18522

Методы формирования математической модели схемы

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 2 Методы формирования математической модели схемы Математическая модель далее будет использоваться сокращение ММ это совокупность объектов в виде чисел векторов и связей между ними которая отражает существенные с точки зрения проектировщика свойства

Русский

2013-07-08

301.5 KB

37 чел.

Лекция 2

Методы формирования математической модели схемы

Математическая модель (далее будет использоваться сокращение - ММ) – это совокупность объектов в виде чисел, векторов и связей между ними, которая отражает существенные с точки зрения проектировщика свойства изучаемого объекта (логические, принципиальные, топологические схемы).

На каждом этапе проектирования различают ММ объектов и систем. ММ системы, получаемые непосредственно объединением ММ элементов в общую систему уравнений, называются полными ММ. ММ, более простые по сравнению с полными с точки зрения затрат ресурсов ЭВМ (времени и памяти) при их использовании, называются макромоделями.

Основные требования к ММ:

  1.  адекватность (точность);
  2.  простота (легкий, эффективный подсчет).

Математической моделью электронной схемы (ММС) для последующего анализа является система уравнений, связывающая токи и напряжения в различных компонентах схемы. ММС получается объединением математических моделей элементов в общую систему уравнений. Результирующую систему получают, применяя методы, развитые в теории электрических цепей (методы формирования моделей).

Все методы формирования ММС основаны на топологических уравнениях и компонентных уравнениях. Топологические уравнения отражают связи между элементами в анализируемой схеме. Это уравнения законов Кирхгофа.

Можно выделить базовые компоненты электрических схем, представляющие собой двухполюсники, а также типовые (библиотечные) компоненты и фрагменты схем. Последние часто представляют в форме эквивалентных схем, состоящих из простых двухполюсных элементов.

Компонентные уравнения описывают электрические свойства компонентов.

Примером компонентных уравнений могут служить уравнения для идеальных резистора, конденсатора и катушки индуктивности (для идеальных линейных двухполюсников):

 

 - нелинейная зависимость, - линейная (закон Ома);

 

-нелинейная зависимость,  - линейная;

-нелинейная зависимость, - линейная.

где R, L, C – сопротивление, емкость и индуктивность; U и I – падение напряжения и ток в компоненте, причем индекс характеризует принадлежность переменной компоненте определенного типа. Сложные компоненты (например, транзисторы, трансформаторы) имеют модели из нескольких уравнений.

Виды источников.

Независимые источники:

1. источник напряжения

2. источник тока

Управляемые источники:

  1.  источник напряжения, управляемый либо током, либо напряжением -,

    .

     

  1.  источник тока, управляемый либо током, либо напряжением - , .

           

Здесь  m, n - обозначения управляемых и управляющих ветвей.

Назовем перечисленные элементы базовыми или библиотечными. Эти элементы позволяют реализовать модели более сложных компонентов интегральных схем, таких как транзистор.

Модели МДП и биполярного транзисторов

МДП – транзистор.

Рис.1. Условное обозначение транзистора и простейшая схемная модель

Математическая модель, соответствующая данной схемной может быть представлена формулой

                              (1)

                      

Биполярный транзистор.

     

Рис.2. Условное обозначение транзистора и простейшая схемная модель

Математическая модель, соответствующая данной схемной может быть описана следующими соотношениями:

 ,  ,     ,                        (2)

                   

   

Для каждого метода формирования ММ характерны свои правила выбора системы исходных топологических уравнений.

Наиболее популярными методами являются метод узловых потенциалов, модифицированный метод узловых потенциалов, табличный метод, метод переменных состояний. Отличия методов заключается в форме получаемых уравнений. Рассмотрим несколько применяемых методов.

  1.  Метод узловых потенциалов (МУП)

получил широкое распространение в современных программах анализа электронных схем. В вектор базисных координат включаются потенциалы всех узлов схемы, за исключением одного узла, принимаемого за опорный. Исходные топологические уравнения – это уравнения закона токов Кирхгофа, записанные для узлов схемы.

                                                               ,                                                                   (3)

где  – вектор токов ветвей,  – матрица инциденций (матрица «узел-ветвь»). Строки матрицы инциденций соответствуют узлам схемы, а столбцы ветвям.

В столбце i-й ветви записываются единицы на пересечении со строками инцидентных узлов, причем +1 соответствует узлу, а -1 – узлу, из которого этот ток вытекает. Здесь ветвь – ранее перечисленные двухполюсники.Узел – точка, в которой сходится не менее двух ветвей.

Метод предполагает, что независимыми переменными являются потенциалы   узлов цепи относительно некоторого базисного опорного узла. МУП допускает следующие элементы:

R, C, L, I(t), .

Исходя из определения метода, можно сделать следующие заключения:

  1.  ветвь должна иметь конечное сопротивление;
  2.  источник напряжения не может быть ветвью;
  3.  ветвью не может быть источник тока, управляемый током (так как ).

Метод приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), неразрешенных относительно производных, т.е. к неявной форме ОДУ.

Пример формирования ММС МУП.

Составим математическую модель для принципиальной электрической схемы, представленной на  рис. 3.

Рис. 3  Схема принципиальная электрическая

Составим систему уравнений по МУП для узлов 1 и 2:

                                                                                                                    (4)                                                

Компонентные уравнения имеют вид:

(4), (5),  (6),               (5)                      

Подставив компонентные уравнения (4,5,6,7) в систему (3) получим:

                                         (6)

Прямое формирование математических моделей линейных резистивных схем с помощью МУП

В теории электрических цепей математическая модель часто представляется в виде

,                                                             (7)

где А – матрица инциденций, Y - диагональная матрица проводимостей ветвей. В этом случае для получения математической модели (7) необходимо формирование матрицы инциденций, что нецелесообразно, т.к. приходится хранить эту матрицу и выполнять операции умножения.

Идея алгоритма непосредственного формирования математической модели заключается в использовании принципа суперпозиции.

Топологическая модель схемы, имеющая N узлов и L ветвей, рассматривается в виде набора из L схем, каждая из которых состоит из одной ветви l и N узлов. Пусть указанная ветвь находится между узлами между узлами i, j. В этом случае для каждой из схем, чьей ветвью является проводимость   для узла i можно записать уравнение закона токов Кирхгофа:

и для узла j:

Следовательно, в матрице узловых проводимостей размерности N-1 для данной ветви оказываются ненулевыми четыре элемента. Элементы с координатами i,i  и j,j равны y,  элементы с координатами i,j и j,i равны - y. Все остальные элементы - нули.

Матрица узловых проводимостей принимает вид:

Если ветвью является независимый источник тока I, включенный между узлами i, j в вектор-столбец  правой части  размерности N-1 имеет два ненулевых элемента I. Элемент с координатой i принимает значение I,  с координатой j принимает значение – I:

Если ветвью является источник тока, управляемый напряжением, и он включен между узлами i, j, а управляется напряжением ветви, включенной между узлами k и m, то

для узла i запишем уравнение закона токов Кирхгофа:

и для узла j:

Следовательно, в матрице узловых проводимостей размерности N-1 для данной ветви оказываются ненулевыми четыре элемента. Элементы с координатами i, k  и j, m  равны y,  элементы с координатами i, m и j , k  равны -y. Все остальные элементы - нули.

Матрица узловых проводимостей принимает вид:

Используя принцип суперпозиции, предварительно обнулим все элементы матрицы узловых проводимостей и вектора-столбца независимых источников тока для общей схемы. Затем будем просматривать все ветви схемы, делая ненулевыми соответствующие элементы матрицы и вектора по изложенным выше правилам.   

  1.  Модифицированный метод узловых потенциалов 

представляет собой соединение метода узловых потенциалов  с методом линелизации вольтамперных связей при помощи  итерационных методов решения нелинейных уравнений, например метода Ньютона. Метод применяется по причине того, что  обычный метод узловых потенциалов имеет известные ограничения, накладываемые на модели компонентов. К тому же, если требуется вычислить токи, то необходимы дополнительные матричные операции.

В модифицированном методе узловых потенциалов  для схем с токоуправляемыми элементами и источниками напряжения вводятся дополнительные переменные в виде токов указанных элементов (ветвей) и составляются дополнительные уравнения в виде вольтамперных связей этих ветвей. Дополнительные токи рассматриваются как независимые переменные наравне с узловыми потенциалами. Токи некоторых элементов  могут рассматриваться как в качестве независимых (дополнительных) переменных (в этом случае они рассматриваются как выходные так и не выходные (зависимые переменные)).

В матричной форме уравнения принимают вид:

                                                         (8)

- сокращенная подматрица узловых проводимостей, не учитывающая токоуправляемых элементов, G - подвектор независимых источников тока, подматрица B  содержит частные производные от полученных по закону Кирхгофа для токов уравнений по дополнительным переменным. Вольтамперные связи, дифференцированные по дополнительным переменным представлены подматрицами С и D. Подвектор F содержит вклад реактивных элементов в полный вектор независимых источников тока. Реактивные элементы рассматриваются только во временной области с учетом их конечно-разностного представления.

Формирование ММ схем для случая линейных реактивных элементов.

Рассмотрим модели реактивных элементов с учетом их конечно-разностного представления при применении  неявного метода Эйлера

     Компонентное уравнение для емкости принимает следующий вид:

                               (9)

Емкость C также можно представить в виде схемной модели. Для этого преобразуем уравнение (9) к виду  Здесь ток конденсатора представлен суммой двух токов. Первая составляющая интерпретируется резистором с проводимостью , вторая - источником тока

Рис. 4.  Схемная модель конденсатора

Компонентное уравнение для индуктивности имеет следующий вид:

                      (10)

Представим индуктивность в виде схемной модели. Для компактности уравнение (10) перепишем

.                                                        (11)

и преобразуем его к виду

                                                      (12)

Первая составляющая уравнения (12) представляет собой  ток через резистор с сопротивлением , вторая – источник тока . Соответствующая схемная модель представлена на рисунке 5.

Рис. 5. Схемная модель индуктивности

 

В заключение отметим, что ток ветви источника напряжения всегда вводится как дополнительная переменная независимо от вида источника. Это правило сохраняется для индуктивностей. Для источников тока, резисторов и конденсаторов дополнительные переменные вводятся в случаях, когда параметры нелинейных элементов зависят от их токов и когда токи ветвей берутся как выходные.

Пример формирования ММС схемы с использованием модифицированного метода узловых потенциалов.

Сформируем ММС для схемы, представленной на рис. 6.

     Рис. 6  Схема электрическая.

Составим систему уравнений с помощью МУП для 1, 2, 3 и 4 узлов:

Затем, как и в методе узловых потенциалов,  заменяем токи согласно уравнениям ветвей для узлов 1 - 4:

,

,

,

.

Для определения токов   и    к этим четырем уравнениям добавим еще два:

– для ветви 6,

– для ветви 7.

Теперь заменим все напряжения ветвей разностями соответствующих узловых потенциалов.

Для узлов 1 - 4:

,

,

,

.

Для ветви 6 заменяем направление разности потенциалов:

Для ветви 7:

Уравнения принимают вид матричной формы (8):

  1.  Метод переменных состояний

предназначен для получения ММС как системы ОДУ в форме Коши. Базисными коэффициентами в этом методе являются переменные состояния, т.е. фазовые переменные, непосредственно характеризующие запас энергии в элементах электрических схемы. К таким переменным относят независимые  друг от друга емкостные напряжения и индуктивные токи. Исходные топологические уравнения имеют вид

;  ,                                           (13)

где и - напряжения и токи ветвей, являющихся хордами; и  - то же, для ветвей дерева; М – топологическая матрица контуров и сечений, получаемая на основе построения нормального дерева.

При применении МПС вначале строятся нормальное дерево графа схемы. Под нормальным деревом понимается фундаментальное дерево, в котором включение ветвей происходит со следующими приоритетами: ветви источников напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные и источников тока.

Исходные компоненты уравнения предварительно  не алгебраизируются и не линеаризируются. При их преобразовании стремятся получить уравнения, выражающие емкостные токи IC  и индуктивное напряжение UL  через переменные состояния. Далее, заменяя IC  и UL  производными переменных состояния, получают окончательную ММС.

Пример.

Рис. 7. Схема электрическая принципиальная.

Выберем нормальное дерево.

     Рис. 8. Граф эквивалентной схемы рис. 8.

       

Топологические уравнения в развернутом виде представляются следующим образом:

                                            (14)

                                               (15)

где индекс означает принадлежность фазовой переменной к конкретной ветви.

В левых частях уравнений (15) заменяют на , а в правой части вместо  подставляют из (14). Тогда непосредственно получают систему ОДУ в нормальной форме Коши.

Это имеет место в случае, если нет топологических вырождений – наличия замкнутых контуров из ветвей, состоящих из  емкостей и источников напряжения или сечений, включающих только индуктивные ветви и ветви источников тока.

В противном случае  для расчета вектора  приходится вводить процедуру решения системы линейных алгебраических уравнений, либо устранять вырождения.

  1.  Табличный метод

представляет собой систему исходных, топологических и компонентных уравнений, не подвергшихся никаким преобразованиям. В вектор базисных координат включаются токи и напряжения всех ветвей схемы (за исключением величин, зависящих только от времени или постоянных). Исходными топологическими уравнениями являются те же уравнения (13), что и в методе переменных состояний.

Разделение ветвей на хорды и ветви дерева определяется выбором фундаментального дерева в графе схемы.

Фундаментальным деревом графа называется подграф из  ветвей, в котором нет замкнутых контуров (циклов). Здесь  - количество узлов. Для любого графа (если сам граф не является деревом) можно построить много фундаментальных деревьев. Для графа на рис. 8 одно из возможных фундаментальных деревьев – множество ветвей дерева ВД={E1, C1, C2, C3, C4, C5, C6} и хорд ВХ={R1, R2, R3, R4, R5}.

Контуром i-ой хорды называют совокупность ветвей, входящих в замкнутый контур, образуемый при подключении i-ой хорды к дереву. Каждой хорде в матрице М контуров и сечений соответствует одна строка, а каждой ветви дерева – один столбец. В строке i-й хорды записываются единицы в тех столбцах, которым соответствуют ветви дерева, входящие в контур i-ой хорды. Знак единицы есть плюс, если выбранные направления токов в данной ветви и в i-ой хорде совпадают, иначе берется знак минус. В остальных клетках i-ой строки записываются нули. В качестве примера, иллюстрирующего применение табличного метода, используем эквивалентную схему, показанную на рис.7, для которой на рис. 8 приведен соответствующий граф. Граф состоит из тех же ветвей  (ребер) и узлов (вершин), что и эквивалентная схема, и отличается от схемы и отсутствием условных изображений двухполюсников в ветвях.

Матрица М данного примера имеет следующий вид:

От выбора фундаментального дерева зависит насыщенность матрицы M. В алгоритмах табличного метода используются такие правила построения дерева, которые приводят к минимальной насыщенности матрицы контуров и сечений.

Компонентные уравнения в табличном методе берутся в алгебраизованном и линеаризованном виде.

Формирование линейной математической модели схемы в случае нелинейных элементов

Выделим  два подхода для формирования ММ, позволяющие получить системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) - прямой и косвенный.

Примером первого является  кусочно-линейная аппроксимация нелинейных вольт-амперных характеристик. Так для диода с нелинейной моделью

,                                                     (16)

кусочно-линейная модель имеет вид (см. рисунок 9). Из рисунка видно, что   ID=0 на промежутке UD =(0÷ UD1) и имеет линейную зависимость ID =g(UD -UD1) при UD >UD1.

  ID

 

     UD

                        UD1

Рис. 9.  Вольт-амперная характеристика

диода -  нелинейная и линеаризованная.

Примером косвенного метода является метод Ньютона

Специфика математических моделей БИС

Известно, что в ММ БИС число узлов превышает100, причем каждый из узлов, как правило, связан не более, чем с десятью другими. Это означает, что в ММ, представленной в матричной форме, не более 10% элементов матрицы ненулевые. Такое свойство  модели называется разреженностью. Некоторые способы хранения разреженных матриц приведены в Приложении 1.

Элементы схемы (пример - резисторы) имеют большой разброс номинальных значений. Это ведет к большому разбросу собственных значений матрицы. Если число обусловленности матрицы

,

где и - максимальное и минимальное собственные значение, то уравнение называется жестким. 

Жесткость уравнений обуславливает трудности их решения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76669. Станочный парк турбиностроительного предприятия 579.5 KB
  Производство турбин как область технологии машиностроения весьма специфична. Технология турбостроения, обладая признаками отраслевой технологической дисциплины, существенно отличается от технологии общего машиностроения и технологии изготовления тяжелых машин иного назначения.
76670. Выходные дни 32.61 KB
  Одним из главных способов достижения реализации является труд как неоплачиваемый так и оплачиваемый. Выбрав тему реферата Выходные дни мы более подробно познакомимся с особенностями и правилами регулирования отдыха работников.
76671. Уголовная ответственность за экологические преступления 74 KB
  Охрана окружающей природной среды - одна из наиболее актуальных проблем современности. Научно-технический прогресс и усиление антропогенного давления на природную среду неизбежно приводят к обострению экологической ситуации: истощаются запасы природных ресурсов...
76672. Соціально-політичне і економічне становище українських земель у XIV – першій половині XVII століття 47 KB
  Невтомною працею селян підвищувалась урожайність землі її продуктивність. У них пан примушував навколишніх селян молоти зерно беручи за помел побори. Працею сотень селян у яких пан забирав землю в фільварках будували млини комори хліви спиртогорілчані підприємства заводи пивоварні...
76673. Б. А. ТАРАШКЕВІЧ – АЎТАР ПЕРШАЙ “БЕЛАРУСКАЙ ГРАМАТЫКІ” 93 KB
  Мова – гэта не толькі сродак зносін людзей, але і важнейшы элемент нацыянальнай культуры кожнага народа. Гэта і выклікае цікавасць носьбітаў мовы да самой мовы, да яе гісторыі, да вытокаў яе фарміравання і гістарычных умоў функцыянавання...
76674. Тождество исков 48.21 KB
  Внешнее тождество исков подразумевает под собой сравнение двух и более исков на предмет того чтобы не допустить рассмотрение одного и того же иска повторно. Вопрос о тождественности исков в литературе обычно рассматривают в контексте вопроса об элементах иска так как именно...
76675. Гломерулонефриты. ХПН. Стоматологический статус. Тактика стоматолога 76 KB
  Диспепсические нарушения проявляются потерей аппетита отвращением к еде жаждой сухостью в полости рта тошнотой рвотой. Изменения слизистой оболочки полости рта являются следствием вторичных нарушений обменного характера нередко изменения обусловлены явлениями диспепсии.
76676. Формы и виды обучения 42.94 KB
  Отсутствие первой части превращает деятельность в хаотическое скопление отдельных действий без ясной и осознанной цели, когда человек не видит личностного смысла в совершаемых действиях, не воспринимает их как значимые, важные, необходимые для себя.
76677. Права и обязанности младшего и среднего медицинского персонала. Дисциплинарная, административная, гражданско –правовая, уголовная ответственность в деятельности медработника 68 KB
  Пенсионные гарантии Обязанности и ограничения налагаемые на медицинских работников Запреты налагаемые на медицинских работников Ограничения налагаемые на медицинских работников Обязанности медицинских работников Основные права и гарантии медицинских работников...