18532

Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD. Методичні матеріали до лабораторної роботи № 3 з курсу: €œМатематичне моделювання в САПР€ д

Украинкский

2013-07-08

414.5 KB

31 чел.

ат. моделювання в САПР. Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними

Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD. Методичні матеріали до лабораторної роботи № 3 з курсу: “Математичне моделювання в САПР” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ютерні науки”.


1.
МЕТА РОБОТИ

Ознайомитися з основними функціями системи MATHCAD для дослідження математичних моделей у формі крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

2.ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1. ПОНЯТТЯ ПРО КРАЙОВІ ЗАДАЧІ, ПОЧАТКОВІ ТА ГРАНИЧНІ УМОВИ.

Більшість фізичних та науково-технічних задач зводиться до знаходження розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними. Важливий клас диференціальних рівнянь з частинними похідними складають лінійні рівняння другого порядку з  незалежними змінними, які у загальному випадку можна записати наступним чином:

. (1)

Найбільш поширеними частковими випадками рівняння (1) є: рівняння коливань, рівняння дифузії та стаціонарні рівняння.

Рівняння коливань має вигляд:

,   (2)

де невідома функція  залежить від просторових координат  і часу , коефіцієнти  визначаються властивостями середовища, в якому відбувається коливальний процес,  функція  виражає інтенсивність зовнішніх впливів, , . Рівняння (2) описує такі фізичні процеси як коливання струни, мембрани, тривимірних тіл, електромагнітні коливання і т.д. З рівняння (2), як частковий випадок, можна отримати класичне хвильове рівняння:

,  (3)

яке описує процеси поширення звуку та електромагнітних хвиль в однорідному середовищі. У двовимірному випадку хвильове рівняння (3) описує малі поперечні коливання мембрани, а в одновимірному  - такі фізичні процеси, як поперечні коливання струни та повздовжні коливання пружного стержня. Ввівши оператор Лапласа

хвильове рівняння (3) можна записати так

.      (4)

Рівняння дифузії

  (5)

описує процеси поширення тепла або дифузії частинок у деякому середовищі, яке характеризується функціями . Як частковий випадок, з рівняння (5) можна отримати класичне рівняння теплопровідності

,   (6)

де - питома теплоємність, -густина, - коефіцієнт теплопровідності середовища, в якому відбувається процес поширення тепла, - інтенсивність внутрішніх джерел тепла. Якщо середовище є ізотропним, тобто  - константи, то з рівняння (6) отримаємо

,     (7)

де  називається коефіцієнтом температуропровідності,  - густина джерел тепла. Якщо внутрішні джерела тепла відсутні, тобто , то з рівняння (7) отримаємо класичне рівняння Фур’є

.             (8)

Стаціонарні рівняння описують усталені процеси, в яких величини, що характеризують їх не залежать від часу. Тоді рівняння коливань (2) та дифузії (5) будуть мати вигляд:

.    (9)

При  і  рівняння (9) набуває вигляду

,      (10)

і називається рівнянням Пуасона, а при  отримуємо частковий випадок рівняння Пуасона, а саме рівняння Лапласа

.      (11)

Для того, щоб повністю описати той чи інший фізичний процес не достатньо мати лише рівняння, яке описує цей процес. Необхідно задати також початковий стан процесу, який описується початковими умовами та режим процесу на границі області, в якій протікає цей процес, що описується граничними умовами. Математично це пов’язано з тим, що диференціальні рівняння мають безліч розв’язків. Дійсно, навіть для звичайного диференціального рівняння -го порядку загальний розв’язок залежить від  довільних сталих. Для рівнянь з частковими похідними, загальний розв’язок залежить, в загальному випадку, від довільних функцій. Тому, для того, щоб виділити потрібний розв’язок з множини можливих розв’язків, який описує заданий реальний фізичний процес, необхідно задати додаткові умови, а саме початкові та граничні умови. Часто початкові та граничні умови об’єднують одним поняттям, а саме крайовими умовами. Тоді відповідна задача, тобто задача знаходження розв’язку заданого диференціального рівняння, який задовільняє заданим крайовим умовам, називається крайовою задачею.

Важливим питанням є скільки початкових та граничних умов потрібно накласти, щоб отримати єдиний розв’язок крайової задачі? Якщо в диференціальне рівняння входить похідна по часу -го порядку, то початкових умов має бути  і задаються вони на шукану функцію та її похідні по часу до  порядку включно. Найвищий порядок похідної за просторовими координатами визначає кількість граничних умов, які потрібно задати в кожній точці границі. Так, якщо цей порядок рівний , то в кожній точці границі необхідно задати  граничних умов. Розрізняють три типи граничних умов:

гранична умова І роду:

     (12)

гранична умова ІІ роду:

     (13)

гранична умова ІІІ роду:

         (14)

Узагальнюючи, граничні умови (12-14) можна записати наступним чином:

       (15)

де  і  - задані кусково-неперервні функції. Тоді умова (12) слідує з (15) як частковий випадок при  умова (13) – при  і умова (14) – при .

Розрізняють три основних типи  крайових задач для диференціальних рівнянь:

  •  Задача Коші: ставиться для рівнянь коливань та дифузії шляхом задання початкових умов, граничні умови відсутні;
  •  Крайова задача для стаціонарних рівнянь: задаються граничні умови, початкові умови відсутні;
  •  Змішана задача (початково-крайова задача): ставиться для рівнянь коливань та дифузії шляхом задання як початкових, так і граничних умов.

2.2. ФУНКЦІЇ MATHCAD РОЗВ’ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ

На відміну від звичайних диференціальних рівнянь, для розв’язання яких в системі MATHCAD передбачено більше десятка різноманітних функцій для різних типів рівнянь, існує лише дві функції, які дозволяють отримати розв’язок деяких диференціальних рівнянь з частинними похідними. Цими рівняннями є класичні рівняння Лапласа та рівняння Пуасона. Більше того, ці функції працюють тільки для областей квадратної форми і дозволяють задавати лише граничні умови I роду. Такий обмежений набір вбудованих функцій MATHCAD розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними зумовлений, по-перше, складністю розв’язання задач такого роду, а, по-друге, відсутністю уніфікованого підходу, який би враховував всі специфічні особливості, які виникають під час розв’язання конкретних крайових задач з різними граничними умовами в областях складної геометричної форми.

Для розв’язання крайової задачі для рівняння Пуасона з нульовими граничними умовами I роду використовується функція multigrid. Для ілюстрації синтаксису та правил використання даної функції розглянемо  класичну задачу знаходження температурного розподілу в квадратній області при заданих внутрішніх джерелах тепла та нульовій температурі на границі області. Математична формалізація (постановка) такої задачі буде мати вигляд: знайти функцію , яка задовільняє рівняння

в області

та граничну умову  , де функція  задає розподіл внутрішніх джерел тепла,  - границя квадратної області.

На рис.1 зображено документ MATHCAD, який містить програму розв’язання вказаної крайової задачі за допомогою функції multigrid  при заданому джерелі тепла інтенсивності  в центрі області.  Розглянемо його детальніше.

Рис.1. Приклад використання функції multigrid

Функція multigrid будує розв’язок першої крайової задачі для рівняння Пуасона на основі методу скінченних різниць. Даний метод базується на дискретизації вихідної області (яка у нашому випадку має форму квадрата), тобто покритті області множиною вузлів, і заміні частинних похідних на скінченно-різницеві співвідношення у цих вузлах. Тоді розв’язання вихідної крайової задачі методом скінченних різниць полягає в знаходженні таблиці значень шуканої функції  в заданих вузлах сітки. Спосіб побудови сітки залежить від геометрії області, для областей простої форми найчастіше вузли отримуються як точки перетину прямих, паралельних координатним осям. Тому спочатку потрібно задати кількість  цих прямих, що автоматично означатиме покриття області моделювання сіткою з  вузлів. Оскільки вхідними даними для заданої крайової задачі є лише функція внутрішніх джерел тепла, то нам потрібно у кожному внутрішньому вузлі сітки задати значення цієї функції. Для прикладу, нехай джерела тепла знаходяться у центрі квадратної області. Це означає, що нам потрібно правильно визначити позицію джерел тепла, яка задається індексами матриці  задання джерел тепла . У нашому випадку достатньо  задати два індекси, які будуть мати значення . Після цього залишається записати у відповідні елементи матриці  значення інтенсивності джерел тепла і задати цю матрицю як перший аргумент при виклику функції multigrid.

3.КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

  1.  Які типи диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку Ви знаєте?
  2.  Що таке граничні умови? Які є типи граничних умов?
  3.  Що таке крайова задача? Як формулюються основні типи крайових задач для диференціальних рівнянь?
  4.  Які функції системи MATHCAD використовуються для розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними? Які обмеження на них накладаються?

4.ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ

  1.  Ознайомитися з основними рівняннями для моделювання на компонентному рівні та відповідними функціями MATHCAD.
  2.  Знайти, використовуючи відповідну функцію MATHCAD, розв’язок рівняння Пуассона  у квадратній області розміру  (індивідуальні завдання наведені в Додатку). Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки.
  3.  Побудувати 3D графіки отриманого розв’язку та заданого точного розв’язку , а також лінії рівня в обох випадках. 
  4.  Оформити і здати звіт про виконання лабораторної роботи.

5.ЗМІСТ ЗВІТУ

  1.  Мета роботи.
  2.  Короткі теоретичні відомості.
  3.  Постановка задачі індивідуального завдання.
  4.  Оформлений належним чином (з коментарями, поясненнями та результатами) документ MATHCAD з програмою розв’язання завдання.
  5.  Аналіз результатів та висновки.

6.СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

  1.  В.Дьяконов. MATHCAD 8/2000: специальный справочник. – СПб: Питер,2001. -592 с.
  2.  Е. Макаров. Инженерные расчеты в MATHCAD. – СПб: Питер, 2002. -386 с.
  3.  http://www.mathcad.com.

ДОДАТОК

Знайти, використовуючи відповідну функцію MATHCAD, розв’язок рівняння Пуассона

у квадратній області розміру . Побудувати 3D графіки отриманого розв’язку та заданого точного розв’язку , а також лінії рівня в обох випадках. Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки.

№ з/п

1

2

2

0.5

3

1

4

5

4

6

4

1.5

7

1

8

3

9

0

2

10

11

2

12

1

13

4

1.5

14

15

2

3

16

2

17

1

18

9

19

-2

2.5

20

21

1.5

22

1

23

2

24

25

-2

0.5

26

27

1

28

3

29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19395. ГІСТАРЫЧНЫЯ ЭТАПЫ ФАРМІРАВАННЯ І РАЗВІЦЦЯ БЕЛАРУСКАЙ МОВЫ 91.5 KB
  1. ГІСТАРЫЧНЫЯ ЭТАПЫ ФАРМІРАВАННЯ І РАЗВІЦЦЯ БЕЛАРУСКАЙ МОВЫ 1.1. БЕЛАРУСКАЯ МОВА СЯРОД ІНШЫХ СЛАВЯНСКІХ МОЎ Усе вялікія і малыя асаблівасці жыцця нашага народа прыродныя ўмовы і геаграфія краіны узровень народнай гаспадаркі кантакты з іншымі народамі характар гра...
19396. Праблемы беларуска-рускай інтэрференцыі 76.5 KB
  Лекцыя№2 Праблемы беларускарускай інтэрференцыі. 2.1. СУТНАСЦЬ І АСАБЛІВАСЦІ БІЛІНГВІЗМУ Праблема моўнага жыцця ў нашай рэспубліцы сёння адносіцца да адной з найбольш актуальных і складаных. Разам з тым гэта праблема існуе не толькі ў нашай краіне але і ў гісторыі су...
19397. Лексічны склад навуковага стылю 68.5 KB
  Лекцыя №4. Лексічны склад навуковага стылю. ТЭРМІНАЛАГІЧНАЯ ЛЕКСІКА Хуткасны прагрэс навукі і тэхнікі прыводзіць да ўзнікнення новых аб’ектаў паняццяў з’яў што непасрэдным чынам знаходзіць сваё адлюстраванне ва ўзбагачэнні спецыяльнай лексікі новымі лексічнымі а
19398. НАВУКОВЫ ТЭКСТ: СТРУКТУРА І МОЎНАЕ АФАРМЛЕННЕ 69 KB
  ЛЕКЦЫЯ №5. НАВУКОВЫ ТЭКСТ: СТРУКТУРА І МОЎНАЕ АФАРМЛЕННЕ С.2. Моўны стыль грэч. ŝtylos – прылада для пісьма ў старажытных грэкаў – разнавіднасць літаратурнай мовы сукупнасць моўных сродкаў ужыванне якіх залежыць ад мэт і зместу выказвання. С.3 У беларускай мове вылучаю...
19399. Сістэма жанраў навуковай літаратуры 71 KB
  Лекцыя №6. Сістэма жанраў навуковай літаратуры Для студэнта любой ВНУ навуковая мова з’яўляецца не толькі сродкам авалодання пэўнай інфармацыяй але і сродкам яе рэалізацыі ў канкрэтных відах вучэбнай дзейнасці: пры напісанні кантрольных і курсавых работ у дакладах і
19400. Передача информации с помощью Электромагнитных волн 10.9 KB
  Передача информации с помощью Электромагнитных волн. Основные понятия. Радиотехникой называется техника использования радиоволн для передачи приема и извлечения информации содержащейся в принимаемых сигналах.Сигналами называют процесс способный распространятся в
19401. Факторы влияющие на выбор диапазона волн 11.83 KB
  Факторы влияющие на выбор диапазона волн: Особенности распространения электромагнитных колебаний данного диапазона влияния время суток года. Технические возможности Направленное излучение Применение антенных систем соответствующих размеров Ген
19402. Основные виды сигнала и их параметры 12.15 KB
  Основные виды сигнала и их параметры Гетерминированным называют колебание которое может быть сигналом с помощью определенной функции времени. Это колебание ни какой информации не несет кроме факта наличия самого колебания поскольку известную функцию времени можно
19403. Разложение сигнала в ряд Фурье 11.69 KB
  Разложение сигнала в ряд Фурье. Любой переодический сигнал может быть разложен в ряд Фурье т.е представлен в виде постоянной составляющей и бесконечно большого числа синусоидальных и косинусоидальных состовляющих с частотами катными основной частоте сигнала и соотв