18525

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...

Русский

2013-07-08

108.5 KB

6 чел.

Лекция 5

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона. Обратные итерации

При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду линейного многошагового метода. Проанализируем сходимость решения нелинейных алгебраических уравнений.

Требуется решить неявное уравнение:

                        (1)

т.к.  член под знаком суммы известен, то заменим его на wn, тогда  выражение (1) принимает вид:

                                           (2)

Необходимо определить . Рассмотрим некоторые варианты решения.

  1.  Метод простых итераций (метод Якоби).

Формула метода простых итераций

                                        (3)

Пусть x* - точное решение (2), тогда

                                        (4)

 Вычитая, получим

                                         (5)

  

Используя теорему о среднем, получим:

                                   (6)

где  

По условию Липшица  тогда

                                      (7)

      По индукции

                                 (6)  

Принимая во внимание теорему о единственности решения, необходимое и достаточное решение о сходимости итерационного процесса Якоби имеет вид:

                                                             (7)

   

Т.к. L £ | lmax|, наибольшее собственное значение матрицы -.                                                                                                                 

Если условие удовлетворено, то итерации Якоби сходятся к единственному решению.

                                                                (8)

Для быстрой сходимости необходимо потребовать :

                                                           (9)

Границы зависят от h, если | lmax | велико, то h должно быть очень мало. Для определения условия окончания итераций рассмотрим случай одного уравнения:

  1.  Метод ускоренных итераций

Метод ускоренных итераций – модификация метода итераций Якоби

                           (10)

где a - параметр ускорения.

Если a=0, то получаем простые итерации.

Условие сходимости введем тем же путем.

Точное решение

                        (11)

Вычитая (11) из (10) и пользуясь теоремой о среднем, получаем:

                       (12)                                             

Условие сходимости

 

  или      ,                    (13)

здесь I – единичная матрица.

3. Итерационный метод Ньютона-Рафсона.

Метод описывается формулой

                   (14)

где An+1(s) – матрица Якоби f `x, оцененная в точке x(tn), однократное применение итерации соответствует решению параметризованной формы. Найдем условие сходимости.

Следуя вышеприведенной последовательности действий, получим:

               (15)

Применение (14) является неэффективной процедурой: необходимо вычислить  на каждой итерации.

4. Обратные итерации.

Рассмотренные выше методы можно отнести к прямым итерациям, т.к. они проходят следующим путем: берем приближение, подставляем в правую часть рекуррентного выражения, затем вычисляем новое приближение и подставляем в правую часть и т.д.

Аналогично можно сформировать уравнения с обратными итерациями в виде:

                                            (16)

которые требуют решения неявных уравнений.

Следуя обычной процедуре, запишем:

Условие сходимости:

    или             –  нижняя граница на h.

Краткие выводы:

Итерации Якоби и ускоренные итерации легко реализуются, но сходимость зависит от максимального собственного значения матрицы Якоби. Если |lmax | велико, то шаг мал.

Условиям сходимости метода Ньютона посвящено много литературы. Итерации Ньютона имеют большую область сходимости, чем простые и ускоренные. Зато обратные итерации имеют громадную область сходимости из-за наличия нелинейной границы на h, но существует проблема решения неявных уравнений.

     Рекомендации:

Если число обусловленности меньше 10, рекомендуется применять простые или ускоренные итерации, иначе использовать итерационный метод Ньютона или методы обратных итераций с выбором шага на основе желаемого числа итераций на шаг. Оптимальное число итераций в корректирующей формуле  – 2.

    1. Если корректирующая формула в методе не итерируется, то устойчивость метода зависит как от предсказывающих, так и от корректирующих формул.

    2. Если корректирующая формула итерируется, то нет уверенности, что устойчивость зависит от корректирующей формулы.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71357. Основи системного адміністрування ОС FreeBSD Unix 1.55 MB
  Завдання на роботу Відповідно до варіанту: створити облікові записи груп користувачів; створити облікові записи користувачів; додати облікові записи користувачів в необхідні групи, символ «+» означає приналежність користувача групі; створити каталоги і встановити необхідні права доступу...
71358. Установка і початкове налаштування ОС FreeBSD Unix 8.71 MB
  Контрольні питання Визначте основні можливості операційної системи FreeBSD Unix. Які функції виконує менеджер завантаження FreeBSD? Вкажіть особливості виділення дискового простору для FreeBSD Unix. Яким чином ядро системи іменує IDE диски?
71359. Розміщення графіки на Web-сторінці 228 KB
  Цей необов’язковий елемент визначає текст, який буде відображений браузером, що не підтримуює відображення графіки або з відключеною підтримкою зображень. Звичайно, це короткий опис зображення, який користувач міг би, чи зможе побачити на екрані.
71360. Работа с растровыми изображениями в Corel Draw 9.0 3.02 MB
  Для включения растровых изображений в CorelDRW используется команда Импорт в меню Файл. Для выделения части растрового изображения при импортировании: выберите команду Импорт в меню Файл; в открывшемся диалоговом окне в поле расположенном справа от поля Тип файла выберите команду Обрезка...
71361. Специальные эффекты в Corel Draw 9.0 1.1 MB
  На панели атрибутов есть кнопки позволяющие задавать режим редактирования оболочки: 1. Возможны четыре способа деформации объекта в результате применения эффекта Огибающая список панели атрибутов: 1. для получения таких изображений воспользуйтесь кнопками панели атрибутов инструмента...
71362. Работа с текстом в CorelDraw 9.0 493.5 KB
  В CorelDRW существует два типа текста: фигурный и простой. Выбор типа текста зависит от того что вы с ним будете делать. Если к нему будут применяться художественные спецэффекты выбирайте фигурный текст. Для изменения всего текста необходимо выделить его инструментом Выбор.
71363. CorelDraw 11.0 Знакомство с CorelDRAW 8.41 MB
  Выделите последовательно каждый объект инструментом Указатель и измените цвета контуров и заливку выделенных объектов используя левую и правую кнопки мыши и цветовую палитру в правой части экрана. С помощью инструмента Кривая нарисуйте кривую удерживая левую кнопку мыши.