18302

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ГЕОМЕТРІЇ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 29 ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ГЕОМЕТРІЇ Короткі історичні відомості про виникнення геометрії. Система геометричних понять шкільного курсу геометрії. Поняття про геометричну фігуру. Ламана та її основні характеристики. Плоскі геометричні фігури ламана...

Украинкский

2013-07-07

95 KB

39 чел.

Лекція 29

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ГЕОМЕТРІЇ

  1.  Короткі історичні відомості про виникнення геометрії.
  2.  Система геометричних понять шкільного курсу геометрії.
  3.  Поняття про геометричну фігуру.
  4.  Ламана та її основні характеристики.
  5.  Плоскі геометричні фігури (ламана, многокутник, коло, круг).

Питання на самостійне опрацювання

Побудова плоских геометричних фігур за допомогою циркуля і лінійки.

Задачі на побудову.

  1.  Короткі історичні відомості про виникнення геометрії

Геометрія є частиною математики. Вона вивчає просторові форми та відношення між геометричними фігурами, абстрагуючись від їх властивостей (щільність, маса, колір тощо). Своєрідність геометрії в тому, що вона поєднує просторову уяву зі строгою логікою. Слово "геометрія" походить від грецьких слів "гео" – Земля і "метріо" – міряти. На нашу мову його можна перекласти як "землевимірювання"; цей термін так і зберігся, хоча вже Арістотель (384-322 рр до н.е.) для землевимірювання ввів термін "геодезія".

Виникла геометрія глибокої давнини у зв’язку з практичними потребами людини, а саме: вимірювання відстаней, площ земельних ділянок, об’ємів тіл тощо. Простіші геометричні відомості нагромаджувалися поступово. Так, із Стародавнього Єгипту дійшов твір, який називається папірусом Ахмеса (за ім’ям переписувача), в якому знаходяться задачі (близько 84) на обчислення площ прямокутника, трикутника, трапеції. Геометричні твердження формулювались тоді у вигляді правил, логічні доведення яких або були відсутні зовсім, або досить примітивними. Від 7 ст. до нової ери й до першого століття нової ери розвиток геометрії, про який відомо сучасній науці, проходив в основному в Стародавній Греції. Тут встановлюються основні відомості про метричні відношення в трикутнику, вимірювання площ і об’ємів, пропорції та подібні фігури, задачі на побудову. В цей час з’являються вже порівняно строгі доведення геометричних тверджень, намагання систематизувати одержані відомості. Саме поняття про доведення було сформульоване в працях старогрецького філософа   Арістотеля.

У 3 ст. до н.е. роботу старогрецьких математиків систематизував Евклід у своїй відомій праці "Начала". В ній були введені основні поняття геометрії та сформульовані основні положення (аксіоми або постулати) про них, із яких за допомогою логічних міркувань встановлюються властивості геометричних фігур. Цей твір започаткував аксіоматичний метод у математиці.

Після Стародавньої Греції лише епоха Відродження поклала початок нового етапу в розвитку культури і науки, в тому числі геометрії. Для потреб зображення просторвих фігур розвивається теорія перспективи, створюються нові геометрії, зокрема нарисна і проективна. Новий підхід до розв'язування геометричних задач на основі використання методів алгебри і аналізу був запропонований французьким вченим Р. Декартом (1590 – 1650), що сприяло появі аналітичної та диференціальної геометрій.

В історії розвитку геометрії, як і математики в цілому, можна виділити кілька етапів. Свої перші кроки геометрія робила як фізична наука, її положення описували результати різних спостережень відношень між фігурами та вимірювання геометричних величин. Потім, до другої половини 19 ст., предметом геометрії стають відношення і форми тіл простору, властивості яких описуються аксіомами, сформульованими Евклідом, тобто тієї геометрії, яку називають евклідовою і вивчають у школі. Евклідова геометрія настільки добре відображає властивості фізичних спостережень, що до 19 ст. вона ототожнювалася з реальним простором. В 1826 році російський математик М.І. Лобачевський (1792-1856) побудував геометричну теорію, яка дістала назву геометрії Лобачевського. Аксіоматики Евкліда і Лобачевського відрізняються лише аксіомами паралельності, що формулюються в них відповідно:

1) на площині через точку, яка не належать прямій, проходить не більше як одна пряма, що не перетинає дану пряму;

2) на площині через точку, яка не належить прямій, проходять принаймні дві прямі, що не перетинають дану пряму.

Геометрія Лобачевського логічно несуперечлива і істотно відмінна від геометрії Евкліда. Робота Лобачевського поклала початок створенню так званих неевклідових геометрій.

З розвитком геометрії предметом її вивчення стають все нові й нові відношення та форми дійсності. В сучасному розумінні геометрія вивчає будь-які відношення і форми, що виникають при розгляді однорідних об'єктів, які виявляються подібними із звичайними просторовими формами та відношеннями.

  1.  Система геометричних понять шкільного курсу геометрії

Елементи геометрії, внаслідок широкого її використання в практичній діяльності людини, вивчаються в школі з першого і до останнього класів. Вивчення геометрії розпадається на два великих концентри:

1) пропедевтичний курс (1-6  класи);

2) основний систематичний курс (7-11 класи).

Пропедевтичний курс можна назвати ще наочною (експериментальною) або фізичною геометрією. Тут передбачені наочне ознайомлення учнів з першими поняттями геометрії, оволодіння ними загальним поняттям геометричної фігури. Зокрема, учні початкової школи вивчають такі поняття як точка, відрізок, пряма, ламана, лінія, многокутник, коло, круг. Вони також встановлюють окремі характеристики і властивості геометричних фігур: довжина відрізка, периметр многокутника, площа деяких геометричних фігур тощо.

Вивчаючи геометричний матеріал, учні одночасно ознайомлюються з різними видами чисел і операцій над ними.

В 1-6 класах закладаються основи графічної культури – уміння будувати і читати графічні зображення, орієнтуватися в кресленнях, схемах і планах тощо. Вона потрібна людям всіх професій.

Учні цього віку з інтересом займаються графічною діяльністю, зацікавлено конструюють різноманітні фігури, використовуючи відомі їм елементи (коло, трикутник, квадрат тощо).

Корисним в плані формування графічної культури учнів 3-6 класів є, як показує досвід, вправи на побудову зображень за допомогою максимального використання геометричних фігур та їх елементів. Малюнки діти або вибирають із запропонованих їм, або придумують самі. Завдання можна урізноманітнити, розрізавши симетричні фігури по осях симетрії і запропонувавши учням добудувати ту чи іншу частину утвореної фігури. В процесі побудови діти вчаться раціонально розміщувати малюнки на аркушах паперу, додержувати пропорції, симетричності зображень, паралельності й перпендикулярності ліній, оволодівають правилами користування креслярськими інструментами, дізнаються про їх можливості та особливості. Малюнки, якими найзручніше займатися на позакласних заняттях, доцільно використовувати при вивченні геометричних фігур та іншого геометричного матеріалу.

Систематичний курс геометрії розпочинається за традицією з планіметрії (термін походить від латинського слова “площина” і грецького “міряти”), тобто з розділу, в якому вивчаються властивості фігур, що розміщені в одній площині. Потім переходять до вивчення властивостей фігур в просторі – стереометрії (термін походить від грецьких слів “простір” і міряти”).

В геометрії, як і в кожному розділі математики, є неозначувані (первісні) поняття. В підручнику сучасної школи виділено такі первісні поняття:

1) точка, пряма, площина, довжина відрізка та градусна міра кута;

2) належати (бінарне відношення), лежати між (тернарне або трійкове) відношення.

Неявними означеннями цих понять є система аксіом, які в підручнику спочатку називаються основними властивостями. Аксіоми розбито на дві групи:

1) аксіоми планіметрії (плоскої геометрії);

2) аксіоми стереометрії.

Аксіоми планіметрії поділяються на 5 груп.

1. Аксіоми належності точок і прямих:

1.1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать їй, і точки, що не належать їй.

1.2. Через будь-які дві різні точки проходить пряма і тільки одна.

2. Аксіоми взаємного роміщення точок на прямій і на площині:

2.1. З трьох різних точок прямої одна, і тільки одна, лежить між двома іншими.

2.2. Пряма розбиває множину точок площини що їй не належать, на дві підмножини, які називаються півплощинами, так, що відрізок, який з’єднує точки однієї півплощини, не перетинається з прямою, а відрізок, який з’єднує точки різних півплощин, перетинається з нею.

3. Аксіоми вимірювання відрізків і кутів:

3.1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин відрізків, на які він розбивається будь-якою своєю внутрішньою точкою.

3.2. Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

4. Аксіоми відкладання відрізків і кутів:

4.1. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один.

4.2. Від будь-якої півпрямої в даній півплощині можна відкласти кут із даною градусною мірою, меншою 180°, і тільки один.

4.3. Який не був би трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщенні відносно даної прямої.

5. Аксіома паралельності:

На площині через точку, що не належить прямій, проходить не більше як одна

пряма, яка не перетинає дану пряму.

Аксіоми стереометрії.

1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що їй не належать.

2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій.

3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них проходить площина, і до того ж тільки одна.

  1.  Поняття про геометричну фігуру

Одним із основних понять геометрії є поняття геометричної фігури або просто фігури. Уявлення про неї можна отримати, розглядаючи предмети та звертаючи увагу лише на їх розміри і форму. Простішими геометричними фігурами є точка, пряма і площина, властивості яких описуються системою аксіом. На основі теорії множин можна сформулювати означення геометричної фігури. Довільна непорожня множина точок називається геометричною фігурою.

Фігури поділяється на плоскі та просторові. Фігура називається плоскою, якщо всі її точки належать деякій площині (точка, пряма, відрізок, кут, площина).

Фігура називається просторовою, якщо не існує площини, якій би належали всі точки даної фігури. Найпростішою просторовою фігурою є фігура, що містить чотири точки, які не лежать в одній площині.

Надалі будемо вважати, що нам відомі такі фігури як відрізок, півпряма, кут, а також деякі їх властивості.

  1.  Ламана та її основні характеристики
  2.  Плоскі геометричні фігури (ламана, многокутник, коло, круг)

Серед простіших геометричних фігур чільне місце посідає ламана. Інтуїтивне поняття ламаної в нас є, але дати коректне її означення не дуже проста справа. На мал. 1 ламаними будуть фігури а), г) і д), фігури ж б) і в) ламаними не будуть. 

Ламаною лінією (ламаною) називається фігура, яка є об’єднанням не менше як двох відрізків А1А2, А2А3, …, Ап-1Ап   (позначається А1А2.…Ап-1Ап), кінці яких Аk  ( k = 1, 2, ... , п ) задовольняють умові: кожні три послідовні з них Аk, Аk+1, Аk+2 ( k = 1, 2, .... , п – 2) не лежать на одній прямій. В ламаній   А1А2.…Ап-1Ап називають:

1) точки А1, А2, .…, Ап вершинами:

2) вершини А1 і Ап – кінцями

3) вершини Аk, Аk+1 ( k = 1, 2, .... , п – 1) – суміжними:

4) відрізки Аk Аk+1ланками ( k = 1, 2, .... , п – 1);

ланки Аk, Аk+1, А k+1Аk+2  ( k = 1, 2, .... , п – 2) – суміжними. 

Ламана називається:

І) простою, якщо її несуміжні ланки не мають спільних точок;

2) замкненою, якщо її кінці збігаються.

Ламана може бути як плоскою, так і просторовою фігурою. У цьому параграфі будемо розглядати тільки плоскі ламані, не вказуючи на це.

Ламана називається опуклою, якщо всі ланки розміщені по один бік від прямої, що містить будь-яку з них.

Замкнена ламана називається многокутником, при цьому вершини ламаної називаються вершинами многокутника, а її ланки – сторонами многокутника. Зокрема, суміжні вершини ламаної, що задає многокутник, називаються суміжними вершинами многокутника, а суміжні ланки – суміжними сторонами многокутника. 

Якщо ламана А1А2.…АпАп+1 задає многокутник, тобто А1 і Ап+1 збігаються, то він позначається А1А2.…Ап.

Многокутник називається простим, якщо ламана проста; опуклим, якщо ламана опукла. Очевидно, що кожний опуклий многокутник є простим, але обернене твердження хибне. Так, наприклад, на мал. 2 із зображених трьох видів многокутників, многокутник б) є простим, але неопуклим.

         У кожному многокутнику число вершин дорівнює числу його сторін. Найменше можливе число вершин многокутника – три. Многокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма – чотирикутником і т.д., взагалі многокутник із п вершинами – енкутником (позначається  п-кутник).

Відрізок, що з’єднує дві несуміжні вершини многокутника, називається його діагоналлю. Очевидно, що в трикутнику діагоналей немає. В опуклому многокутнику кут, утворений двома його суміжними сторонами, називається кутом многокутника.

      

                                                                                                                   

                                                                           

                                        

                     

           

а)               б)                      в)                           г)                       д)

                                                Мал. 1

А1                          А4               А1                           А5        А1             А6          

                             А2                                      

     А2

                                                                                             А5

                       А4

                                          А3                              А3                            А4

   А2                          А3

                             

Мал. 2

У геометрії доводиться, що кожний простий многокутник розбиває множину точок площини, які не належать цьому многокутнику, на дві підмножини так, що дві точки належать одній і тій же підмножині тоді і тільки тоді, коли їх можна з’єднати ламаною, яка не перетне сторін даного многокутника. Одна з утворених підмножин характеризується тим, що вона містить деяку пряму, і цю підмножину називають зовнішньою областю многокутника. Друга підмножина називається внутрішньою областю многокутника. Названа властивість простого многокутника є частинним випадком так званої теореми Жордана. На мал. 3 внутрішні області многокутників заштриховано.

Мал.3

Зауважимо, що в геометрії здебільшого многокутником називається лише простий многокутник, а також часто під многокутником розуміють об’єднання многокутника з його внутрішньою областю.

Відміна між цими двома поняттями полягає в тому, що в першому випадку многокутник розглядається як лінія, а в другому – як частина площини, і тоді його іноді називають плоским многокутником. Зрозуміло, що не має сенсу говорити про те, яке з двох понять є більш “правильним, все залежить від змісту задач, що розглядаються.

Опуклий многокутник називається правильним, якщо в нього всі кути та всі сторони рівні між собою. Можна довести, що для довільного натурального числа п  3 існує правильний n-кутник.


Питання на самостійне опрацювання

Побудова плоских геометричних фігур за допомогою циркуля і лінійки.

Задачі на побудову.

Плоска геометрична фігура може бути задана своїми властивостями або елементами. Часто постає задача побудувати її. Побудова фігур на площині здійснюється за допомогою креслярських інструментів. Набори цих інструментів можуть бути різними. Побудова геометричних фігур за допомогою вказаного набору інструментів за даними елементами фігур називається задачею на побудову.

Розвязування таких задач полягає не стільки в побудові фігури, скільки в одержані відповіді на питання про те, як це зробити, і його обгрунтуванні. Задача вважається розв’язаною, якщо вказано спосіб побудови і доведено, що в результаті виконання побудов дійсно одержується фігура, яка задовольняє сформульованим умовам.

Розвязування задачі на побудову складається з чотирьох етапів:

1) аналізу, в якому шукаються шляхи виконання побудови;

2) побудови, де описується план виконання побудови шуканої фігури, а також виконується сама побудова;

3) доведення, в якому обґрунтовується, що побудована фігура є шуканою;

4) дослідження, де встановлюється, за яких умов задача має розв'язки і їх кількість.

З часів Стародавньої Греції в геометрії прийнято за основні креслярські інструменти лінійку та циркуль. Вони і сьогодні є основними креслярськими інструментами шкільного курсу геометрії. Кожний з них дає можливість розвязати певні геометричні задачі на побудову.

За допомогою лінійки, як інструмента геометричних побудов, можна побудувати:

1) довільну пряму;

2) довільну пряму, що проходить через задану точку;

3) пряму, що проходить через дві задані точки.

Ніяких інших побудов за допомогою лінійки робити не можна. Зокрема, не можна відкладати відрізки навіть тоді, коли на лінійці є поділки.

За допомогою циркуля, як інструмента геометричних побудов, можна побудувати:

1) коло довільного радіуса з центром в будь-якій точці;

2) коло довільного радіуса з центром у даній точці;

3) коло з даним радіусом і довільним центром;

4) коло з даними центром і радіусом;

5) відрізок, що дорівнює даному, на заданій прямій у даному напрямі.

За допомогою циркуля та лінійки можна розвязати значно більше задач на побудову. Серед них виділяють простіші задачі, які відомі з курсу математики середньої школи, на основі яких розвязуються інші задачі:

1) побудова суми двох відрізків;

2) побудова різниці двох відрізків;

3) поділ відрізка навпіл, або знаходження його середини;

4) поділ кута навпіл або проведення бісектриси кута;

5) побудова кута, що дорівнює даному;

6) побудова прямої, що проходить через задану точку і паралельна даній прямій;

7) побудова перпендикуляра з данаї точки до заданої прямої;

8) поділ відрізка на п рівних між собою частин;

9) побудова дотичної до кола з точки поза ним;

10) побудова дотичної до кола в даній точці кола;

11) побудова трикутника за трьома сторонами;

12) побудова трикутника за двома сторонами і кутом між ними;

13) побудова трикутника за стороною і двома прилеглими до неї кутами.


Задача 1.
Побудувата трикутник за двома сторонами і медіаною до третьої сторони.

1. Аналіз задачі. Припустимо, що шуканий трикутник побудовано, тобто трикутник  АВС  такий, у якому ВС = а, АС = b, і СМ є медіаною, причому СМ = тс, мал. 4.

                  A                                                            F

             b                              M

                                            

                    тс

      C                             а                                B

Мал. 4

Якщо на півпрямїй СМ від точки М відкласти відрізок МF = mc і точку F з’єднати з вершинами А і B, то чотирикутник ACBF буде паралелограмом, бо в нього діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже, BF = AC і трикутник BCF можна побудувати за трьома сторонами. Точку M, яка є серединою відрізка CF, знайти можна, а тому можна знайти i точку А. З аналізу задачі одержується план побудови.

2. Побудова. Нехай задані елементи шуканого трикутника будуть такими, як зображено на мал. 5.

                         

                          а                                                  тс

                   b              

Мал. 5

1. Будуємо трикутник BCF, у якого BC = a, CF = 2mc, BF = b.

2. Ділимо відрізок СF  навпіл і знаходимо точку M. Проводимо півпряму BM і на ній від точки M відкладаємо відрізок МА = МВ, одержується третя вершина А шуканого трикутника, мал. 6.

                            

                               2тс

                           

                  A                                                            F

             b                              M

                                            

                    тс

      C                             а                                B

Мал. 6

3. Доведення. Через те, що в побудованому чотирикутнику АСВF діагоналі точкою їх перетину М діляться навпіл, то він є паралелограмом. Отже, АС = FB = b, СB = а, точка М є серединою відрізка АВ і СМ = =.

Тому трикутник  АВС  є шуканим.

4. Дослідження. Трикутник СВF можна побудувати за трьома сторонами тоді і тільки тоді, коли

         │2тс – b< a < 2mc + b.                                         (1)

При виконанні умови (1) трикутник СВF буде єдиним з точністю до відношення рівності.

Середина відрізка СF завжди існує і визначається однозначно. Також однозначно визначиться і точка А .

Отже, якщо виконується умова (1), задача має розв’язок і при тому єдиний.      ◄                                      

Не кожна задача на побудову може бути розвязана за допомогою циркуля та лінійки. Прикладом такої нерозвязної задачі, яку сформулювали ще стародавні греки, є задача про поділ кута на три рівні частини.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61099. Київська Русь за часів правління князя Ярослава Мудрого 115 KB
  Київська Русь за часів правління князя Ярослава Мудрого. У цікавій формі уявної подорожі ознайомити учнів з життям та діяльністю великого князя Ярослава Мудрого визначити його роль і місце в історії України.
61100. РЕЧЕННЯ ДВОСКЛАДНІ Й ОДНОСКЛАДНІ, ПРОСТІ І СКЛАДНІ 1.82 MB
  Правопис: розділові знаки в кінці речення повторення. Використовуючи подане висловлювання і власні знання розгорнути зміст останнього речення. Усно схарактеризувати речення в тексті за наявністю головних і другорядних членів.
61101. Політичний, соціальний устрій та господарське життя Київської Русі 17.65 MB
  Мета: формувати в учнів знання про політичний та соціальний устрій, господарське життя Київської, Русі; удосконалювати навички роботи з історичними джерелами та на їх основі аналізувати історичні факти...
61102. Культурне життя Київської Русі доби розквіту 66.5 KB
  Мета: ознайомити учнів з основними досягненнями культури періоду Київської Русі; дати уявлення про досягнення в літературі, літописанні, іконописі, архітектурі; вчити учнів працювати з текстом підручників, ілюстраціями, розвивати в учнів уяву...
61103. ПОРЯДОК СЛІВ У РЕЧЕННІ. ЛОГІЧНИЙ НАГОЛОС 27.66 KB
  Мета: дати восьмикласникам поняття про прямий і зворотний порядок слів у реченні, навчати дотримуватися логічного наголосу при інтонуванні речень; розвивати організаційно-контрольні вміння виконувати спеціальні спостереження над мовним матеріалом; формувати загально-пізнавальні вміння правильно інтонувати різні за метою висловлювання речення...
61104. Утворення Єгипетської держави 59 KB
  Мета: на конкретному історичному матеріалі показати процес утворення Давньоєгипетської держави; розкрити суть понять: ном номарх держава фараон. Основні поняття: Єгипет Африка Ніл дельта Середземне море...
61105. КОНТРОЛЬНЕ АУДІЮВАННЯ ХУДОЖНЬОГО ТЕКСТУ 52 KB
  Мета: оцінити рівень орфографічної та пунктуаційної грамотності восьмикласників: правильно писати слова на вивчені орфографічні правила та слова визначені для запам’ятовування; ставити розділові знаки відповідно до опрацьованих правил пунктуації...
61106. Тематичне оцінювання з теми “Виникнення та розквіт Київської Русі” 66 KB
  Мета. Закріпити та поглибити знання учнів з історії виникнення та розквіту Київської Русі. Узагальнити основні поняття та події. Оцінити знання учнів з теми. Розвивати вміння ідентифікувати історичні явища за їх типовими ознаками.
61107. Господарське і повсякденне життя. Суспільство 52 KB
  Мета: ознайомити учнів із природними умови та розташуванням Давнього Єгипту, основними заняттями давніх єгиптян; простежити взаємозвязок між природними умовами і господарським розвитком Давнього Єгипту.