18524

Методы решения ММ БИС во временной области. (динамический анализ)

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 4 Методы решения ММ БИС во временной области. динамический анализ Задача Коши Пусть t = ft 1 при условии xa=x0 при . Основное предположение относит...

Русский

2013-07-08

122.5 KB

1 чел.

Лекция  4

Методы решения ММ БИС во временной области.

(динамический анализ)

Задача Коши

Пусть               (t) = f(,t)                                                                                    (1)

при условии x(a)=x0 при .

Основное предположение относительно (1) состоит в том, что удовлетворяет условию Липшеца (в равномерной метрике)

   для всех  и для всех компонент векторов. При этом можно доказать единственность решения задачи.....

Задача интегрирования с начальными условиями носит название задачи Коши.

Для нахождения (t) численными методами интегрирования разделим интервал времени  [a,b] на небольшие приращения. Каждое приращение hк=Dtк называется величиной шага.

Цель численного интегрирования – нахождение  (t) для моментов времени

t1, t2, t3 , ... , tk , где ti+1 =  ti +  hi (hi - шаг интегрирования). Численный метод не позволяет найти точное решение, поэтому обозначим вычисленное значение при t=tk через k. Равенство k=|| (tk) – k|| называют локальной ошибкой при t=tk. Локальная ошибка состоит из двух компонент – методической ошибки и ошибки округления в предположение, что значение х на предыдущем шаге известно точно.

Методическую ошибку называют также алгоритмической, поскольку она зависит от вида численного алгоритма.

Как методическая, так и ошибка округления могут накапливаться с увеличением числа шагов. Поэтому для сравнения точности двух алгоритмов необходимо сравнивать их в одни и те же моменты времени tk при одном и том же начальном состоянии.

Локальная ошибка округления зависит от типа вычислительной машины, т.е. она не может быть уменьшена для данной машины, однако различные методы по разному влияют на ошибку округления. Важно помнить, что общая ошибка округления при t=tk  не равна сумме локальных ошибок округления, возникающих на каждом шаге.

Метод, обладающий свойством уменьшения ошибки округления при увеличении числа шагов, называется численно-устойчивым. В противном случае он численно-неустойчив.

Граница методической ошибки часто обозначается как «О», а сама методическая ошибка как м= О(hp) при h  0.

Таким образом, методическая ошибка стремится к 0 с такой же скоростью, как и hp. Методы классифицируются по критерию «порядок метода  p».

В качестве примера рассмотрим линейный многошаговый метод интегрирования, обобщенное выражение которого основано на представлении дифференциальных уравнений разностными уравнениями вида:

                                (2)

Данное уравнение получено на основе теоремы о среднем.

Теорема о среднем:

                                      (3)

Из общего выражения (2) можно получить формулу явного метода Эйлера (ЯМЭ), задав b0=0; k=1; a1=1; b1=1 .

При этом   - ЯМЭ.                                                               (4)

Подставив в выражение (2) b0=1;   k=1;   a1=1;   b1=0 получим формулу неявного метода Эйлера (НЯМЭ)                           (5)

Подставив в выражение (2) b0=b1=1/2; k=1; a1=1 получим формулу метода трапеций 

 (6)

Оценка локальной методической погрешности ЯМЭ и НЯМЭ

Разложим функцию в ряд Тейлора:

где  t < t < a   при  t < a;

       a< t < t   при  a < t.

Определим погрешность

                                                (7)

где первое слагаемое – это точное значение, а второе - приближенное. Будем считать, что на предыдущем шаге решение точное. Отсюда .

  

Получим формулу локальной методической ошибки для  явного метода Эйлера.

Заменив в формуле .  заменим на производную (см. формулу (1)), получим

xn+1 = xn + h                                                  (8)

    Поскольку при вычислении локальной методической ошибки значение переменной на предыдущем шаге задается точно, перейдем к следующей формуле

xn+1 = x(tn) + h .                                       (9)

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки xn  с точностью до члена второго порядка малости

                                     (10)

где  tn < t < tn+1

      tn+1 – tn = h

Сравнивая выражения (9) и (10) с учетом формулы (7) получим локальную методическую ошибку

                                                   (11)

Заметим, что локальная методическая ошибка eМ довольно велика, поэтому для получения приемлемой точности с помощью явного метода Эйлера необходимо выбирать очень маленькую величину шага.

Аналогично выведем формулу локальной методической ошибки для неявного метода Эйлера.

                                                  (12)

Поскольку при вычислении локальной методической ошибки значение переменной на предыдущем шаге задается точным, перейдем к следующей формуле

                                                  (13)

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки xn+1  с точностью до члена второго порядка малости:

                         (14)

tn < t < tn+1

Отсюда:

                                (15)

Следовательно

                                             (16)

Явный и неявный методы Эйлера можно классифицировать как методы Тэйлора первого порядка.  Локальная методическая ошибка определяется второй производной, следовательно, эти методы имеют низкую точность.

Для повышения точности методов необходимо интегрировать с малой величиной шага. Для оценки локальной методической погрешности требуется определить вторую производную.

Вторую производную можно вычислить, используя теорему о среднем (формула (3)).

Вычисление  второй  производной

Иллюстрируется рисунком 1

Рис. 1. Иллюстрация вычисления второй производной

Если  принять , то выражение для второй производной будет иметь вид:        

                                                  (17)             

Подставив формулу (17) в выражения для локальной методической ошибки ЯМЭ и НЯМЭ:  

      

получим следующее выражение:

                                              (18)

Управление величиной шага интегрирования

  1.  Пусть на n-ом шаге интегрирования величина шага - hn          
  2.  Определяем вектор локальной методической ошибки  Максимальная погрешность

3.   Если emax > eзаданное, то шаг отбрасываем и пытаемся проинтегрировать, уменьшив шаг в два раза

  4.   Если emax  eзаданное , то   hn+1  =   hn ,  если 0.25 eзаданное emax  eзаданное ,

                         hn+1 =   2hn, если   emax   <  0.25 eзаданное.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28260. Эффект Плацебо 162.71 KB
  Про эффект плацебо. О важности впечатления которое производит врач. Плацебо терапия. Зачем глотать таблетку, если можно съесть конфетку. Фальшивки помогают вырабатывать гормон счастья. Плацебо вместо операции
28263. Функции внимания, его характеристики и методы диагностики 40.5 KB
  Функции внимания его характеристики и методы диагностики. Функции внимания: функция отбора значимых воздействий которые соответствуют потребностям данной деятельности; функция игнорирования других несущественных контролирующих воздействий; функция удержания сохранения выполняемой деятельности пока не будет достигнута цель т. Виды внимания: непроизвольное непреднамеренное произвольное преднамеренное Выделяют еще послепроизвольное внимание. Поддержание устойчивого произвольного внимания зависит от ряда условий.
28264. Операциональная природа мышления как процесса отражения связей иотношений. Виды мыслительных операций 62 KB
  Операциональная природа мышления как процесса отражения связей иотношений. Этот вид мышления онтогенетическиявляется первым. Понятие единица мышления выражающая общие и наиболее существенные признаки предметов и явлений действительности. Это основной вид мышления.
28267. Методы исследования и диагностики понятийного мышления 27 KB
  Методы исследования и диагностики понятийного мышления. Понятийное мышление ведущий вид мышления характеризуется использованием понятий логических конструкций которые существуют на базе языка и языковых средств. Понятийное мышление осознанное вербальное вышление. Характеризуется: высокой критичностью повышением понимания скрытого смыслаи подтекста различие иерархии признаков центральные существенные случайные переферические Методы диагностики понятийного мышления Основные методы: Сравнение понятий выделение существенныхпризнаков...
28268. Роль внутренней речи в процессе мышления (по А.Н.Соколову). Методы исследования внутренней речи 34 KB
  Роль внутренней речи в процессе мышления по А. Методы исследования внутренней речи. Внутренняя речь производная форма внешней звуковой речи специально приспособленная к выполнению мыслительных операций в уме. Используется при: решении задачвуме чтении про себя мысленном планировании запоминании припоминании Функции внутренней речи: логическая переработка сенсорных данных их осознание и понимание самоинструкции при выполнении произвольных действий самоанализ и самооценка своих поступков и переживаний Выражается внутренняя речь в виде...