18989

Квантовомеханическое описание

Лекция

Физика

Лекция II 1. Квантовомеханическое описание. Казалось бы каноническое распределение Гиббса I.4.5 невозможно согласовать с требованиями квантовой механики так как обобщенные координаты и импульсы в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга не коммутирую

Русский

2013-07-11

288 KB

0 чел.

Лекция II

1. Квантовомеханическое описание.

Казалось бы, каноническое распределение Гиббса (I.4.5) невозможно согласовать с требованиями квантовой механики, так как обобщенные координаты и импульсы в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга не коммутируют. Однако, поскольку вероятностное описание в квантовой теории отвечает природе вещей, оказывается вполне естественным при неполном описании системы использование функции распределения, которая в этом случае носит название оператора плотности или матрицы плотности.

Пусть  - волновые функции стационарных состояний рассматриваемой системы. Индекс  обозначает совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния. Функции  взаимно ортогональны и нормированы, т.е. скалярное произведение

                                                             (II.1.1)

В наиболее привычном для слушателей, но не всегда самом удобном, координатном представлении скалярное произведение определяется следующим образом

.                                                (II.1.2)

где совокупность всех обобщенных координат системы. В обозначениях П.А.М. Дирака, возможно не совсем привычных для слушателей, но общепринятых во всем мире, скалярное произведение (II.1.2) обозначается как

=,                                                         (II.1.3)

где  и  - правый (“ket”) и сопряженный ему левый (“bra”) векторы состояния в гильбертовом пространстве состояний квантовой системы.

Пусть вероятность того, что система может быть обнаружена в ом стационарном состоянии, равна , . Тогда оператор плотности (статистический оператор) определяется выражением  

,                                                               (II.1.4)

и для произвольного вектора состояния  имеем

,                                         (II.1.5)

Пусть  - произвольный ортонормированный базис в пространстве векторов состояния. Тогда в этом базисе матрица плотности имеет элементы

                                             (II.1.6)

Если в качестве базиса  в (II.1.6) выбрать собственные векторы гамильтониана системы, то матрица  оказывается диагональной, причем диагональный элемент  совпадает с вероятностью обнаружить систему в ом квантовом состоянии. Условие нормировки вероятностей, с учетом (II.1.8), можно представить в виде

,                   (II.1.7)

где  (шпур) обозначает сумму диагональных элементов матрицы. Напомним, что шпур не зависит от выбора базиса, и в качестве  можно выбрать, например, собственные векторы оператора любой наблюдаемой.

Среднее значение какой-либо наблюдаемой величины (оператор этой величины)

можно представить как

,                  (II.1.8)

След произведения операторов  есть сумма диагональных элементов матрицы, являющейся произведением матриц  и  в некотором базисе.

Возвратимся к задаче об описании макроскопических систем в состоянии термодинамического равновесия. Квантовомеханическим аналогом теоремы Лиувилля (I.4.1) является условие коммутативности оператора плотности с гамильтонианом системы, т.е.

                                                                (II.1.9)

Поскольку мультипликативность статистического оператора также выполняется, условие (II.1.9) означает, что как и в классическом случае оператор плотности выражается через гамильтониан системы. Таким образом, не повторяя рассуждений, приведших к (I.4.5), получаем каноническое распределение в квантовом случае

,                                                (II.1.10)

Вероятность обнаружить систему в ом квантовом состоянии определяется диагональным элементом матрицы (II.1.10):

,                                               (II.1.11)

Нормировочную константу  в таком контексте называют статистической суммой.

2. Одноатомный идеальный газ как целое.

Рассмотрим систему слабо взаимодействующих друг с другом одинаковых бесструктурных атомов, находящихся в объеме  в состоянии термодинамического равновесия при температуре . Гамильтониан такой системы равен сумме по всем  частицам гамильтонианов отдельных атомов

                                     (II.2.1)

Распределение Гиббса

                           (II.2.2)

является ничем иным как произведением распределений Максвелла для отдельных атомов и факторов , отвечающих однородному распределению частиц по объему.

Теперь вместо распределения (II.2.2) будем интересоваться распределением по полной энергии газа . Для этого нам понадобится формула для объема мерного, а не трехмерного, шара радиуса :

,                                                (II.2.3)

где  - объем мерного шара единичного радиуса. Первое соотношение в (II.2.3) следует из соображений размерности. Проверим вторую формулу в (II.2.3) для небольших размерностей. Для  (отрезок),  (круг) и  (шар) она дает

,  ,    и т.д.

Поэтому представляется правдоподобным, что формулы (II.2.3) верны для любых . Однако, следуя такой логике, можно доказать, что все нечетные числа – простые. Действительно, числа 1, 3, 5, 7 – все простые, однако, уже число 9 не является таковым. Ясно, что в таких ситуациях необходима полная индукция. По определению

 

Отсюда имеем

 

Однако

где  – бэта-функция (эйлеров интеграл 1-го рода). Поэтому

и, проводя очевидные сокращения, приходим к (II.2.3) .

Поскольку

 

после интегрирования по координатам распределение (II.2.2) дает

                        (II.2.4)

что при  совпадает с (I.1.3). Для среднего значения  получаем

,                                     (II.2.5)

откуда находим среднюю энергию и дисперсию

                       (II.2.6)

Таким образом, относительная флуктуация , что является общим результатом для большого числа статистически независимых одинаковых величин.

Уравнение

                        (II.2.7)

определяет значение энергии , при котором распределение (II.2.4) имеет максимум. Учитывая (II.2.7) перепишем распределение (II.2.4) в виде

                               (II.2.8)

Поскольку при  среднее значение энергии  и  практически совпадают, а относительная дисперсия мала, разложим функцию  вблизи максимума:

                       (II.2.9)

Ограничиваясь первыми двумя членами этого разложения и используя формулу Стирлинга , вместо (II.2.8) получаем

,                          (II.2.10)

Чтобы изобразить распределения  для  и  в одном масштабе, перейдем в (II.2.10) к переменной :

,     (II.2.11)

Это нормальный закон распределения ошибок Гаусса с дисперсией , см. Рис. II.1.

Поскольку , где дельта-функция Дирака, то для макроскопических тел энергия практически не флуктуирует и совпадает со средней энергией. Это кардинально отличается от  случая , когда распределение по энергии одного атома достаточно широкое.

     Рис. II.1

Распределение по приведенной энергии ,  

при  (распределение Максвелла) и при


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75402. Типы информации о числе предметов и выражение этой информации формамми единственного и множественного числа. Неноминативное употребление форм числа в русском языке 25.8 KB
  Характерны различия в ударении В зависимости от того к какому лексико-грамматическому разряду принадлежит существительное все существительные делятся на слова которые имеют формы ед. и слова имеющие формы только ед. Существительные лексические значения которых не предполагают противопоставления по признаку единичность – множественность названия отвлеченных качеств и действий веществ совокупностей предметов или лиц имеют формы или только ед. Существительные имеющие формы ед.
75404. Общая характеристика категории падежа. Количество падежей и принципы их выделения. Типы информации, передаваемой падежами. Особые падежные конструкции в русском языке 47.5 KB
  Общая характеристика категории падежа. Количество падежей и принципы их выделения. Типы информации передаваемой падежами. Особые падежные конструкции в русском языке.
75405. Типы склонения существительных 15.83 KB
  Изменение слова по падежам называется склонением. Склонение – 1) класс слов, объединенных общностью словоизменения, 2) отвлеченный образец, по которому изменяются слова этого класса. В современном русском языке существует три таких класса (три склонения) – первое, второе и третье
75406. Степени сравнения прилагательных. Проблема их включения в состав форм прилагательных. Вопрос о существовании простой превосходной степени 14.71 KB
  Степени сравнения прилагательных. Вопрос о существовании простой превосходной степени. Категория степени сравнения у прилагательных – это словоизменительная морфологическая категория образуемая двумя рядами противопоставленных друг другу форм с морфологическими значениями положительной и сравнительной степени. В формах положительной степени заключено морфологическое значение представляющее названный прилагательным признак вне сравнения по степени его проявления.
75407. Прилагательное как часть речи. Разряды прилагательных по значению и их влияние на изменение слов. Противопоставление кратких и полных форм и его функции 389.5 KB
  Ряд отличительных черт: имеют два ряда форм полные атрибутивные и краткиепредикативные образуют формы сравнит. У них всегда производная основа они склоняются но не образуют степеней сравнения и краткой формы у них отсутствуют все признаки свойственные качественным прилагательным. Полные склоняемые формы называются атрибутивными краткие несклоняемые предикативными. Соотносительные полные и краткие формы имеют только качественные прилаг.