18525

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...

Русский

2013-07-08

108.5 KB

6 чел.

Лекция 5

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона. Обратные итерации

При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду линейного многошагового метода. Проанализируем сходимость решения нелинейных алгебраических уравнений.

Требуется решить неявное уравнение:

                        (1)

т.к.  член под знаком суммы известен, то заменим его на wn, тогда  выражение (1) принимает вид:

                                           (2)

Необходимо определить . Рассмотрим некоторые варианты решения.

  1.  Метод простых итераций (метод Якоби).

Формула метода простых итераций

                                        (3)

Пусть x* - точное решение (2), тогда

                                        (4)

 Вычитая, получим

                                         (5)

  

Используя теорему о среднем, получим:

                                   (6)

где  

По условию Липшица  тогда

                                      (7)

      По индукции

                                 (6)  

Принимая во внимание теорему о единственности решения, необходимое и достаточное решение о сходимости итерационного процесса Якоби имеет вид:

                                                             (7)

   

Т.к. L £ | lmax|, наибольшее собственное значение матрицы -.                                                                                                                 

Если условие удовлетворено, то итерации Якоби сходятся к единственному решению.

                                                                (8)

Для быстрой сходимости необходимо потребовать :

                                                           (9)

Границы зависят от h, если | lmax | велико, то h должно быть очень мало. Для определения условия окончания итераций рассмотрим случай одного уравнения:

  1.  Метод ускоренных итераций

Метод ускоренных итераций – модификация метода итераций Якоби

                           (10)

где a - параметр ускорения.

Если a=0, то получаем простые итерации.

Условие сходимости введем тем же путем.

Точное решение

                        (11)

Вычитая (11) из (10) и пользуясь теоремой о среднем, получаем:

                       (12)                                             

Условие сходимости

 

  или      ,                    (13)

здесь I – единичная матрица.

3. Итерационный метод Ньютона-Рафсона.

Метод описывается формулой

                   (14)

где An+1(s) – матрица Якоби f `x, оцененная в точке x(tn), однократное применение итерации соответствует решению параметризованной формы. Найдем условие сходимости.

Следуя вышеприведенной последовательности действий, получим:

               (15)

Применение (14) является неэффективной процедурой: необходимо вычислить  на каждой итерации.

4. Обратные итерации.

Рассмотренные выше методы можно отнести к прямым итерациям, т.к. они проходят следующим путем: берем приближение, подставляем в правую часть рекуррентного выражения, затем вычисляем новое приближение и подставляем в правую часть и т.д.

Аналогично можно сформировать уравнения с обратными итерациями в виде:

                                            (16)

которые требуют решения неявных уравнений.

Следуя обычной процедуре, запишем:

Условие сходимости:

    или             –  нижняя граница на h.

Краткие выводы:

Итерации Якоби и ускоренные итерации легко реализуются, но сходимость зависит от максимального собственного значения матрицы Якоби. Если |lmax | велико, то шаг мал.

Условиям сходимости метода Ньютона посвящено много литературы. Итерации Ньютона имеют большую область сходимости, чем простые и ускоренные. Зато обратные итерации имеют громадную область сходимости из-за наличия нелинейной границы на h, но существует проблема решения неявных уравнений.

     Рекомендации:

Если число обусловленности меньше 10, рекомендуется применять простые или ускоренные итерации, иначе использовать итерационный метод Ньютона или методы обратных итераций с выбором шага на основе желаемого числа итераций на шаг. Оптимальное число итераций в корректирующей формуле  – 2.

    1. Если корректирующая формула в методе не итерируется, то устойчивость метода зависит как от предсказывающих, так и от корректирующих формул.

    2. Если корректирующая формула итерируется, то нет уверенности, что устойчивость зависит от корректирующей формулы.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43719. Система навчання гуманітаріїв фізичним дисциплінам 528.79 KB
  Додатковим чинником модернізації вітчизняної педагогіки послужила реформація європейської освіти в руслі Болонського процесу Така реформація по суті є процесом створення єдиного простору європейської вищої освіти як магістрального напрямку розвитку мобільності громадян із можливістю їх післядипломного працевлаштування у будьякій країні Євросоюзу. Ця спрямованість призвела до переходу вищої освіти України на Болонську систему Необхідним стає оновлення змісту навчання в руслі реалізації основних вимог Болонського процесу:...
43720. Дослідження конкурентоспроможності сільськогосподарської продукції ТОВ «Промінь-Приват» 211.61 KB
  Це визначається винятковим значенням аграрного підприємства у забезпеченні сталого розвитку аграрного ринку здійсненні зовнішньоекономічних звязків створення продовольчої безпеки держави. Тільки конкурентоспроможні підприємства можуть виробляти продовольчу продукцію у відповідності до вимог міжнародних стандартів та зможуть використати переваги міжнародного співробітництва у інвестуванні кредитуванні сертифікації страхуванні науковотехнічному забезпеченні сільськогосподарського виробництва та реалізації продовольчих товарів. Тому...
43721. Создание АРМ «Отдел кадров» для фирмы ИП «Никитин А.А.» 150.43 KB
  На каждом предприятии есть такое структурное подразделение как отдел кадров. Сотрудники отдела кадров должны быстро и качественно собирать информацию о человеке обработать ее проверить ее а затем предоставить начальству. Отдел кадров это место куда стекается информация о рабочих предприятия. В отделе кадров содержится информация о людях работающих на данном предприятии.
43722. Агломерационный процесс. Релейная защита присоединений ГПП 1.78 MB
  Их электроснабжение может осуществляться от одного источника питания при условии что перерывы электроснабжения не превышают одних суток.1 картограмма нагрузок Выбор сечения кабельных линий отходящих присоединений Сеть внутреннего электроснабжения выполнена по радиальной схеме с питанием каждой подстанции цехов по двум цепям поэтому производим выбор сечения жил кабелей по длительно допустимому току. Л5 РП5 3351 97 81 АСБУ3x95 Выполним проверку по максимально допустимому току таблица 1.4 максимальным расчетным током будем...
43723. Запуск программы Sony Vegas Pro CS 8.0 80.96 MB
  Главной рабочей областью является монтажная область где будут проходить все операции с видео и аудиодорожками нашего ролика.3 Импорт Информации Для создания видео ролика в программе Sony Vegs Pro в любом случае нам понадобится материал то есть фото видео музыка и другие необходимые медиафайлы.4 Монтаж Прежде чем начать монтаж видео мы запускаем программу ищем нужные нам файлы . Перетаскивание файла в программу Потом переносим их на видео дорожку.
43724. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ТЕРМОФОРМОВОЧНОЙ УСТАНОВКОЙ 1.38 MB
  Термоформовка является одним из основных методов переработки полимерных материалов, объединяя несколько технологических методов: вакуумный, пневматический, механический, а также их различные комбинации. Широкое распространение процессов термоформовки объясняется простотой, компактностью, относительной дешевизной используемого оборудования и технологической оснастки.
43725. ПРИСВОЕНИЕ И РАССТРАТА, СОСТАВ И ВИДЫ ПРЕСТУПЛЕНИЯ 90.17 KB
  Уголовно-правовая характеристика хищения чужого имущества Понятие хищения чужого имущества Хищение чужого имущества совершенное путем присвоения и растраты. В своей работе я дам понятие хищения против собственности затрону тему хищения чужого имущества и уделю особое внимание таким формам хищения как присвоение и растрата.
43726. Применение среды программирования LabVIEW для создания виртуального лабораторного практикума 2.39 MB
  Применение среды программирования LbVIEW для создания виртуального лабораторного практикума Обзор литературы по LbVIEW Обзор среды графического программирования LbVIEW LbVIEW как интегрированная среда разработки Виртуальные приборы Передняя панель Блок диаграмма Терминал Узел Провод Порядок выполнения виртуального прибора Типы данных Примером может служить система LbVIEW фирмы Ntionl Instruments. Так например приложения создаваемые в системе LbVIEW занимают примерно 253 Мбайт...