18312

Математика. Практикум. Ч 1

Конспект урока

Математика и математический анализ

Коберник Г.І. Чирва Г.М. Математика. Практикум. Ч 1. – Умань: РВЦ Софія 2009. – 185 с. Навчальний посібник написаний згідно навчальної програми курсу €œМатематика€ для педагогічних вузів спеціальності €œПочаткова освіта€. Посібник містить навчальну програму з цього

Украинкский

2013-07-07

3.21 MB

125 чел.

Коберник Г.І., Чирва Г.М.

Математика. Практикум. Ч 1. – Умань: РВЦ «Софія», 2009. – 185 с.

Навчальний посібник написаний згідно навчальної програми курсу “Математика”, для педагогічних вузів спеціальності “Початкова освіта”. Посібник містить навчальну програму з цього курсу, структуру залікового кредиту у відповідності з кредитно-модульною системою оцінювання, орієнтовані плани практичних занять, зміст контрольних робіт із зразками розв’язання, тести до кожного із навчальних модулів, завдання для самостійного опрацювання, ІНДЗ та критерії оцінювання знань студентів.


Зміст

Структура програми навчальної дисципліни “Математика” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Змістовий модуль І. Елементи теорії множин. 

Практичні заняття.

Тема 1: «Поняття та їх означення». . . . . . . . . . . . . . . .

17

Тема 2: «Множини та відношення між ними» . . . . . .

20

Тема 3: «Операції над множинами» . . . . . . . . . . . . . .

25

Тема 4: «Декартів добуток множин» . . . . . . . . . . . . .

29

Тема 5: «Рівність множин. Розбиття множин на класи» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Контрольна робота № 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Тести. Елементи теорії множин. (Модуль 1) . . . . . . . .

47

Змістовий модуль ІІ.  Відношення.

Практичні заняття.

Тема 1: «Відношення між елементами двох множин» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Тема 2: «Відношення на множині та його властивості. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Тема 3: «Функції і відображення. Рівнопотужні множини» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Тема 4: «Комбінаторні задачі. Алгоритми» . . . . . . . .

69

Контрольна робота № 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Тести. Відношення. (Модуль 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Змістовий модуль ІІІ. Елементи математичної логіки.

Практичні заняття.

Тема 1: «Висловлення і операції над ними. Поняття «формули логіки висловлень» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Тема 2: «Рівносильні формули. Логічне слідування на множині формул логіки висловлень» . . . . . . . . . . . . .

97

Тема 3: «Предикати і операції логіки висловлень над ними» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Тема 4: «Відношення логічного слідування і рівносильності на множині предикатів» . . . . . . . . . . . . .

102

Тема 5: «Міркування і теореми» . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

Контрольна робота №3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

Тести. Елементи математичної логіки. (Модуль 3) . . .

123

Змістовий модуль ІV. Цілі невід‘ємні числа.

Практичні заняття.

Тема 1: «Теоретико–множинна побудова множини цілих невід’ємних чисел (кількісна теорія)» . . . . . . . . . .

133

Тема 2: «Додавання і віднімання цілих невід‘ємних чисел» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

Тема 3: «Множення і ділення цілих невід’ємних чисел» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

Тема 4: «Аксіоматичний підхід до побудови множини цілих невід’ємних чисел. Аксіоми Пеано» . . .

143

Тема 5: «Властивості множини цілих невід’ємних чисел. Ділення з остачею. Метод математичної індукції» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

Тема 6: «Відрізки і операції над ними. Натуральне число як міра відрізка» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

Контрольна робота №4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

Тести. Множина цілих невід’ємних чисел. (Модуль 4). .

155

Екзаменаційні питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

Основні математичні терміни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177


Передмова

Посібник написаний згідно вимог кредитно-модульної системи оцінювання знань студентів.

Перша части посібника містить навчальну програму з математики з чотирьох навчальних модулів, структуру залікового кредиту, список рекомендованої літератури, завдання для самостійного опрацювання, ІНДЗ та критерії оцінювання знань студентів.

Варто відзначити, що посібник містить орієнтовані плани практичних занять до кожної ьеми із змістом завдань, які доцільними є для застосування теоретичного матеріалу, що читається під час лекцій згідно навчальної програми. Це дає змогу студенту зекономити час. В кінці кожного змістового модуля розміщено змісту контрольних завдань у десяти варіантах і зразки їх розв’язання. Тому студент має змогу на високому рівні підготуватися до написання контрольної роботи. Далі студент знайде тестові завдання, які зорієнтовані на перевірку засвоєння основного програмового матеріалу з математики.

Посібник не є догмою і викладач може вносити необхідні на його погляд зміни та творчо використовувати його матеріал.


СТРУКТУРА ПРОГРАМИ НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ “МАТЕМАТИКА”

 Опис предмета навчальної дисципліни

Курс: підготовка (бакалаврів магістрів, підвищення кваліфікації)

Напрям, спеціальність, освітньо-кваліфікаційний рівень

Характеристика навчальної дисципліни

Кількість кредитів відповідних ЕСТS:  2,5.

Модулів: 2.

Змістових модулів: 4.

Загальна кількість годин: 108.

Тижневих годин:

І семестр – 2;

ІІ семестр – 2,5;

0101 Педагогічна освіта.

6010100.Початкове навчання.

Освітньо – кваліфікаційний рівень: бакалавр початкової освіти.

Обов’язкова.

Рік підготовки: 1.

Семестрів: 2.

Лекції: 26 годин.

Практичні: 48 годин.

Самостійна робота: 18 годин

Індивідуальна робота: 16 годин.

Вид контролю: екзамен.

Мета

Курс математики на факультеті початкового навчання повинен дати студентам майбутнім учителям початкових класів – математичну підготовку, необхідну для навчання учнів початкових класів математиці відповідно до введених в даний час шкільних програм і в разі впровадження в початкову школу нових питань математики; для розв’язання нестандартних завдань, які орієнтовані на учасників шкільних та всеукраїнських олімпіад; орієнтації у змісті викладання математики в середній школі; подальшої самостійної роботи з поглиблення і розширення фахової підготовки.


ПРОГРАМА

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ І

Елементи теорії множин

Тема 1. Поняття. 

Поняття про твердження. Поняття і відношення між ними. Означення понять.

Тема 2. Множини та відношення між ними.

Поняття множини. Способи задання множин. Точкові множини. Круги Ейлера. Рівність множин. Підмножина множини. Відношення між двома непорожніми множинами.

Тема 3. Операції над множинами.

Поняття про операції. Операції перерізу, об’єднання,  доповнення підмножини до множини і доповнення. Закони операцій над множинами. Число елементів у об’єднанні кількох скінченних множин. Поняття про розбиття множини на підмножини, які попарно не перетинаються (розбиття множини на класи). Розбиття множини на класи за допомогою однієї, двох і трьох властивостей її елементів. Кортеж та його основні характеристики. Впорядкована пара. Декартів добуток множин. Закони декартового множення множин. Число елементів в декартовому добутку кількох скінченних множин.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІІ

Відношення

Тема 1. Відношення між елементами двох множин

Відношення між елементами двох множин та його основні характеристики. Відношення протилежне і обернене даному. Граф відношення. Точковий графік відношення між елементами двох числових множин. Способи задання відношень.

Тема 2. Відношення на множині

Відношення на множині та його основні характеристики. Особливості графа відношення на множині. Способи задання відношень на множині. Основні властивості відношень на множині. Відношення еквівалентності. Відношення порядку та його види.

Тема 3. Функції і відображення

Поняття функції та її основні характеристики. Способи задання функцій. Відображення і їх види. Рівнопотужні множини. Потужність множини. Теорема про об’єднання рівнопотужних множин.

Тема 4. Комбінаторні задачі

Поняття про комбінаторну задачу і основні правила комбінаторики. Число всіх підмножин скінченної множини. Розміщення.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІІІ

Елементи математичної логіки

Тема 1. Логіка висловлень.

Поняття про твердження. Математичні твердження та їх види. Висловлення, логічне значення висловлення. Логічні сталі. Прості і складені висловлення. Пропозиційні змінні. Операції заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація та еквіваленція над висловленнями. Формули логіки висловлень. Тотожно істинні і тотожно хибні формули.

Рівносильні формули. Властивості операцій логіки висловлень. Відношення логічного слідування на множині висловлень.

Тема 2. Предикати.

Поняття про змінну в математиці. Предикат (висловлювальна форма) та його основні характеристики. Тотожно істинні, тотожно хибні і рівносильні предикати. Операції логіки висловлень над предикатами. Області істинності результатів цих операцій. Кванторні операції над предикатами. Правила побудови заперечення тверджень, що містять квантори. Відношення логічного слідування на множині предикатів. Необхідні і достатні умови.

Тема 3. Міркування та теореми.

Поняття про міркування. Правильні і неправильні міркування. Перевірка правильності міркувань за допомогою кругів Ейлера або наведення контрприкладу. Теореми і їх будова. Твердження, що пов’язані з даною теоремою, яка записана в імплікативній формі.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІV

Цілі невід’ємні числа

Тема 1. Множина цілих невід’ємних чисел. Теоретико-множинна побудова множини цілих невід’ємних чисел (кількісна теорія)

Короткі історичні відомості про виникнення натурального числа і нуля. Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел. Скінченні множини. Натуральні і цілі невід’ємні числа. Упорядкованість множини цілих невід’ємних чисел.

Тема 2. Арифметичні операції над цілими невід‘ємними числами

Означення суми цілих невід’ємних чисел та її існування і єдиність. Операція додавання цілих невід’ємних чисел та її властивості. Означення різниці цілих невід’ємних та її існування і єдиність. Операція віднімання цілих невід’ємних чисел. Зв’язок віднімання з додаванням. Правила віднімання числа від суми і суми від числа. Означення добутку цілих невід’ємних чисел та його існування і єдиність. Операція множення цілих невід’ємних чисел та її властивості. Означення частки цілого невід’ємного числа і натурального числа. Існування і єдиність частки. Операція ділення цілих невід’ємних чисел. Зв’язок ділення з множенням. Основна властивість частки. Правила ділення суми, різниці і добутку на натуральне число.

Тема 3. Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел.

Поняття про аксіоматичний метод побудови теорії. Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел. Аксіоми Пеано та деякі наслідки з них. Аксіоматичне означення арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами та їх властивості. Ділення з остачею. Теорема про ділення з остачею. Операція ділення з остачею. Принцип і метод математичної індукції. Упорядкованість множини цілих невід’ємних чисел. Дискретність і нескінченність множини цілих невід’ємних чисел. Принципи найменшого і найбільшого числа. Відрізок натурального ряду чисел.

Тема 4. Натуральне число як результат вимірювання величин.

Відрізки та відношення між ними. Операції над відрізками. Поняття про вимірювання відрізка. Натуральне число як міра відрізка. Додавання і віднімання натуральних чисел, що розглядаються, як міри відрізків. Множення і ділення натуральних чисел, що розглядаються як міри відрізків.

СТРУКТУРА ЗАЛІКОВОГО КРЕДИТУ КУРСУ

Тема

Кількість годин, відведених на:

Лекції

Практик. заняття

Самост. Роботу

Індивід. Роботу

Змістовий модуль 1. Множини. Операції над множинами

Тема 1. Поняття та їх означення

2

2

Тема 2. Множини та відношення між ними.

2

2

2

Тема 3. Операції над множинами.

2

8

2

Всього годин за модуль

6

12

4

4

Змістовий модуль 2. Відношення

Тема 1. Відношення між елементами двох множин.

2

2

2

Тема 2. Відношення на множині.

2

2

2

Тема 3. Функції та відображення.

2

2

2

Тема 4. Комбінаторні задачі. Алгоритми.

4

2

Всього годин за модуль

6

10

8

6

Всього годин за І семестр

12

22

12

10

Змістовий модуль 3. Елементи математичної логіки.

Тема 1. Логіка висловлень.

2

4

2

Тема 2. Предикати.

2

2

Тема 3. Міркування та теореми.

4

6

2

Всього годин за модуль

8

12

2

2

Змістовий модуль 4. Цілі невід‘ємні числа.

Тема 1. Множина цілих невід’ємних чисел. Теоретико-множинна побудова множини цілих невід‘ємних чисел (кількісна теорія).

2

2

2

Тема 2. Арифметичні операції над цілими невід’ємними числами.

2

6

2

Тема 3. Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел.

2

4

2

Тема 4. Натуральне число як результат вимірування величин.

2

2

Всього годин за модуль

6

14

4

4

Всього годин за ІІ семестр

14

26

6

6

Всього годин за навчальний рік

26

48

18

16

Теми практичних занять

№ п/п

Тема практичного заняття

Кількість годин відведених на практичне заняття

Змістовий модуль 1.

1.

Поняття та їх означення

2

2.

Множини та відношення між ними.

2

3.

Операції над множинами.

2

4.

Декартів добуток множин Розбиття множин на класи.

2

5.

Рівність множин.

2

6.

Контрольна робота № 1

2

Змістовий модуль 2.

1.

Відношення між елементами двох множин

2

2.

Відношення на множині та його властивості.

2

3.

Функції та відображення

2

4.

Комбінаторні задачі. Алгоритми.

2

5.

Контрольна робота №2.

2

Змістовий модуль 3.

1.

Висловлення та операції над ними. Поняття «формули логіки висловлень»

2

2.

Відношення логічного слідування на множині формул логіки висловлення. Тотожно істинні та рівносильні формули логіки висловлень.

2

3.

Предикати та операції логіки висловлень над ними.

2

4.

Відношення логічного слідування та рівносильності на множині предикатів. Необхідні та достатні умови.

2

5.

Міркування й теореми.

2

6.

Контрольна робота № 3.

2

Змістовий модуль 4.

1.

Теоретико–множинна побудова множини цілих невід’ємних чисел (кількісна теорія).

2

2.

Додавання й віднімання цілих невід‘ємних чисел.

2

3.

Множення й ділення цілих невід‘ємних чисел.

2

4.

Аксіоматичний підхід до побудови множини цілих невід’ємних чисел. Аксіоми Пеано.

2

5.

Властивості множини цілих невід’ємних чисел. Ділення з остачею. Метод математичної індукції.

2

6.

Відрізки й операції над ними. Натуральне число як міра відрізка.

2

7.

Контрольна робота № 4.

2

Завдання для самостійної роботи

  1.  Доведення властивостей операцій над множинами.
  2.  Розвязування задач на знаходження числа за сумою і різницею, за двома різницями, на кратне відношення: 3.9 – 3.30; 4.7 – 4.20; 5.4 – 5.20 [6].

3.Відрізки та відношення між ними. Операції над відрізками. Поняття про вимірювання відрізка. Натуральне число як міра відрізка. Додавання, віднімання, множення й ділення натуральних чисел, що розглядаються, як міри відрізків.

Навчальний проект

(Індивідуальне навчально-дослідне завдання)

Функції: №31–35 [4. с.80]

  1.  Міркування і теореми: № 26–27 [4, с.116].
  2.  Теоретико-множинна побудова множини цілих невід’ємних чисел: №1–7 [4, с.211].
  3.  Множення і ділення цілих невід’ємних чисел: №11–15 [4, с.212].
  4.  Аксіоми Пеано №17–23 [4, с.213].
  5.  Натуральне число як міра відрізка: №28 [4, с.213–214].

Методи навчання: лекції, практичні завдання.

Методи контролю: поточне тестування, оцінка за ІНДЗ, 4 контрольні роботи, підсумковий письмовий тест, колоквіум.

Розподіл балів, що присвоюються студентам

Модуль 1

Модуль 2 (ІНДЗ)

Підсумковий контроль

Сума

ЗМ 1

ЗМ 2

ЗМ 3

ЗМ 4

45

40

45

50

30

15

225

195 – 225 балів (90-100 % )— відмінно (А);

155 – 194 балів (75-89 %) — добре (В, С);

105 –154 балів (60-74 %)  — задовільно (D, Е);

59 – 104 балів (35-59 %) — незадовільно з можливістю повторного складання (FX);

1 – 58 балів (1-34 %) — незадовільно з обов'язковим повторним курсом (F).

За кожне лабораторне заняття студент може отримати максимально – 5 балів; за контрольну роботу – 10 балів; за тести, що проводяться в кінці кожного змістового модуля – 10 балів. Підсумковий контроль передбачає написання контрольної роботи що включає 3 теоретичні питання вивченого курсу математики

Методичне забезпечення: конспекти лекцій, методичні розробки до проведення практичних занять, навчальні посібники, нормативні документи, ілюстративні матеріали, зміст контрольних робіт із зразками їх розв’язання, питання тестового контролю.

Література

а) основна:

  1.  Курс математики / В.Н.Боровик, Л.М.Вивальнюк та ін. – К.: Вища школа, 1995р. – 392с.
  2.  Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики. Вид. 2-ге. – К.: Вища школа. Головне видавництво, 1987 р.
  3.  . Боровик Н. В.,. Зайченко І.В, Рудник А.В.. Математика. Практикум Ч.3: Навчальний посібник. – Чернігів, 2003.
  4.  Математика: посібник для студентів пед. факультетів/ О.М. Зуб, Г.І. Коберник, А.Д. Нещадим. – К.: Наук.світ, 2000. – 417с.
  5.  Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. – М.: Просвещение, 1988 р.
  6.  Задачник-практикум по метематике. / Под редакцией проф. Н.Я.Виленкина –М: Просвещение, 1977 р.
  7.  Збірник задач і вправ з арифметики для педагогічних училищ. Вид. 3-є. / В.А.Ігнатьєв, А.М.Ігнатьєв, Я.О.Шор. – К.: Рад. школа, 1964 р.
  8.  Задачник-практикум по математике / Н.Н.Лаврова, Л.П.Стойлова. – М.: Просвещение, 1985.
  9.  Методичні вказівки з математики. Частини І-УІІ / О.М.Зуб, А.Ф.Нещадим, - Умань, УДПІ, 1989-1992 рр.

б) додаткова:

  1.  Алгебра і теорія чисел. Частина І. / С.Т.Завало, В.М. Костарчук, Б.І. Хоцет –К.: Вища школа. Головне видавництво, 1975 р.
  2.  Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення. Вид.3-є. –К.: Радянська школа, 1975 р.
  3.   Боровик Н. В.,. Зайченко І.В, Рудник А.В.. Математика. Практикум у 7-ми ч.: Навчальний посібник. – Чернігів, 2003 – 2004.
  4.  Ковальчук В. Баб’як-Білецька Л., Сил юта Л., Стасів Н. Математика у 8-ми модулях.: Навчальний посібник для педагогічних вузів спец. “Початкове навчання”. – Дрогобич, 2001 – 2003.
  5.  Математика /Н.Я.Виленкин, А.М.Пышкало и др. –М.: Просвещение, 1977 р.
  6.  Сборник задач по математике. Пособие для педучилищ./ А.М.Пышкало, Л.П.Стойлова и др. –М.: Просвещение, 1979 р.
  7.  Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я. Целые неотрицательные числа. – М.: Просвещение, 1986 р.


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ І

(Елементи теорії множин)

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ

Тема 1: «Поняття та їх означення»

І. Організаційні питання

ІІ. Теоретичні питання

Поняття про твердження?

Види математичних тверджень. Відмінність між ознакою і властивістю об’єкта.

Поняття. Обсяг і зміст поняття. Геометричне зображення обсягу поняття.

Поділ понять за їх змістом. Приклади.

Поділ понять за їх обсягом.

Відношення між сумісними поняттями. Приклади.

Суть означення понять.

Означення понять через найближчий рід і видову ознаку. Приклади.

Інші види означень понять.

Неозначувані (первісні) і означувані поняття. Причина існування неозначуваних понять. Навести приклади неозначуваних понять.

Вимоги до означення понять. Помилки в означенях понять.

Що розуміють під контрприкладом?

ІІІ. Задачі для розв’язування

1. Навести приклади геометричних понять, які виражаються одним, двома, трьома і чотирма словами.

2. Назвати не менше 10 ознак квадрата.

3. Вказати декілька ознак, які входять в зміст понять:

прямокутник;

ромб;

бісектриса кута;

трикутник.

4. Назвати ознаки:

а) які мають прямокутник і ромб;

б) які має прямокутник і не має ромб;

в) які має ромб і не має прямокутник.

5. Вказати не менше 5 понять, які є родовими до поняття „квадрат”. Яке з них є найближчим до поняття „квадрат”? Чи єдине воно?

Зобразити відношення між обсягами цих понять за допомогою кругів Ейлера.

6. Вказати, у якому із випадків має місце твердження „поняття В є узагальненням поняття А”, якщо:

А – „відрізок”,   В – „пряма”;

А – „промінь”,   В – „пряма”;

А – „птах”,   В – „тварина”;

А – „коло”,   В – „круг”.

7. Чи можна ототожнити поняття:

коло і круг;

число і цифра;

пряма і відрізок;

коло і межа круга.

8. Які з тверджень істинні:

кожна властивість прямокутника є властивістю квадрата;

кожна властивість квадрата є властивістю прямокутника?

У якому відношенні знаходяться зміст та обсяг понять „квадрат” і „прямокутник”?

9. Чи можна за допомогою ознак виділити множину квадратів із множини:

ромбів;

паралелограмів;

чотирикутників?

Якщо ні, то вказати ознаку за допомогою якої це можна зробити.

10. Зобразити за допомогою кругів Ейлера відношення за обсягом між поняттями:

А – „прямі, які лежать в одній площині”;

В – „паралельні прямі”;

С – „мимобіжні прямі”;

D – „прямі, які перетинаються”.

В яких відношеннях попарно перебувають ці поняття?

11. Вказати і виправити помилки в наступних означеннях:

діаметром кола називається найбільша хорда, яка проходить через його центр;

площина і пряма, яка не лежить в цій площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються, скільки б їх не продовжували;

два рівних кути називаються вертикальними, якщо сторони одного з них є продовженням сторін другого;

дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються;

паралелограм, у якого всі кути прямі називається прямокутником;

рівними називаються трикутники, які рівні між собою;

лінія, всі точки якої рівновіддалені від заданої точки називається колом.

IV. Завдання для самостійної роботи

Теоретичні питання. Множини та відношення між ними.

Практичні завдання.

№321. [8, c. 62]. Зобразити відношення між обсягами наступних понять на кругах Ейлера:

а) А: „ціле число”;   В: „натуральне число”;   С: „відємне число”;

б) А: „дерево”;   В: „рослина”;   С: „кущ”:

в) А: „квадрат”;   В: „ромб з прямим кутом”.

№322. [8, c. 62]. Навести приклади понять, відношення між обсягами яких можуть бути зображенні з допомогою кругів Ейлера, зображенних на малюнку.

  а)                     б)                        в)                               г)

Для кожного із наступних понять вкажіть видове поняття: а) „тварина”; б) “рослина”; в) “багатокутник”; г) “дерево”; д) “частина мови”; е) “паралелограм”.

№331. [8, c. 64]. Дати означення поняття “квадрат”, вказавши наступне родове поняття:

а) “прямокутник”, б) “ромб”.

№335. [8, c. 65]. Перерахувати 5 властивостей квадрата.

№339. [8, c. 65]. Чи може одне і те ж поняття бути родовим по відношенню до деякого поняття А і видовим по відношенню до поняття В?

№340. [8, c. 65]. Чи можна виділити підмножину прямокутних трикутників із множини трикутників з допомогою властивості „мати прямий кут”?

№341. [8, c. 65]. Чи можна виділити підмножину гострокутних трикутників із множини трикутників з допомогою властивості „мати гострий кут”?

№343. [8, c. 66]. Вказати помилки в наступних означеннях:

а) прямокутник – це коли всі кути прямі;

б) відрізок – це пряма, обмежена з двох сторін;

в) промінь – це пряма, обмежена з однієї сторони;

г) просте число – це коли воно має тільки два натуральних дільники.

 

Тема 2: «Множини та відношення між ними»

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Поняття про множину. Елементи множини. Запис множин та їх елементів. Скінченні і нескінченні множини. Приклади множин.  Основні числові множини.
  2.  Геометрична фігура, як множина точок. Круги Ейлера.
  3.  Способи задання множин. Порожня і одинична множини.
  4.  Рівність множин.
  5.  Означення підмножини множини. Відношення включення множин та його властивості.
  6.  Види підмножин множини.
  7.  В яких відношеннях можуть знаходитись дві множини?
  8.  Множина всіх підмножин множини. Скільки підмножин у 5-елементної множини?
  9.  Універсальна множина та її зображення.

ІІІ. Задачі для розв’язування

1. Які назви використовують для означення:

  1.  множини тварин;
  2.  множини військовослужбовців?

Як називають множину всіх:

а) артистів, що працюють в одному театрі;

б) точок земної поверхні рівновіддалених від одного з полюсів;

в) точок земної поверхні рівновіддалених від обох полюсів?

2. Серед заданих множин вказати рівні:

А = {1, 3, 6};  В = {3, 6, 9};  С = {9, 6, 3};

Д = {3, 2, 6};           Е = {2, 3, 6};          = {3, 6, 9};

К = {3, 6, 2}.

3. Серед даних множин вказати порожні:

А – множина прямокутників з нерівними протилежними сторонами;

В – множина прямокутників з нерівними діагоналями;

С – множина трикутників, медіани яких перетинаються в різних точках;

Д – множина цілих коренів рівняння  2х2 + 5х  12 = 0.

4. а) Задати переліком елементів множину натуральних чисел – дільників числа 36;

б) чи можна задати переліком елементів множину натуральних чисел, які кратні 36?

в) задайте дві попередні множини за допомогою характеристичних властивостей їх елементів. 

5. Серед даних множин вказати скінченні і нескінченні.

  1.  множина простих чисел;
  2.  множина парних чисел;
  3.  множина студентів університету;
  4.  множина розв’язків нерівності

х2  9х + 20 < 0;

  1.  множина теорем, доведених у підручнику з геометрії для 7 – 11 кл.;
  2.  множина цілих дільників числа 144;
  3.  множина точок прямої;
  4.  множина цілих чисел, які діляться на 3;
  5.  множина коренів рівняння х2 + 1 = 0.

6. Нехай М = {{3}}. Який із записів правильний:

{3}  М;   {3}  М?

7. Назвати власні підмножини множини:

  1.  паралелограмів;
  2.  трикутників;
  3.  натуральних чисел.

8. Відомо, що А  В і а  А. Які з тверджень істинні:

1) а  В;   2) а  В?

9. Відомо, що А  В і в  В. Що можна сказати про істинність тверджень:

1) в  А;   2) в  А?

10. №7. [8, c. 7].Задати числову множину описом характеристичної властивості елементів:

а) ]3; 8[;    б) ] – ; 7];

в) ] – ; – 3];   г) [ – 5,2; 0];

д) [ – 8; +  [;  е) ]2,7; +  [;

ж) [0; 7,8[;   з) ] – 4; 8].

11. №9[8, c. 7].Прочитати наступні висловлення і вкажіть серед них істинні:

а) 3  ]3; 12];           б) – 0,2  [– 0,3; 0];       в) 0  ] – ; 0];

г) 5  ]6; +  [;       д) 75  Q;                       е) 6,4  Z;

ж)  – 7  N;             з) 0,3  Z.

12. № 14 [8, c. 9]. Встановити у якому відношенні знаходяться множини А і В, якщо А = {a, b, c, d}, а множина В така:

а) В = {k, l, m};    б) В = {b, c, e, f, k};     в) В = {d, f, c, b, a};   г) В = {b, d}.

13. № 15[8, c. 9]. В якому випадку множини С і D перетинаються:

а) С – множина парних одноцифрових чисел,

D – множина непарних одноцифрових чисел;

б) С – множина парних одноцифрових чисел,

D – множина чисел, кратних 3;

в) С – множина прямокутних трикутників,

D – множина рівнобедрених трикутників;

г) С – множина прямокутників з рівними сторонами,

D – множина квадратів?

14. № 16[8, c. 10]. Зобразити за допомогою кругів Ейлера множини Р і Q, якщо Р – множина рівнобедрених трикутників, а Q є множиною:

а) гострокутних трикутників;

б) прямокутних трикутників;

в) рівносторонніх трикутників.

15. № 17[8, c. 10]. Дано множину С = {213, 45, 324, 732, 136}. Записати підмножину множини С, що складається із чисел, які:

а) діляться на 3;

б) діляться на 9;

в) не діляться на 4;

г) діляться на 5.

16. № 18 [8, c. 10]. А – множина прямокутників, D – множина квадратів. Довести, що множина D є підмножиною множини А та зобразіть дані множини за допомогою кругів Ейлера.

17. № 19 [8, c. 10]. А – множина паралелограмів, В – множина прямокутників, С – множина квадратів. Довести, що А  В і В  С. Зобразити дані множини за допомогою кругів Ейлера.

18. № 20 [8, c. 10]. Показати, використовуючи круги Ейлера, що якщо В  А і С  В,         то А  С.

IV. Завдання для самостійного опрацювання:

Теоретичні питання. Операції над множинами та їх властивості.

Практичні завдання.

№ 21[8, c. 10]. Дано множину М = {k, l, m}. Записати всі її: а) одноелементні підмножини; б) двохелементні підмножини; в) трьохелементні підмножини. Приєднайте до отриманих підмножин порожню множину. Скільки всього підмножин отримали?

№ 22[8, c. 10].  Записати всі підмножини множини К = {p, r, s, t}. Скільки їх вийшло?

№ 23[8, c. 10]. Скільки елементів у множині, яка має 32 підмножини? 128 підмножин?

№ 24[8, c. 10]. Чи існує така множина, яка: а) має всього 80 підмножин? б) не має жодної підмножини?

№ 25[8, c. 10]. Відомо, що N – множина натуральних чисел, Z – множина цілих чисел. Довести, що висловлення Z  N хибне.

№ 26[8, c. 10]. Зобразити за допомогою кругів Ейлера, що N  Z і Z  Q. Чи правильно, що Q  R?

 27[8, c. 10]. А – множина натуральних чисел, менших 20; В, С, D і E – підмножини множини А, такі, що В складається з чисел, кратних 6, С – із чисел, кратних 2, D – із чисел, кратних 3, Е – із чисел, кратних 2 і 3 одночасно. Перерахувати елементи множин В, С, D і E і вказати серед них рівні множини.

№ 28[8, c. 10]. М – множина натуральних розв’язків нерівності 2 ≤ х < 7, К – множина натуральних розв’язків нерівності 1 < х ≤ 6. Які з наступних висловлень істинні: а) М  К; б) К  М; в) М = К?

№ 30[8, c. 10]. А – множина двоцифрових чисел; В – множина парних натуральних чисел; С – множина натуральних чисел, кратних 4. В якому із випадків, зображених на малюнку, зображені дані множини? Навести приклади множин А, В і С, якщо їх зображення таке як на мал. в)

а)

б)

в)

№ 29[8, c. 10]. Довести, що А = В, якщо:

а) А – множина двоцифрових чисел, кратних 9, В – множина двоцифрових чисел, сума цифр яких кратна 9;

б) А – множина натуральних чисел, запис яких закінчується нулем, В – множина натуральних чисел, кратних 10.

Тема 3: «Операції над множинами»

І.Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання.

ІІ. Теоретичні питання.

  1.  Що розуміють під операцією над об‘єктами, операцією у множині? Навести приклади.
  2.  Означення об‘єднання двох і більше множин та зображення їх за допомогою кругів Ейлера. Операція об‘єднання множин.
  3.  Означення перерізу двох і більше множин та зображення їх за допомогою кругів Ейлера. Операція перерізу множин.
  4.  Різниця 2-х множин та зображення її за допомогою кругів Ейлера. Операція віднімання множин.
  5.  Доповнення підмножини до множини та зображення її за допомогою кругів Ейлера. Операція доповнення підмножини до множини.
  6.  Доповнення множини та зображення її за допомогою кругів Ейлера. Операція доповнення множини.

(Відповіді на питання 2 – 4 супроводжувати виконанням операцій над множинами:

А = { – 4, – 2, – 1, 0, 3, 5, 7, 9 },

В = { – 3, – 2, – 1, 3, 6, 8, 9 }).

  1.  Число елементів в об‘єднані 2-х множин.
  2.  Число елементів в об‘єднані 2-х множин, що не перетинаються.
  3.  Закони операцій над множинами.
  4.  Поняття про числову множину. Основні числові множини.
  5.  Основні підмножини множини дійсних чисел.

ІІІ. Задачі для розв’язування.

1. Визначити в якому значенні вживається сполучник „або” в наведених нижче твердженнях

(„нероздільному” – хоча б одне з двох; „роздільному” – тільки одне з двох; „те ж саме, що й”):

  1.  фігура є квадратом або правильним чотирикутником;
  2.  засідання старостату факультету відбудеться 20 або 21 вересня;
  3.  два кути з відповідно паралельними сторонами рівні або сума їх дорівнює 180º;
  4.  за походженням він обов‘язково робітник або колгоспник;
  5.  чотирикутник є ромбом або квадратом.

2. Нехай х  А  В. Які з наступних тверджень істинні:

  1.  х  А і х  В;  3) х  А;  5) х  А і х  В.
  2.  х  А і х  В;  4) х  В?

3. М – множина учнів класу, Х – множина хлопців класу, S – множина спортсменів класу, В – множина відмінників класу. Х  S  В  . Зобразити М, Х, S, В за допомогою кругів Ейлера. Відзначити штриховими лініями множини: У = В  (Х  S) та = Х  (S \ В) і задати їх за допомогою характеристичних властивостей елементів. Які з тверджень істинні:

а) у  У, якщо у – учень даного класу, який є хлопцем і спортсменом, але не навчається на „відмінно”;

б)  Z, якщо Zучень даного класу, який не є хлопцем, але займається спортом?

4. Користуючись зображенням числових множин на координатній прямій, виконати вказані операції над множинами:

1) (А  В) \ (С  Д),               а) А = ]  3; 7],   В = ] ; 10[,

2) (А  В)  (С \ Д),                   С = ]  1; 4[,   Д = [1; 5[;

3)(А \ В)  (С  Д);                б) А = ]  ; 6[,   В = [2;  [,

                                                      С = ]3; 5[,   Д = [4; 8[.

5. Користуючись операціями над множинами, виразити множину розв’язків рівняння

f1(х) · f2(х) · f3(х) = 0

через множини А, В, С відповідно розв’язків рівняння

f1(х) = 0,   ·f2(х) = 0,    f3(х) = 0.

6. Користуючись зображенням числових множин на координатній прямій, знайти: А  В,  А  В,   А \ В,  В \ А,  ,  , якщо:

1) А = {х  R \ (х + 1)(х – 1)(х – 5) = 0},

В = {х  R \ – 1  х < 5};

2) А = {х  R \ (х + 4)(х  1)(х  4) = 0},

В = {х  R \ – 2 < х < 6};

3) А = {х  R \ (х + 5)(х + 2)(х 1) = 0},

В = {х  R \ – 5  х < 0};

4) А = {х  R \ (х + 2)(х  3)(х  6) = 0},

В = {х  R \  4 < х  1}.

7. Позначимо через V один із знаків нерівностей >, <, , . Користуючись означенням операцій над множинами виразити множину розв’язків D системи нерівностей

f1(х) V q1(х),

f2(х) V q2(х)

через множини А і В розв’язків відповідних нерівностей f1(х) V q1(х) і f2(х) V q2(х).

8. Користуючись попередньою задачею, розв’язати системи нерівностей:

1)      2х  3  3х  1,

              х2  х  20 < 0;                 3)   х2  6х + 9  0,

               3х + 3 – 5х – 15.

2)       х2 + 2х + 9 < 0,

         1 – 2х  11;

ІV. Завдання для самостійної роботи

Теоретичні питання. Кортеж і декартів добуток множин. Розбиття множин на класи.

Практичні завдання.

1. № 15[4, c. 78]. Користуючись зображенням числових множин на координатній прямій, знайти

А  В, А  В, А \ В, В \ А, , ,   якщо

А = {х  R │ х2 – 5х + 6 = 0} і В = {х  R │ х2 – 7х + 10 = 0}.

2. Знайти:

  1.  (А \ В)  (С  Д),
  2.  (А  В) \ (С  Д),
  3.  (А  В)  (С \ Д),         якщо:

а) А = [ – 2; 5],   В = [3; [,

С = ]2; 10],   Д = [6; 12[.

б) А = ] – 3; 7]; В = ] – ; 3];

С = ]3; 5]; Д = [4; 9].

3. Розв’язати систему нерівностей.

х2 – 6х + 9 > 0,

6х + 1 > 2х + 5.

Тема 4: «Декартів добуток множин»

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Означення поняття «розбиття множин на класи» та умови розбиття.
  2.  Розбиття множин на класи за допомогою однієї, двох, n властивостей.
  3.  Поняття про кортеж. Основні властивості кортежу.
  4.  Декартів добуток множин. Операція декартового множення множин. Закони операції декартового множення.
  5.  Означення декартового добутку більш як двох множин.
  6.  Число елементів у декартовому добутку кількох множин.
  7.   Означення декартового n-го степеня множини.

ІІІ. Задачі для розв’язування

1. Скільки букв у слові „математика”? Записати множину букв слова „математика”. Записати кортеж букв цього слова.

2. Дано множини А = {1, 2, 3} і В = {а, в, с}. Вказати серед наведених нижче множин ті, які є підмножинами декартового добутку множин А і В:

  1.  М1 = {(1, а), (2, в), (3, в)};
  2.  М2 = {(1, а), (1, в), (2, а), (2, в), (в, 2)};
  3.  М3 = {(2, в), (3, в), (4, а), (3, с)};
  4.  М4 = {(1, а), (1, в), (1, с), (2, а), (2, в), (2, с), (3, а), (3, в), (3, с)};
  5.  М5 = {(3, а), (3, в), (3, с), (5, с)};
  6.  М6 = .

Котра з них рівна А  В?

3. Знайти А  В і В  А та зобразити їх на координатній площині, якщо:

  1.  А = {1, 2, 3} і В = {2, 3};
  2.  А = {1, 2, 3} і В = А;
  3.  А = {1, 2, 3} і В = ;
  4.  А = {1, 2, 3} і В = R.

4. Зобразити А  В і В  А на координатній площині, якщо:

  1.  А = R,              В = ] – 3; 5];
  2.  А = ] – ; 5],   В = [ – 2; 6[;
  3.  А = ]  4; 7[,     В = [ – 2; 6].

5. На координатній площині побудовано пряму, яка паралельна осі Оу і проходить через точку Р (  3; 1). Встановити, зображенням декартового добутку яких 2-х числових множин, є ця пряма?

6. Вcтановити декартовий добуток, яких двох числових множин, зобразиться на координатній площині півплощиною з межею, що паралельна одній з координатних прямих? Розглянути інші випадки і описати.

7. Побудувати прямокутник з вершинами А (  3; 5),        В ( – 3; 8), С (7; 5), D (7; 8). Задати множину точок прямокутника АВСD у вигляді декартового добутку множин Х і У.

8. Дівчинка має 5 різних спідничок і 6 різних кофтинок. Скількома різними способами може одягатися дівчинка?

ІV. Завдання для самостійної роботи

Теоретичні питання. Рівність множин.

Практичні завдання.

№ 63[8, c. 20]. Записати всі двоцифрові числа, цифри десятків яких, належать множині А =  {4, 5, 6}, а цифри одиниць – множині В = {3, 7}.

№ 65[8, c. 20]. Перерахуйте елементи, які належать множині Х × У, якщо:

а) Х = {а, b, с}, У = {k, l};          б) Х = {а, b, с}, У = {d};

в) Х = {а, b, с}, У = Х;                г) Х = {а, b, с}, У = .

№ 66[8, c. 20]. Відомо, що А  В = {(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Встановити, з яких елементів складаються множина А і множина В.

№ 68 (г, д, е, ж) [8, c. 21]. Зобразити на координатній площині А  В і В  А, якщо: 

г) А = [1; 7],       В = [2; 6];

д) А = [ –3; 2],   В = [0; 5[;

е) А = R;            В = [ –2; 2];

ж) А = ] –3; 2[,  В = R.

№ 71[8, c. 21]. Встановити, декартів добуток яких двох множин зображений на координатній площині у вигляді прямих кутів, що утворюються при перетині координатних осей.

№ 72[8, c. 21]. На координатній площині побудувати пряму, паралельну осі ОХ, що проходить через точку Р (–2, 3). Встановіть, декартів добуток яких двох множин зображений на координатній площині у вигляді цієї прямої.

№ 77[8, c. 22]. Записати множину букв слова „паралелограм”. Записати кортеж букв, що входять до цього слова. Яка довжина цього кортежу?

№ 78[8, c. 22]. Скільки цифр у записі числа 178 877? Скільки різних цифр у записі цього числа? Дайте відповіді на дані запитання і переформулюйте їх, використовуючи поняття множини і кортежу.

Задачі для роботи з учнями початкових класів

  1.  Використовуючи цифри 1, 2, 3, записати всі можливі двоцифрові числа.
  2.  Як можна, користуючись банками ємкості 3 і 5 л, налити з крана 1 л води?
  3.  Скількома способами дівчинка може одягнути ляльку, у якої є 4 спіднички і 2 кофтинки? Зробити схематичний рисунок.

Тема 5: «Рівність множин. Розбиття множин на класи»

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

Означення рівності двох множин. Що показує означення рівності множини? Яка схема доведення рівності множин?

Дати означення поняття “розбиття множин на підмножини, які попарно не перетинаються (розбиття множин на класи).”

На скільки найбільше класів може бути розбитою множина за допомогою однієї, двох і трьох властивостей?

ІІІ. Задачі для розв’язування.

1. Зобразити ліву і праву частини рівності двох множин за допомогою кругів Ейлера і довести її:

а) (А\В)  (АС) = А\ (В\С);

б)  =   ;

в)   (В\С) = ( В)\С;

г) \(В  С) = ;

д) (\В)\С = ;

е)   С    ;

є) (АВ)\С  (АВ)  .

2. Чи мають місце рівності для множин:

а) (А\В)\С = А\(В\С);    

б)  = \В;     

в) (АВ)\С = (А\С)  (В\С)?

3. Довести правий дистрибутивний закон операції декартового множення відносно об’єднання і лівий – відносно різниці.

4. Із множини Х = {а, b, c, d, e, h, k, l} виділено підмножини. Встановити в якому із наступних випадків відбулося розбиття множини Х на класи.

1) А = {а, b, c},  В = { h, k},  С = {d, l, e},

2) А = {а},   В = {b, c, d},  С = {k, l},

3) А = {k, h, l},  В = {а, b, c, l}, С = {e, h, d},

4) А = {а, b, c},  В = {d, e, h, k, l}, С = .

5. Із множини всіх трикутників виділено такі підмножини трикутників:

1) рівнобедрені, рівносторонні, прямокутні;

2) гострокутні, тупокутні, прямокутні;

3) рівносторонні, тупокутні, прямокутні.

Встановити в якому із цих випадків відбулося розбиття множини трикутників на класи.

6. У множині М деякого класу виділено підмножини А, В, С, такі що А  В  С  .

Відомо, що елементи множин А, В і С мають відповідно властивості

В – В(х): “учень х навчається добре або відмінно”,

А – А(х): “учень х є активістом”,

С – С(х): “учень х є спортсменом”.

Зобразити множини М, А, В і С за допомогою кругів Ейлера. Встановити на скільки класів розбивається множина М за допомогою цих властивостей. Вказати характеристичні властивості елементів певного класу.

Розглянути різні випадки.

ІV. Завдання для самостійного опрацювання

Теоретичні питання. Відношення між елементами двох множин.

Практичні завдання. Підготуватись до контрольної роботи і розв’язати завдання:

1. Зобразити ліву і праву частини рівності двох множин за допомогою кругів Ейлера і довести її:

а) (АВ)\С = (А\С)  (В\С);

б) (А)\В = А\(В  С).

    2.  Чи має місце відношення рівності для множин:

(АВ)\С = (А\С)  В?

3. № 59. [8, с.19]. З’ясувати, в яких випадках класифікація виконана правильно:

а) трикутники діляться на прямокутні і рівнобедрені;

б) кути класифікуються на гострі, прямі і розгорнуті;

в) цілі числа можна розбити на натуральні числа, число 0 і від’ємні цілі числа;

г) дієслова української мови діляться на дієслова теперішнього, майбутнього і минулого часу;

д) члени речення бувають головні і другорядні.

4) № 60. [8, с.19]. З множини Т трикутників виділили дві підмножини: Х – підмножина прямокутних трикутників і У – підмножина рівнобедрених трикутників. Зобразити дані множини кругами Ейлера; встановити, на скільки областей, які попарно не перетинаються, розбився круг, що зображає множину Т, і всі множини, які зображені цими областями, задайте описом характеристичних властивостей елементів. За допомогою скількох властивостей проведено розбиття множини трикутників на класи?

5) № 98. [8, с.24]. Із множини N виділили дві підмножини: А – підмножина натуральних чисел, кратних 3, і В – підмножина натуральних чисел, кратних 4. Побудуйте круги Ейлера для множин N, А, В; встановіть, на скільки множин, які попарно не перетинаються, розбилась множина N; вкажіть характеристичні властивості елементів цих множин.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 1

Завдання 1. Користуючись зображенням числових множин на координатній прямій, знайти:

  1.  , якщо А = [2; 6 [, В = [ 4; + ∞ [, C = ] – 3; 5 ], F = ]– ∞;– 1[.
  2.  , якщо А = [– 3; 2], В = [ 3; +∞ [, C = ] 0; 5[, F = ]– ∞; 6[.
  3.  (BF) (C \ A), якщо А = [ 4; + ∞ [,  В = ]– ∞; 1[, C = ] –4; 5[, F = [–  2; 3].
  4.  (A \ B)  (CF), якщо A = ]– ∞; 5], B = ]– ∞; – 4[, C = ]– 1; 3], F = [0; + ∞ [
  5.  (AB) \ (CF), якщо A = ]– ∞; 2[, B = [– 5; 4[, C = [– 1; 6], F = [3; + ∞ [.
  6.  (AB)  (C\F), якщо A = ] 3; 6[, B = ]4; + ∞ [, C = [– 1; 7], F = ]– ∞; 1[.
  7.  (AB) \ (CF), якщо A = ] –1; 5], B = ]– 3; 3[, C = ]– ∞; 7], F = ]1; + ∞ [.
  8.  (AB) \ (CF), якщо A = ]– 4; 8], B = ]0; + ∞ [,C = [– 2; 6[, F = ]– ∞; 2].
  9.  (AB)  (C \ F), якщо A = [4; 7], B = ]– ∞; 5[, C = [0; +∞ [, F = ]– 3; 2].
  10.  (A \ B)  (CF), якщо A = [– 5; + ∞[, B = ]– ∞; 2[, C =    ]– 1; 6[, F = [– 3; 4].

Зразок розв’язування. Користуючись зображенням числових множин на координатній прямій, знайти (АÇВ)\(СÈF) , якщо  А = ] – ¥; 5], В = ] – 2; 7[, С = ] – 1; 4], F= ] 0; +¥[.

►Зобразимо множини А і В, С і F на координатних прямих (мал. 1 і 2).

Мал. 1

Мал. 2

Знайдемо множини АÇВ і СÈF, користуючись означеннями перерізу і об'єднання множин:

АÇВ = ] – 2; 5];      CÈF = ] – 1; +¥[.

Зобразимо одержані множини АÇB і СÈF на координатній прямій (мал. 3).

  Мал. 3

Користуючись означенням різниці множин, дістанемо шукану множину

ÇВ)\(СÈF) =] – 2; – 1].

Відповідь: ] – 2; – 1] .◄

Завдання 2. Користуючись зображенням числових множин на координатній прямій, знайти А ∩В, А В, А \ В, В \ А,  і , якщо:

  1.  A = {х   R | (х – 2) (х – 3) (х – 5) = 0} i B = {х  R | 1  х < 5}.
  2.  A = {х  R | (х + 5) (х + 1) (х – 2) = 0} i B = {х  R | - 3 < х  3}.
  3.  A = {х  R | (х – 3) (х – 6) (х – 8) = 0} i B = {х  R | 2  х < 7}.
  4.  A = {х  R | (х – 3) (х – 7) (х – 9) = 0} i B = {х  R | 4 < х < 8}.
  5.  A = {х  R | (х – 4) (х – 6) (х – 8) = 0} i B = {х  R | 5  х < 8}.
  6.  A = {х  R | (х + 4) (х + 1) (х – 3) = 0} i B = {х  R | – 3  х < 4}.
  7.  A = {х  R | (х + 6) (х – 3) (х – 7) = 0} i B = {х  R | 2  х < 6}.
  8.  A = {х  R | (х + 3) (х + 4) (х – 1) = 0} i B = {х  R | – 5  х < 0}.
  9.  A = {х  R | (х – 2) (х – 3) (х – 5) = 0} i B = {х  R | 1 < х  4}.
  10.  A = {х  R | (х – 2) (х – 5) (х – 7) = 0} i B = {х  R | 3  х  7}.

Зв’язок розв’язування. Користуючись зображенням числових множин на координатній прямій, знайти АÇВ, АÈВ, А\В, В\А, , , якщо А = {хÎR | (x + 3)(x – 1)(x – 5) = 0} i B={хÎR | – 1  x < 5}.

► Записи множин А і В, які задані за допомогою характеристичних властивостей їх елементів, не досить зручні для знаходження результатів операцій над ними. Знайдемо інші їх записи. Множина А є множиною розв'язків рівняння

(х + 3)(х – 1)(х – 5) = 0,

які є дійсними числами і є об'єднанням множин розв'язків кожного із рівнянь

х + 3 = 0,    х – 1 = 0,    х – 5 = 0,

тому що добуток кількох множників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли принаймні один із множників дорівнює нулю.

Множина В є числовим проміжком із кінцями –1 і 5, який замкнений знизу і відкритий зверху.

Отже, дані множини можна записати так:

А = { – 3; 1; 5} і В = [ – 1; 5[.

Зобразимо їх на координатній прямій, мал. 4.

Мал. 4

Множини А і В є підмножинами множини дійсних чисел R, а тому її можна прийняти за універсальну множину. Виконуючи вказані операції над множинами А і В, будемо мати:

АÇВ = {1};          АÈВ = { – 3 }È[ – 1; 5];

А\B = { – 3 ; 5};    B\А = [ – 1; 1[ È ]1; 5[;

= ] – ¥; – 3 [ È ] – 3; 1[ È ] 1; 5 [ È ] 5; +¥ [; 

= R\B = ] – ¥; – 1[ È  [5; +¥[.◄

Завдання 3.

  1.  Нехай К – множина жителів міста, М – множина чоловіків у місті, С – множина спортсменів міста, Р – множина робітників міста, причому МÇPÇС. Зобразити множини К, М, Р і С за допомогою кругів Ейлера, відмітити штриховими лініями множини Х = (МÇ P) ÈC і У =  та вказати характеристичну властивість елементів цих множин.
  2.  Нехай М – множина учнів школи, В – множина учнів восьмих класів школи, D – множина дівчат школи, С – множина учнів-спортсменів школи, причому ВÇDÇС.  Зобразити множини М, В, D і С за допомогою кругів Ейлерa, відмітити штриховими лініями множини X=(CÈD)|B і У = ÈС) ÇD та вказати характеристичну властивість елементів цих множин.
  3.  Нехай М – множина жителів міста, D – множина дівчат у місті, С – множина  учасників художньої самодіяльності у місті, S – множина старшокласників у місті, причому DÇ СÇ S .  Зобразити за допомогою кругів Ейлера множини М, D, С і S, відмітити штриховими лініями множини  і У = (SÇ D)/C та вказати характеристичну властивість елементів цих множин.
  4.  Нехай М – множина учнів школи, А – множина активістів школи, В – множина відмінників школи, С – множина учнів сьомих класів школи, причому  . Зобразити множини М, А, В і С за допомогою кругів Ейлера. Відмітити штриховими лініями множини  і У=(СÇ В) ÈА та вказати характеристичну властивість елементів цих множин.
  5.  Нехай М – множина учнів школи, С – множина учнів сьомих класів школи, S – множина спортсменів школи, P – множина учасників художньої самодіяльності школи, причому . Зобразити за допомогою кругів Ейлера множини М, С, S, і Р, відмітити штриховими лініями множини S і УS та вказати характеристичну властивість елементів цих множин.
  6.  Нехай S – множина спортсменів України, В – множина спортсменів області, D – множина спортсменів жінок України, М – множина легкоатлетів  України, причому  . Зобразити множини S, В, D і М за допомогою кругів Ейлера, відмітити штриховими лініями множини  і У та вказати характеристичну властивість елементів цих множин.
  7.  Нехай М – множина студентів факультету, В – множина відмінників факультету, D – множина студентів другого курсу факультету, С – множина спортсменів факультету, причому . Зобразити множини М, В, D і С за допомогою кругів Ейлера, відмітити штриховими лініями множини  і У та вказати характеристичну властивість елементів цих множин.
  8.  Нехай М – множина студентів інституту, С – множина студентів-юнаків інституту, Т – множина студентів третього курсу інституту, Н – множина студентів інституту, які беруть участь у науково-дослідній роботі, причому СТН. Зобразити за допомогою кругів Ейлера множини М, С, Т і Н, відмітити штриховими лініями множини Х = (СН) і С \ () та вказати характеристичну властивість елементів цих множин.
  9.  Нехай S – множина учнів педагогічного училища, М – множина юнаків, які навчаються в училищі, Р – множина учнів першого курсу училища, С – множина учнів училища, які беруть участь у художній самодіяльності, причому МРС. Зобразити множини S, M, P і C за допомогою кругів Ейлера, відмітити штриховими лініями множини  та вказати характеристику властивість елементів цих множин.
  10.  Нехай М – множина учнів школи, В – множина учнів восьмих класів школи, D – множина учнів дівчат школи, С – множина  учнів учасників художньої самодіяльності школи, причому . Зобразити множини М, В, D і С за допомогою кругів Ейлера, відмітити штриховими лініями множини Х = () і  та вказати характеристичну властивість елементів цих множин.

Зразок розв’язування. Нехай М – множина учнів школи, D – множина дівчат школи, B – множина відмінників школи, С – множина спортсменів школи, причому DÇВÇС ¹  Æ. Зобразити множини М, D, B і С за допомогою кругів Ейлера. Відзначити штриховими лініями множини

Х = (DÇB)\C     і     У = Ç(BÈC).

та  вказати характеристичну властивість їх елементів.

1. Множини D, B і С є підмножинами множини М, а тому її можна прийняти за універсальну множину. Відомо, що DÇBÇС ¹ Æ, тоді графічно задані множини можна зобразити так, як показано на мал.  4.

   

           Мал.4                                                                   Мал. 5

2. Зобразимо на мал. 5 множини М , В , D і С , як і на мал. 4, і, користуючись означеннями операцій над множинами, відзначимо штриховими лінями множини DÇB і (DÇB)\C –. Отже, множина X = (DÇB)\С заштрихована – ..  

Розглядаючи мал. 5, встановлюємо, що множина X може бути задана такою характеристичною властивістю її елементів: Р(х) – " х – учень школи, який є дівчиною і відмінницею, але не є спортсменкою" .

3. Зобразимо на мал. 6 множини М, D, B  і С , як і на мал. 4, і, користуючись означенням операцій над множинами, відмітимо штриховими лініями множини

– |||, BÈC – ∕∕∕,             Ç(BÈC)  –

Отже, множина У = Ç(BÈC) заштрихована – .

               Мал. 6

Розглядаючи мал. 6, встановлюємо, що множина У  може бути задана такою характеристичною властивістю її  елементів: Q (y) "y – учень школи, який є відмінником або займається спортом, але не є дівчиною". Властивість Q (у)  можна сформулювати інакше: "y – учень школи, який є хлопцем, що є відмінником або спортсменом". 

Завдання 4. Зобразити ліву і праву частини рівності множин за допомогою кругів Ейлера та довести її:

1. ,   2.

3.    

4.

5. ,   

6.

7.   

8.

9.    

10.

Зразок розв’язування. Зобразити ліву і праву частину рівності  множин за допомогою кругів Ейлера та довести її:

()\С =                (1)

►1. Проілюструємо доводжувану рівність (1) за допомогою кругів Ейлера. Вона містить доповнення, а тому множини А, В і С є підмножинами деякої універсальної множини U, яку зобразимо прямокутником (квадратом). На мал. 7 зобразимо ліву частину рівності, а на мал. 8 – праву.

Відзначимо штриховкою на відповідних малюнках результати виконання операцій над множинами:

–  ||||, \B –,  (\B)\С – ;   АÈВÈС – АÈВÈС – .

( \ B) \ C –       –

 Мал. 7      Мал. 8

Порівнюючи малюнки, приходимо до висновку, що множини ()і  зображаються однаковими фігурами за допомогою кругів Ейлера.

II. Доведемо рівність (1) аналітично.

  1.  Нехай х - довільний елемент такий, що

хΠ() Þ                  за означеним різниці множин

хÎі хÏС Þ               за означенням різниці множин

хΠі хÏВ і хÏС Þ        за означенням доповнення множини

хÏА і хÏВ і хÏС Þ         за означеним об'єднання множин

хÏАÈВÈС Þ                 за означенням доповнення множини

хÎ.

Отже, будь-який елемент множини () є елементом множини , тобто, за означенням підмножини, має місце включення

()Ì              (2)

2.Нехай тепер х – довільний елемент такий, що

хÎ Þ              за означенням доповнення множини

хÏАÈВÈС Þ                 за означенням об'єднання множин

хÏА і хÏВ і хÏС Þ        за означенням доповнення множини

хÎ і хÏВ і хÏС Þ       за означенням різниці множин

хÎ\В і хÏС Þ             за означенням різниці множин

хΠ()\С.

Значить, будь-який елемент множини є елементом множини (\В)\С, тобто, за означенням підмножини, має місце включення                      

()É         (3)

На основі (2) і (3), та за антисиметричною властивістю відношення включення, має місце доводжувана рівність (1). ◄

Завдання 5. Зобразити на координатній площині множини А  В і В  А, якщо:

1. А = R і В = ] – 2; 4],           

2. A = ]– 3; + ∞ [ і В = [– 1; 5[,

3. A = ] – ∞; 2] і B = ] – 2; + ∞ [,

4. A = ]– ∞; 4[ і B = R,

5. A = [– 3; 4[ і B = [– 2; 5],   

6. A = [– 1; 6[ і B = R,

7. A = ] – 4; 2] і B = ] – ∞; 3],    

8. A = ]– 2; + ∞ [ і B = ]– ∞; 4],

9. A = R і B = ] – 1; + ∞ [,    

10. A = ] – 1; 5] і B = [– 2; 7[.

Зразок розв’язування. Побудувати точкові графіки множин  А  В і      В  А, де  А = ] – ¥; 3] i В = [ – 1; 6 [.

► Множини А  В і В  А, є підмножинами декартового квадрата множини дійсних чисел R, точковим графіком якого є площина. Для побудови точкових графіків потрібно на площині ввести систему координат хОу, а множини A  B і B  А задати характеристичними властивостями їх елементів (пар): A = {xÎR | x3} і B = {yÎR | -1 y < 6}.

1. Побудуємо точковий графік множини

А  В: = {(х, у) Î R2| x  3 і – 1 y <6}. (1)

Зобразимо на осі Ох множину А, а на осі Оу – множину В. З (1) видно, що:

1) абсциси х точок множини А  В  задовольняють умову     х  3, а всі точки площини з такими абсцисами розміщені на прямій x = 3 або лівіше від неї;

2) ординати у точок множини А  B  задовольняють умову – 1 y < 6, а всі точки площини з такими ординатами знаходяться на прямій у = – 1 або вище від неї і нижче прямої y = 6.

Переріз множин точок координатної площини, які розміщені на прямій х = 3 або лівіше від неї та на прямій у= – 1 або вище від неї і нижче прямої у = 6 є точковим графіком декартового добутку А  В, на мал. 9 він заштрихований, де для зручності прямі, точки яких не належать йому, проведені пунктиром.

Мал. 9

2. Побудуємо тепер точковий графік множини

В  А:={(x, y) ΠR2| – 1 x <6 i у 5 }.            (2)

На осі Ох зобразимо вже множину В, а на осі Оу – множину А. 3 (2) видно, що:

1) абсциси x точок множини В  А  задовольняють умову    1 x < 6, а всі точки площини з такими абсцисами розміщені на прямій х = – 1  або правіше від неї і лівіше від прямої x = 6;

2) ординати у точок множини В  A задовольняють умову   у  3, а всі точки площини з такими ординатами знаходяться на прямій y = 3 або нижче від неї.      

Переріз множин точок координатної площини, які розміщені на прямій х = – 1  або правіше від неї і лівіше від прямої х = 6 та на прямій у = 3 або нижче від неї, є точковим графіком декартового добутку ВА, на мал. 10 він заштрихований.

  Мал. 10

Відповідь: точковими графіками множин  А  В і В  А, будуть геометричні фігури, заштриховані на мал. 9, 10 відповідно. ◄

Завдання 6. Знайти помилки в означенні. Сформулювати означення правильно і виділити в ньому родове поняття й видову ознаку.

  1.  Прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
  2.  Дві прямі називаються мимобіжними, якщо вони не перетинаються.
  3.  Хордою називається пряма, яка з’єднує дві точки кола.
  4.  Діаметром кола називається найбільша хорда, яка проходить через його центр.
  5.  Відрізком називається частина прямої.
  6.  Променем називається частина прямої.
  7.  Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони й кути рівні.
  8.  Квадратом називається ромб, у якого всі сторони й кути рівні.
  9.  Многокутник називається правильним, якщо всі його сторони рівні.
  10.  Многокутник називається правильним, якщо всі кути рівні.

Зразок розв’язування. Знайти помилки в означенні: прямокутником називається чотирикутник, у якого діагоналі рівні. Сформулювати означення правильно та виділити в ньому родове поняття й видову ознаку.

► Означення сформульовано неправильно, бо обсягу цього поняття належатиме поняття „рівнобічна трапеція”, яка не є прямокутником. У цьому означенні неправильно вказане родове поняття – чотирикутник. Правильним буде означення: прямокутником називається паралелограм, у якого діагоналі рівні.

Родовим поняттям є поняття „паралелограм”, а видовою ознакою – рівність діагоналей. ◄

ТЕСТИ

Елементи теорії множин (Модуль 1)

 

1. Під множиною розуміють:

а) натуральне число;    

б) точки площини;      

в) сукупність об’єктів, об’єднаних деякою спільною ознакою;

г) дійсні числа.

2. Те, що елемент а належить множині А записують:

а) ;  б) ;  в) ;  г) .

3. Те, що елемент в не належить множині А записують:

а) ;   б) ;  в) ;  г) .

4. Множина, елементами якої є числа називається:

а) натуральними числами;         в) множиною дійсних чисел;

б) числовою множиною;                г) множиною цілих чисел.

5. Множина цілих чисел позначається:

а) Z;   б) N0;   в) Q;   г) R.

6. Множина натуральних чисел позначається:

а) Z;   б) N0;   в)N;   г) R.

7. Множина цілих невід’ємних чисел позначається:

а) Z;   б) N0;   в)N;   г) R.

8. Множина раціональних чисел позначається:

а) Z;   б) N0;   в) Q;   г) R.

9. Множина дійсних чисел позначається:

а) Z;   б) N0;   в) Q;   г) R.

10. Множина задається:

а) таблицею;                    в) переліком елементів;

б) ознакою;   г) характеристичною властивістю елементів.

11. Якщо множина А задається переліком елементів, то це записується так:

а) ;                                        в) А = а1, а2, …ап;

б) А = а1, а2, …ап;                                 г) А = ххR і х >0.

12. Якщо множина А задається характеристичною властивістю Р(х) її елементів, то це записується так:

а) А = а1, а2, …ап;                      в) А = а1, а2, …ап

б) ;                           г) А = Р(х).

13. Якщо множина А є порожньою, то це записується:

а) А = ;  б) А = ; в) А = 0;  г)  = .

14. Множина називається нескінченною, якщо:

а) елементи її нескінченні;      

б) елементи її необмежені;

в) вона має багато елементів;

г) елементи її не можна перерахувати.

15. Множина називається скінченною, якщо:

а) елементи її можна побачити;

б) вона обмежена;

в) елементи її можна перерахувати;

г) вона не має елементів.

16. Множина називається точковою, якщо:

а) елементами її є точки координатної площини;

б) елементами її є точки координатної прямої;

в) елементами її є точки;

г) елементами її є точки однієї площини.

17. Геометричною фігурою називається:

а) довільна непорожня точкова множина;

б) множина точок площини;

в) множина точок простору;

г) плоска фігура.

18. Фігура називається плоскою, якщо:

а) деякі її точки належить площині;

б) всі її точки належать одній площинні;         

в) якщо вона є трикутником;

г) її точки належать площині.

19. Фігура називається просторовою, якщо:

а) не існує площини, якій би належали всі точки даної фігури;

б) вона знаходиться в просторі;

в) якщо вона необмежена;

г) якщо її можна наповнити рідиною.

20. Множини називаються рівними, якщо:

а) кожен елемент однієї множини є в другій;

б) вони складаються з одних і тих самих елементів;

в) кожен елемент однієї множини є в другій і кожен елемент другої множини є в першій;

г) вони мають однакову кількість елементів.

21. Які твердження є істинними:

а) елементи в множині не повторюються;

б) елементи в множині можуть повторюватися;

в) порядок слідування елементів в множині має значення;

г) порядок слідування елементів в множині не істотний?

22. Відношення рівності множин має такі властивості (вказати групу, що включає всі властивості):

а) рефлексивну, антисиметричну, транзитивну;

б) антирефлексивну, симетричну, транзитивну;

в) рефлексивну, симетричну, антисиметричну;

г) рефлексивну, симетричну, транзитивну.

23. Множина Х називається підмножиною множини У, якщо:

а) кожен елемент множини У є в множині Х;

б) елементи їх співпадають;

в) якщо вони мають спільні елементи;

г) якщо всі елементи множини Х є елементами множини У.

24. Запис  читається:

а) елемент а належить множині В;

б) множина А належить множині В;

в) множина А рівносильна множині В;

г) множина А є підмножиною множини В.

25. Знак  називається знаком:

а) належності;                            в) паралельності;      

б) симетричності;                      г) включення.

26. Відношення включення має такі властивості:

а) рефлексивну, антисиметричну, транзитивну;

б) рефлексивну, симетричну, транзитивну;

в) антирефлексивну, симетричну, транзитивну;

г) антирефлексивну, антисиметричну, транзитивну.

27. Підмножина Х множини У називається власною її підмножиною якщо:

а) вона непорожня і не збігається з множиною У;

б) кожен елемент множини Х є елементом множини У;

в) множина У не порожня і кожен її елемент є у множині Х;

г) якщо множини такі, що Х  У.

28. Довільні дві множини :

а) є рівними або перетинаються;

б) або перетинаються або не перетинаються;

в) перебувають у відношенні включення;

г) перебувають у відношенні рівності.

29. Про дві довільні множини, які мають спільні елементи, говорять, що вони:

а) перебувають у відношенні включення;

б) перебувають у відношенні рівності;

в) перетинаються;

г) не перетинаються.

30. Дві довільні множини, які перетинаються, можуть перебувати тільки:

а) в одному з відношень: або включення, або рівності, або часткового збігу;

б) у відношенні включення, рівності і часткового збігу;

в) у родово-видовому відношенні;

г) у перехресному відношенні.

31. Які з тверджень правильні:

а) якщо  і , то А = В;

б) якщо , то ;               

в) якщо , то ;

г) якщо , то А = В?

32. Проміжок дійсних чисел ] а; в [ називається:

а) відкритим числовим проміжком;

б) закритим числовим проміжком;

в) закритим знизу і відкритим зверху числовим проміжком;

г) відкритим знизу і закритим зверху числовим проміжком.

33. Проміжок дійсних чисел [ а; в [ називається:

а) відкритим числовим проміжком;

б) закритим числовим проміжком;

в) закритим знизу і відкритим зверху числовим проміжком;

г) відкритим знизу і закритим зверху числовим проміжком.

34. Проміжок дійсних чисел ] а; в] називається:

а) відкритим числовим проміжком;

б) закритим числовим проміжком;

в) закритим знизу і відкритим зверху числовим проміжком;

г) відкритим знизу і закритим зверху числовим проміжком.

35. Проміжок дійсних чисел [ а; в ] називається:

а) відкритим числовим проміжком;

б) закритим числовим проміжком;

в) закритим знизу і відкритим зверху числовим проміжком;

г) відкритим знизу і закритим зверху числовим проміжком.

36. Запис [а; в] означає: всі дійсні числа, що знаходяться між числами а і в:

а) включаючи ці числа;

б) не включаючи ці числа;                    

в) включаючи число а і не включаючи в;

г) не включаючи числа а і включаючи в.

37. Запис [а; в[ означає: всі дійсні числа, що знаходяться між числами а і в:

а) включаючи ці числа;

б) не включаючи ці числа;

в) включаючи число а і не включаючи в;

г) не включаючи числа а і включаючи в.

38. Запис ] а; в] означає: всі дійсні числа, що знаходяться між числами а і в:

а) включаючи ці числа;

б) не включаючи ці числа;

в) включаючи число а і не включаючи в;

г) не включаючи числа а і включаючи в.

39. Запис ] а; в [ означає: всі дійсні числа, що знаходяться між числами а і в:

а) включаючи ці числа;                        

б) не включаючи ці числа;                   

в) включаючи число а і не включаючи в;

г) не включаючи числа а і включаючи в.

40. Під п-арною операцією розуміють:

а) правило, за яким п об’єктам, узятими в певному порядку ставиться у відповідність не більш як один об’єкт, що називається результатом операції;

б) правило за яким п об’єктам, узятими в певному порядку ставиться у відповідність тільки один об’єкт, що називається результатом операції;

в) правило за яким кожному елементу однієї множини ставиться у відповідність тільки один елемент іншої множини;

г) правило за яким кожному елементу однієї множини ставиться у відповідність не більш як один елемент іншої множини.

41. У випадку, коли компонента одна, операція називається:

а) унарною;      б) бінарною;      в) терарною;    г) оберненою.

42. У випадку, коли дві компоненти, операція називається:

а) унарною;     б) бінарною;    в) терарною;     г) оберненою.

43. Перерізом двох множин А і В називається:

а) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать обом цим множинам;

б) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А і не належать множині В;

в) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з цих множин;

г) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать одній із цих множин.

44. Об’єднанням множин А і В називається:

а) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать обом цим множинам;

б) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А і не належать множині В;

в) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з цих множин;

г) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать одній із цих множин.

45. Різницею двох множин А і В називається:

а) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать обом цим множинам;

б) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А і не належать множині В;

в) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з цих множин;

г) множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать одній із цих множин.

46. Яке з тверджень правильне:

а) якщо множина А є підмножиною множини В, то різниця В\А називається доповненням множини В до множини А;

б) якщо множина А є підмножиною множини В, то різниця А\В називається доповненням підмножини А до множини В;

в) якщо множина А є підмножиною множини В, то А\В називається доповненням множини В до множини А;

г) якщо множина А є підмножиною множини В, то різниця В\А називається доповненням підмножини А до множини В?

47. Доповненням множини А називається:

а) різниця між множинами В і А;  

б) різниця між множинами А і В;

в) множина, елементи якої належать множині В і не належать множині А;

г) різниця між універсальною множиною і множиною А.

48. Переріз множини А і В позначається:

а) А\В;  б) ;  в) ;  г) В\А.

49. Об’єднання множини А і В позначається:

а) А\В;   б) ;   в) ;  г) В\А.

50. Різниця множин А і В позначається:

а) А\В;   б) ;   в) ;  г) В\А.

51. Доповнення підмножини А до множини В позначається:

а) А\В;  б) ;   в) В\А;   г) .

52. Доповнення множини А позначається:

а) ;   б) ;  в)   \А;   г) .

53. Символічно означення перерізу множин А і В записується:

а) : = {х | х  А  або х  В};       в) : = {х | х  А і х  В};

б) : ={х | х  А  і х  В};             г) : = {х | х  А і .

54. Символічно означення об’єднання множин А і В записується:

а) : = ={х | х  А  і х  В};             в) : = {х | х  А і х  В};

б) : = ={х | х  А  і х  В};       г) : = {х | х  А  або х  В}.

55. Символічно означення різниці множин А і В записується:

а) А\В: = {х | х  А і х  В};           в) А\В: = {х | х  А або х  В};

б) А\В: = {х | х  В і х  А};           г) А\В: =  і х  В}.

56. Символічно означення доповнення множини А записується:

а) =   \А;    б) : = А\   ;     в) := В\А;     г) : = А\В.

57. Які з тверджень правильні:

а)  = А;  б)  = А;   в)  = ;   г)  = ?

58. Які з тверджень правильні:

а) U =U;    б) U = U;    в) U = А;    г) U = А? 

59. Вказати комутативний закон операції перерізу:

а) ;           в) ;

б) ;   г) .

60. Вказати комутативний закон операції об’єднання:

а) ;    в) ;

б) ;   г) .

61. Вказати асоціативний закон операції перерізу:

а) ;    в) ;

б) ;   г) .

62. Вказати дистрибутивний закон операції перерізу відносно об’єднання:

а) ;   в) ;

б) ;   г) .

63. Вказати дистрибутивний закон операції об’єднання відносно перерізу:

а) ;   в) ;

б) ;   г) .

64. Вказати асоціативний закон операції об’єднання:

а)  =;                      в)  = ;

б) ;     г) .

65. Вказати закон де Моргана, що пов’язує операції перерізу і доповнення:

а)  =;      в)  = ;

б) ;    г)  = .

66. Вказати закон де Моргана, що пов’язує операції об’єднання і доповнення:

а)  =;      в)  = ;

б) ;    г)  = .

67. Вказати закон подвійного заперечення:

а)  = ;                                 в)  = А;   

б)  =;                                г)  = .

68. Вказати закон ідемпотентності операції перерізу:

а) U = А;    б)  = ;    в)  А = А;   г)  U =U.

69. Вказати закон ідемпотентності операції об’єднання:

а) U = А;    б)  А = А;    в)  = А;    г) U =U .

70. Для довільних скінченних множин Х і У має місце рівність:

а) |Х| + |У| - ;      в) |Х| + |У| + ;

б)  - |Х| - |У|;        г) |Х| - |У| + .

71. Для довільних скінченних множин Х, У, Z має місце рівність:

а) |Х| + |У| + |Z| -  -  -  + ;

б) |Х| + |У| + |Z| -  +  +  + ;

в)  +  +  +  - |Х| - |У| - |Z|;

г)  +  +  -  - |Х| - |У| - |Z|.

72. Під кортежем у математиці розуміють:

а) сукупність об’єктів, об’єднаних деякою їх спільною властивістю;

б) скінченну сукупність об’єктів, розміщених в цілком визначеному порядку, причому об’єкти в кортежі можуть повторюватися;

в) впорядкована пара чисел, розміщених в цілком визначеному порядку;

г) сукупність об’єктів, які  не повторюються.

73. Об’єкти у кортежі називають:

а) елементами;  б) компонентами;  в) числами;  г) періодом.

74. Довжиною кортежу називають:

а) величину їх компонентів;

б) природу їх об’єктів;

в) кількість компонентів кортежу;

г) властивості їх об’єктів.

75. Порожній кортеж позначається:

а)  ;  б)  {};  в) (    );  г) <    >.

76. Впорядкованою парою називається:

а) координати точки на площині;

б) множина, яка має два елементи;

в) кортеж завдовжки два;

г) пара чисел.

77. Множина всіх упорядкованих пар, перша компонента яких належить множині Х, а друга – У називається:

а) кортежем;

б) декартовим квадратом;

в) множиною точок на квадратній площині;

г) декартовим добутком множин Х і У.

78. Декартовий добуток двох множин Х і У записують так:

а)  Х · У;  б) Х  У;          в) Х2;  г) Х\У.

79. Правило, за яким кожній парі множин Х і У ставиться у відповідність їх декартів добуток, називається:

а)операцією декартового множення;     

б) декартовим добутком;

в)декартовим квадратом множини;

г)декартовим п-м степенем множини.

80. Які з тверджень істинні:

а) Х   = Х;          в) Х  У = У  Х;       

б) Х   =;        г) Х  У ≠ У  Х?

81. Які з тверджень істинні:

а) (Х  У)  Z = Х  (У  Z);       в) Х  (У  Z) = (Х  У)  (Х  Z);

б) (Х  У)  Z ≠ Х  (У  Z);       г) Х  (У  Z) ≠ (Х  У)  (Х  Z) ?

82. Які з тверджень істинні:

а) Х  (У  Z) = (Х  У)  (Х  Z);         в) Х  (У  Z) = (Х  У)  (Х  Z);

б) Х  (У  Z) = (У  Х)  (Z  Х);        г) Х  (У  Z) = (У  Х)  (Z  Х) ?

83. Які з тверджень істинні:

а) Х  (У\Z) = (Х  У)\(Х  Z);     в) Х  (У\Z) = (У\Z)  Х;

б) Х  (У\Z) = (Х\ Z)  (Х\Z);      г) Х  (У  Z) = (У  Z)  Х?

84. Декартовим добутком довільних множин Х1, Х2, …., Хп називається:

а) множина всіх кортежів завдовжки п, перша компонента яких належить множині Х1, друга – Х2 і т. д., п-та компонента – множині Хп;

б) декартів п-тий степінь множини Х;

в) кортеж довжиною п, перша компонента якого належить першій множині, а друга – другій, п-та компонента – п-тій множині;

г) добуток числа елементів у кожній з цих множин.

85. Декартовим п-тим степенем множини Х називається:

а) декартів добуток множин Х1, Х2, …., Хп, таких, що Х1 = Х2 = … = Хп;= Х;

б) декартів добуток множин Х1  Х2  …  Хп;

в) сукупність множин Х1, Х2, …., Хп, таких, що Х1 = Х2 = … = Хп;

г) Х  Х.

86. Х2 називається:

а) декартовим квадратом множин Х;    

б) квадратом множини Х;

в)декартовим добутком множини Х;

г) декартовим степенем множини Х.

87. Запис |А| - означає:

а) модуль множини А;      в) елемент множини А;

б) довжина кортежу;     г) кількість елементів множини А.

88. Кількість елементів у декартовому добутку множин А1, А2, …., Ап дорівнює:

а) | А1| · | А2| · … · |Ап| - |А1 А2  …  Ап|;  

б) добутку кількості елементів у кожній з них;

в) | А1| · | А2| · … · |Ап|;

г) |А1| + |А2| + …+ |Ап|.

89. Система непорожніх підмножин множини М називається розбиттям множини М на класи (на підмножини, що попарно не перетинаються), якщо:

а) кожен елемент множини М входить хоча б в одному із підмножин системи;

б) кожен елемент множини М входить в кожну із підмножин системи;

в) кожен елемент множини М належить одній і тільки одній із підмножин системи;

г) коли існує елемент множини М, який не належить жодній із підмножин системи.

90. Система підмножин є розбиттям множини на класи тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови:

а) 1) кожна із підмножин системи непорожня;

2) підмножини попарно не перетинаються;

3) об’єднання деяких підмножин системи дорівнює множині М;

б) 1) кожна із підмножин системи непорожня;

2) підмножини не перетинаються;

3) об’єднання всіх підмножин системи дорівнює множині М;

в) 1) кожна із підмножин системи непорожня;

2) підмножини попарно не перетинаються;

3) об’єднання всіх підмножин системи дорівнює множині М.

г) 1) існує непорожня підмножина системи;

2) підмножини попарно не перетинаються;

3) об’єднання всіх підмножин системи дорівнює множині М.

91. Довільну непорожню множину можна розбити за допомогою п властивостей на:

а)  п класів;                              в) 2  п класи;       

б) 2п класи;                             г) не більше як на 2п класи.


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІІ

(Відношення)

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ

Тема 1: «Відношення між елементами двох множин»

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Відношення між елементами двох множин та його основні характеристики.
  2.  Поняття про граф відношення між елементами двох множин.
  3.  Точковий графік відношення між елементами двох числових множин.
  4.  Способи задання відношень.
  5.  Операції над відношеннями.
  6.  Протилежне відношення.
  7.  Обернене відношення.

III.Практичні завдання

  1.  Дано множину Х = {2, 3, 4, 5}. Знайдіть Декартів квадрат Х2 і випишіть ті підмножини декартового квадрата, які задають відношення:

а) „менше”;       б) „більше”;      в) „рівно”.

  1.  Відношення  „число х кратне числу у” задане між елементами множин Х = {135, 0, 264, 122} і У = {3, 4, 5, 9}, причому х  Х, у  У. Побудувати граф відношення . Задати це відношення графіком (множиною пар). Вказати його область значень і визначення, та повний образ і повний прообраз  підкреслених елементів. Знайти  і –1.
  2.  Побудуйте точковий графік відношення , вкажіть його область визначення і множину значень, якщо відношення задано за допомогою таблиці:

– 4

– 3

– 3

– 3

– 2

– 2

– 2

– 1

2

1

2

3

1

2

3

2

Вкажіть повний образ елемента  – 2 і повний прообраз елемента 2.

  1.   № 495 [8, с.98]. Точкові графіки відношень Р, Т і М, що задані на множині дійсних чисел, зображені на малюнку. Вкажіть область визначення і множину значень кожного з цих відношень.

  1.  № 491[8, с.98]. Відношення Р – „більше”, Т – „більше на 2” і Е – „більше у 2 рази” задані на множині А = {2, 4, 6, 8, 12}. Побудуйте графи даних відношень.
  2.  № 497[8, с.98]. Множина Т = {(1, 0), (2,0), (3,0), (4,0)} є графіком відношення між елементами множин Х = {1, 2, 3, 4} і Y = {0, 1}. Задайте відношення Т – 1, обернене відношенню Т, і побудуйте на одному малюнку точкові графіки відношень Т і Т – 1. Чи симетричні вони відносно бісектриси першого і третього координатних кутів?
  3.  № 498[8, с.98]. Дано точкові графіки відношень Р і К. Чи можна стверджувати, що відношення Р і К взаємнообернені? Відповідь обґрунтуйте.

  1.  № 499[8, с.98]. Відношення Р, Т і М задані за допомогою точкових графіків. Побудуйте точкові графіки відношень, обернених даним.

9. Скільки різних відношень існує між елементами множин А і В, якщо |А| = 4; |В| = 5, не враховуючи порожнього і того що збігається з А  В?

ІV. Завдання для самостійного опрацювання

Теоретичні питання. Відношення на множині.

Практичні завдання. 

№ 488[8, с.98].Дано множини А = {1, 3} і В = {2, 5}. Перерахувати елементи декартового добутку даних множин та випишіть усі підмножини цієї множини. Яка з отриманих підмножин задає відношення: а) „менше”, б) „більше”, в) „більше або дорівнює”, г) „бути дільником”?

№ 489[8, с.98]. Х – множина прямих, У – множина кіл. Записати усі пари елементів даних множин, які знаходяться у відношенні „пряма х перетинає коло у”. Навести приклади інших відношень, які можуть розглядатись між множинами прямих і кіл.

№ 494[8, с.98]. Побудувати графік відношення „більше в 2 рази”, заданого на множині Х, якщо:

а) Х = { – 4, – 2, –.1, 0, 1, 2, 4};             б) Х = [ – 4, 4].

Тема 2: «Відношення на множині та його властивості

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Відношення на множині та його основні характеристики.
  2.  Особливості графа відношення на множині. Способи задання відношень.
  3.  Основні властивості відношень на множині.
  4.  Відношення еквівалентності.
  5.  Відношення порядку та його види.

III.Практичні завдання

1. На множині людей задано відношення ρ. Встановити його властивості, якщо:

а) x ρ y <=> х знає у”;

б) x ρ y <=> “х товариш у”;

в) x ρ y <=> “х сестра у”;

г) x ρ y <=> “х народився в тому ж році, що й у”;

д) x ρ y <=> “х старший у”.

2. № 507 [8, с. 101] Відношення “бути дільником” задано на множині А = {5; 10; 15; 20; 25}. Сформулювати властивість рефлексивності цього відношення. Чи транзитивне це відношення? Який із графів, зображених на рисунку є  графом даного відношення?

3. № 510 [8, с. 102] Відношення ρ задане графом. Встановити, які висловлення істинні:

     •

а) відношення ρ рефлексивне;

 б) відношення ρ антирефлексивне;

в) відношення ρ не має властивості транзитивності;

г) відношення ρ не має властивості антисиметричності.

4. №511 [8, с. 102] Довести, що відношення, граф якого зображений на рисунку, рефлексивне, симетричне, транзитивне .

5. №516 [8, с. 102] Відношення “мати одну і ту ж остачу при діленні на 3” задано на множині:

Х = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

Чи є воно відношенням еквівалентності?

6. № 520 [8, с.103]На множині Х = {0, 1, 2, 3} задано відношення

ρ = {(0, 0), (1; 1), (2; 2),(3; 3), (0; 1), (1; 0), (2; 3), (3;2)} і

= {(0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3), (1; 3), (3; 1), (3; 2), (2; 3)}.

Яке з цих відношень є відношенням еквівалентності?.

7.№26 (2) [4, с. 79] Побудувати граф і точковий графік відношень ρ, ρ-1 і  між елементами множини A та встановити властивості цих відношень, якщо

 A = 1, 2, 3, 4, 5 і відношення визначено так x  y тоді і тільки тоді, коли x + 1 > y .

8.№ 27 [4, с. 79] Сформулювати властивості відношень, визначених на множині, користуючись поняттями пари і графіка відношення.

ІV. Завдання для самостійного опрацювання

Теоретичні питання. Функції і відображення.

Практичні завдання.

1. Побудувати граф і точковий графік відношень ρ, ρ-1 і  між елементами множини A та встановити властивості цих відношень, якщо

A = 1, 2, 3, 4, 5 і відношення визначено так x  у тоді і тільки тоді, коли x + y > 5

2. №29 [4, с.80]. Вибрати серед відношень ті, за допомогою яких можна впорядкувати  множину студентів групи

1) "бути старшим (за віком)",

2) "відвідувати один і той же гурток художньої самодіяльності",

3) "бути не вищим (за зростом)".

3. № 519[8, с.103]. Записати класи еквівалентності, що визначаються відношенням ρ, заданим на множині Х = {а, b, c, p}, якщо:

а) ρ = {(а, а), (b, b), (с, с), (р, р) (а, b), (b, а), (b, с), (с, b), (а, с), (с, а)};

б) ρ = {(а, а), (b, b), (с, с), (р, р) (а, b), (b, а), (с, р), (р, с)}.

4. №526[8, с.103]. На множині Х = {а, b, с, р} задано відношення М. Чи є воно відношенням порядку, якщо:

а) М = {(а, b), (а, с), ), (а, р), (b, с), (р, b,)};

б) М = {(а, а), (b, b), (с, с), (р, р) (а, b), (b, с), (а, с)};

в) М = {(а, b), (а, с) (а, р)}?

Тема 3: «Функції і відображення. Рівнопотужні множини»

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання.

ІІ. Теоретичні питання.

  1.  Означення функції та її основні характеристики.
  2.  Числові функції та числові послідовності.
  3.  Способи задання функцій.
  4.  Означення всюди визначеної функції та відображення.
  5.  Означення відображення множини в себе.
  6.  Види відображень.
  7.  Теорема про існування оберненого відображення -1 до відображення .
  8.  Теореми про відображення об‘єднання та різниці множин.
  9.  Означення відношення рівнопотужності множин та його властивості. Потужність множини.
  10.   Означення скінченої і нескінченної множин.
  11.   Теорема про об‘єднання рівнопотужних множин.

ІІІ. Практичні завдання.

1. Яким повинен бути графік і граф відношення між елементами двох множин, щоб воно було:

1) функціональним?   2) відображенням?

2. Яким повинен бути точковий графік відношення у множині дійсних чисел, щоб воно було функціональним?

3. Чи кожна лінія на координатній площині задає функціональне відношення у множині дійсних чисел?

4. Для якого виду відображень обернене до нього відношення є:

1) функцією?    2) відображенням?

5. Серед графів, зображених на рисунку, вказати такі, що є графами:

а) функції;   б) відображення: – сюр‘єктивного;

                                                             – ін‘єктивного;

 – бієктивного.

               А                  В                       А                   В                           А                     В

       А                  В                        А                  В                             А                    В

У яких випадках множини А і В рівнопотужні?

6. Знайти потужність множин А, В, А  В, А  В, якщо А = {а, в, с, d, е} В = {c, e, f, k}.

7. Встановити чи буде відношення φ між елементами множин А та В відображенням і якщо так, то вказати його вид. Чи буде φ-1 відображенням, якщо  А = {картопля, вишня, айстра, лобода, малина},

 В = {квіти, овочі, бур’яни, фрукти},

 φ - х належить виду у”.

Завдання на повторення

8. Побудувати граф відношення ρ заданого між елементами множини А = {прямий, український, дерев’яний, гострий, прямокутний} і В = {кут, стовп, стіл, словник, ніж}, якщо х ρ у тоді і тільки тоді, коли х і у становлять назву поняття. Встановити область визначення і область значення відношення ρ, повний образ і повний прообраз підкреслених елементів.

ІV. Завдання для самостійного опрацювання

Теоретичні питання. Комбінаторні задачі. Алгоритми.

Практичні завдання. Підготуватися до написання контрольної роботи.

1. Побудувати граф відношення ρ між елементами множин А і В. Знайти область визначення і область значення відношення ρ. Для вказаних (підкреслених) елементів із даних множин знайти відповідно їх повний образ і повний прообраз, якщо:

А = {ручка, олівець, молоток, віник, яблуко}

В = {інструмент, посуд, шкільне приладдя, фрукт}

φ – „х належить виду у

2. Побудувати граф і точковий графік відношення ρ, ρ-1, між елементами множини А та встановити властивості цих відношень, якщо А = {0, 1, 2, 3, 4, 5} і відношення  визначено так: х ρ у, тоді і тільки тоді, коли х у > 3;

3. Встановити, чи буде відношення φ між елементами множин А і В відображенням множини А у множину В. Якщо φ відображення, то встановити його вид. З’ясувати чи буде обернене відношення φ – 1 відображенням, якщо А = {вчора, два, куб, і, вчитися, але}, В = {іменник, дієслово, числівник, сполучник}, φ – „слово х належить частині мови у”.

Тема 4: «Комбінаторні задачі. Алгоритми»

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання.

ІІ. Теоретичні питання.

1. Які задачі називаються комбінаторними?

2. Який розділ математики називається комбінаторикою?

3. Сформулювати правило суми.

4. Сформулювати правило добутку.

5. Алгоритм та його властивості. Приклади алгоритмів.

ІІІ. Завдання для самостійної роботи

  1.  Скількома способами можна вибрати один фрукт з 5 яблук і 4 груш, що лежать у вазі? Скількома способами можна вибрати пару фруктів: одне яблуко і одну грушу? Якщо один такий вибір зроблено, то скількома способами можна зробити наступний вибір такої пари фруктів?

  1.   №46. [4, с. 81]. Скільки чисел, менших 8000, можна записати за допомогою цифр 5, 7 і 9? Скільки серед них існує таких, в запису яких цифри не повторюються?

  1.  Скільки можна записати різних парних (непарних) п’ятицифрових чисел за допомогою цифр десяткової системи числення, які менші 8, якщо:

а) цифри в запису числа повторюються;

б) цифри в запису числа не повторюються.

  1.  №24. [4, с. 79]  Одному з учнів було дано завдання написати замітку у газету про стан успішності його класу за першу чверть. Він узяв журнал і виписав такі відомості про всіх 40 учнів класу:

25 учнів не мають "трійок" із української мови;

28 учнів не мають "трійок" із математики;

31 учень не має "трійок" із фізики;

22 учні не мають "трійок" з математики і фізики;

16 учнів не мають "трійок" з математики і української мови;

16 учнів не мають "трійок" із фізики і української мови;

12 учнів навчаються без "трійок " з усіх навчальних дисциплін.

Прочитавши замітку, редактор газети сказав учневі, що він помилився при підрахунках. Пояснити, чому подані відомості неправильні.

5. №43. [4, с. 81] Скласти алгоритм розв¢язування задачі: “Сума двох чисел дорівнює а, а їх різниця – b. Знайти ці числа”.

6. Скласти алгоритм додавання 2-х багатоцифрових чисел у стовпчик.

ІV. Завдання для самостійної роботи

Теоретичні питання. Висловлення та операції над ними.

Практичні завдання. 

1. №42. [4, с. 81] Скласти алгоритм переходу вулиці в дозволеному місці, де відсутні світлофори.

2. №44. [4, с. 81] Скласти алгоритм розв’язування квадратного рівняння.

3. №50. [4, с. 81] Скільки є шестицифрових чисел, записаних різними цифрами, першою цифрою яких є число 5?

4. №51. [4, с. 81]. Скільки наборів букв можна скласти із усіх букв слова “математика”?

5. Скількома способами можна вибрати одну книгу з 10 написаних українською і 7 російською, мовою? Скількома способами з даних книг можна вибрати 2 книги: одну написану українською, а другу російською мовами?

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 2

Завдання 1.

  1.  Скільки можна записати різних п’ятицифрових чисел за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 і 6, якщо: а) цифри в запису числа можуть повторюватися? б) цифри в запису числа не повторюються?
  2.  Скільки можна записати різних чотирицифрових чисел за допомогою всіх цифр десяткової системи числення, якщо: а) цифри в запису числа не повторюються? б) цифри в запису числа можуть повторюватися?
  3.  Скільки можна записати різних парних чотирицифрових чисел за допомогою всіх цифр десяткової системи числення, якщо: а) цифри в запису числа не повторюються? б) цифри в запису числа можуть повторюватися?
  4.  На вершину гори ведуть п’ять доріг. Скількома способами турист може піднятися на гору і спуститися з неї, якщо: а) підняття і спуск можуть проходити по одній і тій же дорозі? б) підняття і спуск проходять різними дорогами?
  5.  В зеленому куточку класу є 4 вазони тюльпанів і 5 вазонів гвоздик. Скількома способами можна вибрати по одному із вазонів? Якщо такий вибір зроблено, то скількома способами його можна зробити ще раз?
  6.  Скільки можна  записати різних непарних чотирицифрових чисел за допомогою усіх цифр десяткової системи числення, якщо: а) цифри в запису числа можуть повторюватися? б) цифри в запису числа не повторюються?
  7.  Є шість пар рукавичок різного розміру. Скількома способами можна вибрати одну рукавичку на ліву руку, а другу на праву? Скількома способами можна вибрати одну рукавичку на ліву руку, а другу на праву так, щоб вони були різного розміру?
  8.  Є три екземпляри підручника алгебри, сім екземплярів підручника геометрії і п’ять підручників історії. Скількома способами можна вибрати один із цих підручників? Скількома способами з них можна вибрати по одному підручнику?
  9.  Є 12 слів чоловічого роду, дев’ять слів жіночого і 10 слів середнього роду. Скількома способами можна вибрати одне з даних слів? Скількома способами можна вибрати по одному слову кожного роду?
  10.  Скільки можна записати різних непарних п’ятицифрових чисел за допомогою всіх цифр десяткової системи числення, якщо: а) цифри в запису числа не повторюються? б) цифри в запису можуть повторюватися?

Зразок розв’язування. Скільки у десятковій системі числення є чотирицифрових чисел, що діляться на 5? Скільки серед них таких, у запису яких цифри не повторюються?

►1. Чотирицифрові числа  у десятковій системі численні є не чим іншим, як кортежами довжиною 4, компоненти яких вибираються  із  множини  цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Перша цифра може бути вибрана 9  способами, тому що запис  багатоцифрового числа не може починатися із нуля. Другою і третьою цифрами може бути будь-яка із 10 цифр. Отже, кожна з них  може  бути  вибрана 10 способами. Четверта, остання цифра у запису чотирицифрового числа, може бути вибрана двома способами, бо число, записане в десятковій системі числення, ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра є 0 чи 5.

З цих  міркувань, за правилом добутку, одержуємо, що всього різних чотирицифрових чисел, записаних у десятковій системі числення, які діляться на 5, є

9 10 10 2 = 1800.

2. Нехай Х – множина чотирицифрових чисел, що діляться на 5  і в запису яких цифри не повторюються. Її можна розбити на два класи Х0 –  множина чисел, які закінчуються цифрою 0, і Х5 – множина чисел, які закінчуються цифрою 5, бо  і . Підрахуємо число елементів у кожній з цих множин. Чотирицифрові числа кожного класу будуть відрізнятися одне від одного тільки першими трьома цифрами, які вибираються з множини {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} для класу Х0, і з множини {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} для класу Х5.

Перша цифра з класу Х0  може бути  вибрана 9 способами, друга – 8, бо одна вже взята, а цифри в запису числа не повторюються, а третя – 7 способами. Звідси, за правилом добутку, одержуємо, що різних чисел у класі Х0  є

9 8 7 = 504.

Перша цифра числа класу Х5 може бути вибрана 8 способами, друга – також 8, а третя – 7 способами. Звідси, за правилом добутку, одержуємо, що різних чисел у класі Х5 є

8 8 7 = 448.

Для підрахунку числа елементів множини Х скористуємося правилом суми і одержимо

Х =  Х0 +  Х5 = 504 + 448 = 952.

Відповідь у десятковій системі числення є всього 1800 різних  чотирицифрових чисел, що діляться на 5, серед яких 952 числа, що в їх запису цифри не  повторюються. ◄

Завдання 2. Побудувати граф відношення ρ між елементами множин А і В. Знайти області визначення і значення відношення. Для вказаних (підкреслених) елементів із даних множин знайти відповідно їх повний образ і повний прообраз, якщо:

  1.  А = {ліс, але, бігти, лис, і, у };

В = {іменник, дієслово, прикметник, сполучник},

ρ – “слово х належить частині мови у”.

2. А = {Умань, Київ, Прага, Братіслава, Париж },

   В = {Україна, Чехія, Словакія, Угорщина, Франція},

ρ  – “місто х знаходиться в країні у”.

3. А = {натуральне, просте, прямий, ціле, гострий},

   В = {число, кут, множина, речення},

ρ  – “слова х і у складають назву поняття”.

4. А = {просте, складене, складне, підрядне},

    В = {число, речення, набір, елемент},

ρ  – “слово х і у складають назву поняття”.

5. А = {алгебра, амфора, веселий, веселити, веселка, але.},

    В = {іменник, прикметник, прийменник, дієслово},

ρ  – “слово х належить частині мові у”.

6. А = {а, в, д, ф, п},     

   В = {азбука, арфа, борода, віл},

ρ  – “буква х входить до складу слова у”.

7. А = {струна, гриф, клавіша, камертон},

    В = {балалайка, скрипка, рояль, клавесин},

ρ – “предмет х є складовою частиною інструмента у”.

8. А = {дуб, ялина, листок, малина, смородина, липа},

   В = {хвойне дерево, листяне дерево, кущ},

ρ  – “елемент х належить виду у”.

9. А = {бісектриса, висота, медіана, пряма, промінь},

   В = {кут, паралелограм, трикутник, коло},

ρ  – “х є елементом геометричної фігури у”.

10. А = {а, б, в, г, д},        

   В = {алгебра, геометрія, географія, геологія, ботаніка, біологія},

ρ  – “буква х є початковою буквою слова у”.

Зразок розв’язування. У сім’ї чотири брати. Всі брати, крім Івасика, якому лише 2 роки, займаються спортом, причому Микола – хокеєм і футболом, Василь – футболом, а Андрій – волейболом і хокеєм. Побудувати граф відношення ρ „займатися спортом” між множиною дітей Х = {Андрій, Василь, Івасик, Микола} і множиною видів спорту У = {волейбол, футбол, хокей}. Знайти: 1) область визначення і область значення відношення,          2) повні образи елементів "Івасик" і "Микола" та повний прообраз елемента "волейбол".

► Позначимо для зручності елементи множин X і У їх початковими буквами і запишемо графік відношення

ρ ={(А; в), (А; х), (М; ф), (М; х), (В; ф)}.

Тепер побудуємо граф відношення ρ, мал. 11.

 Мал. 11.

Для відношення ρ Ì ХУ знаходимо:

1) область визначення D(ρ) = {А,B, M};

2) область значення E(ρ) = {в, ф, х};

3) повний образ елемента "Івасик" ρ (І)=Æ;

4) повний образ елемента "Микола"  ρ (М) = {ф, х};

5) повний прообраз елемента "волейбол" ρ -1(в)={A}.

Тому що Е(ρ) = У, то відношення сюр’єктивне. ◄

Завдання 3. Побудувати граф і точковий графік відношень ρ, ρ-1 і між елементами множини А та встановити властивості цих відношень, якщо:

  1.  А = {1, 2, 3, 4, 5} і відношення ρ визначено так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х + у є числом парним.
  2.  А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }  і відношення ρ визначається так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х у ділиться на 3.
  3.  А = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } і відношення  визначено так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х ∙ у > 9.
  4.  A = {– 2, – 1, 0, 1, 2} і відношення ρ визначено так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х < у.
  5.  А = {– 3, – 2, – 1, 1, 2, 3} і відношення ρ визначено так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х ділиться на у.
  6.  А = {1, 2, 3, 4, 5} і відношення ρ визначено так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х  у.
  7.  А = {0, 1, 2, 3, 4, 5} і відношення ρ визначено так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х  у.
  8.  А = {– 2, – 1, 1, 2, 3, 4} і відношення ρ визначено так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х є дільником у.
  9.  А = {1, 2, 3, 4, 5} і відношення ρ визначено так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х + 1 > y.
  10.   A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} і відношення ρ визначено так: х ρ у тоді і тільки тоді, коли х – у ділиться на 2.

Зразок розв’язування. Побудувати  граф і точковий графік відношень ρ, ρ-1 і  між елементами множини А ={2, 3, 4, 5, 6}, якщо хρу тоді і тільки тоді, коли х ділиться на у, тобто ху. Встановити властивості цих відношень.

►1. Для розв’язування задачі знайдемо декартів квадрат множини А, який зручно записати у вигляді  таблиці:

(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6).

2. Знаходимо графік відношення ρ. Щоб не записувати його, підкреслимо в декартовому квадраті множини А ті пари, які складають графік відношення.

Будуємо граф (мал. 1 ) і точковий графік (мал. 2) відношення ρ.

           

Мал. 1   Мал. 2

Відношення ρ :

1) рефлексивне, бо в кожній вершині його графа є петля, а точковому графіку належать всі можливі точки бісектриси 1 – 3 координатних кутів;

2) антисиметричне, бо подвійних дуг, крім петель, його граф не має, а точковий графік не симетричний відносно бісектриси 1 – 3 координатних кутів;

3) транзитивне, бо для довільних елементів х, у і z, множини А, якщо х ρ у  і у ρ z, то й x ρ z.

3.Знаходимо тепер графік відношення ρ-1:

ρ-1 = {(2, 2), (3, 3), (2, 4), (4, 4), (5, 5), (2, 6), (3, 6), (6, 6)}.

Будуємо граф і точковий графік відношення ρ-1, мал. 3 і 4 відповідно. Точкові графіки відношень ρ і ρ-1 симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів, а їх графи відрізняються лише напрямком дуг. Отже, відношення, ρ-1 має ті ж властивості, що й відношення ρ, а саме: воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

     

Мал. 3                               Мал. 4

4. На основі означення відношення протилежного даному, одержуємо, що не підкреслені пари в декартовому квадраті множини А будуть складати граф відношення .

                       

Мал. 5                             Мал. 6

Будуємо граф (мал. 5) і точковий графік (мал. 6) відношення . 

Відношення : 1) антирефлексивне, бо на його графі відсутні петлі, а точковому графіку не належить жодна із можливих точок бісектриси 1 – 3 координатних кутів;

2) зв’язне, на його графі довільні дві різні вершини з’єднані принаймні однією дугою, а точковому графіку належить принаймні одна із можливих  симетричних точок відносно бісектриси 1 – 3 координатних кутів, що їй не належать. ◄

Завдання 4. Встановити, чи буде відношення  між елементами множин А і В відображенням множини А у множину В, і якщо воно відображення, то встановити його вид. З’ясувати, чи буде обернене відношення -1 відображенням, якщо:

  1.   – “місто х знаходиться в країні у”,

А – {Київ, Умань, Париж, Варшава},

В – {Україна, Польща, Франція}.

2.  – “слово х належить частині мови у”,

А – {азбука, арфа, пливти, плести, сміливий},

В – {дієслово, іменник, прикметник}.

3.  – “слову х ставиться у відповідність його початкова буква у”,

А = {азбука, алгебра, гарба, береза},

В = {а, б, в, г}.

4.  – “слово х належить частині мови у”,

А = {арфа, спати, залізний, два},

В = {дієслово, числівник, прикметник, іменник}.

5.  – “місто х знаходиться в країні у”,

А = {Київ, Краків, Брно, Пловдів},

В = {Болгарія, Польща, Україна, Чехія}.

6.  – “тварина х належить виду у”,

А = {щука, лев, вуж, орел},

В = {ссавці, птахи, плазуни, риби}.

7.  – “тварина х належить виду у”,

А = {лящ, щука, тигр, пантера, голуб},

В = {плазуни, птахи, риби, ссавці}.

8.  – “країна х знаходиться в частині світу у”,

А = {Болгарія, Польща, В’єтнам, Куба, Монголія},

В = {Азія, Америка, Африка, Європа}.

9.  – “місто х знаходиться в республіці у”,

А = {Донецьк, Орел, Тарту, Рига, Вільнюс},

В = {Латвія, Росія, Україна, Естонія, Литва}.

10.  – “рослина х належить виду у”,

А = {сосна, горобина, малина, ялівець},

В = {листяне дерево, хвойне дерево, кущ}.

Зразок розв’язування.

А = {карась, лев, тигр, чайка},

В = {птахи, риби, ссавці, плазуни},

– “тварина х належить виду у”.

► Побудуємо граф відношення .

                А                      В

Карась     ∙                     ∙ Птахи

Лев          ∙                     ∙ Риби

Тигр        ∙                    ∙ Ссавці

Чайка       ∙                    ∙Плазуни

Відповідь:  – відображення, бо воно є функціональним (кожному елементу множини А відповідає не більш як один елемент з множини В) і всюди визначеним (D () = А) відношенням. Відображення  не сюр’єктивне, бо Е ()  В і не ін’єктивне, бо різні елементи множини А (лев і тигр) мають один і той же образ (ссавці). А так як  не сюр’єктивне і не ін’єктивне, то воно не бієктивне, тому обернене відношення –1 не буде відображенням. ◄

ТЕСТИ

Відношення (Модуль 2)

 

1. Відношенням між елементами двох множин А і В називається:

а) декартів добуток множин А і В;

б) власна підмножина множини А  В;

в) довільна підмножина декартового добутку множин А і В;

г) довільна підмножина множини А  В.

2. Довільна підмножина декартового добутку двох множин А і В називається:

а) відношенням між елементами двох множин А і В

б) областю відправлення відношення;

в) областю прибуття відношення;  

г) областю визначення відношення.

3. Те що ρ є відношенням між елементами множин А і В записується:

а) ρ :  А  В;

б) ρ (х): = {у  В | х ρ у, ρ  А В};   

в) ρ -1 (у): = {х  А | х ρ у, ρ  А В};

г) ρ :  А  В.

4. Повним образом елемента х  А називається:

а) ρ :  А  В;

б) ρ (х): = {у  В | х ρ у, ρ  А В};   

в) ρ -1 (у): = {у  А | х ρ у, ρ  А В};

г) ρ : А  В.

5. Повним прообразом елемента у  В називається:

а) ρ :  А  В;   

б) ρ (х): = {у  В | х ρ у, ρ  А В};   

в) ρ -1 (у): = {у  А | х ρ у, ρ  А В};

г) ρ :  А В.

6. Графіком відношення ρ називається:

а) множина точок координатної площини, координати яких збігаються з відношенням ρ;

б) множина впорядкованих пар, що складають відношення ρ;

в) множина всіх перших компонент графіка відношення ρ;

г) множина всіх других компонент графіка відношення ρ.

7. Областю відправлення відношення ρ  називається:

а) множина А;

б) множина впорядкованих пар, що складають відношення ρ;

в) множина всіх перших компонент графіка відношення ρ;

г) множина В.

8. Областю визначення відношення ρ називається:

а) множина точок координатної площини, координати яких збігаються з відношенням ρ;

б) множина впорядкованих пар, що складають відношення ρ;

в) множина всіх перших компонент графіка відношення ρ;

г) множина всіх других компонент графіка відношення ρ.

9. Областю значень відношення ρ називається:

а) множина точок координатної площини, координати яких збігаються з відношенням ρ;

б) множина впорядкованих пар, що складають відношення ρ;

в) множина всіх перших компонент графіка відношення ρ;

г) множина всіх других компонент графіка відношення ρ.

10. Область визначення відношення ρ позначається:

а) D(ρ);  б) Е(ρ);  в) ρ (х);  г) ρ (у).

11. Область значення відношення ρ позначається:

а) D(ρ);  б) Е(ρ);  в) ρ (х);  г) ρ (у).

12. Які записи є правильними?

а) D(ρ)  А;     б) D(ρ)  В;     в) Е (ρ)  В;     г) Е (ρ)  А?

13. Відношення називається всюди визначеним, якщо:

а) D(ρ) = А;     б) D(ρ) = В;     в) Е (ρ) = В;     г) Е (ρ)= А.

14. Відношення називається сюр’єктивним, якщо:

а) D(ρ) = А;     б) D(ρ) = В;     в) Е (ρ) = В;      г) Е (ρ)= А.

15. Множина точок і відрізків, які попарно з’єднують деякі з цих точок називається:

а) графом;    б) графіком;    в) точковим графіком;    г) схемою.

16. Відрізки, які зєднують вершини графа, називаються:

а) променями;      б) сторонами;      в) дугами;      г) ребрами.

17. Якщо на ребрах графа вказано напрями, то граф називається:

а) повним;    б) зв’язним;     в) орієнтованим;     г) точковим.

18. У якому випадку вказано всі способи задання відношення між елементами довільних двох множин:

а) графіком (множиною пар); графом; таблицею; характеристичною властивістю пар, що належать графіку відношення; точковим графіком;

б) графіком (множиною пар); графом; таблицею; характеристичною властивістю пар, що належать графіку відношення схемою;

в) точковим графіком;

г) графом?

19. Протилежним відношенням до відношення ρ  АВ називається:

а) різниця між декартовим добутком множин А і В та відношенням ρ;

б) множина пар (х; у)  А  В таких, що (х; у)  ρ;

в) довільна підмножина декартового добутку множини А і В;

г) відношення визначене між елементами множин В і А, яке складається з тих і тільки тих пар (у; х) таких, що (х; у)  ρ.

20. Оберненим відношенням до відношення ρ  А  В називається:

а) різниця між декартовим добутком множин А і В та відношенням ρ;

б) множина пар (х; у)  А  В таких, що (х; у)  ρ;

в) довільна підмножина декартового добутку множини А і В;

г) відношення визначене між елементами множин В і А, яке складається з тих і тільки тих пар (у; х) таких, що (х; у)  ρ.

21. Символом  позначається:

а) обернене відношення;          в) протилежне відношення;

б) сюр’єктивне відношення;   г) всюдивизначене відношення.

22. Відношенням на множині (між елементами множини) називається:

а) довільна підмножина декартового добутку двох множин А і В;

б) декартів добуток двох множин А і В;

в) множина всіх впорядкованих пар, таких, що перша компонента належить першій множині, а друга – другій;

г)відношення між елементами множин А і В таких, що А = В.

23. Запис ρ :  А2 є символічним записом означення:

а) декартового добутку множин;

б) відношення між елементами двох множин;

в) оберненого відношення до відношення ρ;

г) відношення на множині А.

24. Серед тверджень виберіть ті, що є особливостями графа відношення на множині А:

а) області відправлення і прибуття збігаються (один круг Ейлера);

б) можуть бути петлі;  

в) гриф складається з двох кругів Ейлера;

г) можуть бути подвійні дуги.

25. У якому випадку вказано повний набір властивостей відношення на множині:

а) комутативна, асоціативна, дистрибутивна, монотонна, антисиметрична;

б) рефлексивна, антирефлексивна, симетрична, антисиметрична, транзитивна, зв’язна;

в) ідемпотентності, де Моргана, подвійного заперечення, зв’язна;

г) рефлексивна, симетрична, транзитивна?

26. Відношення називають відношенням еквівалентності, якщо воно:

а) рефлексивне, симетричне, транзитивне, зв’язне;

б) антирефлексивне, антисиметричне, транзитивне;

в) рефлексивне, транзитивне, зв’язне;

г) рефлексивне, симетричне, транзитивне.

27. Відношення ρ на множині А називають рефлексивним, якщо:

а) для будь-яких двох елементів х і у  А, з того, що х перебуває з у у відношенні ρ слідує, що й у перебуває у відношенні ρ з х;

б) будь-який з елементів множини А перебуває у відношенні ρ сам з собою;

в) для будь-яких трьох елементів х; у, z  А, виконується умова: з того, що х з у перебуває у відношенні ρ і у з z перебуває у відношенні ρ слідує, що х з z перебуває у відношенні ρ;

г) для будь-яких двох елементів х і у, що належать множині А, виконується одна з умов: або х перебуває у відношенні ρ з у, або - у з х, або - х = у.

28. Відношення ρ між елементами множини А називається симетричним, якщо:

а) для будь-яких двох елементів х і у  А, з того, що х перебуває з у у відношенні ρ слідує, що у перебуває у відношенні ρ з х;

б) будь-який з елементів множини А перебуває у відношенні ρ сам з собою;

в) для будь-яких трьох елементів х, у, z  А, виконується умова: з того, що х з у перебуває у відношенні ρ і у з z перебуває у відношенні ρ слідує, що х з z перебуває у відношенні ρ;

г) для будь-яких двох елементів х і у, що належать множині А, виконується одна з умов: або х перебуває у відношенні ρ з у, або - у з х, або - х = у.

29. Відношення ρ між елементами множини А називається транзитивним, якщо:

а) для будь-яких двох елементів х і у  А, з того, що х перебуває з у у відношенні ρ слідує, що у перебуває у відношенні ρ з х;

б) будь-який з елементів множини А перебуває у відношенні ρ сам з собою;

в) для будь-яких трьох елементів х; у, z  А, виконується умова: з того, що х з у перебуває у відношенні ρ і у з z перебуває у відношенні ρ, слідує, що х перебуває з z у відношенні ρ;

г) для будь-яких двох елементів х і у, що належать множині А, виконується одна з умов: або х перебуває у відношенні ρ з у, або - у з х, або - х = у.

30. Відношення ρ між елементами множини А називається зв’язним, якщо:

а) для будь-яких двох елементів х і у  А, з того, що х перебуває з у у відношенні ρ слідує, що у перебуває у відношенні ρ з х;

б) будь-який з елементів множини А перебуває у відношенні ρ сам з собою;

в) для будь-яких трьох елементів х; у, z  А, виконується умова: з того, що х з у перебуває у відношенні ρ і у з z перебуває у відношенні ρ, слідує, що х перебуває з z у відношенні ρ;

г) для будь-яких двох елементів х і у, що належать множині А, виконується одна з умов: або х перебуває у відношенні ρ з у, або - у з х, або - х = у.

31. Відношення ρ між елементами множини А називається рефлексивним, якщо для будь-яких елементів х, у і z з множини А виконується умова:

а)   х ρ х;                                  в) або х ρ у, або у ρ х, або х = у;

б)  якщо х ρ у, то ;         г)якщо х ρ у і у ρ z, то х ρ z.

32. Відношення ρ між елементами множини А називається транзитивним, якщо для будь-яких елементів х, у і z  з множини А виконується умова:

а)   х ρ х;                                   в) або х ρ у, або у ρ х, або х = у;

б)  якщо х ρ у, то ;         г)якщо х ρ у і у ρ z, то х ρ z.

33. Відношення ρ між елементами множини А називається симетричним, якщо для будь-яких елементів х, у і z  з множини А виконується умова:

а)   х ρ х;                                   в) або х ρ у, або у ρ х, або х = у;

б)  якщо х ρ у, то і у ρ х;         г)якщо х ρ у і у ρ z, то х ρ z.

34. Відношення ρ між елементами множини А називається зв’язним, якщо для будь-яких елементів х, у і z  з множини А виконується умова:

а) х ρ х;                                    в) або х ρ у, або у ρ х, або х = у;

б) якщо х ρ у, то і у ρ х ;        г)якщо х ρ у і у ρ z, то х ρ z.

35. Відношення ρ між елементами множини А називається антисиметричним, якщо для будь-яких елементів х, у і z  з множини А виконується умова:

а)   х ρ х;                                   в) або х ρ у, або у ρ х, або х = у;

б)  якщо х ρ у, то ;         г)якщо х ρ у і у ρ z, то х ρ z.

36. Відношення