18703

Оптимальное управление. Вариационное исчисление

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Оптимальное управление это задача проектирования системы обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества...

Русский

2015-01-19

16.22 KB

8 чел.

Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы .

Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств.

Наиболее широко при проектировании систем управления применяются следующие методы: вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана.

Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств (Нечёткое управление). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные.

Вариацио́нное исчисле́ние — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики. Например, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — одно из мощнейших орудий получения уравнений движения (см. например Принцип наименьшего действия), как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике

Динамическое программирование в теории управления и теории вычислительных систем — способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Он применим к задачам с оптимальной подструктурой (англ.), выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.

Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико.

Метод динамического программирования сверху — это простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем. Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.

Главный результат теории — всемирно известный “принцип максимума” выдающегося математика Л. С. Понтрягина, сформулированный так: для многих управляемых систем может быть построен такой процесс регулирования, при котором само состояние системы в каждый данный момент подсказывает наилучший с точки зрения всего процесса способ действий.

Если рассматривать самолет как точку, движущуюся в пространстве, то это простой объект. В каждый данный момент можно определить его положение в пространстве: допустим, широту, долготу и высоту над уровнем моря; эти три величины в данном случае его фазовые координаты. Те или иные углы поворота рулей самолета, которыми определяется направление его полета, — управляющие параметры. Совокупность этих параметров (ограниченных определенной областью управления) называется собственно управлением, траектория полета — фазовой траекторией. Задача оптимального управления состоит в том, чтобы выбрать такие из названных величин, которые обеспечат наиболее быстрый прилет самолета на место (впрочем, могут быть и другие критерии, тогда решения задачи будут иными, напр. перелет с наименьшим расходом горючего).

“Принцип максимума” Понтрягина определяет математические условия, необходимые для того, чтобы управление оказалось оптимальным, причем без предварительного определения оптимальной траектории, а путем последовательного регулирования данного процесса.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65122. Медные джучидские монеты XV века 70 KB
  Особенностью этих пулов является форма начертания слова чекан. Тем же резчиком очевидно делались и штемпеля для чеканки аверса пулов с изображением утки в картуше. Опираясь на фактурные признаки не характерные для пулов предыдущего периода.
65123. ПО ПОВОДУ ОДНОГО «ОТКРЫТИЯ» В ДЖУЧИДСКОЙ НУМИЗМАТИКЕ 38 KB
  На основании этих данных усугубленных грамматически ошибочным чтением строки 2 в первом издании во втором; перевод не соответствует ни тому ни другому: Да будет счастлив этот год Лебедев выстраивает следующую логическую цепочку...
65124. СТАРЫЙ И НОВЫЙ САРАЙ - СТОЛИЦА ЗОЛОТОЙ ОРДЫ 61 KB
  В археологической и исторической литературе последнего столетия посвященной проблемам истории Золотой Орды и государств соприкасавшихся с ней указываются обычно две столицы Сарай и Новый Сарай. Арабский писатель Эломари ал Омари рассказывая о делах в Улусе Джучиевом приводит два описания города Сарая...
65125. ДЖУЧИДСКИЕ МОНЕТЫ В КОНТЕКСТЕ ТЮРКСКОЙ И МУСУЛЬМАНСКОЙ КУЛЬТУР 69.5 KB
  Воины Чингизхана конем и мечём перекраивали карту континента. Кроме этого полновесные из хорошего серебра монеты должны были помочь ханам Золотой Орды в политике протекции торговле и привлечении иностранных купцов на рынки восстановленных и новопостроенных городов.
65126. О ПРАВЛЕНИИ ХАНОВ В КРЫМУ В 1419 - 1422 ГОДАХ ПО НУМИЗМАТИЧЕСКИМ ДАННЫМ 89.5 KB
  Хромов Весной 2001 года в районе поселка Коктебель АР Крым был найден комплекс золотоордынских монет первой четверти XV века. Общая численность хорошо определяемых монет большей части комплекса составила около 600 экземпляров.
65127. Об одной группе медных подражаний джучидским деньгам из Николаевской области (Украина) 206 KB
  Одним из таких районов является район нижнего Побужья вместе с выпуском подражаний медной монете Сарая ал Джедид с цветочным орнаментом выпуск нескольких серий медных монет с высокой точностью имитирующих серебряные денги Сарая ал Джедид с именами ханов Бердибека фото...
65128. Перечеканка привозных монет в Крымском улусе в XIII веке 140 KB
  Кроме того это позволяет дать в последующем ответы на некоторые вопросы метрологии ведь вес и проба серебра в монете-заготовке должны были соответствовать установленным в Крымском Улусе нормам следовательно на определенном этапе Крым начал использовать для своей монеты общепринятую в регионе весовую норму.
65130. Уточнение датировки крымского дирхема токты 704 г. Нумизматика и Фалеристика 60 KB
  При разборке новых поступлений в собственную коллекцию а также при осмотре монет из коллекций моих друзей приходится постоянно уточнять выпускные сведения некоторых монет. Причиной неудовлетворительного состояния в правильной атрибуции крымских монет Золотой Орды...