18525

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...

Русский

2013-07-08

108.5 KB

6 чел.

Лекция 5

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона. Обратные итерации

При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду линейного многошагового метода. Проанализируем сходимость решения нелинейных алгебраических уравнений.

Требуется решить неявное уравнение:

                        (1)

т.к.  член под знаком суммы известен, то заменим его на wn, тогда  выражение (1) принимает вид:

                                           (2)

Необходимо определить . Рассмотрим некоторые варианты решения.

  1.  Метод простых итераций (метод Якоби).

Формула метода простых итераций

                                        (3)

Пусть x* - точное решение (2), тогда

                                        (4)

 Вычитая, получим

                                         (5)

  

Используя теорему о среднем, получим:

                                   (6)

где  

По условию Липшица  тогда

                                      (7)

      По индукции

                                 (6)  

Принимая во внимание теорему о единственности решения, необходимое и достаточное решение о сходимости итерационного процесса Якоби имеет вид:

                                                             (7)

   

Т.к. L £ | lmax|, наибольшее собственное значение матрицы -.                                                                                                                 

Если условие удовлетворено, то итерации Якоби сходятся к единственному решению.

                                                                (8)

Для быстрой сходимости необходимо потребовать :

                                                           (9)

Границы зависят от h, если | lmax | велико, то h должно быть очень мало. Для определения условия окончания итераций рассмотрим случай одного уравнения:

  1.  Метод ускоренных итераций

Метод ускоренных итераций – модификация метода итераций Якоби

                           (10)

где a - параметр ускорения.

Если a=0, то получаем простые итерации.

Условие сходимости введем тем же путем.

Точное решение

                        (11)

Вычитая (11) из (10) и пользуясь теоремой о среднем, получаем:

                       (12)                                             

Условие сходимости

 

  или      ,                    (13)

здесь I – единичная матрица.

3. Итерационный метод Ньютона-Рафсона.

Метод описывается формулой

                   (14)

где An+1(s) – матрица Якоби f `x, оцененная в точке x(tn), однократное применение итерации соответствует решению параметризованной формы. Найдем условие сходимости.

Следуя вышеприведенной последовательности действий, получим:

               (15)

Применение (14) является неэффективной процедурой: необходимо вычислить  на каждой итерации.

4. Обратные итерации.

Рассмотренные выше методы можно отнести к прямым итерациям, т.к. они проходят следующим путем: берем приближение, подставляем в правую часть рекуррентного выражения, затем вычисляем новое приближение и подставляем в правую часть и т.д.

Аналогично можно сформировать уравнения с обратными итерациями в виде:

                                            (16)

которые требуют решения неявных уравнений.

Следуя обычной процедуре, запишем:

Условие сходимости:

    или             –  нижняя граница на h.

Краткие выводы:

Итерации Якоби и ускоренные итерации легко реализуются, но сходимость зависит от максимального собственного значения матрицы Якоби. Если |lmax | велико, то шаг мал.

Условиям сходимости метода Ньютона посвящено много литературы. Итерации Ньютона имеют большую область сходимости, чем простые и ускоренные. Зато обратные итерации имеют громадную область сходимости из-за наличия нелинейной границы на h, но существует проблема решения неявных уравнений.

     Рекомендации:

Если число обусловленности меньше 10, рекомендуется применять простые или ускоренные итерации, иначе использовать итерационный метод Ньютона или методы обратных итераций с выбором шага на основе желаемого числа итераций на шаг. Оптимальное число итераций в корректирующей формуле  – 2.

    1. Если корректирующая формула в методе не итерируется, то устойчивость метода зависит как от предсказывающих, так и от корректирующих формул.

    2. Если корректирующая формула итерируется, то нет уверенности, что устойчивость зависит от корректирующей формулы.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29498. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ПРОБЛЕМЕ СОЦИАЛЬНОЙ ЭЛИТЫ 141.5 KB
  Но каждое время то есть каждая социальная ситуация выбирает поддерживает пестует продвигает подходящий для нее тип человека. Если на поверхности советской системы находился человек послушнокарьерный то с ее распадом на переднем плане в политической жизни бизнесе медиа социальнонаучной сфере и около них оказался человек ловкий ориентированный на ближайший успех и не связанный ни ценностными ни социальногрупповыми рамками ответственности. Массовый человек ориентируется практически не на те звездные образцы политкумиров...
29499. «СРЕДНИЙ ЧЕЛОВЕК»: ФИКЦИЯ ИЛИ РЕАЛЬНОСТЬ 102 KB
  В соответствии с такой исследовательской ориентацией предметом рассмотрения прежде всего становится человек как респондент массового исследования а лишь затем возникает проблема социальногрупповой типологии. в рамках исследовательской программы Советский человек. Средний показатель I высшая 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 III 3 4 3 2 3 3 3 IV 6 5 6 4 7 6 5 V 21 20 24 21 19 19 20 VI 17 11 15 14 13 13 12 VII 18 13 14 16 16 15 15 VIII 12 16 15 15 16 18 15 IX 9 11 10 10 10 10 9 X низшая 8 17 13 16 15 14 14 Средний статус 626 697 675...
29500. ИНДИКАТОРЫ И ПАРАДИГМЫ КУЛЬТУРЫ В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ 109 KB
  Нужен какойто переход к теоретическому уровню анализа построению работоспособных гипотез и моделей культуры или как было предложено Т. Исходное предположение состоит в том что получаемые исследователями в массовых опросах глубоких интервью статистике данные относятся к состоянию видимых терминалов скрытого от невооруженного глаза сложного и в определенном смысле целостного механизма культуры. Перемены социальные и культурные: разные шкалы времени Понятно что все феномены и процессы культуры могут существовать реально только в...
29501. ФЕНОМЕН ВЛАСТИ В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ: ПАРАДОКСЫ И СТЕРЕОТИПЫ ВОСПРИЯТИЯ 123.5 KB
  При этом за пределами внимания остаются особенности представлений о природе и функциях власти присущие массовому сознанию современного общества. Необходимые разграничения В нашем общественном мнении обычно слабо различаются механизмы и функции власти структура властных институтов роли и действия конкретных лиц наделенных властью. Многочисленные опросные данные относительно доверия к социальным институтам регулярно публикуемые в журнале Мониторинг показывают существенные различия в отношении населения к власти федерального центра и...
29502. ИНДЕКСЫ СОЦИАЛЬНЫХ НАСТРОЕНИЙ В «НОРМЕ» И В КРИЗИСЕ 164 KB
  В последнее время большую международную известность приобрел индекс потребительских настроений который в нашей стране разрабатывается группой ИПНРоссия на основе регулярных мониторинговых исследований ВЦИОМ; его результаты широко освещаются в периодической печати в том числе в журнале Мониторинге общественного мнения2. По аналогичным методикам могут быть построены как частные так и сводный индексы социальных настроений и установок. По своей методологической природе любой сконструированный индекс величина искусственно полученная в...
29503. ПРОБЛЕМА ЭМОЦИОНАЛЬНОГО БАЛАНСА ОБЩЕСТВА 182.5 KB
  Высказанные им соображения о методологической слабости психологической трактовки распространенных в исследованиях общественного мнения в том числе и проведенных ВЦИОМ перечней различных страхов представляются вполне правомерными. Представляется полезным обсудить особенности природы и функций социальных страхов различных типов в их соотношении с другими компонентами эмоционального поля общества например интересами радостями позитивными оценками и переживаниями. Первое и важнейшее различение с которым приходится сталкиваться при...
29504. «ЧЕЛОВЕК СОВЕТСКИЙ» ПЯТЬ ЛЕТ СПУСТЯ: 1989-1994 (Предварительные итоги сравнительного исследования) 86 KB
  ВЦИОМ провел обширное исследование Советский человек результаты которого составили основу коллективной монографии2. было осуществлено новое исследование направленное на выявление изменений в установках ценностях нормативных структурах поведения человека в условиях социальных перемен и потрясений прошедшего периода. В первом исследовании было опрошено 2700 человек в нескольких республиках СССР в том числе 1325 человек в России во втором 3000 человек в различных регионах России.
29505. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ФЕНОМЕНУ «ЧЕЛОВЕКА СОВЕТСКОГО»: проблемы методологии анализа 89 KB
  Все это совершенно новые типы ориентаций не имеющие аналогов и корней в советской реальности или в традиционных характеристиках человека советского. В условиях продолжающегося кризиса государственно-политических институтов общества не только важнейшими показателями его состояния но в значительной мере и условием социального выживания являются именно те нормативные и ценностные структуры которые действуют на уровне социального человека то есть те которые интериоризированы в структуре усвоенных им ориентаций и рамок восприятия...
29506. ЧЕЛОВЕК В ПОИСКАХ ИДЕНТИЧНОСТИ: проблема социальных критериев 97 KB
  С мыслью о своем народе опрошенные по программе Советский человек в 1989 и 1994 гг. Место где я родился и вырос 40 41 Наше прошлое наша история 24 37 Территория на которой мы живем 10 25 Язык моего народа 22 19 Родная природа 16 18 Государство в котором я живу 28 17 Исследования по программе Советский человек 1989 г. N = 1325 человек и 1994 г. N = 3000 человек.