18608

Требования к математическим моделям и их классификация

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Требования к математическим моделям и их классификация Под математической моделью ММ конструкции технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производст...

Русский

2013-07-08

48 KB

81 чел.

Требования к математическим моделям и их классификация

Под математической моделью (ММ) конструкции, технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производственных условиях. При построении математических моделей используют различные математические средства описания объекта — теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и т. д.

Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании математическими моделями (ММ). С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соответствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая документация и т. п.

В САПР для каждого иерархического уровня сформулированы основные положения математического моделирования — выбран и развит соответствующий математический аппарат, получены типовые ММ элементов проектируемых объектов, формализованы методы получения и анализа математических моделей систем. Сложность задач проектирования и противоречивость требований высокой точности, полноты и малой трудоемкости анализа обусловливают целесообразность компромиссного удовлетворения этих требований с помощью соответствующего выбора моделей. Это обстоятельство приводит к расширению множества используемых моделей и развитию алгоритмов адаптивного моделирования.

К математическим моделям предъявляют требования высокой точности, экономичности и универсальности. Экономичность математических моделей определяется затратами машинного времени (работы ЭВМ). Степень универсальности математических моделей зависит от возможности их использования для анализа большого числа технологических процессов и их элементов. Требования к точности, экономичности и степени универсальности математических моделей противоречивы. Поэтому необходимо иметь удачное компромиссное решение.

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности].

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Пусть  — относительная погрешность модели по j -му выходному параметру:

(1)

где   j -й выходной параметр, рассчитанный с помощью модели; yj — тот же выходной параметр, существующий в моделируемом объекте.

Погрешность модели  по совокупности учитываемых выходных параметров оценивается одной из норм вектора .

Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. Если задаться предельной допустимой погрешностью , то можно в пространстве внешних параметров выделить область, в которой выполняется условие

(2)

Эту область называют областью адекватности (ОА) модели. Возможно введение индивидуальных предельных значений  для каждого выходного параметра и определение ОА как области, в которой одновременно выполняются все m условий вида .

Определение областей адекватности для конкретных моделей — сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат. Эти затраты и трудности представления ОА быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Определение ОА —более трудная задача, чем, например, задача параметрической оптимизации. Для моделей унифицированных элементов расчет областей адекватности становится оправданным в связи с однократностью определения ОА и многократностью их использования при проектировании различных систем. Знание ОА позволяет правильно выбирать модели элементов из числа имеющихся и тем самым повышать достоверность результатов машинных расчетов.

В библиотеку моделей элементов наряду с алгоритмом, реализующим модель, и номинальными значениями параметров должны включаться граничные значения внешних параметров q'k и q''k, задающие область адекватности.

Универсальность. При определении ОА необходимо выбрать совокупность внешних параметров и совокупность выходных параметров уj, отражающих учитываемые в модели свойства. Типичными внешними параметрами при этом являются параметры нагрузки и внешних воздействий (электрических, механических, тепловых, радиационных и т. п.). Увеличение числа учитываемых внешних факторов расширяет применимость модели, но существенно удорожает работу по определению ОА. Выбор совокупности выходных параметров также неоднозначен, однако для большинства объектов число и перечень учитываемых свойств и соответствующих им выходных параметров сравнительно невелики, достаточно стабильны и составляют типовой набор выходных параметров. Например, для макромоделей логических элементов БИС такими выходными параметрами являются уровни выходного напряжения в состояниях логических "О" и "1", запасы помехоустойчивости, задержка распространения сигнала, рассеиваемая мощность.

Если адекватность характеризуется положением и размерами ОА, то универсальность модели определяется числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Экономичность. Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации, а именно затратами машинного времени Тм и памяти Пм. Общие затраты Тм и Пм на выполнение в САПР какой-либо проектной процедуры зависят как от особенностей выбранных моделей, так и от методов решения.

В большинстве случаев при реализации численного метода происходят многократные обращения к модели элемента, входящего в состав моделируемого объекта. Тогда удобно экономичность модели элемента характеризовать затратами машинного времени при обращении к модели, а число обращений к модели должно учитываться при оценке экономичности метода решения.

Экономичность модели по затратам памяти оценивается объемом оперативной памяти, необходимой для реализации модели.

Требования широких областей адекватности, высокой степени универсальности, с одной стороны, и высокой экономичности — с другой, являются противоречивыми. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих требований оказывается неодинаковым в различных применениях. Это обстоятельство обусловливает использование в САПР многих моделей для объектов одного и того же типа — различного рода макромоделей, многоуровневых, смешанных моделей и т. п.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59828. ПРАЗДНИК ВЕСНЫ 54.5 KB
  А превращу-ка я вас в цветы. Весна-Красна А я тебе на подмогу цветы привел. Что-то подозрительные цветы на этой поляне. Вижу вы настоящие цветы.
59829. Весна на пташиних крилах 46.5 KB
  Мета: Пізнавальний розвиток: продовжувати формувати уявлення дітей про життя птахів комах тварин їх ознакиповедінка зовнішній вигляд вчити встановлювати причинно-наслідкові звязки в природі прищеплювати любов до природи...
59830. Свято зустрічі весни. Виховний захід 3 клас 52.5 KB
  Синичка дівчинка Ще в нашому лісі сніги лежать та перший струмочок сьогодні продзвенів мені що весна близько. Йде весна йде весна чарівниченька. Учениця Ось весна вже зовсім близько З гір біжить шумить потік...
59831. «ВЕСНЯНА ФАНТАЗІЯ» В. МОЦАРТА 32.5 KB
  Мета: зясувати чи можна побачити живописний образ природи через сприйняття музичного твору Весняна фантазія В. Завдання: навчити учнів співвідносити живописні образи з музичними; узагальнити поняття про образність і виразність у музиці...
59833. Вибір цінностей 54 KB
  Візитна картка уроку: Не збирайте собі скарбів на землі де міль і хробацтво нівечить і де підкопують злодії і викрадають. Збирайте собі скарби на небі де ні міль ані хробацтво не нівечить і де злодії не пробивають стін і не викрадають. Бо де твій скарб там буде і твоє серце. Що таке скарб Що маємо на увазі під земними скарбами Що свідчить про те що вони не вічні Скарби на небі що це Чи піддаються вони таким небезпекам Чому Робота в групах.
59835. Мати берегиня родини 70 KB
  Хто ж його береже Головною берегинею родини завжди була мати її святою називали. Тарас Шевченко писав: У нашім раї на землі Нічого кращого немає Як тая мати молодая З своїм дитяточком малим
59836. Ich ab Geburt bis Abitur 49 KB
  Весь урок ведеться німецькою мовою, що відповідає вимогам міністерства освіти для 11 класу. Мова вчителя чітка, зрозуміла, ключові фрази повторюються для їх кращого розуміння. Темп уроку задовільний для того, щоб діти встигли прочитати, повторити і записати нові слова.