18682

Условная энтропия. Энтропия сложной системы

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Условная энтропия. Энтропия сложной системы. Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропий На практике часто приходится определять энтропию для сложной системы полученной объединением двух или более простых систем. Под объединением двух систем и с возможн...

Русский

2013-07-08

47.76 KB

39 чел.

Условная энтропия. Энтропия сложной системы.

Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропий

На практике часто приходится определять энтропию для сложной системы, полученной объединением двух или более простых систем.

Под объединением двух систем  и  с возможными состояниями  понимается сложная система , состояния которой  представляют собой все возможные комбинации состояний  систем  и .

Очевидно, число возможных состояний системы  равно . Обозначим  вероятность того, что система  будет в состоянии :

Найдем энтропию сложной системы. По определению она равна сумме произведений вероятностей всех возможных ее состояний на их логарифмы с обратным знаком:

Энтропию сложной системы можно записать в форме математического ожидания:

где  - логарифм вероятности состояния системы, рассматриваемый как случайная величина (функция состояния).

Предположим, что системы  и  независимы, т. е. принимают свои состояния независимо одна от другой, и вычислим в этом предположении энтропию сложной системы. По теореме умножения вероятностей для независимых событий

,

откуда

,

или

т. е. при объединении независимых систем их энтропии складываются.

Доказанное положение называется теоремой сложения энтропий.

Если системы зависимы, то появляются условные вероятности.

- остаточная неопределенность (энтропия).

Условная энтропия. Объединение зависимых систем

Пусть имеются две системы  и , в общем случае зависимые. Обозначим  условную вероятность того, что система  примет состояние  при условии, что система  находится в состоянии : .

- условная энтропия.

Условную энтропию можно также записать в форме математического ожидания:

,

где - условное математическое ожидание величины, стоящей в скобках, при условии .

Определим среднюю, или полную, энтропию системы  с учетом того, что система может принимать разные состояния. Для этого нужно каждую условную энтропию умножить на вероятность соответствующего состояния  и все такие произведения сложить.

или - полная условная энтропия.

Внося  под знак второй суммы, получим: .

Но по теореме умножения вероятностей , следовательно,

или

Величина  характеризует степень неопределенности системы , остающуюся после того, как состояние системы  полностью определилось. Будем называть ее полной условной энтропией системы  относительно .

Определим энтропию объединенной системы через энтропию ее составных частей.

Докажем следующую теорему:

Если две системы  и  объединяется в одну, то энтропия объединенной системы равна энтропии одной из ее составных частей плюс условная энтропия второй части относительно первой:

.

Для доказательства запишем  в форме математического ожидания:

.

По теореме умножения вероятностей ,

следовательно, ,

откуда ,

что и требовалось доказать.

В частном случае, когда системы  и  независимы, , и .

В случае, когда состояние одной из систем (например ) полностью определяет собой состояние другой (),  и .

Если состояние каждой из систем  однозначно определяет состояние другой (или, как говорят, системы  и  эквивалентны), то .

Теорему об энтропии сложной системы можно распространить на любое число систем:

,

где энтропия каждой последующей системы вычисляется при условии, что состояние всех предыдущих известно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11361. Неметаллические материалы. Полимеры и пластмассы 268.83 KB
  Лекция 15 Неметаллические материалы. Полимеры и пластмассы Полимеры от греческого polymeres состоящий из многих частей многообразный от poly много и meros доля часть соединения с высокой молекулярной массой молекулы которых состоят из большого числа регулярно ил...
11362. Понятие, предмет и метод экономического анализа. Характеристика основных приемов и методов экономического анализа 154.5 KB
  Понятие предмет и метод экономического анализа. Понятие экономического анализа. Характеристика основных приемов и методов экономического анализа. Методика факторного анализа Вопросы для самоконтроля. Понятие экономического анализа Экон...
11363. Анализ производства и реализации продукции 119.5 KB
  Тема 2. Анализ производства и реализации продукции 2.1. Анализ формирования и выполнения производственной программы 2.1.1. Анализ объема продукции 2.1.2. Анализ ассортимента продукции 2.1.3. Анализ структуры продукции 2.2. Анализ качества продукции 2.3. Анализ ритмично
11364. Анализ использования основных производственных фондов 114.5 KB
  Тема 3. Анализ использования основных производственных фондов 3.1. Анализ движения ОС 3.2. Анализ эффективности использования ОС 3.3. Факторный анализ фондоотдачи 3.4. Анализ использования оборудования 3.5. Характеристика производственной мощности предприятия О
11365. Анализ материальных ресурсов предприятия 152.5 KB
  Тема 4. Анализ материальных ресурсов предприятия 4.1. Оценка качества планов материальнотехнического снабжения 4.2. Оценка потребности в материальных ресурсах 4.3. Оценка эффективности использования материальных ресурсов 4.4. Факторный анализ общей материалоемкост
11366. Анализ трудовых ресурсов предприятия 179.5 KB
  Тема 5. Анализ трудовых ресурсов предприятия 5.1. Анализ использования рабочей силы 5.2. Анализ производительности труда 5.3. Анализ фонда заработной платы Рациональное использование персонала предприятия непременное условие обеспечивающее бесперебойность пр...
11367. Анализ себестоимости продукции 214.5 KB
  Тема 6. Анализ себестоимости продукции 6.1. Анализ динамики обобщающих показателей и факторов 6.2. Анализ затрат на рубль товарной продукции 6.3. Анализ себестоимости важнейших изделий 6.4. Анализ прямых материальных и трудовых затрат 6.5. Анализ косвенных з...
11368. Анализ прибыли и рентабельности 207 KB
  Тема 7. Анализ прибыли и рентабельности 7.1. Анализ состава и динамики балансовой прибыли 7.2. Анализ финансовых результатов от обычных видов деятельности 7.3. Анализ уровня среднереализационных цен 7.4. Анализ финансовых результатов от прочих видов деятельности 7.5.
11369. Анализ финансового состояния предприятия. Оценка и анализ результативности финансово-хозяйственной деятельности 119.5 KB
  Анализ финансового состояния предприятия. Предварительный обзор экономического и финансового положения предприятия. Оценка и анализ экономического потенциала организации. Оценка имущественного положения. Оценка финансового положения...