18989

Квантовомеханическое описание

Лекция

Физика

Лекция II 1. Квантовомеханическое описание. Казалось бы каноническое распределение Гиббса I.4.5 невозможно согласовать с требованиями квантовой механики так как обобщенные координаты и импульсы в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга не коммутирую

Русский

2013-07-11

288 KB

0 чел.

Лекция II

1. Квантовомеханическое описание.

Казалось бы, каноническое распределение Гиббса (I.4.5) невозможно согласовать с требованиями квантовой механики, так как обобщенные координаты и импульсы в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга не коммутируют. Однако, поскольку вероятностное описание в квантовой теории отвечает природе вещей, оказывается вполне естественным при неполном описании системы использование функции распределения, которая в этом случае носит название оператора плотности или матрицы плотности.

Пусть  - волновые функции стационарных состояний рассматриваемой системы. Индекс  обозначает совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния. Функции  взаимно ортогональны и нормированы, т.е. скалярное произведение

                                                             (II.1.1)

В наиболее привычном для слушателей, но не всегда самом удобном, координатном представлении скалярное произведение определяется следующим образом

.                                                (II.1.2)

где совокупность всех обобщенных координат системы. В обозначениях П.А.М. Дирака, возможно не совсем привычных для слушателей, но общепринятых во всем мире, скалярное произведение (II.1.2) обозначается как

=,                                                         (II.1.3)

где  и  - правый (“ket”) и сопряженный ему левый (“bra”) векторы состояния в гильбертовом пространстве состояний квантовой системы.

Пусть вероятность того, что система может быть обнаружена в ом стационарном состоянии, равна , . Тогда оператор плотности (статистический оператор) определяется выражением  

,                                                               (II.1.4)

и для произвольного вектора состояния  имеем

,                                         (II.1.5)

Пусть  - произвольный ортонормированный базис в пространстве векторов состояния. Тогда в этом базисе матрица плотности имеет элементы

                                             (II.1.6)

Если в качестве базиса  в (II.1.6) выбрать собственные векторы гамильтониана системы, то матрица  оказывается диагональной, причем диагональный элемент  совпадает с вероятностью обнаружить систему в ом квантовом состоянии. Условие нормировки вероятностей, с учетом (II.1.8), можно представить в виде

,                   (II.1.7)

где  (шпур) обозначает сумму диагональных элементов матрицы. Напомним, что шпур не зависит от выбора базиса, и в качестве  можно выбрать, например, собственные векторы оператора любой наблюдаемой.

Среднее значение какой-либо наблюдаемой величины (оператор этой величины)

можно представить как

,                  (II.1.8)

След произведения операторов  есть сумма диагональных элементов матрицы, являющейся произведением матриц  и  в некотором базисе.

Возвратимся к задаче об описании макроскопических систем в состоянии термодинамического равновесия. Квантовомеханическим аналогом теоремы Лиувилля (I.4.1) является условие коммутативности оператора плотности с гамильтонианом системы, т.е.

                                                                (II.1.9)

Поскольку мультипликативность статистического оператора также выполняется, условие (II.1.9) означает, что как и в классическом случае оператор плотности выражается через гамильтониан системы. Таким образом, не повторяя рассуждений, приведших к (I.4.5), получаем каноническое распределение в квантовом случае

,                                                (II.1.10)

Вероятность обнаружить систему в ом квантовом состоянии определяется диагональным элементом матрицы (II.1.10):

,                                               (II.1.11)

Нормировочную константу  в таком контексте называют статистической суммой.

2. Одноатомный идеальный газ как целое.

Рассмотрим систему слабо взаимодействующих друг с другом одинаковых бесструктурных атомов, находящихся в объеме  в состоянии термодинамического равновесия при температуре . Гамильтониан такой системы равен сумме по всем  частицам гамильтонианов отдельных атомов

                                     (II.2.1)

Распределение Гиббса

                           (II.2.2)

является ничем иным как произведением распределений Максвелла для отдельных атомов и факторов , отвечающих однородному распределению частиц по объему.

Теперь вместо распределения (II.2.2) будем интересоваться распределением по полной энергии газа . Для этого нам понадобится формула для объема мерного, а не трехмерного, шара радиуса :

,                                                (II.2.3)

где  - объем мерного шара единичного радиуса. Первое соотношение в (II.2.3) следует из соображений размерности. Проверим вторую формулу в (II.2.3) для небольших размерностей. Для  (отрезок),  (круг) и  (шар) она дает

,  ,    и т.д.

Поэтому представляется правдоподобным, что формулы (II.2.3) верны для любых . Однако, следуя такой логике, можно доказать, что все нечетные числа – простые. Действительно, числа 1, 3, 5, 7 – все простые, однако, уже число 9 не является таковым. Ясно, что в таких ситуациях необходима полная индукция. По определению

 

Отсюда имеем

 

Однако

где  – бэта-функция (эйлеров интеграл 1-го рода). Поэтому

и, проводя очевидные сокращения, приходим к (II.2.3) .

Поскольку

 

после интегрирования по координатам распределение (II.2.2) дает

                        (II.2.4)

что при  совпадает с (I.1.3). Для среднего значения  получаем

,                                     (II.2.5)

откуда находим среднюю энергию и дисперсию

                       (II.2.6)

Таким образом, относительная флуктуация , что является общим результатом для большого числа статистически независимых одинаковых величин.

Уравнение

                        (II.2.7)

определяет значение энергии , при котором распределение (II.2.4) имеет максимум. Учитывая (II.2.7) перепишем распределение (II.2.4) в виде

                               (II.2.8)

Поскольку при  среднее значение энергии  и  практически совпадают, а относительная дисперсия мала, разложим функцию  вблизи максимума:

                       (II.2.9)

Ограничиваясь первыми двумя членами этого разложения и используя формулу Стирлинга , вместо (II.2.8) получаем

,                          (II.2.10)

Чтобы изобразить распределения  для  и  в одном масштабе, перейдем в (II.2.10) к переменной :

,     (II.2.11)

Это нормальный закон распределения ошибок Гаусса с дисперсией , см. Рис. II.1.

Поскольку , где дельта-функция Дирака, то для макроскопических тел энергия практически не флуктуирует и совпадает со средней энергией. Это кардинально отличается от  случая , когда распределение по энергии одного атома достаточно широкое.

     Рис. II.1

Распределение по приведенной энергии ,  

при  (распределение Максвелла) и при


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18987. Рынок труда. Понятие предельного продукта труда в денежном выражении 630.5 KB
  А. Титков УМК ЭТ Тема 10. Рынок труда Учебные цели Выяснить особенности спроса на труд. Определить понятие предельного продукта труда в денежном выражении и предельных издержек на труд. Выявить факторы определяющие изменение спроса на труд. Усвоить правил
18988. Распределение Максвелла 326.5 KB
  Лекция I 1. Распределение Максвелла. Статистическая физика изучает свойства макроскопических тел т.е. систем состоящих из огромного числа частиц. Например для аудитории с размерами учитывая что каждый моль воздуха занимает объем 224 л и содержит число Авогадро мол
18990. Микроканоническое распределение 283 KB
  Лекция III 1. Микроканоническое распределение. Рассмотрим замкнутую макроскопическую систему занимающую объем и содержащую частиц. Как это следует из рис. III.1 любая макроскопическая система является замкнутой поскольку ее энергия практически не флуктуирует т.е. о
18991. Расчет с помощью программы “Fullprof” магнитной структуры магнетика. Магнитная структура DyB4 572.5 KB
  Давайте проведем расчет нейтронограммы соединения AB, для которого мы вручную рассчитывали нейтронограммы ядерного и магнитного рассеяния”. Как мы уже знаем, нейтронограмма должна содержать, по крайней мере, две фазы – ядерную и магнитную
18992. Работа и тепло 268.5 KB
  Лекция V 1. Работа и тепло. Обсудим физический смысл основного термодинамического тождества V.1.1 Поскольку давление – это средняя сила отнесенная к единице площади а изменение объема то второе с...
18993. Температурная зависимость плотности энергии равновесного (черного) излучения 246 KB
  Лекция VI 1. Температурная зависимость плотности энергии равновесного черного излучения. Если для какойлибо системы удается найти связь между давлением объемом и энергией т.е. аналог уравнения состояния то можно вычислить все ее термодинамические величины. Для излу...
18994. О черных дырах 228 KB
  Лекция VII 1. О черных дырах. Научное представление о черных дырах возникло к концу 18 века. В 1799 г. Лаплас на основании ньютоновской теории тяготения и предположения о конечной скорости света показал что достаточно компактное массивное тело будет невидимым для внешнего ...
18995. Большое каноническое распределение Гиббса 309 KB
  Лекция VIII 1. Большое каноническое распределение Гиббса. Рассмотрим малую часть микроканонического ансамбля см. III.1.1 которая может обмениваться с термостатом не только энергией тепловой контакт но и частицами. Энергия этой квазизамкнутой подсистемы зависит от объ...