18568

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИНТЕЗА ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИНТЕЗА ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ Постановка задач параметрического синтеза Место процедур синтеза в проектировании Сущность проектирования заключается в принятии проектных решений обеспечивающих выполнение будущим объектом предъявляемых к

Русский

2013-07-08

69 KB

32 чел.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИНТЕЗА ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ

Постановка задач параметрического синтеза Место процедур синтеза в проектировании

Сущность проектирования заключается в принятии проектных решений, обеспечивающих выполнение будущим объектом предъявляемых к нему требований. Синтез проектных решений — основа проектирования; от успешного выполнения процедуры синтеза в определяющей мере зависят потребительские свойства будущей продукции. Конечно, анализ — необходимая составная часть проектирования, служащая для верификации принимаемых проектных решений. Именно анализ позволяет получить необходимую информацию для целенаправленного выполнения процедур синтеза в итерационном процессе проектирования. Поэтому синтез и анализ неразрывно связаны.

Как отмечено в главе 1, синтез подразделяют на параметрический и структурный. Проектирование начинается со структурного синтеза, при котором генерируется принципиальное решение. Таким решением может быть облик будущего летательного аппарата, или физический принцип действия датчика, или одна из типовых конструкций двигателя, или функциональная схема микропроцессора. Но эти конструкции и схемы выбирают в параметрическом виде, т. е. без указания числовых значений параметров элементов. Поэтому прежде чем приступить к верификации проектного решения, нужно задать или рассчитать значения этих параметров, т. е. выполнить параметрический синтез. Примерами результатов параметрического синтеза могут служить геометрические размеры деталей в механическом узле или в оптическом приборе, параметры электрорадиоэлементов в электронной схеме, параметры режимов резания в технологической операции и т. п.

В случае если по результатам анализа проектное решение признается неокончательным, то начинается процесс последовательных приближений к приемлемому варианту проекта. Во многих приложениях для улучшения проекта удобнее варьировать значения параметров элементов, т. е. использовать параметрический синтез на базе многовариантного анализа. При этом задача параметрического синтеза может быть сформулирована как задача определения значений параметров элементов, наилучших с позиций удовлетворения требований технического задания при неизменной структуре проектируемого объекта. Тогда параметрический синтез называют параметрической оптимизацией или просто оптимизацией. Если параметрический синтез не приводит к успеху, то повторяют процедуры структурного синтеза, т. е. на очередных итерациях корректируют или перевыбирают структуру объекта.

Критерии оптимальности и целевые функции.

В САПР процедуры параметрического синтеза  выполняются либо человеком в процессе многовариантного анализа (в интерактивном режиме), либо реализуются на базе формальных методов оптимизации (в автоматическом режиме). В последнем случае находят применение несколько постановок задач оптимизации.

Наиболее распространенной является детерминированная постановка: заданы условия работоспособности на выходные параметры Y и нужно найти номинальные значения проектных параметров X, к которым относятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. Назовем эту задачу оптимизации базовой. В частном случае, когда требования к выходным параметрам заданы нечетко, к числу рассчитываемых величин могут быть отнесены также нормы выходных параметров, фигурирующие в их условиях работоспособности.

Если проектируются изделия для дальнейшего серийного производства, то важное значение приобретает такой показатель, как процент выпуска годных изделий в процессе производства. Очевидно, что успешное выполнение условий работоспособности в номинальном режиме не гарантирует их выполнения при учете производственных погрешностей, задаваемых допусками параметров элементов. Поэтому целью оптимизации становится максимизация процента выхода годных, а к результатам решения задачи оптимизации относятся не только номинальные значения проектных параметров, но и их допуски.

Базовая задача оптимизации ставится как задача математического программирования

extr F(X), (1.1)

XD,

 Dх={Х|(Х)>0,ψ(Х)=0}, где F(X) — целевая функция, X — вектор управляемых (проектных) параметров, (Х) и ψ(Х) —функции-ограничения; Dx —допустимая область в пространстве управляемых параметров. Запись (1.1) интерпретируется как задача поиска экстремума целевой функции путем варьирования управляемых параметров в пределах допустимой области.

Таким образом, для выполнения расчета номинальных значений пара-' метров необходимо, во-первых, сформулировать задачу в виде (1.1), во-; вторых, решить задачу поиска экстремума F(X).

Сложность постановки оптимизационных проектных задач обусловлена наличием у проектируемых объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче (1.1) целевая функция должна быть одна. Другими словами, проектные задачи являются многокритериальными, и возникает проблема сведения многокритериальной задачи к однокритериальной.

Применяют несколько способов выбора критерия оптимальности.

В частном критерии среди выходных параметров один выбирают в качестве целевой функции, а условия работоспособности остальных выходных параметров относят к ограничениям задачи (1.1). Эта постановка вполне приемлема, если действительно можно выделить один наиболее критичный выходной параметр. Но в большинстве случаев сказывается недостаток частного критерия (рис. 1.1).

На этом рисунке представлено двумерное пространство выходных параметров у1 и у2, для которых заданы условия работоспособности у1 < Т1  и у2 < Т2 . Кривая АВ является границей достижимых значений выходных параметров. Это ограничение объективное и связано с существующими физическими и технологическими условиями производства,  называемыми условиями реализуемости. Область, в пределах которой выполняются все условия реализуемости и работоспособности, называют областью работоспособности. Множество точек пространства выходных параметров, из которых невозможно перемещение, приводящее к улучшению всех выходных параметров, называют областью компромиссов, или областью Парето. Участок кривой АВ (см. рис. 1.1) относится к области Парето.

Рисунок 1.1. Области Парето и работоспособности

Если в качестве целевой функции в ситуации рис. 1.1. выбрать параметр у1, то результатом оптимизации будут параметры X, соответствующие точке В. Но это граница области работоспособности и, следовательно, при нестабильности внутренних и внешних параметров велика вероятность выхода за пределы области работоспособности. Конечно, результаты можно улучшить, если применять так называемый метод уступок, при котором в качестве ограничения принимают условие работоспособности со скорректированной нормой в виде

у22+Δ,

где Δ — уступка. Но возникает проблема выбора значений уступок, т. е. результаты оптимизации будут иметь субъективный характер. Очевидно, что ситуация не изменится, если целевой функцией будет выбран параметр у2, — оптимизация приведет в точку А.

Аддитивный критерий объединяет (свертывает) все выходные параметры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую собой взвешенную сумму частных критериев

  (1.2)

где   j   — весовой  коэффициент, т — число  выходных  параметров.

Функция (1.2) подлежит минимизации, при этом если условие работоспособности имеет вид уj > Tj, то j < 0.

Недостатки аддитивного критерия — субъективный подход к. выбору весовых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно в (1.2) не входят нормы выходных параметров.

Аналогичные недостатки присущи и мультипликативному критерию, целевая функция которого имеет вид

      (1.3)

Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (1.3), то мультипликативный критерий превращается в аддитивный.

Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее неблагополучный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки степени выполнения условия работоспособности j-ro выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра Sj, и этот за-

пас можно рассматривать как нормированный j-й выходной параметр. Например (здесь и далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспособности становятся неравенствами в форме уj < Tj):

или

где  уномj  — номинальное значение, а  δj — некоторая характеристика

рассеяния j-го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. Тогда целевая функция в максиминном критерии есть

Здесь запись [1: т] означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до т. Задачу (1.1) при максиминном критерии конкретизируют следующим образом:

где допустимая область Dx определяется только прямыми ограничениями на управляемые параметры хj:

ximin < xi < ximax 

Задачи оптимизации с учетом допусков

Содержательную сторону оптимизации с учетом допусков поясняет рис. 1.2, на котором представлены области работоспособности и допусковая в двумерном пространстве управляемых параметров. Если собственно допуски заданы и не относятся к управляемым параметрам, то цель оптимизации — максимальным образом совместить эти области так, чтобы вероятность выхода за пределы области работоспособности была минимальной.

Рис. 1.2. Области допусковая и работоспособности

Решение этой задачи исключительно трудоемко, так как на каждом шаге оптимизации нужно выполнять оценку упомянутой вероятности методами статистического анализа, а для сложных моделей объектов таким методом является метод статистических испытаний. Поэтому на практике подобные задачи решают, принимая те или иные допущения.

Например, если допустить, что цель оптимизации достигается при совмещении центров областей работоспособности Э и допусковой Хном, то оптимизация сводится к задаче центрирования, т. е. к определению центра Э. Задачу центрирования обычно решают путем предварительного нормирования управляемых параметров Хj с последующим вписыванием гиперкуба с максимально возможными размерами в нормированную область работоспособности.

Примечание.  Нормирование проводят таким  образом,  что допусковая  область приобретает форму гиперкуба, полученного в результате нормирования.

Очевидно, что решение задачи центрирования позволяет не только оптимизировать номинальные значения проектных параметров, но и их допуски, если последние относятся к управляемым параметрам.