1857

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАНОСА АВТОМОБИЛЯ

Диссертация

Математика и математический анализ

Анализ подходов к математическому и численному моделированию движения автомобиля. Постановка задачи. Оценка области применимости велосипедной модели. Математические модели движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой. Математическая модель переменной структуры для описания заноса автомобиля.

Русский

2013-01-06

1.09 MB

303 чел.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
имени М.В. Ломоносова 
Механико-математический факультет 
На правах рукописи 
Смирнов Илья Александрович 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАНОСА АВТОМОБИЛЯ 
Специальность 01.02.01 – теоретическая механика 
Диссертация на соискание ученой степени 
кандидата физико-математических наук 
Научные руководители 
д.ф.-м.н., проф. Новожилов И.В. 
к.ф.-м.н., с.н.с. Влахова А.В. 
Москва 2011 

 

Содержание 
Введение....................................................................................................................4 
§ 1.  Анализ подходов к математическому и численному моделированию 
движения автомобиля .........................................................................................9 
1.1.  О применении "велосипедной" модели движения колесных 
транспортных средств ...................................................................................9 
1.2.  Модели взаимодействия колеса с опорной поверхностью................14 
1.3.  Четырехколесные модели автомобиля для различных режимов 
движения ......................................................................................................22 
§ 2.  Аппарат фракционного анализа ...............................................................30 
Глава 1.  Постановка задачи. Оценка области применимости "велосипедной" 
модели .....................................................................................................................39 
§ 1.1.  Описание исследуемой системы и постановка задачи.........................39 
§ 1.2.  Сравнение "велосипедной" и четырехколесной моделей движения 
автомобиля ........................................................................................................51 
1.2.1.  Описание четырехколесной модели автомобиля ............................51 
1.2.2.  Численное исследование "велосипедной" и четырехколесной 
моделей ........................................................................................................58 
Глава 2.   Математические  модели  движения  автомобиля  без  потери 
сцепления колес с дорогой.....................................................................................70 
§ 2.1.  Асимптотическая модель движения......................................................70 
2.1.1.  Построение модели...........................................................................70 
2.1.2.  Доказательство корректности модели .............................................77 
§ 2.2.  Анализ упрощенных моделей движения автомобиля без потери 
сцепления колес с дорогой ...............................................................................90 
2.2.1.  Сравнение асимптотических моделей .............................................90 
2.2.2.  Исследование неголономной модели движения автомобиля .........94 
2.2.3.  Численное исследование упрощенных моделей .............................96 
§ 2.3.  Выводы к главе 2 .................................................................................. 105 

 

Глава 3.   Математическая  модель  переменной  структуры  для  описания 
заноса автомобиля ................................................................................................107 
§ 3.1.  Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления 
передних колес с дорогой...............................................................................107 
3.1.1.  Построение модели......................................................................... 107 
3.1.2.  Доказательство корректности модели ........................................... 114 
§ 3.2.  Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления 
задних колес с дорогой ...................................................................................121 
3.2.1.  Построение модели......................................................................... 121 
3.2.2.  Доказательство корректности модели ........................................... 128 
§ 3.3.  Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления с 
дорогой колес обеих осей ...............................................................................136 
3.3.1.  Построение модели......................................................................... 136 
3.3.2.  Доказательство корректности модели ........................................... 139 
§ 3.4.  Численное исследование модели переменной структуры ................. 146 
§ 3.5.  Выводы к главе 3 .................................................................................. 159 
Заключение ...........................................................................................................161 
Литература ............................................................................................................163 
 

 

Введение 
Современная  автомобильная  промышленность  является  достаточно 
развитой,  высокотехнологичной  отраслью.  Законы  рынка  заставляют 
автопроизводителей  всесторонне  повышать  качество  выпускаемой  ими 
продукции,  уделяя  внимание  как  дизайну  автомобилей,  так  и  их  комфорту, 
надежности  и  практичности.  Особое  внимание  привлекается  к  вопросам 
безопасности  движения,  в  частности,  к  проблемам  предотвращения  ситуаций, 
приводящих к заносу автомобиля. 
Разработка надежного и безопасного автомобиля предполагает построение 
и  анализ  соответствующих  математических  моделей  на  начальном  этапе 
проектирования.  Статические  математические  модели  дают  возможность 
исследования  эффективности  так  называемых  пассивных  средств  безопасности, 
предназначенных  для  защиты  жизни  и  здоровья  водителя  и  пассажиров 
автомобиля  в  случае  аварии.  К  ним  относятся  инерционные  ремни,  подушки 
безопасности,  мягкие  элементы  передней  панели,  безопасные  стекла, 
энергопоглощающие  бамперы,  различные  элементы,  усиливающие  жесткость 
корпуса автомобиля. 
Использование  динамических  моделей  позволяет  оценить  влияние 
конструктивных  параметров  автомобиля  на  его  движение,  разработать 
эффективные  алгоритмы  управления  автомобилем  и  реализовать  их  в  виде  так 
называемых  средств  активной  безопасности.  В  отличие  от  пассивных,  средства 
активной  безопасности  контролируют  движение  и  вмешиваются  в  процесс 
управления  автомобилем,  помогая  снизить  вероятность  возникновения 
аварийных  ситуаций  и  минимизировать  их  негативные  последствия.  К  ним 
относятся антиблокировочная и антипробуксовочная системы, система курсовой 
устойчивости,  электронная  система  блокировки  дифференциала  и  проч. 
Динамические  модели  используются  также  при  разработке  программного 
обеспечения  для  различных  тестовых  стендов  и  тренажеров,  позволяющих 
сформировать у водителей необходимые навыки управления автомобилем. 

 

По статистике большинство автомобильных аварий происходит вследствие 
потери  сцепления  колес  с  дорогой,  приводящей  к  возникновению  заноса.  В 
диссертационной  работе  описывается  движение  автомобиля  в  различных 
ситуациях,  возникающих  при  разгоне,  торможении,  прохождении  поворота. 
Проводится  построение  динамической  модели  переменной  структуры, 
позволяющей  исследовать  влияние  на  возникновение  и  развитие  заноса  ряда 
параметров,  задающих  конструкцию  автомобиля,  а  также  управляющих 
воздействий: угла поворота передних колес, разгонных и тормозных моментов. 
Определим  используемое  в  данной  работе  понятие  заноса.  Рассмотрим 
движение  автомобиля  на  конечных  интервалах  времени  T ~ 0
,  в  течение 
которых  развиваются  процессы  разгона,  торможения,  поворота.  Зададимся 
программным,  невозмущенным,  движением,  например,  движением  по  средней 
линии  дорожной  полосы  с  требуемой  путевой  (продольной)  скоростью.  Будем 
предполагать,  что  соответствующие  программные  значения  угла  поворота 
передних колес, разгонных и тормозных моментов не превосходят ограничений, 
определяемых  нормами  безопасности  движения.  Зададимся  начальными 
отклонениями  δ0   параметров  бокового  движения  автомобиля  от  их 
невозмущенных,  программных,  значений.  Если  за  рассматриваемое  конечное 

время 
0
  эти  отклонения  возрастают  до  неприемлемых  по  требованиям 
безопасности  движения  значений  ε0 ,  то  будем  называть  режим  движения 
заносом. 

Таким  образом,  занос  определяется  как  проявление  технической 
неустойчивости на конечном интервале времени [1]. Приведенное определение, с 
одной  стороны,  включает  в  себя  традиционную  трактовку  заноса  как  потери 
сцепления  с  дорогой  колес  задней  оси  автомобиля  и  возникновения  "большой" 
по  абсолютной  величине  угловой  скорости  корпуса,  приводящей  к 
существенному отклонению параметров в случае программного прямолинейного 
движения.  С  другой  стороны,  данное  определение  позволяет  рассматривать  в 
качестве  заноса  и  другие  ситуации  отклонения  от  программного  движения, 
например,  случай  прямолинейного  движения  вместо  программного  движения  в 

 

повороте.  Подобный  режим  движения  чаще  всего  возникает  при  потере 
сцепления передних управляемых колес в сложных погодных условиях. 
Изучение  динамики  автомобиля  связано  с  рассмотрением  нелинейных 
систем  дифференциальных  уравнений  высокого  порядка.  Их  качественный 
анализ,  как  правило,  сложен.  Численный  анализ  подобных  систем  в  реальном 
времени  затруднен  сильным  разнесением  характерных  постоянных  времени 
движения,  в  связи  с  чем  приходится  проводить  интегрирование  уравнений 
системы  на  больших  характерных  временах  с  малым  шагом  в  долях  малого 
характерного  интервала  времени.  Вместе  с  тем  для  реализации  цели 
исследования 
изучаемые 
уравнения 
часто 
получаются 
описательно 
избыточными.  Поэтому  оказывается  актуальным  приближенное  моделирование 
движения. 
В настоящей работе рассматривается динамика автомобиля, движущегося с 
небольшими  боковыми  наклонами  при  малых  различиях  характеристик 
сцепления  правых  и  левых  колес  одной  оси  с  дорогой,  в  предположении 
недеформируемости  деталей  кузова,  рулевого  управления,  крепления  колес  и 
проч.  В  рамках  такой  постановки  постоянные  времени  движения  автомобиля 
могут быть разбиты на три группы: 
– "медленное" время траекторных движений, имеющее порядок 1 с; 
– "среднее"  время  боковых  движений  точек  контакта  колес  с  дорогой, 
имеющее порядок 0,1 с; 
– "быстрое"  время  продольных  движений  точек  контакта  колес  с  дорогой, 
имеющее порядок 0,01 с. 
 
При  движении  с  потерей  сцепления  с  дорогой  колес  обеих  осей  "быстрым" 
является характерное время вращения колес, имеющее порядок 0,1 с. 
Методы  фракционного  анализа,  объединяющего  методы  теории 
размерности и подобия [29] и методы теории сингулярных возмущений [5, 6, 39], 
позволяют  упростить  исходную  модель  автомобиля,  составленную  в 
соответствии с законами классической механики. При помощи нормализации на 
классе  "медленных"  траекторных  движений  исходная,  размерная,  система 

 

приводится  к  сингулярно  возмущенной  форме  с  малыми  параметрами, 
отражающими  малость  отношения  указанных  выше  малых  и  больших 
характерных  времен.  Методы  теории  сингулярных  возмущений  позволяют, 
далее, разделить "быстрые" и "медленные" движения автомобиля, т.е. построить 
приближенные  модели  его  движения  на  каждом  из  временных  интервалов,  и 
оценить  погрешность  и  область  применимости  указанных  моделей.  Основное 
внимание  в  работе  уделено  изучению  траекторных  движений,  описывающих 
процессы разгона, торможения, прохождение поворота и заноса автомобиля. 
В настоящей работе  впервые построена динамическая модель  переменной 
структуры,  которая  образована  набором  приближенных  математических 
моделей,  описывающих  "медленные",  траекторные,  движения  автомобиля  в 
процессе заноса при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой. 
Результаты  работы  получены  путем  упрощения  широко  используемой  в 
практических задачах "велосипедной" модели движения автомобиля. Проведено 
численное  сравнение  рассматриваемой  "велосипедной"  модели  с  известной  в 
литературе  четырехколесной  моделью  автомобиля,  достоверность  которой 
подтверждена  большим  числом  испытаний  реального  автомобиля.  При 
построении  приближенных  моделей  движения  автомобиля  в  работе 
использованы подходы, основанные на строгих математических методах. 
Теоретическая  ценность  работы  заключается  в  развитии  подходов 
фракционного 
анализа, 
ориентированных 
на 
создание 
упрощенных 
математических  моделей  движения  колесных  транспортных  средств  для 
различных  режимов  движения.  Предложены  методика  введения  в  уравнения 
движения  колесных  транспортных  средств  иерархической  структуры  малых 
параметров  и  подходы  к  исследованию  корректности  предельных  переходов  по 
введенным  малым  параметрам.  Построенные  в  диссертационной  работе 
приближенные  модели  движения  автомобиля  могут  быть  использованы  для 
верификации  более  сложных  моделей  автомобиля,  а  также  для  формирования 
алгоритмов,  используемых  в  программном  обеспечении  тренажерных 
комплексов  водителя  и  приобретающих  в  последнее  время  все  большую 

 

актуальность средств активной безопасности автомобиля, работающих в режиме 
реального времени. 
Настоящая  работа  состоит  из  введения  и  трех  глав.  Во  введении 
анализируются  подходы  к  проблеме  математического  моделирования  динамики 
автомобиля.  Приводятся  необходимые  понятия  и  теоремы  методов 
фракционного  анализа,  используемых  в  дальнейшем  при  решении  задачи.  В 
первой  главе  формируется  исходная,  "велосипедная",  математическая  модель, 
описывающая  движения  автомобиля  с  малыми  боковыми  наклонами  и  малыми 
различиями  характеристик сцепления колес одной оси с дорогой.  Используемая 
модель  контактных  сил  учитывает  явление  псевдоскольжения  при  малых 
скоростях  точек  пятна  контакта  колеса  относительно  дороги.  С  применением 
численных  методов  проводится  количественная  оценка  области  применимости 
исходной 
модели. 
Обсуждается 
постановка 
задачи 
приближенного 
моделирования  "быстрых"  и  "медленных"  составляющих  движения  автомобиля. 
Вторая  глава  посвящена  приближенному  моделированию  движения  автомобиля 
без  потери  сцепления  колес  с  дорогой.  В  третьей  главе  построена 
математическая  модель  переменной  структуры,  позволяющая  описывать  занос 
автомобиля. Указанная модель образована приближенными моделями движения 
автомобиля  при  различных  вариантах  потери  сцепления  колес  с  дорогой  и 
условиями перехода от одной модели к другой. 
Автор  выражает  глубокую  благодарность  научным  руководителям 
профессору  кафедры  прикладной  механики  и  управления  д.ф.–м.н. 
И.В. Новожилову  и  старшему  научному  сотруднику  лаборатории  управления  и 
навигации  к.ф.–м.н.  А.В. Влаховой  за  постановку  задачи  и  помощь  в  работе,  а 
также  профессору  кафедры  прикладной  механики  и  управления  д.ф.–м.н. 
Ю. Г. Мартыненко  за  ценные  замечания  и  рекомендации,  д.ф.–м.н. 
М.Х. Магомедову  и  ученому  секретарю  кафедры  прикладной  механики  и 
управления, к.ф.–м.н. П.А. Кручинину за всестороннюю поддержку. 

 

Работа  выполнена  при  финансовой  поддержке  РФФИ  (гранты  № 04–01–
00759,  06–01–00517)  и  аналитической  ведомственной  целевой  программы 
"Развитие научного потенциала высшей школы 2006–2008 г." 
Основные результаты работы опубликованы в статьях [13–17, 37, 38]. 
§ 1. Анализ подходов к математическому и численному 
моделированию движения автомобиля 
1.1. О  применении  "велосипедной"  модели  движения  колесных 
транспортных средств 
В  работах,  посвященных  математическому  и  численному  моделированию 
движения  колесных  транспортных  средств,  в  частности  автомобилей,  часто 
используется "велосипедная" модель движения. Данная модель применяется при 
описании  движений  колесных  транспортных  средств  с  малыми  боковыми 
наклонами  в  случаях,  когда  можно  пренебречь  различиями  между 
характеристиками  сцепления  правых  и  левых  колес  одной  оси  с  дорогой.  В 
рамках  этой  модели  передние  колеса  заменяются  одним  эквивалентным 
передним  колесом,  задние  –  одним  задним.  Движением  переднего  колеса 
управляет  водитель  или  адаптивная  система  управления,  ось  вращения  заднего 
колеса  фиксирована  в  корпусе.  Предполагается,  что  корпус  и  колеса  являются 
абсолютно  жесткими,  и  аппарат  не  имеет  боковых  наклонов.  Такая  модель 
использовалась  при  математическом  моделировании  траекторных  движений  и 
формировании  алгоритмов  управления  транспортными  и  робототехническими 
системами  [12, 30, 32, 34, 52, 62, 66, 70, 77],  в  том  числе  в  специализированных 
средах  моделирования  Modelica,  Dymola,  Adams,  Spacar,  Simpack,  Carsim 
[46, 49, 59, 61] и проч. 
Применительно  к  автомобилю  указанные  выше  режимы  движения 
характерны,  прежде  всего,  для  неэкстремальных  условий  вождения  [60].  К  ним 
относятся движения без проскальзывания колес относительно дороги, движения 
с  невысокой  путевой  скоростью,  малым  углом  поворота  управляемых  колес  и, 

 
10 
как  следствие,  малыми  углами  увода  [32, 64, 65].  В  [58]  отмечено,  что 
"велосипедная"  модель  достаточно  хорошо  описывает  динамику  автомобиля  в 
случаях,  когда  величина  бокового  ускорения  не  превосходит  0,3–0,4 g.  Помимо 
этого,  велосипедная  модель  может  применяться  и  для  случаев  движения 
автомобиля по скользкой поверхности с достаточно большой путевой и угловой 
скоростью,  когда  коэффициент  сцепления  колес  с  дорогой  мал,  следовательно, 
на  колеса  автомобиля  действуют  сравнительно  малые  по  абсолютной  величине 
контактные  силы  [55, 64].  Это  позволяет  пренебрегать  перераспределением 
нагрузки между колесами одной оси и использовать "велосипедную" модель для 
описания заноса автомобиля [12, 71]. 
Разумеется,  "велосипедная"  модель  не  позволяет  описывать  движения 
автомобиля,  при  которых  различие  между  характеристиками  сцепления  колес 
одной оси с дорогой велико. К таким режимам относятся движение на "миксте" 
(движение по поверхности с различными коэффициентами сцепления для правых 
и левых колес одной оси), движение с неравномерным сопротивлением качению, 
а  также  неравномерным  распределением  тяговых  и  тормозных  сил  и  моментов 
между  колесами  одной  оси.  Подобные  режимы  движения  могут  возникать  при 
наличии  в  автомобиле  технических  неисправностей,  таких,  как  неравномерное 
или  неодновременное  срабатывание  тормозных  механизмов,  могут  быть 
следствием  конструктивных  особенностей,  например,  наличия  приводов 
различной  длины  или  работы  дифференциалов,  а  также  влиянием  внешних 
факторов.  При  использовании  "велосипедной"  модели  для  описания  движения 
автомобиля необходимо учитывать подобные ограничения и заранее оговаривать 
класс рассматриваемого движения. 
В  [54]  точность  "велосипедной"  модели  оценивается  путем  анализа 
экспериментальных  данных.  Проводится  серия  заездов,  в  ходе  которых 
используются автомобили, оборудованные датчиками продольной скорости, угла 
поворота  управляемого  переднего  колеса  и  GPS.  В  каждом  из  заездов 
автомобиль  движется  с  постоянной  скоростью  и  углом  поворота  управляемого 
колеса. На основании полученных данных строятся усредненные оценки вектора 

 
11 
состояния  и  других  параметров  движения  автомобиля  в  зависимости  от 
продольной скорости и угла поворота управляемых колес, которые сравниваются 
с  результатами,  полученными  при  помощи  "велосипедной"  модели.  Показано, 
что "велосипедная" модель достаточно точно описывает движения автомобиля с 
постоянной  скоростью  и  переменным  углом  поворота,  а  также  с  постоянным 
углом  поворота  и  постоянной  или  незначительно  изменяющейся  продольной 
скоростью 
движения. 
Наименьшую 
точность 
"велосипедная" 
модель 
демонстрирует  в  ситуации  сильного  изменения  продольной  скорости,  что 
характерно, например, для начального этапа интенсивного разгона в повороте. 
Как  отмечено  в  [61],  "велосипедная"  модель  часто  используется  1)  как 
объект  исследования  при  изучении  общих  свойств  сложных  неголономных 
систем; 2) при качественном исследовании влияния конструктивных параметров 
на  движение  автомобиля;  3)  при  построении  управлений  с  обратной  связью. 
Упомянутые  выше  работы  относятся  к  первым  двум  группам.  Работы, 
относящиеся к третьей группе, посвящены формированию и отладке алгоритмов, 
составляющих  основу  программного  обеспечения  тренажерных  комплексов  и 
контроллеров  обратной  связи,  работающих  в  реальном  времени  и 
предназначенных  для  повышения  уровня  безопасности  при  управлении 
автомобилем. Остановимся на некоторых из них. 
В  [30] на  основе  "велосипедной" модели построена динамическая модель, 
позволяющая  в  реальном  времени  описывать  составляющие  движения 
автомобиля,  развивающиеся  в  различных  временных  масштабах.  Модель 
учитывает  "медленные"  движения  на  временах  порядка  нескольких  секунд, 
характеризующие  процессы  разгона,  торможения,  поворота,  заноса  автомобиля, 
а  также  "быстрые"  движения  на  временах  порядка  секунды  и  долей  секунды, 
описывающие  вертикальные  и  угловые  колебания  кузова  за  счет  деформаций 
рессор  и  изменения  скоростей  вращения  составляющих  конструкции  двигателя, 
трансмиссии  и  колес.  Полученная  модель  использовалась  при  разработке 
программного  обеспечения  для  тренажерного  комплекса  водителя.  Обучающие 
программы тренажерного комплекса позволяют оценить имеющиеся  у  водителя 

 
12 
навыки, повысить скорость и эффективность обучения начинающих водителей, а 
также контролировать процесс обучения. 
В  [51]  разработан  вспомогательный  контроллер  обратной  связи,  который 
позволяет  водителю  сохранить  безопасную  угловую  скорость  поворота 
автомобиля за счет управления углом поворота задних колес по информации об 
угле  поворота  передних  колес.  При  построении  алгоритма  работы  контроллера 
используется  "велосипедная"  модель  автомобиля,  движущегося  с  постоянной 
путевой скоростью. Углом поворота передних колес управляет водитель. 
При  построении  управлений  с  обратной  связью  в  большинстве  работ 
используется  линейная  по  углам  увода  и  поворота  переднего  колеса 
"велосипедная"  модель.  Рассматривается  движение  транспортного  средства  с 
фиксированным  центром  масс,  движущегося  без  боковых  наклонов  по 
горизонтальной  ровной  поверхности.  Влияние  аэродинамических  сил  и 
деформации  пневматика  на  движение  автомобиля  не 
учитывается. 
Предполагается,  что  контактные  силы  линейно  зависят  от  углов  увода  и  угла 
поворота переднего управляемого колеса [62]. 
В  [55]  используется  "велосипедная"  модель  автомобиля,  учитывающая 
малое  боковое  смещение  поверхностей  колес  в  пятне  контакта  относительно 
дороги. Осуществляется робастное управление углом поворота переднего колеса 
на  основе  информации,  полученной  от  датчика  угловой  скорости  корпуса 
автомобиля.  При  построении  используется  модель  боковой  контактной  силы, 
линейная по малому углу поворота переднего управляемого колеса. 
В [48] для проверки работы алгоритма вспомогательного робастного управления 
используется  тест  на  выполнение  маневра  с  двойным  перестроением, 
одобренный  Международной  организацией  по  стандартам  (ISO)  (рис. В.1).  По 
условиям  теста  автомобиль,  разогнанный  до  достаточно  высокой  скорости,  на 
ограниченном участке дороги перестраивается с занимаемой полосы движения, а 
затем  возвращается  обратно.  Имитируемый  подобным  образом  экстренный 
объезд  препятствия  выполняется  только  при  помощи  управления  рулем. 
Указанный  тест  используется  для  оценки  безопасности  движения  автомобиля  в 


 
13 
экстремальных  условиях:  тест  считается  успешно  пройденным,  если  в  процессе 
маневрирования автомобиль не выкатывается за пределы ограниченного участка, 
т.е. согласно приведенному выше определению не входит в занос. 
 
Рис. В.1. Прохождение стандартного теста на выполнение маневра с двойным 
перестроением [48] 
В [74] с применением "велосипедной" модели проводится формирование и 
тестирование алгоритмов работы системы круиз-контроль, предназначенной для 
оценки  скорости,  положения  автомобиля  и  осуществления  робастного 
управления,  позволяющего  сохранять  заданную  скорость  и  направление 
движения без участия водителя. 
В  [56]  рассматривается  управление  автомобилем  при  помощи  технологии 
steer-by-wire.  (В  системе  steer-by-wire  в  конструкции  рулевого  управления 
отсутствует  механическая  связь  между  рулевым  и  управляемыми  колесами 
автомобиля,  поворот  колес  происходит  за  счет  работы  электродвигателей  и 
вспомогательной  электроники.)  Известно,  что  в  автомобилях,  оснащенных 
подобными  системами,  боковые  компоненты  контактных  сил  создают 
возмущающий  момент,  который  мешает  работе  двигателей,  управляющих 
поворотом  колес.  Для  устранения  указанного  недостатка  проводилась 
корректировка  алгоритма  steer-by-wire.  При  формировании  модифицированного 
алгоритма  использовалась  "велосипедная"  модель  движения  автомобиля. 

 
14 
Испытания  реального  автомобиля  показали,  что  скорректированный  алгоритм 
позволяет устранить часть погрешностей и повысить точность оценки состояния 
системы. 
1.2. Модели взаимодействия колеса с опорной поверхностью 
Задачи  о  качении  колеса  по  шероховатой  поверхности  в  теоретической 
механике  часто  решаются  в  предположении,  что  колесо  –  абсолютно  твердое 
тело,  взаимодействующее  с  поверхностью  посредством  трения  качения.  Для 
пневматических деформируемых колес или для транспортных средств, имеющих 
более  одной  колесной  пары,  неголономная  модель  нередко  имеет  сильное 
отклонение от данных эксперимента, либо приводит к переопределенной системе 
уравнений.  Выход  из  положения  дается  моделями,  учитывающими 
деформируемость колеса, т.е. конечномерность пятна контакта колеса и опорной 
поверхности. Указанные модели позволяют тем или иным образом сформировать 
соотношения  между  касательными  и  нормальными  напряжениями  в  области 
контакта. 
В 
предположении, 
что 
контактные 
напряжения 
имеют 
равнодействующую, 
могут 
быть 
получены 
выражения 
для 
этой 
равнодействующей  и  главного  момента  контактных  сил  (так  называемого 
момента верчения) в области взаимодействия в зависимости от скорости центра 
этой  области.  В  ряде  случаев  при  составлении  уравнений  движения 
транспортного  средства  от  предположения  о  деформируемости  колес 
отказываются  и  используют  следующую  гипотезу.  Колесо  предполагается 
абсолютно  твердым,  а  к  силам  и  моментам,  приложенным  к  нему,  добавляются 
полученные  выражения для равнодействующей и главного момента контактных 
сил.  Обоснование  указанной  гипотезы  приведено  в  [24].  В  транспортной 
механике  наиболее  часто  рассматриваются  модели  с  жесткими  и 
деформируемыми  колесами,  основанные  на  описании  явления  бокового  увода 
[24, 43, 45, 58, 67].  Модели,  используемые  в  предположении  деформируемости 
колес  [50, 67, 77],  в  основном  применяются  в  задачах,  где  требуется  высокая 
точность  результатов.  Как  правило,  такие  задачи  решаются  с  применением 

 
15 
численных  методов.  Модели  с  жесткими  колесами  в  ряде  случаев  допускают 
качественное 
исследование. 
Большое 
число 
моделей 
контактного 
взаимодействия  колеса  с  опорной  поверхностью  можно  найти  в  работах 
[8, 24, 28, 26, 42, 44].  Остановимся  на  некоторых  из  них,  часто  используемых  в 
приложениях. 
В  рамках  гипотезы  увода  Рокара  [24, 35]  рассматривается  колесо  с 
пневматиком,  испытывающим  упругую  деформацию  под  действием  боковой 
силы,  приложенной  к  оси  колеса.  При  этом  колесо  начинает  двигаться  в 
направлении, образующем некий угол (угол увода) с геометрической плоскостью 
недеформируемого  колеса.  Угол  увода  считается  пропорциональным  величине 
боковой  деформации  пневматика,  которая,  в  свою  очередь,  пропорциональна 
величине боковой силы. Вместо деформации пневматика может рассматриваться 
боковой  увод  абсолютно  жесткого  колеса,  при  этом  в  уравнения  добавляется 
боковая сила, пропорциональная углу увода. 
В  теории  Грейдануса  [28],  помимо  боковой  деформации,  учитывается 
также  деформация  скручивания  пневматика.  Рассматривается  центральная 
окружность,  образованная  пересечением  центральной  плоскости  колеса  с 
внешним контуром. Боковая деформация задается как расстояние от точки пятна 
контакта  колеса,  принадлежащей  центральной  окружности,  до  проекции 
основной,  недеформированной,  части  центральной  окружности  на  опорную 
плоскость.  Скручивание  задается  углом  между  указанной  проекцией  и 
касательной  к  кривой,  образованной  деформированной  частью  центральной 
окружности, в рассматриваемой точке. 
Модель  Келдыша  [21],  помимо  деформаций  в  пятне  контакта,  учитывает 
боковое  отклонение  колеса.  Деформация  колеса  характеризуется  тремя 
параметрами:  расстоянием  от  центра  пятна  контакта  до  линии  пересечения 
диаметральной  плоскости  обода  колеса  с  опорной  поверхностью,  углом  между 
вышеуказанной линией и средней линией пятна контакта, а также углом наклона 
обода колеса, отсчитываемым от вертикали до диаметральной плоскости. 

 
16 
В  [43]  выводятся  уравнения  движения  колеса,  деформируемого  в 
радиальном,  тангенциальном  и  боковом  направлениях.  Деформации  колеса  в 
радиальном  и  тангенциальном  направлениях  записываются  с  учетом 
переменного радиуса колеса, проведенного к центру области контакта с дорогой, 
боковые  деформации  определяются  углом  бокового  увода.  Рассматриваются 
движения  колеса  в  различных  режимах  под  действием  вертикальной  и  боковой 
нагрузки,  тягового  и  тормозного  моментов,  а  также  сил  и  моментов 
сопротивления.  Точка  приложения  равнодействующей  контактных  сил 
предполагается  смещенной  относительно  вертикали,  проходящей  через  центр 
колеса.  Приводятся  результаты  эксперимента  по  определению  зависимости 
радиуса  качения  колеса  от  приложенного  к  колесу  разгонного  или  тормозного 
момента, а также давления воздуха в пневматике. 
В  [19]  рассмотрена  задача  о  качении  абсолютно  твердого  тела  по 
горизонтальной  ровной  поверхности.  Для  описания  контакта  применяется 
модель комбинированного сухого трения Контенсу [23], согласно которой тело и 
поверхность  имеют  общую  малую  площадку  контакта,  внутри  которой 
происходит взаимодействие в соответствии с законом сухого трения Кулона; для 
описания  распределения  контактных  сил  по  поверхности  пятна  контакта 
используется  теория  Герца.  В  работе  решена  задача  определения  касательных 
составляющих  контактных  сил  и  момента  верчения  путем  интегрирования 
касательных  напряжений  по  площадке  контакта,  получены  зависимости 
указанных  величин  от  коэффициента  кулонова  трения  скольжения,  нормальной 
реакции,  радиуса  пятна  контакта,  поступательной  и  угловой  скоростей 
движущегося  тела.  Показано,  что  в  данной  двумерной  модели,  в  отличие  от 
одномерной  модели  кулонова  трения,  отсутствует  понятие  трения  трогания,  а 
трения скольжения и верчения являются взаимозависимыми. В качестве примера 
рассматривается задача о качении с сухим трением однородного тяжелого шара 
по горизонтальной поверхности. Отмечено, что можно упростить аналитическое 
решение  задачи,  воспользовавшись  малостью  параметра,  характеризующего 
отношение радиуса пятна контакта к радиусу шара. 


 
17 
В  [3]  для  описания  контактно  взаимодействия  колеса  с  дорогой 
используется  модель  сухого  трения  Кулона,  учитывающая  так  называемый 
Штрибек-эффект  [47]:  в  модель  включается  падающий  участок  зависимости 
контактной  силы  от  скорости  центра  области  контакта,  отражающий  различие 
между  силой  трения  трогания  и  максимальным  значением  силы  трения 
скольжения. 
 
Рис. В.2. Зависимости продольной компоненты контактной силы Px от величины продольного 
проскальзывания Ex (a), боковой компоненты контактной силы Py (б) и момента верчения M
(в) от угла увода α при различных значениях нормальной реакции N 
При  решении  вычислительных  задач  транспортной  динамики  часто 
используется  так  называемая  Magic  Formula  Пацейки  [66, 67].  Magic  Formula 
позволяет в реальном времени с высокой степенью точности вычислять значения 
продольной,  боковой  контактных  сил  и  момента  верчения  в  пятне  контакта  в 
зависимости  от  нормальной  реакции,  величины  продольного  проскальзывания 

 
18 
E = U
ΩR
x
x
 ( U x  – продольная компонента скорости центра пятна контакта;  Ω , 
R   –  угловая  скорость  осевого  вращения  и  радиус  колеса),  угла  увода  и  других 
динамических  параметров  (рис. В.2).  Она  представляет  собой  набор 
алгебраических 
уравнений, 
состоящих 
из 
комбинации 
нескольких 
тригонометрических  функций  и  набора  коэффициентов,  определяющих 
характеристики  контактной  силы.  Основной  проблемой  при  использовании 
Magic  Formula  является  необходимость  экспериментального  определения 
значений  указанных  коэффициентов  в  зависимости  от  типа  пневматика  и 
состояния  дорожного  покрытия.  Несмотря  на  это,  главными  достоинствами 
Magic  Formula  являются  ее  высокая  точность  и  простота  использования,  что 
позволяет с успехом применять ее при решении вычислительных задач динамики 
колесных  транспортных  средств  как  крупнейшим  мировым  производителям 
автомобильной резины, так и разработчикам автомобильных симуляторов. Magic 
Formula  часто  используется  для  решения  различных  прикладных  задач,  в  том 
числе тех, где описывается движение автомобиля в процессе заноса. 
В работе [73] предложен метод нахождения коэффициентов Magic Formula 
при наличии ограниченного объема измерений боковой компоненты контактной 
силы  и  момента  сопротивления  в  пятне  контакта  колеса.  Полученные 
коэффициенты позволяют построить полный спектр характеристик продольной и 
боковой  компонент  контактной  силы,  а  также  момента  верчения  в  зависимости 
от  нормальной  реакции,  продольного  проскальзывания,  углов  увода  и  развала 
колес (угол развала – угол между плоскостью вращения колеса и вертикалью). 
В  [45]  при  помощи  Magic  Formula  построена  трехмерная  диаграмма 
зависимости  боковой  компоненты  контактной  силы  от  угла  бокового  увода  и 
продольного  проскальзывания  центра  пятна  контакта  колеса.  Полученная 
зависимость использована для оценки предельных значений боковой контактной 
силы  при  анализе  движения  автомобиля  в  различных  режимах  управляемого 
заноса. Показано, что для небольших по величине продольных проскальзываний 
допустимо  использование  линейной  зависимости  между  боковой  контактной 
силой и углом увода. 

 
19 
SWIFT-модель 
[67], 
разработанная  под  руководством  Пацейки, 
представляет  собой  расширение  Magic  Formula,  позволяющее  описывать 
высокочастотные  составляющие  движения  транспортного  средства  при 
перемещении по неровным поверхностям с малой протяженностью препятствий 
(от 20 см) и средней частотой наезда на них (до 60 Гц) при различных значениях 
проскальзывания колеса относительно дороги. Рассматривается модель колеса, в 
которой  жесткий  инерционный  внешний  обод  соединен  с  основной  частью 
колеса  при  помощи  упругих  и  демпфирующих  элементов.  Касательные 
деформации колеса в области пятна контакта задаются в рамках  "brush-модели" 
П. Фромма [68]: контур покрыт бесконечно малыми упругими безынерционными 
не  взаимодействующими  друг  с  другом  элементами,  так  называемыми 
"щетинками",  которые  одним  концом  прикреплены  к  контуру  колеса.  При 
контакте с дорогой опорные концы "щетинок" взаимодействует с ней по закону 
Кулона.  Для  описания  нелинейного  характера  зависимости  контактной  силы  и 
момента  верчения  от  величины  проскальзывания  центра  пятна  контакта  колеса 
относительно дороги применяется Magic Formula. 
В  [72]  Magic  Formula  и  SWIFT-модель  были  уточнены  за  счет  учета 
изменения  давления  в  колесе.  Достоверность  полученных  результатов 
подтверждена экспериментальными данными. 
Большой  объем  экспериментальных  данных  для  решения  задач  динамики 
колесных  транспортных  средств  представлен  в  работах  [53, 77].  Отчет  [53] 
посвящен  сравнительному  анализу  характеристик  нескольких  десятков  типов 
колесных  шин.  Приводятся  экспериментальные  данные,  полученные  при 
изучении  движения  транспортных  средств  в  повороте  в  режимах,  близких  к 
заносу,  в  процессе  заноса,  движения  по  поверхностям  с  различными 
характеристиками  сцепления  и  проч.  Определяются  максимальные  значения 
продольной  и  боковой  компонент  контактной  силы,  предельный  тормозной 
момент,  при  котором  колесо  блокируется,  максимальная  величина  контактной 
силы при фиксированном угле увода, тормозной путь. 

 
20 
В работе [77] приводятся данные о коэффициенте сопротивления качению. 
Исследуется  влияние на  него качества  поверхности, давления в шине, диаметра 
колеса, моментов разгона или торможения и проч. Получены также зависимости 
боковой  жесткости  шины  от  нормальной  реакции,  момента  верчения  от  угла 
увода  при  различных  значениях  нормальных  реакций,  коэффициенты 
вертикальной  жесткости  и  вертикального  демпфирования  пневматика, 
приводятся значения коэффициентов Magic Formula для различных типов шин. 
Рассмотренные  выше  модели  контактного  взаимодействия  колеса  с 
опорной  поверхностью  можно  разделить  на  две  группы.  К  первой  относятся 
модели,  в  которых  предполагается,  что  колесо  не  теряет  сцепления  с  опорной 
поверхностью,  т.е.  в  пятне  контакта  присутствуют  области,  в  которых 
поверхность  колеса  неподвижна  относительно  опорной  поверхности  (области 
сцепления).  Данное  обстоятельство  запрещает  использование  этих  моделей  для 
описания  режимов  блокировки,  пробуксовки  и  заноса,  при  которых  колеса 
автомобиля  скользят  по  дороге.  Вторая  группа  моделей  пригодна  для  описания 
указанных  режимов  движения,  однако,  в  виду  достаточной  сложности, 
практически  не  допускает  качественного  исследования  и  численного 
исследования в реальном времени. 
В 
диссертационной 
работе 
используется 
модель 
движения 
деформируемого  колеса  из  [29, 31].  Указанная  модель  обобщает  классические 
представления  о  нелинейных  моделях  увода  и  позволяет  описывать  как 
движение  колеса  без  потери  сцепления  с  абсолютно  жесткой  горизонтальной 
поверхностью  (при  этом  указанная  модель  может  быть  сведена  к  классическим 
моделям Рокара, Келдыша, Фромма), так и движение в случае потери сцепления 
с  поверхностью.  (В  последнем  случае  в  пятне  контакта  отсутствуют  области 
сцепления,  т.е.  колесо  скользит  относительно  опорной  поверхности.)  В  рамках 
указанной  модели  колесо  считается  телом  вращения  с  осью  вращения, 
параллельной  опорной  поверхности.  В  ненагруженном  состоянии  колесо  имеет 
единственную  точку  контакта  с  этой  опорной  поверхностью.  При  нагружении 
колеса  в  окрестности  точки  контакта  происходят  радиальные  деформации,  и 

 
21 
точка контакта становится центром симметричной площадки контакта, при этом 
основная часть внешнего контура колеса остается неизменной. Внешний контур 
колеса  предполагается  нерастяжимым  в  касательном  направлении.  Модель 
объединяет гипотезу Келдыша и гипотезу brush-модели Фромма. 
Моделирование качения без потери сцепления с поверхностью проводится 
в  предположении,  что  опорные  концы  всех  "щетинок"  пятна  контакта 
неподвижны.  Упругая  контактная  сила  в  этом  случае  прямо  пропорциональна 
величине  суммарной  деформации  "щетинок"  и  не  превосходит  силы  кулонова 
трения  трогания.  Выражения  для  касательных  компонент  контактных  сил 
учитывают  так  называемое  явление  "псевдоскольжения",  связанное  с  тем,  что 
при малых скоростях движения колес относительно опорной поверхности внутри 
пятна 
контакта 
последнее 
разделяется 
на 
зоны 
сцепления 
и 
микропроскальзывания, что влечет за собой уменьшение величины касательных 
составляющих  контактных  сил  по  сравнению  с  соответствующими 
максимальными значениями, когда имеет место скольжение пятна контакта. При 
моделировании скольжения пятна контакта предполагается,  что опорные концы 
всех  "щетинок"  площадки  контакта  проскальзывают,  контактная  сила  кулонова 
трения  скольжения  считается  постоянной,  не  зависящей  от  скоростей  точек 
контакта  и  равной  силе  кулонова  трения  трогания.  В  рамках  указанной  модели 
пренебрегают моментом верчения в пятне контакта. 
Выражения  для  продольной  и  боковой  компонент  контактной  силы  могут 
быть записаны в виде 
Ε
Εy
P = −æ N x p(Ε)
P = −æ
Ε
x
x
Ε

N
p( )
y
y
Ε

(1.1) 
где  æ
æ
x , 
y   –  коэффициенты  кулонова  трения  скольжения  в  продольном  и 
боковом  направлениях  относительно  плоскости  симметрии  колеса;  N   – 
нормальная реакция; 
U
U
x
Ε =
y
Ε =
x
Ω , 
y

(1.2) 
R
ΩR
–  проскальзывания  поверхностей  колес  относительно  опорной  поверхности  в 



 
22 
продольном  и  боковом  направлениях, 
2
2
Ε = Ε + Ε
U
x
y ;  U x , 
y   –  проекции 
вектора  скорости  центра  пятна  контакта  на  продольное  и  боковое  направления; 
Ω,  R  – угловая скорость осевого вращения и радиус колеса. Зависимость  p(E) в 
(1.1)  определяется  из  эксперимента.  На  рис. В.3  показан  типичный  график  этой 
зависимости,  отвечающий  рис. В.2.  Величины  E
E
x , 
y ,  отвечающие  небольшим 
значениям  относительных  проскальзываний  E
1
,
0 ,  когда  зависимость  p(E) 
близка к линейной, получили  название  псевдоскольжений. Как правило, график 
зависимости  p(E) на падающем участке близок к горизонтальной прямой. 
 
Рис. В.3. Характеристика контактной силы 
Указанная  модель  позволяет  описывать  установившиеся  движения 
автомобиля,  движение  автомобиля  при  переходе  из  режима  чистого  качения  в 
режим  слабого  проскальзывания  колес,  а  также  движение  в  режиме  заноса. 
Достаточная  простота  модели  дает  возможность  использовать  ее  для 
аналитических исследований и приближенного моделирования. 
1.3. Четырехколесные  модели  автомобиля  для  различных  режимов 
движения 
Как  указывалось  выше,  под  заносом  автомобиля  в  литературе  обычно 
понимают  наличие  бокового  скольжения  хотя  бы  одной  из  его  осей.  В  работе 
[36]  отмечено,  что  боковое  скольжение  оси  возникает,  когда  контактная  сила 
достигает  своего  предельного  значения,  равного  силе  трения  трогания.  Это 
может  происходить  в  двух  случаях:  при  воздействии  на  автомобиль  достаточно 
больших  боковых  сил;  в  ситуациях,  когда  продольные  компоненты  контактных 

 
23 
сил  велики,  при  этом  для  возникновения  бокового  скольжения  оси  достаточно 
относительно  малых  боковых  сил.  Возникновение  первой  ситуации  наиболее 
вероятно при движении автомобиля с большим углом поворота передних колес и 
большой  путевой  скоростью,  а  также  при  движении  по  поверхности  с  большим 
углом бокового наклона;  вторая ситуация бокового скольжения оси автомобиля 
чаще всего возникает при интенсивном торможении или разгоне. 
Как  правило,  бóльшую  угрозу  для  безопасности  движения  представляет 
боковое скольжение задней оси. Для оценки степени устойчивости движения оси 
автомобиля  применяют  различные  критерии.  Их  многообразие  обусловлено  не 
только  числом  возможных  комбинаций,  в  которых  одно  или  несколько  колес 
автомобиля  теряют  сцепление  с  дорогой,  но  и  многообразием  моделей 
контактного взаимодействия колеса с опорной поверхностью. 
В  [43]  рассматриваются  модели  движения  автомобиля  с  эластичными  и, 
как частные случаи, с жесткими в одном или нескольких направлениях колесами 
под  действием  сил  инерции,  сил  сопротивления  качению  и  аэродинамических 
сил.  Определяются  зависимости  продольных  и  боковых  компонент  контактных 
сил,  действующих  на  колеса  автомобиля,  от  параметров  системы,  при  этом 
рассматриваются так называемые суммарные боковые реакции – суммы боковых 
компонент  контактных  сил,  действующих  на  оба  колеса  каждой  оси.  Показано, 
что  на  суммарную  боковую  реакцию  и,  как  следствие,  на  возможность  входа 
автомобиля  в  занос,  наибольшее  влияние  оказывают  продольная  скорость  и 
угловое  ускорение  автомобиля,  величина  радиуса  поворота,  скорость  поворота 
управляемых  колес,  различие  между  сопротивлениями  качению  внутренних  (по 
отношению  к  повороту)  и  внешних  колес,  а  также,  в  случае  заднеприводного 
автомобиля, неравномерность распределения тяговой силы по ведущим колесам 
и величина тяговой силы. 
В  качестве  критериев,  характеризующих  потерю  устойчивости  движения 
задней  ведущей  оси  автомобиля,  применяются:  для  автомобиля  с  жесткими 
колесами  –  начало  пробуксовывания  внутреннего  колеса,  начало  бокового 
скольжения оси в случае пробуксовывания ее внутреннего колеса при движении 

 
24 
в  повороте  или  начало  бокового  скольжения  оси  без  предварительного 
пробуксовывания  ее  внутреннего  колеса;  для  автомобиля  с  колесами, 
обладающими  боковой  эластичностью  –  начало  пробуксовывания  и  бокового 
скольжения  внутреннего  колеса  оси,  начало  бокового  скольжения  оси  при 
наличии пробуксовывания и бокового скольжения внутреннего колеса. 
Для  количественной  оценки  устойчивости  ведущей  оси  рассматривают 
соотношения  между  коэффициентами  боковой  устойчивости  и  тяговой 
(тормозной)  силы  или  соотношения  между  величиной  продольной  скорости  и 
радиусом  поворота  автомобиля.  (Под  коэффициентом  боковой  устойчивости 
понимается отношение суммарной боковой реакции оси  к весу, приходящемуся 
на эту ось; коэффициент тяговой (тормозной) силы определяется как отношение 
силы,  создаваемой  разгонным  (тормозным)  моментом,  к  весу  автомобиля.)  Для 
каждого из рассмотренных  выше  критериев потери  устойчивости движения  оси 
автомобиля  находятся  предельные  значения  указанных  соотношений  в 
зависимости от параметров системы, приводятся результаты численных расчетов 
для  конкретных  типов  автомобилей.  Рассматриваются  способы  управления, 
позволяющие прекратить начавшийся занос. 
В работе [22] проводится определение реакций дорожной поверхности при 
неустановившемся  движении  автомобиля  в  повороте  с  постоянной  путевой 
скоростью.  Дорожная  поверхность  считается  горизонтальной  и  шероховатой; 
колеса  –  абсолютно  жесткими  и  катящимися  без  проскальзывания.  Для  колес 
одной  оси  продольные  и  боковые  компоненты  контактных  сил  заменяются 
равнодействующими  силами,  нормальные  компоненты  контактных  сил  на  всех 
колесах  считаются  одинаковыми  и  постоянными.  Рассматривается  кинематика 
движения  переднее-  и  заднеприводного  автомобиля,  находятся  зависимости 
контактных  сил  от  геометрических  параметров  автомобиля,  угла  поворота 
управляемых  колес,  линейных  и  угловых  скоростей  и  ускорений  корпуса. 
Показано,  что  значения  контактных  сил  на  входе  в  поворот  превосходят 
соответствующие значения на выходе из поворота; при линеаризации уравнений 
модели  в  случае  движения  с  малым  углом  поворота  передних  колес  теряются 

 
25 
различия  между  моделями  с  передним  и  задним  приводами;  при  движении  с 
большими  углами  поворота  передних  колес  наибольшие  боковые  контактные 
силы  действуют  на  автомобиль  с  задним  приводом,  поэтому  на  крутых 
поворотах и при недостаточном сцеплении колес с дорогой такой автомобиль  в 
наибольшей степени подвержен боковым заносам; при входе в поворот больший 
запас  устойчивости  против  заноса  имеет  автомобиль  с  задним  приводом,  при 
выходе – с передним. 
Большое  число  работ  посвящено  численному  моделированию  движения 
колесных  систем.  В  [3]  рассматривается  движение  колесных  роботов  с 
различной,  в  том  числе  и  автомобильной,  компоновкой  колес.  Используется 
алгоритмическая модель качения колеса, позволяющая одновременно описывать 
псевдоскольжение    и  полное  проскальзывание  (блокировка,  пробуксовка, 
боковое  скольжение).  Для  заданного  закона  управления,  соответствующего  (в 
неголономной постановке) движению робота по модельной гладкой траектории, 
состоящей  из  участков  прямых  и  окружностей,  проводится  численное 
моделирование  движения  робота  в  режиме  проскальзывания  с  различными 
коэффициентами  сцепления  колес  с  дорогой.  Полученные  экспериментальные 
траектории движения и графики изменения параметров системы сравниваются с 
модельными.  Оцениваются  постоянные  времени  переходных  процессов  между 
режимами движения с псевдоскольжением и полным проскальзыванием. 
Работы  [27, 33]  посвящены  математическому  моделированию  движения 
колесных  мобильных  роботов.  Для  построения  моделей  используется  векторно-
матричный  формализм  неголономной  механики.  Исследуются  свойства 
свободных  движений  трех-  и  четырехколесных  мобильных  роботов  при 
различных управляющих воздействиях на переднюю ось: свободное движение по 
инерции,  движение  при  наличии  упругого  и  периодического  моментов, 
приложенных  к  передней  оси  робота.  Обсуждаются  вопросы  формирования 
алгоритмов управления, обеспечивающих реализацию программных движений. 
В  [58]  рассматривается  четырехколесная  модель  движения  автомобиля. 
Предполагается,  что  автомобиль  является  симметричным  относительно 

 
26 
продольной  оси;  ширина  передней  и  задней  колеи  совпадают;  путевая  скорость 
постоянна  по  величине;  колеса  одной  оси  имеют  одинаковый  угол  увода;  в 
используемой нелинейной модели контактных сил отсутствует момент верчения; 
влияние  подвески  и  запаздывание  в  рулевом  механизме  пренебрежимо  малы. 
При  помощи  численного  интегрирования  уравнений  в  среде  Matlab  на  примере 
автомобилей  трех  различных  типов  исследуется  влияние  геометрических  и 
инерционных  параметров  конструкции  автомобиля  на  устойчивость  его 
движения.  К  исследуемым  параметрам  относятся  распределение  массы  между 
передней и задней осями, масса автомобиля и его момент инерции относительно 
вертикальной  оси,  коэффициент  устойчивости  (отношение  ширины  колеи  к 
удвоенной  высоте  центра  масс).  Влияние  каждого  из  параметров 
рассматривается  в  рамках  отдельной  задачи,  при  этом  исследуемый  параметр 
является варьируемым, оставшиеся параметры считаются постоянными. Во всех 
задачах  используются  одинаковые  начальные  условия.  Показано,  что 
наибольшее  влияние  на  характер  движения  оказывает  распределение  массы 
между передней и задней осями.  
В  статье  [48]  разрабатывается  методика  оценки  безопасности  движения 
автомобиля  при  прохождении  стандартного  теста  на  объезд  препятствия  при 
постоянной  скорости  движения.  Предложен  численный  алгоритм  нахождения 
безаварийного  управления  и  максимально  возможной  скорости  выполнения 
маневра:  строится  дерево  состояний  системы  (вершиной  дерева  является 
начальное  состояние  системы);  далее,  варьируя  часть  параметров,  получают 
возможные  состояния  системы  по  истечении  некоторого  малого  промежутка 
времени; часть из этих состояний, не удовлетворяющих наложенным на систему 
ограничениям, отбрасывается (к отбрасываемым относятся, например, состояния, 
при которых автомобиль достигает края дороги или наезжает на препятствие), а 
оставшиеся  состояния  участвуют  в  следующей  итерации.  После  достижения 
системой  заранее  заданного  конечного  состояния  получают  возможные 
траектории  движения  и  соответствующие  им  безопасные  управления. 
Максимальной скоростью выполнения маневра считается скорость, при которой 


 
27 
возможно выполнение маневра с использованием  хотя бы одного из найденных 
управлений.  Приводятся  результаты  численного  эксперимента,  полученные  в 
среде  Matlab/Simulink  при  помощи  встроенной  модели  автомобиля  24-го 
порядка,  в  качестве  варьируемого  параметра  выбирается  угол  поворота  руля. 
Получены  зависимости  максимальной  скорости  выполнения  маневра  от 
коэффициентов сцепления колес с дорогой и боковой жесткости колес. 
Результаты  испытаний,  позволяющие  оценить  навыки  управления 
автомобилем  при  прохождении  стандартного  теста  на  объезд  препятствия  с 
участием нескольких десятков водителей, можно найти в работе [71]. 
Большое  проскальзывание  колес  автомобиля  относительно  дороги  не 
всегда  приводит  к  потере  водителем  контроля  над  управлением.  Более  того, 
управляемый  занос  является  основным  типом  движения  в  некоторых  классах 
автомобильных  гонок,  например,  в  так  называемом  дрифте  (DRIFT),  наиболее 
популярном в США и Японии (рис. В.4). 
 
Рис. В.4. Прохождение поворота в режиме управляемого заноса 
Работа  [45]  посвящена  экспериментальному  моделированию  управляемого 
заноса  с  применением  двумерной  (плоской)  четырехколесной  модели  движения 
заднеприводного 
автомобиля. 
Находятся 
управления, 
обеспечивающие 
устойчивое  движения  автомобиля  при  сильном  боковом  заносе.  Для  оценки 
предельных  значений  контактных  сил,  при  которых  занос  становится 
неуправляемым,  используется  один  из  частных  случаев  Magic  Formula 

 
28 
(см. раздел 1.2).  На  тестовый  автомобиль  устанавливаются  гироскоп,  набор 
акселерометров,  датчики  углов  поворота  управляемых  колес  и  положения 
педалей,  позволяющие  получить  поле  векторов  ускорений  корпуса  автомобиля. 
После  экспериментального  заезда  по  информации  от  датчиков,  обработанной 
при  помощи  нейронной  сети,  находят  основные  характеристики  движения 
автомобиля:  продольную  и  угловую  скорости  корпуса,  его  угловое  ускорение, 
величину бокового увода и связь его с боковой компонентной контактной силы, 
–  и  получают  управления,  позволяющие  максимально  эффективно  проходить 
поворот с заносом. Используемая  в работе методика позволяет изучать  влияние 
изменения конфигурации автомобиля на процесс заноса. 
Отметим  несколько  работ,  посвященных  построению  управлений  с 
обратной  связью.  В  работе  [63]  разрабатывается  алгоритм  робастного 
управления,  способствующего  предотвращению  опрокидывания  транспортного 
средства.  Выделяют  два  вида  опрокидывания:  опрокидывание  на  ровной 
поверхности  и  опрокидывание  при  ударе  о  препятствие  в  процессе  заноса. 
Показано, что на возможность опрокидывания автомобиля в наибольшей степени 
влияют  ширина  колесной  базы  и  высота  центра  масс,  поэтому  данная  работа  в 
большей  степени  актуальна  для  грузовых  автомобилей.  Для  синтеза  и  анализа 
управления  передними  колесами  и  тормозными  механизмами  используется 
линейная  модель  транспортного  средства.  Построенное  управление  включает  в 
себя  три  механизма  обратной  связи:  линейное  безаварийное  управление  рулем, 
аварийное  управление  рулем  и  аварийное  управление  тормозами.  В 
безаварийном  режиме  угол  и  угловая  скорость  крена  корпуса  автомобиля 
замыкаются  на  управление  углом  поворота  передних  колес.  Для  аварийного 
режима вводится коэффициент опрокидывания, зависящий, главным образом, от 
бокового  ускорения  центра  неподрессоренной  массы  транспортного  средства. 
При  достижении  им  некоторого  критического  значения  последовательно 
активизируются  механизмы  нелинейного  управления  рулем  и  тормозными 
устройствами.  Для  демонстрации  работоспособности  построенного  алгоритма 

 
29 
управления  проводится  численный  эксперимент  с  использованием  нелинейной 
модели движения автомобиля. 
Работа  [76]  посвящена  созданию  алгоритма  работы  рулевого  управления, 
позволяющего  избежать  опрокидывания,  для  автомобиля  с  высоким  центром 
масс  и  управляемыми  передними  колесами  на  основе  технологии  steer-by-wire 
(см. раздел 1.1).  Построен  алгоритм  работы  контроллера,  управляющего  углом 
поворота  передних  колес  на  основе  показаний  датчика  положения  рулевого 
колеса,  а  также  датчиков,  позволяющих  в  реальном  времени  оценивать  вектор 
состояния  автомобиля.  При  безопасном  движении  управление  автомобилем 
целиком  осуществляется  водителем,  в  случае  возникновения  потенциально 
опасной  ситуации,  критерием  которой  служит  превышение  коэффициентом 
опрокидывания  некоторого  критического  значения,  включается  автоматическое 
управление,  компенсирующее  ошибочные  действия  водителя.  На  основе 
полученного алгоритма реализован автомобильный симулятор. 
В  работе  [25]  сформирована  математическая  модель  движения  колесного 
транспортного  средства  как  нелинейной  динамической  системы  высокого 
порядка  с  неопределенными  параметрами.  Модель  образована  уравнениями 
движения  основных  элементов:  корпуса,  неподрессоренных  элементов, 
вращательного  движения  колеса  с  учетом  высокочастотных  колебаний 
пневматика,  уравнениями  движения  двигателя.  Проведена  оценка  касательных 
составляющих  сил  взаимодействия  колес  с  опорной  поверхностью.  Указанная 
модель  применялась  для  разработки  алгоритмов  работы  антиблокировочной 
системы  для  колесных  транспортных  средств.  Результаты  работы  были 
использованы на ряде отечественных предприятий и внедрены в автомобильной 
корпорации  DAEWOO  (Южная  Корея).  Указанная  модель  рассматривается  в 
§ 1.2 при определении области применимости модели автомобиля, используемой 
в настоящей диссертации. 
Как  было  указано  выше,  изучение  динамики  движения  колесных 
транспортных средств связано с анализом систем дифференциальных уравнений, 
содержащих  как  медленно,  так  и  быстро  изменяющиеся  переменные.  В  связи  с 

 
30 
этим  численные  расчеты  подобных  систем  в  реальном  времени  представляют 
сложности. Для упрощения исследования часто используют [36] дополнительные 
допущения,  начиная  от  пренебрежения  рядом  малых  величин  [28],  например, 
углом поворота передних колес [43] при движении по близкой к прямолинейной 
траектории  или  слагаемыми,  содержащими  большие  знаменатели  [28],  и 
заканчивая  использованием  линеаризованной  по  углам  бокового  увода  и  углу 
поворота  передних  управляемого  колеса  системы  [59, 63, 69, 75].  В 
подавляющем большинстве работ подобные упрощения проводятся формально и 
не  содержат  математического  обоснования  их  корректности  и  указаний  на 
точность  и  пределы  применимости  приближенных  моделей.  Помимо  этого  для 
формирования  качественных  выводов  авторы,  нередко,  ограничиваются  лишь 
изучением  стационарных  состояний  и  исследованием  их  устойчивости  в 
зависимости  от  различных  параметров  [69]  или  изучением  частных  случаев 
движения,  таких,  как  движение  с  постоянной  путевой  скоростью  или 
постоянным углом поворота управляемых колес [61]. 
Применение аппарата фракционного анализа [6, 29, 39] позволяет избежать 
недостатков 
указанных 
выше 
подходов: 
корректность 
построенных 
приближенных  моделей  получает  строгое  математическое  обоснование, 
составляющие  движения  приближенных  моделей  развиваются  на  соизмеримых 
интервалах  времени,  что  позволяет  использовать  их  в  реальном  времени. 
Примеры  приближенного  моделирования  в  задачах  транспортной  механики  с 
использованием  аппарата  фракционного  анализа  можно  найти  в  работах  [7,9–
12, 29, 30, 32, 34]. 
§ 2. Аппарат фракционного анализа 
Фракционный анализ объединяет методы теории размерности и подобия и 
методы  теории  возмущений.  Изложим  подходы  фракционного  анализа  [29], 
используемые в настоящей работе. 
Рассмотрим  систему  дифференциальных  уравнений  в  форме  Коши, 
описывающую движение исследуемой динамической системы: 

 
31 
dX1 = F1(X ,K,X ,T,A ,A ,K,B ,B ,
1
n
1
2
1
2
)
K ,  X
=
1
10
X
dT
T =

0

(2.1) 
dXn = Fn(X ,K,X ,T,A ,A ,K,B ,B ,
1
n
1
2
1
2
)
K ,  X
=
n
Xn0
dT
T =

0
Здесь  T   –  размерное  время; 
1
X ,…, Xn   –  фазовые  переменные;  1
F ,…, n
F   – 
условные  обозначения  правых  частей; 
A , A ,K
1
2
, B , B ,K
1
2
 
– 
группы 
коэффициентов 
одинаковой 
размерности. 
Предположим, 
что 
целью 
исследования 
является 
изучение 
некоторой 
совокупности 
свойств 
рассматриваемой  системы.  Будем  считать,  что  уравнения  (2.1)  являются 
описательно избыточными по отношению к указанной совокупности свойств. 
Зададим характерные значения  *
T , 
*
1
X ,…, Xn* ,  A* ,  *
B ,… всех постоянных 
и  переменных  величин  из  (2.1),  соответствующие  поставленной  цели 
исследования.  Характерное  время  *
T   определяется  протяженностью  интервала 
времени, на котором рассматривается движение системы. Характерные значения 
фазовых  переменных  обычно  оцениваются  максимальными  значениями  их 
абсолютных 
величин 
на 
рассматриваемом 
интервале 
времени: 
X
=
=
*
1
max
1
X ,…,  Xn*
max Xn .  Как  правило,  характерные  значения  фазовых 
T~T*
T~T*
переменных  и  времени  связаны.  За  характерное  значение  коэффициентов 
одинаковой размерности принимается наибольшая из абсолютных величин этих 
коэффициентов:  A =
*
max{A j },  *
B = max{Bj },…  Набор  характерных  значений 
j
j
определяет  класс  движения  динамической  системы,  отвечающий  исследуемой 
совокупности свойств. 
Запишем  уравнения  (2.1)  в  новой  системе  размерностей,  за  единицы 
которой  примем  выбранные  характерные  величины.  Этот  прием  называется 
нормализацией  уравнений  на  рассматриваемом  классе  движения.  Она 
проводится  посредством  замены  всех  входящих  в  (2.1)  величин  их 
безразмерными аналогами: 

 
32 
T
X
X
A
B
t =

1
n
1
1
1
x =
, … , x =
n
,  a =
1
, … , 
1
b =
, … 
(2.2) 
*
T
X *
1
Xn*
A*
*
B
Положим 
*
T , 
*
1
X ,…, X n*,  A* , 
*
B ,…  равными  характерным  значениям 
соответствующих  величин.  Благодаря  проведенной  нормализации  значения  t , 
1
x ,…, xn ,  1
a ,…,  1
b ,… не превосходят величин порядка единицы. 
После  подстановки  (2.2)  в  (2.1)  в  правых  частях  каждого  из  уравнений 
могут  быть  выделены  размерные  множители 
*
1
F ,…, n
F *,  определяющие 
характерные  значения  этих  правых  частей.  Деление  на  них  приводит  систему  к 
виду 
T dx
1
1 = f
∆ ∆
x
= x = X X
1(x ,K, x , t,
,
,
1
n
1
2
)
K , 
1
10
10
*
1
T dt
t =

0
*

(2.3) 
T dx
n
n = f
∆ ∆
x
= x = X
X
n (x ,K, x , t,
,
,
1
n
1
2
)
K , 
n
n0
n 0
T
dt
t =

0
n*
*
Параметры 
1
T = X *
1
F *
1 ,…,
n
T = Xn* n
F * ,  имеющие  размерность  времени, 
называются  парциальными  постоянными  времени  системы  по  переменным 
= K
1
X ,…, Xn . Величина  k
T   (k
,
1
, n) может служить оценкой интервала времени, 
в  течение  которого  переменная  Xk   изменяется  на  величину  порядка  своего 
характерного  значения.  Безразмерные  параметры  ∆ ∆
1 , 
2 ,…  выражаются  через 
характерные  значения  из  (2.2).  Некоторые  из  параметров 
1
T
*
T ,…, n
T
*
T , 
∆ ∆
1 , 
2 ,… могут  оказаться малыми  по сравнению с единицей. Они принимаются 
за малые параметры, соответствующие выбранному классу движения. 
Составляющие  движения  транспортного  средства  обычно  развиваются  в 
сильно  разнесенных  временных  масштабах.  Рассмотрим  возможные  варианты 
упрощения системы (2.3). 
Рассмотрим  сначала  ситуацию,  когда  фазовые  переменные  исходной 
системы  могут  быть  разбиты  на  две  группы,  одна  из  которых  объединяет 
"медленные"  переменные,  парциальные  постоянные  времени  которых  являются 
величинами  порядка  1
T ,  вторая  –  "быстрые"  переменные  с  парциальными 

 
33 
постоянными  времени порядка  2
T << 1
T .  Предположим  также,  что  действующие 
на  систему  внешние  силы  изменяются  "медленно",  на  характерных  временах 
T ~ 1
T   или  T >> 1
T .  Обозначим  через    и    векторы,  образованные, 
соответственно,  "медленными"  и  "быстрыми"  переменными,  через    и    – 
соответствующие векторы правых частей. Изучая движение системы на больших 
временах  T ~ 1
T ,  положим 
*
T = 1
T .  Будем  считать,  что  зависимости  правых 
частей  системы  (2.3)  от  своих  аргументов  таковы,  что  после  проведенных 
преобразований эта система может быть записана в виде 
dY(y,z,t,µ),  y( ,0µ)= y0
(2.4) 
dt
µ dZ(y,z,t,µ),  z( ,
0 µ) = z0 
dt
где µ = T T <<1
2
1
 – малый параметр. 
Система  дифференциальных  уравнений,  содержащая  малый  параметр  при 
производных, называется сингулярно возмущенной по этому малому параметру. 
Наиболее  полное  исследование  систем  вида  (2.4),  а  также  систем  с  иерархией 
малых  параметров,  о  которых  будет  упомянуто  далее,  дано  в  работах  научной 
школы,  основанной  академиком  А.Н. Тихоновым  [5, 6, 39].  Поэтому  система 
(2.4)  получила  называние  системы  тихоновского  вида.  Положив  в  (2.4)  µ = 0   и 
опустив  z0 ,  получим  невозмущенную,  так  называемую  вырожденную  по 
Тихонову систему 
dY(y,z,t,0),  y(0)= y0
(2.5) 
dt
Z(yz, t 0
, ). 
Видно,  что  система  (2.5)  проще  исходной  системы  (2.4),  т.к.  второе 
дифференциальное  уравнение  из  (2.4)  при  µ = 0   переходит  в  конечное 
соотношение. А.Н. Тихоновым были сформулированы достаточные условия [39], 
при  выполнении  которых  решение  y(t,µ),  z(t,µ)  системы  (2.4)  существует, 
единственно на отрезке  0 ≤ t ≤ t′ и удовлетворяет предельным равенствам 

 
34 
lim y(t,µ) = y(t) при  0 ≤ t ≤ t′, 
µ→0
lim z(t,µ) = z(t) при  0 < t ≤ t′. 
µ→0
А.Б. Васильевой  доказана  теорема,  позволяющая  провести  оценку 
погрешности вырожденной системы (2.5). Приведем ее формулировку [5, 6]. 
Теорема 1 (Васильева). Пусть выполнены условия: 
I.  Функции  Y(y,z, t,µ),  Z(yz, t,µ)  при  0 ≤ µ ≤ µ0   аналитичны  в  области 
G = {
/
≤ a, ≤ ,
b 0 ≤ t ≤ t }; 
II. Конечное уравнение  Z(yz, t 0
, ) вырожденной системы (2.5) имеет в 
области  D = {
/
≤ a, 0 ≤ t ≤ t }  изолированный,  непрерывный  корень  = ϕ(y, t)
для  которого  ≤ b ,  а  дифференциальное  уравнение  вырожденной  системы, 
отвечающее этому корню 
dY(y,ϕ(y,t),t,0),  y(0)= y0 
dt
– единственное решение при 
/
0 ≤ t ≤ t , удовлетворяющее условию  ≤ a ; 
III. Точка покоя  ~
= ϕ(y, t) присоединенной системы 
~
dZ( ~
yz, t,0)


(2.6) 
в  которой  ,   рассматриваются  как постоянные параметры  из  G ,  τ = t µ  – 
"быстрое" время, асимптотически устойчива по первому приближению; 
IV.  Решение  z
~(τ) присоединенной системы (2.6), отвечающее начальному 
условию  z~(0) = z
t =
 и значениям параметров  y 0 
0  
~
dZ( ~
, , 0
,
0
~
z
0 =  


( ) 0
существует,  не  выходит  из  области  ~≤ b   при  τ ≥ 0  и  стремится  к  точке 
покоя  ~= ϕ(,0
τ →
0
) при 
∞ . (В таком случае говорят, что начальное условие 
z0  принадлежит области влияния точки покоя присоединенной системы.) 

 
35 
Тогда  найдется  константа 
/
0 < µ ≤ µ
≤ µ ≤
,  такая,  что  при 
/
0
µ  
справедливы оценки 
y(t,µ) − y(t) = O(µ) , 
/
0 ≤ t ≤ t , 
(2.7) 
z(t,µ) − z(t) = O(µ) , 
/
0 < t ≤ t . 
Из  (2.7)  следует,  что  при  выполнении  условий  теоремы  1  вырожденная 
система  (2.5)  может  трактоваться  как  приближенная  математическая  модель 
исходной системы (2.4) на конечном интервале времени 
/
0 < t ≤ t . Этот интервал 
не  содержит  начальную  точку  t = 0 ,  поскольку,  в  общем  случае,  начальное 
условие  z( ,
0 µ) = z0   не  лежит  на  гиперповерхности,  задаваемой  уравнением 
Z(yz, t,0).  Интервал  времени,  на  котором  вторая  из  оценок  (2.7)  не  имеет 
места,  имеет  ширину  O(−µln µ)   [5].  Этот  интервал  называется  пограничным 
слоем. 
Рассмотрим теперь общий случай, когда составляющие движения системы 
(2.3)  развиваются  в  (m + )
1 ≤ n   временных  масштабах,  причем  имеет  место 
следующая  иерархия  парциальных  постоянных  времени: 
+ <<
<< K
m
T
<<
1
m
T
1
T . 
Как  и  ранее  обозначим  через    вектор  "медленных"  фазовых  переменных, 
соответствующих  характерному  времени 
1
T ;  через  z1 , …,  zm   –  векторы 
"быстрых"  фазовых  переменных,  отвечающих  парциальным  постоянным 
времени  2
T , …,  m
T
1
+ . 
Исследуя  "медленные"  составляющие  движения  динамической  системы, 
положим  *
T = 1
T .  По  аналогии  с  предыдущим  случаем  предположим,  что  после 
проведенных преобразований система (2.3) может быть записана в виде 
dY(y,,K, ,t,
1
zm
µ µ K µ
1,
2 ,
, m ),  y
y0
dt
t =0
d
µ z1 Z y z K
1
1
zm
µ µ K µ
1
( , , , ,t, 1, 2, , m),  z
=
1
z1,0 
dt
t =0

(2.8) 

 
36 
d
µ µ µ
zm Z y z K
K
m
1
zm
µ µ K µ
1 2
m
( , , , ,t, 1, 2, , m),  z
=
m
zm ,0 
dt
t =0
где µ = T
T
+
<<1
j
j 1
j
  (j = ,
1 ,...,
2
m) – малые параметры. 
Предельный  переход  µ → 0
j
  к  вырожденной  по  всем  малым  параметрам 
системе  рассматривался  в  работе  [39].  Приведем  формулировку  теоремы  [6], 
позволяющей провести оценку погрешности вырожденной системы. Как и в [6], 
для  простоты  изложения  остановимся  на  случае  двух  малых  параметров. 
Система (2.8) примет вид 
dY(y,, ,t,
,
0 µ1,µ2 =
1 z 2
µ µ
1,
2 ), 
y(
y0 
dt
d
µ z1 Z
,
0 µ1,µ
1 y z1 z 2
µ µ
1
( , , ,t, 1, 2),  z
2 =
(
z1,0
(2.9) 
dt
d
µ µ z2 Z
,
0 µ1,µ
2 y z1 z 2
µ µ
1 2
( , , ,t, 1, 2),  z
2 =
(
z2,0
dt
0 < µ << 1
< µ <<
1
,  0
1
2

Проведем  последовательное  вырождение  системы  (2.9)  по  малым 
параметрам.  Положив 
µ = 0
2

получим  так  называемую  однократно 
вырожденную систему, отвечающую игнорированию скорости изменения самой 
"быстрой" переменной  z2  по сравнению со скоростями остальных переменных: 
dY(y,, ,t,
,
0 µ1 =
1 z2
µ ,0
1
),  y(
y0
dt
d
µ z1 Z
,
0 µ
1 y z1 z2
µ
1
( , , ,t, 0,
1
),  z
1 =
(
z1,0
(2.10) 
dt
Z2(y, t,
1
2
µ ,0
1
). 
Пусть 
= ϕ (y, , t,
1
z
µ1)
2
2
 
(2.11) 
–  корень  конечного  уравнения  из  (2.10).  Подстановка  (2.11)  в  первые  два 
уравнения из (2.10) дает дифференциальные уравнения, отвечающие указанному 
корню: 

 
37 
dY(y,,ϕ , t,µ 0,
0 =
1
)
1
2
,  y( ) y0 
dt
dz1
µ
=
ϕ t,µ 0
,
0 = z
1
)
1
Z1(y,
,
1
2

( )
1,0 
(2.12) 
dt
ϕ = ϕ (y,, t,
< µ <<
2 =
1
µ1)
2
2
,  z
ϕ2,  0
1
1

Приняв в (2.12)  µ = 0
1
, получим систему 
dY(y,,ϕ ,t, ,00
0 =
1
2
),  y( ) y0
dt
Z
ϕ
(,
, t, 0
,
0
1
2
), 
(2.13) 
ϕ = ϕ
=
2
(, t 0
,
1
),  ϕ
2

называемую двукратно вырожденной. Обозначим через 
= ϕ
1
(, t )  
(2.14) 
корень второго, конечного, уравнения из (2.13). Подставив (2.14) в (2.13), имеем 
dY(y,ϕ ,ϕ ,t 0, 0,
0 =
1
2
),  y( ) y0
dt
ϕ = ϕ
ϕ = ϕ
ϕ
=
=
1
(, t ), 
2
(y,
, t 0
,
1
),  1z ϕ1,  ϕ
2

Теорема 2 (Васильева). При выполнении условий теоремы 1 для каждого из 
последовательных  вырождений  (2.10),  (2.13)  найдутся  константы 
/
µ > 0
1

/
µ > 0
0 < µ ≤ µ
0 < µ ≤ µ
y
µ µ
t,
j
µ µ
2
  такие,  что  при 
/
1
1 , 
/
2
  решение 
(t, 1, 2),  ( 1, 2) 
(j = ,12) системы (2.9) существует, единственно и удовлетворяет оценкам 
y(t,µ ,µ − y
= µ + µ
≤ ≤
1
2 )
(t) O(
)
1
2  при 
/
0
t
t , 
z
< ≤
j(t, µ , µ
− zj
= µ + µ
1
2 )
(t) O(
)
1
2  при 
/
0
t
t . 
Аналогично,  решение  m-кратно  вырожденной  системы,  получающейся  из 
(2.8)  при  µ = µ = K = µ = 0
1
2
m
,  при  выполнении  условий  теоремы  1  для  каждого 
из последовательных вырождений имеет при 
/
0 < t ≤ t  погрешность 
O(µ + µ + K + µ
1
2
m ). 
(2.15) 
Из  (2.15)  следует,  что  при  выполнении  условий  теоремы  2  m-кратно 
вырожденную 
систему 
можно 
рассматривать 
как 
приближенную 

 
38 
математическую модель исходной системы (2.8) на конечном интервале времени 
/
0 < t ≤ t . 
Как  следует  из  формулировок  теорем  1  и  2,  оценки  точности 
приближенных моделей справедливы при стремлении малых параметров к нулю. 
Для фиксированных значений малых параметров, используемых при построении 
математических  моделей  механических  систем,  погрешности  приближенных 
моделей следует проконтролировать численно. Исследование конкретных задач, 
проведенное  в  работах  [9, 10, 12, 29, 32]  и  настоящей  диссертационной  работе, 
показывает, что асимптотические оценки остаются справедливыми и при весьма 
"больших" значениях малых параметров. 
Заметим,  что  в  большинстве  случаев  "быстрые"  переменные  задачи  не 
совпадают с ее фазовыми переменными. Для приведения задачи к возмущенному 
по  малым  параметрам  виду  требуется  замена  исходного  набора  фазовых 
переменных  новым  набором,  включающим  эти  "быстрые"  переменные. 
Алгоритмы  отыскания  "быстрых"  переменных  для  различных  транспортных, 
гироскопических,  робототехнических,  авиакосмических,  биомеханических  и 
проч.  задач  прикладной  механики  изложены  в  [9–13, 29].  Исследование, 
проведенное  в  диссертационной  работе,  развивает  подходы  фракционного 
анализа  в  задачах  колесного  транспорта.  В  настоящей  работе  сформирован 
алгоритм  одновременного  введения  в  уравнения  движения  иерархической 
структуры малых параметров. 

 
39 
Глава 1. Постановка задачи. Оценка области 
применимости "велосипедной" модели 
§ 1.1. Описание исследуемой системы и постановка задачи 
Рассмотрим  автомобиль,  движущийся  по  горизонтальной,  однородной, 
шероховатой  плоской  поверхности  (дороге).  Для  описания  его  движения  будем 
использовать  "велосипедную"  модель,  в  рамках  которой  два  передних  колеса 
заменяются  одним  эквивалентным  передним  колесом,  два  задних  –  одним 
задним  (см.  § 1  Введения).  Переднее  колесо  является  управляемым  и  связано  с 
корпусом  через  механизм  рулевого  управления,  ось  вращения  заднего  колеса 
фиксирована  в  корпусе.  Будем  предполагать,  что  корпус  и  колеса  модели 
являются  абсолютно  жесткими,  и  она  не  имеет  боковых  наклонов. 
"Велосипедная" модель часто используется для описания движений автомобиля, 
при которых можно пренебречь различиями между характеристиками сцепления 
правых и левых колес одной оси с дорогой. 
Свяжем  с  опорной  плоскостью  неподвижный  трехгранник  O0x0y0z0 ,  с 
корпусом – трехгранники  Сxyz  и  Сbxbybzb , с механизмом рулевого управления 
–  трехгранник  Сw x w ywzw ,  с  колесами  модели  –  трехгранники  A1x1 1
y 1
z   и 
A2x2y2z2 . Здесь  C  – центр масс системы в целом,  Cb  – центр масс корпуса;  Cw  
–  центр  масс  механизма  рулевого  управления,  точки  A1  и  A2   лежат  на 
пересечении продольных плоскостей симметрии переднего и заднего колес с их 
осями  вращения;  оси  O
С
С
0 z0 ,  Сz , 
b z b , 
w z w   A1 1
z ,  A2z2   ориентированы  по 
вертикали;  оси  Сx ,  С
С
b x b , 
w x w ,  A1x1 ,  A 2 x 2   лежат  в  плоскостях  продольной 
симметрии  корпуса  и  колес  соответственно  и  направлены  вперед  по  ходу 
движения (рис. 1.1). 



























 
40 
z
zb
zw
D
x
C
C
x
C
w
x
w
b
z
b
2
1
z
x2
1
x
A
A
2
1
y0
x1 ∆ x
y1
A1
y
C
y2
x2
A2
O
Ψ
x
0
0
 
Рис. 1.1. "Велосипедная" модель автомобиля [45, 78] 
Зададим положение корпуса модели координатами  Xb ,  b
Y  его центра масс 
в  системе  координат  O
ϕ
ϕ
0 x 0 y0z 0 ,  углом  Ψ   поворота  корпуса,  углами 
1 , 
2  
поворота  колес  вокруг  осей  A1y1,  A2y2  и углом  ∆  поворота переднего колеса 

 
41 
относительно  корпуса  вокруг  оси  A1z1.  Для  автомобиля  величина  ∆   не 
превышает 0,5 рад. 
Составим  уравнения  движения  из  уравнений  изменения  количества 
движения  и  кинетического  момента  корпуса  автомобиля,  механизма  рулевого 
управления  и  колес  относительно  их  центров  масс  в  проекциях  на  оси 
трехгранников  Сxyz ,  Сw xw ywzw ,  A1x1 1
y 1
z   и  A2x2y2z2   соответственно  и 
кинематических соотношений: 
2
2
 d X

b
d
b
Y
M 
Ψ +
Ψ  = −

+
b
cos
sin
R xw R x2
x
F


2
2

dT
dT


2
2
 d X

b
d
b
Y
M  −
Ψ +
Ψ  = −

+
b
sin
cos
R yw
R y2
y
F


2
2

dT
dT


0 = −R
− R − M g
zw
z2
b

0 = −M

+

+

xw
M x2 R yw (Hw
Hb ) R y2 (R Hb ), 
0 = −M
− M − R

+


+
yw
y2
xw (H
H
w
b )
R
A
R
zw
x 2 (R
Hb ) R B
z2

dΩz
I
= − ∆ −

+
+
zb
M
M z2 R yw A R y2B Mz , 
dT
 d2(X + AcosΨ
+
Ψ

b
)
2
m 
cos Ψ + ∆ +
Ψ + ∆  =
w
(
) d (Y Asin
b
)sin(
)


dT 2
dT 2

  
= R
cos ∆ + R
sin ∆ − R ,
xw
yw
1
x
 d2(X + AcosΨ
+
Ψ

b
)
2
m  −
sin Ψ + ∆ +
Ψ + ∆  =
w
(
) d (Y Asin
b
)cos(
)


dT 2
dT 2

  
= −R sin ∆ + R cos ∆ − R ,
xw
yw
1
y
0 = −R
− R − m g
zw
1
z
w

0 = M
cos ∆ + M
sin ∆ − M
− −
∆ +


+
xw
yw
1
x
( R sin R cos
xw
yw
)(H H
d
w )
+
 
R

1
y (R
H w ),
0 = −M
sin ∆ + M
cos ∆ − M
+
∆ +



xw
yw
1
y
(R cos R sin
xw
yw
)(H H
d
w )
 
− R

1
x (R
H w ),

 
42 
 dΩ
Ω∆ 
z
d
I

+
 = ∆ −
zw
M
M 1
z , 
 dT
dT 
 d2(X + AcosΨ
+
Ψ

b
)
2
m
cos(Ψ + ∆) d (Y
A sin
b
)
+
sin(Ψ + ∆) =


dT 2
dT 2

  
= R + P ,
1
x
1
x
 d2 (X + AcosΨ
+
Ψ

b
)
2
m −
sin(Ψ + ∆) d (Y
A sin
b
)
+
cos(Ψ + ∆) =


dT 2
dT 2

  
= R + P ,
1
y
1
y
0 = R
+ N − mg
− IΩ Ω + Ω∆ = M + P
1
z
1

1 (
z
)
R
1
x
1
y

(1.1.1) 
dΩ
 dΩ
dΩ∆ 
I
1 = L − P R
z

+

1
1
x
,  I
=
12
z
M 1
z , 
dT
 dT
dT 
2
 d (X −
Ψ

Ψ

b
B cos
)
2
d ( b
Y
Bsin
)
m
cos Ψ +
sin Ψ  = R
+
x 2
x
P 2


2
2

dT
dT


2
 d (X −
Ψ

Ψ

b
B cos
)
2
d ( b
Y
B sin
)
m −
sin Ψ +
cos Ψ  = R
+
y2
y
P 2


2
2

dT
dT


dΩ
0 = R
+ N − mg
− IΩ Ω = M + P
2 =

z2
2

R
2
z
x 2
y2
,  I
L
P R
2
x 2

dT
dΩ
Ψ
d∆
z
d
I
=
= Ω
= Ω
12
z
M z2 , 
z , 
∆ . 
dT
dT
dT
Здесь  T  – размерное время;  Ωz  – вертикальная составляющая угловой скорости 
корпуса;  Ω = dϕ dT Ω = ϕ
1
1

d
dT
2
2
 – угловые скорости вращения колес вокруг 
осей  A y
A y

1 1 , 
2
2 ; 
∆   –  угловая  скорость  вращения  переднего  колеса 
относительно корпуса  вокруг оси  A z
I
= M ρ
1 1 ; 
2
zb
b
zb   –  момент  инерции  корпуса 
автомобиля  относительно  оси  C
ρ
b z b ; 
M b , 
  –  масса  корпуса  и 
zb
соответствующий  радиус  инерции; 
2
I
= m ρ
zw
w
zw   –  момент  инерции  механизма 
рулевого  управления  относительно  оси  C
ρ
w z w ;  m w , 
  –  его  масса  и 
zw
соответствующий  радиус  инерции; 
2
I = mρ , 
2
I
= mρ
12
z
12
z
  –  моменты  инерции 
колес относительно оси вращения и вертикальной оси;  m ,  ρ , ρ
 – масса колеса 
12
z

 
43 
и соответствующие радиусы инерции;  R  – радиус колес;  A ,  B  – расстояния от 
центра  масс  корпуса  до  передней  и  задней  осей  соответственно;  Hb   –  высота 
центра  масс  корпуса  над  опорной  плоскостью;  Hw   –  высота  центра  масс 
механизма рулевого управления над опорной плоскостью;  Hd  – высота точки  D  
крепления  механизма  рулевого  управления  к  корпусу  автомобиля;  R
R
xw , 
yw , 
R
M
С
zw ,  M xw , 
yw ,  M ∆ = M zw  – проекции на оси трехгранника 
w x w y w z w  сил и 
моментов, приложенных к механизму рулевого управления со стороны корпуса; 
R xj,  R yj,  R zj ,  Mxj,  L =
j
M yj,  Mzj – проекции на оси трехгранников  A jx jyjz j сил 
и  моментов,  приложенных  к  переднему  (j = )
1   и  заднему  (j = 2)  колесам  со 
стороны механизма рулевого управления и корпуса, соответственно;  xj
P ,  yj
P ,  N j 
–  соответственно,  проекции  на  оси  трехгранников  A jx jyjz j  касательных  и 
нормальных  составляющих  контактных  сил  взаимодействия  j-го  колеса  с 
опорной  плоскостью  (j = ,
1 2); 
x
F , 
y
F ,  Mz   –  соответствующие  проекции 
возмущающих  сил  и  моментов,  действующих  на  корпус  автомобиля;  g   – 
ускорение свободного падения. Координаты  ϕ ϕ
1 , 
2   являются  циклическими  и  в 
уравнения (1.1.1) не входят. Величины  1
L ,  L2  и  M ∆  рассматриваются в качестве 
управлений.  Современные  автомобили  проектируются  таким  образом,  что 
2
ρ < AB
< +
z
,  H
A
B   [34, 43].  Для  большинства  автомобилей  отношение  массы 
колеса  к  массе  автомобиля  M   мало:  µ = m / M   изменяется  в  диапазоне  от 
величин

  порядка 
2
10
  (легковые  и  грузовые  автомобили)  до  величин  порядка 
1

10
 (спортивные автомобили). 
Выразим массу и координат центра масс корпуса автомобиля через массы 
и координат центров масс автомобиля в целом, механизма рулевого  управления 
и колес: 
M = M − m
− 2m
b
w

MX − (m + m)A − mB)cos Ψ
X
w
=
b

M

 
44 
MY − (m + m)A − mB)sin Ψ
Y
w
=
b

(1.1.2) 
M
MH − m H
− 2mR
H
w
w
=
b

M
Здесь  X ,  Y ,  H   –  координаты  центра  масс  автомобиля  в  системе  координат 
O0x0y0z0 . 
Исключим из системы (1.1.1) неизвестные реакции связей  R
R
xw , 
yw ,  R zw , 
M
M
R
R
R
M
M
xw , 
yw , 
xj , 
yj , 
zj , 
xj , 
zj   ( j = ,
1 2). В соответствии с предположением 
об отсутствии у рассматриваемой модели боковых наклонов, опустим четвертое 
уравнение  системы  (1.1.1).  С  учетом  выражений  (1.1.2)  система  (1.1.1)  примет 
вид 
x
dV
M
= P
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
x cos
P 1
y sin
x
P 2
y
MV
z
x
F , 
dT
y
dV
M
= P
∆ +
∆ +

Ω +
1
x sin
P 1
y cos
y
P 2
x
MV
z
y
F , 
dT
0 = N + N − Mg
1
2

(1.1.3) 
0 = −AN + BN −
∆ −
∆ +
− −
+
∆ −
1
2
(P cos P sin P
1
x
1
y
x 2 )H
( P R
L ) cos
1
x
1
− (− P R + L + Ω Ω + Ω∆
∆ +
+ Ω

+
x 2
2 )
I 1( z
)sin
m A
w
(g 2z(H H
w
))  
+ m(A − B)(g
2
+ Ω

z (R
H)),

 m
m 
I
+ I
w
− 
+




+
zb
12
z
(




(M M m
w
)A2 2mAB)
 M
M



m
+
(
 Ω
M − m)
d
B2
z

= (P sin ∆ + P cos∆ ×
1
x
1
y
)
 
M
 dT


 m
m




× A
w

 − 
+
(A − B)
m
m
 + P
− B
w
− 
+
−  +



y2 
(A B)
M
M ,


z

 M
M


 M
M


dΩ

1
d
I
= −P
+
2 = −
1
x R
1
L ,  I
+
x
P 2R L2 , 
dT
dT
dΩ
d




d
I
= M∆ − I
z
= Ω
= Ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
dT
dT
dT
dT

 
45 
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ . 
dT
dT
Здесь 
x
V , 
y
V   –  проекции  вектора  скорости  автомобиля  на  оси  Cx   и  Cy ; 
I
=
+
1
z
Izw
I 12
z
  –  суммарный  момент  инерции  механизма  рулевого  управления  и 
переднего колеса относительно оси  A1z1. 
Выражения  для  нормальных  составляющих  контактных  сил  N1,  N2 
определяются из третьего и четвертого уравнений системы (1.1.3): 
1
N =

∆ −
∆ +
− −
+
∆ −
1
(MgB (P cos P sin P
1
x
1
y
x 2 )H
( P R
L ) cos
1
x
1
A + B
− (− P R + L + Ω Ω + Ω∆
∆ +
+ Ω

+
x 2
2 )
I 1( z
)sin
m A
w
(g 2z(H H
w
))  
+ m(A − B)(g
2
+ Ω

z (R
H))),
N =

2
Mg
1
N . 
(1.1.4) 
Далее  рассматриваются  движения,  для  которых  N , N > 0
1
2
,  т.е.  колеса  не 
отрываются от дороги. 
Выражения  для  касательных  составляющих  контактных  сил  зададим 
соотношениями вида (1.1), (1.2), учитывающими явление псевдоскольжения: 
Ε
Ε
xj
yj
P = −æ N
p(Ε )
P = −æ
Ε
xj
xj
j
j
Ε

N
p(
)
yj
yj
j
j
Ε
  (j = ,
1 2), 
(1.1.5) 
j
j
где  æ
æ
xj , 
yj   –  коэффициенты  кулонова  трения  скольжения  в  продольном  и 
боковом направлениях относительно плоскостей симметрии колес; 
Uxj
Ε =
Uyj
Ε =
xj
Ω , 
yj
  (j = ,
1 2) 
(1.1.6) 
R

j
R
j
–  относительные  проскальзывания  контактирующих  поверхностей  колес  и 
опорной поверхности в продольном и боковом направлениях, 
2
2
Ε = Ε + Ε
j
xj
yj ; 
U
= V cos∆ +
+ Ω
∆ − Ω
1
x
x
(V
A
y
z
)sin
R
1

U 1
y = −V sin
x
∆ + (Vy + Ω A
z
)cos∆, 
(1.1.7) 


 
46 
U
= V − Ω R
U
= V − Ω
x 2
x
2

B
y2
y
z
 
 –  проекции  скоростей  точек  контакта  колес  на  оси  A jx j,  A jy j  трехгранников 
A jx jy jz j   (j = ,
1 2). 
Как  и  в  [31–34],  примем  для  зависимости  p(Ε )
j   из  (1.1.5)  кусочно-
линейную  аппроксимацию  (рис. 1.2).  Для  автомобильных  колес  ширина 
линейной  зоны,  отвечающей  режиму  псевдоскольжения,  ε ≈ 1
,
0 .  За  пределами 
указанной  зоны  касательная  составляющая  контактной  силы  достигает  своего 
предельного значения и становится равной кулоновой силе трения скольжения. 
 
Рис. 1.2. Кусочно-линейная аппроксимация характеристики контактной силы 
Если при движении j-го колеса справедливо неравенство 
Εj < ε, 
(1.1.8) 
т.е.  аргумент  Ε
Ε
j   остается  в  линейной  зоне  характеристики  p( j ),  то  будем 
говорить,  что  колесо  не  теряет  сцепления  с  дорогой.  Если  неравенство  (1.1.8) 
нарушается: 
Εj ≥ ε, 
(1.1.9)  
т.е.  аргумент  Ε
Ε
j   выходит  за  пределы  линейной  зоны  характеристики  p( j ),  то 
будем говорить, что колесо теряет сцепление с дорогой
Пренебрежем  моментом  верчения,  возникающим  в  пятне  контакта  при 
повороте колеса относительно вертикальной оси. 

 
47 
Уравнения  (1.1.3), (1.1.5)–(1.1.7)  образуют  замкнутую  систему.  Для  того 
чтобы  однозначно  определить  движение  автомобиля,  необходимо  задать 
начальные условия, возмущения  x
F ,  y
F ,  Mz  и управления  1
L ,  L2 ,  M ∆ . 
Рассматривая движение автомобиля без потери сцепления колес с дорогой, 
будем  предполагать,  что  начальные  условия,  возмущения  и  управления 
обеспечивают  выполнение  неравенств  (1.1.8)  для  j = ,
1 2 .  Согласно  (1.1.5), 
необходимыми и достаточными условиями реализации такого режима будут 
2
2

2
2
P

 P





1
y
P
P
1
x
+ 
 <
y2
1



x2
+ 
 < 1. 
(1.1.10) 
æ






N
 æ N 

æ N
 æ

1
x
1 
1
y
1


N
 x2 2 
y2
2


Из  (1.1.5)  следует,  что  при  начальных  условиях,  возмущениях  и  управлениях, 
обеспечивающих  выполнение  неравенства  (1.1.9),  контактная  сила  достигает 
своего  предельного  значения.  Следовательно,  соответствующее  выбранному 
номеру j неравенство (1.1.10) переходит в равенство: 
2
2
 P

 P

xj
yj

 + 
 =1


(1.1.11) 
æ N 
 æ N 
xj
j
yj
j




В  работах  [12, 32]  уравнения  (1.1.3)  составлялись  в  пренебрежении 
слагаемыми 
(P R

I 1 Ωz + Ω
1
x
− L1)cos∆ , 
x
P

2R
L2 , 
(
∆ )sin ∆ , 
m A
+ Ω

+

+ Ω

1 M (m A
w
+ m A − B )×
w
(g 2z(H H
w
)) m(A B)(g 2z(R H)), 
( )
(
)  
×(P
∆ +
∆ +
1
x sin
P 1
y cos
y
P 2 ),  M ∆  в правых частях четвертого и пятого уравнений, 
множитель  перед  dΩ dT
I = Mρ
z
  в  пятом  уравнении  заменялся  моментом 
2
z
z  
инерции автомобиля относительно оси  Cz  (здесь  ρz  – соответствующий радиус 
инерции).  Указанные  отличия  возникают,  если  пренебречь  соответствующими 
проекциями  векторов  кинетических  моментов  колес  автомобиля  на  оси  A y
1 1 , 
A y
A z
2
2   и 
1 1 ,  считая,  что  они  уравновешивают  друг  друга  в  четвертом  и  пятом 
уравнениях 
системы 
(1.1.3). 
Обсудим 
корректность 
пренебрежений, 
проведенных в [12, 13, 32]. 
Оценим  порядки  слагаемых,  стоящих  в  четвертом  и  пятом  уравнениях 
системы  (1.1.3).  Рассматривая  движение  с  произвольными  углами  поворота 

 
48 
передних  колес,  в  качестве  грубой  оценки  примем  ∆ ~ 1.  Положим  N = Mg
j
 
(j= ,12).  Тогда  при  æ ~ æ ~1
xj
yj
  получим  P
~ P
~ Mg
xj
yj
.  Будем  считать 
возмущающий  момент  величиной  порядка  моментов  контактных  сил 
M
~ Mg
+

+
z
(A B).  Положим  L ~ P R M ~ g
m A
B
j
xj

(
).  Оценку  времени,  в 
течение которого под действием сил порядка веса путевая скорость автомобиля 
изменяется  до  величин  Vx ~ *
V ,  где 
*
V   –  характерная  скорость  движения 
автомобиля,  получим  из  первого  уравнения  системы  (1.1.3):  T = V g
1
*
.  Из 
соотношений  (1.1.6), (1.1.7)  следуют  оценки  V ~ Ω R
Ω A + B ~ V
x
j

z (
) x, 
справедливые как  в случае  Ε j < ε , при движении без потери сцепления колес с 
дорогой,  так  и  в  случае  Ε ~ 1
j
,  отвечающем  движению  с  потерей  сцепления 
колес с дорогой. Считая силы инерции  соразмерными активным силам, примем 
MΩ V ~ Mg
z
*
.  Тогда  характерная  скорость  рассматриваемого  движения 
оценивается соотношением  V ~ g
+
*
(A B). 
На основании оценок 
(
Ω j
P R − L


1
x
1 )
IV
Ig
cos
~ P R
L
~ I
~
* ~
x 2
2

T
RT
R
1
1
2

∆ 


IΩ Ω + Ω∆

+

+ 
1 (
z
)
V
V
I
V
Ig
sin
~ I *
*
*
~
*
g ~





R
A + B
T
R  A


+ B
 R
1



m A
+ Ω

+

+ Ω

+
+
w
(g 2z(H H
w
)) m(A B)(g 2z(R H)) ~ mw(A B) g



V2



*
+
(
2
A + B) + m(A + B)
V
g
*
+
(A + B)
(



 
A + B)2


(A + B)
~
2


+

~ (m + m
+  +

+
+
w
)(A B)
g(A B)
g
~ (m
m
w
)(A B)g,

A + B 

 
49 
1 (


m A + m

∆ +
∆ +

+
 +
=
w
(A B) (P sin P cos P
1
x
1
y
y )
m
m
~
w
2
(A B)Mg
M
 M
M 
 
= (m + m
+
w
)(A B)g
малость  слагаемых  (P R

I 1 Ωz + Ω
1
x
− L1)cos∆ ,  x
P

2 R
L2   и 
(
∆ )sin ∆   по 
сравнению  с  остальными  слагаемыми  в  четвертом  уравнении  системы  (1.1.3) 
может быть оценена величиной 
2
ρ
R
ε = µ
1

R 2 (A + B)
Для

  реальных  значений  параметров  автомобиля  имеем  R (A + B)
1
~ 10

следовательно



3
2
ε ~ 10 −10
m A
w
(g+Ω2 H
z
w − H )+
1
.  Малость  слагаемых 
(
)  
+ m(A − B)(g
2
+ Ω

1 M (m
+

∆ +
∆ +
w A
m A
B )(P 1
x sin
P 1
y cos
y
P 2 )
z (R
H))  и  (
)
(
)
  по 
сравнению с остальными слагаемыми  в четвертом и пятом  уравнениях системы 
(1.1.3) оценивается величиной  µ
µ =
µ <<
w + µ , где 
m
M ~
1
w
w

Ввиду сильного разнесения масс колеса, механизма рулевого управления и 
автомобиля 
малость 
величин 
(Izb + I 12
z
− (m M
w
+ m M)×  
× ((M − M − m) 2
A − 2mAB + m M M − m B − I
w
) ( )(
) 2 ) z) и  M∆ по сравнению с  Iz и 
моментами  контактных  сил  соответственно  может  быть  оценена  величиной 
µ ~ µw . 
После  пренебрежения  в  четвертом  и  пятом  уравнениях  слагаемых  с 
малыми  множителями  ε
µ
1 , 
w , 
µ  система  (1.1.3)  перейдет  в  систему, 
рассмотренную  в  работах  [12, 13, 32]  (в  работе  [13]  уравнения  "велосипедной" 
модели  автомобиля  рассматривались  для  случая  "закрепленного  рулевого 
управления", в связи с чем уравнение, задающее закон изменения угла поворота 
переднего  колеса  модели  относительно  корпуса,  не  выписывалось;  а  при 
формировании  уравнений  изменения  кинетического  момента  автомобиля  в 
целом  не  учитывались  проекции  кинетических  моментов  колес  и  изменение 
геометрии масс системы при их повороте [14]): 
x
dV
M
= P
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
x cos
P 1
y sin
x
P 2
y
MV
z
x
F , 
dT

 
50 
y
dV
M
= P
∆ +
∆ +

Ω +
1
x sin
P 1
y cos
y
P 2
x
MV
z
y
F , 
dT
0 = N + N − Mg
1
2

0 = −AN + BN −
∆ −
∆ +
1
2
(P cos P sin P
1
x
1
y
x 2 )H , 
(1.1.12) 
dΩz
I
=
∆ +
∆ −
+
z
(P 1xsin P 1ycos )A yP2B Mz, 
dT
dΩ

1
d
I
= −P
+
2 = −
1
x R
1
L ,  I
+
x
P 2R L2 , 
dT
dT
dΩ
d




d
I
= M∆ − I
z
= Ω
= Ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
dT
dT
dT
dT
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ . 
dT
dT
На  основании  теоремы  Пуанкаре  [29]  рассогласование  между  решениями 
исходной  системы  (1.1.3)  и  системы  (1.1.12)  оценивается  величиной  O(µ)  на 
конечном интервале времени  T ~ 1
T . 
Далее  приближенная  модель  (1.1.12)  будет  рассматриваться  в  качестве 
исходной  при  проведении  асимптотических  процедур  методов  теории 
сингулярных возмущений. 
Приближенные выражения для нормальных составляющих контактных сил 
N1 ,  N2 задаются формулами 
MgB − (P cos ∆ − P sin ∆ + P
1
x
1
y
x 2 )H
N =
=
1

N

2
Mg
1
N . 
(1.1.13) 
A + B
Поставим задачу упрощения исходной системы (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12), т.е. 
построения  приближенных  моделей  более  низкого  порядка,  позволяющих 
описывать  как  режим  движения  автомобиля  без  потери  сцепления  колес  с 
дорогой,  так  и  режим  движения  при  потере  сцепления  колес  с  дорогой. 
Указанные  модели  должны  быть  пригодны  для  рассматриваемого  класса  задач 
разгона, торможения и заноса автомобиля. 

 
51 
§ 1.2. Сравнение "велосипедной" и четырехколесной моделей 
движения автомобиля 
Для  обсуждения  пределов  применимости  используемой  в  диссертации 
"велосипедной" модели  (1.1.5)– (1.1.7), (1.1.12) из § 1.1 проведем ее сравнение  с 
четырехколесной  моделью  движения  автомобиля  из  [25]  (см.  также  раздел 1.3 
Введения). Высокая степень точности четырехколесной модели, подтвержденная 
большим  числом  испытаний,  делает  целесообразным  ее  использование  в 
качестве эталонной при сравнении с "велосипедной" моделью. 
1.2.1. Описание четырехколесной модели автомобиля 
Четырехколесная  модель  автомобиля  [25]  образована  корпусом, 
подрессоренной массой и четырьмя неподрессоренными массами, включающими 
колеса. Считается, что центры масс автомобиля и корпуса совпадают. Крепление 
каждой  неподрессоренной  массы  к  корпусу  автомобиля  моделируется  вязко-
упругим  элементом,  имитирующим  подвеску,  включающую  рессору  и 
амортизатор. 
Предполагается, 
что 
составляющие 
подвески 
могут 
деформироваться  только  вдоль  вертикальной  оси.  Продольные  плоскости 
симметрии колес перпендикулярны соответствующим осям вращения этих колес, 
что  эквивалентно  пренебрежению  углами  развала  и  схождения.  Движение 
происходит  по  горизонтальной  однородной  шероховатой  плоскости  (дороге). 
Будем придерживаться обозначений, принятых в § 1.1. 
Введем следующие правые системы координат. Система  Ox0y0z0 является 
неподвижной:  плоскость  Ox0y0  совпадает  с  опорной  плоскостью,  ось  Oz0  
направлена  вертикально  вверх.  Подвижная  система  Сx1 1
y z1  имеет  начало  в 
центре  масс  С   автомобиля:  ось  Сx1 направлена вперед по  ходу движения, ось 
Сz1 – вертикально вверх. Подвижная система  Сxyz  жестко связана с корпусом 
автомобиля,  ось  Сx   направлена  вперед  по  его  продольной  оси  симметрии,  ось 
Сy   направлена  влево.  Положение  системы  Сx1 1
y z1   относительно  трехгранника 
Ox0y0z0  задается координатами  X ,  Y ,  Z  точки  C  и углом поворота  Ψ  (курса) 



 
52 
вокруг  оси  Сz
С
1.  Положение  системы  Сxyz   относительно  трехгранника 
x1 1
y z1  
задается двумя углами поворотов  Γ  (крена) и  Θ  (тангажа) вокруг осей  Сx  и  Сy  
соответственно.  Системы  координат  Aijxijyijzij  связаны  с  колесными  дисками. 
Здесь и далее индексы  i  задают переднюю ( i = 1) и заднюю (i = 2 ) оси, индексы 
j – левый ( j = 1) и правый ( j = 2 ) борта по ходу движения автомобиля. Точка  Aij 
лежит  на  пересечении  оси  вращения  ij-го  колеса  с  продольной  плоскостью 
симметрии  его  пневматика.  Для  задних  колес  ориентация  осей  трехгранников 
A
С
ijx ij yijzij   совпадает  с  ориентацией  осей  трехгранника 
x1 1
y z1 .  Для  передних 
колес  положения  систем  A
С
ijx ij yijzij  
относительно  трехгранника 
x1 1
y z1  
задаются углами поворота колес  ∆

11  и 
12  (рис. 1.3). 
z1
x1
N
N
11
21
C
A11
A 21
P
P
11
1
x
21
1
x
O11
O 21
A
B
 
P 12
1
x
P 22
1
x
∆12
P
x
12
1
y
12
P
C
22
1
y
x1
P
P
11
1
x
21
1
x
∆11
y1
P
P
21
1
y
11
1
y
x11
 


 
53 
z1
y1
C
N 21
N11
P
P
12
1
y
11
1
y
C
C
1
1
 
Рис. 1.3. Системы координат и контактные силы для четырехколесной модели автомобиля [78] 
Будем  считать,  что  в  ненагруженном  состоянии  ij-е  колесо  ( ,i j = ,
1 2) 
касается  дороги  в  точке 
'
Oij ,  которая  в  системе  Aijxijyijzij   имеет  координаты 
( ,0 ,0−R),  где  R   –  радиус  колеса.  В  нагруженном  состоянии  взаимодействие 
колеса  с  дорогой  происходит  по  некоторой  области,  при  этом  точка 
'
Oij  
переходит  в  Oij.  Положение  точки  Oij  в  системе  Aijxijyijzij  задается 
координатами  (ξ η − +
ij ,
ζ
ij , R
ij ).  Введем  трехгранники  Oijx ijyijzij   с  началом  в 
точке  Oij, оси которых сонаправлены с соответствующими осями трехгранников 
Aijxijyijzij  (рис. 1.4). 


 
54 
Z
∆ ij
R
C
ij
ij
Aij
zij
ξij
ςij
Qij
K
x
z
ij
ij
Kxij
x
P
O
ij
ij
Nij
 
Рис. 1.4. Схема сил взаимодействия в элементах подвески и деформируемой части пневматика 
[25] 
Уравнения  движения  системы  слагаются  из  уравнений  движения  центра 
масс  С   и  уравнений  изменения  кинетического  момента  корпуса  автомобиля 
относительно  точки  C ,  записанных  в  проекциях  на  оси  трехгранника  Сx1 1
y z1, 
уравнений  движения  неподрессоренных  масс  автомобиля,  записанных  в 
проекциях на оси  Oijzij, уравнений изменения кинетического момента для колес 
относительно  осей  их  вращения  Aijyij,  уравнений  изменения  кинетического 
момента  колес  передней  оси  и  механизма  рулевого  управления  относительно 
осей  A1j 1
z j и кинематических соотношений: 
2
2
2
sm
um
x
dV
sm
um
(M
+ 4 ∑ M
= ∑
+
+ ∑
Ω +
ij
)
P
(M
4
M
)V
F , 
ij
1
x
ij
y
z
1
x
i, j 1
=
dT
i, j 1
=
i, j 1
=
2
dV
2
2
sm
um
y
sm
um
(M
+ 4 ∑ M
= ∑

+ ∑
Ω +
ij
)
P
(M
M
)V
F , 
ij
1
y
ij
x
z
1
y
i, j 1
=
dT
i, j 1
=
i, j 1
=
2
sm
z
dV
s
sm
M
= ∑ N −
+
ij
M
g
F , 
1
z
dT
i, j 1
=

 
55 
2
dΩx
s
s
s
s
I
=

+

+
+ ∆ ∑
+
x
(N11 N12 )C1 (N21 N22 )C2 (H
Z)
P
M , 
ij
1
y
1
x
dT
i, j 1
=

d y
I y
= −(Ns11 + Ns )A
12
+ (Ns21 + Ns )B
22
−  
dT
2
− (H + ∆ )
Z ∑ P
+

ij
1
x
M 1y
i, j 1
=

d z
Iz
= (P 1
x
− P 1
x
) 1
C + (P
− P 1
x
)C2 +  
12
11
22
1
x
dT
21
+ (P
+ P
)A − (P
+ P
)B +

11
1
y
M
12
1
y
21
1
y
22
1
y
1
z
d Z

d∆Z
11 = −A cosΘ ⋅ Ω + C cosΓ ⋅ Ω +
y
1
x

dT
dT
d Z

d∆Z
12 = −A cosΘ ⋅ Ω − C cos Γ ⋅ Ω +
y
1
x

(1.2.1) 
dT
dT
d Z

d∆Z
21 = BcosΘ ⋅ Ω + C cos Γ ⋅ Ω +
y
2
x

dT
dT
d Z

d∆Z
22 = BcosΘ ⋅ Ω − C cosΓ ⋅ Ω +
y
2
x

dT
dT
dζij
dw
=
um
ij
w
s
um
= −


+
ij , 
M
(N
N
M
g
F )
ij
ij
ij
ij
z

dT
dT
ij
dΩ
2 ∆
ij
d
1j
dΩ
I
= −
− ζ +
z
= ∆ −
ij
x
P (R
ij )
Lij,  I
M
I
z
z

dT
ij
1 j
dT 2
1j
1j
dT

s
d
ij
N = −



=
ζ +
=
ij
Cij Zij R ij
Zij ,  N
K
Q
ij
z
ij
ij
  (i, j
,
1 2), 
dT
ij
dT
P
=
∆ −

=
∆ +

1
x
x
P
cos 11
y
P
sin 11,  P
P
sin
P
cos

11
11
11
1
y
x
11
y
11
11
11
11
P
=
∆ −

=
∆ +

1
x
x
P
cos 12
y
P
sin 12 ,  P
P
sin
P
cos

12
12
12
1
y
x
12
y
12
12
12
12
P
= P ,  P
= P ,  P
= P ,  P
= P , 
21
1
x
x21
21
1
y
y21
22
1
x
x22
21
1
x
x21
∆Z = −Asin Θ + C sin Γ + ∆Z

= −
Θ −
Γ + ∆
11
1

Z
A sin
C sin
Z
12
1

∆Z = Bsin Θ + C sin Γ + ∆Z

=
Θ −
Γ + ∆
21
2

Z
Bsin
C sin
Z
22
2

dX =
dY
d∆Z
V cos
= V sin
=
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ , 
z
V , 
dT
dT
dT

 
56 

+

= Ω
dΘ = Ω
dΨ = Ω
(A
)
B tg 11
∆ =
x , 
y , 
z , 
tg 12

dT
dT
dT
A + B + 2

1
C tg 11
Здесь  T   –  размерное  время;  x
V , 
y
V , 
z
V   –  соответствующие  проекции  вектора 
абсолютной скорости точки  C  на оси трехгранника  Сx
Ω Ω
1 1
y z1 ;  x ,  y  – проекции 
угловой  скорости  трехгранника  Сxyz   на  оси  Сx
С

1 , 
1
y ; 
z   –  вертикальная 
составляющая  абсолютной  угловой  скорости  трехгранника  Сx

1 1
y z1 ; 
Z   – 
отклонение по вертикали точки  C  от состояния статического равновесия  Z = H ; 
Z
∆ ij   –  вертикальные  деформации  рессор  относительно  состояния  статического 
2
равновесия; 
um
M
sm
M
= M −
um
ij
  –  массы  неподрессоренных  элементов; 
∑ Mij   – 
i, =
j 1
масса  корпуса;  M   –  масса  автомобиля  в  целом;  g   –  ускорение  свободного 
падения; 
ij
1
x
P

ij
1
y
P
,  x
P

ij
ij
y
P  – проекции касательных составляющих контактных 
сил  на  оси  трехгранников  Сx
O x y z
1 1
y z1   и  ij ij ij ij  соответственно; 
1
x
F , 
1
y
F ,  z
F   – 
1
проекции на оси трехгранника  Сx1 1
y z1  сторонних сил, действующих на корпус; 
s
N
С
ij   –  проекции  на  оси  трехгранника 
x1 1
y z1   сил,  действующих  на  корпус  со 
стороны  подвески;  Nij  –  проекции  нормальных  реакций  со  стороны  опорной 
плоскости  на  оси  Oijxijyijzij;  Kz   –  коэффициент  радиальной  жесткости 
ij
пневматика;  Qij  –  коэффициент  вязкого  трения;  Cij ,  Rij  –  коэффициенты 
жесткости  рессор  и  вязкости  амортизаторов; 
sm
2
I = M
⋅ρ
sm
=

x
x , 
2
I
ρ
y
M
y   – 
соответственно,  главные  центральные  моменты  инерции  корпуса  относительно 
осей  Сx ,  Сy ;  ρ
ρ
x , 
y   –  соответствующие  радиусы  инерции;  I z   –  главный 
центральный  момент  инерции  автомобиля  относительно  оси  Сz ;  A ,  B   – 
расстояния от центра масс до передней и задней осей колес;  1
C ,  C2  – половины 
длин  передней  и  задней  осей  автомобиля;  Mx ,  M ,  M   –  проекции  на  оси 
1
1
y
1
z
трехгранника  Сx1 1
y z1 сторонних моментов, действующих на корпус автомобиля; 
O x y z
z
F  – проекции на оси трехгранников 
 сторонних сил, действующих на 
ij
ij ij ij ij

 
57 
неподрессоренную массу;  Ωij – абсолютная угловая скорость осевого вращения 
колеса; 
2
I =
ρ
=
ij
m ij, 
2
I
ρ
z
m z   –  момент  инерции  ij-го  колеса  относительно  оси 
1j
1 j
Aijyij  и  момент  инерции  колеса  1j  и  механизма  рулевого  управления 
относительно оси  A
ρ
1j 1
z j;  m ,  ρ , 
 – масса колеса и соответствующие радиусы 
1
z j
инерции;  Lij  –  разгонный  или  тормозной  момент;  M∆   –  момент  рулевого 
1j
управления,  приложенный  к  колесу  1j  относительно  оси  A1j 1
z j.  (Уравнения, 
задающие  законы  изменения  углов  поворота  передних  колес  модели 
относительно корпуса, в работе [25] не выписывались.) 
Выражения  для  касательных  составляющих  контактных  сил  в  системе 
Oijxijyijzij запишем по аналогии с (1.1.5): 
Ε
Ε
x
y
P
= −æ N
ij p(Ε )
P
= −æ
ij
Ε
=
x
x
ij
ij , 
N
p(
)   (i, j
,
1 2).  (1.2.2) 
ij
ij
Ε
y
y
ij
ij
ij
ij
Ε
ij
ij
Здесь  æ
æ
x , 
  –  коэффициенты  кулонова  трения  скольжения  в  продольном  и 
ij
ij
y
боковом  направлениях  относительно  плоскостей  симметрии  колес;  Ε
Ε
x , 
  – 
ij
yij
относительные  проскальзывания  поверхностей  колес  и  опорной  плоскости  в 
продольном и боковом направлениях: 
U x
U
ij
Ε =
yij
Ε =
=
2
Ε = Ε + Ε
x

  (i, j
,
1 2); 
2

(1.2.3) 
ij

y
ij
x
y
R
ij

ij
ij
ij
R
ij
U x ,  U   –  проекции  скоростей  точек  контакта  колес  на  оси  трехгранников 
ij
yij
Oijxijyijzij, вычисляемые по формулам 
U
= (V − Ω C )cos∆ + (V + Ω A)sin ∆ − Ω R
x
x
z
1
11
y
z
11
11

11
U
= −
− Ω
∆ +
+ Ω

y
( x
V
z
1
C )sin 11 ( y
V
z A) cos
11 , 
11
U
= (V + Ω C )cos∆ + (V + Ω A)sin ∆ − Ω R
x
x
z
1
12
y
z
12
12

(1.2.4) 
12
U
= −
+ Ω
∆ +
+ Ω

y
( x
V
z
1
C )sin 12 ( y
V
z A) cos
12 , 
12
U
= V − Ω C − Ω R
=
− Ω
x
x
z
2
21
,  U
V
B , 
21
y
y
z
21

 
58 
U
= V + Ω C − Ω R
=
− Ω
x
x
z
2
22
,  U
V
B. 
22
y
y
z
22
Для характеристики  p(Ε )
ij  принята та  же кусочно-линейная аппроксимация, что 
и на рис. 1.2. 
Система  (1.2.1)–(1.2.4)  также,  как  и  система  (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12),  была 
составлена 
в  пренебрежении  слагаемыми,  получаемыми  при 
учете 
соответствующих  проекций  векторов  кинематических  моментов  колес 
автомобиля  и  механизма  рулевого  управления.  Она  представляет  собой 
замкнутую  систему  дифференциальных  уравнений  26  порядка  относительно 
переменных 






x
V , 
y
V , 
z
V , 
x , 
y , 
z ,  X ,  Y , 
Z ,  Γ ,  Θ ,  Ψ , 
ij , 
1j , 
Ω∆ = d∆ dT ζ
w
=
1j


  ( ,
i j
,
1 2 ).  Для  того,  чтобы  однозначно  определить 
1 j
ij
ij
движение  автомобиля,  необходимо  задать  начальные  условия,  возмущения 
1
x
F , 
M
,  M
,  M , 
L ,  M ∆ . 
1
y
F ,  z
F , 
1
1
x
1
y
1
z
z
F  и управления 
ij
ij
1j
1.2.2. Численное  исследование  "велосипедной"  и  четырехколесной 
моделей 
Проведем  численное  сравнение  "велосипедной"  (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12)  и 
четырехколесной  (1.2.1)–(1.2.4)  моделей.  Параметры  систем  зададим  типовыми 
для  легкового  автомобиля.  В  качестве  общих  параметров  "велосипедной"  и 
четырехколесной  моделей  выберем  M = 1000 кг , 
2
I = 1000 кг ⋅ м
= =
z
,  A
B
5
,
1 м , 
H = 1 м ,  R = 3
,
0
м ,  m = 10 кг ,  ρ = ρ = 15
,
0
м
ε =
ij

1
,
0 .  Для  четырехколесной 
модели  положим  ρ = 5
,
0
м
ρ =1
=
=
4
C = 5 ⋅10 кг с
x

м
y

C
C
1 м
1
2

2
ij

R = 103 кг с
5
K
= 3⋅10 кг с
Q = 3 ⋅103 кг
=
ij

2
z

с   ( ,i j
,
1 2 ).  Предполагая 
ij
ij
внешние  возмущения  малыми,  положим 
M
M
x
F ,  y
F ,  M z , 


1
x
F , 
1
y
F ,  z
F , 
1
1
x
1
y
M , 
1
z
z
F  равными нулю. 
ij
На  рис. 1.5–1.8  показаны  типичные  графики  для  случая  разгона 
переднеприводного  автомобиля  на  сухой  асфальтовой  дороге  с  достаточно 
высокой  начальной  скоростью  и  малым  углом  поворота  передних  колес 

 
59 
∆ ~ ∆

æ = æ =
æ
= æ =
=

11 ~
12 .  Было  принято 
8
,
0
xi
yi

8
,
0
x
,  L
300 H м , 
ij
yij
1
L
=150 H ⋅м
=
=

∆ =
1j
,  L
L
0 H м
2
2 j

0,05 .  Предполагая,  что  центр  переднего 
колеса  "велосипедной"  модели  находится  на  пересечении  передней  оси  и 
продольной  плоскости  симметрии  корпуса  автомобиля,  положим,  аналогично 
последнему уравнению в (1.2.1) 
(A + B) ∆
(A + )
B tg∆
tg∆
tg∆12 =
11 =
tg


A + B − C tg
A + B + C tg
1

1

Зададим 
V
=
Ω 0 = Ω 0 = V 0
=
x (0)
20 м с , 
i ( )
ij ( )
x ( ) R  
(i, j 1,2);  остальные 
начальные условия положим равными нулю. 
На  рис. 1.5  показано  изменение  во  времени  величины  угла  крена  Γ   для 
четырехколесной  модели.  На  рис. 1.6  представлено  изменение  во  времени  T  
величин  боковых  контактных  сил  y
P   на  передних  (а)  и  задних  (б)  колесах  (для 
"велосипедной" модели приведены половины  величин боковых  контактных сил; 
для четырехколесной модели сплошной линией отмечены графики, отвечающие 
левым колесам, пунктирной – правым колесам соответствующей оси). На рис. 1.7 
показаны  последовательные  положения  продольной  оси  симметрии  автомобиля 
на плоскости  X ,  Y , на рис. 1.8 приведен график зависимости угловой скорости 
Ωz  корпуса от времени  T. 
Анализ  графиков  показывает,  что  угол  крена  при  заданном  режиме 
движения

 является достаточно малым (порядка 
2
10
) и после истечения времени 
переходного  процесса  остается  практически  неизменным,  что  не  приводит  к 
значительному перераспределению нагрузки между левыми и правыми колесами 
одной оси; различия между боковыми контактными силами для правых и левых 
колес  одной  оси  четырехколесной  модели  являются  приемлемыми.  При  этом 
боковые  контактные  силы  на  колесах  "велосипедной"  модели  близки  к 
соответствующим средним значениям контактных сил четырехколесной модели, 
а  различия  для  последовательных  положений  продольной  оси  автомобиля  и 
угловой скорости его корпуса в силу указанных моделей незначительны. 



 
60 
 
Рис. 1.5. Зависимость угла крена корпуса четырехколесной модели переднеприводного 
автомобиля от времени при разгоне на сухой асфальтовой дороге с малым углом поворота 
передних колес. L1j = 150 H⋅м, Δ = 0,05, Vx(0) = 20 м/с 
 
Рис. 1.6. Зависимость боковых контактных сил от времени на передних (а) и на задних (б) 
колесах при разгоне переднеприводного автомобиля на сухой асфальтовой дороге с малым 
углом поворота передних колес. L1j = 150 H⋅м, Δ = 0,05, Vx(0) = 20 м/с (для "велосипедной" 
модели L1 = 300 H⋅м и приведены половины величин боковых контактных сил) 



 
61 
 
Рис. 1.7. Последовательные положения продольной оси переднеприводного автомобиля при 
разгоне на сухой асфальтовой дороге с малым углом поворота передних колес. L1j = 150 H⋅м, 
Δ = 0,05, Vx(0) = 20 м/с (для "велосипедной" модели L1 = 300 H⋅м) 
 
Рис. 1.8. Зависимость угловой скорости корпуса от времени при разгоне переднеприводного 
автомобиля на сухой асфальтовой дороге с малым углом поворота передних колес. 
L1j = 150 H⋅м, Δ = 0,05, Vx(0) = 20 м/с (для "велосипедной" модели L1 = 300 H⋅м) 


 
62 
На рис. 1.9–1.12 показаны графики, аналогичные графикам на рис. 1.5–1.8, 
для  случая  неинтенсивного  разгона  переднеприводного  автомобиля  на  сухой 
асфальтовой  дороге  с  невысокой  начальной  скоростью  и  большим  углом 
поворота  передних  колес.  Было  принято  V
=
=

x (0)
5 м с , 
L
100 H м
1

L
= 50 H ⋅м
=
=

∆ =
1j
,  L
L
0 H м
2
2 j

0,4 .  Остальные  параметры  оставлены  без 
изменения. 
Из рисунков следует, что угол крена, как и выше, после истечения времени 
переходного  процесса  остается  малым  и  практически  не  изменяется. 
Погрешность  определения  положения  продольной  оси  автомобиля  и  угловой 
скорости  корпуса  в  силу  "велосипедной"  модели  увеличилась  по  сравнению  с 
предыдущим примером разгона с высокой начальной скоростью и малым углом 
поворота передних колес, но по-прежнему является приемлемой. 
 
Рис. 1.9. Зависимость угла крена корпуса четырехколесной модели переднеприводного 
автомобиля от времени при неинтенсивном разгоне на сухой асфальтовой дороге с большим 
углом поворота передних колес. L1j = 50 H⋅м, Δ = 0,4, Vx(0) = 5 м/с 



 
63 
 
Рис. 1.10. Зависимость боковых контактных сил от времени на передних (а) и на задних (б) 
колесах при неинтенсивном разгоне переднеприводного автомобиля на сухой асфальтовой 
дороге с большим углом поворота передних колес. L1j = 50 H⋅м, Δ = 0,4, Vx(0) = 5 м/с (для 
"велосипедной" модели L1 = 100 H⋅м и приведены половины величин боковых контактных 
сил) 
 
Рис. 1.11. Последовательные положения продольной оси переднеприводного автомобиля при 
неинтенсивном разгоне на сухой асфальтовой дороге с большим углом поворота передних 
колес. L1j = 50 H⋅м, Δ = 0,4, Vx(0) = 5 м/с (для "велосипедной" модели L1 = 100 H⋅м) 


 
64 
 
Рис. 1.12. Зависимость угловой скорости корпуса от времени при неинтенсивном разгоне 
переднеприводного автомобиля на сухой асфальтовой дороге с большим углом поворота 
передних колес. L1j = 50 H⋅м, Δ = 0,4, Vx(0) = 5 м/с (для "велосипедной" модели L1 = 100 H⋅м) 
Рост  погрешности  объясняется  тем,  что  для  исследуемого  движения  боковая 
контактная  сила  на  заднем  колесе  "велосипедной"  модели  превосходит 
суммарную  боковую  контактную  силу  на  задней  оси  четырехколесной  модели, 
что  увеличивает  угловую  скорость  и  кривизну  траектории  поворота  для 
четырехколесной модели по сравнению с "велосипедной" моделью. 
На  рис. 1.13–1.16  показаны  графики,  отвечающие  случаю  заноса 
переднеприводного  автомобиля  на  сухой  асфальтовой  дороге  при  высокой 
путевой  скорости  и  большом  угле  поворота  передних  колес.  Принято 
V
=
∆ =
x (0)
15 м с , 
0,4 ,  окружная  скорость  пробуксовки  периферийных  точек 
колес считалась равной 20 м/с. Остальные параметры оставлены без изменений. 
В  рассматриваемом  случае  поведение  "велосипедной"  модели  существенно 
отличается  от  четырехколесной.  При  движении  угол  крена,  оставаясь  малым, 
достаточно сильно изменяется и после истечения времени переходного процесса, 
что  приводит  к  перераспределению  нагрузки  и  сильным  различиям  между 
величинами контактных сил на колесах одной оси. 



 
65 
 
Рис. 1.13. Зависимость угла крена корпуса четырехколесной модели переднеприводного 
автомобиля от времени при разгоне на сухой асфальтовой дороге с пробуксовкой и большим 
углом поворота передних колес. Δ = 0,4, Vx(0) = 15 м/с 
 
Рис. 1.14. Зависимость боковых контактных сил от времени на передних (а) и на задних (б) 
колесах при разгоне переднеприводного автомобиля на сухой асфальтовой дороге с 
пробуксовкой и большим углом поворота передних колес. Δ = 0,4, Vx(0) = 15 м/с (для 
"велосипедной" модели приведены половины величин боковых контактных сил) 



 
66 
 
Рис. 1.15. Последовательные положения продольной оси переднеприводного автомобиля при 
разгоне на сухой асфальтовой дороге с пробуксовкой и большим углом поворота передних 
колес. Δ = 0,4, Vx(0) = 15 м/с 
 
Рис. 1.16. Зависимость угловой скорости корпуса от времени при разгоне переднеприводного 
автомобиля на сухой асфальтовой дороге с пробуксовкой и большим углом поворота передних 
колес. Δ = 0,4, Vx(0) = 15 м/с 


 
67 
На  рис. 1.17  приведена  аналогичная  предыдущей  ситуация  заноса 
переднеприводного 
автомобиля 
на 
скользкой 
поверхности. 
Значения 
коэффициентов  кулонова  трения  приняты  следующими:  æ = æ = ,
0 2
xi
yi

æ
= æ = ,
0 2
=
x
  ( ,i j
,
1 2).  Остальные  параметры  оставлены  без  изменения. 
ij
yij
Анализ графиков показывает, что при низком уровне сцепления колес с дорогой 
и, как следствие, малом различии между  величинами контактных сил для колес 
одной  оси,  различия  в  поведении  "велосипедной"  и  четырехколесной  моделей 
являются приемлемыми. 
 
Рис. 1.17. Зависимость угла крена корпуса четырехколесной модели переднеприводного 
автомобиля от времени при разгоне на льду с пробуксовкой и большим углом поворота 
передних колес. Δ = 0,4, Vx(0) = 15 м/с 



 
68 
 
Рис. 1.18. Зависимость боковых контактных сил от времени на передних (а) и на задних (б) 
колесах при разгоне переднеприводного автомобиля на льду с пробуксовкой и большим углом 
поворота передних колес. Δ = 0,4, Vx(0) = 15 м/с (для "велосипедной" модели приведены 
половины величин боковых контактных сил) 
 
Рис. 1.19. Последовательные положения продольной оси переднеприводного автомобиля при 
разгоне на льду с пробуксовкой и большим углом поворота передних колес. Δ = 0,4, 
Vx(0) = 15 м/с 


 
69 
 
Рис. 1.20. Зависимость угловой скорости корпуса от времени при разгоне переднеприводного 
автомобиля на льду с пробуксовкой и большим углом поворота передних колес. Δ = 0,4, 
Vx(0) = 15 м/с 
Расчеты показали, что при малом различии характеристик сцепления колес 
одной  оси  с  дорогой  качественный  вид  графиков,  показанных  на  рис. 1.5–1.20, 
существенно не изменяется. 
Таким  образом,  при  значениях  параметров,  начальных  условий, 
управлений и возмущений, обеспечивающих движение автомобиля с достаточно 
малыми  (но  не  изменяющимися  существенно  после  истечения  времени 
переходного  процесса)  углами  крена,  перераспределение  нагрузки  между 
колесами  одной  оси  является  незначительным.  В  этом  случае  при  малых 
различиях  характеристик сцепления колес одной оси с дорогой различия между 
"велосипедной"  и  четырехколесной  моделями  автомобиля  как  в  режиме 
движения  с  малыми  проскальзываниями  колес  относительно  дороги,  так  и  при 
движении в режиме заноса, являются приемлемыми. 

 
70 
Глава 2. Математические модели движения автомобиля без 
потери сцепления колес с дорогой 
В главе 2 проводится приближенное моделирование движения автомобиля 
без  потери  сцепления  колес  с  дорогой,  т.е.  при  выполнении  условий  (1.1.10). 
Возможность  приближенного  анализа  связана  с  малостью  величин  µ  и  ε , 
введенных  в  (1.1.3), (1.1.5).  Для  построения  приближенных  моделей  движения 
автомобиля  используется  аппарат  фракционного  анализа,  изложенный  в  § 2 
Введения. Проведено аналитическое и численное сравнение полученной модели 
с  неголономной  моделью,  получаемой  методами  классической  механики  на 
основании  гипотезы  о  непроскальзывании  колес,  и  асимптотической  моделью, 
полученной  в  [32]  в  предположении  малости  величин  µ,  ε   и  характерных 
значений угла  ∆  поворота передних колес. Рассмотрены два случая возможного 
движения.  Первый  случай,  ∆ ~ 5
,
0   отвечает  движению  автомобиля  в  поворотах 
малого  радиуса.  Оно  может  быть  реализовано  при  относительно  небольших 
путевых скоростях. Второй случай,  ∆ <<1, соответствует движению в поворотах 
большого  радиуса.  Такое  движение  возможно,  например,  при  перестроении  на 
высокой  скорости  с  одной  полосы  автомобильной  трассы  на  другую. 
Исследовано  влияние  управляющих  воздействий  на  движение  автомобиля  с 
различными типами привода. 
§ 2.1. Асимптотическая модель движения 
2.1.1. Построение модели 
Перейдем  в  системе  (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12)  от  исходного  набора  фазовых 
переменных 
Ω Ω Ω
U
U
x
V , 
y
V , 
z , 
j , 
∆ ,  Ψ ,  ∆ ,  X ,  Y  к новому набору  x
V , 
xj , 
yj , 
Ω∆ ,  Ψ ,  ∆ ,  X ,  Y ,  содержащему  "быстрые"  переменные  Uxj,  Uyj,  которые 
входят в уравнения с "большими" коэффициентами  æ
æ
xj N j ε , 
yjN j ε   ( j = ,
1 2). 
С учетом (1.1.13), системой в новых переменных будет 

 
71 
x
dV
M
= P
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
x cos
P 1
y sin
x
P 2
y
MV
z
x
F , 
dT
dU 1
x
= Φ cos∆ − V Ω sin

∆ + Φ + Φ
∆ +
1
x
(
A
2
3
)sin
dT
 
+ (V + Ω A Ω∆
∆ − Φ
y
z
) cos
R,
4
dUx2 = Φ − Φ R
1
5

dT
dU 1
y
= −Φ sin ∆ − V Ω cos

∆ + Φ + Φ
∆ −
1
x
(
A
2
3
)cos
dT
 
− (V + Ω A Ω∆

y
z
) sin ,
dUy2 = Φ − Φ B
2
3

dT
dΩ
d




d
I
= M∆ − I
z
= Ω
= Ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
(2.1.1) 
dT
dT
dT
dT
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ , 
dT
dT
æ N U
æ
xj
j
xj
N U
yj
j
yj
P = −
= −
xj
ε Ω ,  Pyj
  (j = ,
1 2), 
R
ε Ω
j
R
j
MgB − (P cos ∆ − P sin ∆ + P
1
x
1
y
x 2 )H
N =
=
1

N

2
Mg
1
N , 
A + B
B

U 1
y
A

y
V =

 x
V tg∆ +
+ Uy2 , 
A + B 
cos ∆
B

1

U 1
y

Ωz =

 x
V tg∆ +
− Uy2 , 
A + B 
cos ∆

x
V
1
Ω =
+
∆ −
1
Ω =

1
(U 1ytg U 1x),  2 ( xV Ux2). 
R cos ∆
R
R
При  решении  задачи  вместо  Φ K Φ
1,
,
5   в  (2.1.1)  следует  подставить  выражения, 
определяемые соотношениями 
x
dV
1
Φ =
=
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
[P 1xcos P 1ysin
x
P 2
y
MV
z
x
F ], 
dT
M

 
72 
y
dV
1
Φ =
=
∆ +
∆ +

Ω +
2
[P 1xsin P 1ycos
y
P 2
x
MV
z
y
F ], 
(2.1.2) 
dT
M
dΩz
1
Φ =
=
∆ +


+
3
([P 1xsin P 1ycos )A yP2B Mz], 
dT
Iz
dΩ1
1
Φ =
= −
+
1
Φ = −
+
4
[ P 1xR 1
L ], 
5
[ xP2R L2]. 
dT
I
I
Проведем нормализацию системы (2.1.1), (2.1.2), заменив время, исходные 
переменные и прочие величины их безразмерными аналогами 
T
V

y
V


Ψ
t =

x
v =
z
ω =
ω =
ψ =
x
,  v =
y
,  z
Ω ,  ∆ Ω , 
Ψ , 
*
T
x
V *
y
V *
z*
*

*
X
Y
Ωj
xj
P
yj
P
L j
x =
,  y =
,  ω =
j
,  p
=
xj
,  p
=
yj
,  l =
j

X

*
*
Y
*
j
*
P
*
P
*
L
N
F
j
Uxj
Uyj
F
y
M
n =
x
z
j
,  u
=
xj
,  u
=
yj
  (j = ,
1 2),  f =
x
,  f =
y
,  m =
z

N*
U
U
F
F
M
*
xj
*
yj
x*
y*
z*
M
M

Φ
z
m =

δ =
s
ϕ =
= K
z
,  m∆ =

,  s
  (s
,
1
5
, ). 
 
M

Φ
z*
M *

*
*
s
Здесь 
Φ
*
T ,…,
*
s  
– 
характерные  значения  соответствующих  величин, 
определяющие рассматриваемый класс движения. 
Рассматривая  движение  с  произвольными  (конечными)  углами  поворота 
передних  колес,  в  качестве  грубой  оценки  примем  ∆ =1
=
*
.  Положим  N
Mg
*

Тогда при  æ ~ æ ~ 1
=
xj
yj
  (j = 1,2)  получим  P
Mg
*
.  Будем  считать  возмущающие 
силы  величинами  порядка  контактных  сил:  F = F = P = Mg
x*
y*
*
.  Положим 
M
= Mg
+
=
∆ =
+
z*
(A B),  L P R
*
*
,  M
mg
*
(A B).  Оценку  времени,  в  течение 
которого  под  действием  сил  порядка  веса  путевая  скорость  автомобиля 
изменяется до величин порядка  x
V
=
*
*
V , получим из первого  уравнения (2.1.1): 
T = V / g
Εj <
1
*
.  Так  как  на  выбранном  классе  движения 
ε,  то  (1.1.6)  дает 
U
= U = U = Ω
ε
R
Ω = Ω = Ω
*
xj
*
yj
*
*
j
.  Из  (1.1.7)  тогда  следуют  оценки 
*
1
*
2
* , 
V = Ω R V
= Ω A + B = V
*
*
,  y*
z* (
) *. Считая силы инерции соразмерными активным 
силам, примем  MΩ
=
=
z*
*
V
Mg
*
P . Тогда характерная скорость рассматриваемого 

 
73 
движения оценивается соотношением  V = g
+
Ω∆ = ∆
*
(A B). Примем  *
*
2
T , где 
=
2
T
ρ 1z *
V   –  оценка  характерного  времени  работы  механизма  рулевого 
управления,  которая  следует  из  шестого  и  восьмого  уравнений  системы  (2.1.1). 
Из  выражений  для 
= ρ
+
1
T , 
2
T , 
*
V   следует 
2
T = i 1
z
1
T ,  где  i
/
1
z
1
z
(A B) ~1. 
Положим,  далее,  Ψ = Ω T = 1
=
*
z* *
,  X
=
*
*
Y
*
V *
T .  Из  первого  уравнения  системы 
(2.1.1) 
и  уравнений  (2.1.2)  следует  Φ = Φ = g
Φ = g A + B ρ
*
1
*
2

*
3
(
) 2z , 
2
Φ = Φ = MgR mρ
*
4
*
5

Из четвертого и пятого уравнений системы (2.1.1) следует оценка 
=
3
T
ε 1
T  
постоянной  времени  бокового  и  углового  движений  автомобиля,  из  второго  и 
третьего  уравнений  –  оценка 
2
2
T = T
ε mρ MR
4
1
  постоянной  времени 
продольного  движения  колеса.  Неравенства  ε << 1,  µ = m M << 1  приводят  к 
сильному разнесению постоянных времени задачи: 
<<
4
T
<<
3
T
2
T ~ 1
T . 
(2.1.3) 
Будем далее предполагать, что управляющие и внешние воздействия изменяются 
"медленно", на характерных временах  T ~ 1
T  или  T > 1
T . 
В  качестве  примера  вычислим  значения  постоянных  времени  из  (2.1.3), 
используя  типовые  значения  параметров  легкового  автомобиля.  Положив 
V ~ 10 м с , 
M ~ 103 кг , 
m ~ 10 кг , 
R ~
3
,
0
м , 
ρ ~ 15
,
0
м , 
ρ ~ 1 м , 
*
1
z


A ~ B ~ 5
,
1 м ,  ε ~ 1
,
0 , получим  T ~ T ~ 1 c T ~ 10 1
T ~ 10 4
1
2

с
3

с
4

Рассматривая  движения  автомобиля,  происходящие  на  временах  порядка 
характерного времени движения центра масс, примем  *
T = 1
T . Нормализованным 
аналогом системы (2.1.1) будет 
dvx = p
δ −
δ +
+ ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z
fx , 
dt
du

ω

a

1
x
εµ
= 
µ ϕ cosδ − v
∆ sin δ + ϕ + ϕ sin δ +
1
x
2
3
dt

i


1
z
i2


z

 
+ (
ω

v + ω a

δ − ϕ
y
z )
1
cos
,
4


i
 i2
1
z

 
74 
du x2
1
εµ
= µϕ − ϕ
1
5 , 
2
dt
i
du
ω


1
y
a
ε
= −ϕ sin δ − v
∆ cosδ + ϕ + ϕ cosδ −
1
x
2
3
dt
i


1
z
i2

z

 
− (
ω
v + ω a

δ
y
z )
sin ,
i 1
z
du y2
b
ε
= ϕ − ϕ
2
3 , 
(2.1.4) 
2
dt
iz
2

i

ψ
δ
1
z
d
d
i
= ∆ −
ϕ
= ω
i 1
z
= ω
1
z
m
3 , 


2
z

dt
i
dt
dt
z
dx =
dy
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
dt
dt
u xj
u yj
p
= −æ
p
= −æ
xj
xjn j ω , 
yj
yjn j ω   (j = ,
1 2), 
j
j
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x2 ) h , 
n

2
1
n1, 
 u
 u 1
y

1
y

v
ωz = vx δ
tg + ε

y = bv x
δ
tg + εb
+ auy2 , 
u




y2 
cos δ

 cosδ

vx
ω =
+ ε
δ −
ω =

1
(u 1ytg u 1x),  2 v ε
x
u x2 . 
cos δ
Выражениям  Φ K Φ
ϕ K ϕ
1,
,
5   после  нормализации  отвечают 
1,
, 5,  определяемые 
соотношениями 
ϕ =
δ −
δ +
+ ω
1
p
+
1
x cos
p 1
y sin
px2 vy z fx , 
ϕ =
δ +
δ +
− ω
2
p
+
1
x sin
p 1
y cos
py2 vx z fy , 
(2.1.5) 
ϕ =
δ +
δ −
3
(p
+
1
x sin
p 1
y cos ) a
py2b mz , 
ϕ = −
ϕ = −
4
p
+
1
x
1
l , 
5
p
+
x 2
l2 . 
В (2.1.4), (2.1.5) введены обозначения 
2
2
i = ρ
+
2
2
i = ρ
R
2
2
= ρ
z
z
(A B)2 , 
2 ,  i
+
1
z
1
z
(A B)2 , 
(2.1.6) 
a = A (A + B),  b = B (A + B),  h = H (A + B). 

 
75 
Необходимые  и  достаточные  условия  (1.1.10),  реализующие  режим 
движения  без  потери  сцепления  колес  с  дорогой,  после  нормализации  примут 
вид 
2
2

2
2
p

 p





1
y
p
p
1
x
+ 
 <
y2
1



x 2
+ 
 <1. 
(2.1.7) 
æ






n
 æ n 

æ n
 æ

1
x
1 
1
y
1


n
 x2 2 
y2 2


Заметим, что для решения уравнений исходной системы следует выразить 
p
1
n   и  n2   через  ее  переменные.  Подстановка  выражений  для  p 1
x ,  p x 2   и 
1
y   в 
формулы для  1
n ,  n2  из (2.1.4) дает 
u
b + æ
x 2 h
x2 ω
n
2
=
1


(2.1.8) 
u
u

1
y
u
1 + - æ
1
x cos δ + æ
sin δ + æ
x2
h
x1
y1
x2





ω
ω
ω
1
1
2 

u
u

1
y
1
x
a + - æ
cos δ + æ
δ
x1
y1
sin
h





ω
ω
1
1

n =
= −
2
1
1
n


u
u

1
y
1
x
ux2
1 + - æ
cos δ + æ
sin δ + æ
x1
y1
x2
h





ω
ω
ω
1
1
2 
Система  (2.1.4), (2.1.5)  имеет  вид  (2.9).  Здесь  µ
µ2 =
1 = ε , 
µ , 
= (v , ω ,
∆ ψ, ,
δ x, )T
z
z2 =
=
x
y

(u 1y,uy )T
2

(u 1x,ux )T
2
 
( T  – знак 
транспонирования), выражения для  ,  Z1Z2  отвечают векторам правых частей 
соответствующих  уравнений  для  ,  z1,  z2 .  Будем  рассматривать  ее  как 
сингулярно  возмущенную  систему  тихоновского  вида  (см.  § 2  Введения)  с 
иерархией 
малых 
параметров: 
εµ << ε ~ µ << 1.  Построим  двукратно 
вырожденную  систему,  полагая  равными  нулю  сначала  члены  первого  и  более 
высоких  порядков  по  εµ ,  а  затем  члены  порядка  ε ,  µ.  При  проведении 
асимптотических  процедур  параметры  (2.1.6)  будут  предполагаться  конечными. 
Из (2.1.4) следует 
dvx = p
δ −
δ +
+
ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z fx , 
dt

 
76 
1
1
0 = −
ϕ ,
= −
4  
0
ϕ5, 
i2
2
i
ω

a

0 = −ϕ sin
1
δ −

v
cos
x
δ + ϕ2 + ϕ cos
3
δ − (vy + a
z ) ω
ω
∆ sin δ


2

i 1
z

iz

i 1
z
b
0 = ϕ −
ϕ
2
3 , 
(2.1.9) 
2
iz
2
d ω
i

ψ

1
z
d
i
= ∆ −
ϕ
= ω
i 1
z
=
1
z
m
3 , 


2
z

ω
dt
i
dt
dt
z
x
d =
y
d
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
dt
dt
uxj
uyj
p
= −æ
p
= −æ
xj
xjn j ω , 
yj
yjn j ω   (j = ,
1 2), 
j
j
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 ) h , 
n

2
1
n1, 
v
v
ω
ω
ω =
1 =
x
z =
y = bv tg
x
δ , 
v tg
x
δ , 

2
vx . 
cos δ
Выражения (2.1.5) перейдут в 
ϕ =
δ −
δ +
+
ω
1
p
+
1
x cos
p 1
y sin
p x2
v y z f x , 
ϕ =
δ +
δ +

ω
2
p
+
1
x sin
p 1
y cos
p y2
vx z f y , 
(2.1.10) 
ϕ =
δ +
δ −
3
(p
+
1
x sin
p 1
y cos
)a py2b mz, 
ϕ = −
ϕ = −
4
p
+
1
x
1
l , 
5
p
+
x 2
l2 . 
Подстановка  выражений  для  ϕ
ϕ
4 , 
5   из  (2.1.10)  во  второе  и  третье 
уравнения  системы  (2.1.9)  дает  выражения  для  продольных  компонент 
контактных  сил  p
p
p
1
x ,  p x 2 .  Выражения  для 
1
y , 
y2   находятся  из  уравнений, 
полученных  после  подстановки  в  четвертое  и  пятое  уравнения  системы  (2.1.9) 
выражений  для  ϕ
ϕ
2 , 
3   из  (2.1.10).  Подставив  найденные  выражения  для  p 1
x , 
p
p
x 2 , 
1
y   в  первое  уравнение  системы  (2.1.9),  получим  дифференциальное 
уравнение  изменения  v
v
ω
x .  После  подстановки  выражений  для 
y , 
z   в 

 
77 
кинематические  уравнения  из  (2.1.9)  дифференциальные  уравнения  двукратно 
вырожденной системы могут быть записаны в виде 
(

ω 
1 + tg 2 δ(b2 + i2
=
+ δ
+

+
∆ + +
z ) dv
l
x
1
tg
bf
m

 y
z
(b2 2z) v
i
x
l
f ,

 2
x  
dt
cos δ

cos2 δ i 1
z

d ω
d

(v tgδ dψ

x
)
i
= m∆ −
=
i 1
z
=
1
z

v tg
x
δ , 

ω , 
(2.1.11) 
dt
dt
dt
dt
x
d =
y
d = vx (sin ψ + btgδcosψ)
vx (cos ψ − b tgδ sin ψ ), 

dt
dt
Продольная и боковая компоненты векторов контактных сил, компоненты 
скоростей точек контакта колес с дорогой, нормальные реакции, а также угловые 
скорости  колес,  боковая  компонента  скорости  центра  масс  и  угловая  скорость 
корпуса определяются выражениями 
p
=
1
x
1
l ,  p
=
x 2
l2 , 
b(v ω − f −
x
z
y )
mz
b2 + i2  dv
v
ω 
p
=
− p tg
z
x
δ +
tg
x
δ +
∆ ,
1
y
1
x



  
cos δ
cos δ
dt

cos2 δ i 1
z

dv
v
p y2 = a(vx ωz − fy )+ mz + (ab − 2
iz )
x
x
ω 



tgδ +

2


 dt
cos δ i 1
z

n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 ) h , 
n

2
1
n1, 
(2.1.12) 
ω
ω
j
j
u
= −
= −
xj
pxj ,  u
  (j = ,
1 2), 
æ
yj
pyj
æ
xjn j
yjn j
v
v
ω
ω
ω =
1 =
x
z =
y = bv tg
x
δ , 
v tg
x
δ , 

2
vx . 
cos δ
Условия реализации движения без потери сцепления колес с дорогой, как и 
ранее,  имеют  вид  (2.1.7),  при  этом  величины  pxj,  pyj ,  n j  (j = ,
1 2)  следует 
вычислять в силу (2.1.12). 
2.1.2. Доказательство корректности модели 
Проверим выполнение условий теоремы 2 из § 2 Введения, гарантирующей 
близость  решений  исходной  и  двукратно  вырожденной  систем  (2.1.4), (2.1.5)  и 
(2.1.11), (2.1.12). 

 
78 
Требования  гладкости  управлений 
f
1
l ,  l2 ,  m∆   и  возмущений  fx ,  y ,  mz  
обеспечивают  выполнение  условий  аналитичности  и  правых  частей  исходной 
системы.  Согласно  теореме  2,  необходимо  проверить  сначала  корректность 
перехода от системы (2.1.4), (2.1.5) к однократно вырожденной системе, затем – 
от последней к системе (2.1.11), (2.1.12). 
Аналогом  однократно  вырожденной  системы  (2.10)  для  (2.1.4), (2.1.5) 
будет 
v
d
2
x = p cos δ − p sin δ + p
+ b
δ +
1
x
1
y
x2
(v tg
x
)
dt

 
u

1
y
+ εv tgδ 2b
+ −
+
x
(a b)u
f ,
y2
x




cos

δ


ω

a


ω
 1
0 = 
µ ϕ
cos δ − v
sin δ +  ϕ +
ϕ sin δ + v
∆ sin δ − ϕ ,
1
x
2
3
x
4
ε
 
0

=
i



1
z
i2
i
i2


z

1
z

1
0 = µϕ
− ϕ
1
5
ε=

0
2
i
du
ω


1
y
a
ε
= −ϕ sin δ − v
∆ cos δ + ϕ + ϕ cos δ −
1
x
2
3
dt
i


1
z
i2

z

 

u

1
y
ω
− v tgδ + ε
∆ sin δ,
x




cos δ i

 1
z
duy2
b
ε
= ϕ − ϕ
2
3 , 
(2.1.13) 
2
dt
iz
2

i

ψ

1
z
d
i
= ∆ −
ϕ
= ω
i 1
z
=
1
z
m
3 , 


2
z

ω
dt
i
dt
dt
z
x
d =
y
d
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
dt
dt
uxj
uyj
p
= −æ
p
= −æ
xj
xjn j ω , 
yj
yjn j ω   (j = ,
1 2), 
j
j
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 ) h , 
n

2
1
n1, 

 
79 
 u
 u 1
y

1
y

v
ωz = vxtgδ + ε

y = bv x tgδ + 
ε b
+ auy2 , 
u




y2 
cos δ

 cos δ

vx
ω =
+ ε
δ −
ω =

< µ ε <<
1
(u 1ytg u 1x),  2 v ε
x
ux2 ,  0
~
1. 
cos δ
Выражения для  ϕ K ϕ
1,
, 5 совпадают с (2.1.5); 
ϕ
=
δ −
δ +
+
δ
1
p
+
1
x cos
p 1
y sin
px2 b(v tg )2
x
f x
ε

0
=
Выражения (2.1.8) перейдут в 
u
b + æ
x 2 h
x2 ω
n
2
=
1

(2.1.14) 

u
u

1
y
u
1 + - æ
1
x cos δ + æ
sin δ + æ
x 2
h
x1
y1
x2





ω
ω
ω
1
1
2 

u
u

1
y
1
x
a + - æ
cos δ + æ
δ
x1
y1
sin
h





ω
ω
1
1

n =
= −
2
1 n1. 

u
u

1
y
1
x
u x2
1 + - æ
cos δ + æ
sin δ + æ
x1
y1
x2
h





ω
ω
ω
1
1
2 
Изложим  алгоритм  вычисления  корня  u 1
x , 
ux2   системы  второго  и 
третьего,  конечных,  уравнений  из  (2.1.13).  Указанные  уравнения  являются 
линейными относительно  p 1
x ,  p x 2 . Применяя правила Крамера, получим 
p
= − + µ
+
+
1
x
1
l
( 11fp 1y 12fpy2 13f), 
(2.1.15) 
p
= − + µ
+
+
x2
l2
(f21p 1y f22py2 f23). 
Здесь  f =
ω∆ δ
=
=
jk
f jk (vx , u 1
y , u y2 ,
, ,f x ,f y ,mz )  (j
,
1 ;
2 k
,
1
)3
,
2
  –  гладкие  функции. 
Подстановка  в  (2.1.15)  выражений  для  pxj,  pyj  как  функций  uxj,  u 1
y ,  n j   из 
(2.1.13) с учетом (2.1.14) дает уравнения для определения  u 1
x ,  u x2 . Решение этих 
уравнений  может  быть  получено  с  применением  метода  последовательных 
приближений: 
− 1(ω~
l
1 + æ
u h sin
y1
1
y
δ)
u 1
x
=

æx1[b - (
O
l cos
1
δ + l2 )h] + (µ)

 
80 

u 1
y

− 2ω~
l
2 1 + æ
h sin
y1
δ
~



ω1

u x2 =
+ O(µ), 
(2.1.16) 


u 1
y
 
æx2 a + l cos
1
δ + l2 + æ
sin
y1
δ
~

h



ω1
 
ω = v
~
x
~
ω =
1

2
vx . 
cos δ
Запишем  присоединенную  систему  первой  очереди,  описывающую 
"быстрые"  изменения  переменных  u 1
x ,  u x2 .  Перейдя  в  (2.1.4)  к  "быстрому" 
времени  τ1 = t / εµ  и положив затем слагаемые второго и более высоких порядков 
малости по  ε , µ равными нулю, получим 
u
dˆ 1
x
= C p
1
1
x +
(µ)+K
τ
O

(2.1.17) 
d 1
u
dˆ x2 = C p
2 x2 +
(µ)+K
τ
O
 
d 1
Здесь 
uxj
uyj
v

=
=
ω
~
~
ω =
1 =
x
xj
~
ω ,  uˆyj
~
ω , 
,  2
vx ; 
(2.1.18) 
cos δ
j
j
~
C = 1/ ω i2 > 0
p
= −æ
p = −æ
j
j

xj
xjn ju
ˆ xj, 
yj
yjn ju
ˆ yj  (j = ,12); 
(2.1.19) 
b + æ uˆ h
n
x2 x 2
=
1

(2.1.20) 
1 + (- æ uˆ cosδ + æ uˆ sin δ + æ uˆ
x1
1
x
y1
1
y
x2 x2 )h
a + (- æ uˆ cosδ + æ
δ
x1
1
x
y1u
ˆ 1
y sin
)h
n =
= −
2

1 + (
1 n
- æ uˆ
cos δ + æ uˆ sin δ + æ
x1
1
x
y1
1
y
x2u
ˆ x )
1
2 h
через  O(µ) обозначены слагаемые порядка  ε , µ, зависящие от переменных  uˆ 1
x , 
uˆ x2 ;  многоточиям  отвечают  не  выписываемые  для  простоты  слагаемые, 
зависящие  от  "медленных"  по  отношению  к  u 1
x ,  u x2   переменных  системы 
(2.1.4), (2.1.5) и времени  t , которые при исследовании присоединенной системы 
считаются  постоянными.  Система  (2.1.17)  описывает  движение  автомобиля  на 
"малых" характерных временах  T ~ 4
T  из (2.1.3). 

 
81 
Исходя  из  (2.1.16),  (2.1.18),  точка  покоя 
o

= uˆ

= uˆ
1
x
x1 , 
o
x2
x 2   системы 
(2.1.17) определяется выражениями 

0
1(ω
~
l
1 + æ
u h sin
y1
1
y
δ)
uˆ 1
x =
ω~

(2.1.21) 
æx1 1[b - (l cos
1
δ + l2)h] + O(µ)

u 1
y

− 2ω~
l
2 1 + æ
h sin
y1
δ
~


0

ω1

uˆ x2 =
+ O(µ). 


u 1
y
 
x2ω
~
æ
2 a +  l cos
1
δ + l2 + æ
sin
y1
δ
~

h


ω1
 
Исследуем  устойчивость  найденной  точки  покоя  по  первому 
приближению. Проведя линеаризацию (2.1.17) вблизи точки (2.1.21), получим 
d∆uˆ

1
x
∂p 1x
∂p

= C1
∆uˆ +
1
x
1
x
∆uˆx2 + O(µ)





(2.1.22) 
dτ1
 ∂uˆ 1
x
∂uˆx2

d∆uˆ

x2
∂px2
∂p

= C2
∆uˆ 1x + x2 ∆uˆx2 + O(µ)





dτ1
 ∂uˆ 1
x
∂uˆx2

Здесь  ∆uˆ

O µ
1
x , 
uˆx2  –  малые  отклонения  от  точки  покоя;  через  ( )  обозначен 
результат  линеаризации  членов  порядка  ε ,  µ  из  (2.1.17)  по  uˆ 1
x ,  u
ˆ x2 ; значения 
частных производных вычисляются при 
0

=
xj
uˆ xj   (j = ,
1 2). 
Запишем  характеристический  полином  полученной  системы,  пренебрегая 
членами  O(µ): 
∆(λ)
2
 ∂p
p
p
p
p
p
1
x



x2
∂ 1x ∂ x2 ∂ 1x ∂

= λ − λ
.  (2.1.23) 
1
C
+ C2
+




1
C C2

x2 
 ∂uˆ





1
x
∂ x2 
 ∂ 1
x ∂ x2
∂ x2 ∂ 1x 
Для отрицательности вещественных частей обоих корней полинома второй 
степени  необходима  и  достаточна  положительность  всех  его  коэффициентов. 
Выполнение этого условия для полинома (2.1.23) обеспечивает отрицательность 
вещественных  частей  корней  характеристического  полинома  системы  (2.1.22), 
учитывающего члены  O(µ). 
Исследуем знаки коэффициентов полинома  ∆(λ). В соответствии с (2.1.19), 
(2.1.20), выражениями для частных производных проекций контактных сил будут 

 
82 
∂p

n
p

n

1
x


= −æ

1
x
1
= −æ

(2.1.24) 
x1 n +
1
1
uˆ 1
x 




x1
1
x
u
∂ˆ
u
∂ˆ
1
x

∂ 1x

x 2
x 2
p

n

∂p

n
x 2


x 2
1
= æ

= −æ

x2 n 2 −
1
x2
uˆx2


uˆx2 
u
∂ˆ
u
∂ˆ
∂uˆ

x 2

1
x
1
x

x 2

Здесь 
∂n
æ h cos b æ
1
x1
δ( + x2uˆx2h)
=
 
∂uˆ 1
x
[1+(-æ uˆ cos æ uˆ sin æ
x1
1
x
δ + y1 1y
δ
x2u
ˆ x )h] =
+
2
2
n2n æ h cos δ
1
2
x1
=

(2.1.25) 
bn − p h
2
x2
∂n
æ h +
δ +
δ
x2
1
(a (-æ uˆ cos æ uˆ sin
x1
1
x
y1
1
y
)h)
n n2æ h
1 2
x2
=
=

u
∂ˆ
+
δ +
δ +

x 2
[1 (-æ uˆ cos æ uˆ sin æ uˆ
x1
1
x
y1
1
y
x2 x 2 ) h]2
n
b
p h
2
x2
Воспользовавшись  (2.1.19),  (2.1.20),  (2.1.24),  (2.1.25),  преобразуем  выражение 
для свободного члена из (2.1.23): 
 ∂p 1x ∂px2 ∂p 1x ∂p 
1
C C2

x 2
=



  
 ∂uˆ 1
x ∂u
ˆ x2 ∂uˆx2 ∂uˆ 1
x 
+
δ
2 2 (1
æ uˆ h sin
1
y
1
y
)
= C C æ æ n n
1
2
1
x
x 2 1
2

(2.1.26) 
n
b
− p h
2
x2
При  выполнении  условий  (2.1.7)  движения  автомобиля  без  потери  сцепления 
колес  с  дорогой  справедливы  неравенства  uˆ2 + uˆ2 < 1
xj
yj
  (j = ,
1 2).  Тогда  из 
неравенств  æ < 1
<
δ
1
y
,  uˆ
1 sin <
1
y

1,  h < 1 следует 
1 + æ uˆ h sin δ > 0
1
y
1
y

(2.1.27) 
Таким  образом,  необходимым  и  достаточным  условием  положительности 
свободного члена (2.1.26) характеристического полинома (2.1.23) служит 
bn − p h > 0
2
x2

(2.1.28) 
Механический смысл условия (2.1.28) состоит в положительности главного 
момента  контактных  сил,  приложенных  к  заднему  колесу  модели  автомобиля, 
относительно  оси  Cy .  Учет  (2.1.19)  позволяет  записать  достаточное  условие 
выполнения (2.1.28) 

 
83 
h < b . 
(2.1.29) 
Рассмотрим коэффициент характеристического полинома (2.1.23), стоящий 
при первой степени  λ. С учетом (2.1.19), (2.1.20), (2.1.24), (2.1.25) получим 

∂p 1x
∂p 
− C1
+ C
x 2
2
=
C2
×




 
 ∂uˆ 1
x
∂uˆx2  bn2 − p h
x2
×(æ n cosδ×


δ +

1
x
1
( n
b
p h
n p h cos
2
x2
2
x1
) æ n2
x 2
2 (b
p h
x2
)).  (2.1.30) 
Условие (2.1.28) совместно с условием  0 <n < 1
2
 безотрывности  колес дает 
неравенство 
b − p h > 0
x2

(2.1.31) 
обеспечивающее  положительность  второго  слагаемого  в  квадратных  скобках  из 
(2.1.30). Первое слагаемое положительно при условии 
bn − p h − n p h cos δ > 0
2
x2
2 x1

(2.1.32) 
которое, вообще говоря, может нарушаться. 
Обсудим  достаточные  условия  выполнения  (2.1.32).  Вычитая  из  обеих 
частей (2.1.32)  n p h
2 x2
, получим 
n

δ +
>
2 [b
(p cos p
x1
x2 )h ]
n p h
1 x2

(2.1.33) 
Заметим,  что  n
p
1 ,  n 2 ,  p x1 ,  p x2 , 
y1   связаны  соотношениями  из  (2.1.4). 
Следовательно, (2.1.33) можно записать в эквивалентном виде 

p

y1
n
1 −
h sin δ > p h
2 


x2

(2.1.34) 
n

1

При  выполнении  условий  (2.1.7)  имеем  p
n < æ
y1
1
y1 .  Таким  образом,  для 
выполнения (2.1.34) достаточно 
n

>
2 (1
æ h
y1 )
p h
x2

(2.1.35) 
Использование  (2.1.28)  и  соотношения  a + b = 1,  следующего  из  (2.1.5),  дает 
условие 
h < a , 
(2.1.36) 
обеспечивающее выполнение (2.1.35). 

 
84 
Таким 
образом, 
условие 
(2.1.36) 
является 
достаточным 
для 
положительности  коэффициента  при  первой  степени  λ  характеристического 
полинома  (2.1.23).  Если  условие  (2.1.36)  не  выполняется,  то  необходима 
проверка необходимого и достаточного условия 
æ n cosδ


δ +

>
1
x
1
(bn p h n p hcos
2
x2
2 x1
) æ n2
x 2 2 (b
p h
x2 )
0  
(2.1.37) 
положительности выражения (2.1.30). 
Проведенный  анализ  показывает,  что  условия  (2.1.28)  и  (2.1.37)  являются 
необходимыми и достаточными для асимптотической устойчивости точки покоя 
присоединенной  системы  (2.1.17)  по  первому  приближению.  В  соответствии  с 
(2.1.15),  при  проверке  этих  условий  следует  положить  p
=
x1
1
l ,  p
=
x2
l2. 
Выражения  для  1
n ,  n2   при  этом  удобно  вычислять  в  силу  (2.1.4).  Если 
выполнено  неравенство  p < 0
x1
,  что  соответствует  режиму  торможения 
автомобиля, то условие (2.1.37) не требует проверки. Более жесткие достаточные 
условия 
(2.1.29), 
(2.1.36) 
выполнения 
неравенств 
(2.1.28), 
(2.1.37) 
обеспечиваются  в  случае  низкого  расположения  центра  масс,  характерного  для 
современных  автомобилей.  Например,  для  легковых  автомобилей  h = ,
0 2 − 3
,
0 , 
a = ,
0 4 − 5
,
0 , 
b = 5
,
0 − ,
0 6 ; 
для  грузовых  –  h = ,
0 2 − 3
,
0 , 
a = ,
0 45 − 5
,
0 , 
b = 5
,
0 − 55
,
0
; для спортивных –  h = 1
,
0 − ,
0 2 ,  a = 5
,
0 − 6
,
0
,  b = ,
0 4 − 5
,
0  [34]. 
Поскольку  система  (2.1.17)  является  автономной  системой  второго 
порядка,  а  ее  точка  покоя  (2.1.21)  единственна  и  асимптотически  устойчива  по 
первому приближению, отсутствие предельных циклов гарантирует, что область 
влияния  этой  точки  покоя  совпадает  с  областью  значений  uˆ 1
x , 
uˆ x2 , 
определяемых  из  (2.1.7),  (2.1.18),  (2.1.19).  Найдем  достаточное  условие 
отсутствия  предельных  циклов,  воспользовавшись  критерием  Бендиксона. 
Приведем его формулировку [2]. 
Критерий (Бендиксон). Рассмотрим систему 
dx =
dy
P(x, y), 
= Q(x,y), 
(2.1.38) 
dt
dt
где  ,   – скаляры; функции  P(x, y) и  Q(x, y) являются аналитическими во всей 

 
85 
фазовой  плоскости.  Если  в  некоторой  односвязной  области  на  фазовой 
плоскости выражение 
P
∂ / x
∂ + Q
∂ / y
∂  
(2.1.39) 
знакопостоянно,  то  в  этой  области  не  существует  замкнутых  контуров, 
целиком составленных из фазовых траекторий рассматриваемой системы. 
Система  (2.1.17)  имеет  вид  (2.1.38).  Здесь 
x = uˆ 1
x , 
y = uˆx2 , 
P(x, y) = C p
Q x, y = C p
2 x 2 + O µ +
1
1
x + O(µ) + K, 
( )
( ) K В соответствии с условием 
(2.1.39), 
для 
отсутствия 
в 
(2.1.17) 
предельных 
циклов 
требуется 
знакопостоянство выражения 
∂p 1x

C

1
+
p
C
x 2
2
+ O(µ)
∂uˆ 1x
∂uˆx2
Указанное  требование  при 
µ << 1  обеспечивается  условием  (2.1.37) 
положительности коэффициента (2.1.30), стоящего в (2.1.23) при первой степени 
λ. 
Таким  образом,  выполнение  условий  (2.1.28),  (2.1.37)  в  области  (2.1.7) 
обеспечивает корректность однократного вырождения системы (2.1.4), (2.1.5). 
Исследуем  корректность  перехода  от  однократно  вырожденной  системы 
(2.1.13)  к  двукратно  вырожденной  системе  (2.1.11), (2.1.12).  Из  (2.1.12)  следует, 
что  корень  u ,  u   четвертого  и  пятого  конечных  уравнений  системы  (2.1.9) 
1
y
y2
является изолированным. 
Запишем  присоединенную  систему  второй  очереди  для  "быстрых" 
движений по переменным  u 1
y ,  u y2 : 
du 1
y

a 2


2
ab 
= p 1
1
y
+
cos δ + p
1
y2

δ + K



(2.1.40) 
2




2 

cos
2

iz


iz 
duy2

ab 

2
b 
= p 1y 1−
cos δ + py2 1 +
+K


 
2 


2 
dτ2

iz 

iz 
Здесь  τ2 = t / ε   –  "быстрое"  время;  многоточиями  обозначены  слагаемые, 
зависящие  от  "медленных"  по  отношению  к  u 1
y ,  u y2   переменных  системы 

 
86 
(2.1.4)–(2.1.5) и времени  t , которые при исследовании присоединенной системы 
считаются постоянными; выражения для проекций контактных сил имеют вид 
u 1
y
u y2
p
= −æ
p
= −æ
1
y
1
y
1
n ~ω ,  y2
y2n 2 ~
ω . 
(2.1.41) 
1
2
Выражения  для  ~
ωj  вычисляются  в  силу  (2.1.18).  Система  (2.1.40)  описывает 
движение  автомобиля  на  характерных  временах  T ~ 3
T   из  (2.1.3).  Подстановка 
(2.1.41) в (2.1.4) дает выражения для нормальных реакций: 
b − (p cos
1
x
δ + px2)
n
=
1 =
h ,  n

2
1
n1. 
(2.1.42) 
y1
1 +
u
æ
h sin
y1
δ
ω
~1
Из (2.1.15) при  µ = 0  следует  p =
1
x
1
l ,  p
=
x 2
l2 . 
Точка  покоя 
o
u
=
1
y
u 1
y , 
o
u
=
y2
u y2   системы  (2.1.40)  совпадает  с  корнем 
четвертого  и  пятого  конечных  уравнений  системы  (2.1.9),  выражения  для  0
u 1
y , 
0
u y2   совпадают  с  выражениями,  которые  получаются  из  (2.1.12)  при 
0
u
=
1
y
u 1
y , 
0
u
=
ω = ω
~
ω = ω
~
ω = ω
y2
u y2 ,  v =
x
vx ,  z
z , 
1
1 , 
2
2 .  Системой  первого  приближения 
для (2.1.40) будет 
d∆u

1
y
∂p 1y
∂p

= S 
11
∆u +
1
y
1
y
∆u 
y2
+  
(2.1.43) 


2
∂u 1y
∂u


y2

 ∂py2
∂p

+ S 
21
∆u 1y + y2 ∆u 
 ∂

u 1
y

y2
u


y2


d u

y2
∂p 1y
∂p

= S 
21
∆u +
1
y
1
y
∆u 
y2
+
τ
 
d

2
∂u 1y
∂u


y2

 ∂py2
∂p

+ S 
31
∆u 1y + y2 ∆u 
 ∂

u 1
y

y2
u


y2

Здесь  u
∆ 1y,  u
∆ y2 – малые отклонения от точки покоя; 

 
87 
2
a

ab 
2
b
S
= +
21 = 1 −
11
S = 1 +
2
cos δ , 
cos δ ,  S
1

(2.1.44) 
2


2 
31
i
2
z

iz 
iz
значения частных производных вычисляются при 
o
u
=
yj
u yj (j = ,
1 2). 
Характеристический полином системы (2.1.43) имеет вид 
∆(λ)

∂p
 p
p
p
2
1
y
∂ y2 ∂

1
y


= λ − λ 11
S
+ S 
21
+
 +
y2
31
S
 +  

∂u

1
y
∂u 1y ∂u 

y2



uy2 

∂p 1y
∂p


y2
∂p 1y
∂p 
+  11
S
+ S


21
S21
+
y2
S

31



 
(2.1.45) 
u 1
y
∂u


1
y
∂uy2
∂u 



y2 

p

p



∂p
p


1
y
y2
1
y
y2
− S
+ S

 S
+ S
.

11
21
21
31

 
u

u



u

u


y2
y2
1
y
1
y




Исследуем  знаки  коэффициентов  полинома  (2.1.45).  Согласно  (2.1.41), 
(2.1.42), выражениями для частных производных проекций контактных сил будут 
∂p
æ
p

1
y
= − y1 
∂n
1
y
n

= , 
(2.1.46) 
1 +
1 u 
0

~
u

1
y
ω 
1

1
y
u


1
y

u y2
p


y2
n

uy2
p
1
1
= æ

y2 = −æ

y2
~
n
u

u

ω
y2 2 ~
u

ω
1
y
1
y
2
y2
2
æy1 hsinδ
∂n1
∂n2
ω~
= −
= −
1

1

(2.1.47) 
u y1

n
u
y1
y1
1 +
u
æ
h sin
y1
δ
ω~1
Учитывая  (2.1.41),  (2.1.42),  (2.1.46),  (2.1.47),  преобразуем  выражение  для 
свободного члена полинома (2.1.45): 

∂p 1y
∂p


y2
∂p 1y
∂p  
y2
∂p 1y
∂p 
 11
S
+ S


21
21
S
+ S

31
−  11
S
+
y2
S

21
×


 
u 1
y
∂u


1
y
∂uy2
∂u  
y2
∂uy2
∂u 



 
y2 

p





1
y
py2
p
p
× 
+
 =

21
S
31
S
(
2
11
S
31
S
S21)
1
y
y2


(2.1.48) 
u





1
y
u 1
y
u 1
y
u y2


Исследуем знак правой части (2.1.48). Из (2.1.44) имеем 

 
88 
2
1
S S
− S =
δ +
+
δ +
>
11 31
21

2 (i2 sin 2
b2
a cos2
z
(1 b)) 0
iz
Из (2.1.46) следует  p

u

< 0 . Подставив (2.1.47) в выражение для  p

u

 
y2
y2
1
y
1
y
из (2.1.46), получим 


u
æ
1
y hsin
y1
δ 
∂p
æ
1
y
y1

ω~1

= −

(2.1.49) 

n
~
11 −
u 1
y
ω
u

1

1 + æ
y1 hsin
y1
δ 

ω~1

Выражение  в  скобках  из  (2.1.49)  можно  рассматривать  как  функцию 
f (x) = 1 − x (1 + x),  где  x = æ
.  Из  неравенств  æ
<1, 
~
ω < , 
y1(
1
y
ω~
u
1 )h sin δ
1
y
u
1
1
y
1
h < 1,  sinδ < 1,  следует  x < 1,  f (x) > 1 2 .  Тогда  p

u

< 0,  т.е.  свободный 
1
y
1
y
член (2.1.48) характеристического полинома (2.1.45) положителен. 
Рассмотрим  коэффициент  при  первой  степени  λ  из  (2.1.45).  С  учетом 
(2.1.44), (2.1.46) получим 
∂p

1
y
∂py2 ∂p 
1
y


p
11
S
− S 
21
+
 −
y2
31
S
=

 
(2.1.50) 
u

1
y
∂u 1y ∂u 
y2



uy2
2
2

a
 p


ab 
p


b  ∂p
2
1
y
y2
y2
= − 1+
cos δ
− 1−
cos δ
− 1+



2




2 


2 
i
u

i
u

i
u


z

1
y

z 
1
y

z 
y2
В  силу  неравенств  p

u

< 0,  p

u

< 0 ,  первое  и  третье  слагаемые  из 
1
y
1
y
y2
y2
(2.1.50) положительны. Таким образом, достаточным условием положительности 
выражения (2.1.50) будет 

ab 
p
∂ y2
1 −
cos δ
< 0





(2.1.51) 
i2
u


z 
1
y
Учитывая (2.1.41), (2.1.46), (2.1.47), запишем (2.1.51) в виде 

ab 
p
ω
δ
y2
2 (
~
æy1 1)hsin
1 −
cos δ
n
< 0
1





(2.1.52) 
i2
n
n − p h sin δ

z 
2
1
y1

 
89 
Как  было  указано  § 1.1,  для  большинства  современных  автомобилей 
выполняется  соотношение 
2
ρ < AB
i2 <
z
  (в  безразмерном  виде 
ab
z
),  в  силу 
которого 1 − ab i2 < 0
z
. Неравенство, полученное из (2.1.18), (2.1.27), дает 

u

y1
n − p h sin δ = n 1 + æ
h sin δ > 0
1
y1
1
y1 ~




ω1

Таким образом, условие (2.1.52) выполняется, если 
p
sin δ > 0
y2

(2.1.53) 
Условие  (2.1.53),  вообще  говоря,  может  нарушаться.  В  качестве  примера 
рассмотрим  сложное  движение  автомобиля,  когда  после  завершения  процесса 
заноса  колеса  вновь  обретают  сцепление  с  дорогой.  В  этот  момент  времени, 
начальный  для  модели  (2.1.11), (2.1.12),  руль  может  быть  повернут  в  сторону 
бокового  проскальзывания  задней  оси  автомобиля,  тем  самым,  условие  (2.1.53) 
будет  нарушено.  В  подобных  ситуациях  применение  асимптотической  модели 
(2.1.11), (2.1.12)  будет  корректно  при  условии  положительности  правой  части 
выражения (2.1.50), т.е. 

a 2
 p





 ∂
2
1
y
ab
py2
b2
py2
1 +
cos δ
+ 1−
cos δ
+ 1+
< 0













(2.1.54) 
i2
u




z

1
y
i2
u

z 
1
y
i2
u

z 
y2
Таким 
образом, 
условие 
(2.1.53) 
является 
достаточным 
для 
асимптотической  устойчивости  точки  покоя  присоединенной  системы  (2.1.40). 
Если  неравенство  (2.1.53)  нарушается,  то  требует  проверки  необходимое  и 
достаточное условие (2.1.54). Как и в предыдущем случае, для системы (2.1.17), 
применение  критерия  Бендиксона  показывает,  что  условие  (2.1.53)  или  (2.1.54) 
обеспечивает  корректность  перехода  от  однократно  к  двукратно  вырожденной 
системе в области (2.1.7). 
Согласно  теореме  2  из  § 2,  выполнение  условий  (2.1.28),  (2.1.37),  (2.1.54), 
гарантирует,  что  рассогласование  между  решениями  двукратно  вырожденной  и 
исходной  систем  (2.1.11), (2.1.12)  и  (2.1.4), (2.1.5)  оценивается  величиной 
O(ε + µ) ~
%
20
  на  конечном  интервале  времени  t ~ 1.  Эта  оценка  для 
"медленных"  переменных  v
ω
x , 
∆ ,  ψ ,  δ ,  x ,  y   справедлива  на  всем  указанном 

 
90 
интервале  времени,  для  "быстрых"  переменных  u
u
u
1
x ,  u x2 , 
1
y , 
y2   –  вне 
пограничного  слоя  малой  ширины.  Поскольку  присоединенные  системы 
исследовались в пренебрежении слагаемыми порядка  µ, полученные результаты 
будут  справедливы,  если  в  качестве  исходной  рассматривать  безразмерный 
аналог системы (1.1.3), (1.1.5)–(1.1.7). 
§ 2.2. Анализ упрощенных моделей движения автомобиля без 
потери сцепления колес с дорогой 
2.2.1. Сравнение асимптотических моделей 
Для анализа полученной  в § 2.1 асимптотической модели  удобно записать 
ее  уравнения  в  размерных  переменных.  Размерным  аналогом  модели  (2.1.11) 
движения автомобиля будет 

+ ρ 
2
B2
2
dV
L
1
 + tg
z
x
1




(
=
+

A + ) M
B 2
dT
R cos ∆

 
tg∆ 
B2
2
+ ρ MV
 L
+
 BF + M
z
x
2

Ω 
∆ +
+ F ,
y
z
x
A + B 
A + B

cos2 ∆
R


dΩ
I
d


Ψ


1
z
(V tg
x
) d
tg
d
I
= M∆ −
=
= Ω
1
z


∆ ,  (2.2.1) 
dT
A + B
dT
dT
(A + ) x
V
B
dT
dX

Btg∆

=
dY

Btg∆

V
= Vxsin Ψ +
cos Ψ
x  cos Ψ −
sin Ψ , 

dT

(A + B)


dT

(A + B)


Выражения (2.1.12) перейдут в 
L
L
P
1
=
=
x1
,  P
2
x 2

R
R
(BMV Ω −F −
x
z
y )
M z
P
=

∆ +
1
y
(
1
x
A + B)
P tg
cos ∆
 
M(B2
2
+ ρ


z )
dV
V
x
x
+ (

∆ +
Ω∆ 
A + B)
tg
,
2 cos ∆  dT
cos2 ∆

A(
x
MV Ωz − y
F )+ Mz
M(AB − ρ2z )
x
dV
x
V

y
P 2 =
+

tg +


A + B
(A + B) 
∆ 
2

2
dT
cos ∆


 
91 
MgB − (P cos∆ − P sin ∆ + P
1
x
1
y
x 2 )H
N =
=
1

N

2
Mg
1
N , 
(2.2.2) 
A + B
εΩ
εΩ
jR
jR
U
= −
= −
xj
xj
P ,  U
P   (j = ,
1 2), 
æ
yj
yj
æ
xjN j
yjN j
Btg∆
=
tg∆
Ω =

Vx
Ω =
1 =
Vx
y
V
(

z
V , 

2

A + ) x
V
B
(A + B) x
R cos ∆
R
В  работе  [32]  с  применением  методов  фракционного  анализа  была 
построена  асимптотическая  модель  движения  автомобиля  при  малых  углах 
поворота  передних  управляемых  колес  (∆ << )
1 .  В  обозначениях  настоящей 
работы дифференциальные уравнения модели имеют вид 
x
dV
1
L
L2
M
=
+
+ x
F , 
(2.2.3) 
dT
R
R

V ∆
εV
x
x
=

×
dT
+
+
( A B A B
 
MV2∆ − F
+


+
+
x
y (A
B))(æ N B æ N A
y2
2
y1
1
) Mz(A B)(æ N æ N
y2
2
y1
1 )
×
æ æ N N
+
+ ε

y1
y2
1
2 (A
B)2
MV2
x (æ
N B
æ N
y2
2
y1
1
)
,
A
1

N
=
1 =
MgB − (L1 + 2 ) H
L




N

2
Mg
N1, 
A + B 
R 
dX =
dY
V cos
=
x
Ψ , 
V sin
x
Ψ . 
dT
dT
Уравнение изменения переменной  ∆  в работе [32] не выписывалось. 
Аналогами выражений (2.2.2) служат 
L
L
P
1
=
=
x1
,  P
2
x 2

R
R
æ æ N N
y1
y2
1
2
P
=
×
1
y
æ æ N N
+
+ ε

y1
y2
1
2 (A
B)2
MV 2
x (æ
N B
æ N A
y2
2
y1
1
)  


ε

×  (
2

B MV2∆ − F
+

 + −

x
y (A
B))
MV
M
A
B
x
,
z 
æ N


y2
2




 
92 
æ æ N N
y1
y2
1
2
P
=
×
y2
æ æ N N
+
+ ε

y1
y2
1
2 (A
B)2
MV2
x (æ
N B
æ N A
y2
2
y1
1
)   (2.2.4) 
2


ε

× A(MV2∆ − F
+
+
 + +

x
y (A
B))
MV
M
A
B
x
,
z 
æ N


y1
1




ε

ε
jR
jR
U
= −
= −
xj
xj
P ,  U
P   (j = ,
1 2), 
æ
yj
yj
æ
xjN j
yjN j
BV ∆ + BU
+ AU
∆ +

x
1
y
y2
V
U
U
x
1
y
y2
V
V =
Ω =
x
Ω = Ω =
y

z

1
2

A + B
A + B
R
Можно  показать,  что  модель  (2.2.3), (2.2.4)  может  быть  получена  путем 
нормализации  переменных  системы  (2.1.1), (2.1.2),  после  которой  в  ней 
появляется  дополнительный  малый  параметр  ∆ = ε∆ << 1
*
,  и  последующего 
вырождения указанной системы по малым параметрам  µ ,  ε ,  ε∆ . В [32] переход 
от исходных фазовых переменных  к новому набору переменных  x
V ,  U 1
x ,  U x 2 , 
U 1
y ,  U y2 ,  Ψ ,  X ,  Y ,  разделенных  на  "быстрые"  и  "медленные",  не  делался. 
Основная  причина  совпадения  приближенных  моделей,  построенных  путем 
вырождения  системы  в  новых  переменных  и  вырождения  нормализованной 
системы  в  исходных  переменных,  состоит  в  том,  что  в  случае  малого  угла 
∆ ~ ε << 1  поворота  передних  колес  выражения 
Ω A + B
y
V , 
z (
) , также, как и 
выражения  U

+
U
1
y
,  U y2 ,  имеют  порядок 
x
V
ε .  Поскольку  y
V , 
z (A
B), 
1
y , 
Uy2  связаны между собой невырожденными линейными соотношениями (1.1.7), 
переменные 

+
y
V , 
U
U
z (A
B)  наравне  с 
1
y , 
y2   являются  "быстрыми" 
переменными. 
Для 
сравнения 
асимптотических 
моделей 
рассмотрим 
систему 
(2.2.1), (2.2.2)  при  малых  значениях  ∆ << 1.  Линеаризация  указанной  системы 
(без  учета  второго  и  четвертого  уравнений  в  (2.2.1))  по  ∆   приводит  к  системе, 
отличной от (2.2.3), (2.2.4). Это происходит, прежде всего, из-за различия между 
выражениями  для 

y
V , 
z   в  силу  (2.2.2)  и  (2.2.4),  которое  обусловлено 

 
93 
проведенными  в  § 2.1  и  [32]  нормализациями.  В  отличие  от  § 2.1,  в  [32] 
полагалось  V = Ω
+
= ε
*
y
*
z (A
B)
*
V . 
При  ∆ = 0   система  (2.2.1), (2.2.2)  переходит  в  систему,  описывающую 
прямолинейное движение автомобиля: 
dV
L
L
M
x
1
2
=
+
+ F ,
x  
dT
R
R
dΨ =
dX
dY
0 , 
= V cos
=
x
Ψ , 
V sin
x
Ψ , 
dT
dT
dT
L
L
− F B − M

+
y
z
F A
M
y
z
P
1
=
=
=
=
x1
,  P
2
x 2
,  P 1
y
,  Py2

R
R
(A + B)
A + B
MgB − (P + P
1
x
x )H
N
2
=
=
1

N

2
Mg
1
N , 
(2.2.5) 
A + B
εΩ
εΩ
jR
jR
U
= −
= −
xj
xj
P ,  U
P   (j = ,
1 2), 
æ
yj
yj
æ
xjN j
yjN j
V
V = 0
Ω =
x
Ω = Ω =
y

0
z

1
2

R
Из (2.2.3), (2.2.4) при  ∆ = 0  следует 
x
dV
1
L
L2
M
=
+
+ x
F , 
dT
R
R

εVx
=
×
dT
A + B
F
+

+
+
+
 
y (A
B)(æ N B æ N A
y2
2
y1
1
) Mz(A B)(æ N æ N
y2
2
y1
1 )
×
æ æ N N
+
+ ε

y1
y2
1
2 (A
B)2
MV 2
x (æ
N B æ N
y2
2
y1
1
) ,
A
dX =
dY
V cos
=
x
Ψ , 
V sin
x
Ψ , 
dT
dT
L
L
P
1
=
=
x1
,  P
2
x 2

(2.2.6) 
R
R
æ æ N N
y1
y2
1
2
P
=
×
1
y
æ æ N N
+
+ ε

y1
y2
1
2 (A
B)2
MV2
x (æ
N B
æ N A
y2
2
y1
1
)
 
2


ε

× − F
+

 + −

y
(
B A
B)
MV
M
A
B
x
,
z 
æ N


y2
2




 
94 
æ æ N N
y1
y2
1
2
P
=
×
y2
æ æ N N
+
+ ε

y1
y2
1
2 (A
B)2
MV2
x (æ
N B
æ N A
y2
2
y1
1
)
 
2


ε

× − F A + +
 + +

y
(A B)
MV
M
A
B
x
,
z 
æ N


y1
1



MgB − (P + P
1
x
x )H
N
2
=
=
1

N

2
Mg
1
N , 
A + B

ε

ε
jR
jR
U
= −
= −
xj
xj
P ,  U
P   (j = ,
1 2), 
æ
yj
yj
æ
xjN j
yjN j
BU
+ AU

1
y
y2
U
U
1
y
y2
V
V =
Ω =
x
Ω = Ω =
y

z

1
2

A + B
A + B
R
В отличие от системы  (2.2.5), система  (2.2.6)  учитывает  влияние внешних 
возмущений  y
F ,  Mz   и  управляющих  воздействий  L1 ,  L2  на  боковое  и  угловое 
движения автомобиля. При  F = 0
=
y
,  M
0
z
 системы (2.2.5) и (2.2.6) совпадают. 
2.2.2. Исследование неголономной модели движения автомобиля 
При  исследовании  движения  колесных  транспортных  средств  нередко 
используется 
допущение 
о 
непроскальзывании 
колес 
[22, 43, 75]. 
Асимптотические  модели  (2.2.1), (2.2.2)  и  (2.2.3), (2.2.4)  в  ряде  частных  случаев 
позволяют обсудить точность и пределы применимости этого допущения. 
Будем рассматривать соотношения 
U = U
= V cos∆ +
+ Ω
∆ − Ω =
1
1
x
x
(V
A
y
z
)sin
R
0
1

U = U
= −V sin ∆ +
+ Ω
∆ =
2
1
y
x
(V
A
y
z
)cos 0, 
(2.2.7) 
U = U
= V − Ω R = 0
3
x 2
x
2

U = U
= V − Ω B = 0
4
y2
y
z
 
в качестве уравнений неголономных связей, наложенных на исходную систему. 
Согласно  методу  неопределенных  множителей  Лагранжа  (см.,  например, 
[4]), уравнения движения системы со связями имеют вид 
dVx
M
= λ
∆ − λ
∆ + λ +
Ω +
1 cos
2 sin
3
MVy z
x
F , 
dT

 
95 
y
dV
M
= λ
∆ + λ
∆ + λ −
Ω +
1 sin
2 cos
4
MVx z
y
F , 
dT
(~Iz
) Ω

d
I
z
1
z
= (λ sin
1
∆ + λ cos
2
∆)A − λ B
4
+ Mz − M∆ , 
dT
dΩ

1
d
I
= −λ
+
2 = −λ
1R
L1,  I
+
3R
L2 , 
(2.2.8) 
dT
dT
dΩ
d




d
I
= M∆ − I
z
= Ω
= Ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
dT
dT
dT
dT
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ . 
dT
dT
Здесь  λ = (λ λ λ
1,
λ
2 ,
3,
)T
4
  –  вектор  неопределенных  множителей  Лагранжа  ( T   – 
знак транспонирования. 
Конечные уравнения (2.2.7) и динамические уравнения из (2.2.8) образуют 
систему  десяти  уравнений  для  определения  шести  компонент  вектора 
= (
Ω Ω Ω Ω
x
V , Vy , z , 1,
,
∆ )T
2
  и  четырех  компонент  вектора  λ   неопределенных 
множителей Лагранжа. 
Проведя  исключение  зависимых  переменных  и  неопределенных 
множителей, получим неголономную модель движения автомобиля 

2 + ~
MB
Iz − I 1
z
2
I 
1

M +
tg ∆ +
1+
 dVx

 

(A + B)
=
2
2
2

R 
cos ∆  dT
L
L
tg
1
2
∆ 
=
+
+ Fx +

BFy + Mz − M∆ −  
R cos ∆
R
A + B 
2 + ~
MB
Iz − I
V


1
z
x
Ω 
I
∆ +
V tg
x
∆Ω∆ , 
2

A + B
cos ∆
 R 2 cos2 ∆
dΩ
I
d


Ψ

1
z
(V tg
x
) d
d
I
= M∆ −
= Ω
= Ω
1
z

z , 
∆ , 
(2.2.9) 
dT
A + B
dT
dT
dT
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ , 
dT
dT

 
96 
Btg∆
=
tg∆
Ω =

Vx
Ω =
1 =
Vx
y
V
x
V , 
z
x
V , 

2

A + B
A + B
R cos ∆
R
Выражения для множителей Лагранжа имеют вид 
L
I
1
 dVx

λ
L
I dV
2
x
λ =

1 =


− V tg
x
∆Ω∆ , 
3

R
R 2 cos ∆  dT

R
R 2 dT
B(MVxΩz − Fy )− Mz +
2
~
M ∆
L
MB
1
+ Iz −
λ2 =
I 1
z
(
tg
 
A + B)

∆ +
cos ∆
R
(A + B)
×
2 cos ∆
 dV
V
x
x

I
tg∆  dVx

× 

tg +
Ω∆  +

− Vx ∆Ω
tg
∆  , 
(2.2.10) 
 dT
cos2 ∆
 R 2 cos∆  dT

A(
~
x
MV Ωz − y
F )+ Mz − M∆
MAB − z
I +
λ
I
4 =
+
1
z
A + B
(A B)
×
+ 2
 

×
x
dV
∆ +
x
V
tg
Ω∆ 



2
dT
cos ∆

При
~
  m = 0   получим  I = I
= 0 I = I
1
z
,  z
z ,  M ∆ = 0 ,  следовательно,  система 
(2.2.9), (2.2.10)  совпадает  с  системой  (2.2.1), (2.2.2)  с  точностью  до  формальной 
замены  λ =
λ =
λ =
λ = P
1
P 1
x , 
2
P 1
y , 
3
x
P 2 ,  4
y2 . Условия реализуемости движения в 
силу системы (2.2.9), (2.2.10) также с точностью до указанных выше обозначений 
совпадают  с  (1.1.10).  Выражения  для  1
N ,  N2 ,  необходимые  для  подстановки  в 
(1.1.10), определяются из (1.1.13). 
Неравенства (1.1.10) после подстановки в них выражений для  1
x
P , 
1
y
P ,  x
P 2 , 
y
P 2 , 
1
N ,  N2   из  (2.2.2)  или  (2.2.3), (2.2.4)  дают  явную  зависимость  условий 
движения  автомобиля  без  потери  сцепления  колес  с  дорогой  от  возмущений  и 
управлений. Анализ этих условий доводится до конца после задания выражений 
[18, 20, 36] для  x
F ,  y
F ,  Mz ,  1
L ,  L2 ,  M ∆ . 
2.2.3. Численное исследование упрощенных моделей 
Численное 
сравнение 
исходной 
системы 
(1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12), 
асимптотической  модели  (2.2.1), (2.2.2),  отвечающей  движению  автомобиля  с 
произвольными (конечными) углами поворота передних колес, асимптотической 

 
97 
модели  (2.2.3), (2.2.4)  из  [32],  соответствующей  движению  при  малых  углах 
поворота передних колес  (∆ ~ ε), и неголономной модели (2.2.9), описывающей 
движение  автомобиля  без  проскальзывания  колес,  проводилось  при  типовых 
значениях  параметров  легкового  автомобиля,  рассмотренных  в  § 1.2: 
M = 1000 кг ,  ρ = 1 м
= =
ρ =
z
,  A
B
5
,
1 м ,  H = 1 м ,  m = 10 кг ,  R = 3
,
0
м , 
15
,
0
м , 
ε = 1
,
0 .  Для  максимального  выявления  эффектов,  связанных  с  влиянием 
контактных  взаимодействий  колес  с  дорогой  на  движение  автомобиля, 
предполагалось, что внешние возмущения  x
F ,  y
F  и  Mz  равны нулю. Численное 
интегрирование прерывалось в силу одной из следующих причин: по истечении 
заранее заданного временного интервала; при потере сцепления с дорогой одного 
из  колес  автомобиля;  при  достижении  автомобилем  близкой  к  нулевой  путевой 
скорости в задачах о торможении. 
Рассмотрим  задачу  о  разгоне  переднеприводного  автомобиля  с  малым 
углом  поворота  передних  колес  на  сухой  асфальтовой  дороге.  Положим 
æ = æ = 8
,
0
∆ =
L = 300 Н ⋅
L = 0 Н ⋅
V 0 = 10 м
xj
yj

const = ,
0 05, 
м
1

м
2

x ( )
/ с , 
Ψ(0) = 0, X(0) = Y(0) = 0 м , U
=
=
xj(0)
Uyj(0) 0 м / с   (j = 1,2). 
На  рис. 2.1–2.4  приведены  графики  зависимости  от  времени  "медленных" 
переменных  задачи  –  продольной  скорости 
x
V ,  угла  поворота  корпуса  Ψ , 
координат  центра  масс  автомобиля  X ,  Y ;  на  рис. 2.5  –  траектории  движения 
корпуса; на рис. 2.6 – зависимость от времени одной из "быстрых" переменных – 
боковой составляющей  U 1
y  скорости точки контакта переднего колеса. 



 
98 
 
Рис. 2.1. Зависимость продольной скорости переднеприводного автомобиля от времени при 
разгоне с малым углом поворота передних колес в режиме движения без потери сцепления 
колес с дорогой. L1 = 300 Н⋅м, Δ = 0,05, Vx(0) = 10 м/с 
 
Рис. 2.2. Зависимость угла курса переднеприводного автомобиля от времени при разгоне с 
малым углом поворота передних колес в режиме движения без потери сцепления колес с 
дорогой. L1 = 300 Н⋅м, Δ = 0,05, Vx(0) = 10 м/с 



 
99 
 
Рис. 2.3. Зависимость продольной координаты центра масс переднеприводного автомобиля от 
времени при разгоне с малым углом поворота передних колес в режиме движения без потери 
сцепления колес с дорогой. L1 = 300 Н⋅м, Δ = 0,05, Vx(0) = 10 м/с 
 
Рис. 2.4. Зависимость боковой координаты центра масс переднеприводного автомобиля от 
времени при разгоне с малым углом поворота передних колес в режиме движения без потери 
сцепления колес с дорогой. L1 = 300 Н⋅м, Δ = 0,05, Vx(0) = 10 м/с 



 
100 
 
Рис. 2.5. Последовательные положения продольной оси переднеприводного автомобиля при 
разгоне с малым углом поворота передних колес в режиме движения без потери сцепления 
колес с дорогой. L1 = 300 Н⋅м, Δ = 0,05, Vx(0) = 10 м/с 
 
Рис. 2.6. Зависимость боковой компоненты вектора скорости точки центра пятна контакта 
переднего колеса от времени при разгоне переднеприводного автомобиля с малым углом 
поворота передних колес в режиме движения без потери сцепления колес с дорогой. 
L1 = 300 Н⋅м, Δ = 0,05, Vx(0) = 10 м/с 

 
101 
Анализ  рис. 2.1–2.6  показывает,  что  поведение  "медленных"  переменных 
асимптотических  моделей,  построенных  при  помощи  методов  фракционного 
анализа,  отвечает  ожидаемым  теоретическим  оценкам  точности.  Модель 
движения  автомобиля  при  малых  углах  поворота  передних  колес  точнее 
описывает исходную систему по сравнению с моделью движения при конечных 
углах 
поворота. 
Неголономная 
модель 
сравнима 
по 
точности 
с 
асимптотическими  моделям.  Если  переднеприводный  автомобиль  заменить 
задне-  или  полноприводным,  либо  вместо  разгона  рассматривать  задачу  о 
торможении,  то  результаты  качественно  не  изменятся.  Рис. 2.6  демонстрирует 
пограничный слой, ширина которого соответствует теоретическим оценкам. 
Рассмотрим  теперь  разгон  полноприводного  автомобиля  в  повороте  с 
большим углом поворота передних колес на сухой асфальтовой дороге. Примем 
∆ = const = ,
0 4 ,  L = 50 Н ⋅ м L = 50 Н ⋅
V 0 = 5 м
1

м
2
,  x ( )
/ с . Остальные параметры 
оставим без изменения. 
На  рис. 2.7–2.9  приведены  графики  зависимости  координат  центра  масс 
автомобиля  от  времени  и  траектории  движения  его  продольной  оси.  Здесь 
наблюдается  обратная  предыдущей  ситуация:  модель  движения  автомобиля  с 
конечными  углами  поворота  передних  колес,  отвечающая  рассматриваемому 
случаю,  лучше  приближает  исходную  систему,  чем  модель  с  малыми  углами 
поворота  передних  колес.  Последняя,  хоть  и  была  для  сравнения  включена  в 
численный  эксперимент,  вообще  говоря,  не  является  корректной  при  таких 
больших  значениях  ∆ .  Неголономная  модель  по-прежнему  сравнима  по 
точности с асимптотическими моделями. 



 
102 
 
Рис. 2.7. Зависимость продольной координаты центра масс полноприводного автомобиля от 
времени при разгоне с большим углом поворота передних колес в режиме движения без 
потери сцепления колес с дорогой. L1 = L2= 50 Н⋅м, Δ = 0,4, Vx(0) = 5 м/с 
 
Рис. 2.8.  Зависимость боковой координаты центра масс полноприводного автомобиля от 
времени при разгоне с большим углом поворота передних колес в режиме движения без 
потери сцепления колес с дорогой. L1 = L2= 50 Н⋅м, Δ = 0,4, Vx(0) = 5 м/с 


 
103 
 
Рис. 2.9. Последовательные положения продольной оси полноприводного автомобиля при 
разгоне с большим углом поворота передних колес в режиме движения без потери сцепления 
колес с дорогой. L1 = L2= 50 Н⋅м, Δ = 0,4, Vx(0) = 5 м/с 
Построенные  модели  позволяют  оценить,  насколько  опасен  выбранный 
водителем режим управления автомобилем. В качестве примера, на рис. 2.10 для 
движущегося  с  малым  углом  поворота  передних  колес  ( ∆ = const = ,
0 05) 
переднеприводного  автомобиля  ( L = 0 Н ⋅ м
2
)  построена  зависимость  величины 
временного интервала  s
T , по истечении которого хотя бы одно из колес потеряет 
сцепление  с  дорогой,  от  задаваемого  водителем  управления  L = const
1

Начальная  скорость  автомобиля  полагалась  равной  V
=
x (0)
10 м / с   Анализ 
рис. 2.10  показывает,  что  при  тех  же,  что  и  в  предыдущем  примере,  начальных 
условиях  момент  L ≈ 900 − 950 Н ⋅ м
1
  является  критическим  при  использовании 
любой  из  моделей:  одно  из  колес  теряет  сцепление  практически  сразу,  что 
чревато заносом. 



 
104 
 
Рис. 2.10. Зависимость интервала времени движения без потери сцепления колес с дорогой от 
величины разгонного момента при движении переднеприводного автомобиля с малым углом 
поворота передних колес. Δ = 0,05, Vx(0) = 10 м/с 
 
Рис. 2.11. Зависимость интервала времени движения без потери сцепления колес с дорогой от 
величины угла поворота передних колес при разгоне передне- и заднеприводного 
автомобилей. L1 = 300 Н⋅м, L2 = 0 Н⋅м и L1 = 0 Н⋅м , L2 = 300 Н⋅м соответственно, Vx(0) = 5 м/с 

 
105 
Рис. 2.11  позволяет  провести  сравнение  передне-  и  заднеприводных 
автомобилей,  проходящих  поворот,  соответственно,  при  L = 300 Н ⋅ м
1

L = 0 Н ⋅ м
L = 0 Н ⋅
L = 300 Н ⋅
2
  и 
м
1

м
2
  и  зафиксированном  угле  ∆   поворота 
передних  колес.  Было  принято  V
=
x (0)
5 м / с ,  остальные  начальные  условия 
оставлены  без  изменения.  Показаны  графики  зависимости  величины 
s
T  
временного  интервала,  по  истечении  которого  хотя  бы  одно  из  колес  потеряет 
сцепление  с  дорогой,  от  угла  ∆   поворота  передних  колес.  Для  построения 
использованы  исходная  модель  и  асимптотическая  модель  движения  при 
конечных  углах  поворота  передних  колес.  Графики,  отмеченные  сплошной 
линией, 
отвечают 
переднеприводному 
автомобилю, 
пунктиром 
– 
заднеприводному.  Анализ  рис. 2.11  показывает,  что  асимптотическая  модель 
позволяет  улавливать  известный  эффект:  при  одинаковых  значениях  ∆   колеса 
переднеприводного автомобиля в процессе разгона теряют сцепление с дорогой 
раньше 
заднеприводного. 
При 
одинаковых 
значениях 
параметров 
заднеприводный 
автомобиль 
при 
разгоне 
в 
повороте 
оказывается 
предпочтительнее с точки зрения безопасности движения, поскольку, во-первых, 
водитель  заднеприводного  автомобиля  имеет  в  запасе  больше  времени  для 
оценки дорожной обстановки и предотвращения аварийной ситуации, во-вторых, 
при  одинаковом  времени  движения  до  момента  потери  сцепления  колеса  с 
дорогой  передние  колеса  заднеприводного  автомобиля  поворачиваются  на 
больший  угол  ∆ ,  т.е.  водитель  обладает  более  широким  диапазоном 
возможностей  по  управлению.  В  случае  торможения  наблюдается  обратная 
ситуация,  т.е.  переднеприводный  автомобиль  оказывается  предпочтительнее 
заднеприводного. 
§ 2.3. Выводы к главе 2 
Исследование  "велосипедной"  модели  автомобиля  позволило  разработать 
алгоритм  понижения  порядка  уравнений  колесных  транспортных  средств, 
движущихся  без  потери  сцепления  колес  с  дорогой,  с  малыми  боковыми 
наклонами,  при  наличии  малых  различий  между  характеристиками  сцепления 

 
106 
правых и левых колес одной оси с дорогой. Указанный алгоритм, базирующийся 
на методах фракционного анализа, позволил разделить составляющие движения 
системы  на  группу  "медленных"  переменных  (системы  (2.1.11), (2.1.12)  или 
(2.2.1), (2.2.2)), группу "быстрых" переменных первой очереди (система (2.1.17)–
(2.1.20))  и  группу  "быстрых"  переменных  второй  очереди  (система  (2.1.40)–
(2.1.42)).  Асимптотическая  модель,  описывающая  "медленные"  составляющие 
движения,  пригодна  для  описания  движений  автомобиля  на  характерных 
временах  порядка  нескольких  секунд,  таких,  как  разгон,  торможение  и  поворот 
без наступления заноса. Модели "быстрых" составляющих движения описывают 
продольные движения колес и боковые движения точек контакта колес с дорогой 
(увод 
автомобиля),  происходящие  на  характерных  временах  порядка 
2

1

10
−10  с.  Проведены  оценки  точности  и  пределов  применимости 
асимптотических  моделей.  Построенные  модели  могут  быть  использованы  для 
синтеза  законов  управления  автомобилем  и  формирования  алгоритмов  работы 
систем активной безопасности. 
Рассмотрена  неголономная  модель  (2.2.9)  движения  автомобиля  в 
повороте.  Показано,  что  пренебрежение  инерционностью  колес  приводит 
данную модель к асимптотической модели (2.2.1), (2.2.2). 
Проведено  численное  сравнение  построенной  модели  с  асимптотической 
моделью  (2.2.3), (2.2.4),  составленной  в  [32]  в  предположении  малости  угла 
поворота  передних  управляемых  колес  автомобиля,  и  неголономной  моделью 
(2.2.9). Показано, что точности и пределы применимости моделей соответствуют 
теоретическим  оценкам;  неголономная  модель  сравнима  по  точности  с 
асимптотическими  моделями  "медленных"  движений.  Рассмотрено  влияние  на 
потерю  сцепления  колес  с  дорогой  управляющих  параметров  –  разгонных, 
тормозных моментов и угла поворота передних колес. 

 
107 
Глава 3. Математическая модель переменной структуры 
для описания заноса автомобиля 
В третьей главе на основании подходов, изложенных в главе 2, проводится 
построение  асимптотических  моделей  движения  автомобиля  при  различных 
вариантах  потери  сцепления  колес  с  дорогой.  Исследуются  три  случая 
возможного  движения:  движение  при  потере  сцепления  с  дорогой  переднего, 
заднего  или  обоих  колес.  Проводится  построение  динамической  модели 
переменной  структуры,  описывающей  движение  автомобиля  в  различных 
дорожных  ситуациях.  Указанная  модель  объединяет  набор  приближенных 
моделей,  построенных  для  разных  классов  движения  автомобиля  в  режиме 
заноса, модели (2.2.1), (2.2.2) и (2.2.3), (2.2.4) его движения без потери сцепления 
колес с дорогой и условия перехода от одной модели к другой. Как и в главе 2, в 
качестве  исходной  рассматривается  система    (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12).  С 
применением  численных  методов  исследован  занос  автомобилей  с  различными 
типами привода, рассмотрено влияние на занос управляющих воздействий. 
§ 3.1. Асимптотическая модель движения в случае потери 
сцепления передних колес с дорогой 
3.1.1. Построение модели 
Будем  предполагать,  что  начальные  условия,  возмущения  и  управления 
обеспечивают  выполнение  неравенств  Ε
Ε2 <
1 ≥ ε , 
ε.  С  учетом  (1.1.9)–(1.1.11) 
необходимыми  и  достаточными  условиями,  реализующими  данный  режим 
движения, будут 
2
2




Ε
P
Py2
x2
+ 
 <
1 ≥ ε , 
1



(3.1.1) 
æ


N
 æ N 
 x2 2 
y2
2


В  соответствии  с  (1.1.5)  и  первым  неравенством  из  (3.1.1),  касательные 
компоненты  контактной  силы  на  переднем  колесе  заменяются  кулоновой  силой 
трения скольжения. 

 
108 
Построим 
приближенную 
модель 
движения 
автомобиля 
в 
рассматриваемом  случае.  Как  и  ранее,  в  § 2.1,  перейдем  в  системе  (1.1.5)–
(1.1.7), (1.1.12)  от  исходного  к  новому  набору  переменных 

U
x
V , 
z ,  U x 2 , 
y2 , 
Ω Ω
U
1 , 
∆ ,  Ψ ,  ∆ ,  X ,  Y ,  содержащему  "быстрые"  переменные  Ux2 , 
y2 .  Выбор 
независимых  переменных  в  данном  случае  неоднозначен:  вместо  угловой 
скорости  корпуса  Ωz   в  качестве  независимой  переменной  можно  оставить 
боковую  скорость  центра  масс  автомобиля  y
V .  После  замены  система  примет 
вид 
x
dV
M
= P
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
x cos
P 1
y sin
x
P 2
y
MV
z
x
F , 
dT
dΩz
I
=
∆ +
∆ −
+
z
(P 1xsin P 1ycos )A yP2B Mz, 
dT
dUx2 = Φ − Φ R
1
5

dT
dUy2 = Φ − Φ
dΩ
B
1 = −
+
2
3
,  I
P 1
x R
1
L , 
dT
dT
dΩ
d




d
I
= M∆ − I
z
= Ω
= Ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
dT
dT
dT
dT
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ , 
(3.1.2) 
dT
dT
MgB − (P cos ∆ − P sin ∆ + P
1
x
1
y
x 2 )H
N =
=
1

N

2
Mg
1
N , 
A + B
U
U
1
x
1
y
P
= −æ
P
= −æ
1
x
x1
1
N

1
y
y1
1
N

2
2
U
+
2
2
+
1
x
U 1
y
U 1
x
U 1
y
æ N U
æ N U
y2
2
y2
P
x2
2
x 2
= −
= −
x 2
ε

,  Py2

R
ε

2
R
2
V − U
V = U
+ Ω B
x
x 2
Ω =
y
y2
z

2

R
U
= V cos∆ +
+ Ω
+
∆ − Ω
1
x
x
(Uy2 z(A B) sin
R
1


 
109 
U 1
y = −V sin
x
∆ + (Uy2 + Ωz(A + B) cos∆ . 
Здесь, как и в (2.1.1), 
x
dV
1
Φ =
=
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
(P 1xcos P 1ysin
x
P 2
y
MV
z
x
F ), 
dT
M
y
dV
1
Φ =
=
∆ +
∆ +

Ω +
2
(P 1xsin P 1ycos
y
P 2
x
MV
z
y
F ), 
(3.1.3) 
dT
M
dΩz
1
Φ =
=
∆ +
∆ −
+
3
(P 1xsin P 1ycos )A yP2B Mz), 
dT
Iz
dΩ2
1
Φ =
= −
+
5
( xP2R L2). 
dT
I
В  случаях  резкого  торможения,  приводящего  к  блокировке  переднего 
колеса, либо разгона с его пробуксовкой  (L > æ N R
1
x1
1
) пятое уравнение в (3.1.2) 
не  выписывается.  Математическая  модель  движения  автомобиля  после 
завершения  "быстрых"  процессов  блокировки  или  пробуксовки,  определяемых 
усилиями  на  тормозных  колодках  или  характеристиками  двигателя,  получается 
подстановкой  в  выражение  для  U
Ω =
Ω = Ω
1
x  
равенства 
0
1
  или 
0
1
1  
соответственно,  где 
0
Ω = const
1
  –  угловая  скорость  пробуксовки  колеса. 
Выражение для  0
Ω1  определяется из уравнения 
0
0
U 1
x
− æ
=
x1
1
N R
(

(3.1.4) 
U )
L
2
0
+
1
x
(U ) 1
2
0
1
y
где  значения 
1
L   находятся  по  характеристике  двигателя,  определяемой 
приведенным  положением  педали  газа  [18, 20, 36];  через 
0
N
U
1 , 
0
1
x , 
0
U 1
y  
обозначены  выражения  для 
U
1
N ,  U 1
x , 
1
y   при  значениях  "медленных" 
переменных 

x
V , 
z , вычисляемых в момент начала разгона. 
При  движении  в  режиме  отсутствия  блокировки  или  пробуксовки  будем 
считать  Ω1 ~ Ω2 . 
Приведем  систему  (3.1.2), (3.1.3)  к  нормализованной  безразмерной  форме. 
Рассматривая  движение  с  произвольными  (конечными)  углами  поворота 

 
110 
передних  колес,  в  качестве  грубой  оценки  примем  ∆ =1.  Исследуя  класс 
*
движения,  на  котором  потеря  сцепления  колес  с  дорогой  может  вызвать  занос 
автомобиля,  положим 
=
x
V
=
*
y
V *
*
V .  Выражениям  E j  после  нормализации 
будут отвечать  ε =
j
E j E *j  (j = ,
1 2). На выбранном классе движения справедливы 
оценки  Ε = 1
Ε
U
= U
= Ω
*
2
=
*
1

ε .  Тогда  из  (1.1.6)  следует 
R
*
1
x
*
1
y
*
1

U
= U
= Ω
ε
R
Ω = Ω = Ω
= Ω
x 2*
y *
2
*
2

*
1
*
2
* ,  из  (1.1.7)  получаем  оценки  V
R
*
*


+
=
z*(A
B)
*
V .  Для  характерных  значений  оставшихся  переменных  примем  те 
же оценки, что и в § 2.1. 
Из второго уравнения системы (3.1.2) следует оценка  2
i T ~ T
z 1
1 парциальной 
постоянной  времени  углового  движения  автомобиля,  из  третьего  и  четвертого 
уравнений  –  оценки  постоянных  времени  продольного 
4
T   и  бокового 
3
T  
движений  заднего  колеса,  из  пятого  –  оценка 
2
i
µ T ~ T
1
3   постоянной  времени 
изменения угловой скорости вращения переднего колеса, из шестого и восьмого 
– оценка  2
T  постоянной  времени работы  механизма рулевого  управления. Здесь 
i
1
T ,  2
T ,  3
T ,  4
T   определены  в  (2.1.3),  2z ,  2
i   –  в    (2.1.6).  Как  и  ранее,  примем 
*
T = 1
T . 
Нормализованным аналогом системы (3.1.2), (3.1.3) будет 
dvx = p
δ −
δ +
+ ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z fx , 
dt
ω
2 d
z
i
=
δ +
δ −
+
z
(p 1xsin p 1ycos )a py2b mz, 
dt
du x2
1
µε
= µϕ − ϕ
1
5 , 
2
dt
i
du y2
b
ε
= ϕ − ϕ
ω
2 d 1
µ
= −
+
2
3 , 
i
p
l , 
2
1
x
1
dt
i
dt
z
2

i

ψ
δ
1
z
d
d
i
= ∆ −
ϕ
= ω
i 1
z
= ω
1
z
m
3 , 


2
z

dt
i
dt
dt
z
dx =
dy
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
(3.1.5) 
dt
dt

 
111 
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 ) h , 
n

2
1
1
n , 
u
u
1
x
1
y
p
= −æ
p
= −æ
1
x
x1 1
n

1
y
y1n1

2
2
u
+
2
2
+
1
x
u 1
y
u 1
x
u 1
y
u
u
x 2
y2
p
= −æ
p
= −æ
x 2
x2n 2 ω , 
y2
y2n 2 ω , 
2
2
v = u
ε
+ ω b
ω =

y
y2
z

2
v
ε
x
ux2 , 
u
=
δ + ε
+ ω
δ − ω
1
x
vx cos
( uy2 z)sin
1 , 
u 1
y = −v sin
x
δ + (εuy2 + ωz)cosδ . 
Выражения (3.1.3) примут вид 
ϕ =
δ −
δ +
+ ω
1
p
+
1
x cos
p 1
y sin
px2 vy z fx , 
ϕ =
δ +
δ +
− ω
2
p
+
1
x sin
p 1
y cos
py2 vx z fy , 
(3.1.6) 
ϕ =
δ +
δ −
ϕ = −
3
(p
+
1
x sin
p 1
y cos ) a
py2b mz , 
5
p
+
x 2
l2 . 
Как  и  для  (2.1.4), (2.1.5),  при  решении  системы  (3.1.5), (3.1.6)  следует 
выразить  1
n ,  n2  через переменные этой системы. Подставив выражения для  p 1
x , 
p
p
x 2 , 
1
y  в формулы для  1
n ,  n2  из (3.1.5), получим 
u
b + æ
x 2 h
x2 ω
n
2
=
1




u
u 1
y
u

1 + - æ
1
x
cos δ + æ
sin δ + æ
x 2
h
x1
y1
x2


u2 + u2
u2 + u2
ω 
2
1
x
1
y
1
x
1
y





u
u 1
y

1
x
a + - æ
cos δ + æ
δ
x1
y1
sin
h
2
2
2
2


u
+
+


1
x
u 1
y
u 1
x
u 1
y


n =
= −
2
1
1
n . 



u
u 1
y

1
x
ux2
1 + - æ
cos δ + æ
sin δ + æ
x1
y1
x2
h
2
2
2
2


u
+ u
u
+ u
ω 
2
1
x
1
y
x1
1
y


Необходимые и достаточные условия (3.1.1) реализации режима движения 
при  потере  сцепления  с  дорогой  переднего  колеса  после  нормализации  примут 
вид 

 
112 
2
2
2
u




1
x +
2
u
ε
p
py2
x 2
+ 
 <
1 =
1
y
≥ ε
ω

1



(3.1.7) 
æ


n
 æ

1
n
 x2 2 
y2 2


Система  (3.1.5), (3.1.6)  имеет  вид  (2.9).  Здесь  µ = ε ~
µ µ
1 2 =
1
µ, 
µε, 
= (v ω ω∆ ψ δ
z
z2 =
=
x ,
,
, , , x, y)T
z

(u ω
y2 ,
)T
1

ux2 ,  выражения  для  ,  Z1 ,  Z2  
отвечают  векторам  правых  частей  соответствующих  уравнений  для  ,  z1,  z2 
Будем  рассматривать  систему  (3.1.5), (3.1.6)  как  сингулярно  возмущенную 
систему  тихоновского  вида  с  иерархией  малых  параметров:  εµ << ε ~ µ << 1. 
Построим  двукратно  вырожденную  систему,  положив  все  малые  параметры 
равными нулю. Из (3.1.5) следует 
dvx = p
δ −
δ +
+
ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z fx , 
dt
ω
2 d
z
i
=
δ +
δ −
+
z
(p 1xsin p 1ycos )a py2b mz, 
dt
1
b
0 = −
ϕ
= ϕ −
= −
+
5 , 
0
ϕ ,  0
p
l , 
2
2
3
1
x
1
i
2
iz
2
d ω
i

ψ

1
z
d
i
= ∆ −
ϕ
= ω
i 1
z
=
1
z
m
3  
,


(3.1.8) 
2
z

ω
dt
i
dt
dt
z
x
d =
y
d
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
dt
dt
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 ) h , 
n

2
1
1
n , 
u
u
1
x
1
y
p
= −æ
p
= −æ
1
x
x1 1
n

1
y
y1n1

2
2
u
+
2
2
+
1
x
u 1
y
u 1
x
u 1
y
u
u
x 2
y2
p
= −æ
p
= −æ
x 2
x2n 2 ω , 
y2
y2n 2 ω , 
2
2
v = ω b
ω =
y
z

2
vx , 
u
=
δ + ω
δ − ω
u 1
y
= −v sin
x
δ + ω
1
x
vx cos
z sin
1 , 
cos
z
δ . 
Выражения  ϕ ϕ ϕ
2 , 
3 , 
5  совпадают с соответствующими выражениями из (3.1.6). 

 
113 
Из  третьего и пятого  уравнений системы (3.1.8) находятся выражения для 
продольных  компонент  контактных  сил  p
p
x1 , 
px2.  Выражение  для 
y2  
определяется  из  четвертого  уравнения  (3.1.8).  После  нахождения  указанных 
выражений система (3.1.8) принимает вид 
dvx = p
δ −
δ +
+
ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z fx , 
dt
ω
2 d
z
i
=
δ +
δ −
+
z
(p 1xsin p 1ycos )a py2b mz, 
dt
d ω
d

ω


i
= m∆ − i2
z
= ω
i 1
z
=
1
z
1
z

z , 

ω , 
dt
dt
dt
dt
x
d =
y
d
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
(3.1.9) 
dt
dt
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 ) h , 
n

2
1
1
n , 
u
u
1
x
1
y
p
= l ≡ −æ
p
= −æ
1
x
1
x1n1

1
y
y1n1
,  p
=
x2
l2 , 
2
2
u
+
2
2
+
1
x
u 1
y
u 1
x
u 1
y
1




p
= +

δ +
δ +
ω −
+
y2
(1 i 2b2
z
) ([i 2ab
z
)1(p sin p cos
1
x
1
y
) v
f
i 2m b
x
z
y
z
z ], 
v = ω b
=
δ + ω
δ −
u 1
y
= −v sin
x
δ + ω
y
z
,  u
ω
1
x
vx cos
z sin
1 , 
cos
z
δ . 
Угловая  скорость  и  компоненты  вектора  скорости  точки  контакта  заднего 
колеса с дорогой определяются выражениями 
ω =
ω
ω
2
= −
2
= −
2
vx ,  ux2
px2 ,  u
p

(3.1.10) 
æ
y2
y2
æ
x2n 2
y2n 2
При движении в  режиме блокировки или пробуксовки переднего  колеса в 
(3.1.9)  следует  подставлять 
2
2
p
= −æ
+
ω =
1
x
x1n1 u 1
x
u 1
x
u 1
y , 
где 
0
1
  при 
блокировке, 
0
0
ω = ω = Ω Ω
1
1
1
*  при пробуксовке, равенство  p
=
1
x
1
l  отбрасывается. 
Условия  реализации  движения  при  потере  сцепления  переднего  колеса  с 
дорогой по-прежнему будут иметь вид (3.1.7), при этом значения  ε
p
1,  p x 2 , 
y2 ,  n 2  
следует вычислять из (3.1.9). 

 
114 
3.1.2. Доказательство корректности модели 
Проверим выполнение условий теоремы 2 из § 2 Введения, гарантирующих 
близость  решений  исходной  и  двукратно  вырожденной  систем  (3.1.5), (3.1.6)  и 
(3.1.9), (3.1.10).  Проведем  обоснование  перехода  от  исходной  системы 
(3.1.5), (3.1.6)  к  однократно  вырожденной  системе,  получаемой  из  исходной 
приравниванием  нулю  членов  первого  и  более  высоких  порядков  по  εµ . 
Запишем  присоединенную  систему  первой  очереди,  описывающую  "быстрое" 
изменение переменной  ux2  на характерных временах T ~ 4
T  из (2.1.3): 
dux2 = 1 px2 + (µ)+K 
(3.1.11) 

O
i2
1
Здесь,  как  и  ранее  в  § 2.1,  τ
O µ
1 = t / εµ   –  "быстрое"  время;  через 
( ) обозначены 
слагаемые  порядка  ε ,µ,  зависящие  от  ux2 ;  многоточие  отвечает  слагаемым, 
зависящим  от  "медленных"  по  отношению  ux2   переменных  системы 
(3.1.5), (3.1.6) и времени  t , которые при исследовании присоединенной системы 
считаются постоянными. 
Точка  покоя 
o
u
= u
x2
x 2   уравнения  (3.1.11)  совпадает  с  корнем  третьего 
конечного уравнения из (3.1.8) и с точностью до обозначений  u
=
ω = ω
x2
ux2 ,  2
2  
определяется  соответствующими  выражениями  (3.1.9), (3.1.10).  Исследование 
устойчивости точки покоя удобно проводить после замены 
u
u
1
x
1
y

=
=
1
x
,  uˆ 1
y

2
2
u
+
2
2
+
1
x
u 1
y
ux1 u 1
y
u
u
x 2
y2

=
=
~
ω =
x2
~
ω ,  uˆy2
~
ω , 
2
vx , 
2
2
приводящей уравнение (3.1.11) к виду 
u
dˆ x2 = C p
2 x2 +
(µ)+K
τ
O
 
(3.1.12) 
d 1
Здесь 
~
C = 1/ ω i2 > 0
p
= −æ
2
2

x 2
x 2n 2u
ˆ x2, 
(3.1.13) 

 
115 
a + (- æ uˆ cosδ + æ uˆ sin δ
x1
1
x
y1
1
y
)h
n =
2

(3.1.14) 
1 + (- æ uˆ cosδ + æ uˆ sin δ + æ uˆ
x1
1
x
y1
1
y
x2 x 2 )h
Проведя линеаризацию уравнения (3.1.12) вблизи точки покоя, получим 

d uˆ x2

=
p
C
x 2
2
∆uˆx2 + O(µ). 
(3.1.15) 
dτ1
∂uˆx2
Здесь  ∆uˆ
O µ
x 2  – малое отклонение от точки покоя; через 
( ) обозначен результат 
линеаризации слагаемых порядка  ε , µ, зависящих от  uˆx2 ; 
∂p
 n
x 2


= −æ  2

(3.1.16) 
x2
uˆx2 + n2 
∂uˆ

x 2
 ∂ x2

∂n
æ h a
- æ uˆ
cos
æ
x2
uˆ sin
h
2
( +( x1 1x δ+ y1 1y δ) )
= −

 
uˆx2
[1+(-æ uˆ cos æ uˆ sin æ
x1
1
x
δ + y1 1y
δ
x2u
ˆ x ) h] =
+
2
2
n n2æ h
1 2
x2
= −
;  (3.1.17) 
bn − p h
2
x2
значения  частных  производных  (3.1.16),  (3.1.17)  вычисляются  при  ε = µ = 0   в 
точке  0
o
~

= u
ω
x2
x 2
2 . 
Для  асимптотической  устойчивости  тривиального  решения  системы 
(3.1.15)  достаточно,  чтобы  выражение  λ = С ∂

0
2
px2 uˆx2   было  отрицательно. 
Преобразовав выражение для  λ0  при помощи (3.1.13), (3.1.14), (3.1.16), (3.1.17), 
получим 

2
b
p h
λ = −С æ n
x 2
0
2
x2 2

(3.1.18) 
bn − p h
2
x2
Здесь  p
=
x2
l2 .  Согласно  (2.1.31)  для  отрицательности  правой  части  в  (3.1.18) 
достаточно  выполнения  условия  (2.1.28)  или  более  жесткого  условия  (2.1.29), 
справедливость  которых  для  большинства  современных  автомобилей 
обсуждалась в  § 2.1. Ввиду единственности  точки покоя  o
u x2  системы (3.1.11) и 
ее  асимптотической  устойчивости  по  первому  приближению  область  влияния 
этой  точки  ограничена  областью  допустимых  значений  переменной  ux2 , 
определяемой по (3.1.7). 

 
116 
Исследуем  корректность  перехода  от  однократно  вырожденной  к 
двукратно  вырожденной  системе  (3.1.9), (3.1.10).  Присоединенная  система 
второй  очереди  для  "быстрых"  движений  по  переменным  u
ω
y2 , 
1   на 
характерных временах  T ~ 3
T  из (2.1.3) имеет вид 
duy2

ab 

ab 

2
b 
= p 1
x
1 −
sin δ + p 1
y
1 −
cos δ + py2 1+
+ K



(3.1.19) 
2 


2 


2 
dτ2

iz 

iz 

iz 
dω1
1
= (− p +
1
x
1
l ). 
2
dτ2
i
Здесь  τ2 = t / ε  – "быстрое" время; многоточиями обозначены не выписываемые 
для  простоты  слагаемые,  зависящие  от  "медленных"  по  отношению  к  u
ω
y2 , 
1  
переменных  однократно  вырожденной  системы  и  времени  t ;  l = const
1
  – 
функция  "медленных"  переменных  и  времени;  проекции  касательных 
составляющих контактных сил вычисляются из (3.1.5) при  ε = µ = 0 : 
u
~
u
~
1
x
1
y
p
= −æ
p
= −æ
1
x
x1 1
n

1
y
y1 1
n

2
2
+
2
2
+
1
x
u
~
u
~
1
y
1
x
u
~
u
~
1
y
uy2
p
= −æ
y2
y2n 2 ~
ω , 
(3.1.20) 
2
u
~
=
δ + ω
δ − ω
u
~
~
ω =
1
y = −v sin
x
δ + ω cos
1
x
vx cos
z sin
1 , 
z
δ, 
2
vx . 
Подставив  выражения  для  p
p
1
x , 
1
y   из  (3.1.20)  в  формулы  для 
1
n ,  n2   из  (3.1.5), 
получим 
b −
n
=
1 =
p h
x 2
,  n

2
1
n1.
y1
1 −
u
~
æ
x1
h cos
x1
δ +
u
~
æ
h sin
y1
δ
2
1
x + u
~
u
~
2
2
1
y
1
x + u
~
u
~
2
1
y
 
(3.1.21) 
Здесь  в  силу  (3.1.9)  следует  считать  p
=
x 2
l2 .  В  случаях  блокировки  или 
пробуксовки переднего колеса второе уравнение в (3.1.19) не выписывается. 

 
117 
Точка  покоя 
o
u
=
ω = ω
y2
uy2, 
o
1
1
y   системы  (3.1.19)  совпадает  с  корнем 
четвертого  и  пятого  конечных  уравнений  системы  (3.1.8)  с  точностью  до 
обозначений  u
=
ω = ω
y2
uy2,  1
1 . 
Проведя линеаризацию (3.1.19) вблизи точки покоя, получим 

d u

y2
∂p 1
x
∂p

= S 
41
∆uy +
1
x
2
ω
∆ 
1
+  
(3.1.22) 


2
∂uy2
ω



1

 p

p


 ∂p
p


1
y
1
y
y2
y2
+ S 
∆u +
ω
∆  + S 
∆u +
∆ω ,
21
y2
1
31
y2
1

 
u

∂ω

 u

ω


y2
1
y2
1




d ω

1 
1
∂p 1
x
∂p

= − 
∆uy +
1
x
2
ω
∆ . 

2 
2
i
∂uy2
ω

1 

1

Здесь  u

∆ω
y2 , 
1   –  малые  отклонения  от  точки  покоя; 
21
S ,  31
S   определены  в 
(2.1.44); 

ab 
S41 = 1 −
sin δ



2 

iz 
Из  (3.1.20),  (3.1.21)  следуют  выражения  для  частных  производных  проекций 
контактных сил: 
p

p

p

1
x
=
1
0 , 
1
y
= 0 , 
y2 = −æ n

u

u

y2 2 ~
u

ω
y2
y2
y2
2
2
p


u
~
n
u
~
1
x
1
1
x
= −æ
+ æ

(3.1.23) 
x1
x1n
2
2
ω

ω

1
1
+ u~
u
~ 1x
1
y
( 1y
1
2 +
1
x
u
~
u
~
)321y
p

p

n
∂ u~
1
y

u
~
n
1
y
u
~
u
~
1
= −æ
− æ

y2
1
y
1
= æ

y1
y1 1
n
y2
2
2
ω

ω

~
ω

ω

ω
1
1
+ u~
u
~ 1x
1
y
( 1x 1y
2 +
1
1
2
1
x
u
~
u
~
)321y
∂n
2
1 = −
n1
u
~
æ
2 h cos
x1
1
y
δ +
u
~
u
~
æ
h sin
y1
1
x
1
y
δ
ω


(3.1.24) 
1
(
3
b − px2 )( 21
x + u
~
u
~
h
2
1
y ) (
)
Характеристический полином линеаризованной системы имеет вид 
∆(λ)

p
p
p
2

∂ 1y
∂ y2
1
x
1 ∂p 
= λ − λS41
+ 21
S
+ 31
S

1
x
 
2
 +


∂uy2
∂uy2
∂uy2 i ω
∂ 1 

 
118 

1

∂p
∂p 1y
∂p 
y2
1
x

+
− 
p
S41
+ S21
+ S

1
x
31
+  
(3.1.25) 
2
i  
∂u y2
∂u y2
∂u 

y2
ω



1

∂p
∂p 1y
∂py2 
1
x
∂p 
+ S41
+ S21
+
1
x
S31





ω


1
ω
∂ 1
ω
∂ 1 ∂

 u y2 
Необходимым  и  достаточным  условием  асимптотической  устойчивости 
тривиального 
решения 
системы 
(3.1.22) 
служит 
положительность 
коэффициентов полинома (3.1.25).  В соответствии с (3.1.22), эти коэффициенты 
следует  вычислять  при 
0
u
=
ω = ω
y2
uy2 , 
0
1
1 .  Для  дальнейшего  исследования 
понадобится  более  жесткое  требование  положительности  коэффициентов 
полинома (3.1.25) в области значений  u
ω
y2 , 
1 ,  определяемой  по  (3.1.7),  (3.1.20), 
(3.1.21). 
Преобразуем выражение для свободного члена из (3.1.25) с учетом (3.1.23) 
1 
∂p
∂p 1y
∂p 
y2
1
x

− 
p
S41
+ S21
+ S

1
x
31
+  
2 
i
∂uy2
∂u y2
∂u 
y2
ω



1
1 
p

p


 ∂

1
y
p y2
p
S
p y2 ∂
1
x
1
x
31
p 1
x
+
S
+
+
= −
41
S21
S31

(3.1.26) 
2 


2
i
ω

∂ω
ω



ω


1
1
1
u

y2
i
u y2
1
Из (2.1.44) и (3.1.23) имеем  S > 0
p

u

<
31
 и 
0
y2
y2
, следовательно выражение в 
правой части (3.1.26) положительно при условии 
p
∂ 1
x
> 0
∂ω

(3.1.27) 
1
Воспользовавшись (3.1.20), (3.1.21), (3.1.23), (3.1.24), запишем (3.1.27) в виде 
æ p

δ
1
y
x1
(p æ2 n hsin
1
y
y1 1
)> . 
(3.1.28) 
æ2y1 (b − p
+
x 2 )
0
2
u
~
u
~
h
2
1
x
1
y
Вследствие (2.1.31) знаменатель дроби положителен, и неравенство (3.1.28) 
выполняется  при  условии  p

δ >
1
y (p
æ2 n h sin
1
y
y1 1
) 0.  Указанное  условие 
справедливо при выполнении одного из неравенств 
p sin δ < 0
1
y

(3.1.29) 

 
119 
2
æ
δ <
p sin δ ≥
p

y1n1 sin
h
p 1
y , если 
0
1
y

0
1
y

(3.1.30) 
Для выполнения условия (3.1.29) передние колеса должны быть повернуты 
в сторону бокового скольжения передней оси автомобиля, т.е. наружу поворота. 
Подобный  режим  не  характерен  для  движения  с  боковым  скольжением  одной 
только  передней  оси  автомобиля  и  может  возникнуть  вследствие  сложного 
движения  с  неоднократной  потерей  сцепления  колес  с  дорогой,  т.е.  в  ситуации 
сильного превышения параметрами из определения заноса, данного во Введении, 
своих  предельных  значений  ε0 .  Заметим,  что  для  большинства  автомобилей 
æ2 sin δ h ~ 1
,
0
1
y
.  Следовательно,  на  выбранном  уровне  точности  первое  из 
условий  (3.1.30)  можно  считать  выполненным.  Второе  из  условий  (3.1.30),  как 
правило, 
выполняется 
при 
движении 
автомобиля 
в 
повороте 
с 
проскальзывающим  передним  колесом.  Такой  режим  движения,  когда  имеет 
место  боковое  проскальзывание  передней  оси  автомобиля,  и  при  этом 
фактический радиус  поворота становится больше программного, определяемого 
углом 
поворота 
передних 
колес, 
носит 
название 
"недостаточная 
поворачиваемость" [36, 57, 67]. 
Рассмотрим  коэффициент  при  первой  степени  λ  из  (3.1.25).  С  учетом 
(3.1.23) получим 
∂p
∂p



1
y
py2
1 p
py2

1
x
1
x
1 px1



+
= −
+
41
S
S21
31
S
31
S

(3.1.31) 
2
2
u



ω


ω

y2
u y2
u y2
i
1
u y2
i
1
В силу неравенств  S > 0
p

u

<
31
 и 
0
y2
y2
 для положительности правой части  в 
(3.1.31)  достаточно  выполнение  неравенства  (3.1.27),  которое,  как  показано 
выше,  справедливо  при  выполнении  одного  из  условий  (3.1.29),  (3.1.30). 
Применение  критерия  Бендиксона  (см.  раздел  1.1.2)  показывает,  что 
положительность  выражения  (3.1.31)  гарантирует  отсутствие  в  системе 
предельных  циклов  и,  тем  самым,  корректность  перехода  от  однократно  к 
двукратно вырожденной системе во всей области (3.1.7). 
При  p = 0
1
y
  свободный  член  характеристического  полинома  (3.1.25) 
обращается в нуль, следовательно точка покоя присоединенной системы (3.1.19) 

 
120 
не  является  асимптотически  устойчивой  по  первому  приближению. 
Следовательно,  здесь  теорема  2  из  § 2  Введения  неприменима,  и  необходим 
переход  от  модели  (3.1.9), (3.1.10)  к  исходной  системе  (3.1.5).  В  указанном 
случае  из  (3.1.5)  следует  u = 0
p
= −æ
>
1
y
,  т.е. 
1
x
x1 1
n sign ux1.  При  u
0
1
x
  имеем 
p
= −æ n < 0
ω
>
1
x
x1 1
.  Тогда  из  пятого  уравнения  системы  (3.1.5)  следует  d
dt
0
1

Тем самым, на временах  t ~ µ , существенно меньших характерного времени  t ~ 1 
движения  центра  масс  автомобиля,  произойдет  "быстрое"  возрастание  ω1,  в 
результате  чего  получим  u → 0
<
ω
1
x
.  Аналогично,  при  u
0
1
x
  величина  1  будет 
"быстро" убывать, т.е.  u
→ 0
1
x
. Тем самым, первое условие (3.1.7), реализующее 
рассматриваемое  движение  автомобиля  в  случае  потери  сцепления  переднего 
колеса  с  дорогой,  будет  нарушено.  Это  требует  перехода  от  рассматриваемой 
модели  (3.1.5)  к  асимптотической  модели  (2.1.11), (2.1.12)  или  безразмерному 
аналогу модели (2.2.3), (2.2.4) движения автомобиля без потери сцепления колес 
с дорогой из §§ 2.1, 2.2. 
В  случае  l > æ
1
x1 1
n ,  когда  происходит  блокировка  или  пробуксовка 
переднего  колеса,  второе  уравнение  в  (3.1.19)  отсутствует,  а  первое,  с  учетом 
(2.1.41), имеет вид 
du y2 = 31
S py + K 
(3.1.32) 

2
2
Здесь  многоточием  обозначены  слагаемые,  не  зависящие  от  "быстрой" 
переменной  uy2 ; 
uy2
b − p h
p
= −æ
x 2
= −
y2
y2n 2 ~
ω ,  n2 1
,  p
=
x 2
l2 , 
(3.1.33) 
1 − æ
δ
2
x1h cos
u
~
sign x1
u
~
=
δ + ω
δ − ω
~
ω =
1
x
vx cos
z sin
1 , 
2
vx ; 
угловая  скорость  переднего  колеса  принимает  значения  ω = 0
1
  при  его 
блокировке и 
0
ω = ω
1
1  – при пробуксовке. 
Уравнение (3.1.32) имеет единственную точку покоя, поскольку его правая 
часть  линейна  по  u
~
− S æ
ω
y2 .  Множитель 
31
y2n2
2   при 
u y2   отрицателен, 

 
121 
следовательно  точка  покоя  системы  (3.1.32)  асимптотически  устойчива  по 
первому приближению, и область ее влияния совпадает с областью допустимых 
значений переменной  uy2 , определяемой по (3.1.7) с учетом (3.1.33). 
Таким 
образом, 
вырожденная 
система 
(3.1.9), (3.1.10) 
может 
рассматриваться  в  качестве  приближенной  модели  движения  автомобиля  в 
случае  заноса  передней  оси.  Согласно  теореме  2  из  § 2  Введения,  выполнение 
условий (2.1.28), (3.1.29) или (2.1.28), (3.1.30), гарантирует, что рассогласование 
между  решениями  исходной  (3.1.5), (3.1.6)  и  вырожденной  систем  является 
величиной  O(ε + µ) ~ 20%   на  конечном  интервале  времени  t ~ 1.  Для 
"медленных" переменных  v
ω ω
x , 
z , 
∆ ,  ψ ,  δ ,  x ,  y  данная оценка справедлива на 
всем  указанном  интервале  времени,  для  "быстрых"  переменных  u
u
ω
x2 , 
y2 , 
1   – 
вне  пограничного  слоя  малой  ширины.  Полученные  результаты  будут 
справедливы,  если  в  качестве  исходной  рассматривать  безразмерный  аналог 
системы (1.1.3), (1.1.5)–(1.1.7). 
§ 3.2. Асимптотическая модель движения в случае потери 
сцепления задних колес с дорогой 
3.2.1. Построение модели 
Будем  считать,  что  начальные  условия,  возмущения  и  управления 
обеспечивают  выполнение  неравенств  Ε
Ε2 ≥
1 < ε , 
ε.  С  учетом  (1.1.9)–(1.1.11) 
необходимые  и  достаточные  условия  реализации  данного  режима  движения 
запишутся в виде 
2
2
 P

 P

1
y
1
x
+ 
 <1


,  Ε2 ≥ ε . 
(3.2.1) 
æ


N
 æ N 
 1
x
1 
1
y
1


В  рассматриваемом  случае,  в  соответствии  с  (1.1.5), (3.2.1),  касательные 
компоненты  контактной  силы  на  заднем  колесе  заменяются  кулоновой  силой 
трения скольжения. 

 
122 
Для построения асимптотической модели, как и ранее, перейдем в (1.1.5)–
(1.1.7), (1.1.12) к новому набору переменных 

U
Ω Ω
x
V , 
z ,  U x1 , 
1
y , 
2 , 
∆ ,  Ψ ,  ∆ , 
X , 
Y , 
содержащему  "быстрые"  переменные  U
U
x1 , 
1
y . 
Вследствие 
неоднозначности  выбора  независимых  переменных  вместо  угловой  скорости 
корпуса  Ωz   в  качестве  независимой  переменной  можно  было  бы  оставить 
боковую  скорость  центра  масс  автомобиля  y
V .  В  новых  переменных  система 
примет вид 
x
dV
M
= P
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
x cos
P 1
y sin
x
P 2
y
MV
z
x
F , 
dT
dΩz
I
=
∆ +
∆ −
+
z
(P 1xsin P 1ycos )A yP2B Mz, 
dT
dU 1
x
= Φ cos ∆ − V Ω sin

∆ + Φ + Φ
∆ +
1
x
(
A
2
3
)sin
dT
 
+ (V + Ω A Ω∆
∆ − Φ
y
z
) cos
R,
4
dU 1
y
= −Φ sin ∆ − V Ω cos

∆ + Φ + Φ
∆ −
1
x
(
A
2
3
)cos
dT
 
− (V + Ω A Ω∆

y
z
) sin ,
dΩ2
I
= −
+
x
P 2R L2 , 
dT
dΩ
d




d
I
= M∆ − I
z
= Ω
= Ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
dT
dT
dT
dT
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ , 
(3.2.2) 
dT
dT
MgB − (P cos ∆ − P sin ∆ + P
1
x
1
y
x 2 )H
N =
=
1

N

2
Mg
1
N , 
A + B
æ N U
æ N U
y1
1
1
y
P
x1
1
1
x
= −
= −
1
x
ε
Ω ,  P 1
y

R
ε Ω
1
R
1
U
U
x 2
y2
P
= −æ
P
= −æ
x 2
x2 N2

y2
y2 N 2

2
2
U
+
2
2
+
x 2
Uy2
Ux2 Uy2
U
Vx − U cos
1
x
∆ + U sin
1
y

1
y
V = V tg∆ +
− Ω A
Ω1 =
y
x
z


cos ∆
R cos ∆

 
123 
U 1
y
U
= V − Ω R
=
∆ +
− Ω
+
x 2
x
2
,  U
V tg
y2
x
z (A
B). 
cos ∆
Здесь, как и в (2.1.1), 
x
dV
1
Φ =
=
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
(P 1xcos P 1ysin
x
P 2
y
MV
z
x
F ), 
dT
M
y
dV
1
Φ =
=
∆ +
∆ +

Ω +
2
(P 1xsin P 1ycos
y
P 2
x
MV
z
y
F ), 
(3.2.3) 
dT
M
dΩz
1
Φ =
=
∆ +
∆ −
+
3
(P 1xsin P 1ycos )A yP2B Mz), 
dT
Iz
dΩ1
1
Φ =
= −
+
4
( P 1xR 1
L ). 
dT
I
В  случаях  блокировки  или  пробуксовки  заднего  колеса  (L > æ N R
2
x2
2

пятое  уравнение  в  (3.2.2)  не  выписывается.  Математическая  модель  движения 
автомобиля  в  этих  случаях  получается  подстановкой  в  выражение  для  Ux2 , 
соответственно, равенств  Ω = 0
Ω = Ω
0
Ω =
2
 или 
0
2
2 , где 
const
2
 – угловая скорость 
пробуксовки заднего колеса. Выражение для  0
Ω2  определяется из уравнения 
0
0
Ux2
− æ
=
x2N 2R
(
L , 
(3.2.4) 
U
+
x )2
0
2
(Uy ) 2
2
0
2
где  значение  L2   находится  по  характеристике  двигателя,  определяемой 
приведенным  положением  педали  газа  [18, 20, 36];  через 
0
N
U
2 , 
0
x 2 , 
0
Uy2  
обозначены  выражения  для  N
U
2 , 
Ux2 , 
y2   при  значениях  "медленных" 
переменных 

x
V , 
z , вычисляемых в момент начала разгона. 
При  движении  в  режиме  отсутствия  блокировки  или  пробуксовки  будем 
считать  Ω1 ~ Ω2 . 
Проведем  нормализацию  системы  (3.2.2), (3.2.3).  На  выбранном  классе 
движения справедливы оценки  Ε
Ε =
*
1 = ε , 
1
*
2
,  откуда,  согласно  (1.1.6),  следует 
U
= U
= Ω
ε
R
=
= Ω
*
1
x
*
1
y
*
1
,  U
U
R
x *
2
y *
2
*
2
. Для характерных значений оставшихся 
переменных примем те же оценки, что и в § 3.1. 

 
124 
Из второго уравнения системы (3.2.2) следует оценка  2
i T ~ T
z 1
1 парциальной 
постоянной  времени  углового  движения  автомобиля,  из  третьего  и  четвертого 
уравнений  –  оценки  постоянных  времени  продольного 
4
T   и  бокового 
3
T  
движений  переднего  колеса,  из  пятого  –  оценка 
2
i
µ T ~ T
1
3   постоянной  времени 
изменения  угловой  скорости  заднего  колеса,  из  шестого  и  восьмого  –  оценка 
постоянной времени  2
T  работы механизма рулевого управления. Как и ранее,  1
T , 
i
2
T ,  3
T ,  4
T  определены в (2.1.3),  2z ,  2
i  – в (2.1.6). Положим  *
T = 1
T . 
Нормализованным аналогом системы (3.2.2), (3.2.3) будет 
dvx = p
δ −
δ +
+ ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z fx , 
dt
ω
2 d
z
i
=
δ +
δ −
+
z
(p 1xsin p 1ycos )a py2b mz, 
dt
du

ω

a

1
x
µε
= µϕ cosδ − v
∆ sin δ + ϕ + ϕ sin δ +
1
x
2
3
dt
i



1
z
i2


z

 
+ (
ω

v + ω a

δ − ϕ
y
z )
1
cos
,

4
i
 i2
1
z
du
ω


1
y
a
ε
= −ϕ sin δ − v
∆ cosδ + ϕ + ϕ cosδ −
1
x
2
3
dt
i


1
z
i2

z

 
− (
ω
v + ω a

δ
y
z )
sin ,
i 1
z
ω
2 d
2
i
µ
= −p +
x 2
l2, 
dt
2

i

ψ
δ
1
z
d
d
i
= ∆ −
ϕ
= ω
i 1
z
= ω
1
z
m
3 , 


2
z

dt
i
dt
dt
z
dx =
dy
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
(3.2.5) 
dt
dt
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 ) h , 
n

2
1
1
n , 
u
u
1
x
1
y
p
= −æ
p
= −æ
1
x
x1 1
n ω , 
1
y
y1 1
n ω , 
1
1

 
125 
u
u
x2
y2
p
= −æ
p
= −æ
x 2
x2n 2

y2
y2n 2

2
2
u
+
2
2
+
x 2
u y2
ux2 uy2
u 1
y
v
v = v tgδ + ε
− ω a
x
ω =
+ ε
δ −
y
x
z

1
(u 1ytg ux1), 
cos δ
cos δ
u 1
y
u
=
− ω
=
δ + ε

x2
vx
2 , 
u
ω
y2
vxtg
z . 
cos δ
Выражения (3.2.3) примут вид 
ϕ =
δ −
δ +
+ ω
1
p
+
1
x cos
p 1
y sin
px2 vy z fx , 
ϕ =
δ +
δ +
− ω
2
p
+
1
x sin
p 1
y cos
py2 vx z fy , 
(3.2.6) 
ϕ =
δ +
δ −
ϕ = −
3
(p
+
1
x sin
p 1
y cos ) a
py2b mz , 
4
p
+
x 2
l2 . 
Как  и  ранее,  запишем  выражения,  связывающие  1
n ,  n2   с  переменными 
системы  (3.2.5), (3.2.6).  Подставив  выражения  для  p
p
1
x ,  p x 2 , 
1
y   в  формулы  для 
1
n ,  n2  из (3.2.5), получим 
u
b + æ
x 2
h
x2
u2 + u2
x 2
y2
n =
1




u
u 1
y
u

1+ - æ
1
x cos δ + æ
sin δ + æ
x 2
h
x1
y1
x2


ω
ω
+


1
1
u2
u2
x 2
y2



u
u

1
y
1
x
a + - æ
cos δ + æ
δ
x1
y1
sin
h





ω
ω
1
1

n =
= −
2
1 n1. 



u
u 1
y

1
x
ux2
1 + - æ
cos δ + æ
sin δ + æ
x1
y1
x2
h
2
2


ω
ω
+


1
1
ux2 uy2


Необходимые и достаточные условия (3.2.1) реализации режима движения 
при потере сцепления с дорогой заднего колеса после нормализации примут вид 
2
2

2
2
p

 p

ux2 + u
1
y
1
x
+ 
 <
y2
1


,  ε2 =
≥ ε . 
(3.2.7) 
æ


n
 æ n 

ω
1
x
1 
1
y
1


2
Система  (3.2.5), (3.2.6)  имеет  вид  (2.9).  Здесь  µ = ε ~
µ µ
1 2 =
1
µ, 
µε, 
= (v ω ω∆ ψ δ
z
z2 =
=
x ,
,
, , , x, y)T
z

(u ω
1
y ,
)T
2

u 1
x ,  выражения  для  ,  Z1 ,  Z2  

 
126 
отвечают  векторам  правых  частей  соответствующих  уравнений  для  ,  z1,  z2 
Будем  рассматривать  систему  (3.2.5), (3.2.6)  как  сингулярно  возмущенную 
систему  тихоновского  вида  с  иерархией  малых  параметров:  εµ << ε ~ µ << 1. 
Положив  все  малые  параметры  равными  нулю,  построим  двукратно 
вырожденную систему. Из (3.2.5) после вырождения следует 
dvx = p
δ −
δ +
+
ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z fx , 
dt
ω
2 d
z
i
=
δ +
δ −
+
z
(p 1xsin p 1ycos )a py2b mz, 
dt
1
0 = −
ϕ4 , 
2
i
ω

a

0 = −ϕ sin
1
δ −

v
cos
x
δ + ϕ2 + ϕ cos
3
δ − (vy + a
z ) ω
ω
∆ sin δ


2

i 1
z

iz

i 1
z
0 = −p
+
x 2
l2 , 
(3.2.8) 
2
d ω
i

ψ

1
z
d
i
= ∆ −
ϕ
= ω
i 1
z
=
1
z
m
3 , 


2
z

ω
dt
i
dt
dt
z
x
d =
y
d
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
dt
dt
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 ) h , 
n

2
1
1
n , 
u
u
1
x
1
y
p
= −æ
p
= −æ
1
x
x1 1
n ω , 
1
y
y1 1
n ω , 
1
1
u
u
x2
y2
p
= −æ
p
= −æ
x2
x2n 2

y2
y2n 2

2
2
u
+
2
2
+
x 2
uy2
ux2 uy2
v
v = v tgδ − ω a
ω
=

=
δ −
1 =
x
y
x
z

,  u
ω
x2
vx
2 , 
u
ω
y2
vx tg
z . 
cos δ
Выражения  ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
1 , 
2 , 
3 , 
4   совпадают  с  соответствующими  выражениями  из 
(3.2.6). 
Из  третьего и пятого  уравнений системы (3.2.8) находятся выражения для 
продольных  компонент  контактных  сил  p
p
x1 , 
px2.  Выражение  для 
1
y  

 
127 
определяется  из  четвертого  уравнения  (3.2.8).  После  нахождения  указанных 
выражений система (3.2.8) запишется в виде 
dvx = p
δ −
δ +
+
ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z fx , 
dt
ω
2 d
z
i
=
δ +
δ −
+
z
(p 1xsin p 1ycos )a py2b mz, 
dt
d ω
d

ω


i
= m∆ − i2
z
= ω
i 1
z
=
1
z
1
z

z , 

ω , 
dt
dt
dt
dt
x
d =
y
d
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
(3.2.9) 
dt
dt
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 ) h , 
n

2
1
1
n , 
u
uy2
p
=
x 2
p
= l ≡ −æ
p
= −æ
1
x
1
l , 
x2
2
x2n 2

y2
y2n 2

2
2
u
+
2
2
+
x 2
uy2
ux2 uy2
1




p
= +
δ
− ω +

δ
δ −
1
y
(1 i 2a2cos2
z
) (p
2a f
p i 2a 2 cos
x 2
z
x
1
x
z
)sin

 
− (



ω 
p

+
+
δ +
ω + ∆
y2 (1
i 2ab
z
) f i 2am
y
z
z )
v
cos
x
,
z




cos δ
i

1
z

v = v tgδ − ω a
=

=
δ −
y
x
z
,  u
ω
x2
vx
2 , 
u
ω
y2
vx tg
z . 
Угловая  скорость  и  компоненты  вектора  скорости  точки  контакта 
переднего колеса с дорогой определяются выражениями 
ω = v
ω
ω
x
1
= −
1
= −
1
,  u 1
x
px1,  u 1
y
p 1
y . 
(3.2.10) 
cos δ
æ
æ
x1 1
n
y1 1
n
При движении в  режиме блокировки или пробуксовки переднего  колеса в 
(3.2.9)  следует  подставлять 
2
2
p
= −æ
+
ω =
x2
x2n 2 u x 2
ux2 uy2 ,  где 
0
2
  при 
блокировке, 
0
0
ω = ω = Ω Ω
2
2
2
*  
при 
пробуксовке, 
равенство 
p
=
x 2
l2  
отбрасывается. 
Условия, 
обеспечивающие 
возможность 
применения 
системы 
(3.2.9), (3.2.10)  для  описания  движения  автомобиля  при  потере  сцепления 

 
128 
заднего колеса с дорогой, по-прежнему имеют вид (3.2.7), при этом значения  ε2, 
p
p
1
x , 
1
y ,  1
n  следует вычислять из (3.2.9). 
3.2.2. Доказательство корректности модели 
Исследуем  корректность  перехода  к  двукратно  вырожденной  системе 
(3.2.9), (3.2.10),  проверив  выполнение  условий  теоремы  2  из  § 2  Введения.  Для 
исследования  корректности  перехода  от  исходной  (3.2.5), (3.2.6)  к  однократно 
вырожденной  системе  запишем  присоединенную  систему  первой  очереди, 
описывающую  "быстрые"  движения  по  переменной  u 1
x   на  характерных 
временах  T ~ 4
T  из (2.1.3): 
du 1
x
= 1 p 1x + (µ)+K 
(3.2.11) 

O
i2
1
Здесь,  как  и  ранее  в  §§ 2.1, 3.1,  τ
O µ
1 = t / εµ   –  "быстрое"  время;  через 
( ) 
обозначены  слагаемые  порядка  ε ,µ,  зависящие  от  u 1
x ;  многоточие  отвечает 
постоянным  слагаемым,  зависящим  от  "медленных"  по  отношению  к  u 1
x  
переменных системы (3.2.5), (3.2.6) и времени  t . 
Точка  покоя 
o
u
= u
1
x
1
x   уравнения  (3.2.11)  совпадает  с  корнем  третьего 
конечного  уравнения из (3.2.8) и с точностью до обозначений  u =
ω = ω
1
x
ux1,  1

определяется соответствующими выражениями из (3.2.9), (3.2.10). Исследуем ее 
устойчивость по первому приближению. 
Предварительно проделаем замену 
u
u
1
x
1
y
v

=
=
ω
~1 = x
1
x
~
ω ,  uˆ 1
y
~
ω , 

cos δ
1
1
u
u
x 2
y2

=
=
x2
,  uˆ y2

2
2
u
+
2
2
+
x 2
u y2
ux2 uy2
приводящую уравнение (3.2.11) к виду 
u
dˆ 1
x
= C p
1
1
x +
(µ)+K
τ
O
 
(3.2.12) 
d 1
Здесь 

 
129 
~
C = 1/ ω i2 > 0
p
= −æ
1
1

1
x
1
x
1
n uˆ 1
x , 
(3.2.13) 
b + æ uˆ h
n
x2 x 2
=
1

(3.2.14) 
1 + (- æ uˆ cosδ + æ uˆ sin δ + æ uˆ
x1
1
x
y1
1
y
x2 x 2 )h
Проведя линеаризацию уравнения (3.2.12) вблизи точки покоя, получим 

d uˆ 1
x

=
p
C
1
x
1
∆uˆ 1x + O(µ). 
(3.2.15) 
dτ1
∂uˆ 1x
Здесь  ∆uˆ
O µ
1
x   –  малое  отклонение  от  точки  покоя;  через 
( )  обозначены 
линеаризованные слагаемые порядка  ε , µ, зависящие от  uˆ 1
x ; 
∂p
 n
1
x


= −æ  1

(3.2.16) 
x1
uˆ 1
x +
1
n 
∂uˆ

1
x
 ∂ 1
x

∂n
b
æ uˆ h æ
1
( + x2 x2 ) x1cosδ
=
h
 
∂uˆ 1
x
[1+(-æ uˆ cos æ uˆ sin æ
x1
1
x
δ + y1 1y
δ
x2u
ˆ x ) h] =
+
2
2
n2n æ h
1
2
x1
=

(3.2.17) 
n
b
− p h
2
x2
значения  частных  производных  (3.2.16),  (3.2.17)  вычисляются  при  ε = µ = 0   в 
точке  0
o
~

= u ω
1
x
1
x
1 . 
Для  асимптотической  устойчивости  тривиального  решения  системы 
(3.2.15)  достаточно,  чтобы  выражение  λ = С ∂

0
1 p 1
x
uˆx1   было  отрицательно. 
Подставив (3.2.13), (3.2.14), (3.2.16), (3.2.17) в выражение для  λ0 , получим 
bn − p h − p n cos h
δ
λ = −С æ n
2
x2
1
x
2
0
1
x1 1

(3.2.18) 
bn − p h
2
x 2
Здесь  p =
1
x
1
l .  Для  отрицательности  правой  части  в  (3.2.18)  достаточно 
одновременного  выполнения  условий  (2.1.28),  (2.1.32)  или  более  жестких 
условий  (2.1.29),  (2.1.36),  справедливость  которых  для  большинства 
современных  автомобилей  обсуждалась  в  § 2.1.  Область  влияния  точки  покоя 
o
u 1
x  системы (3.2.11),  ввиду ее единственности и асимптотической  устойчивости 
по  первому  приближению,  совпадает  с  областью  допустимых  значений 
переменной  u 1
x , определяемой из (3.2.7). 

 
130 
Исследуем  корректность  перехода  от  однократно  к  двукратно 
вырожденной  системе  (3.2.9), (3.2.10).  Присоединения  система,  описывающая 
"быстрые" движения по переменным  u
ω
1
y , 
2  на характерных временах  T ~
3
T  из 
(2.1.3), имеет вид 
du 1
y

a 2


2
ab 
= p 1
1
y
+
cos δ + p
1
y2

cos δ − px2
δ +K



(3.2.19) 
2




2 

sin
2

iz


iz 
dω2
1
= (− p +
x 2
l2 ). 
2
dτ2
i
Здесь  τ2 = t / ε   –  "быстрое"  время;  многоточиями  обозначены  слагаемые, 
зависящие  от  "медленных"  по  отношению  к  u
ω
1
y , 
2   переменных  однократно 
вырожденной  системы  и  времени  t ;  l = const
2
  –  функция  "медленных" 
переменных  и  времени;  проекции  касательных  составляющих  контактных  сил 
вычисляются из (3.2.5) при  ε = µ = 0 : 
u 1
y
p
= −æ
1
y
y1 1
n ~ω , 
1
u
~
u
~
x2
y2
p
= −æ
p
= −æ
x 2
x2n 2

y2
y2n 2

(3.2.20) 
2
2
+
2
2
+
x 2
u
~
u
~
y2
x2
u
~
u
~
y2
v
u
~
=
− ω
u
~
= v tgδ − ω
ω
~1 = x
x2
vx
2 , 
y2
x
z , 

cos δ
Подставив  p 1
y ,  p x 2   из  (3.2.20)  в  формулы  для 
1
n ,  n2   из  (3.2.5),  получим 
выражения для нормальных реакций 
u
~
b − p h cos δ + æ
x2
h
1
x
x2
2
+ u~
u
~
2
x 2
y2
n =
= −
1
,  n
1

(3.2.21) 
u
2
n1
y1
u
~
1 + æ
h sin δ + æ
x2
h
y1 ~
x2
2
ω1
+ u~
u
~
2
x 2
y2
Здесь в силу (3.2.9) принимается  p =
1
x
1
l . В случаях блокировки или пробуксовки 
заднего колеса второе уравнение в (3.2.19) не выписывается. 

 
131 
Точка  покоя 
o
u
=
ω = ω
1
y
u 1
y , 
o
2
2   системы  (3.2.19)  совпадает  с  корнем 
четвертого  и  пятого  конечных  уравнений  системы  (3.2.8)  с  точностью  до 
обозначений  u =
ω = ω
1
y
u 1
y  
2
2 .  
После линеаризации вблизи точки покоя система (3.2.19) примет вид 

d u

1
y
∂p 1y
∂p

= S 
11
∆u +
1
y
1
y
ω
∆ 
2
+
τ
 
(3.2.22) 
d

2
∂u 1y
∂ω


2

 p

p


 ∂


y2
y2
p
p
+ S 
u

+
∆ω  − sin
x 2

δ
∆u
x2
+
∆ω ,
21
1
y
2
1
y
2

 
u

ω


 ∂u
ω


1
y
2
1
y
2




d ω

1 
2
∂px2
∂p

= − 
∆u 1y + x2 ω
∆  . 

2 
2
i
∂u 1y
ω

2 

2

Здесь  u

∆ω
1
y , 
2   –  малые  отклонения  от  точки  покоя;  выражения  для 
11
S ,  21
S  
вычисляются из (2.1.44). В силу (3.2.20), (3.2.21) частные производные проекций 
контактных сил имеют вид 
p


1
y
n

u 1
y
1
p
n

u
~
1
= −æ
− æ

y2
y2
1
= æ

y1
y1 1
n
~
~
u

u

ω
ω
y2
2
2


1
y
1
y
1
1
u 1
y
u 1
y
+
x2
u
~
u
~
y2
p


p

n
∂ u
x 2
1
n
u
~x2
= æ

1
y
1
y
1
= −æ

(3.2.23) 
x2
y1
2
2
u


~
ω

ω

ω
1
y
u 1
y
+
x 2
u
~
u
~
y2
2
2
1
p
∂ y2

u
~
n
y2
u
~
u
~
1
= æ
− æ

y2
y2n 2
2
2
ω

ω

2
2
+ u~
u
~x2
y2
( x2 y2
2
+
x 2
u
~
u
~
y )3
2
2
2
p


u
~
n
u
~
x 2
1
x 2
= æ
+ æ

x2
x2n 2
2
2
ω

ω

2
2
+ u~
u
~x2
y2
( y2
2
+
x2
u
~
u
~
y )3
2
2
2
∂n
n n æ
δ
1
2
y1h sin
1 = −
~ , 
(3.2.24) 
u



δ ω
y1
(bn2 px2h p 1xn2hcos ) 1
2
2
n

n n æ h
u
~y2
1 = −

ω



δ
2
(
1 2
x2
bn2 px2h p 1
x n 2h cos ) ( 2 +
x 2
u
~
u
~
y )3
2
2
Запишем характеристический полином системы (3.2.22): 

 
132 
∆(λ)

∂p
p
2
1
y
∂ y2
∂px2 1 ∂p 
= λ − λ 11
S
+ S21
− sin δ

x 2
 
2
 +


∂u 1y
∂u 1y
∂u 1y i ∂ω2 

1

∂p 1y
∂py2
∂p 
x 2

+
− 
p
11
S
+ S21
− sin δ
 x2 +  
(3.2.25) 
2
i  
∂u 1y
∂u 1y
∂u 

1
y
ω



2
1 
∂p 1y
∂py2
∂p 
x2
∂p 
+
11
S
+ S21
− sin δ
x 2  ; 
2 



i
ω
∂ 2
ω
∂ 2
ω
∂ 2 ∂

 u 1
y 
и  определим  условия,  при  которых  коэффициенты  полинома  (3.2.25) 
положительны.  В  соответствии  с  (3.2.22)  значения  коэффициентов  следует 
вычислять при 
o
u
=
ω = ω
1
y
u 1
y , 
o
2
2 . 
Преобразуем выражение для свободного члена полинома (3.2.25) с учетом 
(3.2.20), (3.2.21), (3.2.23), (3.2.24): 
1 
∂p 1y
∂py2
∂p 
x2

− 
p
11
S
+ S21
− sin δ
 x2 + 
2 
i
∂u 1y
∂u 1y
∂u 
1
y
∂ω


2
1 
∂p 1y
∂py2
∂p 
x 2

+
p
11
S
+ S21
− sin δ
x 2 =  
2 


i
ω
∂ 2
ω
∂ 2
ω
∂ 2 ∂

 u 1
y
−2 2
æ æ
= y1 x2
i n1 11
S
1
 
2
~
æ
bn
p h
p n h cos
y2
( 2 − x2 − 1x 2
δ)
×
ω
2
1
x2 +
2
u
~
u
~
y2
× {py2(py2 − −
S S
1
æ2 n h sin
11 21
y2
2
δ)} . 
(3.2.26) 
Для  большинства  автомобилей  справедливо  условие  (2.1.32)  или  более  жесткое  
условие  (2.1.36),  поэтому  коэффициент  перед  фигурными  скобками  в  правой 
части (3.2.26) будем считать положительным. Тогда  условием положительности 
правой  части  в  (3.2.26)  служит  p
− −
δ >
y2 (p
S S
1
æ2 n h sin
y2
11 21
y2 2
) 0.  С  учетом 
соотношения

  S S
1
< 0
11 21
  последнее  неравенство  справедливо  при  выполнении 
условия (2.1.53) или условия 
-1
2
S S æ
δ <
p
sin δ ≤
p

11
21
y2n 2 sin
h
py2 , если 
0
y2

0
y2

(3.2.27) 

 
133 
Второе  из  неравенств  p sin δ ≤ 0
y2
  требует,  чтобы  передние  колеса  были 
повернуты  в  сторону  бокового  скольжения  задней  оси  автомобиля,  т.е.  наружу 
поворота.  Подобный  режим  движения  возникает,  например,  в  ситуации,  когда 
водитель  пытается  предотвратить  занос  на  начальной  стадии  и  не  допустить 
разворота  автомобиля.  Условие  (2.1.53)  выполняется  в  большинстве  случаев 
движения  автомобиля  в  повороте  с  проскальзывающими  задними  колесами. 
Подобное движение, при котором имеет место снос задней оси автомобиля и при 
этом  фактический  радиус  поворота  становится  меньше  программного, 
определяемого  углом  поворота  передних  колес,  называют  "избыточной 
поворачиваемостью" [36, 57, 67]. 
Рассмотрим  коэффициент  при  первой  степени  λ  из  (3.2.25).  С  учетом 
(3.2.20), (3.2.21), (3.2.23), (3.2.24) получим 
∂p 1y
∂py2
∂px2
1 ∂

p
11
S
− 21
S
+ sin δ
+ −
x 2 =

 
u 1
y
∂u 1y

2
u 1
y
i
ω
∂ 2

1

1 
2

px2
2

=
æy1n1 ~ n2 1−
h cos δ +




 
bn2 − px2h − p 1
x n 2h cos δ 
ω
n

1 

2

2 2
2

p


+ i a cos
z
δn 1
2
− x2 h − S p h sin
21 y2
δ




 +  

n2


æ
p2 n
y2 1

p 1
y

x2


+

(3.2.28) 
2
2
2
2

1−
h sin δ
i æy2
x 2 + u
~
u
~

n1

y2


Множитель перед фигурными скобками в правой части (3.2.28) положителен при 
выполнении  условия  (2.1.32).  В  рассматриваемом  случае  (3.2.7)  с  учетом 
выражений  для  контактных  сил  из  (3.2.5)  имеем  p
n ≤ æ
p
n ≤ æ
xj
j
xj , 
yj
j
yj  
(j = ,12). Далее, из неравенств  æ <1 æ <
δ
δ
xj

1
yj
,  h < 1,  sin < 1,  cos2 < 1 следует, 
что  все  выражения,  стоящие  в  правой  части  (3.2.28)  в  круглых  скобках, 
положительны.  Таким  образом,  при  учете  неравенства  S < 0
21
  достаточным 
условием положительности правой части (3.2.28) является (2.1.53). 

 
134 
Проведенное  исследование  показало,  что  для  асимптотической 
устойчивости  по  первому  приближению  точки  покоя  присоединенной  системы 
(3.2.19)  достаточно  одновременного  выполнения  условий  (2.1.32),  (2.1.53)  или 
более жестких условий (2.1.36), (2.1.53). Справедливость этих условий, согласно 
критерию  Бендиксона,  также  гарантирует  отсутствие  в  системе  предельных 
циклов,  а  следовательно,  корректность  перехода  от  однократно  к  двукратно 
вырожденной системе во всей области (3.2.7). 
Для  случая  отсутствия  блокировки  или  пробуксовки  заднего  колеса  при 
p
= 0
y2
  рассуждения,  аналогичные  проведенным  в  разделе  2.1.2,  показывают, 
что на временах  t ~ µ  нарушается второе из условий (3.2.7), реализующее режим 
движения  при  потере  сцепления  с  дорогой  заднего  колеса.  Как  и  ранее,  в  этом 
случае требуется  переход к  одной из асимптотических моделей (2.1.11), (2.1.12) 
или  безразмерному  аналогу  модели  (2.2.3), (2.2.4)  движения  без  потери 
сцепления колес с дорогой из §§ 2.1, 2.2. 
В  случае  l > æ
2
x2n 2 ,  когда  происходит  блокировка  или  пробуксовка 
заднего  колеса,  второе  уравнение  в  (3.2.19)  отсутствует,  а  первое  уравнение,  с 
учетом (2.1.44), имеет вид 
du 1
y
= S p
11
1
y − px 2
δ +K 
(3.2.29) 

sin
2
Здесь многоточию отвечают слагаемые, не зависящие от  "быстрой" переменной 
u 1
y ; 
u 1
y
v
p
= −æ
p
= −æ
=

ω
~1 = x
1
y
y1 1
n ~ω ,  x2
x2n 2
u
~
sign
x2 , 
u
~
ω
x2
vx
2 , 

cos δ
1
b − p h cos δ + æ
1
x
x2h
u
~
sign x2
=
= −
1
n
,  n
1
,  p
= l , 
(3.2.30) 
u
2
n1
1
x
1
y1
1 + æ
h sin δ + æ
y1
x2h
u
~
sign x2
~
ω1
ω = 0
ω = ω
2
 при блокировке заднего колеса, 
0
2
2  – при пробуксовке. 
Точка  покоя  уравнения  (3.2.29)  является  единственной,  поскольку 
совпадает  с  выражением  для  корня 
o
u
=
1
y
u 1
y   четвертого,  конечного,  уравнения 

 
135 
системы  (3.2.8)  при  подстановке  в  него  равенств  p
= 0
=
y2
,  u
~
0
y2
.  В  результате 
линеаризации вблизи точки покоя уравнение (3.2.29) примет вид 
d u





1
y
p 1
y
px2
= 

δ
∆
11
S
sin
u 1
y . 
(3.2.31) 





2
u 1
y
u 1
y


Здесь  u
∆ 1y – малое отклонение от точки покоя; 
p


x 2
1
n
= æ

(3.2.32) 
x2
u
~
sign x2
u

u

1
y
1
y
выражения для  p

u

,  n
∂ ∂
 определены в (3.2.23), (3.2.24). 
1
y
1
y
1
u 1
y
Преобразуем  выражение  для  коэффициента  перед  u
∆ 1y  в  правой  части 
(3.2.31) с учетом (2.1.44), (3.2.23), (3.2.24), (3.2.30), (3.2.32): 
∂p
p
æ
1
y

2
n n
11
S
− sin δ x2 = −
y1 1
2

~
 
u 1
y
∂u 1y
(bn2 − px2h − p 1xn2hcosδ) ×
ω1

px2
2
 2 2
2

p

×  1−
h cos δ +



 i a cos
z


δ 1− x2 h . 
(3.2.33) 

n2


n2

Как  и  в  (3.2.28),  выражения,  стоящие  в  правой  части  (3.2.33)  в  круглых 
скобках, положительны, поэтому, при выполнении условия (2.1.32), правая часть 
выражения  (3.2.33)  отрицательна,  т.е.  точка  покоя  (3.2.29)  асимптотически 
устойчива по первому приближению и область ее влияния совпадает с областью 
допустимых значений переменной  u 1
y , определяемой по (3.2.7) с учетом (3.2.30). 
Проведенное  исследование  показало,  что  вырожденная  система 
(3.2.9), (3.2.10)  может  рассматриваться  в  качестве  приближенной  модели 
движения автомобиля в случае заноса его задней оси. Согласно теореме 2 из § 2 
Введения,  выполнение  условий  (2.1.28),  (2.1.32),  (2.1.53)  или  более  жестких 
условий  (2.1.29),  (2.1.36),  (2.1.53),  гарантирует,  что  рассогласование  между 
решениями  приближенной  модели  и  исходной  системы  (3.2.5), (3.2.6)  является 
величиной  O(ε + µ) ~ 20%   на  конечном  интервале  времени  t ~ 1.  Для 
"медленных"  переменных  v
ω ω
x , 
z , 
∆ ,  ψ ,  δ ,  x ,  y   эта  оценка  справедлива  на 
всем  указанном  интервале  времени,  для  "быстрых"  переменных  u
u
ω
1
x , 
1
y , 
2   – 

 
136 
вне  пограничного  слоя  малой  ширины.  Полученные  результаты  будут 
справедливы,  если  в  качестве  исходной  рассматривать  безразмерный  аналог 
системы (1.1.3), (1.1.5)–(1.1.7). 
§ 3.3. Асимптотическая модель движения в случае потери 
сцепления с дорогой колес обеих осей 
3.3.1. Построение модели 
Будем  считать,  что  начальные  условия,  возмущения  и  управления 
обеспечивают выполнение неравенств 
Ε
Ε2 ≥
1 ≥ ε , 
ε, 
(3.3.1) 
являющихся,  в  соответствии  с  (1.1.9),  необходимыми  и  достаточными  для 
реализации данного режима движения. 
Как  и  ранее,  в  качестве  исходной  рассматривается  система  (1.1.5)–
(1.1.7), (1.1.12).  В  случаях  блокировки  или  пробуксовки  (L > æ N R
=
j
xj
j
(j ,12)) 
переднего  или  заднего  колеса,  соответственно,  шестое  или  седьмое  уравнения 
системы  (1.1.12)  не  выписываются.  Математическая  модель  движения 
автомобиля  в  этих  случаях  получается  подстановкой  в  выражения  для  Uxj 
равенств  Ω = 0
Ω = Ω
j
  для  случая  блокировки  и 
0
j
j   для  случая  пробуксовки,  где 
0
Ω = const

j
  –  угловая  скорость  пробуксовки  колеса.  Выражения  для 
0
j  
находятся из уравнений (3.1.4), (3.2.4). 
При  движении  в  режиме  отсутствия  блокировки  или  пробуксовки  будем 
считать  Ω1 ~ Ω2 . 
Построим  приближенную  модель  движения  автомобиля  для  этого  случая. 
Приведем  систему  (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12)  к  нормализованной  безразмерной 
форме.  Как  и  ранее,  будем  рассматривать  движение  с  произвольными 
(конечными) углами поворота передних колес и положим  ∆ = 1
*
. Будем считать, 
что  продольная  и  боковая  скорость  являются  величинами  одного  порядка,  т.е. 
=
Ε =
Ε =
x
V
=
*
y
V *
*
V .  С  учетом  (3.3.1)  примем 
1
*
1

1
*
2
,  тогда  из  (1.1.6)  следует 

 
137 
U
= U
= Ω R
=
= Ω
Ω = Ω = Ω
*
1
x
*
1
y
*
1
,  U
U
R
x *
2
y *
2
2*

*
1
*
2
* .  Из  соотношений  (1.1.7) 
получаем  оценки  V = Ω R

+
=
*
*

z*(A
B)
*
V .  Для  характерных  значений 
оставшихся  переменных  примем  те  же  оценки,  что  и  в  § 2.1.  Из  (1.1.5)–
(1.1.7), (3.3.1)  следует,  что  на  рассматриваемом  классе  движений  переменные 
Uxj,  Uyj  (j = ,
1 2) не являются "быстрыми", поэтому замена переменных исходной 
системы не требуется. 
Из  второго и пятого  уравнений системы (1.1.12) следуют, соответственно, 
оценки 
2
i T ~ T
1
T   и  z 1
1   для  постоянных  времени  бокового  и  углового  движений 
автомобиля,  из  шестого  и  седьмого  –  оценка 
2
i
µ T ~ T
1
3   постоянных  времени 
изменения  угловых  скоростей  обоих  колес,  из  восьмого  и  десятого  –  оценка 
постоянной времени  2
T  работы механизма рулевого управления. 
Нормализованным аналогом системы (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12) будет 
dvx = p
δ −
δ +
+ ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z fx , 
dt
dvy = p
δ +
δ +
− ω +
1
x sin
p 1
y cos
py2 vx z fy , 
dt
ω
2 d
z
i
=
δ +
δ −
+
z
(p 1xsin p 1ycos )a py2b mz, 
dt
ω
ω
2 d 1
d
i
µ
= −p +
2
2
µ
= −
+
1
x
1
l , 
i
px2 l2, 
(3.3.2) 
dt
dt

d

ω

δ
d
i
= m∆ − i2
z
= ω
i 1
z
= ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
dt
dt
dt
dt
dx =
dy
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
dt
dt
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 )h , 
n

2
1
1
n , 
uxj
uyj
p
= −æ
p
= −æ
xj
xjn j

yj
yjn j
  (j = ,
1 2), 
2
2
u
+
2
2
+
xj
u yj
uxj uyj
u
=
δ +
+ ω
δ − ω
u 1
y = −v sin
x
δ + vy + ω
1
x
vx cos
(vy za)sin
1 , 
(
a
z )cos δ , 
u
=
− ω
u
= v − ω
x2
vx
2 , 
b
y2
y
z


 
138 
Подставив  выражения  для  p
p
1
x ,  p x 2 , 
1
y   в  формулы  для 
1
n ,  n2   из  (3.3.2), 
получим выражения для  1
n ,  n2  через переменные системы (3.3.2): 

 
n1 = b +
u
æ
x 2
h

1
x2
+
u
- æ
1
x
cos
x1
δ +

 
u2x2 + 2

u


2
2

y2
 
ux1 + u 1
y
1

 
u 1
y
u

x2
+ æ
sin δ + æ

y1
x2
h

(3.3.3) 
2
2
2
2
+
+

 
u 1
x
u 1
y
ux2 uy2  


 


u
u 1
y
1
x

n
a
- æ
cos
æ

2 =
+
x1
δ +
sin
y1
δ h ×

 


u21
x + u 2
u2
1
y
1
x + u 2

 


1
y
 
 
 
u
u
×
1
y
1 + - æ
1
x
cos
x1
δ + æ
sin
y1
δ +

 
 
2
2
2
2
 
u 1
x + u
u
1
y
x1 + u 1
y
1
 −
u

x 2
+ æ
 = −
x2
h
1 n1. 
2
2
+

 
u x2 u y2  
Необходимые и достаточные условия (3.3.1) реализации режима движения 
при потере сцепления с дорогой обоих колес после нормализации примут вид 
2
u
2
ux2 + 2
1
x +
2
u
u
ε
ε2 =
y2 ≥
1 =
1
y
≥ ε
ω

ε
ω

(3.3.4) 
1
2
Система  (3.3.2)  имеет  вид  (2.4).  Здесь  = (v
ω ω∆ ψ δ
x , v y ,
,
, , , x, y)T
z

= (ω1,ω )T
2
,  выражения  для  ,    отвечают  векторам  правых  частей 
соответствующих  уравнений  для  ,  .  Будем  рассматривать  (3.3.2)  как 
сингулярно  возмущенную  систему  тихоновского  вида  с  малым  параметром  µ. 
Полагая  µ = 0 , получим вырожденную для (3.3.2) систему 
v
d x = p
δ −
δ +
+
ω +
1
x cos
p 1
y sin
px2
vy z fx , 
dt
v
d y = p
δ +
δ +

ω +
1
x sin
p 1
y cos
p y2 vx z f y , 
dt

 
139 
ω
2 d
z
i
=
δ +
δ −
+
z
(p 1xsin p 1ycos )a py2b mz, 
dt
0 = −p
+
= −
+
1
x
1
l ,  0
px2 l2 , 
(3.3.5) 

d

ω


i
= m∆ − i2
z
= ω
i 1
z
=
1
z
1
z

z , 

ω , 
dt
dt
dt
dt
x
d =
y
d
v cos
= v sin
x
ψ +
x
ψ − v sin
y
ψ , 
v cos
y
ψ , 
dt
dt
n = b −
δ −
δ +
=
1
(p cos p sin p
1
x
1
y
x 2 )h , 
n

2
1
1
n , 
uxj
u yj
p
= −æ
p
= −æ
xj
xjn j

yj
yjn j
  (j = ,
1 2), 
2
2
u +
2
2
+
xj
u yj
uxj uyj
u
=
δ +
+ ω
δ − ω
u 1
y
= −v sin
x
δ + vy + ω
1
x
vx cos
(vy za)sin
1 , 
(
a
z )cos δ , 
u
=
− ω
u
= v − ω
x2
vx
2 , 
b
y2
y
z

Четвертое  и  пятое  уравнения  системы  (3.3.5)  дают  выражения  для 
продольных компонент контактных сил 
uxj
p
= l ≡ −æ
xj
j
xjn j

(3.3.6) 
2
2
u +
xj
u yj
При  движении  колеса  в  режиме  блокировки  или  пробуксовки  равенство  p =
xj
l j 
отбрасывается, и для описания  pxj используются выражения из (3.3.5), при этом 
полагается  ω = 0
0
0
ω = ω = Ω Ω
j
  при  блокировке, 
j
j
j
*   –  при  пробуксовке 
соответствующего колеса. 
Условия  реализации  рассматриваемого  режима  движения  имеют  вид 
(3.3.4), при этом величины  ε
ε
1,  2  следует вычислять в силу (3.3.5). 
3.3.2. Доказательство корректности модели 
Исследуем  корректность  перехода  от  исходной  системы  (3.3.2)  к 
вырожденной  системе  (3.3.5).  Начнем  со  случая,  когда  отсутствуют  блокировка 
или  пробуксовка  одного  из  колес.  Проверим  выполнение  условий  теоремы  1  из 
§ 2  Введения.  Как  и  ранее,  требования  гладкости  управлений  1
l ,  l2 ,  m∆   и 

 
140 
возмущений  f
f
x , 
y ,  mz   обеспечивают  выполнение  условий  аналитичности  и 
правых  частей  исходной  системы  (3.3.2).  Для  проверки  условия  затухания 
"быстрых" движений перейдем в системе (3.3.2) к  "быстрому" времени  τ2 = t / µ  
и,  положив  ε = µ = 0 ,  запишем  присоединенную  систему,  описывающую 
"быстрые" движения по переменным  ω
ω
1 , 
2  на характерных  временах  T ~
3
T  из 
(2.1.3): 
dω1 = − 1 p 1x +K, 
(3.3.7) 

2
2
i
ω
d 2 = − 1 px2 +K
τ
 
2
d 2
i
Здесь  многоточиями  обозначены  слагаемые,  зависящие  от  "медленных"  по 
отношению  к  ω
ω
1 , 
2   переменных  системы  (3.3.2)  и  времени  t ,  которые  при 
исследовании присоединенной системы считаются постоянными; выражения для 
контактных  сил  и  нормальных  реакций  определяются  согласно  (3.3.2)  и  (3.3.3) 
соответственно. 
Точка  покоя 
o
ω = ω
ω = ω
1
1 , 
o
2
2   системы  (3.3.7)  совпадает  с  корнем 
четвертого  и  пятого,  конечных,  уравнений  (3.3.5)  и  находится  из  уравнений 
(3.3.6)  с  точностью  до  обозначений  u
=
u
=
1
x
ux1, 
1
y
u 1
y .  Система  первого 
приближения для (3.3.7) имеет вид 
d ω

1 
1
∂p 1x
∂p

= −

(3.3.8) 
2 

∆ω +
1
x
1
ω
∆ 2 
dτ2
i  ω
∂ 1
ω
∂ 2

d ω

1 
2
∂px2
∂p

= −

2 

∆ω1 + x2 ∆ω2 
τ
d 2
i  ∂ω1
∂ω2

где  ∆ω
∆ω
1 , 
2   –  малые  отклонения  от  точки  покоя.  В  силу  (3.3.2),  (3.3.3) 
выражениями для частных производных проекций контактных сил будут 
2
p

n

u
u
1
x
1
1
x
= −æ
+ æ

x1
x1n
2
2
ω

ω

1
1
u
+ u
1
x
1
y
( 1y
1
2
u
+
1
x
u
)321y

 
141 
p




1
x
1
n
u 1
x
= −æ
p
n
u

x 2
1
x2
= æ

(3.3.9) 
x1
x2
2
2
ω

ω

2
2
ω

ω

2
2
u
+
+
1
x
u 1
y
1
1
u x2 uy2
2
p

n

u
u
x 2
1
x 2
= æ
+ æ

x2
x2n 2
2
2
ω

ω

2
2
u
+ u
x2
y2
( y2
2
u
+
x2
uy )3
2
2
∂n
2
1 = −
n n
1
1
2
æ u2 h cos
æ
ω

x1
1
y
y1
1
x
1
y
,  (3.3.10) 
bn
1
2 − p
h
x 2
(
u u h sin
3
u21
x + u 21
y ) (
δ +
δ)
2
2
n

n n æ h
u
1
1 2
x2
= −

ω


2
bn2 px2h (
y2
2
u
+
x 2
u y )3
2
2
Характеристический полином системы (3.3.8) имеет вид 
∆(λ)
2
λ ∂p 1x ∂p  1 
x2
∂p 1x ∂px2 ∂p 1x ∂p 
= λ +
+
+

(3.3.11) 
2 

4 

x 2 
i  ω
∂ 1
ω
∂ 2  i  ω
∂ 1 ω
∂ 2 ∂ω2 ω
∂ 1 
Найдем  условия  положительности  коэффициентов  полинома  (3.3.11).  В 
соответствии  с  (3.3.7)  значения  коэффициентов  вычисляются  при 
o
ω = ω
1
1 , 
o
ω = ω
2
2 . 
Сначала рассмотрим случай  p ≠ 0

1
y
,  p
0
y2
.  Преобразуем  выражение  для 
свободного члена из (3.3.11) с учетом (3.3.2), (3.3.3), (3.3.9), (3.3.10): 
 
1 ∂p 1
x ∂p x2
∂p 1x ∂p 

x2
=  
(3.3.12) 
4 

i  ω
∂ 1 ω
∂ 2
ω
∂ 2 ω
∂ 1 
2
= æ æ
py2
1
1
x1
x2

4
2
2
{p 1y(p 1y−æ2 n hsin
y1 1
δ)}
i æ æ
bn
y1
y2
2 − p
h
x 2
u21
x + u 2
u2
1
y
x 2 + u 2
y2
Так  как  для  большинства  автомобилей  выполнено  условие  (2.1.28)  или  более 
жесткое  условие  (2.1.29),  будем  считать  положительным  коэффициент  перед 
фигурными скобками в (3.3.12). Тогда правая часть (3.3.12) будет положительна 
при  условии  p

δ >
1
y (p
æ2 n h sin
1
y
y1 1
) 0, что эквивалентно выполнению одного из 
условий (3.1.29), (3.1.30). 

 
142 
Преобразуем  коэффициент  при  первой  степени  λ  из  (3.3.11).  С  учетом 
(3.3.2), (3.3.3), (3.3.9), (3.3.10) получим 
1 ∂p
p
æ
1
x


x 2
x1
n 2 −
+
=
p x2h
1
× 
2 

i  ω
∂ 1
ω
∂ 2  2 2
i æ
bn
p
h
y1
2 −
2
x 2
u 1
x +
2
u 1
y
 





æ2 n h sin δ
y1 1


æ
p2y2
b − p h
× p p

x2
x 2

 +
1
y
1
y


(3.3.13) 
p

x 2
i2æ2
2
2
bn



+
− p h
y2
u
u
1
h
2
x 2
x 2
y2
 

n



2

Из  (2.1.28)  с  учетом  неравенств  0 < b < 1,  0 < n < 1

>
2
  имеем  n
p h
0
2
x2

b − p h > 0
x 2

Следовательно, 
достаточным 
условием 
положительности 
выражения в правой части (3.3.13) будет 



æ2

n h sin δ
y1 1
p  p


> 0
1
y
1
y


(3.3.14) 
p

1
x 2

h


n

2

Поскольку выполнено соотношение  p
n ≤ æ
x2
2
x2 , можно заменить (3.3.14) более 
жестким достаточным условием, не требующим вычисления отношения  px2 n2 : 

æ2 n h sin δ 
y1 1
p  p


> 0
1
y
1
y


(3.3.15) 
1 − æ h 
x2


Неравенство  (3.3.15)  справедливо  при  выполнении  одного  из  условий:  (3.1.29) 
или 
2
æ
δ
y1 1
n sin h < p
p sin δ ≥
p

1
y , если 
0
1
y

0
1
y

(3.3.16) 
1 − æx2h
Сравнение  (3.1.30)  и  (3.3.16)  показывает,  что  для  асимптотической 
устойчивости  точки  покоя  присоединенной  системы  (3.3.7)  достаточно 
одновременного  выполнения  условий  (2.1.28),  (3.1.29)  или  (2.1.28),  (3.3.16),  где 
условие  (2.1.28)  можно  заменить  более  жестким  (2.1.29).  Согласно  критерию 
Бендиксона,  выполнение  этих  условий  гарантирует  отсутствие  в  системе 
предельных  циклов,  что  обеспечивает  корректность  перехода  к  вырожденной 
системе во всей области (3.3.4). 

 
143 
Рассмотрим ситуации, когда выполняется хотя бы одно из равенств  p = 0
yj
 
(j = ,12). В этом случае свободный член (3.3.12) характеристического полинома 
(3.3.11) обращается в нуль, следовательно, точка покоя присоединенной системы 
(3.3.7)  не  является  асимптотически  устойчивой  по  первому  приближению,  тем 
самым, теорема 1 из § 2 Введения здесь неприменима. 
Если равенство  p = 0
yj
  выполнено  и  при  этом  j-е  колесо  не  блокируется  и 
не  скользит,  то  рассуждения,  аналогичные  проведенным  в  разделе  2.1.2, 
показывают,  что  на  временах  t ~ µ   нарушается  j-е  условие  из  (3.3.4), 
реализующее режим движения при потере сцепления обоих колес с дорогой. Как 
и ранее, в этом случае необходим переход к одной из асимптотических моделей 
движения  из  §§ 2.1, 2.2, 3.1, 3.2.  Выбор  модели  производится  по  результатам 
проверки условий (1.1.8), (1.1.9) и оценки величины  ∆  угла поворота переднего 
колеса. 
Рассмотрим значения  l > æ
1
x1 1
n , при которых  происходит блокировка или 
пробуксовка переднего колеса в случае  p
≠ 0
y2
.  Присоединенная  система  имеет 
вид 
ω
d 2 = − 1 px2 +K
τ
 
(3.3.17) 
2
d 2
i
Здесь многоточию отвечают слагаемые, не зависящие от  ω2 ;  px2 вычисляется в 
силу (3.3.2); при  p ≠ 0
1
y
 выражения для нормальных реакции имеют  вид (3.3.3), 
при  p = 0 p = −æ
1
y
  ( x1
x1n1sign u 1
x )  – вид 
u
b + æ
x 2
h
x2
u2 + u2
x 2
y2
n =
= −
1
,  n
1 n . 
(3.3.18) 


2
1

u

1 + - æ cos δ sign u
+ æ
x 2
h
x1
1
x
x2


u2 + u2 
x 2
y2


Точка  покоя 
0
ω = ω
2
2   уравнения  (3.3.17)  находится  из  (3.3.6)  при  j = 2   с 
точностью  до  обозначений  u
=
u
= u
x2
ux2 , 
y2
y2   и  является  единственной. 
Результатом линеаризации (3.3.17) вблизи точки покоя будет 

 
144 
d ω


2
1 px2
= −
∆ω2. 
(3.3.19) 
2

ω

2
i
2
Здесь,  как  и  ранее,  ∆ω2   –  малое  отклонение  от  точки  покоя;  выражения  для 
p

ω
∂ ,  n

ω

 определены в (3.3.9), (3.3.10). 
x 2
2
1
2
С  учетом  (3.3.2),  (3.3.9),  (3.3.10),  (3.3.18)  множитель  при  ∆ω2   в  правой 
части (3.3.19) примет вид 
2
1 p

æ
py2
b − p h
x 2
x2
x2

= −

(3.3.20) 
i2
ω

+

2
æ2
2
2
bn
p h
y2
u
u
2
x2
x 2
y2
При  выполнении  (2.1.28)  правая  часть  (3.3.20)  будет  отрицательна,  точка 
покоя (3.3.17) асимптотически устойчива по первому приближению, и область ее 
влияния  будет  совпадать  с  областью  допустимых  значений  переменной  ω2 , 
определяемой вторым из условий (3.3.4) с учетом (3.3.2). 
Рассмотрим  случай  l > æ
2
x2n 2   блокировки  или  пробуксовки  заднего 
колеса при  p ≠ 0
1
y
. Присоединенная система имеет вид 
dω1 = − 1 p 1x +K 
(3.3.21) 

2
2
i
Здесь  многоточию  отвечают  слагаемые,  не  зависящие  от  ω1;  p 1
x   вычисляется  в 
силу (3.3.2); при  p
≠ 0
y2
 выражения для нормальных реакций имеют вид (3.3.3), 
при  p
= 0 p = −æ
y2
  ( x2
x2n 2sign u x 2 ) – вид 
b + æ h sign u
n
x2
x 2
=
1




u
u

1 + - æ
1
x
h cos δ + æ
1
y
h sin δ + æ
sign u
h
x1
y1
x2
x 2


u2 + u2
u2 + u2


1
x
1
y
1
x
1
y


n = −
2
1
1
n . 
(3.3.22) 
Точка  покоя 
0
ω = ω
1
1   уравнения  (3.3.21)  находится  из  (3.3.6)  при  j = 1  с 
точностью  до  обозначений  u =
u
=
1
x
u 1
x , 
1
y
u 1
y   и  является  единственной. 
Результатом линеаризации (3.3.21) вблизи точки покоя служит 

 
145 
d ω


1
1 p 1
x
= −
∆ω1. 
(3.3.23) 
2

ω

2
i
1
Здесь,  как  и  ранее,  ∆ω1  –  малое  отклонение  от  точки  покоя;  выражения  для 
p

ω
∂ ,  n

ω
∂  определены в (3.3.9), (3.3.10). 
1
x
1
1
1
С  учетом  (3.3.2),  (3.3.9),  (3.3.10),  (3.3.22)  множитель  при  ∆ω1  в  правой 
части (3.3.23) примет вид 

1 p
æ


n
p h
1
æ n h sin
1
x
x1
2 −
2
y1 1
δ 

= −
x2



p 1
y
p 1
y −
 . (3.3.24) 
2
i ∂ω
2
2
i æ
1
bn
p h
1 p h n
y1
2 −
2
x 2
u 1
x +
2
u




x 2
2

1
y 


Правая  часть  (3.3.24)  отрицательна  при  выполнении  условия  (3.3.14)  или 
одного  из  более  жестких  условий  (3.1.29),  (3.3.16).  В  этом  случае  точка  покоя 
(3.3.21)  асимптотически  устойчива  по  первому  приближению,  и  область  ее 
влияния  будет  совпадать  областью  допустимых  значений  переменной  ω1, 
определяемой первым из условий (3.3.4) с учетом (3.3.2). 
Если выполнены неравенства 
l > æ
j
xjn j  
(j = ,12), 
(3.3.25) 
то  движение  автомобиля  описывается  системой,  полученной  из  исходной 
системы  (3.3.2)  игнорированием  четвертого  и  пятого  уравнений.  В  этом  случае 
система  не  содержит  уравнений,  описывающих  "быстрые"  движения,  и 
использованная  в  работе  методика  не  позволяет  получить  асимптотическую 
модель движения автомобиля. 
Таким  образом,  за  исключением  ситуации  (3.3.25),  вырожденная  система 
(3.3.5)  может  рассматриваться  в  качестве  приближенной  модели  движения 
автомобиля  в  случае  потери  сцепления  с  дорогой  колес  обеих  осей.  Согласно 
теореме  1  из  § 2  Введения,  выполнение  условий  (2.1.28),  (3.1.29)  или  (2.1.28), 
(3.3.16),  где  условие  (2.1.28)  можно  заменить  более  жестким  условием  (2.1.29), 
гарантирует,  что  рассогласование  между  решениями  исходной  (3.3.2)  и 
вырожденной систем является величиной  O(ε + µ) ~ 20%  на конечном интервале 
времени  t ~ 1.  Для  "медленных"  переменных  v
v
ω ω
x , 
y , 
z , 
∆ ,  ψ ,  δ ,  x ,  y   эта 
оценка  справедлива  на  всем  указанном  интервале  времени,  для  "быстрых" 

 
146 
переменных  ω
ω
1 , 
2   –  вне  пограничного  слоя  малой  ширины.  Полученные 
результаты  будут  справедливы,  если  в  качестве  исходной  рассматривать 
безразмерный аналог системы (1.1.3), (1.1.5)–(1.1.7). 
§ 3.4. Численное исследование модели переменной структуры 
Для анализа полученных  в §§ 3.1–3.3 асимптотических моделей движения 
автомобиля удобно записать их уравнения в размерных переменных. 
Размерным  аналогом  модели  (3.1.9), (3.1.10)  движения  автомобиля  при 
потере сцепления с дорогой переднего колеса будет 
x
dV
M
= P
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
x cos
P 1
y sin
x
P 2
y
MV
z
x
F , 
dT
dΩz
I
=
∆ +
∆ −
+
z
(P 1xsin P 1ycos )A yP2B Mz, 
dT
dΩ
d




d
I
= M∆ − I
z
= Ω
= Ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
dT
dT
dT
dT
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ , 
dT
dT
(MgB − P H
x 2
)
N =
1




U
U

A + B + - æ
x1
cos ∆ + æ
y1
sin ∆ H
x1
y1


U2 + U2
U2 + U2


1
x
1
yx
x1
1
yx


N =

2
Mg
1
N , 
(3.4.1) 
U
1
L
U 1
x
1
y
L
P
=
≡ −æ
P
= −æ
=
1
x
x1
1
N

1
y
y1
1
N
,  P
2
x 2

2
2
R
U
+
2
2
+
R
1
x
U 1
y
U 1
x
U 1
y

1
MB2 −  MAB

Py2 = 1+










1 (P sin
1
x
∆ + P cos
1
y
∆)+ 

Iz   Iz

MB

+
x
MV Ωz − y
F +
M z  , 
Iz

V = Ω B
=
∆ + Ω
+
∆ − Ω
y
z
,  U
V cos
1
x
x
z (A
B)sin
R
1

U 1
y = −V sin
x
∆ + Ωz(A + B)cos∆ , 

 
147 
V

ε

ε
x
Ω =
2R
= −
2R
= −
2
,  Ux2
x
P 2 ,  Uy2
y
P 2 . 
R
æ
æ
x2 N2
y2 N 2
В  случае  блокировки  или  пробуксовки  переднего  колеса  равенство  P = L R
1
x
1
 
опускается.  Необходимыми  и  достаточными  условиями  реализации  данного 
режима движения служат 
2
2
U2




1
x + U2
Ε
P
Py2
x2
+ 
 <
1 =
1
y
≥ ε


1





(3.4.2) 
R
æ N
 æ

1
N
 x2 2 
y2
2


Приближенная  модель  (3.2.9), (3.2.10)  движения  автомобиля  при  потере 
сцепления с дорогой заднего колеса в размерных переменных запишется в виде 
x
dV
M
= P
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
x cos
P 1
y sin
x
P 2
y
MV
z
x
F , 
dT
dΩz
I
=
∆ +
∆ −
+
z
(P 1xsin P 1ycos )A yP2B Mz, 
dT
dΩ
d




d
I
= M∆ − I
z
= Ω
= Ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
dT
dT
dT
dT
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ , 
dT
dT
=

1
N
Mg
N2, 
(3.4.3) 

2
2
MA
U
MA
N
A
B 1
cos
æ
2 =
(




 + ) +
2 ∆ +
x2
x2
1 +
2
H cos ∆ +




 
2
2







Iz

I
Ux2 + Uy2 
z

−1
Uy2

MAB 


+ æ
1
y2

H sin ∆ cos ∆
 
2
2




 (

 MgA + P Hcos
1
x
∆)×
Ux2 + U

Iz 
y2
 


2
MA
 
2
MA

× 1+
2
cos ∆ + MΩ2zA − x
F +
P cos ∆
2
1
x
H sin ∆ +



 


 

Iz
 
Iz


MA

+
MV
 Fy +
M
cos ∆ −
x
z
(Ωz + Ω∆)






Hsin ∆ , 

Iz

cos ∆



L
L
U
Uy2
P
1
=
2
x 2
P
=
≡ −æ
P
= −æ
1
x

x 2
x2N 2

y2
y2 N 2

R
2
2
R
U
+
2
2
+
x 2
Uy2
Ux2 Uy2

 
148 
1


MA2
 

2
2
MA2
P
= 1+
cos ∆
 P − MΩ A + F −
P cos ∆ sin ∆ −
1
y
x 2
z
x
1
x


I




I



z
 
z


 


MAB 
MA

MV

− P 1−
+ F +
M
cos
x
∆ +
Ω + Ω
y2
y
z
( z
∆ )




,




I
I
cos




z
z



V = V tg∆ − Ω A
=
− Ω
=
∆ − Ω
+
y
x
z
,  U
V
R
U
V tg
A
B
x 2
x
2

y2
x
z (
), 
Ω = V
εΩ
εΩ
x
1R
= −
1R
= −
1
,  U 1
x
P 1
x , 
U 1
y
P 1
y . 
R cos ∆
æ
æ
x1
1
N
y1
1
N
В  случае  блокировки  или  пробуксовки  заднего  колеса  равенство  P = L R
x 2
2
 
опускается.  Необходимыми  и  достаточными  условиями  реализации  данного 
режима движения служат 
2
2

2
2
P

 P

Ux2 + U
1
y
1
x
+ 
 <
y2
1


,  Ε2 =
≥ ε. 
(3.4.4) 
æ


N
 æ N 


1
x
1 
1
y
1


R
2
Приближенная  модель  (3.3.5), (3.3.6)  движения  автомобиля  при  потере 
сцепления с дорогой обоих колес в размерных переменных примет вид 
x
dV
M
= P
∆ −
∆ +
+
Ω +
1
x cos
P 1
y sin
x
P 2
y
MV
z
x
F , 
dT
y
dV
M
= P
∆ +
∆ +

Ω +
1
x sin
P 1
y cos
y
P 2
x
MV
z
y
F , 
dT
dΩz
I
=
∆ +
∆ −
+
z
(P 1xsin P 1ycos )A yP2B Mz, 
dT
dΩ
d




d
I
= M∆ − I
z
= Ω
= Ω
1
z
1
z

z , 
∆ , 
dT
dT
dT
dT
dX =
dY
V cos
= V sin
x
Ψ +
x
Ψ − V sin
y
Ψ , 
V cos
y
Ψ , 
dT
dT
H
MgB −
(
∆ +
1
L cos
L2 )
R
=
=
1
N
æ
∆ ,  N

2
Mg
1
N , 
(3.4.5) 
y1U 1
y H sin
A + B +
2
2
U
+
1
x
U 1
y
L j
Uxj
Uyj
P =
≡ −æ
P = −æ
xj
xjN j

yj
yjN j

2
2
R
U +
2
2
+
xj
Uyj
Uxj Uyj

 
149 
U
= V cos∆ +
+ Ω
∆ − Ω
1
x
x
(V
A
y
z
)sin
R
1

U 1
y = −V sin
x
∆ + (Vy + Ω A
z
)cos∆, 
U
= V − Ω R
U
= V − Ω
x 2
x
2

B
y2
y
z

В  случаях  блокировки  или  пробуксовки  колес  равенства  P = L R
xj
j
  (j = ,
1 2) 
опускаются.  Необходимыми  и  достаточными  условиями  реализации  данного 
режима движения служат 
U2
U2x2 + 2
1
x + U2
U
Ε
Ε2 =
y2 ≥
1 =
1
y
≥ ε


ε. 
(3.4.6) 
R

1
R
2
Приведенные  в  этом  разделе  приближенные  математические  модели 
(3.4.1),  (3.4.3),  (3.4.5)  движения  автомобиля  при  различных  вариантах  потери 
сцепления колес с дорогой совместно с моделями (2.2.1), (2.2.2) и (2.2.3), (2.2.4) 
движения  автомобиля  без  потери  сцепления  колес  с  дорогой  образуют 
динамическую модель переменной структуры.  Выражения (3.4.2), (3.4.4), (3.4.6) 
и  (1.1.10)  служат,  соответственно,  условиями  перехода  от  одной  приближенной 
модели к другой. 
Численный  анализ  построенной  динамической  системы  проводился  при 
типовых  значениях  параметров  легкового  автомобиля  из  § 1.2:  M = 1000 кг , 
ρ = 1 м
= =
ρ =
æ = æ =
z
,  A
B
5
,
1 м ,  H = 1 м ,  m = 10 кг , 
15
,
0
м ,  R = 3
,
0
м , 
8
,
0
xj
yj

ε = µ = 1
,
0 .  Как  и  ранее,  предполагалось,  что  на  систему  не  действуют  внешние 
возмущения.  За  исключением  ситуаций,  оговоренных  непосредственно  в  ходе 
решения,  численное  интегрирование  прерывалось  по  истечении  заранее 
заданного  временного  интервала  или  при  достижении  автомобилем  близкой  к 
нулевой путевой скорости в задачах о торможении. 
В  случае,  когда  теряет  сцепление  переднее  колесо,  было  принято 
∆ = const = 0,  Ψ( )
0 = 0 , 
Ω ( )
0 = 1
,
0
1/ с

z

L
0
2

Окружная 
скорость 
периферийных  точек  переднего  колеса  в  случае  его  пробуксовки  считалась 
равной 20 м/с. 
На рис. 3.1, 3.2 изображены последовательные положения продольной оси 
автомобиля  для  случаев  потери  сцепления  переднего  колеса  при  блокировке 


 
150 
(рис. 3.1)  и  пробуксовке  (рис. 3.2),  полученные  при 
V ( )
0 = 20 м / с
x
  и 
V ( )
0 = 1 м / с
x
 соответственно. 
На  рис. 3.3  представлен  график  изменения  Ψ   в  зависимости  от  T   для 
случая пробуксовки переднего колеса. 
 
Рис. 3.1. Последовательные положения продольной оси автомобиля при торможении с 
блокировкой передних колес и фиксированным (нулевым) углом Δ поворота передних колес. 
Ωz(0) = 0,1 1/c, Vx(0) = 20 м/с 



 
151 
 
 
Рис. 3.2. Последовательные положения продольной оси переднеприводного автомобиля при 
разгоне с пробуксовкой передних колес и фиксированным (нулевым) углом Δ поворота 
передних колес. Ωz(0) = 0,1 1/c, Vx(0) = 1 м/с 
 
Рис. 3.3. Зависимость угла курса переднеприводного автомобиля от времени при разгоне с 
пробуксовкой передних колес и фиксированным (нулевым) углом Δ поворота передних колес. 
Ωz(0) = 0,1 1/c, Vx(0) = 1 м/с 


 
152 
Анализ  графиков  показывает  благоприятное  с  точки  зрения  безопасности 
движение  автомобиля.  Причина  быстрой  стабилизации  угла  Ψ   может  быть 
объяснена  при  помощи  приближенной  модели  (3.4.1).  В  силу  этой  модели 
автомобиль  вращается  вокруг  непроскальзывающей  точки  контакта  заднего 
колеса  с  дорогой.  Подставив  выражение  для  y
P 2   во  второе  уравнение  системы 
(3.4.1), получим: 
(

2 d
I +
=
∆ +

+

Ω +
+
z
MB )
z
(P 1xsin P 1ycos )(A B)
x
MV
zB
y
F B
Mz . 
dT
Знак  слагаемого  − MV Ω B
x
z
,  определяемого  моментом  инерционных  сил 
относительно  точки  контакта  заднего  колеса,  противоположен  знаку  Ωz , 
следовательно, указанный момент имеет стабилизирующий характер. 
 
Рис. 3.4. Последовательные положения продольной оси автомобиля при торможении с 
блокировкой задних колес, фиксированным (нулевым) углом Δ поворота передних колес и 
различными начальными угловыми скоростями Ωz корпуса. Vx(0) = 10 м/с 


 
153 
 
Рис. 3.5. Зависимость боковой координаты Y0 центра масс и угла курса Ψ0 автомобиля в 
момент остановки от начальной угловой скорости корпуса при торможении с блокировкой 
задних колес и фиксированным (нулевым) углом Δ поворота передних колес. Vx(0) = 10 м/с 
На  рис. 3.4  показаны  последовательные  положения  продольной  оси 
автомобиля  для  случая  блокировки  заднего  колеса  при  торможении.  Было 
принято  V ( )
0 = 10 м / с

x
,  L
0
1

На  рис. 3.5  приведены  графики  отвечающие  зависимостям  от  Ω ( )
0
z
 
бокового отклонения 
Ψ
0
Y  и угла поворота корпуса 
0  в момент  T =
0
T  остановки 
автомобиля.  Видно,  что  в  этом  случае  потери  сцепления  колеса  с  дорогой 
возникает  занос  −  потеря  "технической  устойчивости"  прямолинейного 
движения.  Графики  позволяют  установить  связь  между  величинами  δ = Ω ( )
0
0
z

ε = Ψ
0
0 ,
0
Y   и  0
T ,  фигурирующими  в  определении  заноса  из  Введения.  Резкое 
возрастание  угла  Ψ   объясняется  при  помощи  приближенной  модели  (3.4.3). 
Подставив выражение для  1
y
P  во второе уравнение этой модели, получим 
(Iz +MA2cos2 )dΩ

z = P Asin
1
x
∆ − Py (B + Acos2
2
∆)+ MVxΩ A
z
+  
dT


 
154 
+ (
2
− Ω
+
∆ −

∆ +

x
P

+
2
M z A
x
F )sin
y
F cos )A cos
x
MV
A
M z . 
Правая часть уравнения содержит слагаемое  MV Ω A
x
z
, определяемое моментом 
инерционных сил относительно точки контакта непроскальзывающего переднего 
колеса.  Поскольку  знак  указанного  момента  совпадает  со  знаком  Ωz , он имеет 
дестабилизирующий характер. 
 
Рис. 3.6. Зависимость угловой скорости от продольной скорости автомобиля при торможении с 
блокировкой задних колес и с фиксированным (нулевым) углом Δ поворота передних колес. 
Ωz(0) = 0,1 1/c, Vx(0) = 10 м/с 
Оценка  погрешности  построенной  с  применением  асимптотических  методов 
динамической  модели  переменной  структуры  имеет  асимптотический  характер 
и,  строго  говоря,  справедлива  при  ε → 0,  µ → 0 .  Для  числовой  оценки 
погрешности  асимптотической  модели  при  фиксированных  значениях  малых 
параметров  на  рис. 3.6  приведены  графики  изменения  величины  Ωz   в 
зависимости  от  x
V   для  случая  блокировки  заднего  колеса  при  торможении. 
Сплошная  линия  отвечает  исходной  системе  (1.1.5)–(1.1.7), (1.1.12),  пунктирная 
–  асимптотической  модели  (3.4.3).  Значения  параметров  систем  и  начальные 
условия  взяты  одинаковыми.  Сравнение  графиков  указывает  на  совпадение 


 
155 
числовой  оценки  погрешности  с  ожидаемой  согласно  § 2  Введения  величиной 
O(ε + µ). 
На  рис. 3.7  приведен  график,  аналогичный  графикам  на  рис. 3.1,  3.2,  3.4, 
для случая пробуксовки заднего колеса при разгоне. Было принято  V ( )
0 = 1 м / с
x

Ω ( )
0 = 1
,
0
1/ с

z
,  L
0
1
,  окружная  скорость  пробуксовки  периферийных  точек 
колеса  полагалась  равной  15 м/с.  Численное  интегрирование  прекращалось  в 
момент восстановления сцепления заднего колеса с дорогой. На рис. 3.8 показан 
график  изменения  угловой  скорости  корпуса  Ωz   от  времени.  Как  и  в  случае 
блокировки,  момент  инерционных  сил  относительно  непроскальзывающего 
переднего  колеса  имеет  дестабилизирующий  характер,  что  приводит  к 
возрастанию  Ω (T)
z
  при  T < 1
T .  Момент  времени  T = 1
T   соответствует  потере 
сцепления с дорогой обоих колес автомобиля, т.е. изменению структуры модели 
его движения. 
 
Рис. 3.7. Последовательные положения продольной оси заднеприводного автомобиля при 
разгоне с пробуксовкой задних колес и фиксированным (нулевым) углом Δ поворота передних 
колес. Ωz(0) = 0,1 1/c, Vx(0) = 1 м/с 


 
156 
 
Рис. 3.8. Зависимость угловой скорости корпуса заднеприводного автомобиля от времени при 
разгоне с пробуксовкой задних колес и фиксированным (нулевым) углом Δ поворота передних 
колес. Ωz(0) = 0,1 1/c, Vx(0) = 1 м/с 
В  соответствии  с  моделью  (3.4.5),  автомобиль  вращается  вокруг  центра  масс, 
относительно которого силы кулонова трения на обоих колесах создают момент 
противоположного  к  Ω

z   знака.  Поэтому  при  T >
1
T   скорость  возрастания 
z  
уменьшается до нуля, после чего  Ωz  начинает убывать.  
Сопоставление полученных результатов показывает, что потеря сцепления 
с  дорогой  заднего  колеса  опаснее  с  точки  зрения  безопасности  движения  по 
сравнению с потерей сцепления переднего колеса. 



 
157 
 
Рис. 3.9. Последовательные положения продольной оси полноприводного автомобиля при 
разгоне с пробуксовкой колес обеих осей и фиксированным (нулевым) углом Δ поворота 
передних колес. Ωz(0) = 0,1 1/c, Vx(0) = 1 м/с 
 
Рис. 3.10. Зависимость угла курса полноприводного автомобиля от времени при разгоне с 
пробуксовкой колес обеих осей и фиксированным (нулевым) углом Δ поворота передних 
колес. Ωz(0) = 0,1 1/c, Vx(0) = 1 м/с 

 
158 
На  рис. 3.9  приведен  график,  аналогичный  графикам  на  рис. 2.5,  3.1,  3.2, 
3.4,  для  случая  движения  автомобиля  с  пробуксовкой  колес  обеих  осей.  Было 
принято  V (0) = 1 м / с

=
x

( )
0
1
,
0
1/ с
z
,  окружная  скорость  пробуксовки 
периферийных  точек  колес  считалась  равной  20 м/с.  На  рис. 3.10  представлен 
график  Ψ(T)  для  этого  случая.  Численное  интегрирование  прекращалось  в 
момент,  когда  одно  из  колес  обретало  сцепление  с  дорогой.  Видно,  что  в 
процессе движения  угол  Ψ  достаточно быстро стабилизируется. Поэтому занос 
автомобиля  в  случае  потери  сцепления  обоих  колес  менее  опасен,  чем  занос  в 
случае потери сцепления заднего колеса. 
Рассмотренное  качественное  поведение  динамической  системы  под 
действием  приложенных  к  колесам  разгонных  и  тормозных  моментов  хорошо 
согласуется  с  традиционными  способами  прекращения  начавшегося  заноса 
автомобиля [43]: при заносе с сильным боковым проскальзыванием колес одной 
из  осей  следует  уменьшить  величину  управляющего  момента  и  восстановить 
сцепление для колес скользящей оси, либо добиться потери сцепления для колес 
противоположной  оси,  увеличив  величину  приложенного  к  ним  момента. 
Например,  в  случае  заноса  при  разгоне  с  потерей  сцепления  с  дорогой  колес 
задней  оси  при  движении  на  заднеприводном  автомобиле  рекомендуется 
отпустить  педаль  газа  или  выключить  сцепление,  на  переднеприводном 
автомобиле педаль газа следует нажать или применить торможение двигателем. 
Оценим  влияние  на  занос  управления  рулем.  На  рис. 3.11  сопоставляются 
график  для  Ω (0) = ,
0 03 1/ с
z
,  показанный  на  рис. 3.4,  с  аналогичным  графиком, 
построенным для тех же  начальных  условий и отличном от нуля значении  угла 
поворота передних колес  ∆ = 0
− 05
,
. Знак величины  ∆  определен в соответствии 
с  традиционными  рекомендациями  по  вождению  [43]:  поворачивать  руль  в 
сторону  заноса  задней  оси  автомобиля.  Видно,  что  такое  управление  дает 
существенное  уменьшение  значений  Y =
Ψ = Ψ
0
Y , 
0   в  момент  остановки 
автомобиля.  Если  при  данном  режиме  движения  поворачивать  руль  в 
противоположную сторону, то значения 
Ψ
0
Y ,  0  увеличатся. 


 
159 
 
Рис. 3.11. Последовательные положения продольной оси автомобиля при торможении с 
блокировкой задних колес и фиксированном (нулевом) и повернутом в сторону заноса задней 
оси угле Δ поворота передних колес. Ωz(0) = 0,03 1/c, Vx(0) = 10 м/с 
Расчеты показали, что при значениях параметров четырехколесной модели 
движения  автомобиля  (см.  § 1.2),  согласованных  с  используемыми  в  данном 
разделе  параметрами  "велосипедной"  модели,  качественное  поведение  решений 
указанных  моделей  совпадает.  Проведенный  анализ  асимптотических  моделей 
позволяет  сформировать  качественные  оценки  влияния  тех  или  иных  факторов 
управления  автомобилем  на  его  занос.  Разработанная  приближенная  модель 
переменной структуры может быть использована для формирования алгоритмов, 
управляющих системами активной безопасности. 
§ 3.5. Выводы к главе 3 
Исследование  "велосипедной"  модели  движения  автомобиля  при 
различных  вариантах  потери  сцепления  колес  с  дорогой  дало  возможность 
разработать  алгоритм  разделения  движений  колесных  транспортных  средств, 
движущихся  с  малыми  боковыми  наклонами,  в  случае  малых  различий  между 
характеристиками  сцепления  правых  и  левых  колес  одной  оси  с  дорогой.  При 

 
160 
помощи 
методов 
фракционного 
анализа 
построены 
приближенные 
математические  модели  движения  автомобиля  при  потере  сцепления  с  дорогой 
переднего,  заднего  или  обоих  колес;  получены  аналитические  и  численные 
оценки точности и пределов применимости моделей. 
Сформированный  алгоритм  позволил  разделить  составляющие  движения 
системы  на  группу  "медленных"  переменных,  изменяющихся  на  временах 
порядка  нескольких  секунд,  в  течение  которых  происходят  движения  центра 
масс  и  угловые  движения  автомобиля  в  ходе  заноса;  группы  "быстрых" 
переменных первой и второй очереди, описывающих, соответственно, движение 
точек  контакта  не  потерявших  сцепление  колес  с  дорогой  в  продольном  и 
боковом


  направлениях,  происходящих  на  временах  порядка 
2
1
10
−10  с.  (При 
движении  с  потерей  сцепления  обоих  колес  "быстрыми"  являются  угловые 
скорости  вращения  колес.)  Моделями  "медленных"  переменных  являются 
системы  дифференциальных  уравнений  (3.4.1),  (3.4.3),  (3.4.5)  или  их 
безразмерные  аналоги  из  §§ 3.1–3.3.  "Быстрые"  переменные  описываются 
соответствующими присоединенными системами из §§ 3.1–3.3. 
Сформирована 
приближенная 
динамическая 
модель 
переменной 
структуры,  описывающая  возможные  движения  автомобиля  в  ходе  заноса. 
Указанная  модель  образована  асимптотическими  моделями  движения 
автомобиля  при  различных  вариантах  потери  сцепления  колес  с  дорогой  и 
условиями  (3.4.2),  (3.4.4),  (3.4.6)  перехода  от  одной  модели  к  другой. 
Разработанная  модель  совместно  с  уравнениями  "быстрых"  переменных  может 
быть использована для формирования алгоритмов антизаносного управления. 
Проведен численный анализ динамической модели переменной структуры, 
позволивший  подтвердить  ее  достоверность  на  основании  тестовых  расчетов  (в 
частности,  показано,  что  потеря  сцепления  с  дорогой  задних  колес  опаснее  с 
точки  зрения  безопасности  движения  по  сравнению  с  потерей  сцепления 
передних или колес обеих осей автомобиля); рассмотрено влияние на ход заноса 
управляющих  параметров  –  разгонных,  тормозных  моментов  и  угла  поворота 
передних колес. 

 
161 
Заключение 
В  диссертационной  работе  были  разработаны  подходы,  позволяющие 
сформировать 
простые 
математические 
модели 
движения 
колесных 
транспортных  средств  при  различных  вариантах  потери  сцепления  колес  с 
дорогой. Класс исследуемых движений  автомобиля ограничивался движением  с 
малыми  боковыми  наклонами  и  малыми  различиями  характеристик  сцепления 
каждого  из  колес  одной  оси  с  дорогой.  Поэтому  в  качестве  исходной  (полной) 
модели  рассматривалась  "велосипедная"  модель  движения  автомобиля,  т.е. 
модель,  в  которой  отсутствуют  боковые  наклоны  и  каждое  из  колес  одной  оси 
заменено  одним  эквивалентными  колесом.  Модель  касательных  составляющих 
контактных  сил  в  точках  взаимодействия  колес  с  дорогой,  в  отличие  от 
неголономной  модели,  учитывала  возможность  малых  проскальзываний  колес 
относительно  дороги.  Для  случая  малых  проскальзываний  используемые 
выражения  для  контактных  сил  обобщали  классические  представления  о 
нелинейных  моделях  увода.  В  случае  потери  сцепления  колеса  с  дорогой 
моделью контактных сил служила модель кулонова трения. 
Для 
приближенного 
математического 
моделирования 
движения 
автомобиля  в  работе  использовалась  методика  фракционного  анализа, 
объединяющая  методы  теории  размерности  и  подобия  и  методы  теории 
возмущений.  Применение  указанных  методов  к  рассматриваемой  системе 
позволило  упростить  "велосипедную"  модель  движения  автомобиля  и  получить 
оценки  возможного  развития  заноса.  Построенные  модели  могут  применяться 
для  верификации  более  сложных  численных  моделей  движения  автомобиля. 
Поскольку  приближенные  модели  учитывают  малые  проскальзывания  колес,  не 
потерявших сцепление с дорогой, они, в отличие от их неголономных аналогов, 
могут  быть  рекомендованы  для  формирования  алгоритмов  антизаносного 
управления,  позволяющих  предотвратить  развитие  или  парировать  уже 
начавшийся занос. Указанное направление может служить одним из возможных 

 
162 
перспективных  направлений  исследований  в  области  математического 
моделирования заноса. 
Перечислим коротко основные результаты работы. 
1. Рассмотрена 
"велосипедная" 
модель 
движения 
автомобиля, 
учитывающая  псевдоскольжения  колес.  При  помощи  методов  фракционного 
анализа,  включающего  методы  теории  размерности  и  подобия  и  методы  теории 
возмущений,  построены  асимптотические  модели  движения  автомобиля  для 
случая  произвольных  углов  поворота  передних  управляемых  колес.  Указанные 
модели  описывают  порознь  "медленные"  движения  на  временах  порядка 
нескольких  секунд,  в  течение  которых  происходят  траекторные  движения 
автомобиля, и "быстрые" изменения скоростей точек контакта колес. 
2. Рассмотрена  неголономная  модель  движения  автомобиля,  имеющая  тот 
же  порядок  дифференциальных  уравнений,  что  и  асимптотическая  модель 
"медленных"  составляющих  движения  для  случая  псевдоскольжения  колес. 
Проведено  аналитическое  и  численное  сравнение  неголономной  модели  и 
моделей, полученных асимптотическими методами. 
3. При  помощи  методов  фракционного  анализа  построены  приближенные 
математические  модели  движения  автомобиля  при  различных  вариантах  потери 
сцепления колес с дорогой. Получены оценки точности и  условия корректности 
моделей.  На  основании  указанных  моделей  построена  динамическая  модель 
переменной  структуры,  описывающая  движение  автомобиля  в  различных 
дорожных ситуациях. 
4. Проведен  численный  анализ  динамической  модели  переменной 
структуры,  позволивший  подтвердить  ее  достоверность  на  основании  тестовых 
расчетов;  рассмотрено  влияние  на  ход  заноса  управляющих  параметров  – 
разгонных, тормозных моментов и углов поворота передних колес. 

 
163 
Литература 
[1]. Абгарян К.А.  Введение  в  теорию  устойчивости  движения  на  конечном 
интервале времени. М.: "Наука", 1992. − 160 с. 
[2]. Андронов А.А.,  Витт А.А.,  Хайкин С.Э.  Теория  колебаний.  М.:  Физматгиз, 
1959. – 916 с. 
[3]. Бурдаков С.Ф.,  Мирошник И.В.,  Стельмаков Р.Э.  Системы  управления 
движением колесных роботов. Спб.: Наука, 2001. – 227 с. 
[4]. Бухгольц Н.Н.  Основной  курс  теоретической  механики.  Ч.  1.  Кинематика, 
статика, динамика материальной точки. М.: Наука, 1965. – 467 с. 
[5]. Васильева А.Б. 
Асимптотические  методы  в  теории  обыкновенных 
дифференциальных  уравнений  с  малыми  параметрами  при  старших 
производных. // Ж. выч. матем. и мат. физ. 1963. Т. 3, № 4. С. 611–642. 
[6]. Васильева А.Б, 
Бутузов В.Ф. 
Асимптотические 
методы 
в 
теории 
сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. – 208 с. 
[7]. Васкес И. 
Исследование 
колебательных 
процессов 
при 
работе 
антиблокировочной  системы  автомобиля.  //  Диссертация  на  соискание  ученой 
степени кандидата физико-математических наук. М.: 2006. – 123 с. 
[8]. Вильке В.Г. О качении вязкоупругого колеса. // Изв. РАН. МТТ. 1993. №6. С. 
11-15. 
[9]. Влахова А.В. К оценке пределов применимости модели Н. Е. Жуковского для 
планирующего полёта. // Фундамент. и прикл. матем., 2005. Т. 11, вып. 7. С. 21-
33. 
[10]. Влахова  А.В.  Математические  модели  движения  железнодорожного  вагона 
конечной жесткости. // Изв. РАН, МТТ, 2000, №4. С. 30-38. 
[11]. Влахова А.В.  Разделение  движений  механических  систем  без  явного 
разбиения  переменных  на  «быстрые»  и  «медленные».  //  Диссертация  на 
соискание  ученой  степени  кандидата  физико-математических  наук.  М.:  2000.  – 
122 с. 

 
164 
[12]. Влахова А.В., 
Новожилов И.В.  О  заносе  колесного  экипажа  при 
«блокировке»  и  «пробуксовке»  одного  из  колес.  //  Фундаментальная  и 
прикладная математика, 2005. Т.11, вып.7. С. 11-20. 
[13]. Влахова А.В., 
Новожилов И.В., 
Смирнов И.А. 
Математическое 
моделирование заноса автомобиля.// Вестник Московского университета. Сер. 1, 
Математика. Механика, №6, 2007. С. 44–50. 
[14]. Влахова А.В.,  Смирнов И.А.  Письмо  в  редакцию.  //  Вестник  Московского 
университета. Сер. 1, Математика. Механика, №???, 20??. С. ???. 
[15]. Влахова А.В.,  Смирнов И.А.  Занос  колесного  экипажа  на  вираже.  //  Труды 
XII международного научно-технического семинара "Современные технологии в 
задачах  управления,  автоматики  и  обработки  информации".  Сентябрь  2003  г, 
Алушта. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. С.330-331. 
[16]. Влахова А.В.,  Смирнов И.А.  Методы  приближенного  математического 
моделирования  движения  автомобиля.  //  Материалы  49-ой  международной 
научно-технической  конференции  ААИ  "Приоритеты  развития  отечественного 
автотракторостроения  и  подготовки  инженерных  и  научных  кадров".  Секция  4. 
"Математические  методы  моделирования  и  оптимизации  автотранспортных 
средств". Часть 1. М.: МАМИ, 2005. С.37-40. 
[17]. Влахова А.В.,  Смирнов И.А.  Описание  движения  автомобиля  при  помощи 
модели  переменной  структуры.  //  Труды  XIV  международного    научно-
технического  семинара  "Современные  технологии  в  задачах  управления, 
автоматики  и  обработки  информации".  Сентябрь  2005  г.,  Алушта.  -  Самара: 
Самарский государственный аэрокосмический университет, 2005. С. 90. 
[18]. Драгунов С.С.,  Катанаев Н.Т.,  Размыслова Ю.Е.  Идентификация  внешней  и 
частичных скоростных характеристик двигателя. // Матер. 49-й международной. 
научно-технической  конференции  ААИ  "Приоритеты  развития  отечественного 
автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров". Секц. 4. Ч. 
1. М.: МАМИ, 2005. С. 39–40. 
[19]. Журавлев В.Ф.  О  модели  сухого  трения  в  задаче  качения  твердых  тел.  // 
Прикладная математика и механика. Т. 62. Вып. 5, 1998. С. 762–767. 

 
165 
[20]. Карабцев В.С.  Улучшение  топливной  экономичности  и  тягово-скоростных 
свойств 
магистрального 
автопоезда 
совершенствованием 
методов 
и 
комплексного  критерия  оценки  эксплуатационной  эффективности  на  стадии 
проектирования  и  доводки.  //  Автореферат  диссертации  на  соискание  ученой 
степени кандидата технических наук. Набережные Челны, 2009. – 18 с. 
[21]. Келдыш М.В. Избранные труды. Механика. М.: Наука, 1985. – 567 с. 
[22]. Кондратьев В.Ф. О динамике автомобиля на поворотах. // Сборник научных 
трудов. Серия "Естественнонаучная" №1 (7) СевКавГТУ. Ставрополь, 2004. 
[23]. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет 
в теории волчка. // Проблемы гироскопии. 1967. С. 60–77. 
[24]. Левин М.А.,  Фуфаев Н.А.  Теория  качения  деформируемого  колеса.  М.: 
Наука, 1989. – 269 с. 
[25]. Магомедов М.Х. 
Антиблокировочные 
системы 
робастно-адаптивной 
стабилизации  движения  колесно-транспортных  средств.  //  Диссертация  на 
соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М.: 2003. – 299 
с. 
[26]. Маркеев А.П.  Динамика  тела,  соприкасающегося  с  твердой  поверхностью. 
М.: Наука, 1992. – 336 с. 
[27]. Мартыненко Ю.Г. 
Управление 
движением 
колесных 
роботов. 
// 
Фундаментальная и прикладная математика. Т. 11. №8, 2005. С. 29–80. 
[28]. Неймарк Ю.И.,  Фуфаев Н.А.  Динамика  неголономных  систем.  М.:  Наука, 
1967. – 520 с. 
[29]. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995. – 224 с. 
[30]. Новожилов И.В.,  Кручинин П.А.,  Лебедев А.В.,  Влахова А.В.,  Боуш Р.Л. 
Модель  движения  автомобиля  как  основа  математического  обеспечения 
тренажерного  комплекса  водителя.  //  Мехатроника,  автоматизация,  управление, 
№6, 2007. С. 31–36. 
[31]. Новожилов И.В.,  Кручинин П.А.,  Магомедов М.Х.  Контактные  силы 
взаимодействия  колеса  с  опорной  поверхностью.  //  Сб.  научно-методических 
статей. М.: Изд-во МГУ, 2000. Вып. 23. С. 86-95. 

 
166 
[32]. Новожилов И.В.,  Павлов И.С.  Приближенная  математическая  модель 
колесного экипажа. // Изв. РАН. МТТ. 1997. №2. С. 196–204. 
[33]. Охоцимский Д.Е.,  Мартыненко Ю.Г.  Новые  задачи  динамики  и  управления 
движением мобильных колесных роботов. // Успехи механики. Т. 2, №1, 2003. С. 
3–47. 
[34]. Павлов И.С.  Математическое  моделирование  пространственного  движения 
автомобиля.  //  Диссертация  на  соискание  ученой  степени  кандидата  физико-
математических наук. М.: 1998. – 188 с. 
[35]. Рокар И.  Неустойчивость  в  механике.  Автомобили.  Самолеты.  Висячие 
мосты. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. – 288 с. 
[36]. Смирнов Г.А.  Теория  движения  колесных  машин.  М.,  Машиностроение, 
1990. – 352 с. 
[37]. Смирнов И.А. 
Методы  математического  моделирования  движения 
автомобиля.  //  Труды  XV  международного    научно-технического  семинара 
"Современные  технологии  в  задачах  управления,  автоматики  и  обработки 
информации". Сентябрь 2006 г., Алушта. - М 2006. С.165. 
[38]. Смирнов И.А.  О  построении  асимптотических  моделей  двухколесного 
экипажа  различного  уровня  точности.  //  XXVI  Конференция  молодых  ученых 
механико-математического  факультета  МГУ  им.  М.В.Ломоносова.  Тезисы 
докладов. М, 2004. С.113. 
[39]. Тихонов А.Н.  Системы  дифференциальных  уравнений,  содержащие  малые 
параметры при производных.// Матем. сб. 31 (73). 1952. №3. С. 575-586. 
 [40]. Ткачев С.Б.  Реализация  движения  колесного  робота  по  заданной 
траектории // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. № 2, 2008. 
С. 33-55. 
[41]. Ткачев С.Б.  Стабилизация  неминимально  фазовых  аффинных  систем 
методом  виртуальных  выходов.  //  Диссертация  на  соискание  ученой  степени 
доктора физико-математических наук. М.: 2010. – 256 с. 
[42]. Динамика  системы  "дорога-шина-автомобиль-водитель".  Под  ред.  А.А. 
Хачатурова. М.: Машиностроение, 1976. – 536 с. 

 
167 
[43]. Чудаков Е.А.  Избранные  труды.  Т.  1.  Теория  автомобиля.  М.:  Изд-во  АН 
СССР, 1961. – 464 с. 
[44]. Эллис Д.Р. Управляемость автомобиля. М.: Машиностроение, 1975. – 216 с. 
[45]. Abdulrahim M.  On  the  dynamics  of  automobile  drifting.  //  2006  SAE  World 
Congress, SAE-2006-01-1019, Detroit, MI, April 3-6, 2006. 
[46]. Andreasson J.,  Möller A.,  Otter M.  Modeling  of  a  racing  car  with  Modelicas 
MultiBody  library.  //  In  Peter  Fritzson,  editor,  Proceedings  of  the  Modelica'2000 
Workshop. The Modelica Association and Lund University, Oct., 2000. 
[47]. Armstrong-Helouvry B. Control of machines with friction. MA.: Kluwer, 1991. 
[48]. Boyer F.,  Lamiraux F.  Trajectory  Deformation  applied  to  Kinodynamic  Motion 
Planning for a Realistic Car Model. // ICRA, 2006. – pp. 487-492. 
[49]. Bünte T.,  Sahin A.,  Bajcinca N.  Inversion  of  vehicle  steering  dynamics  with 
Modelica/Dymola.  //  Proc.  of  4th  International  Modelica  Conference,  Hamburg, 
March, 2005. – pp. 319–328. 
[50]. Cossalter V.,  Doria A.,  Lot R.  Steady  Turning  of  Two-Wheeled  Vehicles.  // 
Vehicle System Dynamics. V 31, 1999. – pp. 157-181. 
[51]. DePoorter M., Brennan S., Alleyne A. Driver Assisted Control Strategies: Theory 
and Experiment. // ASME IMECE, Anaheim, CA, DSC-Vol.64, 1998. – pp. 721-725. 
[52]. Dixon J.C.  Tires,  Suspension  and  Handling.  Society  of  Automotive  Engineers, 
Inc., Warrendale, PA, 1996. 
[53]. Fancher P., Segel L., MacAdam C., Pacejka H. Tire Traction Grading Procedures 
as  Derived  from  the  Maneuvering  Characteristics  of  a  Tire-Vehicle  System.  Ann 
Arbor, HSRI, Volume I, June 1972. – 106 p. 
[54]. Franken G., Glass Z. Advanced State Estimation and Control of an  Autonomous 
Ground  Vehicle  Using  a  priori  Knowledge  of  Vehicular  Dynamics.  Princeton 
University Junior Independent Project. Princeton, NJ. May, 2007. – 40 p. 
[55]. Frezza R.,  Beghi A.,  Notarstefano G.  Almost  Kinematic  Reducibility  of  a  Car 
Model  with  Small  Lateral  Slip  Angle  for  Control  Design.  //  Proc.  of  the  IEEE 
International Symposium, Vol. 1, 2005. – pp. 343-348. 

 
168 
[56]. Gadda C.,  Yih P.,  Gerdes J.  Incorporating  a  model  of  vehicle  dynamics  in  a 
diagnostic system for steer-by-wire vehicles. // In Proc. of AVEC, 2004. – pp. 779-784. 
[57]. Garrett T.K.,  Newton K.,  Steeds W.  The  Motor  Vehicle.  13th  Edition. 
Butterworth-Heinemann, Oxford, 2001. – 1214 p. 
[58]. Grau C.  A  parametric  study  of  the  lateral  dynamics  of  a  nonlinear  four-wheel 
road-vehicle  model.  Ph.D.,  Engineering:  Mechanical  Engineering,  University  of 
Cincinnati, 2003. - 141 p. 
[59]. Heller S., Bünte T. Modelica vehicle dynamics library: Implementation of driving 
maneuvers  and  a  controller  for  active  car  steering.  //  Proc.  of  3rd  International 
Modelica Conference, Linköping, Nov., 2003. – pp. 19–28. 
[60]. LeBlanc D., Johnson G., Venhovens P., Gerber G., DeSonia R., Ervin R., Lin C., 
Ulsoy A.,  Pilutti T.  CAPC:  A  Road-Departure  Prevention  System.  //  IEEE  Control 
Systems Magazine, Vol. 16, No. 6, 1996. – pp. 61-71. 
[61]. Meijaard  J.P., Schwab A.L. Linearized equations for an extended bicycle model. 
Proceedings  of  III  European  Conference  on  Computational  Mechanics,  Solids, 
Structures and Coupled Problems in Engineering. Lisbon, June 5–9, 2006. – 18 p. 
[62]. Milliken W.F.,  Milliken D.L.  Race  Car  Vehicle  Dynamics.  Society  of 
Automotive Engineers, Inc., Warrendale, PA, 1995. 
[63]. Odenthal D.,  Bunte T.,  Ackermann J.  Nonlinear  steering  and  braking  control  for 
vehicle  rollover  avoidance.  //  European  Control  Conference,  (Karlsruhe,  Germany), 
1999. 
[64]. Olson B.J.  Nonlinear  dynamics  of  longitudinal  ground  vehicle  traction.  M.S. 
Thesis defense, Michigan State University, 2001. – 53 p. 
[65]. Olson B.J.,  Shaw S.W.,  Stepan G.  Nonlinear  dynamics  of  longitudinal  vehicle 
traction.  //  Proc.  of  th  9-th  Mini-Conference  on  Vehicle  System  Dynamics, 
Identifications and Anomalies, Budapest, 2004. – pp. 537-545. 
[66]. Pacejka H.B.  Lateral  Dynamics  of  Road  Vehicles.  //  Vehicle  System  Dynamics. 
1987. V 16. P. 75−120. 
[67]. Pacejka H.B. Tire and Vehicle Dynamics. SAE.: N SAE0013, 2005. – 620 p. 

 
169 
[68]. Pacejka H.B.  Yaw  and  Cumber  Analysis.  //  Mechanics  of  Pneumatic  Tires.  Ed. 
S.K. Clark. Washington: NBS Monograph 122. 1971. P. 757–840. 
[69]. Psiaki M.  Bicycle  stability:  A  mathematical  and  numerical  analysis. 
Undergraduate thesis, Princeton University, 1979. 
[70]. Ragesh R.  Vehicle  Dynamics  and  Control.  Ed.  Frederic  R.  Ling.  New  York, 
Springer, 2006. 
[71]. Rizzi M.  Steering  behaviour  of  44  drivers  in  lane  change  manouevres  on  a 
slippery  surface.  Master's  thesis,  Linköping  University,  Department  of  Science  and 
Technology, 2005. – 113 p. 
[72]. Schmeitz A.J.C.,  de Hoogh J.,  Besselink I.J.M.,  Nijmeijer H.  Extending  The 
Magic  Formula  and  SWIFT  Tyre  Models  for  Inflation  Pressure  Changes.  //  In:  IO-th 
International VDI Congress, Hannover, 2005. – pp. 201-225. 
[73]. Sharp R.S., Bettella M.  On  the  construction  of  a  general  numerical  tyre  shear 
force model from limited data. // Proc. of the I MECH E Part D Journal of Automobile 
Engineering, Volume 217, Number 3, 1 March 2003. P. 165-172(8). 
[74]. Short M,  Pont M.J.,  Huang Q.  Simulation  of  Vehicle  Longitudinal  Dynamic. 
Technical  report  ESL  04-01,  Embedded  Systems  Laboratory,  University  of  Leicester, 
2004. – 18 p. 
[75]. Van Zytveld P.J.  A  method  for  the  automatic  stabilization  of  an  unmanned 
bicycle. Master's thesis, Stanford University, June, 1975. – 203 p. 
[76]. Wollherr D.  Robust  Steering  Control  for  Swerving  Maneuvers  of  a  Motor 
Vehicle.  Diploma  Thesis.  Institute  of  Automatic  Control  Engineering  Technischen 
Universität München., 2000. – 62 p. 
[77]. Wong J.Y.  Theory  of  Ground  Vehicles.  3rd  edition.  John  Wiley  and  Sons,  Inc., 
New York, 2001. – 488 p. 
[78]. http://www.autolook.ru 
 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8212. Специфика педагогического общения 34.5 KB
  Специфика педагогического общения обусловлена различными социально-ролевыми и функциональными позициями его субъектов. Стиль общения и руководства в существенной мереопределяет эффективность обучения и воспитания, а также особенностиразвития личност...
8213. Формирование системы знаний и умений при изучении рельефа,геологического строения и полезных ископаемых в школьном курсе географии 28.5 KB
  При изучении раздела Литосфера ученики узнают о строении Земли, о месте литосферы среди др. оболочек и о движениях земной коры, систематизируются понятия о горных породах путем их деления на осадочные, магматические и метаморфические, изучаются крупны...
8214. Электрический ток. Источники тока. Электрическая цепь и ее составные части 35.5 KB
  Урок физики по теме: Электрический ток. Источники тока. Электрическая цепь и ее составные части в 8 классе. Цель урока: Рассмотреть физическую природу электрического тока и выяснить, из каких частей состоит электрическая цепь. Задачи: Дидактические...
8215. Вопросы государственного экзамена по теории и методике обучения географии 277 KB
  Вопросы государственного экзамена по теории и методике обучения географии, 2010 г. Методика обучения географии как наука: предмет и задачи, этапы развития. Методика обучения географии - одна из педагогических наук. От греч. слова methodike...
8220. Педагогика как наука. Ее предмет, задачи, отрасли педагогического знания, связь педагогики с другими науками 15.54 KB
  Педагогика как наука. Ее предмет, задачи, отрасли педагогического знания, связь педагогики с другими науками. Объектом науки является человек. Предметом изучения педагогики как науки является процесс и одновременно результат взаимодействия человека ...