18304

ПОНЯТТЯ ПРО ВЕЛИЧИНУ ТА ЇХ ВИМІРЮВАННЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 31 ПОНЯТТЯ ПРО ВЕЛИЧИНУ ТА ЇХ ВИМІРЮВАННЯ Відображення властивостей дійсного світу через поняття величини. Додатні адитивноскалярні величини ті їх властивості. Поняття про вимірювання величин. Види величин. Довжина відрізка її основні властиво...

Украинкский

2013-07-07

77 KB

51 чел.

Лекція 31

ПОНЯТТЯ ПРО ВЕЛИЧИНУ ТА ЇХ ВИМІРЮВАННЯ

  1.  Відображення властивостей дійсного світу через поняття величини.
  2.  Додатні адитивно-скалярні величини ті їх властивості.
  3.  Поняття про вимірювання величин. Види величин.
  4.  Довжина відрізка, її основні властивості.

  1.  Відображення властивостей дійсного світу через поняття величини

Поняття величини є складовою змісту багатьох наук: математики, фізики, хімії, біології та ін. Без поняття величини вивчення дійсного світу обмежувалося б лише спостереженнями і залишалось би на описовому рівні. Наприклад, при нагріванні тіла  розширюються. Це явище було відоме з давніх часів. Введення таких величин як довжина, об’єм і температура, встановлення залежності між ними дозволило не тільки значно збагатити знання про світ та інші явища природи, а враховувати їх при розв’язуванні конкретних задач, що пов’язані з практичною діяльністю людини. Умови для введення тієї чи іншої величини визрівають у процесі розвитку даної галузі науки.

Кожний об’єкт має багато різних властивостей, які відображаються у відповідних величинах. Наприклад, властивості просторової протяжності відповідає величина, що називається довжиною, властивості інертності тіла – маса, властивості провідника перешкоджати проходженню електричного струму – опір провідника і т. ін.

Величини, які виражають одну і ту ж властивість деякої сукупності об’єктів, називають однорідними, різні властивості – неоднорідними. Так, довжина і площа є неоднорідними величинами.

Величини не існують самі по собі, як деякі субстанції, що відірвані від матеріальних об’єктів і їх властивостей. В самій природі немає швидкостей, імпульсів, сил і т. ін. З другого боку величини певною мірою ідеалізують властивості об’єктів. У процесі абстракції завжди відбувається деяке спрощення дійсності, відволікання від ряду обставин. Тому величина – не сама дійсність, а лише її відображення свідомістю людини. Проте практика підтверджує, що величини правильно відображають властивості навколишньої дійсності.

Поняття величини тісно пов’язане з поняттям вимірювання, яке є одним  із шляхів пізнання природи людиною, що об’єднує теорію з практичною діяльністю. В процесі розвитку природничих і технічних наук роль і значення вимірювання невпинно зростає, бо зростає число і якість вимірювання різних величин.

  1.  Додатні адитивно-скалярні величини ті їх властивості

Деякі скалярні величини мають так звану адитивну властивість, яка полягає в тому, що величина допускає необмежене “подріблення”, тобто її можна скласти з частин, що попарно не перетинаються  і є теж величинами. Так, час-проміжок має адитивну властивість, а час-дата – ні. Величини, які мають адитивну властивість, називаються адитивно-скалярними величинами.

Додатні адитивно-скалярні величини займають особливе місце серед величин. З ними найбільш часто має справу людина в своїй практичній діяльності. Прикладами  таких величин є довжина, площа, об’єм, маса, проміжки часу тощо. Для них можна визначити операцію додавання, яка дозволяє замінити дві однорідні величини їх сумою. Аналіз адитивно-скалярних величин приводить до такого їх аксіоматичного означення.

Властивість Р елементів множини М називається додатною адитивно-скалярною величиною (надалі величиною), якщо

1) на множні М визначене відношення еквівалентності, яке позначається символом “~”;

2) на множині М задане терарне відношення “складається з”, за допомогою якого вводиться в множині М бінарна операція, можливо часткова, що називається додаванням і позначається символом “+”;

3) у множині М виділено деякий елемент ε, який називається еталоном  (одиничним елементом) і існує відображення f множини М у множину додатних чисел R+, що має такі властивості

а) f (ε) = 1;

б) " a, b Î М: a~b ® f(a) = f (b);

в) " a, b Î М: $ a+b Î М ® f (a + b) = f (a) + f (b);

4) якщо в множині М за одиничний елемент вибрано ε1 і g відображення множини М у множину R+, яке має властивості а) – в), то

" a Î М: g (α) = g (ε) f (α).

Множина М називається областю визначення величини, відображення   f: M ® R+вимірюванням величини, а елементи множини М – об’єктами вимірювання. Число f (a) називається мірою об’єкта a (значення величини) при еталоні ε.

Перераховані чотири властивості відображення виражають властивості величини (міри), кожна з яких має свою назву: 3а) – нормованість; 3б) – інваріантність; 3в) – адитивність; 4) – мультиплікативність.

Міра об’єкта залежить від еталона, що може бути вибраний довільно. Щоб кожного разу, коли мова йде про міри об’єктів, не вказувати еталони вимірювання, поступають так:

1) мірам еталонів вимірювання, тобто числу одиниця, приписують імена еталонів, і одиницю з найменуванням називають одиницею вимірювання;

міру довільного об’єкта записують як добуток додатного числа і одиниці вимірювання.

Наприклад, запис 3 відра рівносильний запису 3 ´ 1 відро означає, що мірою деякого об’єкта є додатне число 3 при еталоні вимірювання “відро”.

Тому потрібно вміти відрізняти, в якому випадку мають на увазі еталон вимірювання, а в якому одиницю вимірювання. Часто, особливо в навчально-методичній літературі, ці поняття не розрізняють.

За допомогою мультиплікативної властивості встановлюється зв’язок між мірами одного і того ж об’єкта при різних одиничних елементах.

На основі аксіоматичного означення для встановлення того, що властивість Р елементів множини М є величиною, потрібно:

1) ввести на множині М відношення еквівалентності;

2) визначити на множині М терарне відношення “складається з” і пов’язати з ним операцію додавання ;

3) серед елементів множини М вибрати еталон (одиничний елемент);

4) побудувати відображення f: M ® R+, яке задовольняє умовам 3) і 4) означення величини.

З означення величини випливає, що для довільних елементів a і b з множини М відношення їх мір не залежить від вибору еталона.

Елементи a і b множини М, які мають рівні міри, тобто f(a) = f(b) називають рівновеликими.

Відношення рівновеликості для елементів множини М є відношенням еквівалентності, а тому за допомогою нього множину М можна розбити на класи рівновеликих елементів, в літературі іноді ці класи і називають величиною.

Величина, визначена на множині М, називається простою, якщо

" a, b Î М: f (a) = f (b) ® a ~ b.

При вимірюванні величин важлива роль вибору одиниць вимірювання. Навіть для вимірювання однієї величини не можна обійтися однією одиницею вимірювання. Наприклад, щоб виміряти довжини зернини пшениці, будинку або залізниці від Києва до Харкова зручніше користуватися міліметром, метром і кілометром відповідно. В різних народів і в різні часи одиниці вимірювання були різними.

Спершу за одиниці вимірювання вибиралися довжини руки, ноги, пальця людини, або предметів, що найчастіше оточували людину. На Україні здавна урожай рахували “копами” (копа 60 снопів) та “возами” або “хурами” (кількість снопів, яка вміщалася на возі). Рідину – воду, молоко тощо міряли “квартами” (2 пляшки), “гранцями” (4 кварти), “відрами” (10–12 літрів). У ткацькій справі використовувалися одиниці загальнослов’янського походження – “чисниця” (три нитки), “пасмо” (10 чисниць), “моток” (30 пасом). Селянами використовувалися оригінальні одиниці площі землі: “день” (площа, яку можна виорати за день волами), “опруг”, “гона”, “волока”, “лан” та ін. З розвитком торгівлі, обміну товарами та іншими потребами людей виникла необхідність у введенні однакових для всіх країн одиниць вимірювання.

Сукупність одиниць вимірювання різних величин, що ввійшли до вжитку, називається системою одиниць (системою мір).

Питаннями вимірювання величин займається метрологія – наука про вимірювання, способи досягнення їх одноманітності та необхідної точності. Найбільш розробленою з стародавніх метрологій була вавілонська, яка значно вплинула на метрології інших народів. До цього часу користуються одиницями часу, запозиченими з неї: доба – 24 години, година – 60 хвилин, хвилина – 60 секунд. Стародавні метрології включали одиниці вимірювання довжин, площ, об’ємів, мас, часу і монетні системи, які часто пов’язувалися із вимірюванням маси.

До кінця 19 ст. більшість європейських держав мали свої системи одиниць. Серед них виділилася метрична системи одиниць, яка була запроваджена в кінці 18 ст. у Франції. Її особливість полягає в тому, що відношення між кратними і частинами більшості одиниць вимірювання виражається через цілі степені числа 10.

В 1877 на кошти 20 держав – учасниць “Конференції метра” було створено Міжнародне бюро мір і ваги, в обв’язок якого ввійшло збереження еталонів і виготовлення їх зразків. З розвитком науки і техніки старі означення еталонів не забезпечували належної точності вимірювань і відтворення еталонів. В 1960 році Генеральна конференція по мірам і вагам прийняла міжнародну систему одиниць (СІ) як універсальну систему для всіх галузей науки і техніки. На даний час вона включає:

1) сім основних одиниць: метр (м) – для довжини; кілограм (кг) – для маси; секунда (с) – для часу; моль (моль) – для кількості речовини; кельвін (К) – для термодинамічної температури; кандела (кд) – для сили світла; ампер (А) – для сили електричного струму;

2) дві додаткових одиниці: радіан (рад) – для плоского кута; стерадіан (ср) – для тілесного кута;

3) похідні одиниці, серед яких, наприклад, квадратний метр (м2) – для площі, кубічний метр (м3) – для об’єму.

Похідні одиниці утворюються з основних та додаткових. Їх називають, як правило, через основні, додаткові або похідні одиниці; деякі одиниці мають свої спеціальні назви.

Від одиниць Міжнародної системи можна утворювати десяткові кратні і частинні одиниць множенням вихідних одиниць на 10n або 10-п, де n = 1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18. Назви таких одиниць утворюються приєднанням до назви вихідної одиниці відповідної десяткової компоненти:

101 дека (да)

102 гекто (г)

103 кіло (к)

106 мега (М)

109 гіга (Г)

1012 тера (Т)

1015 пета (П)

1018 екза (Е)

10-1 деци (д)

10-2 санті (с)

10-3 мілі (м)

10-6 мікро (мк)

10-9 нано (н)

10-12 піко (п)

10-15 фемто (ф)

10-18 ато (а)

  1.  Поняття про вимірювання величин. Види величин

Під вимірюванням величини розуміють відображення об’єктів, які володіють властивістю, або у множину дійсних чисел, або ж у множину за певним правилом побудованих числових сукупностей. Числа або числові сукупності, що ставляться у відповідність об’єктам, називають їх мірами, а самі об’єкти – об’єктами вимірювання.

Відомо, що не кожну властивість можна виміряти, бо не завжди знайдеться механізм порівняння об’єктів за даною властивістю з одним із вибраних об’єктів, який називається еталоном (одиничним елементом) вимірювання. Приклади таких властивостей часто зустрічаються в психології, педагогіці, біології, економіці (розум, воля, сміливість, наполегливість і ін.). такі властивості називають латентними (прихованими) величинами.

Порівняння латентних величин можливе лише на інтуїтивному рівні. Так, якщо одна людина більш наполеглива, ніж інша, то про ступінь якості “наполегливість” судять тільки по системі вчинків, поведінці людини. В таких випадках говорять про умовні значення величин або про умовні міри. Оцінювання латентних величин числами є досить проблематичним. У зв’язку з математизацією наук останнім часом іде інтенсивний пошук, особливо в гуманітарних науках, можливості вимірювання латентних величин.


Розрізняють три види величин за способом їх вимірювання:

скалярні величини, мірами яких є дійсні числа;

векторні величини, мірами яких є кортежі дійсних чисел;

тензорні величини, мірами яких є таблиці (матриці) дійсних чисел.

Поняття величини вперше виникло в філософії і пов’язувалось з дійсним числом. Арістотель писав, що та чи інша кількість є множиною, якщо її можна перелічити,  і є величиною, якщо її можна виміряти. В книзі Евкліда “Начала” немає поняття величини, але в ній перераховуються аксіоми, які описують загальні властивості величин. Протягом довгого часу вчені намагалися дати означення величини:

за Героном Александрійським (мабуть, 1 ст. н. е.) величиною є все те, що може бути збільшене, чи зменшене необмежено;

за Ейлером величиною є те, що може збільшуватися і зменшуватися;

за Грасманом (1809 – 1877) величиною є певна річ, яка може бути визначена рівною чи нерівною другій речі;

за О. Д. Александровим (1912 – 1994) величиною є така властивість об’єктів, яка в певному відношенні може бути більшою або меншою, причому існує можливість її точного порівняння.

У сучасній математиці існують різні точки зору на місце і значення величин у ній. Одні математики вважають це поняття неістотним для математики, інші ж, навпаки, вважають його одним із основних її понять.

  1.  Довжина відрізка, її основні властивості

Одну з побудов множини натуральних чисел було здійснено на основі понять відрізка та його вимірювання (§13). Ці поняття також були суттєво використані  при  побудові  множин  додатних  раціональних і дійсних чисел (§§ 18, 20). Всі вищезгадані побудови числових множин фактично базувалися на використанні властивості відрізків, яку називають довжиною відрізка. Покажемо, що довжина відрізка є величиною.

Якщо М – множина відрізків, які позначаються малими грецькими буквами, то в ній:

відношення рівності є відношенням еквівалентності;

є терарне відношення “складається з” (відрізок розбито на два відрізки”), за допомогою якого означається бінарна операція додавання відрізків;

за допомогою вибраного відрізка ε, який називається еталоном (одиничним відрізком), можна побудувати відображення

f: M → R+

і при цьому будуть виконуватися умови:

а) f (ε) = 1 – нормованість довжини;

б) " a, b Î М: a~b ® f(a) = f (b) – інваріантність довжини;

в) " a, b Î М: $ a+b Î М ® f (a + b) = f (a) + f (b) – адитивність довжини;

якщо ε1 – інший одиничний відрізок, для якого побудовано відображення

g: M → R+,

що задовольняє умовам а), б), в), то

" a Î М: g (α) = g (ε) f (α) – мультиплікативність довжини.

Отже, виконуються всі умови означення додатних адитивно-скалярних величин і довжина відрізка є величиною. Число  f(α) називається мірою відрізка α при заданому одиничному відрізку.

Якщо одиничний відрізок фіксовано, то, допускаючи деяку вільність мови, число  f(α) називають також довжиною відрізка, хоча, взагалі кажучи, потрібно розрізняти такі поняття, як довжина відрізка і значення довжини відрізка. Через те, що

" a, b Î М: f (a) = f (b) ® a ~ b,

то довжина відрізка є простою величиною, тобто відрізок цілком визначається своєю довжиою.

У практичній діяльності люди на різних етапах розвитку користувалися різними одиницями довжини. Ще з часів Київської Русі в Україні користувалися, наприклад, такими одиницями довжини як “п’ядь”, “лікоть”, “ступінь”, “сажень”. З 17 ст. стала поширюватися така одиниця як “аршин”, а з 18 ст. – “верста”. З розвитком суспільства різноманітність одиниць довжини створювала незручності при спілкуванні людей. Постало питання про створення єдиного еталона довжини, який порівняно легко можна було б відтворювати. В метричній системі мір за еталон прийнято метр. Вперше його було запроваджено у Франції в кінці 18 ст. За метр було прийнято 10-7 частини чверті паризького меридіана. Таке визначення метра відповідало прагненню мати “природну” одиницю довжини. Було виготовлено із тривкого сплаву платини і іридію кілька еталонів метра і поміщено в підвали Міжнародного бюро мір і ваги. В 1872 році Міжнародна метрична комісія, враховуючи те, що запропонований “природний” еталон неможливо точно відтворити, прийняла рішення перейти до одиниці, яка відтворюється за тим еталоном, що зберігається у Франції.

До середини 20 ст. створений еталон забезпечував необхідну точність вимірювання, проте у зв’язку з розвитком науки і техніки стали потрібними досконаліші еталони. Генеральна конференція мір і ваги 1983 року прийняла нове визначення метра, еталона довжини: метр – це шлях, який проходить світло у вакуумі за 299792458-1 с.

Сучасний розвиток техніки дозволяє відтворити метр з точністю          1∙10-8 м. Зараз у Міжнародній системі одиниць за основну одиницю прийнято метр.

Практичне вимірювання довжини невеликих відрізків здійснюється за допомогою лінійки. Ідея лінійки полягає в тому, що на півпрямій її початок позначають 0. Потім від 0 наносять поділки в 1 дм, далі кожну з них ділять на 10 рівних частин, одержуються поділки в 1 см, кожну з яких знову ділять на 10 однакових частин, отримують поділки в 1 мм. Приклавши таку лінійку до відрізка так, щоб точка 0 збігалася з одним із кінців відрізка, а друга точка попала в середину лінійки, можна з точністю до одного міліметра встановити довжину відрізка. Ідею лінійки, відповідно видозмінену, можна  використати для введення площ і об’ємів.

Задача 1. Точки А, В, С і D розміщені так, що відрізки АВ, ВС і CD мають своїми довжинами числа 2; 0,5 і 3 відповідно при одиничному відрізку сантиметр. Знайти довжини відрізків АВ, ВС і CD, якщо за одиничний відрізок вибрати: 1) відрізок АВ; 2) відрізок ВС.

► Для знаходження довжин відрізків при нових одиничних відрізках потрібно скористуватися залежністю між довжиною одного і того ж відрізка при різних одиничних відрізках (вимога 4) означення додатних адитивно-скалярних величин), тобто, якщо f – відображення при одиничному відрізку ε, а g – відображення при одиничному відрізку ε1, то для довільного відрізка α

g (α) = g (ε) ´ f (α)

Отже, потрібно знати довжину старого еталона вимірювання ε при новому еталоні ε1.

Якщо за еталон вимірювання вибрати відрізок АВ, то довжина відрізка сантиметр при еталоні АВ буде рівна 1 : 2 = 0,5, а довжини відрізків АВ, ВС і CD рівні відповідно числам

0,5 ´ 2 = 1,  0,5 ´ 0,5 = 0,25,  0,5 ´ 3 = 1,5 при еталоні АВ.

Якщо ж за еталон вимірювання взяти відрізок ВС, то довжина відрізка сантиметр при еталоні ВС буде рівна 1 : 0,5 = 2 і довжини відрізків АВ, ВС і CD рівні відповідно 2 ´ 2 = 4, 2 ´ 0,5 = 1, 2 ´ 3 = 6 при еталоні ВС.

Відповідь: 1) 1; 0,25; 1,5 при еталоні АВ,

                  2) 4; 1; 6 при еталоні ВС.                                            ◄

Вже з першого класу діти вчаться порівнювати предмети, зокрема відрізки, за розмірами, вимірювати довжину відрізка за допомогою будь-якого одиничного відрізка, найчастіше клітинкою зошита, пізніше сантиметром, дециметром та іншими одиничними відрізками. Крім того, учні вчаться будувати відрізки заданої довжини, порівнювати довжини відрізків, виконувати над відрізками операції тощо, неявно використовуючи теоретичні положення про додатні адитивно-скалярні величини. Наприклад, при побудові відрізка певної довжини школярі неявно користуються тим, що для кожного натурального числа при вибраному одиничному відрізку можна побудувати єдиний відрізок, із точністю до рівності відрізків, що має мірою дане число.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84789. В.П. Астафьева «Васюткино озеро» 25.03 KB
  Находясь вдали от близких и родного дома оставшись один на один с суровой и величавой природой Васютка борется за выживание. Можно ли назвать наш урок; Поединок Васютки и тайги; Нет в поединке участвуют враги противники в этом же рассказе они находят общий язык...
84790. Формирование слогового и звукового анализа и синтеза 2.1 MB
  Коррекционные: уточнить и активизировать словарь по теме Игрушки; упражнять в согласовании количественных числительных с существительными; отрабатывать навык составления предложения; совершенствовать психические процессы логическое мышление зрительное слуховое и тактильное восприятие.
84791. Покорители космоса 156.5 KB
  В конспекте представленного занятия сформулированы педагогические задачи по ознакомлению детей с социальным миром, в соответствии с требованиями и рекомендациями программы «Школа 2100». Старший дошкольный возраст – это стартовая площадка для развития у детей нравственных чувств, в том числе ценностного...
84792. Путешествие на лесную поляну 49.5 KB
  Ой смотрите что-то случилось с цветочками все лепесточки перепутались Кто это так обидел цветочки как вы думаете плохие дети животные ветер пошалил сильно дул и лепесточки разлетелись у цветков и перепутались Поможем собрать одинаковые лепесточки и соединим в цветочки...
84793. Конспект тематического занятия, посвящённого Дню Победы 36.5 KB
  Задачи: Способствовать формированию у детей чувства гордости за свой народ, его боевые заслуги; Закрепить представления о празднике День Победы; Воспитывать уважение к защитникам Отечества, памяти павших бойцов, ветеранам ВОВ. Ход: Под музыку «День Победы» в зал входят дети, рассаживаются.
84795. Миссия в управлении организацией 88.94 KB
  В современном быстроменяющемся благодаря инновационным и информационным технологиям мире любая сфера деятельности человека требует от современных компаний прорабатывать долгосрочную стратегию нацеленную на успех и развитие организации.
84796. Содержание и цели стадий кругооборота инвестиций 170 KB
  Инвестиция – это всегда изменение, осознанное отклонение от рутинного течения, попытка заглянуть в будущее. Инвестиционная деятельность является в некотором смысле вынужденным мероприятием, поскольку любой мало-мальски грамотный бизнесмен, руководитель, менеджер отчетливо понимает...
84797. Современные десерты 114.95 KB
  Заведения общественного питания представляет собой отрасль, основу которой составляют предприятия (структурные торгово-производственные единицы), выпускающие кулинарную продукцию, характеризующиеся единством форм организации производства и обслуживания потребителей и различающиеся по типам...