18532

Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Розвязування диференціальних рівнянь з частинними похідними Розвязування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD. Методичні матеріали до лабораторної роботи № 3 з курсу: Математичне моделювання в САПР д

Украинкский

2013-07-08

414.5 KB

33 чел.

ат. моделювання в САПР. Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними

Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD. Методичні матеріали до лабораторної роботи № 3 з курсу: “Математичне моделювання в САПР” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ютерні науки”.


1.
МЕТА РОБОТИ

Ознайомитися з основними функціями системи MATHCAD для дослідження математичних моделей у формі крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

2.ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1. ПОНЯТТЯ ПРО КРАЙОВІ ЗАДАЧІ, ПОЧАТКОВІ ТА ГРАНИЧНІ УМОВИ.

Більшість фізичних та науково-технічних задач зводиться до знаходження розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними. Важливий клас диференціальних рівнянь з частинними похідними складають лінійні рівняння другого порядку з  незалежними змінними, які у загальному випадку можна записати наступним чином:

. (1)

Найбільш поширеними частковими випадками рівняння (1) є: рівняння коливань, рівняння дифузії та стаціонарні рівняння.

Рівняння коливань має вигляд:

,   (2)

де невідома функція  залежить від просторових координат  і часу , коефіцієнти  визначаються властивостями середовища, в якому відбувається коливальний процес,  функція  виражає інтенсивність зовнішніх впливів, , . Рівняння (2) описує такі фізичні процеси як коливання струни, мембрани, тривимірних тіл, електромагнітні коливання і т.д. З рівняння (2), як частковий випадок, можна отримати класичне хвильове рівняння:

,  (3)

яке описує процеси поширення звуку та електромагнітних хвиль в однорідному середовищі. У двовимірному випадку хвильове рівняння (3) описує малі поперечні коливання мембрани, а в одновимірному  - такі фізичні процеси, як поперечні коливання струни та повздовжні коливання пружного стержня. Ввівши оператор Лапласа

хвильове рівняння (3) можна записати так

.      (4)

Рівняння дифузії

  (5)

описує процеси поширення тепла або дифузії частинок у деякому середовищі, яке характеризується функціями . Як частковий випадок, з рівняння (5) можна отримати класичне рівняння теплопровідності

,   (6)

де - питома теплоємність, -густина, - коефіцієнт теплопровідності середовища, в якому відбувається процес поширення тепла, - інтенсивність внутрішніх джерел тепла. Якщо середовище є ізотропним, тобто  - константи, то з рівняння (6) отримаємо

,     (7)

де  називається коефіцієнтом температуропровідності,  - густина джерел тепла. Якщо внутрішні джерела тепла відсутні, тобто , то з рівняння (7) отримаємо класичне рівняння Фур’є

.             (8)

Стаціонарні рівняння описують усталені процеси, в яких величини, що характеризують їх не залежать від часу. Тоді рівняння коливань (2) та дифузії (5) будуть мати вигляд:

.    (9)

При  і  рівняння (9) набуває вигляду

,      (10)

і називається рівнянням Пуасона, а при  отримуємо частковий випадок рівняння Пуасона, а саме рівняння Лапласа

.      (11)

Для того, щоб повністю описати той чи інший фізичний процес не достатньо мати лише рівняння, яке описує цей процес. Необхідно задати також початковий стан процесу, який описується початковими умовами та режим процесу на границі області, в якій протікає цей процес, що описується граничними умовами. Математично це пов’язано з тим, що диференціальні рівняння мають безліч розв’язків. Дійсно, навіть для звичайного диференціального рівняння -го порядку загальний розв’язок залежить від  довільних сталих. Для рівнянь з частковими похідними, загальний розв’язок залежить, в загальному випадку, від довільних функцій. Тому, для того, щоб виділити потрібний розв’язок з множини можливих розв’язків, який описує заданий реальний фізичний процес, необхідно задати додаткові умови, а саме початкові та граничні умови. Часто початкові та граничні умови об’єднують одним поняттям, а саме крайовими умовами. Тоді відповідна задача, тобто задача знаходження розв’язку заданого диференціального рівняння, який задовільняє заданим крайовим умовам, називається крайовою задачею.

Важливим питанням є скільки початкових та граничних умов потрібно накласти, щоб отримати єдиний розв’язок крайової задачі? Якщо в диференціальне рівняння входить похідна по часу -го порядку, то початкових умов має бути  і задаються вони на шукану функцію та її похідні по часу до  порядку включно. Найвищий порядок похідної за просторовими координатами визначає кількість граничних умов, які потрібно задати в кожній точці границі. Так, якщо цей порядок рівний , то в кожній точці границі необхідно задати  граничних умов. Розрізняють три типи граничних умов:

гранична умова І роду:

     (12)

гранична умова ІІ роду:

     (13)

гранична умова ІІІ роду:

         (14)

Узагальнюючи, граничні умови (12-14) можна записати наступним чином:

       (15)

де  і  - задані кусково-неперервні функції. Тоді умова (12) слідує з (15) як частковий випадок при  умова (13) – при  і умова (14) – при .

Розрізняють три основних типи  крайових задач для диференціальних рівнянь:

  •  Задача Коші: ставиться для рівнянь коливань та дифузії шляхом задання початкових умов, граничні умови відсутні;
  •  Крайова задача для стаціонарних рівнянь: задаються граничні умови, початкові умови відсутні;
  •  Змішана задача (початково-крайова задача): ставиться для рівнянь коливань та дифузії шляхом задання як початкових, так і граничних умов.

2.2. ФУНКЦІЇ MATHCAD РОЗВ’ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ

На відміну від звичайних диференціальних рівнянь, для розв’язання яких в системі MATHCAD передбачено більше десятка різноманітних функцій для різних типів рівнянь, існує лише дві функції, які дозволяють отримати розв’язок деяких диференціальних рівнянь з частинними похідними. Цими рівняннями є класичні рівняння Лапласа та рівняння Пуасона. Більше того, ці функції працюють тільки для областей квадратної форми і дозволяють задавати лише граничні умови I роду. Такий обмежений набір вбудованих функцій MATHCAD розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними зумовлений, по-перше, складністю розв’язання задач такого роду, а, по-друге, відсутністю уніфікованого підходу, який би враховував всі специфічні особливості, які виникають під час розв’язання конкретних крайових задач з різними граничними умовами в областях складної геометричної форми.

Для розв’язання крайової задачі для рівняння Пуасона з нульовими граничними умовами I роду використовується функція multigrid. Для ілюстрації синтаксису та правил використання даної функції розглянемо  класичну задачу знаходження температурного розподілу в квадратній області при заданих внутрішніх джерелах тепла та нульовій температурі на границі області. Математична формалізація (постановка) такої задачі буде мати вигляд: знайти функцію , яка задовільняє рівняння

в області

та граничну умову  , де функція  задає розподіл внутрішніх джерел тепла,  - границя квадратної області.

На рис.1 зображено документ MATHCAD, який містить програму розв’язання вказаної крайової задачі за допомогою функції multigrid  при заданому джерелі тепла інтенсивності  в центрі області.  Розглянемо його детальніше.

Рис.1. Приклад використання функції multigrid

Функція multigrid будує розв’язок першої крайової задачі для рівняння Пуасона на основі методу скінченних різниць. Даний метод базується на дискретизації вихідної області (яка у нашому випадку має форму квадрата), тобто покритті області множиною вузлів, і заміні частинних похідних на скінченно-різницеві співвідношення у цих вузлах. Тоді розв’язання вихідної крайової задачі методом скінченних різниць полягає в знаходженні таблиці значень шуканої функції  в заданих вузлах сітки. Спосіб побудови сітки залежить від геометрії області, для областей простої форми найчастіше вузли отримуються як точки перетину прямих, паралельних координатним осям. Тому спочатку потрібно задати кількість  цих прямих, що автоматично означатиме покриття області моделювання сіткою з  вузлів. Оскільки вхідними даними для заданої крайової задачі є лише функція внутрішніх джерел тепла, то нам потрібно у кожному внутрішньому вузлі сітки задати значення цієї функції. Для прикладу, нехай джерела тепла знаходяться у центрі квадратної області. Це означає, що нам потрібно правильно визначити позицію джерел тепла, яка задається індексами матриці  задання джерел тепла . У нашому випадку достатньо  задати два індекси, які будуть мати значення . Після цього залишається записати у відповідні елементи матриці  значення інтенсивності джерел тепла і задати цю матрицю як перший аргумент при виклику функції multigrid.

3.КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

  1.  Які типи диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку Ви знаєте?
  2.  Що таке граничні умови? Які є типи граничних умов?
  3.  Що таке крайова задача? Як формулюються основні типи крайових задач для диференціальних рівнянь?
  4.  Які функції системи MATHCAD використовуються для розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними? Які обмеження на них накладаються?

4.ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ

  1.  Ознайомитися з основними рівняннями для моделювання на компонентному рівні та відповідними функціями MATHCAD.
  2.  Знайти, використовуючи відповідну функцію MATHCAD, розв’язок рівняння Пуассона  у квадратній області розміру  (індивідуальні завдання наведені в Додатку). Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки.
  3.  Побудувати 3D графіки отриманого розв’язку та заданого точного розв’язку , а також лінії рівня в обох випадках. 
  4.  Оформити і здати звіт про виконання лабораторної роботи.

5.ЗМІСТ ЗВІТУ

  1.  Мета роботи.
  2.  Короткі теоретичні відомості.
  3.  Постановка задачі індивідуального завдання.
  4.  Оформлений належним чином (з коментарями, поясненнями та результатами) документ MATHCAD з програмою розв’язання завдання.
  5.  Аналіз результатів та висновки.

6.СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

  1.  В.Дьяконов. MATHCAD 8/2000: специальный справочник. – СПб: Питер,2001. -592 с.
  2.  Е. Макаров. Инженерные расчеты в MATHCAD. – СПб: Питер, 2002. -386 с.
  3.  http://www.mathcad.com.

ДОДАТОК

Знайти, використовуючи відповідну функцію MATHCAD, розв’язок рівняння Пуассона

у квадратній області розміру . Побудувати 3D графіки отриманого розв’язку та заданого точного розв’язку , а також лінії рівня в обох випадках. Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки.

№ з/п

1

2

2

0.5

3

1

4

5

4

6

4

1.5

7

1

8

3

9

0

2

10

11

2

12

1

13

4

1.5

14

15

2

3

16

2

17

1

18

9

19

-2

2.5

20

21

1.5

22

1

23

2

24

25

-2

0.5

26

27

1

28

3

29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28691. Столыпинская аграрная реформа и ее сущность 12.71 KB
  Столы́пинская агра́рная рефо́рма реформа крестьянского надельного землевладения в России проходившая с 1906 по 1917 гг. укрепление Крестьянского банка принудительное землеустройство законы от 14 июня 1910 и 29 мая 1911 и усиление переселенческой политики перемещение сельского населения центральных районов России на постоянное жительство в малонаселенные окраинные местности Сибирь Дальний Восток и Степной край как средство внутр. колонизации были направлены на ликвидацию крестьянского малоземелья интенсификацию хозной деятсти...
28692. Российская империя в годы первой мировой войны (1914-1918 гг.) 13.05 KB
  Российская империя в годы первой мировой войны 19141918 гг. В годы войны в составе правительства происходили частные смены как отдельных министров так и председателя Совета министров. Еще в начальный период войны патриотический подъем вызвал создание Всероссийского земского союза помощи раненым и Всероссийского союза городов.
28693. Изменение в государственном аппарате России в годы первой мировой войны: особые совещания, военно-промышленные комитеты, из роль и значение 13.13 KB
  Изменение в государственном аппарате России в годы первой мировой войны: особые совещания военнопромышленные комитеты из роль и значение. В качве новых форм управления промышленностью и капиталами были созданы военнопромышленные комитеты в задачи которых входило распределение военных заказов установление внутренней и внешней ценовой политики. было образовано более 200 областных и местных военнопромх комитетов во главе котх стоял Центральный военнопромышленный комитет. В состав Центрго военнопромго комитета входили представители...
28694. Февральская буржуазно-демократическая революция 1917 г. Установление двоевластия, его причины и сущность 13.63 KB
  Инициатива создания Советов исходила снизу от народа но позднее их возглавила социалистическая партия. Избранный Петроградский Совет возглавил систему Советов коте позже составили конкуренцию ВП. Советы возникали по всей стране в городах селах гарнизонах воинских частях на основе выборов проходивших на съездах Советов. Исполнитми органами Советов являлись испные комитеты волостные уездные губернские.
28695. I Всероссийский съезд Советов: состав и основные вопросы, рассмотренные на нем 11.63 KB
  I Всероссийский съезд Советов: состав и основные вопросы рассмотренные на нем. Важная роль в становлении Советского государства и государственного аппарата принадлежала Всероссийскому съезду Советов рабочих и солдатских депутатов. Съезд начал свою работу уже вечером 25 октября и провозгласил себя высшим органом власти в России. Съезд по расчетам большевиков должен был официально признать и легализовать захват власти Советами.
28696. Конец двоевластия и установление единовластия Временного правительства. Антинародная политика Временного правительства. Провозглашение России Республикой. Центральные и местные органы власти и управления 13.46 KB
  Конец двоевластия и установление единовластия Временного правительства. Антинародная политика Временного правительства. Центральные и местные органы власти и управления. На 1 съезде Советов рабочих и солдатских депутатов была принята резолюция о сотрудничестве с Временным праввом.
28697. Политическая и законотворческая деятельность Временного правительства по основным социально-политическим и экономическим проблемам страны 13.75 KB
  правво принимает ряд правовых актов значительно расширяющих демократиче права и свободы граждан. В марте принимается постановление О кооперативных товариществах и их союзах возникающих без особого разрешения правитвенной власти. Вместе с тем правво отказывся от некотх чрезвычх мер запретив аресты без суда и ограничив число областей объявленных на военном положи постановле О лицах арестованных во внесудом порядке.
28698. Октябрьское вооруженное восстание 1917 г. и установление диктатуры пролетариата в России 13.87 KB
  Комитет состоял из представителей армии профсоюзов фабричнозаводских комитетов военных секций Советов и др. Важная роль в становлении Советского государства и государственного аппарата принадлежала Всероссийскому съезду Советов рабочих и солдатских депутатов. Ленин выдвинул идею диктатуры пролетариата в виде республики Советов. Новый госный строй России диктатуру пролетариата в виде республики Советов окончательно утвердила принятая 10 июля 1918 г.
28699. II-ой Всероссийский съезд Советов, его состав. Исторические декреты съезда о мире и земле 12.38 KB
  IIой Всероссийский съезд Советов его состав. Исторические декреты съезда о мире и земле. Важная роль в становлении Советского гос0ва и государственного аппарата принадлежала Всероссийскому съезду Советов рабочих и солдатских депутатов. Съезд больш.