18313

Математика. Практикум. Ч ІІ

Конспект урока

Математика и математический анализ

Коберник Г.І. Чирва Г.М. Математика. Практикум. Ч ІІ. – Умань: РВЦ Софія 2009. – 185 с. Навчальний посібник написаний згідно навчальної програми курсу €œМатематика€ для педагогічних вузів спеціальності €œПочаткова освіта€. Посібник містить навчальну програму з цьог

Украинкский

2013-07-07

1.3 MB

70 чел.

Коберник Г.І., Чирва Г.М.

Математика. Практикум. Ч ІІ. – Умань: РВЦ «Софія», 2009. – 185 с.

Навчальний посібник написаний згідно навчальної програми курсу “Математика”, для педагогічних вузів спеціальності “Початкова освіта”. Посібник містить навчальну програму з цього курсу, структуру залікового кредиту у відповідності з кредитно-модульною системою оцінювання, орієнтовані плани практичних занять, зміст контрольних робіт із зразками розв’язання, тести до кожного із навчальних модулів, завдання для самостійного опрацювання, ІНДЗ та критерії оцінювання знань студентів.


Зміст

Структура програми навчальної дисципліни “Математика” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Змістовий модуль V. Система числення і подільність. 

Практичні заняття.

Тема 1. Десяткова система числення та виконання арифметичних операцій у ній. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Тема 2. Недесяткові позиційні системи числення. Додавання і віднімання чисел у них . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Тема 3. Множення і ділення у недесятковій позиційній системі числення. Перехід від запису числа в одній позиційній системі числення до запису в іншій. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Тема 4. Відношення подільності і ознаки подільності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Тема 5. Спільні кратні і дільники. . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Тема 6. Прості і скадені числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Контрольна робота № 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Тести. Система числення. Подільність. (Модуль 5) . .

45

Змістовий модуль VІ.  Розширення поняття числа.

Практичні заняття.

Тема 1. Властивості множини додатних раціональних чисел. Арифметичні операції над додатними раціональними числами. . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Тема 2. Десяткові дроби. Відсотки. . . . . . . . . . . . . . .

62

Тема 3. Основні задачі на дроби і відсотки. . . . . . . . .

65

Контрольна робота № 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Тести. Додатні раціональні числа. . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

           Дійсні числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Змістовий модуль VІІ.  Рівняння і нерівності.

Практичні заняття.

Тема 1. Числові вирази. Розв’язування задач на складання виразів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

Тема 2. Вирази із змінною. Тотожність. Рівняння з однією змінною та їх властивості. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

Тема 3. Нерівності з однією змінною, їх системи і сукупності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

Тема 4. Рівняння і нерівності з двома змінними, їх системи і сукупності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

Тема 5. Числові функції шкільного курсу математики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

Завдання для самостійної роботи. . . . . . . . . . . . . . . . .

114

Контрольна робота № 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

Тести. Рівняння і нерівності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

Змістовий модуль VІІІ. Елементи геометрії. Величини.

Практичні заняття.

Тема 1. Система геометричних понять шкільного курсу математики. Задачі на побудову. . . . . . . . . . . . . . .

141

Тема 2. Розв’язування задач із обґрунтуванням вибору операцій над величинами. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

Тема 3. Підсумкове заняття. Самостійна робота. . . .

147

Тести. Елементи геометрії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

            Величини та їх вимірювання. . . . . . . . . . . . . . . . .

161

Екзаменаційні питання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

Основні математичні терміни. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174


Передмова

Посібник написаний згідно вимог кредитно-модульної системи оцінювання знань студентів.

Друга частина посібника містить навчальну програму з математики з чотирьох навчальних модулів (VVIII), структуру залікового кредиту, список рекомендованої літератури, завдання для самостійного опрацювання, ІНДЗ та критерії оцінювання знань студентів.

Варто відзначити, що посібник містить орієнтовані плани практичних занять до кожної теми зі змістом завдань, які є доцільними для засвоєння теоретичного матеріалу, що читається під час лекцій згідно навчальної програми. Це дає змогу студенту зекономити час. У кінці кожного змістового модуля розміщено зміст контрольних завдань у десяти варіантах і зразки їх розв’язання. Тому студент має змогу на високому рівні підготуватися до написання контрольної роботи. Далі йдуть тестові завдання, які зорієнтовані на перевірку засвоєння основного програмового матеріалу з математики.

Посібник не є догмою і викладач може вносити необхідні на його погляд зміни та творчо використовувати його матеріал.


СТРУКТУРА ПРОГРАМИ НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ “МАТЕМАТИКА”

Опис предмета навчальної дисципліни

Курс: підготовка (бакалаврів, магістрів, підвищення кваліфікації)

Напрям, спеціальність, освітньо-кваліфікаційний рівень

Характеристика навчальної дисципліни

Кількість кредитів відповідних ЕСТS:  2,5.

Модулів: 3.

Змістових модулів: 4.

Загальна кількість годин: 108.

Тижневих годин:

ІІІ семестр – 2;

ІV семестр – 2;

0101 Педагогічна освіта.

7.010102 Початкове навчання.

Освітньо – кваліфікаційний рівень: бакалавр початкової освіти.

Обов’язкова.

Рік підготовки: 2.

Семестрів: 2

Лекції: 14 годин.

Практичні: 40 годин.

Самостійна робота: 20 годин

Індивідуальна робота: 34 години.

Вид контролю: екзамен.

МЕТА

Курс математики на факультеті підготовки вчителів початкових класів повинен дати студентам  майбутнім учителям початкових класів математичну підготовку, необхідну для:

а) навчання учнів початкових класів математиці відповідно до введених в даний час програм і можливого впровадження в початкову школу нових питань математики;

б) орієнтації у змісті викладання математики в середній школі;

в) подальшої самостійної роботи з метою поглиблення і розширення фахової підготовки.

ПРОГРАМА

ВСТУП. Формування математичних знань розпочинається в початковій школі, в якій закладаються основи таких важливих понять, як “число”, “фігура” і “величина”. Зважаючи на розумові і пізнавальні можливості молодших школярів, більшість математичних понять використовуються без строгих означень. Тому правильне навчання математиці багато в чому залежить від підготовки майбутнього вчителя, який повинен отримати чітке уявлення про основні поняття і операції теорії множин та математичної логіки, про число і геометричну фігуру та операції над ними, про величини і їх вимірювання, тобто про ті питання, які знаходять своє відображення в курсі математики початкової школи. Крім того, майбутній учитель повинен орієнтуватися в змісті математики загальноосвітньої школи та її застосуванні.

Все це дасть змогу педагогу не тільки на високому професійному рівні навчати молодших учнів математиці, а й виховувати їх, зокрема, формувати в них науковий світогляд.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ V. Системи числення і відношення подільності.

 ТЕМА 1. Системи числення.

Поняття про системи числення. Число і цифра. Непозиційні і позиційні системи числення. Десяткова система числення: запис, читання і порівняння цілих невід’ємних чисел у ній. Алгоритми додавання, віднімання, множення і ділення чисел у десятковій системі числення. Недесяткові позиційні системи числення: запис, читання і порівняння чисел у них. Алгоритми додавання і віднімання, множення і ділення чисел у недесяткових позиційних системах числення. Таблиці додавання і множення. Перехід від запису чисел в одній позиційній системі до запису в іншій.

ТЕМА 2. Відношення подільності. 

Відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості. Подільність суми, різниці і добутку. Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля. Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25 в десятковій системі числення.

ТЕМА 3. Спільні кратні і дільники.

Спільні кратні та найменше спільне кратне кількох натуральних чисел і його властивості. Спільні дільники та найбільший спільний дільник кількох  натуральних чисел і його властивості. Взаємно прості та попарно взаємнопрості числа. Властивості найменшого спільного кратного та найбільшого спільного дільника двох чисел. Теореми про подільність, що пов’язані із взаємно простими числами. Ознака подільності на числа, що є  добутком двох взаємно простих чисел. Алгоритм Евкліда.

ТЕМА 4. Прості і складені числа.

Розбиття множини цілих невід’ємних чисел на 4 класи за кількістю дільників. Прості  і складені числа. Властивості відношення подільності між двома натуральними числами. одне з яких просте. Існування простого дільника у кожного натурального числа більшого одиниці. Нескінченність множини простих чисел (теорема Евкліда). Критерій простоти натурального числа. Решето Ератосфена. Основна теорема арифметики. Канонічний розклад натурального числа, більшого 1. Загальний вид канонічних розкладів дільників натурального числа. Ознака подільності на складене число. Алгоритми знаходження найменшого спільного кратного і найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел за їх канонічними розкладами.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ VІ. Розширення поняття числа.

 ТЕМА 1. Задача розширення поняття числа. Додатні раціональні числа.

Задача розширення поняття числа. Короткі історичні відомості про виникнення раціональних і дійсних чисел. Сумірні відрізки. Вимірювання відрізків, сумірних із одиничним відрізком. Поняття дробу. Відношення рівності дробів та його властивості. Основна властивість дробу. Додатне раціональне число та його запис (зображення). Нескоротний запис додатного раціонального числа. Множина додатних раціональних чисел. Упорядкованість множини додатніх раціональних чисел. Операції додавання і множення додатних раціональних чисел та їх властивості. Операції віднімання і ділення. Десятковий дріб. Алгоритми арифметичних операцій над десятковими дробами. Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби. Зображення додатних раціональних чисел нескінченними десятковими дробами.

ТЕМА 2. Дійсні числа.

Несумірні відрізки. Існування несумірних відрізків. Вимірювання відрізка, несумірного з одиничним відрізком. Нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Множина додатних дійсних чисел. Від’ємні дійсні числа. Число “нуль”. Множина дійсних чисел. Взаємнооднозначна відповідність між множиною дійсних чисел і точок координатної прямої. Протилежні числа. Упорядкованість множини дійсних чисел. Неперервність множини дійсних чисел. Поняття про арифметичні операції над дійсними числами та їх властивості.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ VІІ. Вирази, рівняння і нерівності.

ТЕМА 1. Вирази. Відношення рівності і нерівності на множині виразів.

Числовий вираз і його значення. Числові рівності і їх властивості. Числові нерівності та їх властивості. Вирази із змінними та їх основні характеристики. Відношення тотожності на множині виразів. Тотожні перетворення на множині виразів. Тотожності.

ТЕМА 2. Рівняння та нерівності з однією змінною.

Рівняння з однією змінною як предикат та його основні характеристики. Рівносильні рівняння. Лінійні рівняння з однією змінною та їх розв’язування. Нерівність з однією змінною як предикат та їх основні характеристики. Рівносильні нерівності. Лінійні нерівності з однією змінною та їх розв’язування. Системи і сукупності рівнянь і нерівностей з однією змінною та їх розв’язування.

ТЕМА 3. Рівняння і нерівності з двома змінними.

Рівняння з двома змінними і його основні характеристики. Графік рівняння. Системи і сукупності рівнянь з двома змінними та способи їх розв’язування. Нерівність з двома змінними і її основні характеристики. Графічне розв’язування нерівностей з двома змінними. Системи та сукупності нерівностей з двома змінними та їх графічне розв’язування.

ТЕМА 4. Числові функції.

Числові функції та їх основні характеристики. Функції оберненої і прямої пропорційності. Лінійна функція. Графіки числових функцій та їх перетворення. Функції прямопропорційної і оберненопропорційної залежності, їх властивості і графіки

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ VІІІ. Елементи геометрії. Величини.

ТЕМА 1. Основні поняття геометрії.

Короткі історичні відомості про виникнення геометрії. Система геометричних понять шкільного курсу геометрії. Поняття про геометричну фігуру. Ламана та її основні характеристики. Плоскі геометричні фігури (ламана, многокутник, коло, круг). Побудова плоских геометричних фігур за допомогою циркуля і лінійки. Задачі на побудову.

ТЕМА 2. Просторові геометричні фігури.

Просторові геометричні фігури та їх зображення на площині. Поняття про геометричне тіло. Многогранники. Теорема Ейлера про многогранники (без доведення). Тіла обертання.

ТЕМА 3. Поняття про величини та їх вимірювання.

Відображення властивостей дійсного світу через поняття величини. Додатні адитивно-скалярні величини та їх властивості. Поняття про вимірювання величин. Види величин. Довжина відрізка, її основні властивості. Одиниці довжини та відношення між ними. Площа фігури, її основні властивості. Одиниці площі та відношення між ними. Способи вимірювання площ. Рівновеликі і рівноскладені фігури. Поняття про об’єм тіла. Одиниці об’єму та відношення між ними. Поняття про масу. Одиниці маси та відношення між ними. Поняття про час і проміжки часу. Одиниці часу і відношення між ними. Шлях і швидкість, одиниці їх вимірювання і відношення між ними. Залежність між швидкістю, часом і шляхом при рівномірному прямолінійному русі. Товар, його кількість, вартість і ціна, залежність між ними та одиниці їх вимірювання

СТРУКТУРА ЗАЛІКОВОГО КРЕДИТУ КУРСУ

Тема

Кількість годин, відведених на:

Лекції

Практ. заняття

Самост. робота

Індивід. робота

Модуль 5. Система числення і подільність

Тема 1. Системи числення.

2

6

Тема 2. Відношення подільності.

2

2

Тема 4. Спільні кратні і дільники.

2

4

Тема 5. Прості і складені числа.

2

4

Всього годин за модуль

6

14

4

Модуль 6. Розширене поняття про число

Тема 1. Задача розширення поняття числа. Додатні раціональні числа.

2

4

Тема 2. Десяткові дроби.

2

4

Тема 3. Дійсні числа.

4

Всього годин за модуль

4

8

4

Всього годин за І семестр

10

22

8

Модуль 7. Рівняння і нерівності

Тема 1. Вирази. Відношення рівності і нерівності на множині виразів.

2

2

Тема 2. Рівняння і нерівності з однією змінною.

4

4

12

Тема 3. Рівняння і нерівності з двома змінними.

4

2

12

Тема 5. Числові функції.

2

2

Всього годин за модуль

2

12

8

Модуль 8. Елементи геометрії. Величини

Тема 1. Система геометричних понять шкільного курсу математики. Плоскі геометричні фігури.

2

2

Тема 2. Просторові геометричні фігури.

2

Тема 3. Поняття про величини та їх вимірювання.

2

4

10

Всього годин за модуль

2

6

4

34

Всього годин за ІІ семестр

4

18

12

34

ТЕМИ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

№ п/п

Теми практичних занять

Кількість годин, відведених на практичне заняття

Змістовий модуль 5

1.

Десяткова система числення та виконання арифметичних операцій у ній.

2

2.

Недесяткові позиційні системи числення. Додавання і віднімання чисел у них.

2

3.

Множення і ділення у недесятковій позиційній системі числення. Перехід від запису числа в одній позиційній системі числення до запису в іншій.

2

4.

Відношення подільності і ознаки подільності.

2

5.

Спільні кратні і дільники.

2

6.

Прості і складені числа.

2

7.

Контрольна робота.

2

Змістовий модуль 6

1.

Властивості множини додатних раціональних чисел. Арифметичні операції над додатними раціональними числами.

2

2.

Десяткові дроби. Відсотки.

2

3.

Основні задачі на дроби і відсотки.

2

4.

Контрольна робота.

2

Змістовий модуль 7

1.

Числові вирази. Розв’язування задач на складання виразів.

2

2.

Вирази із змінною. Тотожність. Рівняння з однією змінною та їх властивості.

2

3.

Нерівності з однією змінною їх системи і сукупності.

2

4.

Рівняння та нерівності з двома змінними їх системи і сукупності.

2

5.

Числові функції шкільного курсу математики.

2

6.

Контрольна робота.

2

Змістовий модуль 8

1.

Система геометричних понять шкільного курсу математики. Задачі на побудову.

2

2.

Розв'язування задач із обгрунтуванням вибору операції над величинами.

2

3.

Підсумкове заняття. Самостійна робота.

2

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ

Спільні кратні і дільники.

1. Спільні кратні та найменше спільне кратне кількох натуральних чисел і його властивості.

2. Спільні дільники та найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел і його властивості. Взаємно прості та попарно взаємнопрості числа.

3. Властивості найменшого спільного кратного та найбільшого спільного дільника двох чисел.

4. Теореми про подільність, що пов’язані із взаємно простими числами. Ознака подільності на числа, що є  добутком двох взаємно простих чисел.

5. Алгоритм Евкліда.

Дійсні числа.

1. Несумірні відрізки. Існування несумірних відрізків.

2. Вимірювання відрізка, несумірного з одиничним відрізком. Нескінченні неперіодичні десяткові дроби.

3. Множина додатних дійсних чисел. Від’ємні дійсні числа. Число «нуль». Множина дійсних чисел.

4. Взаємнооднозначна відповідність між множиною дійсних чисел і точок координатної прямої. Протилежні числа.

5. Відношення “менше” і “більше” на множині дійсних чисел та їх властивості.

6. Неперервність множини дійсних чисел.

7. Поняття про арифметичні операції над дійсними числами та їх властивості.

Рівняння нерівності з однією змінною.

1. Рівняння з однією змінною та його основні характеристики.

2. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь та наслідки з них.

3. Лінійні рівняння з однією змінною та їх розв’язування.

4. Нерівність з однією змінною як предикат та їх основні характеристики.

5. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей та наслідки з них.

6. Лінійні нерівності з однією змінною та їх розв’язування.

7. Системи і сукупність нерівностей з однією змінною та їх розв’язування.

Рівняння і нерівності з двома змінними.

1. Рівняння з двома змінними як предикат і його основні характеристики. Графік рівняння.

2. Системи і сукупності рівнянь з двома змінними та способи їх розв’язування.

3. Нерівність з двома змінними як предикат і її основні характеристики. Графічне розв’язування нерівностей з двома змінними.

4. Системи та сукупності нерівностей з двома змінними та їх графічне розв’язування.

Числові функції.

1. Числові функції та їх основні характеристики.

2. Функції оберненої і прямої пропорційності. Лінійна функція.

3. Графіки числових функцій та їх перетворення.

4. Функції прямопропорційної і оберненопропорційної залежності, їх властивості і графіки.

Основні поняття геометрії.

1. Короткі історичні відомості про виникнення геометрії.

2. Система геометричних понять шкільного курсу геометрії.

3. Поняття про геометричну фігуру.

4. Ламана та її основні характеристики.

5. Плоскі геометричні фігури (ламана, многокутник, коло, круг).

6. Побудова плоских геометричних фігур за допомогою циркуля і лінійки. Задачі на побудову.

Просторові геометричні фігури.

1. Просторові геометричні фігури та їх зображення на площині.

2. Поняття про геометричне тіло.

3. Многогранники. Теорема Ейлера про многогранники (без доведення).

4. Тіла обертання.

НАВЧАЛЬНИЙ ПРОЕКТ

(Індивідуальне навчально-дослідне завдання)

І. Розв’язати задачі арифметичним та алгебраїчним способами.

1. (5.4.) Купили 9 м тканини двох сортів ціною по 40 грн і 30 грн за метр. За всю покупку заплатили 330 грн. Скільки купили тканини кожного сорту?

2. (5.5.) Купили 7 банок варення і джему, всього на 34 грн. Одна банка варення коштувала 5 грн 20 коп, одна банка джему 4 грн 40 коп. Скільки банок варення було у покупці, скільки джему?

3. (5.6.) Касиру для обміну принесли 100 монет номіналом 25 коп і 10 коп на суму 16 грн 75 коп. Скільки було монет кожної вартості?

4. (5.7.) У господарстві з 135 га зібрано урожай пшениці, причому на деяких ділянках урожай становив 18 ц з 1 га, а на інших – 35 ц з 1 га. Всього зібрано 287 т 2 ц пшениці. З скількох гектарів зібрано урожай 35 ц з 1 га?

5. (5.8.) Швейна фабрика відправила в магазин партію дитячого одягу, що складається з 140 костюмів і пальт на загальну суму 8610 гривень. Одне пальто коштує 56 грн, один костюм – 70 грн. Скільки було відправлено костюмів, скільки пальт? •

6. (5.9.) Кусок срібла вагою 2 кг 800 г було розділено на два куски так, що другий на 900 г більше першого. Із більшої частини зроблено 39 столових і чайних ложок. Вага столової ложки 55 г, чайної – 40 г. Скільки виготовлено столових, а скільки чайних ложок?

7. (5.10.) Дві суміжних ділянки землі мають форму прямокутника з периметром 2 км 200 м і шириною на 100 м меншою, ніж довжина. З першої ділянки зібрано по 23 ц, а з другої – по 2 т сіна з одного гектара Знайти площу кожної ділянки, якщо всього зібрано 654 т сіна.

8. (5.11) У двох кусках однакова кількість тканини. Після того, як від одного куска продали 18 м, а від другого – 25 м, у першому куску залишилось вдвічі більше тканини, ніж у другому. Скільки метрів тканини було у кожному куску?

9. (5.12) Брат і сестра мали по деякій сумі грошей. Після того, як брат дав сестрі 24 коп, у них виявилось грошей порівну. Але якщо б сестра дала брату 27 коп, то у брата стало б грошей у 2 рази більше, ніж у сестри. Скільки грошей у кожного?

10. (5.13.) Знайдіть два числа за такими умовами: якщо до першого числа додати 320, то одержана сума буде дорівнювати другому числу, а якщо додати до другого числа 460, то ця сума буде у три рази більше першого числа.

11. (5.14.) Якщо додати два числа, то одержиться найменше п'ятицифрове число; якщо ж відняти від більшого числа менше, то результат дорівнюватиме сумі найбільшого трицифрового числа і трицифрового числа, записаного тільки цифрою 5. Знайдіть два числа, про які йдеться в задачі.

12. (5.15.) Знайдіть два числа, сума яких 1111110. Крім того відомо, що у записі більшого числа на місці тисяч і сотень стоїть цифра 8, а у меншому числі цифри тисяч і сотень 2. Якщо у кожному з цих чисел цифри 8 і 2 замінити нулями, то одержимо нові числа, з яких одне більше другого в 9 разів.

13. (5.16.) Знайдіть три числа, сума яких дорівнює 749, якщо відомо, що перше і друге число разом становлять 493, а перше і третє – 606.

14. (5.17.) Довжина двох вулиць становила разом 2600 м. Після реконструкції довжину однієї з них збільшили на 70 м, і тоді ця вулиця стала вдвічі довша за другу. Яка довжина кожної вулиці після реконструкції?

15. (5.18.) Поле площею 80 га розділили на дві частини так, що площа однієї стала на 2 га більшою від половини площі другої. Знайдіть площу кожної частини.

16. (5.19.) Якщо розсадити дітей по двоє за стіл, то не вистачить трьох столів. Якщо ж розсадити їх по троє, то один стіл виявиться зайвим. Скільки було дітей і скільки столів?

17. (5.20.) Сину 12 років, а його батьку 39. Через скільки років батько буде вдвічі старший від сина?

18. (6.7.) На виготовлення 3 шаф і 9 книжкових полиць витратили 231 м дощок, причому на одну шафу витратили у 4 рази більше матеріалу, ніж на полицю. Скільки метрів дощок потрібно на виготовлення однієї шафи, однієї полиці?

19. (6.8.) Турист проїхав 230 км. 5 годин він їхав залізницею і 3 години кіньми. Скільки кілометрів він проїхав залізницею, а скільки кіньми, якщо залізницею він проїздив за годину у 4 рази більшу відстань, ніж кіньми?

20. (6.9.) Купили 3 апельсини і 10 лимонів за 12 грн 55 коп, причому за три апельсини заплатили на 65 коп дорожче, ніж за чотири лимони. Скільки коштував один лимон, один апельсин?

21. (6.10.) Два комбайни і п'ять косарів викосили за день пшеницю на площі 42 га 50 а. Яку площу прибирав за день один комбайн і яку – один косар, якщо комбайн замінює 40 косарів?

22. (6.11.) Купили 8 олівців і 7 ручок, всього на 9 грн 20 коп. Скільки коштував один олівець, одна ручка, якщо вона на 10 коп дешевше двох олівців?

23. (6.12.) Одним екскаватором виймають за годину на 60 м3 землі більше, ніж другим. Обидва екскаватори вийняли 10320 м3  землі, причому перший працював 20 годин, другий 18 годин. Скільки кубометрів землі виймав кожний екскаватор за годину?

24. (6.13.) Мотоцикліст їхав грунтовою дорогою 4 години, 3 години по шосе, всього 195 км. Швидкість руху по шосе на 30км/год більше, ніж швидкість по ґрунтовій дорозі. Знайдіть швидкість мотоцикліста на кожній ділянці шляху.

25. (6.14.) Під час походу учні 2 години йшли пішки, 3 години їхали автобусом з швидкістю у 9 разів більшою, ніж пішки. Всього учні пройшли маршрут довжиною 116 км. Знайдіть швидкість руху пішки, автобусом.

26. (6.15.) Вісім кілограмів очищених горіхів містять стільки ж жирів, скільки 6 кг вершкового масла, причому в 1 кг масла на 200 г жирів більше, ніж у 1 кг горіхів. Скільки жирів містить 1 кг вершкового масла, 1 кг горіхів?

27. (6.16.) У касі було 1130 грн купюрами по 2 грн, 5 грн, 10 грн. Купюр по 5 грн було на 10 більше, ніж двогривневих, а купюр по 10 грн – на 30 більше, ніж п'ятигривневих. Скільки купюр кожного номіналу було у касі?

28. (6.17.) Скільки водню, азоту і кисню міститься у 2 кг 500 г азотної кислоти, якщо на 1 г водню припадає 14 г азоту, а на 7 г азоту – 24 г кисню?

29. (6.18.) На 4 пальта для дорослих витрачають стільки матеріалу, скільки на 7 дитячих пальт. Пошито 60 пальт для дорослих і 35 дитячих пальт, на всі витрачено 224 м тканини. Скільки тканини витрачали на одне пальто для дорослого, на одне дитяче пальто?

30. (6.19.) Господарство відправило у місто 75 ящиків груш і 180 ящиків яблук загальною вагою 6 т 720 кг. 4 ящики яблук важили стільки ж, скільки 3 ящики груш. Скільки важили всі відправлені груші?

31. (6.20.) Під посівами пшениці – зайнято 240 га, кукурудзи – 180 га і жита – 70 га. З 1 га одержано зерна кукурудзи у 2 рази більше, ніж пшениці, а жита – на 4 ц менше, ніж пшениці. Скільки всього зібрано пшениці, якщо загальний збір зерна становив 1647 т?

32. (6.21.) Магазин відпустив 50 м ситцю і полотна, ситець – по 6 грн, полотно – по 12 грн за метр. Виписуючи рахунок, помилково порахували полотно по 6 грн, а ситець по 12 грн за метр, і сума рахунку вийшла 420 грн. На яку суму треба виписати рахунок?

33. (6.22.) На трьох баржах перевозили 7200 дощок. У дорозі довелось перевантажити з другої баржі на першу 360 дощок і на третю – 150 дощок, а з третьої вивантажити на пристань 450 дощок, після чого на всіх баржах стало дощок порівну. Скільки дощок було спочатку на кожній баржі?

34. (6.23.) Дві групи туристів здійснили 10-денний похід за різними маршрутами, витративши 3384 грн. Середня денна витрата на одного туриста в першій групі становила 6 грн 50 коп, у другій – 5 грн 70 коп. На кожні три туристи першої групи припадало 4 туристи другої групи. Скільки туристів брали участь у поході?

35. (6.24.) Намічали щоденно вивозити по 36 т картоплі, але вивозили на 9 т більше наміченого, тому термін роботи скоротився на 2 дні. Знайдіть кількість вивезеної картоплі.

36. (6.25.) Пролетівши за 2 години 960 км, пілот розрахував, що при такій швидкості він запізниться на 30 хв. Якщо б він летів весь час з швидкістю 600 км/год, то прибув би раніше строку на 12 хвилин. Знайдіть відстань, яку повинен пролетіти пілот.

37. (6.26.) Від станції до турбази туристи йшли з швидкістю 4 км/год, а назад – з швидкістю 5 км/год; тому на той самий шлях витратили на годину менше. Знайдіть відстань від турбази до станції.

38. (6.27.) (Старовинна китайська задача). Кілька чоловік разом купують барана. Якщо кожен внесе по 5 монет, то не вистачить до вартості барана 15. Якщо кожен внесе по 7, то не вистачить 7. Скільки коштував баран і скільки було покупців?

39. (6.28.) Три трактори зорали разом 72 га. Перший зорав на 6 га більше від другого, а другий – на 9 га більше третього. Скільки гектарів зорав кожний трактор?

40. (6.29.) Три трактори зорали 56 га. Перший зорав на 12 га менше, ніж другий, а третій – вдвічі більше, ніж перший. Яку площу зорав кожний трактор?

41. (6.30.) За книжку, альбом і олівець заплатили 13 грн. Книжка в 2 рази дорожча за альбом, а олівець – на 3 грн дешевший, ніж альбом. Скільки коштує кожна річ?

42. (6.31.) Батькові 40 років, а сину 10. Через скільки років батько буде в три рази старший від сина?

43. (6.32.) Батькові 42 роки, а синові  10.  Коли батько був старший від сина в 5 раз?

44. (6.33.) Братові 5 років, а сестрі 14. Коли брат був (чи буде) молодший від сестри вдвічі?

45. (6.34.) Два олівці і три зошити коштують 13 гривень, а три олівці і два зошити – 12 гривень. Скільки коштує один олівець і один зошит?

46. (6.35.) Половина одного числа на 4 більша від третини другого, а половина другого – на 18 більша від чверті першого. Знайдіть ці числа.

47. (6.36.) У рівнобедреному трикутнику один кут на 30° більше іншого кута. Знайти кути цього трикутника (два випадки).

48. (6.37.) У рівнобедреному трикутнику один кут у 2 рази більший іншого кута. Знайти кути цього трикутника (два випадки).

49. (6.38.) (Стародавня грецька задача) Ідуть навантажені осел і мул. Осел скаржиться на важку ношу, мул йому відповідає: "Чого ти скаржишся? Коли б я взяв один твій мішок, то моя ноша стала б у два рази важчою від твоєї. А коли б ти взяв один мій мішок, то твоя ноша дорівнювала б моїй". По скільки мішків несли осел і мул?

50. (6.39.)– Бабуся, скільки років вашому онукові?
-Йому, любий, стільки місяців, скільки мені років.

- Скільки ж вам років?

- Нам з онуком разом 65. А вже скільки років онукові, підрахуй, будь ласка, сам.

51. (6.40.) (із книги В.О.Сухомлинського “Серце віддаю дітям”). Три брати косили сіно. Опівдні вони прилягли відпочити під дубом і поснули. Сестричка принесла їм обід: суп, хліб і по кілька яблук кожному. Вона не стала їх будити, поставила вузлик з обідом і пішла додому. Прокинувся старший бра, побачив яблука, поділив їх на три частини, але із своєї частини з’їв не всі – одне залишив улюбленцю – наймолодшому. Ліг і знову заснув. Прокинувся середній брат, він не знав, що старший уже з'їв декілька яблук. Розділив яблука на три частини, але із своєї частини також з'їв не всі – залишив одне молодшому брату, він був ласунчик. Ліг і знову заснув. Прокинувся, нарешті, наймолодший брат. Бачить – 7 яблук у вузлику Думає: як же розділити їх на три частини? Довго думав, ніяк не міг придумати, аж тут прокинулися старші брати, і все стало зрозуміло. Скільки яблук принесла сестра братам?

52. (7.9.) Із міста А в місто В вийшов автомобіль з швидкістю V1 км/год. Через X годин із міста В йому назустріч виїхав мотоцикліст з швидкістю V2 км/год. Через який час після свого виїзду мотоцикліст зустріне автомобіль? Скласти формулу розв'язання, додавши дані, яких не вистачає.

53. (7.10.) О 8 годині ранку зі станції А вийшов вантажний поїзд, а слідом за ним о 10 годині ранку з тієї ж станції відправлено пасажирський поїзд. На якій відстані від станції А вантажному поїзду треба пропустити пасажирський, якщо швидкість вантажного 36 км/год, а пасажирського – 54 км/год? Скласти числову формулу.

54. (7.11.) Два велосипедисти виїздять одночасно з одного міста в одному напрямі. Перший їде зі швидкістю 15 км 200 м за годину, другий – зі швидкістю 12 км 600 м за годину. Через 3 години перший велосипедист зменшив швидкість до 8 км 700 м за годину. На якій відстані другий велосипедист дожене першого?

55. (7.12.) Від пристані одночасно і в одному напрямі відправились пасажирський пароплав і катер, перший з швидкістю 24 км/год, другий – з швидкістю 15 км/год. Через 3 години пароплав сів на мілину. Простоявши деякий час на мілині, пароплав почав рухатись далі і через 7 годин догнав катер. Скільки годин пароплав простояв на мілині?

56. (7.13.) У понеділок о 5 годині ранку одночасно із Севастополя в Одесу вийшли пасажирський теплохід, а із Одеси у Севастополь – вантажний. Їх зустріч відбулась о 23 годині того ж дня. Коли кожний з них прибуде у порт призначення, якщо пасажирський йде вдвічі швидше вантажного?

57. (7.14.) О 9 годині з одного міста в інше вийшов пасажирський поїзд з швидкістю 40 км/год, а об 11 год слідом за ним вийшов швидкий поїзд зі швидкістю 58 км/год. О котрій годині треба зупинити пасажирський поїзд для того, щоб пропустити швидкий, якщо для безпеки руху відстань між поїздами не повинна бути менше 8 км?

58. (7.15.) Від пристані А о 12 годині дня відійшов пліт, який пливе за течією ріки з швидкістю 3 км/год. Через 10 годин у тому ж напрямі відійшов буксирний катер з швидкістю 8 км/год. Коли треба відправити з тієї ж пристані моторний катер, що йде з швидкістю 16 км/год, щоб він наздогнав їх у той момент, коли буксирний катер дожене пліт?

59. (7.16.) Двома паралельними залізничними коліями в одному напрямі рухаються два поїзди: пасажирський з швидкістю 58 км/год і товарний – з швидкістю 40 км/год. Довжина пасажирського поїзда – 75 м, довжина товарного – 105 м. За який час пасажирський поїзд пройде повз товарний?

60. (7.17.) Залізничний поїзд проходить повз залізничника за 8 секунд, а повз платформу довжиною 400 м – за 33 секунди. Знайдіть довжину і швидкість поїзда.

61. (7.18.) Один поїзд проходить повз інший, зустрічний. Перший йде з швидкістю 50 км/год, другий – 58 км/год. Пасажир першого поїзда помітив, що другий поїзд йшов повз нього 10 секунд. Знайдіть довжину другого поїзда.

62. (7.19.) Із А в В вийшли два поїзди. Перший вийшов о 8 годині і йде з швидкістю 62 км/год. Другий вийшов на годину пізніше і йде зі швидкістю 55 км/год. Коли перший поїзд прибув у пункт В, другий поїзд знаходився від В на відстані 195 км. О котрій годині перший поїзд прибув у пункт В і яка відстань від А до В?

63. (7.20.) Два велосипедиста їдуть по велотреку довжиною 900 м. Вони зустрічаються через кожні 2 хвилини, якщо рухаються у протилежних напрямах, і через кожні 18 хвилин, якщо рухаються в одному напрямі. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста. [Боровик Н. В., Зайченко І.В, Рудник А.В. Математика. Практикум Ч.3: Навчальний посібник. – Чернігів, 2003. – 108с.]

МЕТОДИ НАВЧАННЯ: лекції, практичні завдання.

МЕТОДИ КОНТРОЛЮ: поточний контроль, модульне тестування, оцінка за ІНДЗ, 4 контрольні роботи, підсумковий письмовий тест.

РОЗПОДІЛ БАЛІВ, ЩО ПРИСВОЮЮТЬСЯ СТУДЕНТАМ

Модуль 1.

Модуль 2 (ІНДЗ)

Підсумковий контроль

Сума

ЗМ 5

ЗМ 6

ЗМ 7

ЗМ 8

50

35

45

30

20

20

200

90-100  (180 – 200) балів — відмінно (А);

82-89  (164 – 179) балів –– добре (В);

75-81 (150 – 163) бали — добре (С);

67-74 (135 – 149) балів — задовільно (D);

60-66 ( 120 – 134) бали –– задовільно (Е);

35-59 (80 – 119) балів — незадовільно з можливістю повторного складання (FX);

1-34 (1 – 79) балів — незадовільно з обов'язковим повторним курсом (F).

МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ: Конспекти лекцій та їх електронні варіанти, методичні розробки до проведення практичних занять як в електронному, так і роздрукованому вигляді, навчальні посібники, нормативні документи, ілюстративні матеріали.

ЛІТЕРАТУРА

а) основна

  1.  Математика / В.Н.Боровик, Л.М.Вивальнюк та ін. – К.: Вища школа. Головне видавництво, 1980.
  2.  Боровик Н. В.,. Зайченко І.В., Рудник А.В. Математика. Практикум Ч.1 – Ч2: Навчальний посібник. – Чернігів, 2003 – 2004.
  3.  Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики. Вид. 2-ге. – К.: Вища школа. Головне видавництво, 1987.
  4.  Математика: посібник для студентів пед. факультетів/ Н.І. Затула, О.М. Зуб, Г.І. Коберник, А.Ф. Нещадим. – К.: Кондор, 2006. – 560с.
  5.  Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. – М.: Просвещение, 1988.
  6.  Математика. Множини. Логіка. Цілі числа. Практикум / В.М. Кухар, С.І.Тадіян, В.П.Тадіян. – К.: Вища школа. Головне видавництво, 1989.
  7.  Збірник задач і вправ з арифметики для педагогічних училищ. Вид. 3-є. / В.А.Ігнатьєв, А.М.Ігнатьєв, Я.О.Шор. – К.: Рад. школа, 1964.
  8.  Задачник-практикум по математике / Н.Н.Лаврова, Л.П.Стойлова. – М.: Просвещение, 1985.
  9.  Методичні вказівки з математики. Частини І-УІІ / О.М.Зуб, А.Ф.Нещадим, - Умань: УДПІ, 1989-1992 рр.

б) додаткова:

  1.  Алгебра і теорія чисел. Частина І. / С.Т.Завало, В.М. Костарчук, Б.І. Хоцет –К.: Вища школа. Головне видавництво, 1975.
  2.  Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення. Вид.3-є. –К.: Радянська школа, 1975 р.
  3.  Задачник-практикум по метематике. / Под редакцией проф. Н.Я.Виленкина –М: Просвещение, 1977.
  4.  Математика /Н.Я.Виленкин, А.М.Пышкало и др. –М.: Просвещение, 1977.
  5.  Сборник задач по математике. Пособие для педучилищ / А.М.Пышкало, Л.П.Стойлова и др. –М.: Просвещение, 1979.
  6.  Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я. Целые неотрицательные числа. – М.: Просвещение, 1986.


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ V

(Системи числення і подільність)

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ

Тема 1. Десяткова система числення та виконання арифметичних операцій у ній

І. Теоретичні питання

  1.  Системи числення, вимоги до систем числення. Види систем числення.
  2.  Позиційні і непозиційні системи числення.
  3.  Запис натурального числа у десятковій системі числення. Теорема про десятковий запис натурального числа у десятковій системі числення.
  4.  Читання натурального числа у десятковій системі числення.
  5.  Теореми, що лежать в основі порівняння чисел, записаних у десятковій системі числення.
  6.  Алгоритми додавання і віднімання у десятковій системі числення.
  7.  Алгоритми множення і ділення.

II. Практичні завдання

1. № 94[8, c.137]. Замініть наступні суми коротким записом числа:

а) 2 · 10 + 7;                             г) 3 · 103 + 8 · 102 + 7;

б) 6 · 102 + 5 · 10 + 1;                     д) 8 · 105 + 7 · 103 + 6;

в) 9 · 103 + 8 · 102 + 7 · 10 + 5;             е) 1 · 104 + 6 · 102.

2. № 95[8, c.137]. Запишіть число, в якому:

а) х десятків і одна одиниця;

б) 3 десятки та х одиниць;

в) m десятків і t одиниць.

3. № 96[8, c.137]. Скільки у числі 132 620:

а) одиниць;                                             г) десятків тисяч;

б) одиниць тисяч;                                  д) сотень;

в) десятків;                                             е) сотень тисяч?

4. № 97[8, c.137]. Скільки цифр в записі числа: а) 245; б) 0; в) 1 000 000; г) 343 537? Скільки серед них різних цифр?

5. № 98[8, c.137]. Цифра десятків у записі даного двоцифрового числа втричі більша цифри одиниць. Якщо ці цифри переставити, то вийде число, менше за дане на 36. Знайдіть дане число.

6. № 99[8, c.137]. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 16. Якщо від цього числа відняти число, записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку, то вийде – 18. Знайдіть це число.

7. № 101[8, c.137]. Учні початкових класів виконують завдання: „Поясни, як виконано додавання трьохцифрових чисел: 246 + 123 = (200 + 40 + 6) +  (100 + 20 + 3) = (200 + 100) + (40 + 20) + (6 + 3) = 360 + 60 + 9 = 369”. Поясніть розв’язання даного прикладу, використовуючи “мову” учнів. Поясніть зміст цього завдання, опираючись на поняття десяткової системи числення і закони додавання натуральних чисел.

8. № 102[8, c.137]. Виконайте дії, використовуючи асоціативний закон додавання:

а) (7 357 + 2 848) + 5 152;

б) 18 356 + (1 644 + 2 135).

9. № 103 [8, c.137]. Вирахуйте раціональним способом значення кожного із нижче наведених виразів і поясніть, які закони додавання були при цьому використані:

а) 386 + 287 + 213 + 564;

б) 3 057 + 1 561 + 1 513 + 829 + 2 564.

10. № 104 [8, c.137]. Розв’язання нижче наведеної задачі запишіть у вигляді числового виразу, а потім знайдіть його значення:

У місті три бібліотеки. В одній із них 24 650 книг, в другій – на 8 060 більше, ніж в першій, а в третій на 1 700 книг більше, ніж у другій. Скільки книг в трьох бібліотеках?

11. № 106 [8, c.138].. Учні початкових класів виконують завдання: „Поясни, як виконано віднімання двоцифрового числа: 64 – 23 = (60 + 4) – (20 + 3) = (60 – 20) + (4 – 3) = 40 + 1 = 41”. Обґрунтуйте зміст цього завдання, використовуючи поняття десяткової системи числення.

12. № 108 [8, c.138].. Учні початкових класів виконують завдання: „Поясни, спосіб множення: 426 · 3 = (400 + 20 + 6) · 3 = 400 · 3 + 20 · 3 + 6 · 3 = 1200 + 60 + 18 = 1278”. Обґрунтуйте зміст цього завдання, використовуючи поняття десяткової системи числення та закони дій над числами.

13. № 110 [8, c.138]. Вирахуйте раціональним способом значення виразу і поясніть, які закони множення були при цьому використані:

а) 46 · 1001;                б) 999 · 32;             в) 4 · 16 · 19 · 25.

14. № 112 [8, c.138]. Обґрунтуйте спосіб обчислення

а)13 · 64 = 26 · 32 = 52 · 16 = 104 · 8 = 208 · 4 = 416 · 2 = 832 · 1 = 832;

б)24 · 17= 24 · 16 + 24 = 48 · 8 + 24 = 96 · 4 + 24 = 192 · 2 + 24 = 384 · 1 + 24 = 384 + 24 = 408.

15. № 113 [8, c.138].. Використовуючи спосіб множення, що описаний у попередній вправі, знайдіть значення добутку:

а) 23 · 16;                       б) 451 · 8;                      в) 91 · 12.

16. № 136[8, c.142]. Скільки цифр необхідно для запису чисел:

а) у десятковій системі числення;

б) у двійковій системі числення;

в) у вісімковій системі числення;

г) у системі числення з основою р.

IІІ. Завдання для самостійного опрацювання

  1.  Теоретичне завдання. Запис чисел в різних системах числення.
  2.  Практичні завдання.

1. № 105[8, c.137]. Встановіть, які теоретичні положення використовуються при відніманні багатоцифрових чисел: 482 – 257 = (4 · 102 + 8 · 10 + 2) – (2 · 102 + 5 · 10 + 7) = (4 ·  102 – 2 · 102) + (8 · 10 – 5 10) + (2 – 7) = (4 – 2) · 102 + (7 + 1) · 10 – 5 · 10 + (2 – 7) = 2 · 102 + (7 · 10 – 5 · 10) + 1· 10 + (2 – 7) = 2 · 102 + (7 – 5) · 10 + (12 – 7) = 2 · 102  + 2 · 10 + 5 = 225.

2. № 107[8, c.139]. Обґрунтуйте спосіб множення трицифрового числа на одноцифрове:

637 · 4 = (6 · 102 + 3 · 10 + 7) · 4 = (6 · 102) · 4 + (3 · 10) · 4 + 7 · 4 = (6 · 4) · 102 + (3 ·  4) · 10 + 7 · 4 = 24 · 102 + 12 · 10 + 28 =  (2 · 10 + 4) · 102 + (1 · 10 + 2) · 10 + (2 ·  10 + 8) = 2 · 103 + 4 ·  102 + 1 · 102 + 2 · 10 + 2 · 10 + 8 = 2 · 103 + (4 + 1) · 102 + (2 +  2) · 10 + 8 = 2 · 103 + 5 · 102 + 4 · 10 + 8 = 2548

3. № 151 [8, c.142]. Розв’яжіть нижченаведені задачі, використовуючи запис числа в десятковій системі числення:

а) Двоцифрове число закінчується цифрою 3. Якщо суму його цифр помножити на 4, то вийде число, записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Знайдіть двоцифрове число.

б) У двоцифровому числі десятків у три рази більше, ніж одиниць. Якщо між цифрами цього числа вставити цифру 0, то число збільшиться на 540. Знайдіть двоцифрове число.

в) У трицифровому числі десятків на один більше, ніж одиниць і сотень на одну більше, ніж десятків. Якщо до цього числа додати число, записане тими ж цифрами, але у зворотному прядку, то вийде 444. Знайдіть це число.

д) Різниця між найбільшим трицифровим числом і задуманим у 2 рази більша різниці між задуманим числом і найбільшим двоцифровим числом. Знайти задумане число.

Тема 2. Недесяткові позиційні системи числення. Додавання і віднімання чисел у них

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

1. Запис натурального числа в недесятковій позиційній системі числення.

2. Теорема про існування запису будь-якого натурального числа в недесятковій позиційній системі числення.

3. Алгоритм порівняння чисел на основі їх запису.

4. Алгоритми додавання і віднімання.

5. Алгоритм переходу від десяткової системи числення до іншої позиційної системи числення і навпаки.

ІІІ. Практичні завдання

1. Записати число 379 в системі чисел з основою g = 6; 759 – з основою q = 2; 256642 – з основою 5; 7; 11.

2. Записати числа 5114037 і 302134 в десятковій системі числення.

3. Обчислити суму:

а) 4342135 + 23435;                   в)100112 + 1110012+11112.

б) 37589 + 2769;    

4. Знайти різницю (з перевіркою):

а) 3430016 – 242136;                   б)1346028 – 264158.

5. Обчислити:

4413(6) – 3234(6) + 40432(6).

6. Розв'язати рівняння на основі залежності між компонентами:

а) х + 4315 = 33145;                               б) х – 1427 = 56317.

ІV. Завдання для самостійної роботи

  1.  Теоретичні питання. Множення і ділення натуральних чисел у недесятковій позиційній системі числення. Перехід від запису натурального числа в одній позиційній системі числення до іншої позиційної системи числення.
  2.  Практичні завдання.

№1. Обчислити:

а) 7458 + 4278 + 6538 + 11758;

б) 20200213 + 102102123 + 102213 – 12120023.

Тема 3. Множення і ділення у недесятковій позиційній системі числення. Перехід від запису числа в одній позиційній системі числення до запису в іншій

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

1. Алгоритм множення в недесятковій системі числення. Таблиця множення.

2. Алгоритм ділення в недесятковій системі числення.

3. Алгоритм переходу від запису числа в одній недесятковій позиційній системі числення до його запису в іншій позиційній системі числення.

ІІІ. Задачі для розв’язування

1. Знайти добуток чисел:

а) 27348 ּ 6538; б) 434135 ּ 4235.

2. Знайти частку чисел:
а) 2134
5 : 125;             б) 10223 : 123;           в) 7318 : 138.

3. Перейти від запису числа в одній системі числення до його запису в іншій системі числення і зробити перевірку:

а) 23045 = а6; б) 43678 = а7;

в) 4759 = а3; г) 34 = а2.

4. При якому значенні х правильна рівність:

а) 203х = 53;          б) 401х = 197;                в) 236х = 12405 ?

5. Знайти основу системи числення:

а) 306х + 124х = 220;                              б) 752х – 647х = 67.

6. Знайти значення виразу:

а) 678 · 645 – 578 378;                   б) 232135 : 325 – 1135 · 35;

в) 2758 ּ 3425 + 47428 – 320124.

ІV. Завдання для самостійної роботи

1. Теоретичні питання. Відношення подільності. Ознака подільності Паскаля. Ознака подільності на 2, 3 (9), 4, 5, 11, 25.

2. Практичні завдання.

1. № 39 [4, c.288]. У якій системі числення істинна рівність:

1) 4 = 10x;           2) 29 = 104x;            3) 12 = 15x.

2. № 40 [4, c.288]. Знайти значення x:

1) 306x + 124x = 220;    2) 102x + 212x = 34;

3) 752x – 647x = 67;    4) 626x : 123x = 5.

3. Обчислити: 24456 + 85679 – 24346 · 379.

Тема 4. Відношення подільності і ознаки подільності

 

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Означення відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел та наслідки з нього. Поняття “кратне” і “дільник”.
  2.  Властивості відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел та наслідок з них.
  3.  Необхідні і достатні умови подільності цілого невід’ємного числа а і натурального числа в.
  4.  Теорема про необхідну умову існування частки двох натуральних чисел.
  5.  Подільність суми, різниці і добутку.
  6.  Загальна ознака подільності Паскаля.
  7.  Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25 у десятковій системі числення.

III. Практичні завдання

  1.  Чому число 12 є дільником числа 36 і кратне числу 4?
  2.  Знайти дільники чисел: 15; 24; 25.
  3.  Записати числа кратні 15; 24; 25.
  4.  №154[8, c. 143]. Які з чисел 528, 12960, 13000 і 2204 є кратними числа 4?
  5.  №155[8, c. 143]. Запишіть формулу числа, яке є кратним числу: а) 3;     б) 5;       в) 29.
  6.  №156[8, c. 144]. Довести, що: а) сума двох парних чисел є парним числом;  б) сума двох непарних чисел є парним числом.
  7.  №158[8, c. 144]. Запишіть, використовуючи символи математичної логіки, властивість рефлективності відношення подільності натуральних чисел і доведіть її, посилаючись на означення цього відношення.
  8.  №161[8, c. 145]. Дано числа 100, 252, 630. Не виконуючи ділення, встановити, які з них кратні: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 9.
  9.  №163[8, c. 145]. М – множина чисел, які кратні 3, К – множина чисел, які кратні 9. Вкажіть істинне висловлення: а) М = К; б) М  К; К  М.
  10.  Не знаходячи суми, скажіть чи ділиться вона на 3 : 255 + 456;    438 + 113; 3791 + 352. Чи може сума кількох доданків ділитися на деяке число, якщо кожен доданок не ділиться на це число?
  11.  Не обчислюючи, скажіть, значення яких виразів ділиться на 4 : 256 · 33; 27· 344;  234 · 562. Якщо числа а і в не кратні числу с, чи означає це, що ав не кратне числу с?
  12.  Доведіть, що будь-яке число виду ділиться на 11.
  13.  Довести:

а)  n  N : (n3  n)  6

б)  n  : ((2n – 1)3 – (2n – 1)) 24

  1.  Число а при діленні на 3 дає остачу 1. Яка остача при діленні на 3 чисел а2 і а3?
  2.  Довести, що  а, в  N0 : ав · (а2 в2) 3.
  3.  Довести: якщо а і в не ділиться на 3 і дають різну остачу, то (ав + 1) 3.
  4.  Число а при діленні на 3 дає остачу 2. Яка остача при діленні на 3 чисел а2 і а3?

18. № 48 [4, c. 289]. Встановити ознаки подільності на 8 і 125.

19. № 43[4, c. 289]. Учень виконав обчислення прикладів

3546 + 2786 + 8126 = 14459  і

3596 + 2546 + 3421 = 9564.

Не перевіряючи проміжних обчислень, учитель відразу ж сказав, що учень помилився при виконанні кожного з прикладів. Як були виявлені помилки?

20. № 44[4, c. 289]. Яку цифру потрібно записати замість x, щоб число ділилося на 4, на 3, на 9: 748x, 54x2, 62x4, 5x24, 8x34.

21.  46 [4, c. 289]. Назвати найменше і найбільше п'ятицифрові числа, які б ділились на: 1) 2,  2) 3,  3) 4,  4) 5,  5) 9.

22. № 47[4, c. 289]. Скількома нулями закінчується число 10!?

ІV. Завдання для самостійного опрацювання

  1.  Теоретичні питання.

Спільні кратні і дільники. Алгоритм Евкліда.

2. Практичні завдання. 

1) №227 [8, c. 151]. Доведіть, що сума квадратів трьох послідовних натуральних чисел не ділиться на 3.

2) №228 [8, c. 151]. Доведіть, що якщо число не ділиться на 3, то його квадрат при діленні на 3 дає остачу 1.

3) №235 [8, c. 152]. Визначте, не виконуючи обчислень, значення яких виразів діляться на 15:

а) 150 + 225;   б) 28422 + 22050;

в) 5040 + 8310 + 750;  г) 2808 + 6500 + 1875.

4) №236 [8, c. 152]. Визначте, не виконуючи обчислень, значення яких виразів діляться на 18:

а) 24 · 36 · 53;   б) 123 · 207 · 41;

в) 72 · 29 · 47;   г) 123 · 201 · 44.

5) Ваш варіант проведення з учнями 3 класу дидактичної гри: „Знайди помилки”

  1.  (232323 + 323232) : 555 = 11;
  2.  (421576 + 103979) : 55 = 111;
  3.  (700603 – 145048) : 5 = 111111;
  4.  (414141 + 141414) : 55 = 10101.

Як доступно подати учням, які помилилися, алгоритм ділення, щоб попередити аналогічні помилки?

Тема 5.   Спільні кратні і дільники

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

1. Означення спільного кратного та найменшого спільного кратного кількох натуральних чисел, їх властивості.

2. Означення спільного  дільника та найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел, їх властивості.

3. Властивості найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного двох чисел.

4. Теореми про подільність, що пов’язані із взаємно простими числами.

  1.   Алгоритм Евкліда.

ІІІ. Практичні завдання

1. №210 [8, c. 150]. Знайдіть числа а і b, якщо відомо:

а) D (а, b) = 5, К (а, b) = 105;    б) D (а, b) = 7, а · b = 294;

в) D (а, b) = 3, а : b = 17 : 14;    г) К (а, b) = 224; а : b = 7 : 8.

2. Знайти за алгоритмом Евкліда  найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне чисел:

а) 138 і 115;   б) 3762 і 4446.

3. Кожна з 2-ох лінійок розділена на рівні частини: ціна поділки першої лінійки дорівнює 12 мм, другої – 21 мм. Лінійки приклали одну до другої так, що кінці їх збігаються. Які найближчі поділки цих лінійок збігаються?

4. Вздовж дороги від пункту А стоять стовпи через кожні 45 м. Їх треба замінити новими, які стоятимуть від пункту А через кожні 60 м. На якій відстані від пункту А знаходитиметься найближчий (другий) новий стовп, що стане на місце старого?

5. Знайти НСК (n, n + 1)

6. Додати дроби:

 + 5 

7. Скоротити дріб:

8. Скільки яєць лежить у корзині, якщо при розкладанні кучками по 2, по 3, по 4, по 5 і по 6 одне яйце залишиться зайвим, а при розкладанні по 7 не залишиться жодного зайвого яйця?

9. Довести, що при будь-якому цілому невід’ємному числу n 

n (n + 1)(n + 2)(n + 3)  24.

10. Скориставшись властивостями ділення, знайти раціональний спосіб обчислення:

а) 2700 : (9 ∙ 25);                  в) (300 : 15) ∙ 5;

б) (1400 ∙ 580) : (7 ∙ 29);                 г) 693 : 7.

11. Знайти за алгоритмом Евкліда НСД (а; в) та НСК (а; в):

а) 138 і 115;    в) 3762 і 4446;

б) 481 і 703;    г) 57599 і 55687.

IV. Завдання для самостійного опрацювання

1. Теоретичні питання.  Прості і складені числа. Знаходження найменшого спільного кратного та найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел за їх канонічними розкладами.

2. Практичні завдання.  

1. №212 [8, c. 150].  Три шкільних кіоски отримали однакову кількість зошитів з різних торгівельних баз, перша з яких привезла зошити в пачках по 50 штук, друга – по 100 штук, а третя – по 200 штук у кожній пачці. Скільки зошитів отримала кожна школа, якщо відомо, що трьом школам було відправлено менше 2000 зошитів?

2. №214 [8, c. 150].  12 червня з одного причалу відправилось три пароплави. Перший здійснює рейс за 4 доби, другий – за 9, третій – за 6. Визначте найближчу дату, коли одночасно відправляться у рейс перший і другий пароплави, другий і третій та всі три пароплави разом.

3. № 234 [8, c. 152].  Знайдіть НСД та НСК чисел за допомогою алгоритму Евкліда:

а) 299 і 391;   б) 6 188 і 4 709;

4. № 238 [8, c. 152].  Винесіть спільний множник за дужки:

а) 450 + 160;   б) 750 + 3 810 – 2 070.

Тема 6. Прості і скадені числа

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

1. Розбиття на класи множини цілих невід‘ємних чисел за кількістю дільників.

2. Означення простого і складеного числа.

3. Теорема про подільність простого числа на натуральне число більше одиниці.

4. Теорема про відношення натурального числа і простого числа .

5. Теорема про подільність добутку кількох натуральних чисел на просте число.

6. Теорема про існування простого дільника натурального числа більшого за одиницю та наслідок з неї.

7. Теорема Евкліда.

8. Критерій простоти та наслідок з нього.

9. Решето Ератосфена.

10.Сформулювати основну теорему арифметики. Конічний розклад числа а.

11. Теорема про канонічний розклад дільника натурального числа та наслідки з неї.

12. Теорема про канонічний розклад найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного кількох натуральних чисел.

III. Практичні завдання

1. Довести, що числа 139, 331 і 509 є простими, а числа 680, 819 і 221 є складеними.

2. Записати канонічний розклад числа:

а) 168;    б) 972;    в)2526.

3. Чи може сума 2-х простих чисел бути простим числом?

4. Доведіть, що добуток 3-х послідовних натуральних чисел ділиться на 3.

5. Довести, що різниця квадратів 2-х послідовних парних натуральних чисел ділиться на 4.

6. Не виконуючи ділення, покажіть, що числа 6075 і 13860 кратні 45.

7. Серед даних тверджень вкажіть істинні:

а)  а  N : а  7  а  5 → а  35;

б)  а  N : а  10  а  15 → а  150;

в)  а  N : а  15  а  3  а  5;

г)  а  N : а  45 а  15  а  3.

8. Сформулювати ознаки подільності на 15, 36, 6, 12.

9. Доведіть, що різниця між кубом числа і самим числом кратна 6.

10. Довести, що  а  N: (а3 + 5а)  6.

11.  Знайти найбільший спільник дільник та найменше спільне кратне чисел, подавши їх в канонічному вигляді:

1) 144 і 360;   3) 16380, 33800 і 2730;

2) 351 і 228;    4) 238, 266, 413 і 329.

ІV. Завдання для самостійного опрацювання

  1.  Теоретичні питання. Звичайні дроби. Додатні раціональні числа.
  2.  Практичні завдання. 

1) №196 [8, c. 148]. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних парних натуральних чисел ділиться на 4.

2) №197 [8, c. 148]. Доведіть, що добуток двох послідовних парних натуральних чисел кратний 8.

3) №221 [8, c. 151]. Доведіть, що різниця квадратів двох будь-яких парних чисел кратна 8.

4) №222 [8, c. 151]. Доведіть, що різниця квадратів двох будь-яких парних чисел кратна 4.

5) №232 [8, c. 152]. Із множини чисел 111, 127, 137, 139, 299, 1227 виділіть підмножину простих чисел.

6) №236 [8, c. 152]. Встановіть, не виконуючи обчислення, значення яких виразів ділиться на 18:

а) 24 · 36 · 53;                               в) 72 · 29 · 47;

б) 123 · 207 · 41;                           г) 123 · 201 · 44.

7) №239 [8, c. 152]. Знайдіть прості дільники кожного із чисел: 216, 594, 729, 1024, 2348.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 5

Завдання 1. Обчислити значення виразу в позиційній системі числення з основою g , якщо:

1. 32034 ∙ 435 – 423235 + 81059 і g = 5;

2. 1054546 + 221223 ∙ 546 – 82049 і g = 6;

3. 13112007 – 411225 ∙ 647 + 51079 і g = 7;

4. 1370248 + 1488549 – 110046 · 638 і g = 8;

5. 31214 ∙ 345 + 2134135 – 73608 і g = 5;

6. 3500126 – 175068 + 203128 ∙ 546 і g = 6;

7. 1506138 + 54036 ∙ 647 – 5463527 і g = 7;

8. 2881779 – 2407538 + 330215 ∙ 738 і g = 8;

9. 3103415 – 212023 ∙ 435 + 73059 і g = 5;

10. 3420336 + 65047 – 123035 ∙ 456 і g = 6.

Зразок розв’язування:  23145 ∙ 378 + 81059 – 137628 і g = 8.     Число 23145 запишемо в системі числення з основою g. Перехід від запису числа з меншою основою до його запису з більшою основою зручно зробити способом множення.

23148

     × 5  

        12 + 3 = 15

          ×  5

             101 + 1 = 102

                           ×   5

                              512 + 4 = 5168

Число 81059 запишемо в системі числення з основою 8. Перехід від запису числа з більшою основою до запису його з меншою основою зручно зробити способом ділення.

81059 89

 ––  8        1011  8

 10  –– 8    112  8     

––  8      11 ––8   12  8

    15  ––  8    22 8   1 

 ––   8      21 17  3   а4

      6  –– 17    4  а3

      а0        3    а2

                        а1

81059 = 134368 

Записуємо вираз, у якому всі числа записані в системі числення з основою g = 8

5168 · 378 + 134368 – 137628 = 231368

1)      5168           2)  241628         3)  _  376208

            +   378              + 134368                  137628

             4442                  376208                  231368

         + 1752

           241628

Завдання 2. Встановити, простими чи складними є числа:

1) 653;  2) 551;  3) 713;  4) 787;

5) 863;  6) 697;   7) 919;  8) 877;

9) 943;  10) 911.

Зразок розв’язування:  Встановити, простим чи складеним є число 967.

Для того, щоб встановити, простим чи складеним є число 967, треба скористатися критерієм простоти, тобто перевірити, чи є серед простих чисел від 2 до 31 дільники числа 967, бо 312 = 961 < 967, а 372 = 1369 > 967.

За ознаками подільності встановлюємо, що число 967 не ділиться на прості числа 2, 3, 5 і 11. Безпосередньо перевіряємо, що це число не ділиться на прості числа 7, 13, 17, 19, 23, 29 і 31. Отже, число 967 не ділиться на жодне із простих чисел, квадрат якого не перевищує числа 967, а тому воно буде простим.

Завдання 3. Користуючись алгоритмом Евкліда та зв’язком між найменшим спільним кратним і найбільшим спільним дільником двох чисел, знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне даних чисел:

1) 2047 і 989;  2) 1711 і 1357;  3) 1537 і 2291;

4) 1403 і 1769;  5) 1147 і 2449;  6) 2077 і 1541;

7) 2701 і 2627;  8) 2059 і 2627;  9) 2911 і 2993;

10) 1679 і 2263.

Зразок розв’язування: Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне чисел 20553 і 713, користуючись алгоритмом Евкліда та залежністю між найменшим спільним кратним і найбільшим спільним дільником двох чисел.

Застосуємо до чисел 20553 і 713 алгоритм Евкліда:

20553 = 713 · 28 + 589

713 = 589 · 1 + 124

589 = 124 · 4 + 93

124 = 93 · 1 + 31

93 = 31 · 3 + 0

Ці обчислення зручно проводити за схемою

                     28                   1                    4                   1                3

   _  20553            _  713             _  589             _  124            _  93         31

       1426                 589                496                  93                93

   _    6293                124                   93                   31                  0

       5704

           589

Завдання 4. Встановити ознаки подільності на складені числа:

1) 6;        2) 12;        3) 15;        4)18;        5) 24;        6) 30;

7) 36;      8) 45;        9) 75;       10) 90.

Зразок розв’язування: Встановити ознаку подільності натурального числа на число 22.

Число 22 = 2 · 11, де числа 2 і 11 взаємно прості, тому на основі наслідку:

             а 22 а 2  а 11

Скориставшись відомими ознаками подільності на 2 і 11, матимемо: для того щоб натуральне число ділилось на число 22, необхідно і достатньо, щоб число, записане його останньою цифрою, ділилось на 2 і різниця між сумами цифр, які стоять на непарних і парних місцях, ділилась на 11.

За цією ознакою число 431572 ділиться на 22, оскільки 2 2 і (2 + 5 + 4) – (7 + 1 + 3) = 0, а 0 ділиться на 11.

Завдання 5. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне заданих чисел за допомогою їх канонічних розкладів:

1) 9324, 4662 і 3330;  2) 8370, 9765 і 3570;

3) 15960, 12825 і 3420;  4) 10332, 11480 і 3444;

5) 7590, 2415 і 3450;  6) 12474, 16632 і 18810;

7) 10098, 6120 і 3468;            8) 8568, 16660 і 3570;

9) 15050, 54180 і 3612;  10) 8118, 61992 і 3690.

Зразок розв’язування: Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне заданих чисел 4680, 7722 і 4368 за допомогою їх канонічних розкладів.

Знаходимо канонічні розклади даних чисел:

4680        2                     7722       2                 4368       2

2340        2                     3861       3                 2184       2

1170        2                     1287       3                 1092       2

585          3                       429       3                   546       2

195          3                       143       11                 273       3

65            5                         13       13                   91       7

13          13                           1                              13       13

1                                                                             1

Маємо 4680 = 23 · 32 · 5 · 13.

7722 = 2 · 33 · 11 · 13.

4368 = 24 · 3 · 7 · 13.

Отже, за теоремою 26 НСД (4680, 7722, 4368) = 2 · 3 · 13 = 78 і НСК (4680, 7722, 4368) = 24 · 33 · 5 · 7 · 11 · 13 = 2162160.

Відповідь:   НСД (4680, 7722, 4368) = 78,

                    НСК (4680, 7722, 4368) = 2162160.

ТЕСТИ

Система числення. Подільність   (Модуль 5)

1. Сукупність знаків і правил, за допомогою яких можна записати і прочитати довільне ціле невід’ємне число, називається:

а) операцією;     в) числовою системою;

б) системою числення;   г) цифрами.

2. Перед кожною системою числення ставляться такі вимоги:

а) алгоритми виконання арифметичних операцій на основі їх запису визначаються однозначно;

порівняння чисел на основі їх запису здійснюється легко;

будь-яке ціле невід’ємне число однозначно записується в даній системі числення.

б) будь-яке ціле невід’ємне число однозначно записується в даній системі числення;

числа легко порівнюються на основі їх запису;

алгоритми виконання арифметичних операцій над числами, записаними у даній системі числення, порівняно прості.

в) будь-яке ціле невід’ємне число легко записується в даній системі числення;

числа легко порівнюються на основі їх запису;

алгоритми виконання арифметичних операцій над числами, записаними у даній системі числення, порівняно прості.

г) будь-яке ціле невід’ємне число однозначно записується в даній системі числення;

порівняння чисел на основі їх запису здійснюється однозначно;

алгоритми виконання арифметичних операцій над числами, записаними у даній системі числення, порівняно прості.

3. Цифрами в математиці називаються:

а) числа;       

б) показники росту;     

в) одноцифрові числа;

г) знаки, з допомогою яких записується будь-яке ціле невід’ємне число.

4. Числа, назва яких збігається з назвою цифри, називають:

а) алгоритмічними;    в) вузловими;

б) аксіоматичними;    г) похідними.

5. Система числення, у якій числове значення цифри не залежить від місця її в запису числа, називається:

а) позиційною;     в) алгоритмічною;

б) аксіоматичною;    г) непозиційною.

6. Система числення, у якій числове значення цифри залежить від місця її в запису числа, називається:

а) позиційною;     в) алгоритмічною;

б) аксіоматичною;    г) непозиційною.

7. Десятковим записом числа а у десятковій системі числення називається представлення його у вигляді:

а) ап· 10п + ап-1 · 10п-1 + … + а1 · 10 + а0;

б) ап· чп + ап-1 · чп-1 + … + а1· ч1 + а0;

в) ап· gп + ап-1 · gп-1 + … + а1· g  + а0;

г) ап + ап-1 ·+ ап-2 + … + а1 + а0.

8. Скорочений запис числа у десятковій системі числення має вигляд:

а) ;    в) ;

б) ап ап-1 … а1 + а0;   г) ап + ап-1 + … + а1 + а0.

9. У записі числа а = ап · 10п + ап-1 · 10п-1 + … + а1 · 10  + а0,  ап, ап-1, … а1, а0 називають:

а) цифрами десяткової системи числення;

б) цифрами системи числення з основою g;

в) розрядними доданками;

г) розрядними одиницями.

10. Для того, щоб прочитати багатоцифрове число, записане в десятковій системі числення, його ділять на:

а) класи;     в) одиниці, десятки, сотні;

б) розряди;      г) класи і розряди.

11. Назви класів у числі:

а) одиниці, десятки, сотні…;   

б) одиниці, тисячі, мільйони, мільярди…;   

в) одиниці, десятки, сотні, тисячі, мільйони…;

г) десятки, сотні, мільйони, мільярди….

12. Одна одиниця вищого розряду:

а) дорівнює числу, що складається з одиниць наступних нижчих розрядів;

б) більша за число, що складається з одиниць наступних нижчих розрядів;

в) менша за число, що складається з одиниць наступних нижчих розрядів;

г) дорівнює сумі розрядних доданків числа а.

13. З двох чисел більшим буде те, у десятковому записі якого:

а) раніше зустрічається більша цифра;

б) раніше зустрічається більша кількість одиниць деякого розряду;

в) раніше зустрічається більша кількість одиниць відповідного розряду;

г) більші цифри.

14. Запис числа а = ап· gп + ап-1 · gп-1 + … + а1 · g + а0 називається:

а) записом числа в позиційній системі числення з основою g ;

б) записом числа в десятковій системі числення;

в) розрядними доданками;

г) розрядними одиницями.

15. Цифр у позиційній системі числення з основою g ≥ 2:

а) нескінченна кількість;   в) рівно 10;

б) менше 10;     г) дорівнює числу g .

16. Числове значення цифри в записі числа в позиційній системі числення з основою g,  при зміні положення цифри на одну одиницю вліво (вправо):

а) збільшується (зменшується) в 10 разів;         

б) зменшується (збільшується) в 10 разів;

в) збільшується (зменшується) в g  разів;

г) зменшується (збільшується) в g  разів.

17. Значення яких виразів знайдено неправильно?

а)   5445     б)  2678         в) 5121  79        г)  _ 12026  5

            35               68              46     6549                  5   1346

      21425         21128               42                           30

                                                                           38                          23

                                                   31                          32

                                                   31                         32

                                                     0                            0

18. Вказати неправильні рівності:

а) 26 = 328;       в) 457 = 33;

б) 367 = 1025;      г) 246 = 415.

19. Які завдання виконано правильно?

а)  + 231546 б) + 43657  в)  _ 210024     г)  _ 20048

       554316        33467            32234               4658

     1230256          106217                       110234                13178

20. Для довільного цілого невід’ємного числа а і натурального числа в число а ділиться на число в тоді і тільки тоді, коли:

а) при діленні а на в з остачею остача дорівнює нулю;

б) при діленні в на а з остачею остача дорівнює нулю;

в) існує частка чисел а і в;

г) існує частка чисел в на а.

21. Вказати правильні твердження:

а) якщо кожен із доданків ділиться на задане число, то й сума ділиться на це число;

б) якщо зменшуване або від’ємник діляться на задане число, то й різниця поділиться на це число;

в) якщо зменшуване і від’ємник діляться на задане число, то й різниця ділиться на це число;

г) якщо хоча б один із доданків ділиться на задане число, то й сума поділиться на задане число.

22. Вказати неправильне твердження:

а) якщо хоча б один із множників ділиться на задане число, то й добуток поділиться на це число;

б) якщо обидва множники діляться на задане число, то й добуток поділиться на це число;

в) якщо число ділиться на добуток кількох чисел, то воно ділиться на кожний множник;

г) якщо число ділиться на кожне з двох чисел, то воно поділиться на їх добуток.

23. Які твердження правильні?

а) будь-яке ціле невід’ємне число ділиться на 0;

б) нуль ділиться на будь-яке ціле невід’ємне число;

в) будь-яке ціле невід’ємне число ділиться на одиницю;

г) одиниця ділиться на будь-яке ціле невід’ємне число.

24. Відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел:

а) рефлексивне;         в) антисиметричне;

б) симетричне;        г) транзитивне.

25. Відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел є:

а) відношенням нестрогого лінійного порядку;      

б) відношенням еквівалентності;                             

в) відношенням нестрогого часткового порядку;

г) відношенням строгого часткового порядку.

26. Для того, щоб натуральне число а = , записане в позиційній системі числення ділилося на число в, необхідно і достатньо, щоб на число в ділилася сума:

а) r = а0 + а1 · g + а2 · g2 + …ап · gп;           

б) r = а0 + а1 · r1 + а2 · r2 + …ап  · чп;         

в) r = а0 + а1 · r1 + а2 · r2 + … + ап  · rп;

г) r = а0 + а1 + а2 + … + ап-1 + ап..

27. Вказати правильні твердження:

а) для того, щоб число ділилося на два необхідно і достатньо, щоб воно було парним;

б) для того, щоб число ділилося на два необхідно і достатньо, щоб а0  2;

в) для того, щоб число ділилося на три необхідно і достатньо, щоб а0  3;

г) для того, щоб число ділилося на три необхідно і достатньо, щоб (ап +  ап-1+ … + а1 + а0) 3.

28. Вказати правильні твердження:

а) для того, щоб число ділилось на 3 необхідно, щоб сума цифр запису числа ділилася на 3;

б) для того, щоб число ділилось на 9 необхідно, щоб сума цифр запису числа ділилася на 9;

в) для того, щоб число ділилось на 9 необхідно, щоб число (ап +  ап-1+ … + а1 + а0) ділилося на 9;

г) для того, щоб число ділилось на 3 необхідно, щоб воно було непарним.

29. Вказати правильні твердження:

а) для того, щоб число ділилось на 5 необхідно і достатньо, щоб остання його цифра була 0 або 5;

б) для того, щоб число ділилось на 5 необхідно і достатньо, щоб а0  5;

в) для того, щоб число ділилось на 4 необхідно і достатньо, щоб а0 + 2а1 ділилось на 4;

г) для того, щоб число ділилось на 4 необхідно і достатньо, щоб число було парним.

30. Вказати правильні твердження:

а) для того, щоб число ділилось на 11 необхідно, щоб число (а0 +  а2+ а4 + …) – (а1 + а3 + а5 + …) ділилося на 11;

б) для того, щоб число ділилось на 11 необхідно, щоб число ап + ап-1+ … + а1 + а0  ділилося на 11;

в) для того, щоб число ділилось на 25 необхідно, щоб число (а0 +  а2+ а4 + …) – (а1 + а3 + а5 + …) ділилося на 25;

г) для того, щоб число ділилось на 25 необхідно, щоб число ділилося на 25.

31. Спільним кратним натуральних чисел а1, а2, …, ап називається:

а) натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел;

б) натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел;

в) число, яке ділиться на деяке з цих чисел;

г) число, на яке ділиться одне із цих чисел.

32. Найменшим спільним кратним натуральних чисел а1, а2, …, ап називається:

а) число, на яке ділиться кожне з даних чисел;

б) число, яке ділиться на кожне з даних чисел;

в) найменше натуральне число, яке ділиться на одне з чисел а1, а2, …, ап;

г) найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з цих чисел.

33. Які твердження істинні:

а) кожне спільне кратне заданих натуральних чисел є дільником їх найменшого спільного кратного;

б) кожний спільний дільник заданих натуральних чисел є дільником їх найбільшого спільного дільника;

в) кожне спільне кратне кількох натуральних чисел ділиться на їх найменше спільне кратне;

г) кожний спільний дільник заданих натуральних чисел ділиться на їх найбільший спільний дільник.

34. Якщо число а ділиться на число в, то:

а) НСК (а, в) = а;    в) НСК (а, в) = в;

б) НСК (а, в) = а · в;    г) НСД (а, в) = а · в.

35. Якщо число а ділиться на число в, то:

а) НСД (а; в) = в;     в) НСД (а, в) = а;

б) НСД (а, в) =   а · в;    г) НСД (а ; в) =.

36. Спільним дільником натуральних чисел а1, а2…, ап називається:

а) натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел;

б) натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел;

в) число, яке ділиться на деяке з цих чисел;

г) число, на яке ділиться одне із цих чисел.

37. Найбільшим спільним дільником натуральних чисел а1, а2…, ап називається:

а) число, на яке ділиться кожне з даних чисел;

б) число, яке ділиться на кожне з даних чисел;

в) найбільше число, на яке ділиться кожне з даних чисел;

г) найбільше число, на яке ділиться одне з цих чисел.

38. Які рівності правильні?

а) НСД (48; 72) = 12;   в) НСД (48; 24) = 48;

б) НСД (48; 24) = 24;   г) НСД (36; 25) = 1.

39. Які рівності правильні?

а) НСК (48; 72) = 24;   в) НСК (48; 24) = 48;

б) НСК (48; 24) = 24;   г) НСК (3; 8) = 24.

40. Числа а1, а2, …, ап називаються взаємно простими, якщо:

а) НСК (а1, а2, …, ап) = 1;    

б) НСД (а1, а2, …, ап) = 1;   

в) найбільший спільний дільник будь-яких двох з цих чисел дорівнює 1;

г) НСК (а1, а2, …, ап) = а1.

41. Числа а1, а2, …, ап називаються попарно взаємно простими, якщо:

а) НСК (а1, а2, …, ап) = 1;    

б) НСД (а1, а2, …, ап) = 1;   

в) найбільший спільний дільник будь-яких двох з цих чисел дорівнює 1;

г) НСК (а1, а2, …, ап) = а1.

42. Для того, щоб число ділилося на добуток двох взаємно простих чисел, необхідно і достатньо, щоб:

а) воно ділилося на кожен із множників;   

б) воно ділилося на один із множників;      

в) один із множників був взаємно простим з цим числом;

г) щоб один із множників дорівнював нулю.

43. Для того, щоб число ділилось на 12, необхідно і достатньо, щоб:

а) сума цифр запису числа ділилася на 4 і число закінчувалося парною цифрою;

б) сума цифр запису числа ділилася на 3 і остання цифра була парною;

в) щоб число ділилося на 6 і на 2;

г) щоб подвоєне числове значення передостанньої цифри в сумі з останньою ділилось на 4 і сума числових значень цифр запису числа ділилася на 3.

44. Для того, щоб число ділилося на 45, необхідно і достатньо, щоб:

а) сума числових значень цифр ділилася на 5 і 9;

б) щоб сума числових значень цифр ділилася на 9 і остання цифра була 0 або 5;

в) щоб число ділилося на 3 і на 15;

г) щоб число ділилося на 5 і на 9.

45. Які твердження істинні?

а) НСК (а, в) = ;  в) НСД (ас; вс) = с НСД (а; в);

б) НСК (а, в) = а · в;            г) НСК (ас; вс) = с НСК (а; в)?

46. Які твердження істинні?

а) для того, щоб спільний дільник d натуральних чисел а і в був найбільшим спільним дільником, необхідно і достатньо, щоб НСД ;

б) для того, щоб найменше спільне кратне двох чисел дорівнювало їх добутку, необхідно і достатньо, щоб ці числа були взаємно простими;

в) для того, щоб спільний дільник d натуральних чисел а і в був найбільшим спільним дільником, необхідно і достатньо, щоб d = ;

г) якщо добуток двох натуральних чисел ділиться на третє число, яке взаємно просте з одним із множників, то другий множник ділиться на це число.

47. Якщо натуральне число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел, то:

а) воно ділиться на їх частку;

б) воно ділиться на їх добуток;    

в) воно просте;

г) то воно взаємно просте з одним із множників.

48. Простими називаються числа:

а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;      

б) менші за 10;

в) які діляться на себе і одиницю;

г) які мають дільником тільки одиницю і саме себе.

49. Складеними називаються числа:

а) більші за 10;  

б) 2, 4, 6, 8, 10;   

в) які складаються з одиниць, десятків, сотень, …;

г) які мають не менше три дільники.

50. Вказати неправильне твердження:

а) для довільних натурального числа а і простого числа р має місце одне з відношень: або а ділиться на р, або вони взаємно прості;

б) добуток кількох натуральних множників ділиться на просте число тоді і тільки тоді, коли хоч один із множників ділиться на просте число;

в) добуток кількох натуральних множників ділиться на просте число тоді і тільки тоді, коли всі множники діляться на просте число;

г) кожне натуральне число, більше одиниці, має принаймні один простий дільник.

51. Щоб число ділилося на 25 необхідно і достатньо, щоб на 25 ділилося число:

а) ;  в) ап + ап-1+ … + а1 + а0;

б) а1 · а0;  г) (а0 +  а2+ а4 + …) – (а1 + а3 + а5 + …).

52. Щоб число ділилося на 11 необхідно і достатньо, щоб на 11 ділилося число:

а) ;                   в) ап + ап-1+ … + а1 + а0;

б) а1 · а0;               г) (а0 +  а2+ а4 + …) – (а1 + а3 + а5 + …).

53. Для довільних натуральних чисел а, в, q і ч, таких що а = в q + ч, множина спільних дільників для а і в дорівнює множині спільних дільників для:

а) в і ч;      в) q і ч;

б) а і ч;      г) а і q.

54. Якщо натуральне число а має канонічний розклад а =, то натуральне число в є його дільником тоді і тільки тоді, коли:

а) число в дорівнює одному з множників;

б) число в має канонічний розклад в = і £1, £2, … £п;

в) число в має канонічний розклад в = і , … 0;

г) число в має канонічний розклад в = і 0 ≤ β1 ≤ £1;  0 ≤ β2 ≤ £2;  0 ≤ βп ≤ £п.

55. Вказати неправильне твердження:

а) натуральне число ділиться на просте число тоді і тільки тоді, коли дане просте число входить до його канонічного розкладу;

б) якщо натуральне число ділиться на два інших натуральних числа, то воно ділиться на їх добуток;

в) два натуральних числа взаємно прості тоді і тільки тоді, коли їх канонічні розклади не мають спільних простих дільників;

г) якщо кожне з двох даних натуральних чисел взаємно просте з третім натуральним числом, то і їх добуток взаємно простий з даним числом.

56. Канонічний розклад найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел містить ті ж самі прості множники, що й канонічні розклади даних чисел взятих:

а) з найбільшим показником;

б) з найменшим показником;

в) з натуральним степенем, що не перевищує числа 10;

г) по одному кожного.

57. Канонічний розклад найменшого спільного кратного кількох натуральних чисел містить ті ж самі прості множники, що й канонічні розклади даних чисел. взятих:

а) з найбільшим показником;

б) з найменшим показником;

в) з натуральним степенем, що не перевищує числа 10;

г) по одному кожного.

58. Вказати правильне твердження:

а) найменший, відмінний від одиниці, дільник натурального числа є числом простим;

б) множина простих чисел скінченна;

в) множина простих чисел нескінченна;

г) якщо натуральне число а не ділиться на жодне з простих чисел, квадрати яких не перевищують а, то число а просте.

59. Вказати правильні твердження:

а) найменший простий дільник натурального числа не перевищує кореня квадратного з даного числа;

б) кожне натуральне число, більше одиниці, має тільки один простий дільник;

в) кожне натуральне число, більше одиниці, є або простим, або розкладається у добуток простих множників, причому цей розклад єдиний з точністю до порядку слідування множників;

г) найменший простий дільник складеного числа не перевищує числа 10.

60. Канонічним розкладом натурального числа називається:

а) зображення його у вигляді добутку простих множників;

б) зображення його у вигляді добутку натуральних чисел, у якому однакові множники записані у вигляді степенів і самі множники у порядку зростання;

в) зображення його у вигляді добутку простих множників, де рівні прості множники записані у вигляді натурального степеня, а самі прості множники у порядку зростання;

г) представлення його у вигляді добутку натуральних чисел, менших за число 10.


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ VІ

(Розширення поняття числа)

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ

Тема 1. Властивості множини додатних раціональних чисел. Арифметичні операції над додатними раціональними числами

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання.

ІІ. Теоретичні питання

1. Існування сумірних відрізків. Вимірювання довжини відрізка сумірного з одиничним відрізком.

2. Означення звичайного дробу, його елементи. Рівність дробів. Властивості відношення «рівності» дробів.

3. Означення відношення «менше» на множині дробів і його властивості. Означення відношення менше на множині дробів з рівними знаменниками (чисельниками).

4. У чому полягає задача скорочення дробу? Чи однозначно розв’язується ця задача?

5. У чому полягає задача зведення дробів до спільного знаменника? Чи однозначно розв’язується ця задача?

6. Означення додатного раціонального числа. Зображення додатного числа. Включення множини натуральних чисел у множину додатних раціональних

7. Поділ додатних раціональних чисел на множини цілих додатних раціональних чисел і дробових додатних раціональних чисел.

8. Означення суми двох додатних раціональних чисел. Що потрібно довести, щоб показати, що сума існує і єдина? Означення суми двох дробів.

9. Операція додавання додатних раціональних чисел. Закони операції додавання.

10. Відношення «більше» на множині додатних раціональних чисел. Його властивості і відношення пов’язані з ним.

11. Різниця двох додатних раціональних чисел. Умова існування різниці і її єдиність.

12. Означення добутку двох додатних раціональних чисел, його існування і єдиність.

13. Операція множення додатних раціональних чисел. Закони операції множення.

14. Частка двох додатних раціональних чисел, її існування і єдиність. Операція ділення додатних раціональних чисел.

15. Означення числа оберненого даному та наслідки з нього.

IІI. Практичні завдання

1. Покажіть, як у процесі вимірювання довжини відрізка можуть бути одержані дроби

2. Назвіть кілька дробів, які дорівнюють:

1) ;    2) .

3. Відомо, що для довільного натурального числа r має місце рівність: . Чи можна по аналогії твердити, що: .

4. № 3 [4, с.399].  У коробці лежить 30 олівців. Якщо взяти 5 олівців, то яким дробом можна записати взяту частину олівців? Чи єдиний такий дріб? Якщо не єдиний, то серед множини таких дробів вказати нескоротний.

5. № 4 [4, с.399].  З 28 учнів класу контрольну роботу з математики на "5" виконали 4 учні, на "4" – 20 учнів, на "2" – 0 учнів. Яку частину всіх учнів класу складають ті учні, що написали контрольну роботу на "5"?  на "4" або "5"?  на "3"?

6. Серед даних дробів вибрати рівні і записати це за допомогою знака рівності: ; ; ; ; ; .

Побудувати граф відношення рівності між даними дробами.

7. Звести дані дроби до найменшого спільного знаменника:

1) і ;  2) і ;  3) і .

8. № 5 [4, с.400]. Скільки восьмих у ? двадцятих в ?

9. № 8 [4, с.400]. Купили кг цукерок і кг печива. Чого купили більше?

10. № 13 [4, с.400]. Чи може бути відрізок розбитий на два відрізки, мірами яких є дроби при одному і тому ж одиничному відрізку?

11. № 19 [4, с.401]. Друкарка за перший день передрукувала рукопису, а за другий день – . Чи виконала друкарка роботу з друкування рукопису?

12. Дріб – нескоротний. Чи буде скоротним дріб ?

13. № 23 [4, с.401]. Хлопчик відпив чашки кави і долив молока, відпив чашки і знову долив молока, відпив і долив молока, і нарешті випив усю каву з молоком. Чого хлопчик випив більше – кави чи молока?

14. Користуючись залежністю між компонентами і результатами операцій, розв’язати рівняння:

.

ІV. Завдання для самостійного опрацювання

Теоретичні питання. Десяткові дроби.

Практичні завдання:

1) № 17 [4, с.401]. Які з даних тверджень істинні:

1. Дріб є нескоротним записом (зображенням) додатного раціонального числа?

2. – дріб?

3. – додатне раціональне число?

2) № 7 [4, с.400]. Скоротити дроби:

          .

3) № 12 [4, с.400].  Серед дробів із знаменником 20 вказати:

а) найменший і найбільший правильні дроби;

б) найменший і найбільший неправильні дроби.

4) № 14 [4, с.400].  Чи може сума двох правильних дробів бути:

аправильним дробом?               б) неправильним дробом?

5) № 15 [4, с.400].  Які потрібно додати дроби, щоб отримати  ? ? ? 1?

6) № 16 [4, с.401].  Чи можна довільний дріб представити як суму, різницю, добуток і частку двох дробів?

7) № 18 [4, с.401]. Під час сніданку було спожито торту, а під час обіду –. Чи весь торт спожито?

8) № 20 [4, с.401]. Один робітник може виконати роботу за 4 дні, а другий – за 6 днів. За скільки днів робітники виконають роботу, працюючи разом?

9) № 22 [4, с.401]. Чи може добуток числа 4 і правильного дробу бути меншим 1?  Більшим 1?

10) № 24 (2)[4, с.402].  Розв'язати рівняння на основі залежності між компонентами і результатами операцій:     

Тема 2. Десяткові дроби. Відсотки

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Означення десяткового дробу.
  2.  Властивості десяткових дробів.
  3.  Алгоритми додавання і віднімання десяткових дробів.
  4.  Алгоритми множення і ділення десяткових дробів.
  5.  Критерій перетворення звичайного дробу у десятковий та способи перетворення.
  6.  Критерій перетворення звичайного нескоротного дробу у нескінченний періодичний десятковий дріб?
  7.   Перетворення чистого періодичного десяткового дробу у звичайний.
  8.   Перетворення мішаного періодичного десяткового дробу у звичайний.

ІІІ. Практичні завдання

1. Записати у вигляді десяткових дробів:

; ; ; .

2. Встановити, в які десяткові дроби перетворюються дані звичайні дроби, і перетворити їх у десятковий дріб:

1) ;  2) ;  3);  4) ;

5) ;   6) ;  7) ;  8) .

(Бесіда про структуру періоду)

3. Перетворити нескінченні періодичні десяткові дроби у звичайні.

1) 0,(81),         2) 3,(513),            3) 0,7(112),          4) 12,88(13).

4. На основі залежності між компонентами і результатами операцій розв’язати рівняння:

  1.  7,25 – ;
  2.  2,91 (6) – ( х + 0,8) : 0,8 (6) = 1.

5. № 36 [4, c.404]. Картопля містить 20 % крохмалю. Скільки крохмалю одержиться із 12 кг картоплі? Скільки картоплі потрібно для одержання 12 кг крохмалю?

6. № 37 [4, c.404]. 1) Скільки відсотків становить другий доданок від першого, якщо перший доданок становить 60 % їх суми? 2) Скільки відсотків від від'ємника становить різниця, якщо від'ємник становить зменшуваного?

7. № 39 [4, c.404]. Є цукор у двох мішках, причому у першому 60 кг. З першого мішка продали частину цукру, а з другого мішка 75 % цукру, після цього у першому мішку залишилося у два рази більше, ніж у другому. Скільки кілограмів цукру було спочатку у другому мішку?

IV. Завдання для самостійного опрацювання

  1.  Теоретичні питання. Дійсні числа.
  2.  Практичні завдання.

1) № 31 [4, с.403]. За літо один ховрашок знищує близько 0,12 ц хліба. Учні навесні знищили 1250 ховрашків. Скільки хліба зберегли учні для господарства?

2) № 32 [4, с.403]. Маса соснової колоди 27,8 кг, а дубової – 45,5 кг. Маса 10 колод – 384,2 кг. Скільки серед колод соснових і скільки дубових?

3) № 34 [4, c.404]. Перетворити у десяткові дроби звичайні дроби:     

, .

4) № 35 [4, c.404].Обчислити:

64.

,

0

5

,

12

0925

,

0

:

3

12

,

0

:

25

,

0

:

3

1

06

,

0

5) № 40 [4, c.404]. Число 200 збільшилося на 20 %, а потім отриманий результат зменшили на 20 %. Чи одержиться число 200?

6) № 41 [4, c.404]. Кавовий напій складається із 20 % кави, 30 % цикорію, 35 % – ячменю і решта – сої. На виготовлення напою використали на 3,5 кг більше ячменю, ніж цикорію. Скільки використали кави для виготовлення напою?

7). № 42 [8, с. 160]. Які з дробів можна записати у вигляді скінченного десяткового дробу?

8) № 43 [8, с. 160]. Перетворіть числа, дані в задачі № 42 у нескінченні десяткові дроби. Які з них будуть періодичними?

9) № 44 [8, с. 160]. Перетворіть задані числа у нескоротний звичайний дріб: 0,003; 10,0018;  0,(23);  2, 14(3);  6,041(27).

10) № 45[8, с. 160]. Встановіть чи істинні рівності:

а)  = 2,(6);

б)  = 5,(09);

в)  = 0,(596).

11) № 57 [8, с. 162]. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами та результатами дій:

  : (() : ) –  = .

Тема 3. Основні задачі на дроби і відсотки

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання до задач на дроби

У нас поняття дробу виникло в процесі вимірювання сумірного відрізка з одиничним. Якщо ε одиничний відрізок і а - відрізок сумірний з ним, то дріб показує, що – та частина одиничного відрізка вміщується у відрізку а разів, тобто: а = ε.

Взагалі дріб показує, що деяка величина (число, об'єкт) поділено на п рівних частин і взято таких т частин. На цьому понятті базуються такі задачі (три типи задач на дроби):

1) знаходження дробу від числа;

2) знаходження числа за його дробом;

3) знаходження дробового відношення 2-х чисел.

Розглянемо приклади таких задач і алгоритми їх розв'язування.

Простіші види таких задач розв'язуються у 2 класі для дробів виду , а в 4-му – .

1. Знаходження дробу від числа.

Колгосп засіяв 500 га землі зерновими культурами. Восени він засіяв усієї площі, а решту – весною. Скільки гектарів землі колгосп засіяв зерновими культурами восени? Графічно умову задачі можна зобразити наступним чином:

                            ч – ? га

    

                      

                                      500 га

Знайдемо спочатку скільки гектарів припадає на частину землі, відведеної під зернові культури:

500 : 5 = 100 (га).

Тоді на  ч припадає у 3 рази більше: 100 · 3 = 300 (га)

Розв’язання задачі можна подати так

500 · = = 300 (га)

Отже, щоб знайти дріб (частину) від числа, треба це число помножити на дріб.

2. Знаходження числа за його дробом.

Колгосп засіяв восени 300 га землі зерновими культурами, а решту площі, відведеної під зернові культури, засіяв весною. Площа, засіяна восени становить всієї площі, що відведена під зернові. Яка площа відведена під зернові?

Тепер графічно умову задачі можна подати так:

                           

                     300 га

    

                                ? га

Так як уся земля, відведена під зернові культури, умовно поділена на 5 рівних частин і на 3 таких частини припадає 300 га, то на 1 частину у 3 рази менше, тобто 300 : 3 = 100 (га), а на 5 частин у 5 разів більше: 100 · 5 = 500 (га).

Розв’язання задачі можна подати у такому вигляді 300 : = 300 · = = 500 (га)

Отже, щоб знайти число за його дробом (частиною), треба цю частину числа поділити на дріб, на який вона припадає.

3. Знаходження дробових відношень чисел.

Колгосп засіяв 500 га землі зерновими культурами, з них  300 га – восени, а решту – весною. Яку частину всієї землі під зерновими культурами становить площа, засіяна восени?

У цьому випадку доцільно міркувати так: якщо вся площа становить 500 га, то 1 га становить частину цієї площі, а 300 га у 300 разів більше, тобто:    · 300 = = (ч).

Або ж розв’язання цієї задачі можна звести до правила: щоб знайти, яку частину одне число становить від другого, треба число, про яке запитується в задачі, поділити на інше число, що дано в умові.

ІІІ. Практичні завдання

1. Три групи школярів зібрали кілька кілограмів шипшини. Перша група зібрала загальної кількості, друга – на 4 кг більше ніж третя, причому ця різниця становить усієї кількості зібраної шипшини. Скільки шипшини зібрала кожна група школярів?

2. № 762 [7, с. 128]. Три трактори зорали 116 га землі. Скільки гектарів землі зорав кожний трактор, якщо відомо, що площі землі, зораної одним трактором, дорівнює площі землі, зораної другим трактором, і площі землі, зораної третім трактором?

3. У швейну майстерню привезли першого разу кількості сатину, наміченого за планом, другого разу   частину, що залишився, а третього разу – решту 112 м сатину. Із усього одержаного сатину майстерня пошила 30 плать і 44 сорочки. На кожне плаття пішло сатину на 1 м більше, ніж на кожну сорочку. Скільки сатину пішло окремо на одне плаття і одну сорочку?

ІV. Теоретичні питання до задач на відсотки

1. Означення відсотка.

2. Основні задачі на відсотки:

а) знаходження декількох відсотків від числа;

б) знаходження числа за його відсотком;

в) знаходження відсоткового відношення двох чисел [1; с. 347]

V. Практичні завдання

1. У книжці 400 сторінок, 15% з них студент прочитав. Скільки сторінок прочитав студент?

2. Студент прочитав 60 сторінок, що становить 15 % усієї книжки. Скільки сторінок у книжці?

3. У книжці 400 сторінок, з них 60 студент прочитав. Скільки відсотків становлять сторінки, які прочитав студент від усіх сторінок книжки?

4. Свіжі гриби містять 90 % води, а сушені – 10 %. Скільки сушених грибів матимемо із 45 кг свіжих?

5. Початкова ціна товару зменшувалась в два рази: першого разу на 25 %, другого – на 20 %. На скільки відсотків знизилась початкова ціна товару? Чи залежить ця величина від порядку, в якому проводиться зниження?

6. За планом фермер повинен був засіяти 1680 га землі, але він засіяв на 280 га більше. Другий фермер засіяв на 360 га більше при плані 1440 га. На скільки відсотків більше перевиконав план другий фермер, ніж перший?

7. Згідно з планом завод повинен був підвищити протягом року продуктивність праці на 7,4%, а фактичне підвищення продуктивності праці становило 11,1 %. На скільки відсотків завод перевиконав планове завдання?

8. № 1177 [7, с. 196]. Завод дістав замовлення на виготовлення 2590 сівалок за 24 дні. Перші дні завод випускав по 125 сівалок за день, а потім почав випускати щодня на 12 % більше і закінчив замовлення на 4 дні раніше строку. Скільки днів завод випускав по 125 сівалок за день?

VІ. Завдання для самостійного опрацювання

1. Теоретичні питання. Дійсні числа та виконання арифметичних операцій над ними.

2. Практичні завдання. 

1. №746 [7, с.124]. Першого дня вантажна машина проїхала всього шляху, другого дня того, що залишилося, а решту частину шляху машина проїхала за третій і четвертий дні, причому шляху, пройденого машиною за третій день, становила шляху, пройденого нею за четвертий день. Скільки кілометрів проїхала машина за кожний із чотирьох днів, якщо за перший день вона проїхала на 162 км більше, ніж за третій день?

2. №759 [7, с.127]. Робітник спочатку витратив своїх грошей, потім остачі. Після цього у нього залишилось на 85 грн менше, ніж витрачено за обидва рази. На залишених грошей робітник купив літературу. Скільки він заплатив за літературу?

3. №761 [7, с.128]. Троє учнів ремісничого училища мають 22,5 грн, причому суми грошей першого становить суми грошей другого або суми грошей третього. Скільки грошей має кожен учень? (Розв'язати задачу трьома способами, приймаючи послідовно суму грошей першого, другого і третього учня за одиницю).

4. №1131 [7, с.189]. Кукурудза в середньому дає з 1 га посіву 665 ц зеленої маси, а соняшник – 97 % цієї кількості зеленої маси. Скільки зеленої маси дає соняшник з 1 га?

5. №1151 [7, с.193]. Знайти число, якщо:

25 % його становлять 16; 33 % його становлять 120;

5 % його становлять 30; 42 % його становлять 7;

12 % його становлять 48; 300 % його становлять 336.

6. №1156 [7, с.193]. Скільки потрібно взяти молока, щоб отримати 504 кг масла, якщо відомо, що маса вершків становить 21 % маси молока, а маса масла становить 24 % маси вершків?

7. №1174 [7, с.196]. Вихід рисової каші становить 33 кг 600 г. Скільки було затрачено рису, якщо дохід становить 180 %?

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 6

Завдання 1. Обчислити значення виразу:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Зразок розв’язання:  

Обчислити значення виразу:

.

Для знаходження значення виразу використовуємо обчислення за операціями у порядку, визначеному виразом.

2) 

4) ;

5) 

Відповідь: значення виразу дорівнює 1.

Завдання 2. Розв’язати задачі арифметичним методом.

  1.  У магазині було 1620 м тканини. Першого дня продали 0,3 усієї тканини, другого – 1/5 остачі. Решту тканини продали протягом двох наступних днів, причому третього дня продали в 4 рази більше, ніж четвертого. Скільки тканини продавали кожного дня?
  2.  На складі було 4850 т вугілля. Першого дня продали усього вугілля, другого – 0,6 остачі, а решту продали протягом наступних двох днів, причому четвертого дня продали в 2 рази більше, ніж третього. Скільки вугілля продавали кожного дня?
  3.  За чотири місяці у млині перемололи 480 т пшениці. Першого місяця перемололи 0,3 всієї пшениці, другого – 1/3 остачі. Решту перемололи протягом третього і четвертого місяців, причому за четвертий місяць перемололи у 5 разів менше, ніж за третій. Скільки тон пшениці перемелювали кожного місяця?
  4.  Із складу за 4 дні відпустили 2151м3 лісу. За перший день відпустили 1/3 всього лісу, за другий – 0,45 остачі. Решту лісу відпустили протягом наступних двох днів, причому за третій день відпустили у 4 рази більше, ніж за четвертий. Скільки лісу відпускали зі складу кожного дня?
  5.  Колгосп за рік одержав 486560 грн доходу. Тваринництво дало 0,6 усього доходу, рільництво – 0,5 остачі, решту доходу дали сад і город, причому, сад дав доходу у 3 рази більше, ніж город. Скільки доходу дала кожна галузь господарства окремо?
  6.  На складі було 8361 кг гасу. Першого дня із складу відпустили 2/3 наявного гасу, другого – 1/3 остачі, а решту відпустили протягом наступних двох днів, причому третього дня відпустили в 3 рази менше, ніж четвертого. Скільки гасу відпускали кожного дня?
  7.  Взуттєва фабрика відпустила за місяць 152790 пар взуття. Чоловіче взуття становило 1/3 всієї кількості, жіноче – 0,25 остачі, а решта взуття – для підлітків і дитяче, причому дитячого було в 4 рази більше, ніж для підлітків. Скільки пар взуття кожного виду випущено окремо?
  8.  Фабрика випустила за місяць 25552000 м різної тканини. Ситець становив 1/4 всієї тканини, фланель – 0,4 остачі, а решта – сатин і бязь, причому сатину було в 9 разів менше, ніж бязі. Скільки метрів бязі випустила фабрика?
  9.  Для обслуговування пасажирів у місті щоденно працює 2670 трамваїв, автобусів, тролейбусів і легкових таксі. Трамваї становлять 1/5 всіх видів транспорту, автобуси – 0,25 остачі, а решта транспорту – тролейбуси і легкові таксі, причому тролейбусів у 8 разів менше, ніж легкових таксі. Скільки легкових таксі працює в місті?
  10.  Учень взяв у бібліотеці книжку, яка має 440 сторінок. Першого дня він прочитав 3/11 всієї книги, другого дня – 0,625 остачі, а третього і четвертого дня – решту, причому за третій день він прочитав у 3 рази більше, ніж за четвертий. Скільки сторінок прочитав учень за третій день?

Зразок розв’язання:  Розв’язати задачу арифметичним методом.

У чотирьох районах міста 12 тисяч жителів. У першому районі проживає від усієї кількості жителів, а в другому 0,3 остачі. Решта жителів проживає в ІІІ і ІV районах, причому в третьому районі проживає у 2 рази менше жителів, ніж у четвертому. Скільки жителів проживає у кожному районі міста.

Розв’язування.

1) Скільки жителів проживає у першому районі?

12000 · = 3000 (жит.)

2) Скільки жителів проживає у решті трьох районах?

12000 – 3000 = 9000 (жит.)

3) Скільки жителів проживає у другому районі міста?

9000 ·0,3 = 2700 (жит.)

4) Скільки жителів проживає в третьому і четвертому районах міста?

9000 – 2700 = 6300 (жит.)

[Приймемо кількість жителів третього району за 1ч, тоді у четвертому районі буде 1ч · 2 = 2ч]

5) Скільки частин становлять жителі, що проживають у ІІІ і IV районах разом?

1 + 2 = 3 (ч.)

6) Скільки жителів проживає у третьому районі міста?

6300 : 3 = 2100 (жит.)

7) Скільки жителів проживає у четвертому районі міста?

2100 · 2 = 4200 (жит) [або 6300 – 2100 = 4200]

Відповідь:  І - 3000ос.;  ІІ – 2700ос.;  ІІІ – 2100ос.; ІV – 4200ос.

Завдання 3. Розв’язати задачі арифметичним методом.

  1.  Шкільний кіоск за перший день продав 40% усіх зошитів, за другий – 25%, за третій – 28%, а за четвертий день – решту 1400 зошитів. По скільки зошитів продавав кіоск кожного дня?
  2.  Робітник з одержаної премії за винахід 30% витратив на придбання книг, 40% – на придбання радіоприймача, 18% – на придбання меблів, а решту – 180 грн. поклав до ощадбанку. Визначити скільки коштують окремо придбані книги, радіоприймач і меблі?
  3.  За перший день автомобіль пройшов 60% усієї відстані, за другий – 80% остачі, а за третій – решту відстані. Яку відстань пройшов автомобіль за три дні, якщо за другий день він пройшов на 480 км більше, ніж за третій?
  4.  Учень за перший день прочитав 40% усієї книжки, за другий – 60% остачі, а за третій – решту. Скільки сторінок у книжці, якщо за другий день учень прочитав на 30 сторінок більше, ніж за третій?
  5.  Три піонерські загони садили дерева на пришкільній ділянці. Перший загін посадив 35% усіх дерев, другий – 60% того, що посадив перший, а третій посадив решту дерев. Скільки всього дерев посадили піонери, якщо третій загін посадив на 92 дерева більше, ніж другий?
  6.  Овочева база за перший день відпустила 40% усієї картоплі, за другий – 60% остачі, а за третій – решту. Скільки центнерів картоплі було на базі, якщо за другий день база відпустила на 1800 ц більше, ніж за третій?
  7.  Три бригади пололи кукурудзу. Перша прополола 30% усієї площі, друга – 60% тієї кількості, що прополола перша бригада, а третя – решту, причому третя бригада прополола на 198 га більше, ніж перша. Скільки гектарів кукурудзи пропололи всі три бригади разом?
  8.  Три ланки садили ліс. Перша ланка посадила 38% усієї площі, друга – 52% остачі, а решту – третя, причому перша посадила на 1,44 га більше, ніж друга. Скільки гектарів лісу посадила кожна ланка окремо?
  9.  Лісництво засадило сосною 32,5% площі, відведеної під посадку, дубом – 70% остачі, а решту – іншими деревами. Сосни посаджено на 12,5 га більше, ніж інших дерев. Яку площу відведено під посадку інших дерев?
  10.  Три класи учнів допомагали колгоспу прополювати кукурудзу. Перший клас прополов 30% усієї площі, другий – 60% остачі, а третій – решту, причому він прополов на 11,2 га менше, ніж другий. Скільки гектарів кукурудзи прополов кожний клас окремо?

Зразок розв’язання:  Розв’язати задачу арифметичним методом.

Магазин за перший день продав 35% зошитів, а за другий день – 70% того, що залишилося, а за третій – решту зошитів. Скільки зошитів продав магазин за три дні, якщо за другий день він продав на 560 зошитів більше, ніж за третій день?

  1.  Скільки відсотків становлять зошити, які залишилися в магазині після першого дня продажу?

100% – 30% = 70%

  1.  Скільки відсотків від кількості зошитів, проданих за три дні, становлять зошити, продані за другий день?

70% : 100% · 70% = 49%  (або 70% · 0,7 = 49%)

  1.  Скільки відсотків становлять зошити, які продав магазин третього дня?

70% – 49% = 21%

  1.  Скільки відсотків становлять 560 зошитів?

49% – 21% = 28%

  1.  Скільки зошитів продав магазин за три дні?

560 : 28% · 100% = 2000

Відповідь: за три дні магазин продав 2000 зошитів.

Завдання 4. Знайти значення виразу:

1.

2.

3.

4. .

5.

6.

7.

8.

9. .

10.

Зразок розв’язання:  

Знайти значення виразу:

(–6,6) · + · + – 7 : .

Для знаходження значення виразу виконаємо обчислення за операціями у порядку, визначеному виразом:

1) (–6,6) · = (–6,6) : 1,8 = – = – = – ;

;

3

1

2

3

2

3

6

6  

3

2

3

6

3

2

3

3)

4)

=  ;

5) 7 : ;

6) .

Відповідь: значення виразу дорівнює

ТЕСТИ

Додатні раціональні числа

1. Дріб правильний, якщо:

а) m > п;           б) mп = пm;            в) m = п;          г) m < п.

2. Два дроби і називаються рівними, якщо:

а) п = s;            б) m = ч;             в) ms = пч;         г) mn = чs.

3. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на одне й те ж саме натуральне число, то:

а) значення дробу збільшиться;

б) значення дробу не зміниться;    

в) значення дробу зменшиться;

г) чисельник дробу дорівнюватиме знаменнику.

4. Дробом називається:

а) пара чисел m і п, записаних у вигляді ;

б) число, записане у вигляді ;

в) упорядкована пара натуральних чисел m і п, що записуються символом ;

г) число, записане у вигляді  .

5. Дано дріб . Вказати правильне твердження:

а) m – знаменник;   в) m – чисельник;

б) m – натуральне число;  г) m – ціле невід’ємне число.

6. Дано дріб . Вказати правильне твердження:

а) п – знаменник;    в) п – чисельник;

б) п – натуральне число;  г) п – ціле невід’ємне число.

7. Якщо чисельник і знаменник дробу поділити на одне й те ж саме натуральне число, то:

а) значення дробу збільшиться;

б) значення дробу не зміниться;

в) значення дробу зменшиться;

г) чисельник дробу дорівнюватиме знаменнику.

8. Відношення рівності на множині дробів:

а) рефлексивне;    в) антирефлексивне;

б) антисиметричне;   г) зв’язне.

9. Відношення рівності на множині дробів:

а) антирефлексивне;    в) симетричне;

б) антисиметричне;    г) зв’язне.

10 Відношення «менше» на множині додатних раціональних чисел є відношенням:

а) строгого лінійного порядку;

б) нестрого часткового порядку;

в) строго часткового порядку;

г) еквівалентності.

11. Відношення «менше або рівно» на множині додатних раціональних чисел є відношенням:

а) строго лінійного порядку;

б) нестрого часткового порядку;

в) строго часткового порядку;

г)нестрого лінійного порядку.

12. Додатним раціональним числом називається:

а) ;                                    в) впорядкована пара чисел m і п;

б) клас рівних дробів;        г) неправильний дріб.

13. Відношення рівності на множині дробів:

а) транзитивне;                                 в) антирефлексивне;

б) антисиметричне;                          г) зв’язне.

14. Відношення рівності на множині дробів є відношенням:

а) строго лінійного порядку;  

б) нестрого часткового порядку;   

в) строго часткового порядку;

г) еквівалентності.

15. З двох додатних раціональних чисел а = і в = , число а називається меншим числа в, якщо:

а) m < ч;            б) п < s;           в) mч < пs;          г) m s < пч.

16. Вказати правильні твердження.

а) З двох дробів із рівними знаменниками менший той у якого чисельник менший;

б) з двох дробів із рівними знаменниками менший той у якого чисельник більший;

в) з двох дробів із рівними чисельниками менший той у якого знаменник менший;

г) з двох дробів із рівними чисельниками менший той у якого знаменник більший.

17. Вказати правильні твердження:

а) множина додатних раціональних чисел рівнопотужна множині натуральних чисел;

б) множина додатних раціональних чисел зчисленна;

в) множина додатних раціональних чисел скінченна;

г) у множині додатних раціональних чисел не існує найменшого числа.

18. Вказати правильні твердження:

а) множина додатних раціональних чисел дискретна;

б) множина додатних раціональних чисел щільна;

в) множина додатних раціональних чисел скінченна;

г) множина додатних раціональних чисел, на якій визначене відношення «менше», є упорядкованою.

19. Множина додатних раціональних чисел позначається:

а) Q+;   б) Q;   в) R+;   г) R.

20. Вказати правильні твердження:

а) множина натуральних чисел N є власною підмножиною множини додатних раціональних чисел Q;

б) натуральні числа, що розглядаються як елементи раціональних чисел, називаються цілими додатними раціональними числами;

в) натуральні числа, що розглядаються як елементи раціональних чисел, називаються дробовими додатними числами;

г) натуральні числа, що розглядаються як елементи раціональних чисел, називаються цілими числами.

21. Кожне додатне раціональне число має:

а) єдине зображення;      в) обмежену кількість зображень;

б) декілька зображень;    г) безліч зображень.

22. Множина додатних раціональних чисел, впорядкована відношенням «менше», щільна, тому що:

а)   : с < а <в;

б) : а < в   с  Q : а < с < в;       

в)   с  Q : а < в < с;

г) довільне раціональне число а має сусіднє.

23. Сумою довільних додатних раціональних чисел а і в, які мають своїми зображеннями відповідно дроби і , називається:

а) натуральне число а + в;

б) додатне раціональне число, яке має своїм зображенням дріб ;

в) додатне раціональне число, яке має своїм зображенням дріб ;

г) додатне раціональне число, яке має своїм зображенням дріб .

24. Вказати правильні твердження.

а) - дріб;    

б) - запис додатного раціонального числа;      

в) - зображення додатного раціонального числа;

г) - натуральне число.

25. Дріб називається нескоротним, якщо:

а) НСК (m, п) = m · п;    в) НСК (m, п) = m;

б) НСД (m, п) = 1;    г) НСД (m, п) = п.

26. Кожне додатне раціональне число має нескоротних зображень:

а) єдине зображення;                            в) два зображення;

б) декілька зображень;                         г) безліч зображень.

27. Вказати правильні твердження:

а) сума довільних додатних раціональних чисел не залежить від їх зображень;

б) сума довільних додатних раціональних чисел завжди існує і до того ж єдина;

в) сума довільних додатних раціональних чисел залежить від їх зображень;

г) сума довільних додатних раціональних чисел визначається неоднозначно.

28. Операцією додавання додатних раціональних чисел називається:

а) операція у множині додатних раціональних чисел, при якій довільним двом числам а і в ставиться у відповідність число а + в, що є їх сумою;

б) операція на множині додатних раціональних чисел, при якій довільним двом числам а і в ставиться у відповідність число а + в, що є їх сумою;

в) додатне раціональне число, яке має своїм зображенням дріб ;

г) додатне раціональне число, яке має своїм зображенням дріб .

29. Вказати правила скорочення для операції додавання:

а) а, в і с  Q+ : а + с < в + с а < в;

б) а, в, с  Q : а = в а + с = в + с;

в) а, в, с  Q : а + с = в + с а = в;

г) а, в, с  Q : а < в а + с < в + с.

30. Операція додавання додатних раціональних чисел:

а) комутативна;     в) дистрибутивна відносно множення;

б) асоціативна;       г) не комутативна.

31. Операцією віднімання додатних раціональних чисел а і в називається:

а) операція на множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність їх різниця;

б) операція у множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність їх різниця;

в) додатне раціональне число х, таке що а = в + х;

г) додатне раціональне число х, таке що а + в = ₤.

32. Вказати закони монотонності для операції додавання.

а) а і в  Q+ : а + в = в + а;  

б) а, в, с  Q : а = в а + с = в + с;  

в) а, в, с  Q : а + с = в + с а = в;

г) а, в, с  Q : а < в а + с < в + с.

33. Різницею додатних раціональних чисел а і в називається:

а) число х, таке що а + х = в;

б) число х, таке що а = в – х;

в) додатне раціональне число х, таке що а = в + х;

г) додатне раціональне число х, таке що а + х = в.

34. Вказати правильні твердження:

а) операція віднімання додатних раціональних чисел завжди існує;

б) операція віднімання додатних раціональних чисел завжди єдина;

в) операція віднімання додатних раціональних чисел а і в існує тоді і тільки тоді, коли а<в;

г) операція віднімання додатних раціональних чисел а і в існує тоді і тільки тоді, коли а ≥ в.

35. Добутком довільних додатних раціональних чисел а і в, що мають своїми зображеннями відповідно дроби і називається:

а) число ;

б) додатне раціональне число, що має своїм зображенням дріб ;

в) додатне раціональне число, що має своїм зображенням дріб ;

г) додатне раціональне число, що має своїм зображенням дріб .

36. Вказати правильні твердження:

а) добуток двох додатних раціональних чисел не залежить від їх зображення;

б) добуток двох додатних раціональних чисел залежить від їх зображення;

в) добуток двох додатних раціональних чисел а і в визначається неоднозначно;

г) добуток двох додатних раціональних чисел а і в завжди існує і єдиний.

37. Множенням додатних раціональних чисел називається:

а) операція у множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність їх добуток а · в;

б) операція на множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність їх добуток а · в;

в) операція у множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність деяка пара чисел а і в;

г) додатне раціональне число с, що має своїм зображенням дріб .

38. Вказати символічний запис комутативного закону множення додатних раціональних чисел:

а) а, в, с  Q+ : (а · в)с = а(в · с);

б) а, в, с  Q+ : (а + в)с = ас + вс;  

в) а, в  Q+ : а · в = в ·а;

г) а, в, с  Q : а = в ас = вс.

39. Вказати символічний запис асоціативного закону множення додатних раціональних чисел:

а) а, в, с  Q+ : (а · в) с = а (в · с);

б) а, в, с  Q+ : (а + в) с = ас + вс;  

в) а, в  Q+ : а · в = в ·а;

г) а, в, с  Q : а = в ас = вс.

40. Вказати символічний запис дистрибутивного закону множення додатних раціональних чисел відносно додавання:

а) а, в  Q+ : (а + в) с = а (в + с);

б) а, в, с  Q+ : (а + в) с = ас + вс;

в) а, в  Q+ : а · в = в ·а;

г) а, в, с  Q : а = в ас = вс.

41. Операція множення додатних раціональних чисел:

а) комутативна;          в) дистрибутивна відносно ділення;

б) не комутативна;     г) асоціативна.

42. Операція множення додатних раціональних чисел:

а) дистрибутивна відносно додавання;

б) не комутативна;

в) дистрибутивна відносно ділення;

г) асоціативна.

43. Вказати символічний запис закону монотонності операції множення додатних раціональних чисел відносно відношення рівно:

а) а, в  Q+ : (а · в) с = а (в · с);  

б) а, в, с  Q+ : (а + в) с = ас + вс;

в) а, в  Q+ : а · в = в ·а;

г) а, в, с  Q : а = в ас = вс.

44. Вказати символічний запис правила скорочення для множення:

а) а, в, с  Q+ : а = в ас = вс;                     

б) + а, в, с  Q+ : (ас = вс) (с ≠0) а = в;      

в)  а, в, с  Q+ : (ас < вс) (с ≠0)   а < в;

г)  а, в, с  Q+ : (а < в) (с ≠0)   ас < вс.

45. Часткою довільних додатних раціональних чисел а і в називається:

а) додатне раціональне число х таке що а = в · х;

б) додатне раціональне число х таке що а · х = в;

в) додатне раціональне число х таке що в : х = а;

г) операція у множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність число .

46. Додатне раціональне число в називається оберненим до числа а, якщо:

а) їх різниця дорівнює 0;                  в) їх сума дорівнює 0;

б) їх частка дорівнює 1;                 г) їх добуток дорівнює 1.

47. Вказати правильні твердження:

а) для кожного додатного раціонального числа існує єдине обернене йому число;

б) для кожного додатного раціонального числа існує безліч обернених йому чисел;

в) частка довільних додатних раціональних чисел завжди існує і єдина;

г) частка довільних додатних раціональних чисел існує тоді, коли а > в.

48. Операцією ділення (діленням) додатних раціональних чисел називається:

а) операція у множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність їх частка а : в;

б) операція на множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність їх частка а : в;

в) додатне раціональне число с, що має своїм зображенням ;

г) операція у множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність число х, таке що а · х = в.

49. Вказати правильні рівності:

а) ;           б) ;            в) ;           г) .

50. Вказати правильні рівності:

а) ;          б) ;             в) ;            г) .

51. Вказати правильні рівності.

а) ;           б) ;            в) ;           г) .

52. Вказати правильні рівності:

а) 7 - ;      б) 7 - ;        в) 7 - ;      г) .

53. Дріб називається десятковим, якщо:

а) його чисельник є натуральним числом, записаним у десятковій системі числення, а знаменник натуральним степенем числа 10;

б) він записаний у вигляді а0, а1 а2 . . . ап;

в) його чисельник є натуральним числом, записаним у позиційній системі числення з основою q, а знаменник натуральним степенем основи q;

г) він записується у вигляді а0, а1 а2 . . . , де а0, а1 а2 . . . ап < q.

54. Десятковий дріб називається правильним, якщо:

а) його ціла частина більша за 0;       

б) його ціла частина рівна 0;      

в) його дробова частина рівна 0;

г) його дробова частина має один десятковий знак.

55. Які твердження відносяться до властивостей десяткового дробу:

а) дописування нулів після коми до десяткового дробу не змінює його величини;

б) з двох десяткових дробів більший той, у якого більша його ціла частина або ж якщо цілі частини рівні, у якого раніше зустрінеться більший відповідний десятковий знак;

в) щоб помножити (поділити) десятковий дріб на 10п, де п є N, треба перенести кому вправо (вліво) на п цифр;

г) ) щоб помножити (поділити) десятковий дріб на 10п, де п є N, треба перенести кому вліво (вправо) на п цифр;

56. Який із записів правильний?

а)  + 2,75  б)   + 2,75  в)  2,75  г)  2,75

   3,5           3,5             3,5               3,5      

57. Який із записів правильний?

а) 2,75  б)   2,75   в)  2,75  г) + 2,75

  0,2                            0,2                        0,2                    0,2 

  5,50                        5,50                     0,550                  2,77

58. У десятковому дробі число називають:

а) звичайним;     в) дробовою частиною;

б) дробовим;     г) цілою частиною.

59. У десятковому дробі число називають:

а) звичайним;     в) дробовою частиною;

б) дробовим;     г) цілою частиною.

60. Які твердження відносяться до властивостей десяткового дробу:

а) дописування нулів після коми до десяткового дробу не змінює його величини;

б) дописування нулів справа до десяткового дробу не змінює його величини;

в) щоб звести дроби до спільного знаменника, треба за допомогою дописування нулів справа зрівняти в них кількість десяткових знаків;

г) щоб додати два десяткові дроби, треба підписати доданки один під одним так, щоб ціла частина була під цілою, а дробова під дробовою.

61. Нескоротний дріб перетворюється в скінчений десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли:

а) канонічний розклад знаменника, крім простих множників 2 і 5, містить інші прості множники;

б) канонічний розклад знаменника містить лише прості множники 2 і 5;

в) канонічний розклад чисельника містить лише прості множники 2 і 5;

г) канонічні розклади чисельника і знаменника містять прості множники 2 і 5.

62. Нескоротний дріб перетворюється в нескінченний періодичний десятковий дріб, якщо:

а) канонічний розклад знаменника, крім простих множників 2 і 5, містить інші прості множники;

б) канонічний розклад знаменника містить лише прості множники 2 і 5;

в) канонічний розклад чисельника містить лише прості множники 2 і 5;

г) канонічні розклади чисельника і знаменника містять прості множники 2,5.

63. Нескінченний десятковий дріб називається періодичним, якщо:

а) він утворюється повторенням кортежу цифр, починаючи відразу після коми;

б) якщо цифри його запису повторюються;

в) він утворюється повторенням кортежу цифр, починаючи з деякого десяткового знаку;

г) він утворюється повторенням кортежу цифр, що містяться у його цілій частині.

64. Періодичний дріб називається мішаним, якщо:

а) ціла частина його рівна 0;

б) період починається відразу після коми;

в) період складається з однієї цифри;

г) між комою і періодом є десяткові знаки.

65. Дріб перетворюється у:

а) чистий періодичний десятковий дріб;  

б) мішаний періодичний десятковий дріб;          

в) скінченний десятковий дріб;

г) ціле число.

66. Дріб перетворюється у:

а) чистий періодичний десятковий дріб;  

б) мішаний періодичний десятковий дріб;           

в) скінченний десятковий дріб;

г) ціле число.

67. Число, десятковий запис якого є кортежем найменшої довжини, що повторюється, називається:

а) періодом;      в) довжиною кортежу;

б) довжиною періоду;   г) мішаним числом.

68. Довжиною періоду у нескінченному періодичному десятковому дробі називається:

а) кількість цифр у періоді;

б) довжина кортежу найменшої довжини, який повторюється;

в) кількість десяткових знаків;

г) довжина кортежу цифр цілої його частини.

69. Періодичний дріб називається чистим, якщо:

а)  ціла частина його рівна 0;

б) період починається відразу після коми;

в) період складається з однієї цифри;

г) між комою і періодом є десяткові знаки.

70. Дріб перетворюється у:

а) чистий періодичний десятковий дріб;  

б) мішаний періодичний десятковий дріб;           

в) скінченний десятковий дріб;

г) ціле число.

71. Десятковий запис дробу має до періоду десяткових знаків:

а) 1;    б) 2;    в) 3;   г) 4.

72. Десятковий запис дробу має до періоду десяткових знаків:

а) 1;    б) 2;    в) 3;    г) 4.

73. Нескінченний періодичний десятковий дріб 1,(24) рівний звичайному дробу:

а) ;      в) ;

б) ;      г) .

74. Одна сота частина числа називається:

а) відсотком;                                   в) процентом;    

б) дробом;                                        г) періодом.

75. Щоб знайти дріб від числа, треба:

а) це число помножити на даний дріб;  

б) це число поділити на даний дріб;  

в) дріб поділити на це число;

г) дріб відняти від даного числа.

76. Десятковий запис дробу має до періоду десяткових знаків:

а) 1;   б) 2;    в) 3;   г) 4.

77. Десятковий запис дробу має до періоду десяткових знаків:

а) 1;   б) 2;    в) 3;   г) 4.

78. Нескінченний періодичний десятковий дріб 3,4(37) рівний звичайному дробу:

а) ;  б) ;  в) ;  г) .

79. Щоб знайти число за його дробом, треба:

а) це число помножити на даний дріб;  

б) дане число поділити на  дріб;  

в) дріб поділити на це число;

г) дріб відняти від даного числа.

80. Студент отримав 120 грн стипендії. її він витратив на продукти. Щоб знайти, скільки грошей студент витратив на продукти, треба:

а) 120 – ;                                   в) 120 · ;        

б) 120 : ;                                    г) 120 : 3 · 2.

81. Студент купив книжку, яка коштує 24 грн, що становить його стипендії. Щоб знайти, скільки гривень становить стипендія, треба:

а) 24 · ;                                    в) 24 + ;        

б) 24 : ;                                    г) 24 : 3 · 16.

82. Студент одержав 120 грн стипендії. На покупку книжки він витратив 36 грн. Щоб знайти, скільки відсотків від стипендії становить вартість книжки, треба:

а)  · 100;      б)  · 100;       в)  · 36;       г)  · 120.

83. Стипендія студента становить 120 грн. Студент на покупку книжки витратив 36 грн. Щоб знайти, яку частину грошей потратив студент на покупку книжки, треба:

а) 120 : 36;           б) ;          в) 120 - 36;            г) 120 + 36.

84. Стипендія студента становить 120 грн. На покупку книжки він витратив 12% цієї суми. Щоб знайти, скільки гривень потратив студент на покупку книжки, треба:

а) 120 : 12;                                              в) 120 : 12 · 100;       

б) 120 : 100 · 12;                                     г) 120 - 12.

85. Студент купив книжку за 36 грн, що становить 12% його стипендії Щоб знайти, скільки гривень становить стипендія студента, треба:

а) 36 · 12;                                                в) 36 : 100 · 12;  

б) 36 : 12 · 100;                                       г) 100 : 12 · 36.

Дійсні числа

1. Два відрізки, для яких не існує третього відрізка, що вкладався б цілу кількість разів у кожному з них, називаються:

а) різними;                                           в) рівними;    

б) не сумірними;                                 г) сумірними.

2. Вказати правильні твердження:

а) діагональ квадрата сумірна з його стороною;

б) діагональ квадрата не сумірна з його стороною;

в) не існує додатного раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2;

г) існує додатне раціональне число, квадрат якого дорівнює 2.

3. Нескінчений неперіодичний десятковий дріб називається:

а) додатним раціональним числом;  

б) додатним ірраціональним числом;

в) множиною дійсних чисел;

г) системним дробом.

4. Множина, яка є об’єднанням множин додатних раціональних і ірраціональних чисел, називається множиною:

а) додатних дійсних чисел;           в) натуральних чисел;

б) дійсних чисел;                            г) цілих невід’ємних чисел.

5. Вказати твердження, що не належить до аксіом, на яких базується вимірювання відрізків:

а) рівні відрізки мають рівні міри;

б) кожний відрізок можна поділити на п рівних відрізків, де п – довільне натуральне число більше одиниці;

в) для довільних відрізків і існує натуральне число п таке, що п >;

г) якщо на прямій дано послідовність відрізків:

А0 В0,   А1 В1,   А2 В2, …,   Ап Вп, …(1),

таких що:

1) кожний наступний відрізок є підмножиною попереднього;

2) для будь-якого наперед заданого відрізка С Д знайдеться ціле невід’ємне число п, при якому Ап Вп < СД, то на прямій існує єдина точка, яка належить всім відрізкам послідовності (1).

6. Яке із тверджень у завданні №5 є аксіомою Архімеда?

7. Яке із тверджень у завданні №5 є аксіомою Квантора?

8. Яке із тверджень у завданні №5 виражає неперервність прямої?

9. Сумою двох дійсних чисел з різними знаками є:

а) від‘ємне число, модуль якого дорівнює різниці модулів цих чисел;

б) додатне число, модуль якого дорівнює сумі модулів цих чисел;

в) число, модуль якого дорівнює сумі модулів цих чисел, взяте із знаком, що стоїть біля числа з більшим модулем;

г) число, модуль якого дорівнює різниці більшого і меншого модулів даних чисел, перед яким поставлено знак того числа, яке має більший модуль.

10. Вказати повний набір властивостей додавання, де а, в, с – довільні дійсні числа.

а) а + 0 = 0 + а = а;  а + в = в + а;  (а + в) · с = ас + вс;  а + в = с;  а = в + с.

б) а + 0 = 0 + а;  а + в = в + а;  (а + в) + с = а + (в + с);  (а = в) а + с = в + с; а + с = в + с а = в.

в) (а + в) – с = (а - с) + (в -с);  а + в = с;  а + в = в + а;  а + 1 =а1.

г) а – (в + с);  (а + в) + с = (а + с) + в;  а + (в + с) = (а + в) + с;  а + 0 = 0 + а =а.

11. Операція на множині дійсних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність їх сума а + в, називається:

а) додаванням дійсних чисел;        

б) сумою дійсних чисел;                

в) операцією на множині;

г) операцією у множині.

12. Сума довільних двох дійсних чисел:

а) завжди існує і єдина;          в) не завжди існує;

б) якщо існує, то єдина;                г) існує, якщо а > в.

13. Множиною дійсних чисел називається:

а) R+    R-;     в) N    N0;

б) Q+    Q-;     г) ^  Q.

14. Пряма, на якій задано точки О та , вказано напрям від О до , називається:

а) координатною площиною;        в) півпрямою;

б) числовим променем;                  г) координатною прямою.

15. Геометрично модуль дійсного числа виражає:

а) відстань між двома точками на прямій;

б) координату точки на прямій;

в) відстань між двома симетричними точками на координатній прямій;

г) відстань на координатній прямій від точки М, яка має своєю координатою це число, до початку координат.

16. Сумою двох від‘ємних дійсних чисел є:

а) від‘ємне число, модуль якого дорівнює різниці модулів цих чисел;

б) додатне число, модуль якого дорівнює сумі модулів цих чисел;

в) число, модуль якого дорівнює сумі модулів цих чисел, взяте із знаком, що стоїть біля числа з більшим модулем;

г) від‘ємне число, модуль якого  дорівнює сумі модулів цих чисел.

17. Вказати кінцівку істинного твердження: “Добутком довільних двох дійсних чисел а і в є дійсне число…”:

а) модуль якого дорівнює добутку модулів цих чисел із знаком «+», тільки тоді коли числа обидва додатні;

б) модуль якого дорівнює добутку модулів цих чисел із знаком «+», тільки тоді коли числа обидва від’ємні;

в) модуль якого дорівнює добутку модулів цих чисел із знаком «+», коли числа різних знаків;

г) модуль якого дорівнює добутку модулів цих чисел із знаком «+», коли числа мають однакові знаки.

18. Вказати кінцівку твердження: “Добуток двох дійсних чисел…”:

а) існує, якщо а > в;                                 в) не завжди існує;

б) завжди існує та єдиний;                    г) існує, якщо а < в.

19. Операція на множині дійсних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність їх добуток а · в, називається:

а) добутком дійсних чисел а і в;

б) множенням дійсних чисел;

в) числом, модуль якого дорівнює добутку модулів цих чисел із знаком «+», коли числа різних знаків;

г) числом, модуль якого дорівнює добутку модулів цих чисел із знаком «+», коли числа мають однакові знаки.

20. Вказати повний набір властивостей операції множення дійсних чисел:

а) ;                                  в) ;

    ;                                ;

    ;                                 ;

    ;                      ;

    .                         ;

         .

б) ;                           г) ;

   ;                              ;

   ;                                  ;

   ;                       ;

   ;                       ;

   .                          ;

         .

21. Дійсне число х, при якому для будь-яких дійсних чисел а і в виконується рівність в + х = а, називається:

а) різницею дійсних чисел а і в;        в) добутком чисел а і в;

б) сумою чисел а і в;                        г) додаванням чисел а і в.

22. Вказати правильну рівність:

а) в + (а - в) = в;                      

б) в + (а - в) = (а + в) – (в - а);

в) в + (а - в) = а;                      

г) в + (а - в) = (в + а) + (а - в).

23. Операція на множині дійсних чисел, при якій кожній парі чисел а і в ставиться у відповідність їх різниця а – в, називається:

а) різницею чисел а і в;                  в) операцією на множині;

б) відніманням дійсних чисел;      г) операцією у множині.

24. Операція віднімання на множині дійсних чисел існує:

а) завжди;     б) якщо а > в;     в) якщо а < в;     г) якщо а ≥ в.

25. Вказати хибне висловлювання:

а) відношення більше на множині дійсних чисел транзитивне:

а, в, с R : (а > в) (в > с) а > с;

б) для довільних дійсних чисел а і в має місце одне і тільки одне з відношень: або а = в, або а > в, або а < в;

в) відношення «більше» на множині дійсних чисел є відношенням нестрогого лінійного порядку;

г) відношення більше на множині дійсних чисел є відношенням строгого лінійного порядку.

26. Вказати закон монотонності додавання щодо відношення порядку:

а) ;

б) (а < в) (а + с < в + с);     

в) (а + с < в + с) (а <в);

г) (ас = вс) а = с.

27. Вказати правило скорочення додавання дійсних чисел щодо відношення порядку:

а) ;

б) (а < в) (а + с < в + с);     

в) (а + с < в + с) (а <в);

г) (ас = вс) а = с.

28. Вказати правильні твердження:

а) (а > в) (с > 0) (ас > в · с);    

б) (а > в) (с > 0) (ас < вс);

в) (а > в) (с < 0) (ас > вс);

г) (а > в) (с < 0) (ас < вс).

29. Дійсне число х, при якому, для будь-яких дійсних чисел а і в,  в · х = а, називається:

а) діленням дійсних чисел;  

б) добутком чисел а і в;  

в) часткою дійсних чисел а і в ≠ 0;

г) множенням дійсних чисел.

30. Вказати правильну рівність:

а) (а : в) · в = а;     в) (а · в) : в = в;

б) (а : в) · в = в;     г) в · (а : в) = в.

31. Для довільних чисел а і в число а називається більшим числа в (позначається а > в), якщо:

а) різниця а – в є числом від'ємним;

б) різниця а – в є числом додатним;

в) сума а + в є числом від'ємним;

г) сума а + в є числом додатним.

32. Вказати правильне твердження:

а) ;  

б) ;

в) ;

г) .

33. Вказати правильну рівність:

а) – 2 · 4 = 8;      в) – 2 · (- 4) = -8;

б) – 2 · 4 = -8;      г) 4 · (-2) = 8.

34. Вказати правильні твердження:

а) (ас > вс) (с > 0) (а < в);

б) (ас > вс) (с > 0) (а > в);

в) (ас > вс) (с < 0) (а < в);

г) (ас > вс) (с < 0) (а > в).

35. Вказати правильну рівність:

а) – 2 + 4 = 6;      в) – 2 + 4 = 2;

б) – 2 + 4 = - 6;      г) – 2 + 4 = -2.


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ VІІ

(Рівняння і нерівності)

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ

Тема 1. Числові вирази. Розв’язування задач на складання виразів

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Поняття числового виразу та його значення.
  2.  Числові рівності та їх властивості.
  3.  Числові нерівності та їх властивості.

 

III.Практичні завдання

1. (Усно) №1 [4, с. 465]. Які записи є числовими виразами:

1) 3 ∙ 5 + 4;  3) 3х + 5;   5) 6 + 8 – ;

2) 27;   4) 3+ 2 – 10;  6) : 1,5.

2. №2 [4, с. 465]. Чому числові вирази не мають значень на множині цілих невідємних чисел:

1) (3 – 6) + 2 ∙7;                              2) (3 + 5) : 24 ∙ 9 + 2;    

                        3) 2 – 8 – 3 – 9 + 6 ∙ 7?

3. №4 [4, с. 465].   (Письмово, самостійно) Розставити дужки в запису 54 – 36 : 2 + 4 так,  щоб отримані числові вирази мали значення: 

1) 13;   2) 3;  3) 32;  4) 48;  5) 40.

4. №5 [4, с. 465].  Розв’язати задачі і скласти числові вирази для їх розв’язування:

1) На одне поле привезли для сівби 45 мішків пшениці, а на друге – 69 мішків. Відомо, що на друге поле привезли пшениці на 1т 920 кг більше, ніж на перше. Знайти масу пшениці, яку привезли на обидва поля разом.

2) Два поїзди вийшли одночасно назустріч один одному. Перший поїзд рухався із швидкістю 65 км/год, а другий – 70 км/год і пройшов до зустрічі 280 км. Яка відстань була між поїздами до початку руху?

3) Із пункту А в пункт Б, відстань між якими 12 км, вийшли назустріч один одному два пішоходи. Швидкість першого пішохода становить 4 км/год, а другого – 4,5км/год. На скільки хвилин раніше прибуде в пункт А другий пішохід?

5. №6 [4, с. 466].   ( Усно) У шкільному саду є 6 рядів груш по 12 дерев у кожному і 8 рядів яблунь по 14 у кожному. До даної умови задачі сформулювати питання так, щоб розв’язок задачі знаходився за допомогою виразу:

1) 12 ∙ 6 + 14 ∙ 8;      2) 14 ∙ 8 – 12 ∙ 6;         3) 14 ∙ 8 – 72.

6. №8 [4, с. 466].  Записати висловлення у вигляді числової рівності та встановити їх логічні, значення:

1) 8 більше 6 на 2;                3) – 3  більше 4 на 7;     

2) 8 менше 6 на 2;                4) 5 менше 9 на 4.

7. №3 [4, с. 465]. Знайти значення числових виразів у множині дійсних чисел:

 .

 8. №7 [4, с. 466].    Сформулювати умови задачі, які розвязуються за допомогою числових виразів:

1) 25 ∙ 7 + 20 ∙ 8;  3) 80 – 12 ∙ 5;   

2) 28 : (3 + 4);   4) (24 ∙ 5 + 12 ∙ 7) : (5 + 7).

9. №9 [4, с. 466].   Записати висловлення, скориставшись одним із знаків “>”, “<”, “≥”  “≤”, та встановити їх логічні значення:

1) – 2  не менше – 3;   3) – 5 більше – 8;

2) 5 більше 8;    4) 6 не більше 8.

10. №10 [4, с. 466]. Сформулювати заперечення висловлень та встановити їх логічні значення:

1) 15 ≥ 7;  2) 3 + 5 = 4 ∙ 2;  3) 3 ∙ 7 = 4 ∙ 5;

4) 8 < 7;  5) 30 ≤ 40;   6) 7 > 9.

ІV. Завдання для самостійного опрацювання

1. Теоретичні питання. Вирази із змінною. Тотожності. Рівняння з однією зміною та їх властивості.

2. Практичні завдання. 

1)  №391 [8, с.77]. Пропливши  на човні 9 км проти течії річки, турист вернувся назад на плоті. Скільки часу він затратив на всю мандрівку, якщо відомо, що швидкість човна в стоячій воді дорівнює 6 км/год, а швидкість течії річки – 2 км/год?

2) №392  [8, с.77]. Є запас сіна, який складено в 10 копиць, по 450 м3 кожний, і в 15 копиць – по 540 м3 . Маса 1 м3 сіна становить 52 кг. На яку кількість корів вистачить цього сіна, якщо денна норма для однієї корови становить 10 кг сіна, а період годівлі сіном – 180 днів?

3) №393[8, с.77]. Придумайте задачі, які розвязуються за допомогою числових виразів:

а) 127 – (13 ∙3 + 12 ∙5);                           в) (36 : 3) + 4;

б) 300 : ( 60  + 40);                                  г) (( 30 :  6) ∙ 5) ∙ 8;

д) 24 : (9 + 1) – 24 : (9 – 1).

Тема 2. Вирази із змінною. Тотожність.

Рівняння з однією змінною та їх властивості

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

1. Вирази із змінними та їх основні характеристики.

2. Види виразів із змінною.

3. Тотожно рівні вирази.

4. Тотожності.

5. Тотожні перетворення.

6. Рівняння з однією змінною як предикат та його основні характеристики.

7. Означення рівносильності рівнянь з однією змінною.

8. Властивості рівнянь з однією змінною.

9. Лінійні рівняння з однією змінною та їх розв’язування. Рівняння першого степеня.

10. Квадратні рівняння та їх розв’язування.

ІІІ. Задачі для розв’язування

1. №12 [4, с.466]. – усно:

Які записи є числовими виразами, а які виразами із змінними:

1) 3х + 4;                                3) 3 ∙ 5 + 12 : 2;     

2) 6 – 2х = 3;                          4) 3х + 2у?

2. № 13 (1 – 3) [4, с.466]. Знайти області визначення виразів:

1)         2)              3) .

3. №15 (3) [4, с.467].  Спростити вираз:

.  

4. №17 (2,3) [4, с.467]. Довести тотожності:

1)(x  y)  (x + y)3 = x (x  2y)3 + y (2x  y)3.

2) х (у + z)2 + y (z + x)2 + z (x + y)2 – 4xyz = (x + у) (y + z) (x + z).

5. Не розв’язуючи рівнянь, вказати, на яких множинах і на основі яких тверджень вони рівносильні:

а) х + 3 = 1     і     (х + 3) + (х – 1) = 1 + (х – 1);

б) х + 3 = 1     і     х + 3 + = 1 + ;

в) х + 3 = 1     і     (х + 3) · (х -1) = х – 1;

г) х + 3 = 1     і     (х + 3) + = .

6. № 23 (2,3) [1, с. 468]. Розвязати рівняння на основі залежності між компонентами і результатами операцій:

12 – (30 – 8,5 : (2,75 – 0,6х)) ∙  = 3;

3 : ((2,7х + 4,2) : 21) ∙ 1 = 5.

7. № 421 [8, с.81]. Тонка мотузка на 12 м довша за товсту. Коли від кожної із них відрізали по 16 м, тонкої мотузки залишилось в 3 рази більше, ніж товстої. Скільки метрів тонкої мотузки залишилось?

8. № 422 [8, с.81]. В одній бочці на 5л бензину більше, ніж в другій. Коли в першу долити 10л, а в другу – 35л, то в другій стане в два рази більше бензину, ніж в першій. Скільки бензину було в двох бочках?

ІV. Завдання для самостійної роботи

1. Теоретичні питання.

Нерівності з однією змінною, їх системи і сукупності.

2. Практичні завдання.

№ 17 (1, 4) [4, с.467]. Довести тотожності:

(а2 + b2 )(х2 + у2 ) – (ах – )2 = (ау + bх )2;

 2(2xy)3 – 27xy2 = (x – 2y)(4x + y)2.

№23 (1) [4, с. 468]. Розв’язати рівняння на основі залежності між компонентами і результатами операцій:

((6,2 : 0,31 – х) ∙ 0,2 +  0,15) : 0,02 = 200.

№ 423 [8, с.82]. Автобус пройшов відстань між двома селами за 1,8 год. Якщо цю швидкість збільшити на 9 км/год, то цей же шлях він пройде за 1,5 год. З якою швидкістю їхав автобус?

№ 424 [8, с.82]. На одному складі 500т вугілля, а на другому – 600 т. Перший склад щоденно відпускає 9т, а другий – 11т вугілля. Через скільки днів вугілля на складі стане порівно?

Тема 3. Нерівності з однією змінною їх системи і сукупності

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Означення нерівності з однією змінною як предиката та її основні характеристики.
  2.  Означення рівносильності нерівностей.
  3.  Властивості нерівностей з однією змінною та наслідки з них.
  4.  Означення лінійної нерівності та її виду нерівності першого степеня.
  5.  Сукупність нерівностей з однією змінною, область її визначення та множина розв‘язків.
  6.  Системи нерівностей з однією змінною, область їх визначення та множина розв‘язків.
  7.  Рівносильність систем нерівностей з однією змінною.
  8.  Властивості систем нерівностей з однією змінною.

ІІІ. Задачі для розв’язування

  1.  Не розвязуючи нерівності, вказати, на яких множинах і на основі яких властивостей вони рівносильні:

а) 2х + 1  3     і     (2х + 1) + (х – 1)  3 + (х - 1);

б) 2х + 1  3     і     (2х + 1) +  3 + ;

в) 2х + 1  3     і     (2х + 1) +  3 + ;

г) 2х + 1  3     і     (2х + 1) ∙ (х – 1)  3 ∙ (х - 1);

д) 2х + 1  3     і     (2х + 1) ∙ (х – 1)  3 ∙ (х - 1);

е) 2х + 1  3     і       ;

є) 2х + 1  3     і       .

2. № 27 (1, 2, 5) [4, с. 469]. Розвязати нерівності:

2х2 + 6х – 6 ≥ 3х2 – 2х + 6;

 

ІV. Завдання для самостійної роботи

1. Теоретичні питання.

1. Рівняння та нерівності з двома змінними, їх системи та сукупності.

2. Практичні завдання.

№ 26 [4, с. 469]. Не розвязуючи нерівності, вказати, на яких множинах і на основі яких тверджень, вони рівносильні:

  1.  х + 3 > 2     і     > ;

2) х – 4  ≤ 3    і     ;

3) х + 5 ≥ 3     і      х + 5 +    ≥ 3 + ;

4) х – 1 > 5      і      (х – 1)(х + 1) < 5(х + 1).

№ 27 (2, 4, 6) [4, с. 469]. Розвязати нерівності:

   ≥ 4;

х2 – 5х + 11 < 2х2 – 7х + 3;

  < 0.  

Тема 4. Рівняння і нерівності з двома змінними, їх системи і сукупності

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Означення рівняння з двома змінними як предиката та його основні характеристики.
  2.  Графік рівняння з двома змінними. Означення рівняння лінії.
  3.  Рівняння кола.
  4.  Означення нерівності з двома змінними, її основні характеристики.
  5.  Системи і сукупності рівнянь та нерівностей з двома змінними і множини їх розв’язків.
  6.  Способи розв’язування систем і сукупностей рівнянь та нерівностей з двома змінними.

ІІІ. Практичні завдання

  1.  Написати рівняння кола з центром С (-2, 1) і радіусом τ = 4 та накреслити його. (С (3, -2) і τ = 5).
  2.  Показати, що дані рівняння є рівняннями кола, знайти їх центр і радіус:

а) х2 + у2 – 2х + 10у + 1 = 0;

б) х2 + у2 – 4у - 12 = 0;

в) х2 + у2 + 6х - 8у = 0;

г) х2 + у2 + 10х + 2у – 22 = 0.

3. Розв’язати системи рівнянь:

1)   2х – 3у = – 5;                             2)    ху = 8;

     4х + у = 11.                                       х · у = 20.                

3)    ;               4)   ;                  

     .                    х2у2 = 8.

4.Розв’язати графічно систему рівнянь:

       х2у2 = 25;

      4у = 3х.

5. Розв’язати задачі:

а) Два автомобілі, легковий і вантажний, виїжджають одночасно із одного міста в інше. Легковий автомобіль проходить на 15 км/год більше, ніж вантажний і встигає приїхати на 1 год раніше, ніж вантажний. Відстань між містами 180 км. Скільки кілометрів за годину проїзджає кожний автомобіль?

б) Із міст А і В, відстань між якими 180 км, відправляються назустріч один одному два поїзди. Після зустрічі поїзд, який вийшов із А, прибув до В через 2 години, а другий прибув до А через 4год. Знайти швидкість кожного з поїздів.

7. Розв’язати графічно систему нерівностей:

а)     4х + 3 5у;                         б)       3х + 2у  у;

у + 4х > х2 –5.                              х2 + у2 + 4у < 41 + 4х.

в)      3у + 19 > 2х;    г)             х2 + у2  16 – 6х;

        2у + х2  4х – 6.            7у + 14 > 3х.

ІV. Завдання для самостійної роботи

1. Теоретичні питання. Числові функції шкільного курсу математики.

2. Практичні завдання.

1) №24 (3, 4) [4, с. 468]   Розв’язати рівняння та системи рівнянь:

а)  + = ;

б)   3х + 2у = 5;                       в)   ху = 2;

     2х – 5у = 4.                             3х2 + 2ху + 5у2 = 6.

2) Розв’язати графічно систему нерівностей:

а)     2х + 5у > 6;    б) 3х + 5у 4;

21 – 5у  х2 + 4х.   х2 + у2 + 6у  23 + 4х.

3) №25 (3, 4) [4, с. 468]   Розв’язати задачі алгебраїчним методом:

1) Члени шкільного гуртка натуралістів відправилися на катері для збирання лікарських рослин. Пропливши за течією 35 км, вони зробили зупинку на 3 год, після чого повернулися назад. Знайти швидкість катера в стоячій воді, якщо вся подорож тривала 7 год, а швидкість течії річки 3 км/год.

2) Бак для води наповнюється двома трубами за 2 год 55 хв. Перша труба може наповнити його на 2 год швидше, ніж друга. За який час кожна з труб окремо може наповнити бак?

3) Два робітники повинні виконати деяку роботу за 12 днів. Після 8 днів спільної роботи один із них дістав нове завдання, а тому другий робітник закінчив виконання частини роботи, що залишилася, за 7 днів. За скільки днів кожний із робітників може виконати роботу, працюючи окремо?

Тема 5. Числові функції шкільного курсу математики

І.Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

1. Поняття числової функції та її основні характеристики.

2. Задання числових функцій.

3. Поняття складних, обмеженних та парних і непарних функцій.

4. Означення послідовності.

5. Означення функції прямої пропорційності та лінійної функції.

6. Означення функції оберненої пропорційності.

ІІІ. Задачі для розв’язування

  1.  № 115 [8, с.174]. Які з наведених нижче величин знаходяться в прямо пропорціональній або обернено пропорційній залежності:
  2.  кількість товару і його вартість при постійній ціні;
  3.  час і пройдена відстань при постійній швидкості в умовах рівномірного прямолінійного руху;
  4.  швидкість рівномірного прямолінійного руху і часу, необхідного для проходження певної відстані;
  5.  швидкість рівномірного руху і пройденого шляху за певний проміжок часу;
  6.  довжина сторони квадрата і його площа;
  7.  довжина і ширина прямокутника при заданій площі;
  8.  діаметр кола і його довжина;
  9.  довжина сторони квадрата і його периметр.
  10.  Встановити, в якій залежності знаходяться величини, що розглядаються в задачі і, якщо можливо, розв’язати різними способом.

а) Із пункту А в пункт В вийшов пішохід із швидкістю 5 км/год. На якій відстані від пункту В буде пішохід через 1, 2, 3, 4 год після свого виходу, якщо відстань між пунктами 22 км.

Зразок розв’язання. Позначимо буквою х час руху пішохода, а буквою у – відстань між пішоходом і пунктом В. Тоді за х годин пішохід пройде 5х км і буде знаходитися від пункта В на відстані у = 22 – 5х (км). Отже, залежність між пройденою відстанню і часом руху має вид лінійної функції.

Якщо х = 1, то у = 22 – 5 · 1 = 17, тобто через 1 год пішохід буде знаходитися від пункту В на відстані 17км.

Якщо х = 2, то у = 22 – 5 · 2 = 12, тобто через 2 год пішохід буде знаходитися від пункту В на відстані 12км.

Якщо х = 3, то у = 22 – 5 · 3 = 7, тобто через 3 год пішохід буде знаходитися від пункту В на відстані 7км.

б) Витрачаючи на виготовлення однієї деталі 30 хв, бригада виготовила за зміну 450 деталей. Скільки деталей буде за зміну виготовляти бригада після встановлення нового обладнання на якому на виготовлення 1 деталі витрачатиметься 15 хв.

в) На 10 га землі витратили для посіву 140 ц зерна. Скільки зерна треба, щоб засіяти 30га землі?

г) За 100 квт/год електроенергії заплатили 18 гривень. Скільки гривень треба заплатити за 50 квт/год. електроенергії?

д) При щоденному витрачанні 3 ц вугілля його запасів вистачить на 60 днів. На скільки днів вистачить вугілля, якщо його витрачати по 2 ц щодня?

е) Турист, рухаючись на мотоциклі з швидкістю 36 км/год., планував прибути в призначене місце через 3 год. Із-за неполадок він змушений був пересісти на велосипед і рухатись із швидкістю 12 км/год? Через скільки годин турист прибув у призначене місце?

є) Скільки треба шеститонних машин, щоб перевезти вантаж, який можуть перевезти 10 тритонних машини?

ж) Скільки треба восьмилітрових відер рідини, щоб наповнити бочку, яка вміщує шість шістнадцятилітрових відер рідини?

3. № 30 (2,4) [4,с. 470]. Знайти область визначення функції:

1) у = lg(х2 + 3х – 10);

2) у = .

4. № 31 (3,5) [4,с. 470]. Побудувати графіки функцій:

 у = –  х2 + 2х – 4;           

 у = │х – 2│.

5. № 452 [8, с.87]. Бригада повинна була виконати замовлення за 12 днів. Щоденно перевиконуючи норму на 25%, за 10 днів роботи вона не тільки виконала замовлення, та ще й виконала більше норми на 42 деталі. Скільки деталей у день виготовляла бригада?

6. № 453 [8, с.87]. Від пристані А відійшов катер за напрямом до пристані В. Через 40 хв після того від тієї ж пристані А відійшов моторний човен, швидкість якого на 6 км/год більша за швидкість катера. До пристані В моторний човен прибув на 10 хв пізніше, ніж катер. Відстань між пристанями дорівнює 90 км. Знайдіть швидкість катера і моторного човна.

7. № 455 [8, с.87]. Дачник, пройшовши першу годину зі швидкістю 3,5 км/год, розрахував, що, рухаючись з такою швидкістю, він запізниться на поїзд на 1 год. Шлях, що залишився, він пройшов зі швидкістю 5км/год і прийшов на станцію за 30 хв до відправлення поїзда. Визначте, який шлях пройшов дачник.

8. № 456 [8, с.87]. Одна майстерня повинна пошити 810 костюмів, друга за цей же термін – 900 костюмів. Перша закінчила виконання замовлення за 3 дні, а друга – за 6 днів до терміну. По скільки костюмів у день шила кожна майстерня, якщо друга шила в день на 4 костюми більше, ніж перша?

9. № 25 (4) [1, с.468]. Розв’язати задачу алгебраїчним методом.

Два робітника повинні виконати певну роботу за 12 днів. Після 8 днів спільної роботи один із них дістав нове завдання, а тому другий робітник закінчив виконання частини роботи, що залишилася, за 7 днів. За скільки днів кожен із робітників може виконати роботу, працюючи окремо?

ІV. Завдання для самостійної роботи

  1.  Теоретичні питання. Система геометричних понять шкільного курсу математики. Плоскі геометричні фігури. Задачі на побудову.
  2.  Практичні завдання.

1. №29 [4, с.469]. Вказати, які з нижче названих величин знаходяться в прямо пропорційній чи обернено пропорційній залежностях:

1) довжина прямокутника і його площа при постійній його ширині;

2) висота і об’єм прямокутного паралепіпеда при постійній його площі основи;

3) добуток і один із його множників при постійному значенні другого множника;

4) знаменник і величина дробу при постійному значенні його чисельника;

5) чисельник і величина дробу при постійному значенні його знаменника;

6) чисельник і знаменник дробу при постійному значенні дробу;

7) продуктивність праці робітників і тривалість роботи при постійному обсязі роботи;

8) довжина і ширина прямокутника при заданій його площі.

2. № 30 (1, 3) [4, с.470]. Знайти область визначення функцій:

 у = ;

 у = .

3. № 38 [4, с. 539]. Встановити, які величини розглядаються в задачах, які відношення між ними, розв’язати задачі.

  1.  Скільки відер води треба вилити на город, який має форму прямокутника довжиною 24,6 м і шириною 16,75 м, щоб зросити його так, як зрошує дощ, що дає шар опадів товщиною 42 мм, якщо відро містить 12,3 дм3?
  2.  Два поїзди вийшли в різний час назустріч один одному з двох станцій, відстань між якими 700 км. Швидкість першого поїзда 55 км/год, а другого – 50 км/год. Перший поїзд, пройшовши 330 км, зустрівся з другим поїздом. На скільки часу один з них вийшов раніше другого?
  3.  Витрачаючи на виготовлення кожної деталі 30 хв, бригада випускала за зміну 620 деталей. Скільки деталей буде виготовляти бригада за зміну, якщо на виготовлення деталі вона затрачатиме 25 хв? На скільки відсотків при цьому підвищиться продуктивність праці?

4. № 25 (2) [4, с.468]. Розв’язати задачу алгебраїчним методом.

Члени шкільного гуртка натуралістів відправилися на катері для збирання лікарських рослин. Пропливши за течією 35 км, вони зробили зупинку на 3 год, після чого повернулися назад. Знайти швидкість катера в стоячій воді, якщо вся подорож тривала 7 год, а швидкість течії річки 3 км/год.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Завдання 1. Розв’язати графічно систему нерівностей:

1.     4х + 3 ≥ 5у;

        у + 4х > х2 – 5.

2.     3у + 19 > 2х;

       2у + х2 ≤ 4х -6.

  1.  3х + 2у ≥ 9;

х2 + у2 + 4у < 41 + 4х.

  1.  2х + 5у > 6;

21 – 5ух2 + 4х.

  1.  2х – 3у + 3 > 0;

            х2 + у2 + 4у ≤ 0.

  1.  6у + 5х ≤ 42;

2х + 4у > х2 – 15.

  1.  3х + 5у ≤ 4;

х2 + у2 + 6у ≤ 23 + 4х.

  1.  х + 5у + 21 ≥ 0;

3у + х2 < 4х + 5.

  1.  х + 21 ≥ 3у;

4у > х2 + 2х + 5.

  1.  х2 + у2 ≤ 16 – 6х;

7у + 14 > 3х.

Зразок розв’язування. Розв’язати графічно систему нерівностей:

х2 + у2 ≥ 16 – 6х;

5у + 14 > 3х.

Графічним розв’язком першої нерівності буде множина точок площини, які знаходяться всередині кола, заданого рівнянням:

х2 + у2 = 16 – 6х.

Знайдемо центр цього кола О і його радіус r:

(х2 – 6х + 9) – 9 + (у – 0)2 = 16

(х – 3)2 + (у 0)2 = 25

Отже: О (3;0),  r2 =25, тобто r =5.

Нерівність нестрога, тому точки кола належать множині графічних розв’язків нерівності і коло зображається суцільною лінією.

Розв’яжемо другу нерівність відносно змінної у:

5у > 3х – 14

                                      у > 

Графічним розв’язком другої нерівності буде множина точок півплощини, які знаходяться вище прямої лінії, яка задається рівнянням:

у =

Знайдемо координати 2 – х точок цієї прямої

х      у

3     –1

   –2     4

Так як нерівність строга, то точки прямої не належать множині розв’язків нерівності і графік рівняння зображається пунктирною лінією. Розв’язками системи буде переріз одержаних двох множин, тобто множини точок площини, що знаходяться над прямою лінією і обмежені колом. На графіку розв’язки заштриховано.

                       у

    

 

                    2                                        3                                     х

Завдання 2. Знайти область визначення функції:

1. у = ;                                    6. у = ;

2. у = lg (х2 + 2х +8);                                7. у = ;

3. у = ;                                    8. у = lg;

4. у = lg (х2 – 5х +4);                                 9. у = ;

5. у = lg;                                    10. у = .

Зразок розв’язування. Знайти область визначення функції у = lg .

Щоб знайти область визначення даної функції, треба знайти область визначення виразу lg .

Враховуючи, що логарифм десятковий, то, за означенням логарифма, при будь-якому дійсному значенні у, 10у > 0, тобто:

 > 0    

Розв’яжемо першу систему

Знайдемо розвязки першої нерівності:

4х – 3 > 0 4х > 3  х > ; тобто х 

Знайдемо розвязки другої нерівності: х2 + 3х + 7 > 0

Розв’язання квадратної нерівності зводиться до знаходження множини значень змінної х, при якій квадратний тричлен з додатним старшим коефіцієнтом у даному випадку він дорівнює 1) більший за нуль. Для цього знайдемо його дискримінант і корені, якщо вони існують:

D = в2 – 4 ас = 9 – 4 · 17 = – 19.

D < 0, а тому квадратний тричлен не має коренів, тому парабола, яка є його графіком, не має спільних точок віссю О х. Враховуючи, що її вітки спрямовані вгору, вона знаходиться вище осі О х і тому при будь-якому дійсному числі х значення у, а значить і тричлена, буде додатнім, тобто більшим за 0.

Отже, х 

Так як розв’язком системи є переріз розв’язків кожної з її нерівностей, то її х .

2) Міркуючи аналогічно, розв’яжемо другу систему сукупності .

Розвязками першої нерівності системи буде проміжок . Враховуючи, що вітки параболи, яка задається тричленом х2 + 3х + 7, спрямовані вгору і сама парабола знаходиться вище осі О х, то не існує дійсного числа х, при якому значення у, а значить і квадратного тричлена було від’ємним, тобто меншим за 0. Отже, х  ∅. Тоді перерізом розв’язків нерівностей системи буде теж порожня  множина. Тому х  ∅.

3) Виходячи з того, що розв’язком сукупності систем нерівностей є об’єднання розв’язків кожної системи, що входять до неї, то розв’язком сукупності, а значить і областю визначення функції у = lg  буде х   ∅ = .

Відповідь: х 

Завдання 3. Побудувати графіки функції:

1. у = х2 + х + 2;                                     6. у = – х2 + 2х – 4;

2. у = х2 + 2х – 1;                                   7. у = – х2 + х + 2;

3. у = х2 – 4х – 8;                                    8. у = 2х2 – 4х + 5;

4. у = х2х + 3;                                      9. у = 3х2 + 6х + 1;

5. у = х2 + 3х – 4;                                    10. у = 2х2 + 8х + 5.

Зразок розв’язування. Побудувати графік функції  у = .

Перетворимо спочатку вираз .

= ( х26х +3) = ( х22  3х + 99 + 3) = (( х 3)26) =  = ( х – 3)22.

А тому, у = =  ( х – 3)22.

Отже, графік даної функції одержується з графіка функції у = х2 так:

1) стискуємо параболу у = х2 до  осі Ох з коефіцієнтом , отримаємо графік функції у =х2;

2) зсуваємо параболу у =х2  вздовж осі Ох на три одиниці вправо, одержуємо параболу     у =  ( х – 3)2, яку зсуваємо вздовж осі Оу на дві одиниці вниз. Парабола, яка отримується, і буде графіком у = ( х – 3)22, а значить, і функції у = .

Графіки функцій використовуються для розвязування рівнянь. Один із графічних способів розв’язування рівнянь із однією змінною полягає в тому, що будують графіки функцій, які задаються виразами, котрі є лівою і правою частинами рівнянь. Абсциси точок перетину одержаних графіків будуть розвязками даного рівняння.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 7

Завдання 1. На основі залежності між компонентами і результатами операцій розв’язати рівняння:

1. ((6,2 : 0,31 – х) ∙ 0,2 + 0,15) : 0,02 = 200;

2. 66,6 : (5 + 3,2 : (1,6 – х)) – 7,15 = 0,25;

3. 3 : ((2,75 ∙ х + 4,5) : 21) – 1 = 5;

4. () : = ;

5. 12 – (30 – 19,5 : (2,75 – 0,6 ∙ х)) ∙ = 3;

6. 18 : (30 : ( + 7,5)) = 1,5;

7. (6,2 + 3 : ()) ∙ = 1,2;

8. 3,25 – ;

9. ;

10. 0,24 : .

Зразок розв’язування. На основі залежності між компонентами і результатами операцій розв’язати рівняння:

Щоб знайти невідоме ділене, треба частку 0,2 помножити на дільник 2,5.

0,2 · 2,5 = 0,5;

.

2) Аналогічно, як у 1):

3) Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок 5,625.

4) Аналогічно до 1):

5) Аналогічно до 3):

6) Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник 0,3:

Відповідь:

Завдання 2. Не розв’язуючи рівняння, вказати, на яких множинах і на основі яких тверджень вони рівносильні:

1. х – 3 = 2  і     

2. х – 2 = 4  і      

3. х + 5 = 2  і       (х + 5) (х – 4) = 2 (х – 4);

4. х – 4 = 3  і       ;

5. х + 2 = 6  і       ;

6. х + 7 = 3  і       ;

7. х + 10 = 13  і        ;

8. 2х + 3 = 9  і         ;

9. 3х + 4 = 19  і          ;

10. 4х – 3 = 1  і           .

Зразок розв’язування. Не розв’язуючи рівнянь,

x  4 = 3 і  х2 – 16 = 3(х + 4),

вказати, на яких множинах і на основі яких тверджень вони рівносильні.

Рівняння

x  4 = 3 і  х2 – 16 = 3(х + 4)

визначені на множині дійсних чисел R, тобто їх області визначення М = R. Якщо ліву частину х2 – 16 другого рівняння записати (х – 4)(х + 4), то воно набере вигляду:

(х – 4)(х + 4) = 3(х + 4).

Тепер неважко встановити, що друге рівняння одержане з першого рівняння шляхом множення обох його частин на вираз х + 4, який не дорівнює нулю на множині М1 = ] - ∞, -4 [] –4, + ∞[, а не на множині R . Тому за теоремою 2 про рівносильність рівнянь приходимо до висновку, що дані рівняння будуть рівносильними на множині:

М1 = ] - ∞, -4 [] –4, + ∞[ =R \ {  – 4 }

 і нерівносильними на множині дійсних чисел R.

Завдання 3 . Розв’язати задачі алгебраїчним методом.

1. Дві бригади зібрали разом 1456 ц жита. Перша бригада зібрала жито з 46 га, друга – з 35 га. Скільки центнерів жита в середньому збирала кожна бригада з одного гектара, якщо перша бригада збирала в середньому з одного гектара на 7 ц більше, ніж друга?

2. На годівлю 15 корів і 8 коней відпускається в середньому 162 кг сіна на день. Скільки сіна видавали щоденно кожному коню і кожній корові, якщо відомо, що на кожний день 5 коням видається на 3 кг більше, ніж 7 коровам?

3. На платформу були навантажені дубові та соснові колоди, всього 300 колод. Відомо, що всі дубові колоди важили на 1 т менше, ніж соснові. Визначити, скільки було соснових і дубових колод, якщо дубова важила 46 кг, а соснова – 28 кг.

4. Два майстри одержали за роботу 117 грн. Скільки одержав за день кожен з них, якщо відомо, що перший майстер працював 15 днів, а другий – 14 днів, і перший з них одержував за 4 дні на 11 грн більше, ніж другий за 3 дні?

5. На 10 грн. купили 8 кг груш першого сорту і 20 кг груш другого сорту. Яка вартість одного кілограма груш кожного сорту, якщо 5 кг груш першого сорту на 40 коп. дорожчі, ніж 7 кг другого сорту?

6. На середині шляху між станціями А і В потяг було затримано на 10 хв. Щоб прибути до станції В за розкладом, машиністу довелося збільшити початкову швидкість на 12 км/год. Знайти початкову швидкість потяга, якщо відстань між станціями дорівнює 120 км.

7. Члени шкільного гуртка натуралістів відправилися на катері для збирання лікарських рослин. Пропливши за течією 35 км, вони зробили зупинку на 3 год, після чого повернулися назад. Знайти швидкість катера в стоячій воді, якщо вся подорож тривала 7 год, а швидкість течії річки 3 км/год.

8. Швидкий потяг пройшов 400 км на одну годину швидше товарного. Яка середня швидкість кожного потяга, якщо швидкість товарного потяга на 20 км/год менша, ніж швидкого?

9. Колоні автомашин було дане завдання перевести із складу в річковий порт 60 т вантажу. У зв’язку з несприятливими погодними умовами на кожну автомашину довелося вантажити на 0,5 т менше, ніж передбачалося, а тому колону збільшили на 4 автомашини. Скільки автомашин було спочатку в колоні?

10. Одна ланка зібрала з своєї ділянки 875 ц пшениці, а друга з ділянки, меншої на 2 га, – 920 ц пшениці. Знайти врожайність пшениці в кожній ланці, якщо відомо, що з одного гектара в другій ланці зібрали на 5 ц більше, ніж у першій.

Зразок розв’язування. Розв’язати задачі алгебраїчним методом.

Відстань 36 км один із двох лижників пройшов на півгодини швидше, ніж другий. Швидкість першого лижника на 1 км/год більша, ніж другого. Визначити швидкість кожного лижника.

Швидкість другого лижника позначимо – х км/год, тоді (х + 1) км/год – швидкість першого лижника. Відстань 36 км перший лижник проходить за годин, а другий –  

годин. Різниця в часі руху другого і першого лижників рівна, а за умовою задачі вона становить півгодини. Отже, маємо рівняння:

= ,

в якому, згідно з умовою задачі, х > 0.

Для знаходження розвязків рівняння виконаємо над ним перетворення:

72х + 72 – 72х = х2 + х =х2 + х – 72 = 0.

Одержали квадратне рівняння, коренями якого є дійсні числа – 9 і 8. Оскільки  х > 0, то корінь рівняння – 9 не буде розвязком задачі. Таким чином, швидкість другого лижника 8 км/год, а першого  – 8  + 1 = 9 км/год.

Відповідь: 9 км/год, 8 км/год.

Завдання 4. Не розв’язуючи дані нерівності, вказати, на яких множинах і на основі яких тверджень вони рівносильні:

1. >2  і       ;

2.  і        ;

3.  і         ;

4.  і         ;

5.  і         ;

6.  і         ;

7.  і         ;

8.  і          ;

9.  і          ;

10.   і         .

Зразок розв’язування: Не розвязуючи нерівностей

3х + 2 > 5  і    3х + 2 + > 5 + ,

вказати, на яких множинах і на основі яких тверджень вони рівносильні .

Нерівність   3х + 2 > 5  визначена на множині  М1 = ] – ∞;  +  ∞[.

Нерівність 3х + 2 + > 5 + , визначена всюди, де х – 6 ≠ 0, тобто, коли х ≠ 6. Отже, область її визначення є множина М2 =] – ∞;  6 [] 6;  +  ∞ [. . Оскільки  М2  М1, то перша нерівність буде також визначена на множині М2. Друга нерівність одержана з першої додаванням до обох її частин виразу , який визначений на множині М2.  За теоремою 1 про рівносильність нерівностей одержуємо, що дані нерівності будуть рівносильними на множині

М2 = ] – ∞; 6 [] 6;+ ∞ [.◄

Завдання 5. Розв’язати нерівність:

1. а) < 2;  б) ;

2. а) <;  б) ;

3. а) <;  б) ;

4. а)  б) ;

5. а)  б) ;

6. а)  б) ;

7. а)  б) ;

8. а)  б) ;

9. а)  б) ;

10. а)  б) .

Зразок розв’язування: Розв’язати нерівність:

.

Областю визначення нерівності будуть всі дійсні числа, що задовольняють умову 3х + 8 ≠ 0. Зведемо нерівність до простішого виду, користуючись теоремами про рівносильність нерівностей та наслідками з них.

Одержана нерівність, на підставі залежності знаку частки від ділення двох довільних дійсних чисел, буде рівносильна сукупності систем нерівностей

                  і                         .

Щоб розвязати сукупність систем нерівностей з однією змінною, потрібно розв’язати кожну нерівність системи. Після цього знайти переріз множин розв’язків нерівностей кожної системи, а потім об'єднати множини розв'язків систем нерівностей. Одержана множина і буде множиною розвязків даної сукупності систем нерівностей.

                    

Для знаходження множини розв’язків першої системи сукупності зобразимо множину розв’язків кожної нерівності цієї системи на координатній прямій і знайдемо їх переріз, мал. 1.

            –           0      1              4

                                                       х

                                     Мал. 1

Звідси одержуємо, що множина розв’язків першої системи є порожньою. Аналогічно робимо і при знаходженні множини розвязків другої системи, мал. 2.

                                                                         х

                          0                         4           

Мал. 2

Одержуємо, що множиною розвязків другої системи є числовий проміжок ] – ; 4]. Об’єднання знайдених множин буде числовим проміжком   ] – ; 4] .

Відповідь: ] – ; 4] .   

Розвязати нерівність:

4х2 – 10х +7 < 6х2х + 2.

Областю визначення даної нерівності є множина дійсних чисел R. Користуючись теоремами про рівносильність нерівностей та наслідками з них, задану нерівність можна спростити:

4х2 – 10х + 7 – 6х2 + х – 2 < 0    – 2х2 – 9х + 5 < 0 2х2 + 9х – 5 > 0.

Одержали квадратну нерівність. Розвязування її зводиться до знаходження множини значень змінної х, при якій квадратний тричлен  з додатним старшим коефіцієнтом (у даному випадку коефіцієнт дорівнює 2) більший за нуль. Для цього знайдемо його дискримінант і корені, якщо вони існують:

D = b2 4ас = 92 – 4 · 2 · ( – 5) = 121 = 112, D > 0, а тому квадратний тричлен має два дійсні і різні корені:

х1 =  і     х2 = .

Як відомо графіком квадратного тричлена є парабола, вітки якої спрямовані вгору, якщо старший коефіцієнт додатний, і яка перетинає вісь Ох  у точках х1 = – 5 і  х2 = . Накреслимо схематично графік квадратного тричлена, мал. 3, і за його допомогою знайдемо множину значень змінної х, при якій він розміщений над віссю Ох. Ця множина і буде складати множину розвязків даної нерівності.

Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання двох числових проміжків ] – ∞; – 5 [  і . ◄

                                                     Мал.3

Розвязати нерівність

2х2 + 9х – 5  > 0

можна також на підставі залежності знаку добутку двох довільних дійсних чисел від множників. Для цього розкладемо квадратний тричлен 2х2 + 9х – 5   на лінійні множники:

2х2 + 9х – 5 = 2( х + 5 ) ( х) = ( х + 5 ) ( 2х – 1 ).

Значить,

2х2 + 9х – 5 > 0  ( х + 5 ) ( 2х – 1 ) > 0.

Одержана нерівність буде рівносильна сукупності систем нерівностей:

  і     

Знайдемо їх розвязки.

Таким чином, сукупність систем  нерівностей має множиною розвязків обєднання двох числових множин ] –∞; – 5 [ і ] ; + [ .

Відповідь: х ] –∞; – 5 [ ] ; +  [ .

ТЕСТИ

Рівняння і нерівності

1. Два числові вирази називаються рівними, якщо:

а) рівні їх значення;     

б) вони мають однакову кількість компонентів;

в) вони мають однакові компоненти;

г) вони містять однакові операції.

2. Відношення рівності на множині числових виразів є:

а) відношенням строгого лінійного порядку;

б) відношенням нестрогого лінійного порядку;

в) відношенням еквівалентності;

г) відношенням строгого часткового порядку.

3. Вказати неправильне твердження:

а) ;

б) ;      

в) ;

г) , де А, В, С – числові вирази, а W – множина числових виразів.

4. Запис чисел і операцій над ним, в якому за попередньою домовленістю відомий порядок виконання операцій над ними називається:

а) числовою формою;   в) виразом із змінною;

б) числовим виразом;   г) значенням виразу.

5. Числа виразу називаються:

а) значенням виразу;    в) аргументом;

б) компонентами виразу;   г) числовою формою.

6. Якщо в числовому виразі виконати всі зазначені операції, то одержане число називається:

а) його значенням;    в) областю значень;

б) областю визначення;   г) його аргументом.

7. Відношення «більше або рівно» (≥) та «менше або рівно» (≤) на множині числових виразів є відношеннями:

а) еквівалентності;  

б) строгого лінійного порядку;

в) строгого часткового порядку;

г) нестрогого лінійного порядку.

8. Нерівності А > В і С > Д є нерівностями:

а) еквівалентності;  

б) строгого лінійного порядку;   

в) строгого часткового порядку;

г) нестрогого лінійного порядку.

9. Нерівності А ≥ В і С ≤ Д є нерівностями:

а) еквівалентності;  

б) строгого лінійного порядку;   

в) строгого часткового порядку;

г) нестрогого лінійного порядку.

10. Вказати неправильне твердження:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

11. Вказати неправильне твердження:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

12. Відношення «більше» на множині виразів є відношенням:

а) еквівалентності;  

б) строгого лінійного порядку;   

в) строгого часткового порядку;

г) нестрогого лінійного порядку.

13. Вказати символічний запис означення відношення “більше” на множині числових виразів W:

а) А > В в – а > 0;  

б) А > В ;

в) А > В \ в > а;

г) А > В а > в.

14. Підібрати кінцівку до твердження: «Відношення «менше» (<) є …» так, щоб воно було істинним:

а) протилежним до відношення «більше або дорівнює»;

б) протилежним до відношення «менше або дорівнює»;

в) оберненим до відношення «менше або дорівнює»;

г) оберненим до відношення «більше».

15. Підібрати кінцівку до твердження: «Відношення «більше або дорівнює» (≥) є …» так, щоб воно було істинним:

а) протилежним до відношення «менше»;

б) протилежним до відношення «менше або дорівнює»;

в) протилежним  до відношення «більше або дорівнює»;

г) оберненим до відношення «більше».

16. Запис

         3 > 2  є записом:    а) кон’юкції даних нерівностей;

         4 < 7          б) диз’юнкції даних нерівностей;

                                        в) імплікації даних нерівностей;

                                       г) еквіваленції даних нерівностей.

17. Запис

        3 > 2  є записом:     а) кон’юкції даних нерівностей;

        4 < 7                        б) диз’юнкції даних нерівностей;

                                        в) імплікації даних нерівностей;

                                       г) еквіваленції даних нерівностей.

18. Вказати неправильне твердження:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ,

де W – множина числових виразів.

19. Вказати хибне твердження:

а)  (А > В)(С > Д) → А - С > В – Д;

б) (А > В)(С < Д) → А - С > В – Д;

в) (А > В)(С < Д) → С - А < Д – В;

г) (0 > А > В) (0 > С > Д)→АС < ВД,    

де W – множина виразів.

20. Вказати хибне твердження:

а) (А > В)(С > 0)→АС > ВС;

б) (А > В)(С < 0)→АС < ВС;

в) (А > В)(С > 0)→АС < ВС;

г) (А > В)(С ≠ 0)→АС > ВС,  

де W – множина виразів.

21. Вказати хибне твердження:

а) (А > В > 0)(С > Д >0)→(АС > ВД);

б) (0 > А > В) (0 > С > Д)→(АС < ВД);

в) (А > В)(АВ > 0)→ < ;

г) А > В → Ап > Вп,    

де W – множина виразів.

22. Підібрати правильну кінцівку до твердження: «Відношення «менше або дорівнює» (≤) є …»

а) об’єднанням відношень «менше» і «рівне»;

б) протилежним до відношення «менше або рівне»;

в) оберненим до відношення «більше або рівне»;

г) об’єднанням відношень «більше» і «рівне».

23. Вказати хибне твердження:

а) А > В В < А;

б) А > В А – В > 0;  

в) А < В А – В < 0;

г) А > В А · В > 0,

де W – множина виразів.

24. Вказати хибне твердження:

а) А > В → А + С > В + С;           

б) (А > В + С) → (А – С >В);

в) (А + С > В + С) → (А > В);

г) (А > В) (С > Д)→АВ > СД,

де W – множина виразів.

25. Алгебраїчний вираз, який не містить операції добування коренів із виразів, що містять змінну, називається:

а) раціональним;     в) многочленом;

б) цілим;      г) алгебраїчним.

26. Раціональний вираз, який не містить операції ділення на вирази, що містять змінні, називають:

а) ірраціональним;    в) многочленом;

б) цілим;      г) алгебраїчним.

27. Раціональний вираз, який містить операції ділення на вирази, що містять змінні, називається:

а) дробовим;      в) многочленом;

б) цілим;       г) алгебраїчним.

28. Елементи, які можна підставляти замість змінної у вираз, називаються:

а) значенням змінної;                 в) областю значень змінної;

б) областю визначення змінної;  г) аргументом.

29. Множина  значень змінних, при яких числова форма має значення, називається:

а) областю значень числової форми;

б) областю визначення числової форми;

в) аргументом числової форми;

г) значенням числової форми.

30. Вираз, який містить лише арифметичні операції та операції піднесення до раціонального степеня, прийнято називати:

а) раціональним;     в) многочленом;

б) цілим;      г) алгебраїчним.

31. Якщо на множині М задано вирази f (х) і g (х) з однією змінною, то предикат виду f (х) = g (х), для якого треба знайти область істинності, називається:

а) числовою формою;  

б) виразом з однією змінною;  

в) рівнянням з однією змінною;

г) числовою рівністю.

32. Область істинності предиката, що задає рівняння, називається:

а) коренем рівняння;  

б) множиною розв’язків рівняння;    

в) множиною значень;

г) областю визначення рівняння.

33. Число з множини розв’язків рівняння називається:

а) коренем рівняння;           в) множиною значень;

б) значенням змінної;         г) областю визначення рівняння.

34. Два вирази із спільною областю визначення, що мають рівні значення при одному і тому ж значенні змінної, називаються:

а) тотожними;     в) рівносильними;

б) тотожністю;    г) тотожно рівними.

35. Відношення тотожної рівності виразів є відношенням:

а) строгого лінійного порядку;  

б) еквівалентності;

в) строгого часткового порядку;

г) нестрогого лінійного порядку.

36. Два тотожно рівні вирази, з’єднані знаком рівності, називаються:

а) тотожними;     в) рівносильними;

б) тотожністю;    г) еквівалентними.

37. Системою рівнянь називається:

а) диз’юнкція рівнянь;   в) імплікація рівнянь;

б) еквіваленція рівнянь;   г) кон’юнкція рівнянь.

38. Сукупністю рівнянь називається:

а) диз’юнкція рівнянь;   в) імплікація рівнянь;

б) еквіваленція рівнянь;   г) кон’юнкція рівнянь.

39. Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду:

а) ах1 + вх2 = ах2 + вх2;   в) ах2 + вх + с = 0;

б) а1х + в1 = а2х + в2;    г) а1х + в1у = а2х + в2у.

40. Два рівняння є однією змінною, визначені на множині М, множини розв’язків яких збігаються, називаються:

а) рівними;      в) рівносильними;

б) тотожними;     г) еквівалентним.

41. Два рівняння з однією змінною, визначені на множині М, такі що кожне з них є логічним наслідком іншого, називаються:

а) рівними;      в) рівносильними;

б) тотожними;     г) еквівалентним.

42. Вказати хибне твердження:

а) якщо до обох частин рівняння з однією змінною, визначеного на множині М, додати вираз, визначений на цій же множині, то одержиться рівняння рівносильне даному;

б) якщо обидві частини рівняння з однією змінною, визначеного на множині М, помножити на вираз, визначений на цій же множині, то одержимо рівняння рівносильне даному;

в) якщо обидві частини рівняння з однією змінною, визначеного на множині М, помножити на вираз, визначений на цій же множині і відмінний від 0, то одержимо рівняння рівносильне даному;

г) рівняння = 0, х є М, рівносильне рівнянню f(х) = 0, х є М.

43. Дискримінант квадратного рівняння ах2 + вх + с = 0 знаходять за формулою:

а) D = ;     в) D = -в – 4ас;

б) D = в2 – 4 ас;      г) D = 4ас – в.

44. Розв’язки квадратного рівняння ах2 + вх + с = 0 знаходяться за формулою:

а) х1,2 = ;     в) х1,2 = ;

б) х1,2 = ;    г) х1,2 = .

45. Якщо на множині М = Мх × Му задано два вирази f (x,y) i g (x,y), то предикат виду f (x,y) = g (x,y), (х,у) є М, для якого треба знайти область істинності, називається:

а) виразом з двома змінними;  

б) тотожністю;

в) рівнянням з двома змінними;

г) рівнянням з однією змінною.

46. Якщо D > 0, то квадратне рівняння має:

а) один розв’язок;                     в) не має розв’язків;

б) два розв’язки;                       г) має більш як два розв’язки.

47. Квадратне рівняння ах2 + вх + с = 0 називають зведеним, якщо:

а) в = 0;      в) а = 1;

б) с = 0;      г) а = 0 або с = 0.

48. Квадратне рівняння ах2 + вх + с = 0 називають неповним, якщо:

а) а = 0;      в) в = 0 або с = 0;

б) в = 0;      г) а = 0 або с = 0.

49. Множиною розв’язків системи рівнянь є:

а) переріз розв’язків рівнянь системи;

б) об’єднання розв’язків рівнянь системи;                   

в) переріз областей визначення рівнянь;

г) об’єднання областей визначення рівнянь.

50. Множиною розв’язків сукупності рівнянь є:

а) переріз розв’язків рівнянь системи;

б) об’єднання розв’язків рівнянь системи;         

в) переріз областей визначення рівнянь;

г) об’єднання областей визначення рівнянь.

51. Сукупність (система) рівнянь, що не має розв’язків, називається:

а) несумісною;     в) тотожністю;

б) сумісною;      г) рівносильністю.

52. Розв’язком рівняння з двома змінними називається:

а) значення змінної;   

б) область істинності предиката, що задає рівняння;

в) впорядкована пара чисел з множини його розв’язків;

г) область визначення рівняння.

53. У прямокутній системі координат О ху рівняння кола радіусом r і з центром у точці С (а; в) може бути записане у вигляді:

а) х2 + у2 = r2;     в) у = х2 + вх + с;

б) х2 + у = r2;     г) (х - а)2 + (у - в)2 = r2.

54. Рівняння кола з центром у початку координат має вигляд:

а) х2 + у2 = r2;     в) у = х2 + вх + с;

б) х2 + у = r2;     г) (х - а)2 + (у - в)2 = r2.

55. Дві нерівності з однією змінною, визначені на множині М, називаються рівносильними, якщо:

а) кожна з них є логічним наслідком іншої;

б) множина розв’язків однієї з них є власною підмножиною іншої;

в) вони не мають спільних розв’язків;

г) вони мають спільні розв’язки.

56. Визначити хибні твердження:

а) якщо до обох частин нерівності з однією змінною, визначеної на множині М, додати вираз, визначений на цій же множині, то одержиться нерівність того ж смислу, рівносильна заданій на множині М;

б) якщо обидві частини нерівності з однією змінною, визначеної на множині М, помножити на вираз, який додатний для всіх чисел із множини М, то одержиться нерівність того ж самого смислу, рівносильна заданій на множині М;

в) якщо обидві частини нерівностей з однією змінною, визначеної на множині М, домножити на вираз, визначений на множині М, то одержимо нерівність того самого смислу, рівносильну даній;  

г) якщо обидві частини нерівності з однією змінною, визначеної на множині М, помножити на вираз, який від’ємний для всіх чисел із множини М, і знак нерівності змінити на обернений, то одержиться нерівність, рівносильна заданій на множині М.

57. Функціональне відношення у множині дійсних чисел називається:

а) відображенням;   в) числовою послідовністю;

б) числовою функцією;  г) відношенням на множині.

58. Системи рівнянь із спільною областю визначення, у яких множини розв’язків збігаються, називаються:

а) рівносильними;   в) несумісними;

б) сумісними;    г) тотожними.

59. Якщо на множині М задано вирази f (х) і g (х), то предикати виду:

f (х) < g (х),  f (х) > g (х),

f (х)g (х),  f (х)g (х),     для яких потрібно знайти область істинності, називаються:

а) виразами з однією змінною;  

б) числовими формами;

в) нерівностями з однією змінною;                 

г) сукупністю.

60. Множиною розв’язків нерівності з однією змінною називається:

а) область визначення предиката, що задає нерівність;

б) область істинності предиката, що задає нерівність;

в) число, при якому перетворюється дана нерівність у числову нерівність;

г) область визначення змінної.

61. Прямо пропорційною залежністю між змінними х і у називається відношення у множині дійсних чисел, при якому:

а) кожному дійсному числу х ставиться у відповідність дійсне число у, таке що у = kх, де k ≠ 0 – задане дійсне число;

б) кожному дійсному числу х ставиться у відповідність дійсне число у, таке що у = , де k ≠ 0 – задане дійсне число;

в) кожному дійсному числу х відповідає не менше як одне значення у;

г) повний образ елемента х складається тільки з одного елемента.

62. Обернено пропорційною залежністю між змінними х і у називається відношення у множині дійсних чисел, при якому:

а) кожному дійсному числу х ставиться у відповідність дійсне число у, таке що у = k х, де k ≠ 0 – додане дійсне число;

б) кожному дійсному числу х ставиться у відповідність дійсне число у, таке що у = , де k ≠ 0 – задане дійсне число;

в) кожному дійсному числу х відповідає не менше як одне значення у;

г) повний образ елемента х складається тільки з одного елемента.

63. Для функції у = f (х), х називається:

а) залежною змінною;                    в) незалежною змінною;

б) нейтральною змінною;              г) значенням функції.

64. Для функції у = f (х), у називається:

а) залежною змінною;                     в) незалежною змінною;

б) нейтральною змінною;               г) аргументом функції.

65. Залежність між двома додатними величинами, при якій із збільшенням (зменшенням) однієї з них у кілька разів друга теж збільшується (зменшується) у стільки ж разів, називається:

а) прямо пропорційною залежністю;

б) обернено пропорційною залежністю;  

в) лінійною функцією;

г) квадратною функцією.

66. Квадратним рівнянням називається рівняння виду:

а) ах1 + вх2 = ах2 + вх2;  в) ах2 + вх + с = 0, де а ≠ 0;

б) а1х + в1 = а2х + в2;   г) а1х + в1у = а2х + в2у.

67. Рівнянням першого степеня називається рівняння виду:

а) ах = в;          б) = в;           в) ах2 = в;          г) ах = у.

68. Квадратне рівняння має розв’язок, якщо:

а) D ≥ 0;            б) D < 0;                 в) а = 1;               г) с ≠ 0.


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ VІІІ

(Елементи геометрії. Величини)

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ

Тема 1. Система геометричних понять шкільного курсу математики. Задачі на побудову

І.Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Короткі історичні відомості про виникнення геометрії. В чому полягає розв’язання задач на побудову?
  2.  Система геометричних понять шкільного курсу математики.
  3.  Плоскі геометричні фігури. Означення ламаної та її елементи.
  4.  Означення многокутника та його елементів.
  5.  Етапи розв’язання задач на побудову.
  6.  Які задачі на побудову можна виконати з допомогою тільки лінійки?
  7.  Які задачі на побудову можна виконати з допомогою тільки циркуля?
  8.  Які прості задачі можна розв’язати з допомогою двох інструментів: циркуля і лінійки?

ІІІ. Практичні завдання

1. №1 [4, с.498]. Що можна сказати про розміщення точок А, B і С, для яких  АB + АС = СB?

2. №2 [4, с.498]. Як розміщені точки А, B і С , якщо:

1) АB = 11см,   BС = 8 см і  АС = 19 см;

2) АB = 11см,   BС = 5 см і   АС = 6 см;

3) АB = 11см,   АС = 7 см і BС = 18 см;

4) АB = 11см,   BС = 8 см і  АС = 20 см;

5) АB = 11см,   BС = 8 см і АС = 15 см?

3. №5 [4, с.498]. Відрізок АB поділено точками K, С, N, Е  на рівні відрізки. Скільки утворилося відрізків?

4. №8 [4, с.499]. Скільки прямих можуть перетинати відрізок   у точці С під прямим кутом?

5. №23 [4, с.500]. Побудувати трикутник за стороною, кутом, прилеглим до неї, і бісектрисою даного кута.

6. №24 [4, с.500]. Побудувати прямокутний трикутник за медіаною та висотою, проведеними до гіпотенузи.

7. №25 [4, с.500]. Побудувати прямокутний трикутник за медіаною, проведеною до гіпотенузи, та сумою катета і гіпотенузи.

8. №12 [4, с.499]. Зовнішній кут трикутника 140°, один із внутрішніх кутів дорівнює 55°. Знайти інші кути трикутника.

9. №13 [4, с.499]. Висота, проведена до гіпотенузи, поділила її на відрізки, що дорівнюють 2 дм і 8 дм. Знайти катети трикутника.

10. №14 [4, с.499]. Катет дорівнює радіусу описаного кола навколо даного трикутника і становить 6 см. Знайти другий катет.

11. № 16 [4, с.499]. Кут між діагоналями рівнобедреної трапеції дорівнює 120°. Висота трапеції – 10 м. Знайти діагоналі трапеції.

12. № 17 [4, с.500]. У рівнобедреній трапеції проведено бісектриси кутів, прилеглих до більшої основи трапеції. Бісектриси перетинаються під кутом 135°. Бічні сторони трапеції продовжено до їх перетину. Під яким кутом перетинаються продовження бічних сторін?

13. № 18 [4, с.500]. Діагоналі ромба рівні 12 м і 18 м. Знайти сторони і висоти ромба.

14. № 19 [4, с.500]. Чи можуть сторони трикутника бути пропорційні числам 6, 5 і 1?

ІV. Завдання для самостійної роботи

1. Теоретичні питання. Величини, їх вимірювання і види. Величини шкільного курсу математики.

2. Практичні завдання.

1. №3 [4, с.498]. Дано 5 точок, три з яких лежать по один бік від прямої, а дві інші – по інший бік. Дві довільні точки з’єднуються відрізком. Скільки всього є відрізків? Скільки серед них перетинають пряму?

2. №4 [4, с.498]. Незамкненою ламаною лінією сполучено 7 точок. Скільки ланок має ламана?

3. №6 [4, с.498]. Говорять, що відрізок перетинається з прямою, якщо вони мають лише одну спільну точку, яка є внутрішньою точкою відрізка. Чи можна провести відрізок СD , який би перетинав пряму а у випадках а), б), в)?

4. №7 [4, с.499]. Як потрібно розмістити три прямі на площині, щоб при їх перетині утворилося найбільша кількість відрізків?

5. №9 [4, с.499]. Точка А належить прямій а. Чи може ця точка належати іншим прямим площини?

6. №10 [4, с.499]. Чи будуть істинними твердження:

1) через будь-які дві різні точки площини завжди можна провести пряму і тільки одну;

2) через будь-які дві різні точки площини завжди можна провести лише одну ламану;

3) через будь-які дві різні точки площини можна провести безліч ліній?

7. №11 [4, с.499]. Один із суміжних кутів дорівнює 60°. Яка величина кута, що доповнює його до прямого?

8. №15 [4, с.499]. Схил даху 30°, ширина будівлі 6 м. Яка висота даху?

9. №20 [4, с.500]. Довести, що середини сторін рівнобедреного трикутника є вершинами рівнобедреного трикутника.

10. №8 [4, c, 537]. Побудувати квадрат, площа якого була б удвоє більша за площу даного квадрата.

Тема 2. Розв’язування задач із обґрунтуванням вибору операцій над величинами

І. Контроль та корекція виконання практичних завдань, що виносилися на самостійне опрацювання

ІІ. Теоретичні питання

  1.  Поняття величини. Однорідні і неоднорідні величини.
  2.  Вимірювання величини. Еталон вимірювання. Латентні величини.
  3.  Види величин за способами їх вимірювання.
  4.  Означення додатної адитивно-скалярної величини.
  5.  Рівновеликі і прості величини.
  6.  Одиниці вимірювання величин: історичний аспект.
  7.  Довжина відрізка.
  8.  Площа фігури.
  9.  Способи вимірювання площ.
  10.  Поняття про об’єм тіла.
  11.  Маса тіла.
  12.  Час і проміжки часу.
  13.  Шлях і швидкість.
  14.  Товар, його кількість і вартість.

ІІІ. Практичні завдання

1. №1 [4, c. 537]. Точки А, В, С і D прямої розміщені так, що АВ = 1,5 м, ВС = 0,25 м, СD = 0,75 м. Знайти довжини відрізків АВ, ВС і СD, якщо за одиничний відрізок взяти:   1) відрізок АВ; 2) відрізок ВС.

2. №2 [4, c. 537]. Довжину стола виміряли спочатку в сантиметрах, а потім у дециметрах. У першому випадку одержали число на 108 більше, ніж у другому випадку. Знайти довжину стола.

  1.  №3 [4, c. 537]. Чи завжди прямокутники, в яких рівні площі, рівні між собою?

4. №5 [4, c. 537]. Чи збільшиться периметр квадрата в 2 рази, якщо в 2 рази збільшити довжину його сторони?

  1.  №7 [4, c. 537]. Знайти співвідношення між довжинами сторін прямокутника і квадрата, периметри яких рівні.
  2.  №13 [4, c. 537]. З п’яти прямокутників скласти квадрат площею 16 см2. Яка довжина кожного прямокутника, коли відомо, що ширина кожного з них дорівнює 1 см?
  3.  №15 [4, c. 537]. Які з тверджень істинні:
  4.  квадрати з рівними периметрами рівні;
  5.  квадрати з рівними площами рівні;
  6.  прямокутники з рівними периметрами рівні;
  7.  прямокутники з рівними площами рівні?
  8.  №17 [4, c. 538]. Знайти площу прямокутника, якщо відомо, що одна з його сторін 3 см, а периметр дорівнює 30 см.
  9.   №20 [4, c. 538]. Побудувати квадрат, рівновеликий прямокутнику.
  10.   №24 [4, c. 538]. Як поділити прямокутник на:
  11.  дві рівновеликі трапеції;
  12.  три рівновеликі трапеції?
  13.   №27 [4, c. 538]. Якщо квадратний метр розрізати на квадратні сантиметри і скласти одержані квадратні сантиметри в одну смужку сантиметрової ширини, то якої довжини буде смужка?

13. №4 [4, c, 537]. Побудувати прямокутники, що мають однакову довжину, але різну ширину. Скільки таких прямокутників може бути?

14. №6 [4, c, 537]. Якими одиницями доцільно вимірювати: 1) довжину стола; 2) довжину класної кімнати; 3) довжину клітинки в зошиті; 4) довжину шляху від Києва до Одеси?

15. №9 [4, c, 537]. Яким має бути трикутник із сторонами a і b, щоб його площа була найбільшою?

16. №10 [4, c, 537]. Якими натуральними числами можуть бути довжини сторін прямокутника, якщо його площа дорівнює 24 см2?

17. №11 [4, c, 537]. Якими натуральними числами можуть бути довжини сторін прямокутника, якщо його периметр дорівнює 36 см?

18. №12 [4, c, 537]. Скільки квадратів із стороною 12 см потрібно, щоб можна було скласти прямокутник довжиною 60 см і шириною 24 см?

19. №14 [4, c, 537]. Скільки треба взяти квадратів із стороною 2 см, щоб скласти квадрат із стороною 6 см?

20. №16 [4, c, 538]. Площа квадрата дорівнює 64 см2. Знайти сторони прямокутника, що мають таку ж саму площу.

21. №18 [4, c, 538]. Знайти сторони прямокутника, якщо його периметр 30 см, а площа 36 см2.

22. №19 [4, c, 538]. Знайти довжину сторони і площу квадрата, периметр якого дорівнює 1,8 м.

23. №25 [4, c, 538]. Дано куб, довжина ребра якого дорівнює 4 см. Весь куб зафарбувати в червоний колір. Розрізати його в думці на кубики з довжиною ребра 1 см. Скільки буде кубиків? У скількох кубиків буде зафарбовано три грані?

24. №26 [4, c, 538]. Дано квадрат, площа якого дорівнює 36 см2. Яку довжину матиме сторона квадрата, площа якого дорівнює четвертій частині площі даного квадрата?

Тема 3. Підсумкове заняття. Самостійна робота

Завдання до самостійної роботи

Завдання 1. Розв’язати задачі на побудову з допомогою циркуля і лінійки.

1. Побудувати трикутник за двома сторонами і кутом проти однієї з них.

2. Побудувати ромб за його діагоналлю та висотою.

3. Побудувати трикутник за стороною та двома висотами, одна з яких проведена до даної сторони.

4. Побудувати трикутник за двома сторонами та медіаною до третьої сторони.

5. Побудувати ромб за його гострим кутом і висотою.

6. Побудувати трикутник за двома сторонами та висотою, проведеною до однієї з цих сторін.

7. Побудувати трикутник за двома сторонами та медіаною до однієї з них.

8. Побудувати трикутник за стороною та двома висотами, які проведені до двох інших сторін трикутника.

9. Побудувати трикутник за стороною та двома медіанами, які проведені до двох інших сторін трикутника.

10. Побудувати трикутник за кутом, прилеглою до нього стороною й висотою, яка опущена на дану сторону.

Зразок розв’язування. Побудувата трикутник за двома сторонами і медіаною до третьої сторони.

1. Аналіз задачі. Припустимо, що шуканий трикутник побудовано, тобто трикутник  АВС  такий, у якому ВС = а, АС = b, і СМ є медіаною, причому СМ = тс,

                  A                                                            F

             b                              M

                                            

                    тс

      C                             а                                B

Якщо на півпрямій СМ від точки М відкласти відрізок МF = mc і точку F з’єднати з вершинами А і B, то чотирикутник ACBF буде паралелограмом, бо в нього діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже, BF = AC і трикутник BCF можна побудувати за трьома сторонами. Точку M, яка є серединою відрізка CF, знайти можна, а тому можна знайти i точку А. З аналізу задачі одержується план побудови.

2. Побудова. Нехай задані елементи шуканого трикутника будуть такими, як зображено на малюнку:

                         

                          а                                                  тс

                   b              

1. Будуємо трикутник BCF, у якого BC = a, CF = 2mc, BF = b.

2. Ділимо відрізок СF  навпіл і знаходимо точку M. Проводимо півпряму BM і на ній від точки M відкладаємо відрізок МА = МВ, одержується третя вершина А шуканого трикутника.                             

                               2тс

                           

                  A                                                            F

             b                              M

                                            

                    тс

      C                             а                                B

3. Доведення. Через те, що в побудованому чотирикутнику АСВF діагоналі точкою їх перетину М діляться навпіл, то він є паралелограмом. Отже, АС = FB = b, СB = а, точка М є серединою відрізка АВ і СМ = =.

Тому трикутник  АВС  є шуканим.

4. Дослідження. Трикутник СВF можна побудувати за трьома сторонами тоді і тільки тоді, коли

      │2тс – b< a < 2mc + b.                                         (1)

При виконанні умови (1) трикутник СВF буде єдиним з точністю до відношення рівності.

Середина відрізка СF завжди існує і визначається однозначно. Також однозначно визначиться і точка А .

Отже, якщо виконується умова (1), задача має розв’язок і при тому єдиний.     

Завдання 2. Розв’язати задачу, встановивши, які величини в ній розглядаються, відношення між ними і які операції треба виконати над величинами для одержання відповіді.

1. Пароплав, рухаючись рівномірно, проходить відстань між двома пристанями за течією за 12 годин, а проти течії – за 15 годин. Знайти відстань між пристаннями, якщо швидкість течії ріки 2,5 км/год.

2. Куб, ребро якого дорівнює 20 см, розрізали на кубики з ребром 1 см. Чому дорівнює площа поверхні кубиків? У скільки разів площа поверхні даного куба менша від площі поверхні куб