18525

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...

Русский

2013-07-08

108.5 KB

6 чел.

Лекция 5

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона. Обратные итерации

При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду линейного многошагового метода. Проанализируем сходимость решения нелинейных алгебраических уравнений.

Требуется решить неявное уравнение:

                        (1)

т.к.  член под знаком суммы известен, то заменим его на wn, тогда  выражение (1) принимает вид:

                                           (2)

Необходимо определить . Рассмотрим некоторые варианты решения.

  1.  Метод простых итераций (метод Якоби).

Формула метода простых итераций

                                        (3)

Пусть x* - точное решение (2), тогда

                                        (4)

 Вычитая, получим

                                         (5)

  

Используя теорему о среднем, получим:

                                   (6)

где  

По условию Липшица  тогда

                                      (7)

      По индукции

                                 (6)  

Принимая во внимание теорему о единственности решения, необходимое и достаточное решение о сходимости итерационного процесса Якоби имеет вид:

                                                             (7)

   

Т.к. L £ | lmax|, наибольшее собственное значение матрицы -.                                                                                                                 

Если условие удовлетворено, то итерации Якоби сходятся к единственному решению.

                                                                (8)

Для быстрой сходимости необходимо потребовать :

                                                           (9)

Границы зависят от h, если | lmax | велико, то h должно быть очень мало. Для определения условия окончания итераций рассмотрим случай одного уравнения:

  1.  Метод ускоренных итераций

Метод ускоренных итераций – модификация метода итераций Якоби

                           (10)

где a - параметр ускорения.

Если a=0, то получаем простые итерации.

Условие сходимости введем тем же путем.

Точное решение

                        (11)

Вычитая (11) из (10) и пользуясь теоремой о среднем, получаем:

                       (12)                                             

Условие сходимости

 

  или      ,                    (13)

здесь I – единичная матрица.

3. Итерационный метод Ньютона-Рафсона.

Метод описывается формулой

                   (14)

где An+1(s) – матрица Якоби f `x, оцененная в точке x(tn), однократное применение итерации соответствует решению параметризованной формы. Найдем условие сходимости.

Следуя вышеприведенной последовательности действий, получим:

               (15)

Применение (14) является неэффективной процедурой: необходимо вычислить  на каждой итерации.

4. Обратные итерации.

Рассмотренные выше методы можно отнести к прямым итерациям, т.к. они проходят следующим путем: берем приближение, подставляем в правую часть рекуррентного выражения, затем вычисляем новое приближение и подставляем в правую часть и т.д.

Аналогично можно сформировать уравнения с обратными итерациями в виде:

                                            (16)

которые требуют решения неявных уравнений.

Следуя обычной процедуре, запишем:

Условие сходимости:

    или             –  нижняя граница на h.

Краткие выводы:

Итерации Якоби и ускоренные итерации легко реализуются, но сходимость зависит от максимального собственного значения матрицы Якоби. Если |lmax | велико, то шаг мал.

Условиям сходимости метода Ньютона посвящено много литературы. Итерации Ньютона имеют большую область сходимости, чем простые и ускоренные. Зато обратные итерации имеют громадную область сходимости из-за наличия нелинейной границы на h, но существует проблема решения неявных уравнений.

     Рекомендации:

Если число обусловленности меньше 10, рекомендуется применять простые или ускоренные итерации, иначе использовать итерационный метод Ньютона или методы обратных итераций с выбором шага на основе желаемого числа итераций на шаг. Оптимальное число итераций в корректирующей формуле  – 2.

    1. Если корректирующая формула в методе не итерируется, то устойчивость метода зависит как от предсказывающих, так и от корректирующих формул.

    2. Если корректирующая формула итерируется, то нет уверенности, что устойчивость зависит от корректирующей формулы.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54212. Дослідження таблиці додавання. Різні прийоми додавання одноцифрових чисел. Закріплення додавання багатоцифрових чисел з переходом через розряд та складання і розвязування задач за схемами 78 KB
  Продовжувати роботу над дослідженням таблиці додавання. Ознайомлення з властивостями додавання числа 9 і до числа 9. Закріпити вміння додавати багатоцифрові числа з переходом через розряд. Вдосконалювати вміння складати і розв’язувати задачі до схеми; розв’язувати рівняння.
54213. Закріплення табличного множення і ділення 826.5 KB
  Множення і ділення виконує перевірку множення і ділення знаходить половину третину чверть іисла; розуміє залежність результату дії множення ділення від зміни ОДНОГО 3 компонентів високий достатній середній Завдання 11 Завдання 5 Завдання 3 2.і і Завдання 6 3. Рівняння і нерівності розвязує рівняння 3 одним невідомим; наводить приклад змінної яке...
54214. Нахождение неизвестного делителя. Задачи в два действия. Составление и решение выражений 45.5 KB
  Неизвестное число разделили на 6 и получили 5. Найдите неизвестное число. Неизвестное число уменьшили на 7 и получили 89. Чему равно неизвестное число Неизвестное число уменьшили в 6 раз и получили 7.
54216. Ділення багатоцифрових чисел на трицифрові, коли частка містить нулі 176 KB
  Мета: вчити учнів письмовому діленню багатоцифрових чисел на трицифрові, коли в частці є нулі; удосконалювати знання і навички учнів у розв’язані задач; розвивати обчислювальні навички, логічні мислення, кругозір учнів, уяву, спостережливість, раціональність думки; виховувати інтерес до математики, охайність в записах, бережливе ставлення до природи.
54217. Культура Древнего Египта и ее основные особенности 16.48 KB
  На северо-востоке Африки находится родина древнейшей в мире цивилизации – Египет. 4 – 3-м тысячелетии до н.э., когда обитавшие в Средней Европе варварские племена еще носили звериные шкуры и жили в пещерах...
54218. Узагальнення з теми «Числові та буквені вирази. Формули. Рівняння» 50.5 KB
  Питання для першої команди: Що значить розв’язати рівняння Сформулюйте властивість віднімання суми від числа. Сформулюйте властивість нуля при додаванні. Як знайти невідомий від’ємник Як перевірити чи вірно розв’язано рівняння Питання для другої команди: Який вираз називають буквеним Сформулюйте властивість нуля при відніманні. Як знайти невідомий доданок Сформулюйте сполучну властивість додавання.
54219. Десятичные дроби. Урок-соревнование в 5-м классе 35.5 KB
  Оборудование: Компьютер, мультимедийный проектор, карточки для деления класса на команды, жетоны для оценивания ответов, колокольчики, призы победителям.