її частин виразу , який визначений на множині М2.  За теоремою 1 про рівносильність нерівностей одержуємо, що дані нерівності будуть рівносильними на множині

М2 = ] – ∞; 6 [] 6;+ ∞ [.◄

  1.  
    Лінійні нерівності з однією змінною та

їх розв’язування (з аналізом використаної теорії)

Нерівність виду

   а1 х + b1  >  а2 х + b2,        а1, а2, b1, b2, х  R ,                               (1)

називається лінійною нерівністю з однією змінною. Замість знака " > " можна взяти один із знаків " < ", "", " ".

Для знаходження розв’язків лінійної нерівності з однією змінною скористаємося наслідками теореми 1 і перенесемо члени, що містять змінну, в ліву частину нерівності, а вільні члени – в праву частину та зведемо подібні члени. Дістанемо нерівність виду

                 ах > b,                                                     (2)

яка рівносильна нерівності (1).

Якщо а ≠ 0, то лінійна нерівність (2) називається нерівністю першого степеня.

При розв’язуванні нерівності (2) можливі випадки:

1) а > 0, тоді, за наслідком 3 з теореми 2, нерівність (2) буде рівносильною нерівності

х > ,

розвязком якої, а отже, і заданої нерівності, будуть числа проміжку     ] ; + ∞ [.

2) а < 0, тоді, за наслідком 4 з теореми 3, нерівність (2) буде рівносильна нерівності  

х < ,

розвязками якої, а значить, і заданої нерівності, будуть числа проміжку                ] –∞;  [.

3) а = 0 і b < 0, тоді нерівність (2) матиме вид

0  х > b,

яку задовольняє будь-яке дійсне число, бо добуток нуля і довільного дійсного числа дорівнює нулю, який більший за будь-яке відємне число. Отже, в цьому випадку нерівність має своєю множиною розв’язків множину дійсних чисел R.

а = 0 і b 0, тоді нерівність (2) матиме вид

0  х > b,

яка не матиме розвязків, бо добуток нуля і довільного дійсного числа дорівнює нулю, який не є більшим за будь-яке невідємне дійсне число. Значить нерівність (2) в цьому випадку розв’язків не має.

Задача 2. Розвязати нерівність

3х + 4 – 6х + 5 > 8х – 3 – 4х + 5.

► Користуючись наслідками з теорем про рівносильність нерівностей, будемо мати

3х – 6х – 8х + 4х  > – 3 + 5 – 4 – 5 – 7х > – 7   х <  х < 1.

Відповідь: х  ] – ∞; 1 [.◄

Програма початкової школи передбачає лише ознайомлення з поняттям нерівності з однією змінною, розвязують їх шляхом підбору.

Задача 3. Знайти цілі невід’ємні розв’язки нерівності

2х < 7.

► Для знаходження розв’язків даної нерівності скористаємося тим, що її ліву частину можна розглядати як добуток чисел 2 і х. Отже, потрібно знайти цілі невід’ємні числа, добуток яких з числом 2 менший 7. Такими числами є 0, 1, 2 і 3. Таким чином дана нерівність у множині цілих невідємних чисел має чотири розвязки: 0, 1, 2. 3.

 Відповідь: х { 0. 1, 2, 3}.   ◄ 

  1.  Системи і сукупності нерівностей з однією змінною та їх розв’язання

Тому що нерівності з однією змінною є предикатами, то над ними можна виконувати  всі операції логіки висловлень, зокрема диз’юнкцію і кон’юнкцію.

Диз’юнкція кількох нерівностей з однією змінною, які визначені на множині М, називається сукупністю нерівностей з однією змінною (позначається квадратною дужкою зліва). Кон’юнкція кількох нерівностей з однією змінною, що визначені на множині М, називається системою нерівностей з однією змінною (позначається фігурною дужкою зліва).

Поняття, що стосуються сукупностей і систем нерівностей з однією змінною встановлюються на основі властивостей диз’юнкції і кон’юнкції предикатів.

Область визначення сукупності (системи) нерівностей з однією змінною дорівнює перерізу областей визначення нерівності сукупності (системи). Множина розв’язків сукупності (системи) нерівностей з однією змінною дорівнює об’єднанню (перерізу) множин розв’язків кожної з нерівностей сукупності (системи).

Для знаходження множини розв’язків сукупності (системи) нерівностей з однією змінною потрібно розв’язати кожну з нерівностей, а потім знайти об’єднання (переріз) одержаних множин. Це й буде множина розв’язків сукупності (системи) нерівностей. Наприклад, множиною розв'язків сукупності нерівностей

буде множина R, бо перша нерівність має  розв’язками проміжок [2; + [, а друга – проміжок ]  ; 7[; множина розв'язків системи нерівностей

є проміжок [2; 7 [.

Як і при розв’язуванні рівнянь і нерівностей з однією змінною, так і при розв’язуванні сукупностей і систем нерівностей важливу роль відіграє поняття рівносильності. Поняття рівносильності розглянемо лише для систем нерівностей з однією змінною, для сукупності нерівностей всі твердження будуть аналогічними, тільки відповідно сформульованими.

Системи нерівностей з однією змінною, що визначені, на множині М, називаються рівносильними на ній, якщо їх множини розв’язків збігаються. Якщо системи не мають розвязків, то вони також вважаються рівносильними. Рівносильність систем нерівностей з однією змінною залежить від їх області визначення: зміна її може привести до порушення рівносильності. Наприклад, системи нерівностей

     і         

рівносильні на множині додатних дійсних чисел і нерівносильні на множині дійсних чисел, бо на множині R+ множинами розв’язків є числовий проміжок   ]2; + [, а на множині R розв'язками першої системи є множина] – ∞;  – 3[]2; + [,  а другої  – ] – ∞;   -4[ ]2; + [.

Скористувавшись теоремами про рівносильність нерівностей з однією змінною, неважко довести теорему.

Теорема 4. Якщо в системі нерівностей з однією змінною хоч одну з нерівностей замінити на їй рівносильну, то одержиться система нерівностей рівносильна заданій на її області визначення.

Задача 4. Розвязати нерівність

► Областю визначення нерівності будуть всі дійсні числа, що задовольняють умові 3х + 8 0. Зведемо нерівність до простішого виду, користуючись теоремами про рівносильність нерівностей та  наслідками з них.

Одержана нерівність, на підставі залежності знаку частки від ділення двох довільних дійсних чисел, буде рівносильна сукупності систем нерівностей

                  і                         .

Щоб розвязати сукупність систем нерівностей з однією змінною, потрібно розв’язати кожну нерівність системи. Після цього знайти переріз множин розв’язків нерівностей кожної системи, а потім об'єднати множини розв'язків систем нерівностей. Одержана множина і буде множиною розвязків даної сукупності систем нерівностей.

          ⇔          

Для знаходження множини розв’язків першої системи сукупності, зобразимо множину розв’язків кожної нерівності цієї системи на координатній прямій і знайдемо їх переріз, мал. 1.

               –                0      1                      4

                                                                х

                                        

                                     Мал. 1

Звідси одержуємо, що множина розв’язків першої системи є порожньою. Аналогічно поступаємо і при знаходженні множини розвязків другої системи, мал. 2.

                                                                                              х

                                   0                              4           

Мал. 2

Одержуємо, що множиною розвязків другої системи є числовий проміжок ] – ; 4]. Об’єднання знайдених множин буде числовим проміжком   ] – ; 4] .

Відповідь: ] – ; 4] .   ◄                        

Задача 5. Розвязати нерівність

4х2 – 10х +7 < 6х2х + 2.

►Областю визначення даної нерівності є множина дійсних чисел R. Користуючись теоремами про рівносильність нерівностей та наслідками з них, задану нерівність можна спростити,

4х2 – 10х + 7 – 6х2 + х – 2 < 0    – 2х2 – 9х + 5 < 0 2х2 + 9х – 5 > 0.

Одержали квадратну нерівність. Розвязування її зводиться до знаходження множини значень змінної х, при якій квадратний тричлен  з додатним старшим коефіцієнтом (у даному випадку коефіцієнт дорівнює 2) більший за нуль. Для цього знайдемо його дискримінант і корені, якщо вони існують:

D = b2 4ас = 92 – 4 · 2 · ( – 5) = 121 = 112, D > 0, а тому квадратний тричлен має два дійсні і різні корені

х1 =  і     х2 = .

Як відомо графіком квадратного тричлена є парабола, вітки якої спрямовані вгору, якщо старший коефіцієнт додатний, і яка перетинає вісь Ох  у точках х1 = – 5 і  х2 = . Накреслимо схематично графік квадратного тричлена, мал. 3, і за його допомогою знайдемо множину значень змінної х, при якій він розміщений над вісссю Ох. Ця множина і буде складати множину розвязків даної нерівності.

Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання двох числових проміжків ] – ∞; – 5 [ і .

                                                     Мал.3

Розвязати нерівність

2х2 + 9х – 5  > 0

можна також на підставі залежності знаку добутку двох довільних дійсних чисел від множників. Для цього розкладемо квадратний тричлен 2х2 + 9х – 5   на лінійні множники

2х2 + 9х – 5 = 2( х + 5 ) ( х – ) = ( х + 5 ) ( 2х – 1 ).

Значить,

2х2 + 9х – 5 > 0 ( х + 5 ) ( 2х – 1 ) > 0.

Одержана нерівність буде рівносильна сукупності систем нерівностей

  і     

Знайдемо їх розвязки.

Таким чином, сукупність систем  нерівностей має множиною розвязків обєднання двох числових множин ]; – 5 [ і ] ; + [ .

Відповідь: х ]; – 5 [  ] ; + [ .    ◄        

  1.  Нерівності в початковому курсі математики:

підходи до означення, способи розв’язування


Питання на самостійне опрацювання

Рівняння і нерівності з двома змінними

  1.  Рівняння з двома змінними як предикат і його основні характеристики. Графік рівняння

Поняття рівняння з однією змінною можна узагальнити на випадок рівняння з кількома змінними. Всі твердження для рівнянь з однією змінною матимуть місце і для рівнянь з кількома змінними лише відповідно сформульовані. Розглянемо це на прикладі рівнянь з двома змінними.

Нехай на множині М = Мх × Mу задано два вирази f(x) і q(х,у) з двома змінними. Предикат

f(x, у) = q(х, у),     (х, у) М,

для якого потрібно знайти область істинності, називається рівнянням з двома змінними.

Областю визначення рівняння з двома змінними називається область визначення предиката, що задає рівняння. Вона дорівнює перерізу областей визначення виразів f(x) і q(х,у).

 Множиною розв’язків рівняння з двома змінними називається область істинності предиката, що задає рівняння, а кожна впорядкована пара з цієї множини – його розв’язком. Розвязати рівняння з двома змінними – це значить знайти множину його розвязків.

Якщо в рівнянні з двома змінними всі коефіцієнти членів, що містять змінні, і вільний член рівні нулю, то довільна пара дійсних чисел буде його розв’язком. Якщо ж всі коефіцієнти членів, що містять змінні, рівні нулю, а вільний член відмінний від нуля, то таке рівняння не має розв’язків. Тому розглядаються рівняння, в яких хоч один із коефіцієнтів членів, що містять змінні, відмінний від нуля. Для одержання розв’язків такого рівняння одній із змінних, наприклад у, надають довільне значення у0 з множини Му, отримують рівняння з однією змінною х. Розв’язують його. Кожне знайдене значення х0, якщо воно існує, змінної х разом із значенням у0 складають розв’язок даного рівняння з двома змінними. Оскільки значення однієї із змінних вибиралось довільно, то в більшості випадків рівняння з двома змінними має безліч розв’язків, причому одна з його компонент вибирається довільно. Наприклад, рівняння

х2у = 0

має безліч розв’язків виду (, а) або ( – , а), де а > 0;

рівняння

х2+ у2 = 0

 має єдиний розвязок (0; 0); а рівняння

х2+ у2= -1

не має розвязків.

Кожному розв’язку рівняння з двома змінними на координатній площині ставиться у відповідність одна і тільки одна точка, координати якої збігаються з розв’язком. Множина всіх таких точок називається точковим графіком (коротше графіком) рівняння з двома змінними. В більшості випадків графіком рівняння з двома змінними є лінія на координатній площині.

Поняття лінії є неозначуваним у нашому курсі. Уявлення про неї можна одержати, розглядаючи, наприклад, довільно зігнутий кусок дроту. В математиці лінію розглядають як множину точок площини (простору), що мають певну, спільну для всіх цих точок, властивість. Знайомство з окремими видами ліній, таких, наприклад, як пряма, коло, парабола, еліпс тощо, передбачено шкільним курсом математики.

Рівняння з двома змінним називається рівнянням лінії на координатній площині, якщо:

1) кожний розв’язок рівняння є координатою точки лінії;

2) координати кожної  точки лінії є розв’язком рівняння.

Рівняння лінії може бути складним і задати його буває важко, але воно дає змогу встановлювати по його розв’язках властивості лінії, тобто вивчення геометричних властивостей лінії здійснювати алгебраїчними методами.

Практично розв’язуються дві задачі: спочатку за деякою однією геометричною властивістю лінії знаходять її рівняння, а потім за допомогою цього рівняння вивчають інші властивості даної лінії. Будувати лінію іноді зручніше на основі її геометричних властивостей, а іноді – за допомогою рівняння.

Розглянемо на прикладі кола, як виводиться рівняння лінії.

Колом із заданими центром у точці С і радіусом r називається множина точок площини, відстань яких від точки С площини дорівнює числу r (позначається K [ C; r ] ).

На площині задамо довільну прямокутну систему координат О х у. Коло K [C; r]) може бути розміщено довільно по відношенню до системи координат. Нехай точка С(а,b) його центр і  М(х, у) – довільна точка кола у вибраній системі координат, мал. 1.

Мал. 1

Тоді СМ = r. За формулою відстані між двома точками на координатній площині знайдемо

СМ =

або

                   = r.                                       (1)

Тому що r > 0 і  х, у  R: (х – а)2 + (у – b)2  0, то рівняння (1) буде рівносильне рівнянню

                (х – а)2 + (у – b)2 = r2.                                         (2)

Отже, якщо точка М(х, у) лежить на колі К[C(a. b); r] , то її координати є розвязком рівняння (2).

Навпаки, нехай (х0,у0) – будь-який розвязок рівняння (2), тобто

(х0 – а)2 + (у0 b)2  =  r2.

Звідси одержуємо, що

(х0 – а)2 + (у0 b)2 = r.

а це значить, що відстань від точки М (х0, у0) до точки С(а, b) дорівнює r . А тому точка М (х0, у0) лежить на колі К[C(a. b); r]. Таким чином, має місце теорема.

Теорема 5. У прямокутній системі координат Оху  рівняння кола радіусом r і з центром в точці С(а, b) може бути записане у вигляді

                       (х – а)2 + (у – b)2 = r2.                                   (2)

Зокрема, коло з центром у початку координат має рівняння

х2 + у2 = r2.

Рівняння (2) називається зведеним (канонічним) рівнянням кола. Якщо в ньому розкрити дужки, то одержиться рівняння другого степеня з двома змінними, яке називається загальним рівнянням кола.

Але не кожне рівняння другого степеня з двома змінними є рівнянням кола на площині. Так, рівняння  у = х2  визначає лінію, яка називається квадратною параболою.


Задача 9. Довести, що рівняння

х2 + у2 + 4х – 8у + 11 = 0

є рівнянням кола. Знайти його центр і радіус.

► Щоб довести, що дане рівняння є рівнянням кола, потрібно звести його до канонічного виду. Для цього в лівій частині рівняння виділимо повні квадрати

х22 + 4х – 8у + 11 = (х2 + 2 ∙ 2х + 4) + (у22 ∙ 4у + 16) – 4 – 16 + 11=    = (х + 2)2 + (у – 4)29.

Отже,

(х + 2)2 + (у – 4)29 = 0  або  (х + 2)2 + (у – 4)2 = 32.

А це і є канонічним рівнянням кола з радіусом 3 і центром (–2 ; 4), мал. 2.

Мал. 2 ◄

До найпростіших ліній на площині належить пряма, яка задається  рівнянням першого степеня з двома змінними:

ах + bу = с,   а, b, с, х, у  R,

де а і b одночасно не дорівнюють нулю, тобто а2 + b2 0.

  1.  
    Системи і сукупності рівнянь з двома змінними

та способи їх розв’язування

Сукупністю рівнянь називається диз’юнкція рівнянь (позначається квадратною дужкою зліва).

Системою рівнянь називається кон’юнкція рівнянь (позначається фігурною дужкою зліва).

Поняття, що стосуються сукупностей і систем рівнянь встановлюється на основі властивостей диз’юнкції і кон’юнкції предикатів. Область визначення сукупності (системи) рівнянь дорівнює перерізу областей визначення рівнянь сукупності (системи) Множина розв’язків сукупності (системи) рівнянь дорівнює об’єднанню (перерізу) множин розв’язків кожного з рівнянь сукупності (системи). Для знаходження множини розв’язків сукупності (системи) рівнянь потрібно розв’язати кожне з її рівнянь, а потім знайти об’єднання (переріз) одержаних множин. Вона і буде множиною розв’язків сукупності (системи) рівнянь. Наприклад множиною розв’язків сукупності рівнянь

буде { – 2 ; 2; 3}, бо перше рівняння має розв’язками числа – 2 і 2, а друге рівняння – 2 і 3; а множиною розв’язків системи рівнянь 

буде { 2 } .

Число рівнянь і змінних у сукупностях (системах) може бути довільним. Сукупність (система) рівнянь, що не має розв’язків, називається несумісною.

Як при розв’язуванні рівнянь, так і при розв’язуванні систем рівнянь, важливу роль відіграє поняття рівносильності. Системи рівнянь із спільною областю визначення називаються рівносильнимн на ній, якщо множини їх розв’язків збігаються. Якщо системи не мають розв’язків, то вони також вважаються рівносильними. Рівносильність систем рівнянь залежить від їх області визначення: зміна її може привести до порушення рівносильності. Наприклад, системи рівнянь

         і                  

рівносильні на множині натуральних чисел і нерівносильні на множині цілих чисел, бо на множині натуральних чисел їх множинами розв’язків є множина {2}, а на множині цілих чисел множиною розв’язків першої системи є множина  {2}, а другої – {2, – 3}.

Скориставшись теоремами про рівносильність рівнянь можна довести теорему.

Теорема 6. Якщо в системі рівнянь хоч одне рівняння замінити йому рівносильним, то одержиться система рівнянь рівносильна даній на її області визначення.

Існують алгебраїчні і геометричні способи розв'язування систем рівнянь. Розглянемо їх на прикладі систем рівнянь з двома змінними. Алгебраїчні способи полягають у тому, що систему рівнянь за допомогою перетворень замінюють рівносильною їй системою, в якій одне з рівнянь містить лише одну змінну або всі коефіцієнти членів, що містять змінні, дорівнюють нулю. Розвязки такої системи, якщо вони існують, легко знайти. Вони і будуть розв’язками даної системи рівнянь. З алгебраїчних способів найбільш вживаними є способи алгебраїчного додавання і підстановки, які відомі ще з шкільного курсу математики.

Геометричний спосіб розв’язування системи рівнянь із двома змінними полягає в тому, що на координатній площині будують лінії, які визначаються кожним із рівнянь системи. Координати точок перетину цих ліній і будуть розв’язками системи. Якщо лінії не перетинаються, то система несумісна.


Задача 10.
Розвязати алгебраїчно систему рівнянь

.

► Перше рівняння системи є рівнянням першого степеня. Виразимо з нього х через у :

х = у – 3.

Підставимо вираз у – 3   замість х у друге рівняння системи. Дістанемо рівняння

2(у – 3)2у2 + 3(у – 3) – у – 9 = 0,

яке, після розкриття дужок і зведення подібних членів запишеться

у210у = 0.

Воно має два корені у1 = 0 і у2 = 10.

Підставимо ці числа у вираз  у - 3  замість у, одержимо х1 = – 3 і х2 = 7. Отже, дана система рівнянь має два розвязки:

х1 = – 3, у1 = 0  і  х2 = 7,  у2 = 10.

Відповідь: {(– 3; 0),  (7; 10)}.◄

Задача 11. Розвязати графічно систему рівнянь:

► Задамо на площині довільну прямокутну систему координат Оху і побудуємо на координатній площині лінії, що визначаються рівняннями даної системи. Графіком першого рівняння х2 + у2 = 4  є коло з центром у початку координат і радіусом r = 2. Графіком другого рівняння х + у = 2   є пряма, мал. 3

                                                               у   

                                                              В(0;2)

                                                                                А(2;0)

                                                                                                               х   

                                                     Мал. 3

Точки перетину ліній позначимо А(0; 2) і  B(2; 0). Значить, система рівнянь має два рояв’язки: (0; 2) і (2; 0).

Відповідь:  {(0; 2), (2; 0)}.     ◄

  1.  Нерівність з двома змінними як предикат і її основні характеристики. Графічне розв’язання нерівностей з двома змінними

Поняття нерівності з однією змінною можна узагальнити на випадок нерівності з кількома змінними. Всі твердження для нерівності з однією змінною матимуть місце і для нерівностей з кількома змінними, тільки відповідно сформульовані. Розглянемо це на прикладі нерівності з двома змінними.

Нехай на множині М = Мх x Му задано два вирази  f( x, y ) і q( x, y ) з двома змінними х і у. Предикати виду

f( x, y ) < q( x, y ),         f( x, y ) > q( x, y ),

f( x, y ) q( x, y ),         f( x, y )  q( x, y  ),  ( x, y )   Мх x Му,

для яких потрібно знайти області істинності, називаються нерівностями з двома змінними.

Областю визначення нерівності з двома змінними називається область визначення предиката, що її задає. Вона рівна декартовому добутку множин Мх і Му, які є областями визначення змінних х і у відповідно.

Область істинності предиката, що задає нерівність з двома змінними, називається множиною розв’язків нерівності з двома змінними, а впорядкована пара чисел із цієї множини – її розв’язком. Розвязати нерівність з двома змінними – це значить знайти множину її розвязків. Знаходження її для нерівностей з двома змінними становить певні труднощі. Тому зручно користуватися геометричним методом, бо за допомогою нього її можна наочно зобразити. Розв’язки нерівності з двома змінними задають деяку множину точок на координатній площині, яку визначають за допомогою рівняння, що отримується з даної нерівності заміною її знака на знак рівності. Встановлення цієї множини і становить суть геометричного (графічного) способу розвязування нерівності з двома змінними. Точки графіка одержаного рівняння будуть належати множині розв’язків даної нерівності тільки тоді, коли вона   нестрога. У цьому випадку на координатній площині графік рівняння зображається суцільною лінією, в іншому – пунктирною.

Розглянемо геометричний спосіб розвязування нерівності на прикладі нерівності першого степеня з двома змінними виду

ах + bу + с > 0,  а, b, с  R,

де а і b одночасно не дорівнюють нулю.

Розв’язавши нерівність відносно однієї із змінних, наприклад y, якщо b ≠ 0, дістанемо нерівність

          у >,                                                  (1)

якщо b > 0, або

            y <  ,                                                    (2)

якщо b < 0. Рівняння

у =

визначає на координатній площині пряму, яка ділить площину на дві півплощини: півплощину (І), розміщену вище від прямої, і півплощину (II). розміщену нижче від прямої, мал. 4.

                                                      у                                                        

               

                                                                                                                                         

                                                                                                                 х

Мал. 4

Геометрично множина всіх розвязків нерівності (1) зобразиться множиною точок півплощини (І), а нерівності (2) – множиною точок півплощини (II).

Говорять також, що нерівність (1) визначає півплощину (І), а нерівність (2) – півплощину (ІІ).

Задача 6. Розвязати нерівність графічно

2х – у + 3 > 0.

►  Розвязавши дану нерівність відносно змінної у, дістанемо

рівносильну їй нерівність

у < 2х + 3.

Множина розвязків даної нерівності геометрично зобразиться півплощиною координатної площини, яка розміщена нижче від прямої                у = 2х+ 3, мал.5.

                                                          у

                                                          0    1                                                     х         

                                                  

Мал. 5

Відповідь: розв’язками даної нерівності є координати точок півплощини, які розміщені нижче прямої  у = 2х + 3.    ◄

  1.  
    Системи та сукупності нерівностей з двома змінними

та їх графічне розв’язування

Поняття системи і сукупності нерівностей з однією змінною та твердження про них узагальнюються на випадки нерівностей з кількома змінними, зокрема для двох змінних, лише відповідно сформульовані.

Задача 7. Розвязати графічно систему нерівностей

►Кожну нерівність даної системи розв’яжемо відносно змінної y. При цьому дістанемо, на основі теореми 4, рівносильну їй систему                

Розв’язками першої нерівності системи буде множина точок півплощини на координатній площині, які розміщені нижче прямої у = 2х + 3, і точки самої прямої, бо нерівність нестрога.

Розвязками другої нерівності системи буде множина точок півплощини, що розміщені нижче прямої   у = –  

Розвязкамя третьої нерівності системи буде множина точок півплощини,

розміщених вище прямої у = .

Розвязками даної системи буде переріз усіх трьох одержаних множин, мал. 6.

 

                                                   В

                                                                                С

                                                        0   1                                      х

                                 

                                        А                    

                                                         у

Мал. 6

Звідси видно, що їх перерізом буде множина точок координатної площини, які знаходяться всередині трикутника АВС, вершинами якого є точки  перетину прямих у = 2х + 3,   у = – ,  у= і точки сторони АВ , за винятком точок А і В.  ◄


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4731. Проблемы отклонения социального поведения личности в условиях российского общества 94.5 KB
  Введение Девиантное поведение, понимаемое как нарушение социальных норм, приобрело в последние годы массовый характер и поставило эту проблему в центр внимания социологов, социальных психологов, медиков, работников правоохранительных органов. Опреде...
4732. Расчет стержневой конструкции на сложное сопротивление 135 KB
  Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы. Дано подробное решение стержневой конструкции на сложное сопротивление. Приведена исходная схема конструкции, построены эпюры поперечных и нормальных сил, а также...
4733. Соціологія, як наука. Її місце в системі наук 910.96 KB
  Предмет соціології та її місце в системі суспільної науки. Структура та функції соціології. Мета вивчення соціології. Societas – суспільство. Logos – наука...
4734. Современные проблемы отечественной энергетики 49.5 KB
  Введение В данном реферате отображены некоторые проблемы, стоящие перед энергетическим сектором страны, и возможные пути их решения. В работе рассмотрены вопросы выработки ресурса энергетического оборудования, эксплуатирующегося в РАО ЕЭС России...
4735. Стены из облегченной кладки 110 KB
  Стены из облегченной кладки Выполнение наружных стен зданий из облегченной кладки с утеплителями, позволяет существенно уменьшить расход кирпича и цемента, а также повысить сопротивление стен теплопередаче, что уменьшает расход топлива. Рекомендуетс...
4736. Системы автоматической посадки самолетов для XXI века 60 KB
  Системы автоматической посадки самолетов для XXI века Катастрофа в августе 1997 года. самолета Boeing-747, выполнявшего заход на посадку по неточной системе посадки (non-precision) ночью в сложных метеоусловиях на ВПП 06L международного аэропорта...
4737. Основы технологии производства установок ЛА 8.68 MB
  Основы технологии производства установок ЛА. Основные понятия и определения. Процесс изготовления изделия проходит много этапов, начиная с добычи руды (продукт природы) и превращения её на металлургических предприятиях в металл или по...
4738. Конденсаційні установки. Замкненість пароводяного циклу ТЕС та АЕС 1.09 MB
  Конденсаційні установки Замкненість пароводяного циклу ТЕС та АЕС досягається конденсацією відпрацьованої пари у конденсаційній установці (конденсаторі). Цей процес відбувається при постійному тискові завдяки передачі тепла конденсації пари во...
4739. Применение уравнения Шредингера 120.5 KB
  Применение уравнения Шредингера Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Пусть в одномерном пространстве создано силовое поле, потенциальная энергия которого бесконечна везде, кроме области...