18524

Методы решения ММ БИС во временной области. (динамический анализ)

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 4 Методы решения ММ БИС во временной области. динамический анализ Задача Коши Пусть t = ft 1 при условии xa=x0 при . Основное предположение относит...

Русский

2013-07-08

122.5 KB

1 чел.

Лекция  4

Методы решения ММ БИС во временной области.

(динамический анализ)

Задача Коши

Пусть               (t) = f(,t)                                                                                    (1)

при условии x(a)=x0 при .

Основное предположение относительно (1) состоит в том, что удовлетворяет условию Липшеца (в равномерной метрике)

   для всех  и для всех компонент векторов. При этом можно доказать единственность решения задачи.....

Задача интегрирования с начальными условиями носит название задачи Коши.

Для нахождения (t) численными методами интегрирования разделим интервал времени  [a,b] на небольшие приращения. Каждое приращение hк=Dtк называется величиной шага.

Цель численного интегрирования – нахождение  (t) для моментов времени

t1, t2, t3 , ... , tk , где ti+1 =  ti +  hi (hi - шаг интегрирования). Численный метод не позволяет найти точное решение, поэтому обозначим вычисленное значение при t=tk через k. Равенство k=|| (tk) – k|| называют локальной ошибкой при t=tk. Локальная ошибка состоит из двух компонент – методической ошибки и ошибки округления в предположение, что значение х на предыдущем шаге известно точно.

Методическую ошибку называют также алгоритмической, поскольку она зависит от вида численного алгоритма.

Как методическая, так и ошибка округления могут накапливаться с увеличением числа шагов. Поэтому для сравнения точности двух алгоритмов необходимо сравнивать их в одни и те же моменты времени tk при одном и том же начальном состоянии.

Локальная ошибка округления зависит от типа вычислительной машины, т.е. она не может быть уменьшена для данной машины, однако различные методы по разному влияют на ошибку округления. Важно помнить, что общая ошибка округления при t=tk  не равна сумме локальных ошибок округления, возникающих на каждом шаге.

Метод, обладающий свойством уменьшения ошибки округления при увеличении числа шагов, называется численно-устойчивым. В противном случае он численно-неустойчив.

Граница методической ошибки часто обозначается как «О», а сама методическая ошибка как м= О(hp) при h  0.

Таким образом, методическая ошибка стремится к 0 с такой же скоростью, как и hp. Методы классифицируются по критерию «порядок метода  p».

В качестве примера рассмотрим линейный многошаговый метод интегрирования, обобщенное выражение которого основано на представлении дифференциальных уравнений разностными уравнениями вида:

                                (2)

Данное уравнение получено на основе теоремы о среднем.

Теорема о среднем:

                                      (3)

Из общего выражения (2) можно получить формулу явного метода Эйлера (ЯМЭ), задав b0=0; k=1; a1=1; b1=1 .

При этом   - ЯМЭ.                                                               (4)

Подставив в выражение (2) b0=1;   k=1;   a1=1;   b1=0 получим формулу неявного метода Эйлера (НЯМЭ)                           (5)

Подставив в выражение (2) b0=b1=1/2; k=1; a1=1 получим формулу метода трапеций 

 (6)

Оценка локальной методической погрешности ЯМЭ и НЯМЭ

Разложим функцию в ряд Тейлора:

где  t < t < a   при  t < a;

       a< t < t   при  a < t.

Определим погрешность

                                                (7)

где первое слагаемое – это точное значение, а второе - приближенное. Будем считать, что на предыдущем шаге решение точное. Отсюда .

  

Получим формулу локальной методической ошибки для  явного метода Эйлера.

Заменив в формуле .  заменим на производную (см. формулу (1)), получим

xn+1 = xn + h                                                  (8)

    Поскольку при вычислении локальной методической ошибки значение переменной на предыдущем шаге задается точно, перейдем к следующей формуле

xn+1 = x(tn) + h .                                       (9)

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки xn  с точностью до члена второго порядка малости

                                     (10)

где  tn < t < tn+1

      tn+1 – tn = h

Сравнивая выражения (9) и (10) с учетом формулы (7) получим локальную методическую ошибку

                                                   (11)

Заметим, что локальная методическая ошибка eМ довольно велика, поэтому для получения приемлемой точности с помощью явного метода Эйлера необходимо выбирать очень маленькую величину шага.

Аналогично выведем формулу локальной методической ошибки для неявного метода Эйлера.

                                                  (12)

Поскольку при вычислении локальной методической ошибки значение переменной на предыдущем шаге задается точным, перейдем к следующей формуле

                                                  (13)

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки xn+1  с точностью до члена второго порядка малости:

                         (14)

tn < t < tn+1

Отсюда:

                                (15)

Следовательно

                                             (16)

Явный и неявный методы Эйлера можно классифицировать как методы Тэйлора первого порядка.  Локальная методическая ошибка определяется второй производной, следовательно, эти методы имеют низкую точность.

Для повышения точности методов необходимо интегрировать с малой величиной шага. Для оценки локальной методической погрешности требуется определить вторую производную.

Вторую производную можно вычислить, используя теорему о среднем (формула (3)).

Вычисление  второй  производной

Иллюстрируется рисунком 1

Рис. 1. Иллюстрация вычисления второй производной

Если  принять , то выражение для второй производной будет иметь вид:        

                                                  (17)             

Подставив формулу (17) в выражения для локальной методической ошибки ЯМЭ и НЯМЭ:  

      

получим следующее выражение:

                                              (18)

Управление величиной шага интегрирования

  1.  Пусть на n-ом шаге интегрирования величина шага - hn          
  2.  Определяем вектор локальной методической ошибки  Максимальная погрешность

3.   Если emax > eзаданное, то шаг отбрасываем и пытаемся проинтегрировать, уменьшив шаг в два раза

  4.   Если emax  eзаданное , то   hn+1  =   hn ,  если 0.25 eзаданное emax  eзаданное ,

                         hn+1 =   2hn, если   emax   <  0.25 eзаданное.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21022. РАЗРАБОТКА МЕНЮ В VISUAL FOXPRO 111 KB
  Виды меню в Visual FoxPro и работа с ними В Visual FoxPro могут быть разработаны 2 основных вида меню: горизонтальное меню и всплывающее меню. Горизонтальное меню может создаваться для главного окна или форм верхнего уровня и представляет собой строку меню размещенную в верхней части окна или формы. Горизонтальное меню главного окна может заменять системное меню Visual FoxPro или сочетаться с ним.
21023. ВВЕДЕНИЕ В ERP 428.5 KB
  ВВЕДЕНИЕ В ERP В начале 1990х гг. Системы класса MRPII в интеграции с модулем финансового планирования Finance Requirements Planning FRP получили название систем планирования ресурсов предприятий Enterprise Resource Planning ERP. Иногда также встречается термин планирование ресурсов в масштабах предприятия Enterprisewide Resource Planning. В основе ERPсистем лежит принцип создания единого хранилища репозитория данных содержащего всю корпоративную бизнесинформацию: плановую и финансовую информацию производственные данные...
21024. Информационные системы и технологии. Контур «Логистика» 504 KB
  Процесс реализации регламентируют следующие документы: прайслисты документыоснования счета расходные накладные на отпуск МЦ складские ордера. Перейдя в модуль Настройка проверьте статус ДО на продажу: Настройка =Настройка= Настройка Настройки Галактики Логистика Документы Управление сбытом ДО на продажу Значения по умолчанию Статус оформляемый. Сформируем счет на продажу: Управление сбытом Документы Счета ДО на продажу [F7] формирование нового ДО. Сформируем накладную на отпуск МЦ: Управление сбытом ...
21025. Контур «Бухгалтерский учет» Теоретические положения 253.5 KB
  Теоретические положения Прайслисты удобно использовать в бизнеспроцессах операций сбыта для определения отпускной цены. В прайслисты включаютсятовары или услуги описанные в каталоге МЦ или каталоге услуг. Каждый товар либо услуга могут быть представлены в нескольких прайслистах причем иметь в них разные цены. Для формирования прайслиста подадим команды Управление сбытом Прайслисты Формирование рис.
21026. Контур «Бухгалтерский учет» Финансово-расчетные операции (ФРО 1.36 MB
  С другой стороны при формировании документов в каждом из этих модулей можно вызвать для выполнения Типовые хозяйственные операции ТХО настройка которых выполняется в том числе и в модуле ХозОперации.2 ТХО можно выполнить только войдя непосредственно в модуль ХозОперации. В данном разделе рассматриваются вопросы относящиеся к ТХО. В этом случае необходимы три ТХО.
21027. ЗНАКОМСТВО С ERP СИСТЕМОЙ «ГАЛАКТИКА» 605.5 KB
  После запуска системы Галактика на экране отображается Главное меню системы фрагмент Главного меню показан на рис. Панель главного окна системы Для запуска модуля достаточно щелкнуть мышью по соответствующей кнопке Главного меню. Кнопки Главного меню снабжены всплывающими подсказками которые появляются при установке указателя мыши на кнопку меню. Для перемещения панели Главного меню необходимо установить указатель мыши на логотип корпорации Галактика в левом верхнем углу панели нажать левую кнопку мыши и удерживая ее переместить...
21028. ЗНАКОМСТВО С СИСТЕМОЙ АДМИНИСТРИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСА «ГАЛАКТИКА» «SUPPORT» 257.5 KB
  Модуль Консоль администратора является интсрументом администраторов системы и доступен только администраторам. Модуль предназначен для интерактивного мониторинга и администрирования лицензий пользователями контуров и компонентов системы Галактика ERP. Консоль администратора позволяет: Регистрировать пользователей систем Регистрировать группы пользователей систем Регистрировать системы в которых осуществляется администрирование использования лицензий пользователями Отслеживать захват лицензий каждым пользователем определить сколько...
21029. Модуль логистики и управления системой «ГАЛАКТИКА ERP» 39 KB
  Сделать это можно из главного меню программы пролистав до самого конца или из открывшегося окна перейдя следующим образом: меню Сервис – Главное меню – Остальное – Остальное – Настройка. Путь от главного меню: Настройка – Заполнение каталогов – Организации и банки. Введите группы контрагентов которые необходимы вашей организации функция локального меню Создать группу организаций CtrlF7. Для этого установите курсор на необходимую группу и вызовите функцию локального меню Добавить организацию в текущую группу.
21030. Модуль настройки системы «Галактика ERP» Настройка общесистемных каталогов 173.5 KB
  Настройка осуществляется в модуле Настройка. Настройка общесистемных каталогов Каталог сотрудников предприятия Для того чтобы перейти в к настройке этого каталога необходимо зайти в модуль Заработная плата. Настройка каталога материальноответственных лиц Для настройки этого каталога необходимо перейти в модуль Настройка. Далее переходим по меню следующим образом: Настройка – Заполнение каталогов – Материальноответственные лицаМОЛ.