18303

ПРОСТОРОВІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 30 ПРОСТОРОВІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ Просторові геометричні фігури та їх зображення на площині. Поняття про геометричне тіло. Многогранники. Теорема Ейлера про многогранники без доведення. Питання на самостійне опрацювання Тіла оберта

Украинкский

2013-07-07

167.5 KB

127 чел.

Лекція 30

ПРОСТОРОВІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ

  1.  Просторові геометричні фігури та їх зображення на площині.
  2.  Поняття про геометричне тіло.
  3.  Многогранники. Теорема Ейлера про многогранники (без доведення).

Питання на самостійне опрацювання

  1.  Тіла обертання.
  2.  Система геометричних понять початкової школи.

  1.  Просторові геометричні фігури та їх зображення на площині

Фігура називається просторовою, якщо не існує площини, якій би належали всі точки цієї фігури. У своїй практичній діяльності людина завжди фактично має справу з просторовими фігурами.

Існують інструменти, які залишають слід на площині (наприклад, олівець, пензель тощо), але не існує такого інструмента, який би залишав сліди при русі в просторі. Тому кожний плоский предмет невеликих розмірів можна зобразити на папері, і тут не виникає питання про методи його зображення. Якщо ж потрібно зобразити просторовий предмет, то, за згаданою причиною, його не можна точно скопіювати, коли не брати до уваги виготовлення точних копій. Але цей спосіб надто складний, а іноді і неможливий, тому його застосовують лише у виняткових випадках. У повсякденному ж житті намагаються зобразити просторові фігури на площині.

Фігура, зображення якої одержують на площині, називається оригіналом, а плоска фігура, що відтворює оригінал, – зображенням.

Сукупність правил, за допомогою яких встановлюється, яким способом, знаючи оригінал, одержати його зображення, називається методом зображення. В більшості випадків розглядаються методи зображення, за допомогою яких кожній точці оригіналу ставиться у відповідність точка на його зображенні. За теорією множин такі методи зображення є відображенням оригіналу в площину, тобто є відображенням точкових множин. Методи відображення повинні задовольняти таким умовам:

1) бути наочними;

2) за зображенням порівняно легко можна відновити розміри оригіналу з точністю до коефіцієнта подібності.

У більшості випадків користуються проекційними методами зображення, з яких найчастіше застосовуються методи паралельної або центральної проекцій.

Суть методу паралельного проекціювання полягає в тому що:

1) вибираються площина і пряма не паралельна їй. Вибрані площина і пряма називаються відповідно площиною проекцій і проектуючою прямою;

2) через будь-яку точку М' простору проводять пряму т, яка паралельна проектуючій прямій. Точка M перетину прямої т з площиною проекцій називається зображенням точки М ' на площині проекцій. На мал. 1: р – проектуюча пряма, площина α – площина проекцій.

                       

                                                     Мал. 1

Очевидно, що кожній точці М' простору ставиться при цьому у відповідність єдина точка М на площині проекцій. Отже, цим самим задається відображення множини точок простору на множину точок площини. Зокрема, даним способом можна одержати зображення будь-якої фігури, розміщеної в просторі. Він відповідає зоровому сприйманню фігури під час розгляду здалеку і ним часто користуються.

Паралельне проекціювання мае такі властивості:

1.Зображення кожної прямої, яка не паралельна проектуючій прямій, є пряма, а зображення кожної прямої, що паралельна проектуючій прямій, є точка.

2.Зображенням паралельних прямих, які не паралельні проектуючій прямій, є паралельні прямі.

3.Зберігається відношення відрізків, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, причому ні пряма, ні паралельні прямі не паралельні проектуючій прямій.

Це означає, що коли точки А', B', С' належать одній прямій або лежать на паралельних прямих, які не паралельні проектуючій прямій, а точки А, B, С є їх зображенням при паралельному проекціюванні, то

.

Зображення оригіналу залежить від його розміщення відносно проектуючої прямої. Так неважко переконатися, що образом кожного трикутника, площина якого не паралельна проектуючій прямій, буде трикутник. Коли ж площина трикутника паралельна проектуючій прямій, то його зображенням буде відрізок. Аналогічно, зображенням паралелограма буде паралелограм або відрізок, а зображенням круга – еліпс або відрізок.

Паралельне проекціювання називається ортогональним, якщо проектуюча пряма перпендикулярна до площини проекції.

  1.  
    Поняття про геометричне тіло

Серед просторових геометричних фігур виділяють так звані геометричні тіла (або просто тіла). На інтуїтивному рівні геометричне тіло – це реальне фізичне тіло, яке розглядається, абстрагуючись від усіх його властивостей, крім просторової протяжності. Можна сказати ще й так: під геометричним тілом розуміють частину простору, яку займає фізичне тіло. Варто пам’ятати, що хоч у геометрії розглядаються порівняно прості тіла, але більшість реальних тіл, яку б складну форму вони не мали, можна розглядати (у відповідній абстракції і, звичайно, наближено) як геометричні. Щоб дати означення геометричного тіла, введемо деякі поняття.

Околом точки простору називається множина всіх точок простору, відстань яких від даної точки менша від заданого додатного числа.

Точка називається внутрішньою точкою фігури, якщо вона належить фігурі разом з деяким її околом.

Фігура називається відкритою (областю), якщо всі її точки внутрішні.

Точка називається межовою для даної фігури, якщо в будь-якому її околі є точки, що належать і не належать фігурі. Межова точка може як належати так і не належати фігурі. Множину всіх межових точок фігури називають її межею або поверхнею.

Просторова фігура називається тілом, якщо

1) вона має внутрішні точки,

2) межа фігури належать їй,

3) будь-які дві точки фігури можна з’єднати ламаною, всі точки якої, за винятком можливо кінців, є внутрішніми точкам фігури.

Межа тіла також називається його поверхнею. Тіло називається обмеженим, якщо існує додатне число таке, що відстань між довільними двома точками тіла менша від цього числа.

З означення фігури та тіла видно, що не всі просторові фігури є тілами. Так фігура, яка є об’єднанням двох фігур, перерізом  яких є точка або лінія, тілом не буде. Крім того, поверхня тіла повинна прилягати до внутрішніх точок, тому фігури типу капелюха чи конуса зі шпилем не будуть тілами.

  1.  Многогранники.

Теорема Ейлера про многогранники (без доведення).

Многогранник є аналогом простого плоского многокутника на площині.

Многогранником називається обмежене тіло, поверхня якого складається із скінченного числа многокутників, які називаються його гранями. Сторони граней називаються ребрами многогранника, вершини граней – вершинами многогранника. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини, якій належить будь-яка його грань.

Розглянемо окремі види многогранників.

Призмою називається многогранник, у якого дві грані, що називаються основами призми, рівні між собою многокутники, у яких відповідні сторони паралельні, а інші грані – паралелограми, в кожного з яких дві сторони є відповідними сторонами основ. Грані призми, що не є основами, називаються бічними, а ребра, які не належать основам   призми – бічними ребрами.

Теорема 1. Основи призми лежать у паралельних площинах.

► Візьмемо по дві відповідні суміжні сторони основ призми. За означенням призми вони паралельні, тоді, за ознакою паралельності площин, основи призми лежать у паралельних площинах, бо в них знайшлися по дві паралельні між собою прямі, що перетинаються (суміжні сторони основ). ◄                                     

Перпендикуляр, опущений з однієї основи призми на другу, а також довжина цього перпендикуляра називаються висотою призми. 

Призма, основою якої є п-кутник, називається п-кутною. Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основ, називається прямою. Висота прямої призми є або довжиною бічного ребра або самим ребром.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і в основі її лежить правильний  п-кутник.

Мал. 2

Щоб отримати малюнок призми на площині, треба спочатку зобразити

одну з основ призми, а потім з кожної вершини основи провести рівні і паралельні між собою бічні ребра, послідовно з’єднавши кінці яких, одержимо зображення призми, мал. 2.

Призма, в основі якої лежить паралелограм, називається паралелепіпедом.

Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до площини основи. В прямому паралелепіпеді всі бічні грані є прямокутниками, а основи – паралелограмами. Прямий паралелепіпед, в основі якого лежить прямокутник, називається прямокутним. У прямокутному паралелепіпеді всі грані є прямокутниками. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї з його вершин, називаються лінійними його розмірами (вимірами).

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі бічні ребра рівні між собою, називається кубом.

При зображенні довільного паралелепіпеда потрібно памятати, що його основи завжди є паралелограмами, решта побудов здійснюється так, як і для призми, мал. 3.

Мал. 3

Пірамідою називається многогранник, у якого однією гранню, що називається основою, є довільний многокутник, а всі інші грані є трикутниками, що мають спільну вершину. Спільна вершина всіх трикутників називається вершиною піраміди. Ребра піраміди, які з’єднують основу піраміди та її вершину, називаються бічними ребрами. Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину її основи, а також довжина цього перпендикуляра називаються висотою піраміди. Піраміда, в основі якої лежить п-кутник, називається п-кутною.

Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний многокутник і висота піраміди падає в центр многокутника.

Щоб одержати малюнок піраміди на площині, потрібно спочатку зобразити її основу і вершину, яку зєднати потім з вершинами основ, мал.4.

                                 Мал.4

Опуклий многогранник називається правильним, якщо всі його грані

є правильними рівними між собою п-кутниками і в кожній вершині сходиться однакове число ребер. Встановлено, що існує тільки пять видів правильних многогранників, їх називають також тілами Платона.

Правильний чотиригранник (правильний тетраедр): всі грані є правильними рівними між собою трикутниками і в кожній вершині сходиться три ребра, мал. 5а).

Правильний шестигранник (правильний гексаедр, куб): всі грані є рівними між собою квадратами і в кожній вершині сходиться три ребра, мал. 5б).

Правильний восьмигранник (правильний октаедр): всі грані є правильними рівними між собою трикутниками і в кожній вершині сходяться чотири ребра, мал. 5в).

Правильний дванадцятиградник (правильний додекаедр): всі грані є правильними рівними між собою пятикутниками і в кожній вершині сходяться три ребра, мал. 5г).

а)  б)  в)

г) д)

Мал. 5

Правильний двадцятигранник (правильній ікосаедр): всі грані є правильними рівними між собою трикутниками і в кожній вершині сходяться пять ребер, мал. 5д).

Кожний з правильних многогранників можна дістати за допомогою перетину куба певними площинами. Всі правильні многогранники, за винятком правильного тетраедра, мають центр симетрії. Якщо центри сусідніх граней правильного многогранника зєднати відрізками, то знову одержиться правильний многогранник, який називається двоїстим (дуальним) даному. Правильний тетраедр двоїстий сам собі, куб двоїстий правильному октаедру, правильний додекаедр двоїстий правильному ікосаедру. У двоїстих правильних многогранників число вершин одного з них дорівнює числу граней другого і, навпаки: число граней одного з них дорівнює числу вершин другого; число ребер у двоїстих многогранників одне й те саме.

Всі типи правильних многогранників були відомі старогрецьким геометрам.

Тіла Платона знайшли широке застосування в кристалографії, бо більшість кристалів мають форму правильних многогранників. Наприклад, кухонна сіль має кристали кубічної системи, алмаз здебільшого кристалізується у вигляді октаедрів і т.д.

У плоскому многокутнику основними його елементами є вершини і сторони, причому у многокутнику завжди число вершин дорівнює числу його сторін. У просторі аналоґом многокутника є многогранник, основними елементами якого є вершини, ребра і грані. Виникає питання про залежність між числом вершин, ребер і граней многогранника. Виявляється, що для деяких видів многогранників таку залежність можна встановити. Позначимо В – число вершин,  Р – число ребер і  Г – число граней многогранника. Леонардом Ейлером (І708 – 1783) було доведено, що для будь-якого опуклого многогранника має місце рівність

В – Р + Г = 2.

Сформульоване твердження називається теоремою Ейлера для многогранників. Вона має місце не тільки для опуклих многогранників, але й для довільних многогранників, які без розривів і склеювань можна деформувати в кулю.

Многогранники, для яких справедлива теорема Ейлера, називаються простими.

Прикладами многогранників, для яких не має місця теорема Ейлера,

                       

                                                  Мал. 6

є ті, що одержуються з опуклих многогранників вирізуванням у них многогранних отворів. На мал.6 зображено один із них.

Безпосередньо перевіркою для нього маємо: В = 12, Р = 24, Г = 12. Тому    В – Р + Г = 12 – 24 + 12 = 0.


Питання на самостійне опрацювання

  1.  Тіла обертання

Серед геометричних  тіл виділяють тіла обертання. Геометричне тіло, утворене внаслідок обертання плоскої геометричної фігури навколо прямої, яка лежить у тій самій площині, що й дана фігура, називається тілом обертання. Пряма, навколо якої обертається фігура, називається віссю обертання. Іноді замість прямої обертання розглядається півпряма або відрізок.

Циліндром (прямим круговим циліндром) називається тіло, яке утворюється при обертанні прямокутника навколо однієї із його сторін.

Круги, що входять до складу поверхні циліндра, називаються його основами, решта поверхні – бічною поверхнею. Перпендикуляр, опущений із однієї основи циліндра на другу, а також довжина цього перпендикуляра називаються висотою циліндра.

Перпендикуляр між основами, який належить його бічній поверхні називається твірною циліндра. Радіусом циліндра  називається радіус його основи.

Щоб одержати малюнок цилідра на площині, потрібно спочатку зобразити одну з основ у вигляді еліпса, а потім здійснити його паралельне перенесення на відстань, що дорівнює висоті циліндра, мал. 7.

Конусом (прямим круговим конусом) називається тіло, яке утворюється при обертанні прямокутного трикутника навколо одного із його катетів.

Круг, що входить до складу поверхні конуса, називається його основою, решта поверхні – бічною поверхнею.

Кінець катета, навколо якого здійснюється обертання і який не належить основі, називається вершиною конуса, а сам катет а також його довжина – висотою конуса.

Відрізок, що лежить на бічній поверхні конуса і з’єднує його вершину з основою, називається твірною конуса.

Щоб одержати малюнок конуса на площині, слід спочатку зобразити його основу у вигляді еліпса і вершину, а потім із неї провести два відрізки до двох точок еліпса, відстань між якими найбільша, мал. 8.

Кулею називається тіло, яке утворюється при обертанні півкруга навколо його діаметра.

Центр, радіус і діаметр кулі збігаються з центром, радіусом і діаметром півкруга, який обертається. Сферою називається поверхня кулі.

При зображенні кулі на площині треба памятати, що її проекцією на площину є круг, мал. 9.

Мал. 7


                   

Мал. 9

  1.  Система геометричних понять початкової школи


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33292. Налоги, принятые и действовавшие в 90-е годы (до НК РФ) вопреки закону «Об основах налоговой системы в РФ», и их последствия 22 KB
  Налоги принятые и действовавшие в 90е годы до НК РФ вопреки закону Об основах налоговой системы в РФ и их последствия В декабре 1993 года президентским указом было отменено положение о норме в соответствии с которой региональные и местные органы власти в праве вводить или не вводить лишь те налоги которые оговорены законом “Об основах налоговой системы в Российской федерацииâ€. В результате как грибы после дождя стали появляться такие экзотические налоги как налог на падение объемов производства или на инвестиции за...
33293. Система налогов и сборов в РФ и их классификация 23 KB
  В РФ устанавливаются следующие виды налогов и сборов: федеральные налоги и сборы налоги и сборы субъектов РФ и местные налоги и сборы. Федеральными признаются налоги и сборы устанавливаемые НК РФ и обязательные к уплате на всей территории РФ. Региональными признаются налоги и сборы устанавливаемые НК РФ и законами субъектов РФ вводимые в действие в соответствии с НК РФ законами субъектов РФ и обязательные к уплате на территориях соответствующих субъектов РФ. Местными признаются налоги и сборы устанавливаемые НК РФ и нормативными...
33294. Налоговая реформа и ее влияние на налоговую нагрузку организации 25 KB
  Налоговая реформа и ее влияние на налоговую нагрузку организации Принятый в России новый пакет законов о налогах впитал в себя мировой опыт что важно для выхода страны из экономической изоляции отвечает в основном требованиям переходного к рыночным отношениям периода имеет определенную социальную направленность. Важно сопоставить новую налоговую систему России с налогами действующими в разных зарубежных странах ибо переход к рыночной экономике немыслим без использования опыта западных государств наряду со всем лучшим что имелось в нашей...
33295. Методы расчета уровня налоговой нагрузки организации 25 KB
  Методы расчета уровня налоговой нагрузки организации. Налоговая нагрузка представляет собой обобщенную характеристику налоговой системы страны указывающую: вопервых на действие которое налоги оказывают на положение налогоплательщиков или на народное хозяйство в целом; вовторых количественную оценку этого действия. Как правило характеристика налоговой нагрузки определяющая действие налогов оказывающее на положение налогоплательщиков или на народное хозяйство в целом обусловлена наличием негативного отношения к налоговой...
33296. Определение налога, сбора. Общие и отличительные признаки налога и сбора 22 KB
  Определение налога сбора. Общие и отличительные признаки налога и сбора Налоговая система РФ включает совокупность налогов и сборов взимаемых в установленном порядке. Данное определение позволяет отличить налог от сбора. При уплате сборов всегда присутствует специальная цель и интересы сторон следовательно сбор не может быть произвольным размер сбора должен быть обоснован и сопоставим с целями на которые он взимается.
33297. Элементы налогообложения и их характеристика 25.5 KB
  При построении налоговых отношений важное значение имеют элементы налога. Общепризнанные элементы налога: 1. Субъект налога – налогоплательщиком и плательщиком сбора признаются юридические и физические лица на которые в соответствии с НК возложена обязанность уплачивать налоги и сборы. Согласно НК кроме налогоплательщиков действуют: налоговые агенты на которых возложены обязанности по исчислению удержанию и перечислению соответствующих налогов в бюджет; законный представитель налогоплательщика организации или физического лица –...
33298. Виды налоговых ставок и их применение в налогообложении 21.5 KB
  Виды налоговых ставок и их применение в налогообложении Ставка налога важный элемент налога который определяет величину налога на единицу обложения денежная единица дохода единица земельной площади единица измерения товара и т. Пропорциональные действуют в одинаковом процентном отношении к объекту налога без учета дифференциации его величины например действовавший в СССР до 1 июля 1990 г. Прогрессивные средняя ставка прогрессивного налога повышается по мере возрастания дохода. Регрессивные средняя ставка регрессивного налога...
33299. Права и обязанности налогоплательщиков. И налоговых агентов 25.5 KB
  И налоговых агентов. Права налогоплательщиков и налоговых агентов идентичны. получать от налоговых органов по месту учета бесплатную информацию о действующих налогах и сборах и законодательстве о налогах и сборах; 2. получать от налоговых органов и других уполномоченных государственных органов письменные разъяснения по вопросам применения налогового законодательства; 3.
33300. Права налоговых органов. Обязанности налоговых органов и их должностых лиц 23.5 KB
  Права налоговых органов. Обязанности налоговых органов и их должностых лиц. Организационная сисма управления налогами: 1общее управление – а определение осн. принципов налогообложения; б разработка налог.