18418

Модели и процессы принятия решений. Функции и критерии управления. Системный подход к управлению

Лекция

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Лекция 3. Модели и процессы принятия решений. Функции и критерии управления. Системный подход к управлению. Системный подход к задачам управления Существенное изменение масштабов производственных задач на современном предприятии требует использования эффективных ...

Русский

2013-07-08

80 KB

4 чел.

Лекция 3.

Модели и процессы принятия решений. Функции и критерии управления. Системный подход к управлению.

Системный подход к задачам управления

Существенное изменение масштабов производственных задач на современном предприятии требует использования эффективных методов их анализа и синтеза. В совокупности эти методы определяются как системный подход.

В принципе каждый объект может быть исследован, как:

а) простой, без учета взаимосвязей с другими объектами и явлениями (изолированный подход);

б) сложный, состоящий из множества элементов, при этом каждый элемент изучается изолированно (комплексный подход);

в) состоящий из взаимно связанных элементов, причем на первый план выдвигается их взаимодействие (системный подход).

При системном подходе исследуют:

1 весь объект как целое, а не только как совокупность составных элементов;

2 общую систему законов, по которым объект управляется;

3 изменение и развитие объекта, его динамику.

Системный подход характеризуется комплексностью анализа, широким спектром и четкостью учета взаимосвязанных факторов в достижении какой-либо цели.

Понятие система в наиболее общем виде определяется как совокупность объектов с их взаимосвязями и признаками. В приложении к области функционирования предприятий и отраслей система может быть определена как целенаправленное множество взаимосвязанных объектов производства, их количественных и качественных параметров на предприятии и в производстве.

Сущности любой системы в том, что она содержит множество частей (элементов), взаимодействующих между собой, и одновременно содержит единую цель функционирования. Таким образом, состав системы многообразен, назначение единое.

Системный подход в особенности эффективен, когда цели функционирования различных частей системы противоречивы, а взаимосвязи между частями существенны и разнообразны. Практически все системы крупного масштаба — от общегосударственных до отдельных технологических — определяются как сложные. Не существует четкого определения сложных систем, однако принято считать, что сложные системы характеризуются такими признаками, как:

1 наличие общей задачи и единой цели функционирования для всей системы;

2 большое количество взаимодействующих частей или элементов, составляющих систему (высокая размерность математического описания);

3 возможность расчленения на группы наиболее тесно взаимодействующих элементов подсистемы, каждая из которых имеет специальное назначение и цели функционирования;

4 иерархическая структура связей подсистем и иерархия критериев качества функционирования всей системы;

5 сложность поведения системы, связанная со случайным характером внешних воздействий и большим числом обратных связей внутри системы;

6 устойчивость по отношению к внешним и внутренним помехам и наличие самоорганизации и адаптации к различным возмущениям;

7 высокая надежность всей системы, построенной из недостаточно надежных компонент.

Важнейшим понятием системного подхода к процессу управления является критерий эффективности системы управления. В любой работе выбор критерия предопределяет ее успех. В системном анализе выбор критерия основной и труднейший вопрос, от решения

которого зависят все стадии исследования: сбор информации, моделирование, метод оптимизации, принятие решения, результат.

Основные требования к единому критерию эффективности сложной системы управления сводятся к следующему:

1  Критерий должен численно и в общем виде отражать степень выполнения системой своей основной функции.

2  По критерию можно выявлять и оценивать степень влияния на эффективность системы различных факторов.

З  Критерий должен быть простым и иметь малую дисперсию, т. е. слабо зависеть от случайных неконтролируемых факторов.

Универсального критерия нет, а выбор критерия оптимизации или эффективности процесса — задача не простая.

Целевые функции и критерии управления.

Все выходные  параметры технологического процесса, технологического комплекса могут рассматриваться как простейшие критерии оптимизации процесса. Одни из них требуется по возможности довести до экстремального значения, другие – только до заранее заданного предела на котором они должны быть стабилизированы. В соответствии с этим различают функции цели и ограничения.

Целевая функция - это строгая формулировка цели, которой нужно достичь в результате исследования процесса, производства или управления ими. Если у1 и y2 — некоторые выходные показатели, то целью может быть стабилизация у1 при произвольном у2 .

у1 = const,

экстремизация  (минимизация либо максимизация) у1 при произвольном у2

у1extr

и достижение условного экстремума

у1extr

Любой технологический процесс связан со многими ограничениями, которые обязательно должны учитываться при формулировке цели.

Например, в обогащении важнейшим является ограничение, накладываемое на содержание β основного металла в концентрате. Обычно это ограничение типа неравенства

ΒCu исх.р.≥ βконц.,

где βконц – содержание основного металла в концентрате.

Другим ограничением, играющим большую роль, является ограничение, накладываемое на производительность по руде

QрQ

где Q  - плановая производительность по руде.

В связи с вышесказанным сделаем упрощенную классификацию целевых функций (критериев оптимизации). Принято считать, что простейшими критериями являются технологические критерии.

Классификация критериев.

1 Технологические критерии представляют собой комбинацию основных параметров, характеризующих тот или иной процесс, например в обогащении: ά, β, γ,υ и др. В одних случаях вывод формул основан на той или иной физической трактовке эффективности разделения, в других авторы отмечают простоту или математическое удобство.

Технологические критерии позволяют сравнивать технологию процесса без учета производительности и других экономических характеристик. Такой подход отличается простотой и наглядностью.

2 Кинетические критерии разделения могут применяться во многих случаях, особенно когда важно знать скорость протекания процесса во времени или соотношение эффективности в зависимости от времени. Простейшим примером кинетического критерия является производительность в единицу времени, например, переработка руды (т/ч), выдача концентрата (кг/смену) и т. д., так как это усредненные характеристики изменения соответствующих параметров во времени, например, для расчета обогатительного оборудования необходимо знать средний прирост извлечения в единицу времени при заданной производительности.

3 Статистические критерии разделения предполагают наличие большого числа данных статистической выборки, на основании которой строятся критерии этого типа. В основе построения лежит принцип определения статистической связи между параметрами разделения. В ряде случаев удается построить какое-либо статистическое распределение, описываемое аналитически. Тогда параметры этого распределения и явятся критерием разделения.

4 Физико-химические параметры можно использовать в критериях, вывод которых связан с конкретными особенностями разделительных процессов. Критерии различия физико-химических свойств разделяемых материалов (смачиваемости, плотности, магнитной проницаемости, температуры плавления, кипения и др.), связанные с разделяемостью (обогатимостью), необходимо рассматривать вместе с соответствующими процессами. Критерии совершенства разделения па каком-либо конкретном аппарате являются весьма существенными сами по себе или в комбинации с другими видами критериев.

5  Функционирование сложных систем может быть оценено также различными экономическими критериями, которые учитывают капитальные затраты на разработку, изготовление и эксплуатацию системы на период окупаемости.

Экономические критерии разделения являются универсальной оценкой. Авторами многих работ показано, что единственно возможный подход к оптимизации производственных процессов — экономический. Его недостатком,  специфической особенностью, является большая размерность (наличие большого числа формул для экономической оценки) и сложность. Примером экономического критерия может быть максимизация прибыли, минимизация убытков или себестоимости продукции.

Сложные системы, состоящие из ряда взаимодействующих подсистем, как правило, определяются несколькими практически равнозначными критериями эффективности функционирования, каждый из которых может стать основным в зависимости

от внутренних или внешних воздействий и состояния системы. Кроме того, критерии функционирования отдельных подсистем могут существенно не совпадать друг с другом и с общим критерием системы, в принципе они могут быть даже противоречивыми. Теоретический подход к обоснованию единого обобщенного критерия эффективности функционирования системы управления вследствие большой сложности и взаимосвязанности различных задач очень ограничен. Поэтому в практике управления отработаны методы управления по совокупности многих критериев в зависимости от уровня принятия решений, периода воздействия и объектов, по которым принимаются решения.

Принятие решений. Этапность и цена решений.

Необходимость принятия решений возникает в связи с исследованиями сырья,  проектированием производства, управлением технологическим процессом. При этом ценность последовательности отдельных решений зависит от того, насколько они обеспечивают будущие оптимальные показатели промышленных технологических процессов. В то же время принять сразу окончательное, решение относительно, такого сложного объекта, как  например, карьер, шахта, обогатительная фабрика или весь комплекс нельзя, и, следовательно, этапность является неотъемлемой чертой исследований и принятия решений..

Рассмотрим возможные этапы исследования для обогатительных фабрик.

1 Комплексное изучение характеристик сырья. Используя современные методы анализа, получают данные о минеральном, гранулометрическом, химическом, фазовом и других составах пробы и  продуктов ее предварительной подготовки — дробления и грохочения.

2 Комплексное изучение обогатимости руды. На этом этапе изучают поведение руды в подготовительных аппаратах, выбирают номенклатуру и очередность подачи реагентов, подбирают схему обогащения. Такое накопление информации позволяет еще уменьшить неопределенность и ошибка предсказания будущих результатов обычно уже укладывается в ошибки лабораторных или полупромышленных испытаний.

3  Выбор    промышленного оборудования его расчет и компоновка.  Этот этап базируется почти целиком на априорной информации, полученной на предыдущих этапах, с широким применением аналогии. Решения этого этапа направлены на подтверждение прогноза, но так как они связаны с привлечением дополнительной информации по аналогии, сопровождающейся ошибками, общая ошибка предсказания может даже возрасти.  

Следует отметить, что выбор решений на каждом этапе все более ограничен, а возможности достижения максимального (но никому не известного) результата снижаются.

При современной практике проектирования, строительства, наладки и совершенствования обогатительных фабрик процессу принятия решений свойственны следующие недостатки, цена которых огромна:

- длительность; принятие каждого решения требует интервалов времени, измеряемых годами;

- ограниченность; принятие каждого решения осуществляется группой лиц, которые не обладают всей существующей информацией или которые не могут ее использовать по техническим или принципиальным причинам;

- скованность; лицо, принимающее решение, обязано учитывать затраты, связанные с реализацией всех предыдущих решений, и прежде чем предложить вернуться к пересмотру любого предыдущего решения, обязано доказать, что предполагаемый выигрыш оправдает двойные затраты при реализации решений.

Уменьшение влияния этих недостатков можно видеть в привлечении и использовании более полных наборов текущей информации и осмысление новой информации на всех этапах принятия решений. А также в максимально возможном обобщении этапов, которое реально в случае использования материала, накопленного в лабораториях, применение ЭВМ и моделирования на всех стадиях значительно увеличивает скорость принятия решений. При этом проработка всех вариантов с использованием памяти и вычислительных возможностей ЭВМ могла бы обеспечить квазиоптимальную траекторию и минимально необходимую длительность выполнения работ.

Классификация задач и взаимосвязь решений. Классификация  задач.

Несмотря на то, что концепция этапности и постановки и решения задач оптимизации обогатительного производства является вынужденной, она удобна при классификации частных задач и методов их решения. И хотя системный анализ требует обязательного их рассмотрения во взаимосвязи, элементы его – сбор и оценка априорной информации, формулировка цели, выбор плана работ, моделирование и оптимизация, оценка эффективности - можно увидеть в любой многомерной задаче.

Каждый этап требует знания определенных приемов работы. Отметим, что этапы решения разнообразных задач доступны изучению общими методологическими и математическими приемами.

Компромисность решений.

Взаимосвязь задач и этапов принятия решений, очевидно, позволяет сформулировать общую конечную цель - достижение оптимальных экономических и технологических показателей обогатительной фабрики, карьера шахты, технологического комплекса. Выше мы   указывали   на   общность   методов   и  последовательность операций.

Модель оптимизации обогатительного передела должна учитывать следующие ограничения:

технологические — гостированные пределы содержания компонентов в кондиционных концентратах по основному металлу и вредным примесям. Модель ограничения представляет собой статистическое уравнение связи между содержанием компонента в исходном сырье, извлечением и  содержанием в концентрате;

экономические ограничения накладываются на фонд заработной платы, капитальные затраты, а также могут быть введены и на другие виды затрат, например фондируемые вспомогательные материалы.

Принятие решений по совокупности критериев.

Сопоставление и принятие решений о предпочтительности того или иного варианта могут проводиться по нескольким параметрам, среди которых имеются ограничения (качество готовой продукции, производительность фабрики) и параметры оптимизации (извлечение, себестоимости, прибыль).

Понятие “наиболее предпочтительный варианта” включает шкалы оценок, т.е. данные об относительной важности критериев оценки вариантов и оценок  по вектору критериев. По существу шкала оценок сама является критерием и строится на основе логического или статистического анализа процесса. Формирование   формальных   предпочтений   должно   отвечать кроме общих и требованиям, специфическим для задач принятия решений: должна  быть  сформулирована  совокупность предпочтений, последовательное применение которых позволит выделить подмножество «наиболее предпочтительных вариантов», содержащих число, элементов, близкое к требуемому.  

Эвристические решения.

Разложение существующей процедуры принятия решений при планировании на четкую последовательность логических и математических операций, составляющую алгоритм, в некоторых случаях оказывается практически невозможным.

Блок-схема преобразования информации может составляться на основе традиционных процедур. Более сложные задачи, включающие логический выбор направления расчета в зависимости от полученных результатов предыдущих вычислений, требуют специальной разработки алгоритма.

Следует отметить, что при существующей системе управления и планирования многие решения, принимаемые интуитивно опытными специалистами, часто оказываются достаточно близкими к оптимальным. Необходимо соединение машинных алгоритмов и человеческого мышления. В некоторых случаях решение достаточно сложных оптимизационных задач возможно на ЭВМ в результате привлечения большого массива информации, которая не может быть учтена и использована человеком без ЭВМ.

Эвристические решения — направление, основанное на сочетании экспериментальной психологии и вычислительной техники. По мере развития какого-либо эвристического метода, его изучения и практического использования он может перейти в разряд строгих формализованных методов.

Например, необходимость использования эвристических решений в обогатительных задачах вытекает не только из сложности объекта и других признаков, рассмотренных выше, но и вследствие невозможности или трудности формализованного описания некоторых характеристик сырья и факторов процесса. Такие параметры, как вкрапленность минералов и флотируемость, не могут быть измерены оперативно. Кроме того, например, флотатор пользуется при управлении процессом такими признаками, как цвет и блеск пены, структура пробы концентрата, определяемого на ощупь или путем промывки и т. д. Иными словами, используя косвенные неформализованные признаки и приемы, технологический персонал ведет процесс, часто даже не сопоставляя принимаемые решения с технико-экономическими показателями производства.

Эвристические решения могут формироваться как результат формализации опыта работы технологического персонала на обогатительной фабрике.

Понятие модели

Детальный анализ сложной ситуации в производстве представляет собой трудную задачу. Решение ее традиционными методами бывает очень длительным. Определение какой-либо закономерности позволяет сделать один небольшой шаг, за которым в дальнейшем последует новый и т. д. Поэтому желательно найти такой способ описания процесса или явления, который позволил ба учесть хотя бы наиболее важные факторы. Естественно, что для исследования сложной системы необходимо прибегнуть к некоторым упрощениям, иначе говоря, рассмотреть модель.

Модель – широкое и емкое понятие, толкование которого неоднозначно. Например, такое определение модели может восприниматься как универсальное. Модель – это представление или подобие определенных аспектов сложных событий, структур или систем, полученных с использованием символов или объектов, которые некоторым образом напоминают моделируемую вещь.

Разновидностью моделирования является построение математической модели, которая в широком плане может трактоваться как “знаковая конструкция” [Барский].

Для исследования и оптимизации процессов на основе математических методов подходит более узкое, но в то же время более определенное понимание математической модели как зависимости между параметрами процесса, полученной теоретически или экспериментально.

Как правило, модель описывает лишь некоторые свойства процесса с удовлетворяющей исследователя точностью. Поэтому для описания любого процесса или явления можно предложить множество моделей, отличающихся друг от друга в первую очередь точностью.

                                   у

х

                                   у* 

Рисунок 1. Связь между моделью и объектом

Математическая модель должна быть пригодна для решения поставленной задачи, адекватна процессу и учитывать физические и математические ограничения. Математическая модель исключительно компактна и удобна для исследования и управления реальным процессом. Во многих случаях модель позволяет также лучше понять внутреннее устройство объекта, так как при этом пользуются физическими аналогиями и математическим анализом. Иногда модель является вообще единственно возможным инструментом исследования, так как только в редких случаях удается «заглянуть» внутрь системы, не нарушая ее естественного состояния и хода процесса. В случаё оптимизации всего производства нужно создавать его математическую модель. При этом математическая модель процесса, протекающего в отдельном аппарате, будет входить в общую модель как со ставная часть.

Применение математической модели позволяет:

- выбрать оптимальный технологический режим процесса;

- сократить план исследовательских работ при разработке технологии производства;

- создать систему управления процессом.

Как при всякой формализации, при моделировании неизбежна потеря информации об объекте, так как более тонкие связи, влияние хотя и менее важных, но многочисленных параметров не учитывается. Часто опыт процессом более действенным. Однако преимущества, связанные с автоматизацией  управления (постоянство показателей, повышение производительности труда, совершенствование процесса и др.), возможны в первую очередь благодаря использованию идеи моделирования.

При управлении процессом может и должен использоваться опыт технолога, который оказывается, в конечном счете, тем точней и действенней, чем лучше реализован в опыт человека. Передача этого опыта, его формализация в модели тем труднее, чем сложнее процесс, однако тем необходимее.

Соответствие модели и моделируемого объекта (рисунок 1) позволяет по измеренному значению входного воздействия х вычислить значения выходного показателя у*, которое в заданном диапазоне изменения х с ошибкой, не более допустимой, совпадает с реальным значением у на выходе объекта.

Аналитический подход при составлении моделей использует известные законы материального мира, объединяемые в модель с помощью комплекса гипотез. В связи с тем что одним - двумя законами не объяснишь разнообразие получаемых результатов, достигаемое математическое описание является моделью, однако причинно - следственная обусловленность результатов позволяет считать закономерность справедливой в широком диапазоне изменения независимых переменных.

Виды моделей.

Модели могут быть физические и информационные (знаковые). Физическая модель – дорогая и сложная, это уменьшенная копия физического объекта или процесса в нем протекающего. К физическим моделям относятся вещественные аналоги производимой продукции (действующие модели автомобилей, турбин, электровозов и др.).

Информационные модели представляют собой условное описание свойств реальных объектов или процессов, выраженное в определенной форме. По форме выражения информационные модели могут быть графические, математические, логические. По содержанию, точнее, по назначению их можно разделить на два типа.

Первый тип информационных моделей предназначен для экспериментальных научных исследований. Модели этого типа отражают лишь основные, наиболее существенные признаки и связи объекта или процесса. Обязательным и важнейшим условием информационных моделей этого типа является их динамичность, т.е. возможность “проигрывать” с их помощью различные ситуации и варианты с целью оптимизации моделей и, следовательно, отражаемых с их помощью объектов и процессов.

Собственно, возможность ”играть” на модели является в данном случае основной целью моделирования. Информационные модели второго типа предназначены для прогнозирования будущего состояния и поведения объектов или процессов. В отличие от моделей первого типа они более статичны: будучи разработаны и утверждены, они в дальнейшем приобретают законодательную силу и требуют точного соответствия реального объема параметрам, заложенным в модели; при этом отклонения считаются нежелательными.

Например, математическая модель – это модель, которая описывает поведение (состояние) реального объекта в статическом или динамическом режимах на основании физических явлений, эффектов, закономерностей, которыми могут быть описан тот или иной ТП (разделение, усреднение).

Модели бывают статические

Y = f (X),

И динамические модели, учитывающие время

Y = f (X, t).

Точность и качество моделей.

Имеются причины, могущие ухудшить качество модели и даже сделать ее непригодной к использованию.

Существует мнение, что увеличение сложности модели за счет учета большего количества влияющих на выходные показатели факторов может привести к увеличению точности или, в крайнем случае, не к снижению ее. Однако, использование информации может оказаться вредным.

Существует дополнительно целый ряд причин, в основном методологического характера, могущих привести к снижению точности моделей.

Применительно к методам сбора данных на объекте в процессе его нормальной эксплуатации такие причины это:

1 Нет четкости в выборе, классификации, способах измерения факторов.

2 Нарушаются исходные предпосылки регрессионного анализа. Помимо отмеченных выше требований нормальности распределения и однородности дисперсий, что в какой-то степени уменьшает точность модели, не принимаются во внимание ошибки измерения независимых переменных. В промышленных условиях возникают значительные, не только случайные, но и систематические ошибки при определении значений параметров, связанные с дискретностью отбора проб и др.

З динамические явления — дополнительный источник неопределенности, так как введение эквивалентных запаздываний недостаточно корректирует модель вследствие наличия циркулирующих потоков и по различного запаздывания по разным каналам, например, исходная руда — концентрат и исходная руда — хвосты.

4 Наиболее важная причина — справедливость модели только в пределах того разнообразия изменения переменных, которое проявилось в пассивном эксперименте. Речь идет не только о диапазоне их варьирования, но и нарушениях случайного характера их распределения.

 

PAGE  19

Модель

Объект


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20486. Закони булевої алгебри 28 KB
  Кон’юнкцією висловлень А і В називаємо висловлення А^В буде істинним тоді і тільки тоді коли обидва висловлення істинні. Диз’юнкцією – висловлень А і В називаються висловлення АvВ в якій буде істина тоді і лише тоді коли істинне хоча б одне із висловлень. Імплікацією висловлень А і В називається таке висловлення АВ яке буде хибне тоді і лише тоді коли А істинне В – хибне. Заперечення висловлення А називається складне висловлення А яке буде істинне тоді і лише тоді коли А – хибне і хибним тоді коли а – істинне.
20487. Запити, типи запитів, обчислення в запитах 32 KB
  Запити дозволяють обраховувати підсумкові значення і виводити їх у компактному форматі а також виконувати обчислення над групами записів. Запити можна створювати самостійно і за допомогою майстра. Майстри запитів автоматично виконують основні дії залежно від відповідей користувача на поставлені питання.
20488. Засоби структурного аналізу та їх взаємовідносини 36 KB
  принципова схема технологічного процесу на складі; транспортнотехнологічна схема переробки вантажів на складі; технологічна карта роботи складу; технологічний графік роботи складу; опис стандартних процедур складського процесу; мережеві моделі складських процесів а також ряд інших засобів моделювання процесів; технологічні планування складів; карти організації праці окремих категорій працівників складу. Правильно організований технологічний процес роботи складу повинен забезпечувати: чітке і своєчасне проведення кількісного...
20489. Зведення системи лінійних рівнянь до зручного для ітерацій вигляду 78 KB
  Ітераційними називають такі методи які дають змогу знайти наближений розв'язок системи із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами крім похибок округлення треба враховувати також похибку методу....
20490. Обчислення в звітах 17.31 KB
  Щоб додати номер сторінки використовують властивості звіту Page і Pages містять номер поточної сторінки і загальна кількість сторінок у звіті. Для того щоб додати в колонтитул номер поточної сторінки введіть у текстове поле вираження= Сторінка [Page] з [Pages]Зазначимо що при створення звіту в режимі майстра це вираз додається автоматично.Так для того щоб провести будьякі обчислення в рядках таблиці звіту необхідно посилатися безпосередньо на поля цього звіту не таблиці або запиту. Щоб порахувати різницю між максимальним і...
20491. Знання, класифікація знань 29.5 KB
  Знання класифікація знань Знання́ форма існування і систематизації результатів пізнавальної діяльності людини. Знання класифікують за: За природою Знання можуть бути: декларативні процедурні Декларативні знання містять в собі лише уявлення про структуру певних понять. Ці знання наближені до даних фактів. Процедурні знання мають активну природу.
20492. Імпорт та експорт даних MySQL 17.71 KB
  Експорт та імпорт даних в MySQL зазвичай потрібно при перенесенні інформації з однієї бази даних MySQL в іншу і для здійснення резервного копіювання. Резервне копіювання даних носить чисто технологічний характер. Ми гарантуємо збереження самих даних а не їх резервних копій.
20493. Інтерполяційний многочлен Лагранжа 61.5 KB
  Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...
20494. Клітинні матриці. Дії над клітинними матрицями 49.5 KB
  Дана форма запису матриці має важливе теоретичне значення у лінійній алгебрі і при розв'язуванні систем диференціальних рівнянь. Наприклад матриця: Власними значеннями даної матриці A є λ = 1 2 4 4. Розмірність ядра матриці A − 4In дорівнює 1 отже A не допускає діагоналізації.