18525

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...

Русский

2013-07-08

108.5 KB

6 чел.

Лекция 5

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона. Обратные итерации

При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду линейного многошагового метода. Проанализируем сходимость решения нелинейных алгебраических уравнений.

Требуется решить неявное уравнение:

                        (1)

т.к.  член под знаком суммы известен, то заменим его на wn, тогда  выражение (1) принимает вид:

                                           (2)

Необходимо определить . Рассмотрим некоторые варианты решения.

  1.  Метод простых итераций (метод Якоби).

Формула метода простых итераций

                                        (3)

Пусть x* - точное решение (2), тогда

                                        (4)

 Вычитая, получим

                                         (5)

  

Используя теорему о среднем, получим:

                                   (6)

где  

По условию Липшица  тогда

                                      (7)

      По индукции

                                 (6)  

Принимая во внимание теорему о единственности решения, необходимое и достаточное решение о сходимости итерационного процесса Якоби имеет вид:

                                                             (7)

   

Т.к. L £ | lmax|, наибольшее собственное значение матрицы -.                                                                                                                 

Если условие удовлетворено, то итерации Якоби сходятся к единственному решению.

                                                                (8)

Для быстрой сходимости необходимо потребовать :

                                                           (9)

Границы зависят от h, если | lmax | велико, то h должно быть очень мало. Для определения условия окончания итераций рассмотрим случай одного уравнения:

  1.  Метод ускоренных итераций

Метод ускоренных итераций – модификация метода итераций Якоби

                           (10)

где a - параметр ускорения.

Если a=0, то получаем простые итерации.

Условие сходимости введем тем же путем.

Точное решение

                        (11)

Вычитая (11) из (10) и пользуясь теоремой о среднем, получаем:

                       (12)                                             

Условие сходимости

 

  или      ,                    (13)

здесь I – единичная матрица.

3. Итерационный метод Ньютона-Рафсона.

Метод описывается формулой

                   (14)

где An+1(s) – матрица Якоби f `x, оцененная в точке x(tn), однократное применение итерации соответствует решению параметризованной формы. Найдем условие сходимости.

Следуя вышеприведенной последовательности действий, получим:

               (15)

Применение (14) является неэффективной процедурой: необходимо вычислить  на каждой итерации.

4. Обратные итерации.

Рассмотренные выше методы можно отнести к прямым итерациям, т.к. они проходят следующим путем: берем приближение, подставляем в правую часть рекуррентного выражения, затем вычисляем новое приближение и подставляем в правую часть и т.д.

Аналогично можно сформировать уравнения с обратными итерациями в виде:

                                            (16)

которые требуют решения неявных уравнений.

Следуя обычной процедуре, запишем:

Условие сходимости:

    или             –  нижняя граница на h.

Краткие выводы:

Итерации Якоби и ускоренные итерации легко реализуются, но сходимость зависит от максимального собственного значения матрицы Якоби. Если |lmax | велико, то шаг мал.

Условиям сходимости метода Ньютона посвящено много литературы. Итерации Ньютона имеют большую область сходимости, чем простые и ускоренные. Зато обратные итерации имеют громадную область сходимости из-за наличия нелинейной границы на h, но существует проблема решения неявных уравнений.

     Рекомендации:

Если число обусловленности меньше 10, рекомендуется применять простые или ускоренные итерации, иначе использовать итерационный метод Ньютона или методы обратных итераций с выбором шага на основе желаемого числа итераций на шаг. Оптимальное число итераций в корректирующей формуле  – 2.

    1. Если корректирующая формула в методе не итерируется, то устойчивость метода зависит как от предсказывающих, так и от корректирующих формул.

    2. Если корректирующая формула итерируется, то нет уверенности, что устойчивость зависит от корректирующей формулы.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75365. СУТНІСНА ХАРАКТЕРИСТИКА ПОТЕНЦІАЛУ ПІДПРИЄМСТВА 134 KB
  Властивості потенціалу підприємства. Воблого знайшло обґрунтування поняття потенціалу виробничих сил як потенційної можливості країни виробляти матеріальні блага для задоволення потреб населення. До складових потенціалу в цьому розумінні відносять відповідні трудові матеріальні фінансові та інформаційні ресурси які залучаються у сферу вдосконалення виробництва.
75366. МЕТОДИЧНІ ПІДХОДИ ДО ОЦІНЮВАННЯ ПОТЕНЦІАЛУ ПІДПРИЄМСТВА 333.5 KB
  У випадку визначення майбутньої корисності від господарського використання об’єкту тобто розміру чистого потоку капіталу отриманого інвесторомвласником від експлуатації земельної ділянки будівлі чи споруди очевидно що аналітик апріорі розраховує можливу вартість об’єкту. Усі мультиплікатори поділяються на дві групи у залежності від виокремленої ознаки: Залежно від бази порівняння: ресурсні мультиплікатори у якості бази порівняння беруться суми витрат наприклад вартість капітал підприємства; результатні мультиплікатори у якості...
75367. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ОЦІНЮВАННЯ ПОТЕНЦІАЛУ ПІДПРИЄМСТВА 142 KB
  Визначити вартість основних виробничих фондів і оборотних фондів досить легко але дати вартісну оцінку трудових ресурсів можна лише непрямим шляхом і з достатнім ступенем умовності що посилюється ще і тим що для живої праці визначальне значення мають її якісні характеристики. Поняття вартості та її модифікації Вартість – це гроші чи грошовий еквівалент який покупець готовий обміняти на якийнебудь предмет чи обєкт. Вартість – це міра того скільки гіпотетичний покупець готовий заплатити за оцінювану вартість. Витрати впливають на ринкову...
75368. Розвиток підприємства: зміст, сучасні концепції та передумови 831 KB
  Розвиток підприємства: зміст сучасні концепції та передумови Поняття економічного розвитку підприємства Підприємницька діяльність передбачає динамічність розвиток і зростання. Його джерелами для підприємства виступають вміння максимально задіяти внутрішні ресурси наявність добре розвинених видів діяльності та ринків збуту постійний процес розробки та впровадження інновацій здатність швидко реагувати на зміни на ринку і використовувати надані можливості. Економічне зростання підприємства розглядають насамперед як необхідну умову...
75370. ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ 700.5 KB
  Широкополосный разветвитель или же разветвитель нечувствительный к длине волны устройство работающее в двух окнах прозрачности: 1310 и 1550 нм. Другими словами вносимые потери должны быть одинаковы для любой длины волны в одном из окон. Мультиплексоры-демультиплексоры с разделением по длине волны устройства ветвления формально ничем не отличающиеся от разветвителей.
75371. Обзор нелинейных оптических эффектов в стеклянном волокне 408.5 KB
  Четырехволновое смешение Для тех кто пришел из радиосвязи или беспроводной радиосвязи четырехволновое смешение ЧВС напоминает нам продукты третьего порядка. ЧВС заявляет о себе появлением побочных сигналов некоторые из которых могут соответствовать частотам рабочих каналов.5 ЧВС может возникать даже в одноканальных системах между рабочим сигналом и составляющими SE ОУ а также между основной и боковыми модами. Две оптических волны распространяющиеся вдоль волокна генерируют ЧВС с высокой степенью эффективности если согласуются...
75372. Интерферометр Майкельсона 476.5 KB
  Время измерения определяется только пропускной способностью электронного тракта и может составлять сотые доли микросекунды скорость счета полос 100 МГц что соответствует скорости приращения L 16 м с. Минимальную погрешность измерения расстояния определяет дискрета счета. Частота частотной модуляции аналогично частоте фазовой модуляции ограничивает время измерения. Тогда время однократного измерения фазы определяется временем задержки фазоизмерительного устройства и составляет для современных ЛИС около 10 мкс.
75373. ЭФФЕКТ САНЬЯКА 371 KB
  Эффект Саньяка является следствием релятивистского закона сложения скоростей: линейной скорости вращения интерферометра и фазовых скоростей встречных волн. В случае использования встречных электромагнитных волн с длиной волны  различие времен распространения Т приводит к появлению разности фаз : . 2 Если все элементы интерферометра расположены на вращающейся платформе разность фаз встречных волн не зависит от показателя преломления и дисперсии среды в которой они распространяются....