18682

Условная энтропия. Энтропия сложной системы

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Условная энтропия. Энтропия сложной системы. Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропий На практике часто приходится определять энтропию для сложной системы полученной объединением двух или более простых систем. Под объединением двух систем и с возможн...

Русский

2013-07-08

47.76 KB

38 чел.

Условная энтропия. Энтропия сложной системы.

Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропий

На практике часто приходится определять энтропию для сложной системы, полученной объединением двух или более простых систем.

Под объединением двух систем  и  с возможными состояниями  понимается сложная система , состояния которой  представляют собой все возможные комбинации состояний  систем  и .

Очевидно, число возможных состояний системы  равно . Обозначим  вероятность того, что система  будет в состоянии :

Найдем энтропию сложной системы. По определению она равна сумме произведений вероятностей всех возможных ее состояний на их логарифмы с обратным знаком:

Энтропию сложной системы можно записать в форме математического ожидания:

где  - логарифм вероятности состояния системы, рассматриваемый как случайная величина (функция состояния).

Предположим, что системы  и  независимы, т. е. принимают свои состояния независимо одна от другой, и вычислим в этом предположении энтропию сложной системы. По теореме умножения вероятностей для независимых событий

,

откуда

,

или

т. е. при объединении независимых систем их энтропии складываются.

Доказанное положение называется теоремой сложения энтропий.

Если системы зависимы, то появляются условные вероятности.

- остаточная неопределенность (энтропия).

Условная энтропия. Объединение зависимых систем

Пусть имеются две системы  и , в общем случае зависимые. Обозначим  условную вероятность того, что система  примет состояние  при условии, что система  находится в состоянии : .

- условная энтропия.

Условную энтропию можно также записать в форме математического ожидания:

,

где - условное математическое ожидание величины, стоящей в скобках, при условии .

Определим среднюю, или полную, энтропию системы  с учетом того, что система может принимать разные состояния. Для этого нужно каждую условную энтропию умножить на вероятность соответствующего состояния  и все такие произведения сложить.

или - полная условная энтропия.

Внося  под знак второй суммы, получим: .

Но по теореме умножения вероятностей , следовательно,

или

Величина  характеризует степень неопределенности системы , остающуюся после того, как состояние системы  полностью определилось. Будем называть ее полной условной энтропией системы  относительно .

Определим энтропию объединенной системы через энтропию ее составных частей.

Докажем следующую теорему:

Если две системы  и  объединяется в одну, то энтропия объединенной системы равна энтропии одной из ее составных частей плюс условная энтропия второй части относительно первой:

.

Для доказательства запишем  в форме математического ожидания:

.

По теореме умножения вероятностей ,

следовательно, ,

откуда ,

что и требовалось доказать.

В частном случае, когда системы  и  независимы, , и .

В случае, когда состояние одной из систем (например ) полностью определяет собой состояние другой (),  и .

Если состояние каждой из систем  однозначно определяет состояние другой (или, как говорят, системы  и  эквивалентны), то .

Теорему об энтропии сложной системы можно распространить на любое число систем:

,

где энтропия каждой последующей системы вычисляется при условии, что состояние всех предыдущих известно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37534. Філософія, її людські виміри та смисл 43.43 KB
  Сильні душевні враження впечатления отримані насамперед в дитячому віці. Причому пізнай себе як результат еволюції природи в любові та з любовю до неї оскільки вона твоя матір. У звязку з цим хто має досвід знає що але не знає чому; хто володіє мистецтвом знає чому тобто знає причину Аристотель. Вони чомучки почемучки.
37536. Индивид, индивидуальность, личность 13.14 KB
  Для человека как индивидуального феномена философия использует множество выражений. Уникальность реальной жизни и деятельности отдельного человека в это понятие не входит. С помощью понятия индивид подчеркивается исходная зависимость каждого отдельного человека от социальных условий в которых совершалось его личностное формирование. Однако несводимость человека к его социальногрупповому положению независимость поведения от первоначально обусловивших го факторов способность быть ответственным за свой моральный облик все это фиксируется...
37538. Милетская школа, Фалес Милетский 51.22 KB
  Первый из ионических философов Фалес из Милета жил приблизительно в 640562 гг. Разносторонние познания Фалеса в области астрономии геометрии арифметики имели определенное влияние на развитие его философского мышления. Именно это и повлияло на взгляды Фалеса направленные на постижение сущности мира. Основой всего сущего Фалес считал воду.
37540. Философия и ее основные смыслы 35.46 KB
  То есть он имел в виду не благоприобретенное субъективное свойство человеческого ума а некое объективное качество разумно устроенного и гармоничного мира. Проследите становление ОВФ историческую роль категорий Смерть Жизнь Тело Душа Природа Дух Бог Бытие Мышление Материя Сознание Материальный мир Духовный мир как ступеней абстрагирования при постановке проблемы. Homo Spiens начинается с момента который может длиться веками когда он осознает себя как индивидуальность личность Я окруженную...
37541. Парменид – древнегреческий философ 14.91 KB
  Парменид рассуждает следующим образом: поскольку изменение происходят во времени и пространстве объект познания существует вне времени и пространства и следовательно не доступен для органов чувств: нет ничего в заблуждающихся умах кроме того что уже было в их заблуждающихся органах чувств. Например из апории Стрела следует летящая стрела в каждый момент времени имеет одно положение в пространстве и следовательно неподвижна. А если она неподвижна в каждый отдельный момент времени то и в сумме всех временных отрезков она...