18525

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...

Русский

2013-07-08

108.5 KB

6 чел.

Лекция 5

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона. Обратные итерации

При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду линейного многошагового метода. Проанализируем сходимость решения нелинейных алгебраических уравнений.

Требуется решить неявное уравнение:

                        (1)

т.к.  член под знаком суммы известен, то заменим его на wn, тогда  выражение (1) принимает вид:

                                           (2)

Необходимо определить . Рассмотрим некоторые варианты решения.

  1.  Метод простых итераций (метод Якоби).

Формула метода простых итераций

                                        (3)

Пусть x* - точное решение (2), тогда

                                        (4)

 Вычитая, получим

                                         (5)

  

Используя теорему о среднем, получим:

                                   (6)

где  

По условию Липшица  тогда

                                      (7)

      По индукции

                                 (6)  

Принимая во внимание теорему о единственности решения, необходимое и достаточное решение о сходимости итерационного процесса Якоби имеет вид:

                                                             (7)

   

Т.к. L £ | lmax|, наибольшее собственное значение матрицы -.                                                                                                                 

Если условие удовлетворено, то итерации Якоби сходятся к единственному решению.

                                                                (8)

Для быстрой сходимости необходимо потребовать :

                                                           (9)

Границы зависят от h, если | lmax | велико, то h должно быть очень мало. Для определения условия окончания итераций рассмотрим случай одного уравнения:

  1.  Метод ускоренных итераций

Метод ускоренных итераций – модификация метода итераций Якоби

                           (10)

где a - параметр ускорения.

Если a=0, то получаем простые итерации.

Условие сходимости введем тем же путем.

Точное решение

                        (11)

Вычитая (11) из (10) и пользуясь теоремой о среднем, получаем:

                       (12)                                             

Условие сходимости

 

  или      ,                    (13)

здесь I – единичная матрица.

3. Итерационный метод Ньютона-Рафсона.

Метод описывается формулой

                   (14)

где An+1(s) – матрица Якоби f `x, оцененная в точке x(tn), однократное применение итерации соответствует решению параметризованной формы. Найдем условие сходимости.

Следуя вышеприведенной последовательности действий, получим:

               (15)

Применение (14) является неэффективной процедурой: необходимо вычислить  на каждой итерации.

4. Обратные итерации.

Рассмотренные выше методы можно отнести к прямым итерациям, т.к. они проходят следующим путем: берем приближение, подставляем в правую часть рекуррентного выражения, затем вычисляем новое приближение и подставляем в правую часть и т.д.

Аналогично можно сформировать уравнения с обратными итерациями в виде:

                                            (16)

которые требуют решения неявных уравнений.

Следуя обычной процедуре, запишем:

Условие сходимости:

    или             –  нижняя граница на h.

Краткие выводы:

Итерации Якоби и ускоренные итерации легко реализуются, но сходимость зависит от максимального собственного значения матрицы Якоби. Если |lmax | велико, то шаг мал.

Условиям сходимости метода Ньютона посвящено много литературы. Итерации Ньютона имеют большую область сходимости, чем простые и ускоренные. Зато обратные итерации имеют громадную область сходимости из-за наличия нелинейной границы на h, но существует проблема решения неявных уравнений.

     Рекомендации:

Если число обусловленности меньше 10, рекомендуется применять простые или ускоренные итерации, иначе использовать итерационный метод Ньютона или методы обратных итераций с выбором шага на основе желаемого числа итераций на шаг. Оптимальное число итераций в корректирующей формуле  – 2.

    1. Если корректирующая формула в методе не итерируется, то устойчивость метода зависит как от предсказывающих, так и от корректирующих формул.

    2. Если корректирующая формула итерируется, то нет уверенности, что устойчивость зависит от корректирующей формулы.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9041. Культура и цивилизация в философии 15.53 KB
  Культура и цивилизация. Культура в философии – диалектическая противоположность понятия природа. Природа - синоним естественного, преднаходимого. Культура - то дополнительное, что привнесено деятельностью человека. В широком смысле культ...
9042. КАТЕГОРИЯ МАТЕРИЯ В ФИЛОСОФИИ И НАУКЕ 14.13 KB
  Категория материя в философии и науке. В философии (в отличие от естественно-научной трактовки) под материей понимается субстанция как первооснова и первопричина всего сущего, источник многообразия реального мира в его целостности и единстве. ...
9043. ФИЛОСОФИЯ МИЛЕТСКОЙ ШКОЛЫ 15.2 KB
  Философия Милетской школы. Античная философия сформировалась в VIII-VII вв. до н.э. К этому существовало несколько предпосылок: развитие демократии, оживленная торговля, развитое ремесло, развитие культуры и искусства. Первые философские системы был...
9044. Методы научного познания. Наука - целостная динамическая система 13.43 KB
  Методы научного познания. Наука - целостная динамическая система. В философии наука рассматривается с точки зрения научного познания. Научное познание отличается от любого другого. Критерии научности - совокупность нормативных правил...
9045. Стадиальная и цивилизационная парадигмы общественного развития в философии 15.01 KB
  Стадиальная и цивилизационная парадигмы общественного развития в философии. Общественную жизнь нельзя представить как нечто застывшее, неизменное, раз и навсегда данное. Общество постоянно находится в изменении, развитии. Это развитие многолико и сл...
9046. Идея общественного прогресса и его критериев 15.49 KB
  Идея общественного прогресса и его критериев. При осмыслении процесса развития общества неизменно возникает вопрос и о том, какова его направленность, то есть регрессивно или прогрессивно его движение. В философии по этому поводу создавались и разви...
9047. ПИФАГОР И ПИФАГОРЕЙЦЫ 14.55 KB
  Пифагор и пифагорейцы. Основателем пифагорейства является Пифагор Самосский (580-500 гг.). Пифагор был учеником Анаксимандра, а также изучал математику и астрономию в Египте. Особенностью изучения пифагорейства является то, что письменных трудов Пиф...
9048. Философия Платона - образец классического объективного идеализма 14.72 KB
  Философия Платона. Платон (также Аристокл, 427-347 гг.), как ученик Сократа, продолжает изучать этические и политические проблемы, обращаясь, однако,, и к космологическим вопросам. Около 387 г. он основывает в Афинах специальную школу - Академи...
9049. Политика в общественной жизни людей. Государство и его роль в развитии общества 14.08 KB
  Политика в общественной жизни людей. Государство и его роль в развитии общества. Политика - специфическая сфера общественной жизни. Политика есть стремление к участию во власти или оказанию влияние на распределение власти между различными...