18524

Методы решения ММ БИС во временной области. (динамический анализ)

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 4 Методы решения ММ БИС во временной области. динамический анализ Задача Коши Пусть t = ft 1 при условии xa=x0 при . Основное предположение относит...

Русский

2013-07-08

122.5 KB

1 чел.

Лекция  4

Методы решения ММ БИС во временной области.

(динамический анализ)

Задача Коши

Пусть               (t) = f(,t)                                                                                    (1)

при условии x(a)=x0 при .

Основное предположение относительно (1) состоит в том, что удовлетворяет условию Липшеца (в равномерной метрике)

   для всех  и для всех компонент векторов. При этом можно доказать единственность решения задачи.....

Задача интегрирования с начальными условиями носит название задачи Коши.

Для нахождения (t) численными методами интегрирования разделим интервал времени  [a,b] на небольшие приращения. Каждое приращение hк=Dtк называется величиной шага.

Цель численного интегрирования – нахождение  (t) для моментов времени

t1, t2, t3 , ... , tk , где ti+1 =  ti +  hi (hi - шаг интегрирования). Численный метод не позволяет найти точное решение, поэтому обозначим вычисленное значение при t=tk через k. Равенство k=|| (tk) – k|| называют локальной ошибкой при t=tk. Локальная ошибка состоит из двух компонент – методической ошибки и ошибки округления в предположение, что значение х на предыдущем шаге известно точно.

Методическую ошибку называют также алгоритмической, поскольку она зависит от вида численного алгоритма.

Как методическая, так и ошибка округления могут накапливаться с увеличением числа шагов. Поэтому для сравнения точности двух алгоритмов необходимо сравнивать их в одни и те же моменты времени tk при одном и том же начальном состоянии.

Локальная ошибка округления зависит от типа вычислительной машины, т.е. она не может быть уменьшена для данной машины, однако различные методы по разному влияют на ошибку округления. Важно помнить, что общая ошибка округления при t=tk  не равна сумме локальных ошибок округления, возникающих на каждом шаге.

Метод, обладающий свойством уменьшения ошибки округления при увеличении числа шагов, называется численно-устойчивым. В противном случае он численно-неустойчив.

Граница методической ошибки часто обозначается как «О», а сама методическая ошибка как м= О(hp) при h  0.

Таким образом, методическая ошибка стремится к 0 с такой же скоростью, как и hp. Методы классифицируются по критерию «порядок метода  p».

В качестве примера рассмотрим линейный многошаговый метод интегрирования, обобщенное выражение которого основано на представлении дифференциальных уравнений разностными уравнениями вида:

                                (2)

Данное уравнение получено на основе теоремы о среднем.

Теорема о среднем:

                                      (3)

Из общего выражения (2) можно получить формулу явного метода Эйлера (ЯМЭ), задав b0=0; k=1; a1=1; b1=1 .

При этом   - ЯМЭ.                                                               (4)

Подставив в выражение (2) b0=1;   k=1;   a1=1;   b1=0 получим формулу неявного метода Эйлера (НЯМЭ)                           (5)

Подставив в выражение (2) b0=b1=1/2; k=1; a1=1 получим формулу метода трапеций 

 (6)

Оценка локальной методической погрешности ЯМЭ и НЯМЭ

Разложим функцию в ряд Тейлора:

где  t < t < a   при  t < a;

       a< t < t   при  a < t.

Определим погрешность

                                                (7)

где первое слагаемое – это точное значение, а второе - приближенное. Будем считать, что на предыдущем шаге решение точное. Отсюда .

  

Получим формулу локальной методической ошибки для  явного метода Эйлера.

Заменив в формуле .  заменим на производную (см. формулу (1)), получим

xn+1 = xn + h                                                  (8)

    Поскольку при вычислении локальной методической ошибки значение переменной на предыдущем шаге задается точно, перейдем к следующей формуле

xn+1 = x(tn) + h .                                       (9)

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки xn  с точностью до члена второго порядка малости

                                     (10)

где  tn < t < tn+1

      tn+1 – tn = h

Сравнивая выражения (9) и (10) с учетом формулы (7) получим локальную методическую ошибку

                                                   (11)

Заметим, что локальная методическая ошибка eМ довольно велика, поэтому для получения приемлемой точности с помощью явного метода Эйлера необходимо выбирать очень маленькую величину шага.

Аналогично выведем формулу локальной методической ошибки для неявного метода Эйлера.

                                                  (12)

Поскольку при вычислении локальной методической ошибки значение переменной на предыдущем шаге задается точным, перейдем к следующей формуле

                                                  (13)

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки xn+1  с точностью до члена второго порядка малости:

                         (14)

tn < t < tn+1

Отсюда:

                                (15)

Следовательно

                                             (16)

Явный и неявный методы Эйлера можно классифицировать как методы Тэйлора первого порядка.  Локальная методическая ошибка определяется второй производной, следовательно, эти методы имеют низкую точность.

Для повышения точности методов необходимо интегрировать с малой величиной шага. Для оценки локальной методической погрешности требуется определить вторую производную.

Вторую производную можно вычислить, используя теорему о среднем (формула (3)).

Вычисление  второй  производной

Иллюстрируется рисунком 1

Рис. 1. Иллюстрация вычисления второй производной

Если  принять , то выражение для второй производной будет иметь вид:        

                                                  (17)             

Подставив формулу (17) в выражения для локальной методической ошибки ЯМЭ и НЯМЭ:  

      

получим следующее выражение:

                                              (18)

Управление величиной шага интегрирования

  1.  Пусть на n-ом шаге интегрирования величина шага - hn          
  2.  Определяем вектор локальной методической ошибки  Максимальная погрешность

3.   Если emax > eзаданное, то шаг отбрасываем и пытаемся проинтегрировать, уменьшив шаг в два раза

  4.   Если emax  eзаданное , то   hn+1  =   hn ,  если 0.25 eзаданное emax  eзаданное ,

                         hn+1 =   2hn, если   emax   <  0.25 eзаданное.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28885. Реформы 60–70 годов XIX в.и их историческое значение 36.5 KB
  Явственно проявилось отставание России от передовых капиталистических государств в экономической и социально-политической сферах. было приведение экономической и социально-политической системы России в соответствие с потребностями времени. Значение реформ: способствовали более быстрому развитию капиталистических отношений в России. Были сделаны первые шаги по расширению роли общественности в жизни страны и превращении России в буржуазную монархию.
28886. Социально-экономическое и политическое развитие страны в пореформенный период (60–80 гг. XIX в.) 33 KB
  В пореформенный период в России был начат масштабный переход к индустриальному обществу в целом того же типа который сложился в странах Западной Европы. Основная черта пореформенной эволюции сельского хозяйства в России проявлялась в том что оно принимало все более торговый предпринимательский характер. Огромное значение в индустриализации России имело развитие транспорт главным образом железнодорожного. Быстрое развитие капитализма приводило к тому что для возникновения привилегированных прослоек типа рабочей аристократии Запада в...
28887. Во внешней политике России второй половины XIX века выделяют два этапа 26 KB
  Это означало что Россия должна использовать возникающие между европейскими государствами противоречия в свою пользу. После поражения Франции в 1870 году во франкоавстрийской войне Россия освободила себя от решений Парижского конгресса и начала активно вмешиваться в европейские дела. В 1873 году Россия заключила союз с Германией и Австрией но этот союз не удержал Германию от новой войны с Францией. С 1875 года Россия начинает сближаться с Францией и в 1891 году был заключен союзный договор.
28888. Место XX века во всемирно-иторическом процессе 25 KB
  В целом можно сказать что в результате первой мировой войны западная цивилизация попала в ситуацию глубокого кризиса. В период этого кризиса мировое производство товаров упало на 44 разорилось тысячи банков более 100 тыс. В США в период пика кризиса насчитывалось 17 млн. В капиталистических странах Европы и США были выработаны различные модели выхода из кризиса.
28890. Общественно-политические силы на рубеже 19-20вв. Революция 1905-1907 гг. в России и ее особенности 68 KB
  в России и ее особенности. Задачи революции: свержение самодержавия; созыв Учредительного собрания для установления демократического строя; ликвидация сословного неравноправия; введение свободы слова собраний партий и объединений; уничтожение помещичьего землевладения и наделение крестьян землей; сокращение продолжительности рабочего дня до 8 часов; признание права рабочих на стачки и создание профсоюзов; достижение равноправия народов России. В январе 1905г в России началась революция. Характеризуется ослаблением борьбы началом...
28891. Образование политических партий в России (конец XIX—начало XX в.) 48.5 KB
  Канун первой российской революции явился тем историческим моментом когда политические партии в России проходили 1й или 2й этапы своего становления. В зависимости от социальноклассовой основы программных и тактических установок все политические партии образовавшиеся до и в годы революции можно разделить на 4 большие группы: пролетарские большевики; революционнодемократические социалдемократического и левонароднического направлений; буржуазные с выделением двух разновидностей: либеральных и консервативных;...
28892. Предмет и задачи вузовского курса Отечественной истории 22 KB
  Предмет и задачи вузовского курса Отечественной истории. Содержанием истории как науки является исторический процесс. Предметом курса отечественной истории является российский исторический процесс от древности до современности. В процессе изучения истории у человека формируется историческое сознание в содержание которого входит ряд элементов: знание фактов истории; способность рассматривать реальную действительность во всех трех временных измерениях: в прошлом настоящем будущем; обобщенный исторический опыт и вытекающие из него уроки...
28893. Первобытная эпоха человечества 24 KB
  Лет назад до образования классовых обществ в различных регионах планеты примерно в IV тыс. В соответствии с ней в древнейшей эпохе выделяются три периода: каменный век от возникновения человека до III тыс. бронзовый век с конца IV до начала 1 тыс. железный век с 1 тыс.