18563

Компонентные и топологические уравнения на иерархическом уровне Б

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 9 Компонентные и топологические уравнения на иерархическом уровне Б. При получении математических моделей ММ элементов уровня Б чаще применяют теоретический подход. При этом сложный объем разбивается на элементы участки. Далее производится усреднение зна...

Русский

2013-07-08

317.82 KB

30 чел.

Лекция 9

Компонентные и топологические уравнения на иерархическом уровне Б.

При получении математических моделей (ММ) элементов уровня Б чаще применяют теоретический подход. При этом сложный объем разбивается на элементы (участки). Далее производится усреднение значений параметров и фазовых переменных в пределах выделенного участка.

Исходными уравнениями для получения ММ элементов являются уравнения предыдущего уровня (В), например, уравнения (1) и (5).

Усреднение значений параметров и фазовых переменных заключается, прежде всего, в замене частных производных    на отношения   , где  l – длина участка (элемента) в направлении оси Х;  и   - значения фазовой переменной на границах участка.

В простейших элементах связи между фазовыми переменными выражаются в одном из следующих трех видов:

                                

                                           

где U, I, 𝜑 – фазовые переменные (I – фазовая переменная типа потока; 𝜑 – фазовая переменная типа потенциала; R, c, l – внутренние параметры).

Уравнения (6) называют компонентными уравнениями.

Полные ММ систем получают объединением ММ элементов в общие системы уравнений. Такое объединение осуществляется на основе физических законов, выражающих условия равновесия и непрерывности фазовых переменных. Уравнения, объединяющие фазовые переменные элементов, называют топологическими уравнениями. 

Форма компонентных и топологических уравнений одинакова для большинства различных физических систем (механических, тепловых, гидродинамических и т.д.). Это обстоятельство обуславливает наличие аналогий между разнородными физическими системами. Установление аналогий в математических записях имеет существенное значение для эффективности использования САПР, т.к. появляется возможность использовать одни и те же математические методы и программы для решения проектных задач самого различного физического содержания. Появляется возможность создать универсальную программное обеспечение, которое применимо при расчетах различных физических систем.

Электрические системы.

Основными фазовыми  переменными этих систем являются токи и напряжения в элементах (резисторах, конденсаторах, катушках индуктивности, трансформаторах, источниках тока и напряжения и т.д.).

Компонентные уравнения элементов:

I – ток;  U – напряжение, равное разности потенциалов на концах элемента;  R – сопротивление;  L – индуктивность; c – емкость.

При соединении элементов друг с другом образуется электрическая цепь (система элементов).

Приведенные выше компонентные уравнения для электрических цепей объединяются в топологические уравнения исходя из условий равновесия и непрерывности фазовых переменных. Топологические уравнения записываются относительно узлов и контуров в сложной схеме, в которую входят все базовые элементы. Формально эта запись соответствует 1-ому и 2-ому законам Кирхгофа:

Аналогия между компонентными и топологическими уравнениями в механической и электрической системах.

От компонентных и топологических уравнений электрических схем, для анализа которых имеется обширное программное обеспечение, можно перейти к их аналогам других физических процессов. Например, построить эквивалентную электрическую схему, адекватно описывающую процессы механической поступательной системы, механической вращательной системы, тепловой системы. Аналогии описаний строятся из аналогии компонентных уравнений элементов.

Покажем это на примере механической вращательной и тепловой системах. Компонентные уравнения механической вращательной системы имеют вид:

– вращательный момент;   – угловые скорости на концах элемента;   – вращательное сопротивление (в опорах вращения);  – вращательная гибкость элемента;   – момент инерции элемента.

Аналогии с компонентными уравнениями вращательной системы и электрической:

В электрической схеме задаются параметры R, c, L.

Тогда для вращательной системы имеем схему:

Эквивалентная электрическая схема:

Граф для электрической цепи:

Матрица инциденции:

       ветви

узлы

I1

L1

L2

R2

R1

c

а

1

-1

0

0

-1

0

б

0

1

-1

0

0

-1

в

0

0

1

-1

0

0

Лекция 8.

Аналогия между тепловой и электрическими системами.

 Основные фазовые переменные в тепловой системе – температура Т и тепловой поток qт.

При рассмотрении теплопередачи в твердом теле оно (твердое тело) разбивается на отдельные участки. Каждый участок характеризуется теплопроводностью СТ, причем связь между приращением количества теплоты dQ в элементе и приращением температуры dT дается выражением:

CT = C·ρ , где С – удельная теплоемкость.

Поэтому,     

Отсюда   

Кроме того, каждый участок твердого тела обладает теплопроводностью, характеризуемую параметром  λ (коэффициент теплопроводности), которая через закон Фурье (5) связывает плотность теплового потока JQ (поток через единицу площади) и изменение температуры Т:            

Умножая уравнение (5) на площадь поперечного сечения участка (элемента) S и заменяя   gradT   на отношение разности температур (Т1 - Т2) к длине участка l, получим:

где      – тепловое сопротивление.  

 Аналогии в параметрах: температура Т эквивалентна потенциалу 𝜑; теплоемкость СТ  эквивалентна электрической емкости С; тепловое сопротивление  RТ  эквивалентно электрическому сопротивлению R; тепловой поток qT  эквивалентен току I.

Для участка контакта твердого тела с жидкой или газообразной фазой тепловое сопротивление определяется теплоотдачей через конвекцию. При этом в соответствии с законом Ньютона    , получаем:    

Пример тепловой системы и ее эквивалентная электрическая система.

  

Топологические уравнения на иерархическом уровне Б:

Топологические уравнения систем записываются к узлам и контурам этой системы. Следовательно, сама форма топологических уравнений требует отождествления участков реальной структуры объектов или характеризующих эти участки величин с некоторыми ветвями и узлами, которые входят в структуру исследуемой системы. В данном случае реальный объект отображается при решении задачи некоторым графическим представлением, состоящим из связанных между собой ветвей. Эти отображения в графической форме реализуются с помощью графов, которые позволяют получить эквивалентную схему исследуемого объекта. С помощью теории графов создаются структурные модели сложных исследуемых объектов, а также отображаются возможности выполнения математических операций с графами при описании и преобразовании структурных схем объектов.

Термины и определения из теории графов:

 Графом  называют совокупность вершин (узлов) и связывающих их ребер (ветвей), которая в математическом выражении имеет вид:     , где

Г – граф;

У – множество вершин;

Р – множество ребер;

U – инцидентор (указатель способа соединения ребер друг с другом).

Если для ребер графа указаны определенные направления, то граф называют направленным графом (ориентированным или оргграфом). Ребра направленного графа называют дугами.  

Подграфом называют такую часть графа, которая включает в себя некоторые вершины и ребра графа, причем среди ребер могут быть только те ребра, которые связывают вершины подграфа.      

             

Рисунок 4а – связанный граф;

Рисунок 4б – несвязанный граф.

У| (1, 2, 3),  P| (a, в, с).      Если в   входят все вершины графа, т.е. У| = У  и P| = Р, то подграф превращается в суграф (полный граф) (рисунок 4а).

 Маршрутом называют любую последовательность S ребер, в которой соединения ребер инцидентны (принадлежат) одной и той же вершине. На рисунке 4 последовательность ребер (a, c, f, e, d) можно назвать маршрутом, а последовательность (а, f) – нельзя. Если в маршруте нет повторяющихся ребер, то его называют цепью. Если цепь начинается и заканчивается в одной и той же вершине, то имеет место цикл (или контур).  Длина маршрута определяется количеством ребер, входящих в него.

 Связным графом называют граф, в котором можно указать маршрут, связывающий любые его вершины. Математически это записывается:

т.е. если для любых вершин   х, у , принадлежащих множеству  У, существует маршрут S, то граф связный.

 Дерево связного графа – связный подграф без циклов.

            

Рисунок 5.   Примеры деревьев для связного графа.

 Остовом дерева называют связный суграф без циклов, т.е. дерево является фундаментальным, если его ветви охватывают все вершины графа и не образуют при этом циклов.

 Ветвями дерева называют ребра графа, вошедшие в дерево, а хордами называют ребра графа, не вошедшие в дерево.

На рисунке 5 изображено функциональное дерево. Здесь ветви В = {a,d,e,h}, хорды Х = {в,c,f,g}.  Контуром R-ой хорды называют множество ребер, образующих цикл в графе, получившемся при добавлении R-ой хорды к дереву. Например, контуром хорды f для графа на рисунке 4а и дерева на рисунке 5б будет множество ребер {f,e,d,h}.

 Сечением ветви дерева называют множество ребер, пересекаемых линией сечения, если:   а) среди ветвей дерева пересекается единственная;  б) линия сечения замкнутая и любое ребро может пересекаться не более одного раза.

На графе (рисунок 6) выбранное дерево выделено жирными линиями; пунктирными линиями здесь показаны линии сечения: сечением ветвей «а»  будет множество ребер {a,e}, сечением ветви «в» - множество ребер {в,e,f} и т.д.

Рисунок 6.

С помощью матрицы инциденций А = [aij] может быть выражена та же информация, которая содержится в графе. В этой матрице β–1 строк и  α  столбцов, где  β – вершины (узлы);  α – ребра. Каждому узлу βi , за исключением одного, принимаемого за базовый, в матрице соответствует одна строка, каждому ребру – один столбец. В столбце записываются 1 на пересечении со строками тех узлов, которым инцидентно ребро данного столбца. Если граф направленный, то знаки единиц указывают направления дуг: «+1» соответствует строке узла, к которому направлено ребро; «–1»  – строке второго узла. Во всех оставшихся клетках матрицы записываются нули. Матрица инциденций для графа на рисунке 6 в случае, когда базовым узлом является узел 4, представлена в таблице 1.

Таблийа 1.

узлы/ребра

а

в

с

d

e

f

g

4 – базовый узел

1

-1

0

0

0

-1

0

0

2

+1

-1

0

0

0

-1

0

3

0

+1

-1

-1

+1

0

0

5

0

0

0

+1

0

0

-1

Итак, совокупность компонентных и топологических уравнений формирует математическую модель объекта. В разных методах моделирования по-разному выбирают совокупность исходных топологических уравнений и системы базисных координат. Одной из форм математической модели является форма Коши:    , где V – вектор базисных координат, F – вектор-функция. В этой форме вектор базисных координат явно выражен через вектор-функцию F. Эта форма удобна при применении методов численного решения и позволяет рассчитывать переходные процессы в объекте. Если принять  , то можно получить математическую модель для анализа статических состояний. В частном случае система дифференциальных уравнений для линейной системы записывается:  (9)  , где В и Д – матрицы с постоянными или зависящими от времени элементами;  U – вектор внешних источников.

Лекция 9.

Метод узловых потенциалов.

Для решения задач большой размерности при использовании ЭВМ для расчета эквивалентных схем применяют 2 метода:

- метод контурных токов;

- метод узловых потенциалов.

С точки зрения большей производительности при выполнении решений более перспективным является метод узловых потенциалов. Т.к. при решении задач различной физической природы мы ищем аналогии между электрическими системами, как более продвинутыми в программном отношении, и соответствующими физическими процессами (тепловыми, механическими, гидродинамическими), то при изложении метода узловых потенциалов будем пользоваться терминами электрических схем.

Обозначим фазовые переменные I, U, 𝜑, которые будут обозначать векторы-столбцы токов, напряжений ветвей и узловых потенциалов соответственно. Напряжение ветви есть разность потенциалов инцидентных ей узлов, поэтому в векторной форме связь между U и 𝜑 устанавливается через матрицу инциденции:

где Аt – транспонированная матрица А.

В процедуре решения по методу узловых потенциалов все ветви эквивалентной схемы разделим на группы: емкостных, резистивных, индуктивных ветвей и ветвей источников (генераторов) тока.

Представим эти группы соответствующими обозначениями:

- для токов:

- для напряжений:

Таким образом в виде компонент матрицы:

где  - подматрица инциденций узлов и емкостных ветвей и т.д.

Будем использовать при подготовке решения задач диагональные матрицы   емкостей С, сопротивлений R, индуктивностей L. Диагональные элементы в этих матрицах равны внутренним параметрам, входящим в электрическую схему.

Введенные обозначения поясним на примере электрической цепи (рисунок 7).

Для этой схемы матрица А с выделенными подматрицами имеет вид:

R1

R2

R3

R4

C1

C2

IU

4 – базовый узел матрицы А

1

-1

-1

0

0

-1

0

1

2

0

+1

-1

0

0

-1

0

3

0

0

+1

-1

0

0

0

AR

AC

AU

Другие векторы и матрицы имеют вид:

Основные положения узлового метода:

В качестве базовых координат используются узловые потенциалы. Исходным топологическим уравнением является уравнение равновесия токов в узлах:                  (уравнение в векторной форме)             (12)    

Если учесть все принятые выше обозначения с выделением для всех фазовых переменных соответственно емкостных, резистивных, индуктивных ветвей, то векторное уравнение перепишем в виде:

где IU в общем случае есть функция 𝜑,  , t ,   т.е. IU (𝜑, , t).

Эта система неудобна для численного решения. В случае линейной задачи ее сводят к системе линейных алгебраических уравнений с помощью преобразований Фурье и Лапласа. Для этого производят замену:

где  h – шаг дискретности (квантования) по оси времени;

n – 1, n – шаги интегрирования.

Такая замена осуществляется на каждом шаге численного решения. Тогда окончательно имеем:

 По данному уравнению, которое представляет собой систему алгебраических и трансцендентных уравнений с неизвестными векторами 𝜑n , и, учитывая, что на предыдущем шаге решения задачи были вычислены фазовые переменные    и        , появляется возможность по приведенным уравнениям вычислить потенциал 𝜑n (момент времени tn). После этой операции, учитывая, что существует связь между напряжением в ветвях U и потенциалом 𝜑n (), вычисляем все компоненты напряжения Un , а по остальным компонентам уравнения вычисляем вектор фазовой переменной . Т.к. компонентами векторов 𝜑n, In и Un  являются соответственно потенциалы в узлах, токи и напряжения в ветвях электрической схемы, то после этой процедуры все фазовые переменные и их компоненты в электрической схеме будут определены. Конечной процедурой решения задачи является масштабированный пересчет всех фазовых переменных электрической системы к фазовым переменным эквивалентной ей исследуемой физической системы. Т.о., найдя эквивалент исследуемой физической системы в виде электрической системы и используя пакет программ, появляется возможность обеспечить решение любой физической системы, если для нее существует математическая модель в виде компонентных и топологический уравнений.

Лекция 11.

Графическое и математическое моделирование образца свариваемого изделия при автоматизированном проектировании технологии.

Сварное изделие (конструкция) состоит из деталей. Детали объединяются в единую конструкцию по заданной в технологии топологической схеме. В собранной конструкции определяются линии соединения отдельных деталей с использованием сварки.

Графическое и математическое моделирование сварного изделия позволяет в виртуальном режиме определить характер (тип) стыковых соединений и их протяженность. Путем изменения положения конструкции нужно определить позиции изделия, когда стыки возможно сваривать в горизонтальном положении с использованием манипулятора изделия. Определить геометрию разделки стыка, описать ее на математическом уровне и выбрать способ сварки этих соединений. Рассчитать режимы сварки. Определить все переходы в технологической схеме от сварки одного стыка к другому. Рассчитать на стадии технологической подготовки производства всю маршрутную и пооперационную технологии. Подготовить технологические карты на каждое сварное соединение. И на конечном этапе моделирования технологического процесса подготовить техническую документацию на весь технологический процесс изготовления сварного соединения.

Методы трехмерного моделирования

при описании сварных конструкций.

Методы трехмерного моделирования, используемые в САПР, делятся на три группы: каркасное, поверхностное и твердотельное (сплошное) моделирование.

Каркасное моделирование.

Модель каркасного типа полностью описывается в терминах точек и линий. Ее главным достоинством являются простота и невысокие требования к компьютерной памяти, а недостатки связаны с отсутствием информации о гранях, заключенных между линиями, и с невозможностью различить внешнюю (незаполненную) и внутреннюю (заполненную) области. Наиболее широко каркасное моделирование применяется при имитации несложного пространственного движения инструмента (например, при фрезеровании по трем осям).

При использовании каркасных моделей в САПР необходимо учитывать следующие ограничения:

  1.  неоднозначность – отсутствие возможности однозначно оценить ориентацию и видимость граней, что не позволяет различать виды сверху и снизу, а также автоматизировать удаление скрытых линий;
  2.  приближенное представление криволинейных граней – невозможность точно описать криволинейные поверхности (цилиндры, конусы и др.), которые реально не имеют ребер; иногда для таких поверхностей вводят фиктивные ребра, располагаемые через регулярные интервалы;
  3.  невозможность обнаружить столкновения – отсутствие информации о поверхностях, ограничивающих форму, не позволяет обнаружить столкновения между объектами, что важно при моделировании роботов, проектировании планов размещения оборудования и т.д.;
  4.  погрешности оценки физических характеристик – возможность некорректного вычисления массы, центра тяжести, момента инерции и т.д., обусловленная недостатком информации об ограничивающих поверхностях;
  5.  отсутствие средств «затенения» поверхностей – у модели, состоящей только из ребер, невозможно произвести закраску поверхностей различными цветами.

Поверхностное моделирование.

Модель поверхностного типа описывается в терминах точек, линий и поверхностей. В отличие от каркасной модели она обеспечивает:

- точное представление криволинейных граней;

- автоматическое распознавание граней и их закраску;

- автоматическое удаление невидимых линий;

- распознавание особых линий на гранях (отверстий и т.д.);

- обнаружение столкновений между объектами.

Метод поверхностного моделирования наиболее эффективен при проектировании и изготовлении сложных криволинейных поверхностей (корпусов автомобилей и др.). При этом можно использовать:

- базовые геометрические поверхности (плоскости, цилиндры, кубы, результат перемещения образующей кривой в заданном направлении и т.д.);

- поверхности вращения (результат вращения линии вокруг оси);

- пересечения и сопряжения поверхностей;

- аналитические поверхности (задаются математическим уравнением).

Твердотельное (объемное, сплошное) моделирование.

В этих моделях в явной форме содержатся сведения о принадлежности элементов модели внутреннему или внешнему по отношению к детали пространству. Можно говорить о массе этих деталей.

Математические модели геометрического образа любой машиностроительной детали.

Любое изделие рассматривается как система. Базовыми элементами системы являются сами детали. Поэтому, когда рассматривается сложная система, она представляется в своей иерархии состоящей из целого ряда деталей. В свою очередь любую деталь в этой иерархии также можно рассматривать как встроенную систему. Ее можно расчленить на элементы различной степени сложности, вплоть до первичных элементов в виде отверстий, выступов, пазов и т.д. Эти элементы имеют простейшую форму, которую задают в виде примитивов, таких как плоскости, цилиндры, сферы, конусы. При построении модели детали ее представляют в форме последовательности упорядоченных множеств – картежей.

Математическая модель i–того элемента детали:

где картежи    сведения общего характера об элементе детали (шифр, номер ГОСТа, назначение);

  сведения, которые характеризуют количественные параметры элемента (размеры, предельные отклонения, посадки и т.д., характер соединения этого элемента со смежным), для которого строится математическая модель;

 – сведения, отражающие отклонение реальной формы моделируемого элемента от заданных в модели (отклонение от прямолинейности, от цилиндричности и т.д.).

Для получения полной характеристики математической модели детали необходимо задание системы параметров детали ( – системный параметр детали). Они задают математические отношения между базовыми элементами, входящими в деталь. Эти отношения между элементами детали можно сделать (при выводе модели детали) введением определенной системы координат для рассматриваемой детали (декартовой, полярной). После этого математическая модель детали представляет собой набор сведений:

Граф иерархии элементов детали.

        

Любая деталь состоит из целого ряда граней (…, G i-1 , G i , G i+1 ,…). Носителем грани является параметр Q i , который имеет свое математическое описание (плоскость, сфера и т.д.). Любая грань в детали окантована граничным контуром  N (набор прямых ломаных линий, образующихся за счет пересечения друг с другом любых смежных граней). Носителем граничного контура является параметр В ij , который имеет свое математическое описание. Граничный контур как правило состоит из ребер R is (в основном прямые линии). Любое ребро в системе координат детали имеет начальную и конечную точки (V Н11 и V К11), которые определяют положение этого ребра. Каждое ребро имеет свой носитель ВКi (уравнение прямой), расположенный в пространстве. Любой носитель (грани, граничного контура, ребер) может быть представлен в виде:

Так как носителем грани является плоскость, то:

картеж сведений в виде коэффициентов.

Поскольку грань – поверхность второго порядка (цилиндр, тор и т.д.), то:

Например, грань является окружностью, тогда:

 Математическая модель ребер  может быть получена пересечением:

Рассмотрим структуры массивов:

<> - код поверхности.

Тип поверхности

Код

Плоскость

1

Цилиндрическая поверхность

2

Коническая поверхность

3

Сферическая поверхность

4

Тороидальная поверхность

5

Поверхность вращения, образованная дугой, центр которой не лежит на оси вращения

6

Эллипсоид вращения

7

Гиперболоид вращения

8

Параболоид  вращения

9

Математическая модель граничного контура.

Массив     содержит параметры кривой-носителя ребра Rs. В простейшем выражении массив BIK состоит из двух показателей массивов AI и AK, содержащих коды и характеристики поверхностей Qi и Qk, образующих в пересечении кривую  .

- код носителя граничного контура;

Тип плоской кривой

Код

Прямая

1

Окружность

2

Эллипс

3

- указатель плоскости, в которой рассматривается граничный контур;

- указатель системы координат, в которой записывается уравнение.

Пример построения математической модели цилиндрической детали.

1, 2, 3 – грани.

1 – нижняя грань (носитель грани – плоскость);

2 – носитель грани – поверхность цилиндра;

3 – верхняя грань (носитель – плоскость на расстоянии 15 условных единиц от нижней грани).

1 и 2 – смежные грани; их линия пересечения – окружность (замкнутый граничный контур).

Линия пересечения граней 2 и 3 – окружность в системе координат (V, O1, U).

(X, Y, Z) – внешняя система координат.

Цилиндр

G1

СКД (X,O,Y)

G1

NG1

G2

G2

А2

NG2

G3

G3

А1

NG3

G2

                                                    

     

NG1

RNG1

*

NG2

RNG2

N2G2

N2G2

RN2 G2

*

NG3

RNG3

*

RNG1

В12

*

RNG2

В12

*

RN2G1

В23

*

RNG3

В23

*

    

 

* - означает конец порции информации.

 Изображение массивов:

Массив AI (параметры носителей граней)

Идентификатор массива

Параметры носителя

А1 (плоскость)

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

А2 (цилиндр)

2

+1

+1

0

0

0

0

0

0

-15

-225

А3 (плоскость)

1

0

0

+1

-15

0

0

0

0

0

0

Массив BIK (параметры носителей ребер)

Идентификатор массива

Параметры носителя

В12

2

А1

СК1

1

0

1

0

0

-225

В23

2

А1

СК3

1

0

1

0

0

-225

Массив CKS (параметры систем координат носителей ребер)

Идентификатор массива

Параметры носителя

СК1 (точка А)

0

0

0

10

0

0

СК3 (точка В)

0

0

15

10

0

0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3860. Оцінка радіаційної обстановки після аварії на АЕС 62.61 KB
  Оцінка радіаційної обстановки після аварії на АЕС Завдання На північній АЕС сталася аварія з викидом шкідливих радіоактивних речовин в навколишнє середовище. Промисловий об’єкт розташований на відстані Rвід АЕС, може попасти в зону радіац...
3861. Фрейми. Інтерактивні Web-сторінки 33.5 KB
  Фрейми. Інтерактивні Web-сторінки Мета роботи - після виконання роботи студент повинен знати: базові команди мови HTML з реалізації фреймів основи мови HTML зі створення форм базові команди мови HTML із реалізації меню принципи створення інтеракт...
3862. Философия как дисциплина научного познания. Генезис философии 470 KB
  Генезис философии. Нужно отметить, что генезис является проблемой для самой философии, развиваясь, она постоянно сталкивается с проблемой собственного возникновения, ибо, только решив ее, философия сможет в полной мере осознать свою сущность. Сущест...
3863. Контрольна робота. Механіка матеріальної точки 86.01 KB
  Механіка матеріальної точки За заданими рівняннями руху х=х(t), у=у(y) (та z=z(t) для 2 рівня складності) матеріальної точки масою т =1кг встановити: Рівняння та вид траєкторії точки побудувати графік. Вектори переміщення, середньої швидкості та їх...
3864. Управляющие операторы или принятие решений в VB6 428.5 KB
  Управляющие операторы или принятие решений в VB6. Операторы, которые могут изменить последовательность выполнения операторов процедуры. Основанием для принятия решений в управляющих операторах являются условные (логические) выражения. Логические вы...
3865. Основні поняття та закони хімії. Конспект лекцій 3.89 MB
  ВСТУП Без знання основ хімії неможливе успішне вивчення технічних і технологічних дисциплін. Метою курсу є оволодіння студентами знань, необхідних їм для розуміння хімічних та технологічних явищ, які лежать в основі перетворень процесів зварювання...
3866. Работа с листом. Выделение объектов 3.16 MB
  Работа с листом. Выделение объектов Ячейка, блок ячеек, строка, диапазон строк, столбец, диапазон столбцов, лист, книга - это основные объекты, с которыми работает пользователь Excel. Принцип робот с объектами одинаков для всех программ Windows: на...
3867. Запуск Excel. Основные понятия 830.33 KB
  Запуск Excel. Основные понятия Запустить электронную таблицу Excel можно из главного меню, пункт Программы. При частом обращении к этой программе удобно поместить ее ярлык на рабочий стол, и пользоваться им для запуска Excel. Кроме того, двойное щел...
3868. Моделирование решения уравнений в среде электронных таблиц MS Excel 74.9 KB
  Моделирование решения уравнений в среде электронных таблиц MS Excel Основная задача нашего сегодняшнего урока - это научиться решать уравнения различными методами, а также моделировать процесс решения определенного вида уравнений в зависимости от зн...