18525

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...

Русский

2013-07-08

108.5 KB

6 чел.

Лекция 5

Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона. Обратные итерации

При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду линейного многошагового метода. Проанализируем сходимость решения нелинейных алгебраических уравнений.

Требуется решить неявное уравнение:

                        (1)

т.к.  член под знаком суммы известен, то заменим его на wn, тогда  выражение (1) принимает вид:

                                           (2)

Необходимо определить . Рассмотрим некоторые варианты решения.

  1.  Метод простых итераций (метод Якоби).

Формула метода простых итераций

                                        (3)

Пусть x* - точное решение (2), тогда

                                        (4)

 Вычитая, получим

                                         (5)

  

Используя теорему о среднем, получим:

                                   (6)

где  

По условию Липшица  тогда

                                      (7)

      По индукции

                                 (6)  

Принимая во внимание теорему о единственности решения, необходимое и достаточное решение о сходимости итерационного процесса Якоби имеет вид:

                                                             (7)

   

Т.к. L £ | lmax|, наибольшее собственное значение матрицы -.                                                                                                                 

Если условие удовлетворено, то итерации Якоби сходятся к единственному решению.

                                                                (8)

Для быстрой сходимости необходимо потребовать :

                                                           (9)

Границы зависят от h, если | lmax | велико, то h должно быть очень мало. Для определения условия окончания итераций рассмотрим случай одного уравнения:

  1.  Метод ускоренных итераций

Метод ускоренных итераций – модификация метода итераций Якоби

                           (10)

где a - параметр ускорения.

Если a=0, то получаем простые итерации.

Условие сходимости введем тем же путем.

Точное решение

                        (11)

Вычитая (11) из (10) и пользуясь теоремой о среднем, получаем:

                       (12)                                             

Условие сходимости

 

  или      ,                    (13)

здесь I – единичная матрица.

3. Итерационный метод Ньютона-Рафсона.

Метод описывается формулой

                   (14)

где An+1(s) – матрица Якоби f `x, оцененная в точке x(tn), однократное применение итерации соответствует решению параметризованной формы. Найдем условие сходимости.

Следуя вышеприведенной последовательности действий, получим:

               (15)

Применение (14) является неэффективной процедурой: необходимо вычислить  на каждой итерации.

4. Обратные итерации.

Рассмотренные выше методы можно отнести к прямым итерациям, т.к. они проходят следующим путем: берем приближение, подставляем в правую часть рекуррентного выражения, затем вычисляем новое приближение и подставляем в правую часть и т.д.

Аналогично можно сформировать уравнения с обратными итерациями в виде:

                                            (16)

которые требуют решения неявных уравнений.

Следуя обычной процедуре, запишем:

Условие сходимости:

    или             –  нижняя граница на h.

Краткие выводы:

Итерации Якоби и ускоренные итерации легко реализуются, но сходимость зависит от максимального собственного значения матрицы Якоби. Если |lmax | велико, то шаг мал.

Условиям сходимости метода Ньютона посвящено много литературы. Итерации Ньютона имеют большую область сходимости, чем простые и ускоренные. Зато обратные итерации имеют громадную область сходимости из-за наличия нелинейной границы на h, но существует проблема решения неявных уравнений.

     Рекомендации:

Если число обусловленности меньше 10, рекомендуется применять простые или ускоренные итерации, иначе использовать итерационный метод Ньютона или методы обратных итераций с выбором шага на основе желаемого числа итераций на шаг. Оптимальное число итераций в корректирующей формуле  – 2.

    1. Если корректирующая формула в методе не итерируется, то устойчивость метода зависит как от предсказывающих, так и от корректирующих формул.

    2. Если корректирующая формула итерируется, то нет уверенности, что устойчивость зависит от корректирующей формулы.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43065. Социальные изменения. Понятие социального прогресса и модернизации 17 KB
  Понятием «социальные изменения» обозначаются различные перемены, происходящие в течение некоторого времени внутри социальных систем и во взаимоотношениях между ними, в обществе в целом как социальной системе.
43066. Рассчет и конструкция станочного приспособления для фрезерования двух канавок 301.5 KB
  Изучение закономерности влияния приспособления на точность и производительность выполняемых операций позволяет проектировать приспособления интенсифицирующее производство и повышающее его точность. Проводимая работа по унификации и стандартизации элементов приспособления создала основу для автоматизированного проектирования приспособлений с использованием ЭВМ и автоматов для графического изображения что приводит к ускорению технологической подготовке производства.1 Назначение устройство и принцип работы проектируемого приспособления.2...
43067. Проектирование АТП по перевозке строительных грузов (кирпичи, песок, и т.д.) по Сибири 487 KB
  Реализация потенциальных свойств автомобиля, заложенных при его создании, снижение затрат на содержание, ТО и ремонт, уменьшение соответствующих простоев, обеспечивающие повышение производительности, при одновременном снижении их себестоимости – основные задачи технической эксплуатации подвижного состава автомобильного транспорта.
43068. Расчет применения станков с ЧПУ 386.5 KB
  Характерной особенностью серийного производства является изготовление деталей партиями. Под размером партии деталей понимают число деталей, обрабатываемых с одной наладки оборудования.
43069. Расчет технико-экономических показателей строительного предприятия 313 KB
  Строительные процессы выполняемые вручную с использованием ручного инструмента и простейших приспособлений называют ручными; выполняемые с помощью электрических ручных машин электропилы электрорубанка и пр. Эффективность инвестиций может также устанавливаться при выражении результата в стоимостной а затрат в натуральной форме и наоборот когда затраты рассчитываются в рублях а результат в натуральных измерителях.
43070. Подземная разработка месторождений полезных ископаемых 427.5 KB
  В настоящих методических указаниях поставлена задача освоить методы и приемы применяемые проектными и научными организациями, при решении таких вопросов, как установление размеров очистных камер и целиков, определение рациональных параметров отбойки, выпуска и доставки руды, организации основных технологических процессов и др.
43071. Система автоматического управления электроприводом 6.2 MB
  Конструктивное исполнение всех двигателей со степенью защиты IP44 – станина с продольными радиальными ребрами и наружный обдув, установленным на валу реверсивным центробежным вентилятором, защищенным кожухом, предназначенным одновременно и для направления воздушного потока.
43072. Объединение региональных объединённых энергосистем в более мощную систему образует Единую энергетическую систему России 2.3 MB
  Одной из главных задач электроснабжения является обеспечить дальнейший экономический прогресс общества, глубокий качественный сдвиг в материально-технической базе на основе ускорения научно- технического прогресса, интенсификации общественного производства, повышение эффективности.
43073. Народное хозяйство и природно-климатические условия проектирования 88 KB
  Климат: почти вся территория Томской области находится в пределах таежной зоны. Климатические условия южных и северных районов Томской области заметно отличаются ввиду того что расстояние между северной и южной границами области по меридиану достигает 600 километров. Климатические характеристики северных районов области отличаются большей суровостью и продолжительностью зимнего сезона. На долю речных долин приходится 1 5 территории Томской области.