18525

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...

Русский

2013-07-08

108.5 KB

6 чел.

Лекция 5

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона. Обратные итерации

При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду линейного многошагового метода. Проанализируем сходимость решения нелинейных алгебраических уравнений.

Требуется решить неявное уравнение:

                        (1)

т.к.  член под знаком суммы известен, то заменим его на wn, тогда  выражение (1) принимает вид:

                                           (2)

Необходимо определить . Рассмотрим некоторые варианты решения.

  1.  Метод простых итераций (метод Якоби).

Формула метода простых итераций

                                        (3)

Пусть x* - точное решение (2), тогда

                                        (4)

 Вычитая, получим

                                         (5)

  

Используя теорему о среднем, получим:

                                   (6)

где  

По условию Липшица  тогда

                                      (7)

      По индукции

                                 (6)  

Принимая во внимание теорему о единственности решения, необходимое и достаточное решение о сходимости итерационного процесса Якоби имеет вид:

                                                             (7)

   

Т.к. L £ | lmax|, наибольшее собственное значение матрицы -.                                                                                                                 

Если условие удовлетворено, то итерации Якоби сходятся к единственному решению.

                                                                (8)

Для быстрой сходимости необходимо потребовать :

                                                           (9)

Границы зависят от h, если | lmax | велико, то h должно быть очень мало. Для определения условия окончания итераций рассмотрим случай одного уравнения:

  1.  Метод ускоренных итераций

Метод ускоренных итераций – модификация метода итераций Якоби

                           (10)

где a - параметр ускорения.

Если a=0, то получаем простые итерации.

Условие сходимости введем тем же путем.

Точное решение

                        (11)

Вычитая (11) из (10) и пользуясь теоремой о среднем, получаем:

                       (12)                                             

Условие сходимости

 

  или      ,                    (13)

здесь I – единичная матрица.

3. Итерационный метод Ньютона-Рафсона.

Метод описывается формулой

                   (14)

где An+1(s) – матрица Якоби f `x, оцененная в точке x(tn), однократное применение итерации соответствует решению параметризованной формы. Найдем условие сходимости.

Следуя вышеприведенной последовательности действий, получим:

               (15)

Применение (14) является неэффективной процедурой: необходимо вычислить  на каждой итерации.

4. Обратные итерации.

Рассмотренные выше методы можно отнести к прямым итерациям, т.к. они проходят следующим путем: берем приближение, подставляем в правую часть рекуррентного выражения, затем вычисляем новое приближение и подставляем в правую часть и т.д.

Аналогично можно сформировать уравнения с обратными итерациями в виде:

                                            (16)

которые требуют решения неявных уравнений.

Следуя обычной процедуре, запишем:

Условие сходимости:

    или             –  нижняя граница на h.

Краткие выводы:

Итерации Якоби и ускоренные итерации легко реализуются, но сходимость зависит от максимального собственного значения матрицы Якоби. Если |lmax | велико, то шаг мал.

Условиям сходимости метода Ньютона посвящено много литературы. Итерации Ньютона имеют большую область сходимости, чем простые и ускоренные. Зато обратные итерации имеют громадную область сходимости из-за наличия нелинейной границы на h, но существует проблема решения неявных уравнений.

     Рекомендации:

Если число обусловленности меньше 10, рекомендуется применять простые или ускоренные итерации, иначе использовать итерационный метод Ньютона или методы обратных итераций с выбором шага на основе желаемого числа итераций на шаг. Оптимальное число итераций в корректирующей формуле  – 2.

    1. Если корректирующая формула в методе не итерируется, то устойчивость метода зависит как от предсказывающих, так и от корректирующих формул.

    2. Если корректирующая формула итерируется, то нет уверенности, что устойчивость зависит от корректирующей формулы.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22720. Латиноамериканська політика США у період адміністрації Р. Рейгана 24 KB
  Латиноамериканська політика США у період адміністрації Р. Рейган был сторонником активизации внешней политики США и такая возможность вскоре представилась благодаря событиям в Центральной Америке. Одновременно США поддерживали демократические силы Сальвадора выступавшие против насилия и других нарушений прав человека эскадронами смерти карательными отрядами правых и способствовали приходу к власти правительства избранного демократическим путем. США помогали стабилизировать обстановку но разгул насилия в стране не прекращался и даже...
22721. Політика США щодо Японії у 90-х роках 43.5 KB
  Політика США щодо Японії у 90х роках. Все эти особенности существенно осложняют политику США в отношении Японии хотя мало влияют на сложившийся консенсус по вопросу о ее фактической безальтернативности. Сторонники сближения с Китаем в свою очередь также не ставят под сомнение необходимость наращивания сотрудничества с Японией отчасти в целях усиления американских позиций в Китае отчасти для сохранения самой Японии в орбите США. Немало американских политиков продолжают относиться к Японии с настороженностью не исключают ее эвентуальный...
22722. Політика США на Близькому та Середньому Сході у період адміністрації Дж. Буша (ст.) 30.5 KB
  Політика США на Близькому та Середньому Сході у період адміністрації Дж. Бюджетные проблемы о которых в основном и говорили средства массовой информации США освещая работу правительства и конгресса 2 августа 1990 г. Президент США отдал приказ о прекращении всех видов торговли с Ираком и о замораживании иракских и кувейтских активов в американских банках. Политика США в данном вопросе базируется на четырех принципах: требование вывода иракских войск из Кувейта; восстановление законного правительства этой страны; приверженность к миру и...
22723. Відносини між США та Російською Федерацією у 1992 р 27.5 KB
  Відносини між США та Російською Федерацією у 1992 р. Отношений США и СНД как таковых не существует так как СНД юридически не существует. В основном это отношения двусторонние США и стран СНД. После распада СССР внимание США было сосредоточено в основном на Росси.
22724. Еволюція відносин США з Російською Федерацією 29.5 KB
  Буш и Путин заявили что они осознают важность многосторонних контртеррористических усилий в том числе под эгидой ООН восьмерки Евросоюза Организации по безопасности и сотрудничеству в Европе ОБСЕ группы 6 2 и в формате НАТОРоссия а также такие региональные контртерроористические инициативы как Шанхайская организация сотрудничества. Публикуется в связи с саммитом НАТОРоссия 28 мая 2002 в Италии Ниже приводится текст справки Белого дома о новом Совете НАТОРоссия опубликованной в связи с проведением 28 мая саммита НАТОРоссия...
22725. Американсько-канадське військово-стратегічне співробітництво в роки холодної війни 24.5 KB
  Канада принимала активное участие в деятельности ООН и внесла значительный вклад в осуществление так называемого плана Коломбо программы по совместному экономическому и социальному развитию принятой на конференции стран британского Содружества в г. В то же время в вопросах обороны Канада полагалась в основном на систему военных блоков в первую очередь НАТО в создании которой в 1949 принимал участие премьерминистр Канады СенЛоран. В 1958 Канада заключила с США соглашение о создании Объединенного командования противовоздушной обороны...
22726. Позиція Канади щодо війни в Індокитаї 21.5 KB
  The next big issue of contention was the war in Vietnam. In early 1965 the war was expanded with the start of an extensive U. As the war escalated Pearson became increasingly doubtful of the wisdom of U. ground troops to Vietnam might lead to a wider war in Asia the Secretary of State for External Affairs Paul Martin decided to make an independent approach to the North by sending Chester Ronning Canada's leading China expert as an emissary.
22728. План Маршалла 22.5 KB
  План Маршалла. Ще одним приводом для розколу світу на два табори став конфлікт що виник у зв'язку з планом Маршалла. Він сформулював основні положення комплексу економічних та політичних заходів щодо здійснення реконструкції в Європі що здобули назву плану Маршалла. СРСР відмовився від участі у плані Маршалла.