18989

Квантовомеханическое описание

Лекция

Физика

Лекция II 1. Квантовомеханическое описание. Казалось бы каноническое распределение Гиббса I.4.5 невозможно согласовать с требованиями квантовой механики так как обобщенные координаты и импульсы в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга не коммутирую

Русский

2013-07-11

288 KB

0 чел.

Лекция II

1. Квантовомеханическое описание.

Казалось бы, каноническое распределение Гиббса (I.4.5) невозможно согласовать с требованиями квантовой механики, так как обобщенные координаты и импульсы в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга не коммутируют. Однако, поскольку вероятностное описание в квантовой теории отвечает природе вещей, оказывается вполне естественным при неполном описании системы использование функции распределения, которая в этом случае носит название оператора плотности или матрицы плотности.

Пусть  - волновые функции стационарных состояний рассматриваемой системы. Индекс  обозначает совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния. Функции  взаимно ортогональны и нормированы, т.е. скалярное произведение

                                                             (II.1.1)

В наиболее привычном для слушателей, но не всегда самом удобном, координатном представлении скалярное произведение определяется следующим образом

.                                                (II.1.2)

где совокупность всех обобщенных координат системы. В обозначениях П.А.М. Дирака, возможно не совсем привычных для слушателей, но общепринятых во всем мире, скалярное произведение (II.1.2) обозначается как

=,                                                         (II.1.3)

где  и  - правый (“ket”) и сопряженный ему левый (“bra”) векторы состояния в гильбертовом пространстве состояний квантовой системы.

Пусть вероятность того, что система может быть обнаружена в ом стационарном состоянии, равна , . Тогда оператор плотности (статистический оператор) определяется выражением  

,                                                               (II.1.4)

и для произвольного вектора состояния  имеем

,                                         (II.1.5)

Пусть  - произвольный ортонормированный базис в пространстве векторов состояния. Тогда в этом базисе матрица плотности имеет элементы

                                             (II.1.6)

Если в качестве базиса  в (II.1.6) выбрать собственные векторы гамильтониана системы, то матрица  оказывается диагональной, причем диагональный элемент  совпадает с вероятностью обнаружить систему в ом квантовом состоянии. Условие нормировки вероятностей, с учетом (II.1.8), можно представить в виде

,                   (II.1.7)

где  (шпур) обозначает сумму диагональных элементов матрицы. Напомним, что шпур не зависит от выбора базиса, и в качестве  можно выбрать, например, собственные векторы оператора любой наблюдаемой.

Среднее значение какой-либо наблюдаемой величины (оператор этой величины)

можно представить как

,                  (II.1.8)

След произведения операторов  есть сумма диагональных элементов матрицы, являющейся произведением матриц  и  в некотором базисе.

Возвратимся к задаче об описании макроскопических систем в состоянии термодинамического равновесия. Квантовомеханическим аналогом теоремы Лиувилля (I.4.1) является условие коммутативности оператора плотности с гамильтонианом системы, т.е.

                                                                (II.1.9)

Поскольку мультипликативность статистического оператора также выполняется, условие (II.1.9) означает, что как и в классическом случае оператор плотности выражается через гамильтониан системы. Таким образом, не повторяя рассуждений, приведших к (I.4.5), получаем каноническое распределение в квантовом случае

,                                                (II.1.10)

Вероятность обнаружить систему в ом квантовом состоянии определяется диагональным элементом матрицы (II.1.10):

,                                               (II.1.11)

Нормировочную константу  в таком контексте называют статистической суммой.

2. Одноатомный идеальный газ как целое.

Рассмотрим систему слабо взаимодействующих друг с другом одинаковых бесструктурных атомов, находящихся в объеме  в состоянии термодинамического равновесия при температуре . Гамильтониан такой системы равен сумме по всем  частицам гамильтонианов отдельных атомов

                                     (II.2.1)

Распределение Гиббса

                           (II.2.2)

является ничем иным как произведением распределений Максвелла для отдельных атомов и факторов , отвечающих однородному распределению частиц по объему.

Теперь вместо распределения (II.2.2) будем интересоваться распределением по полной энергии газа . Для этого нам понадобится формула для объема мерного, а не трехмерного, шара радиуса :

,                                                (II.2.3)

где  - объем мерного шара единичного радиуса. Первое соотношение в (II.2.3) следует из соображений размерности. Проверим вторую формулу в (II.2.3) для небольших размерностей. Для  (отрезок),  (круг) и  (шар) она дает

,  ,    и т.д.

Поэтому представляется правдоподобным, что формулы (II.2.3) верны для любых . Однако, следуя такой логике, можно доказать, что все нечетные числа – простые. Действительно, числа 1, 3, 5, 7 – все простые, однако, уже число 9 не является таковым. Ясно, что в таких ситуациях необходима полная индукция. По определению

 

Отсюда имеем

 

Однако

где  – бэта-функция (эйлеров интеграл 1-го рода). Поэтому

и, проводя очевидные сокращения, приходим к (II.2.3) .

Поскольку

 

после интегрирования по координатам распределение (II.2.2) дает

                        (II.2.4)

что при  совпадает с (I.1.3). Для среднего значения  получаем

,                                     (II.2.5)

откуда находим среднюю энергию и дисперсию

                       (II.2.6)

Таким образом, относительная флуктуация , что является общим результатом для большого числа статистически независимых одинаковых величин.

Уравнение

                        (II.2.7)

определяет значение энергии , при котором распределение (II.2.4) имеет максимум. Учитывая (II.2.7) перепишем распределение (II.2.4) в виде

                               (II.2.8)

Поскольку при  среднее значение энергии  и  практически совпадают, а относительная дисперсия мала, разложим функцию  вблизи максимума:

                       (II.2.9)

Ограничиваясь первыми двумя членами этого разложения и используя формулу Стирлинга , вместо (II.2.8) получаем

,                          (II.2.10)

Чтобы изобразить распределения  для  и  в одном масштабе, перейдем в (II.2.10) к переменной :

,     (II.2.11)

Это нормальный закон распределения ошибок Гаусса с дисперсией , см. Рис. II.1.

Поскольку , где дельта-функция Дирака, то для макроскопических тел энергия практически не флуктуирует и совпадает со средней энергией. Это кардинально отличается от  случая , когда распределение по энергии одного атома достаточно широкое.

     Рис. II.1

Распределение по приведенной энергии ,  

при  (распределение Максвелла) и при


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35026. Система шифрования Цезаря 1.09 MB
  Криптография представляет собой совокупность методов преобразования данных, направленных на то, чтобы сделать эти данные бесполезными для противника. Такие преобразования позволяют решить две главные проблемы защиты данных: проблему обеспечения конфиденциальности (путем лишения противника возможности извлечь информацию из канала связи)
35027. Алгоритм шифрования XOR 131.96 KB
  XOR – это функция булевой алгебры, носящей название «исключающее или», данная функция используется для работы с данными представленными в двоичной системе исчисления. Основным достоинством, позволяющим использовать эту функцию в шифровальных алгоритмах является ее обратимость, при отсутствии потери информации.
35028. ФОРМИРОВАНИЕ ИНСТИТУТА АДВОКАТУРЫ В КОНЦЕ XVIII - НАЧАЛЕ XIX ВВ. ВО ФРАНЦИИ, ГЕРМАНИИ И РОССИИ 118 KB
  Внутриорганизационные правоотношения в сфере деятельности адвокатской корпорации и правоотношения, возникавшие по поводу правового статуса адвоката в период становления адвокатуры в России, Германии и Франции.
35029. Основы работы в AutoCAD 1.16 MB
  На сегодняшний день AutoCAD – самая мощная система автоматизированного проектирования (САПР) из тех, что могут работать на персональных компьютерах. Она способна выполнять практически все виды чертежных работ, необходимых в разнообразных областях технического проектирования.
35030. Настройка линейных и угловых единиц измерения 1.19 MB
  В AutoCAD при вычерчивании линий, а также объектов, состоящих из сегментов линий, используется одна из пяти систем линейных единиц. Угловые величины также могут измеряться в одной из пяти систем. Пользователь может выбрать самостоятельно как тип линейных
35031. Защита баз данных на примере MS ACCESS 441.3 KB
  Для защиты БД Ассеss использует файл рабочих групп systеm.mdw (рабочая группа - это группа пользователей, которые совместно используют ресурсы сети), к которому БД на рабочих станциях подключаются по умолчанию. Файл рабочих групп содержит учётные записи пользователей и групп, а также пароли пользователей.
35032. CADElectro + Search 190.5 KB
  Архивное хранилище документов [2. Различные типы документов [2. Согласование и утверждение документов [2. Проведение изменений утвержденных документов [2.
35033. Системы автоматизированного проектирования ЕLECTRICS Light 1.0. 50 KB
  К существенным преимуществам системы заметно отличающим ее от программ аналогичного назначения следует отнести: прямой расчет освещенности с использованием кривых силы света светильников с отслеживанием затенений и отражений от поверхностей; возможность расчета освещенностей в помещениях произвольной конфигурации прямоугольной овальной Г или Tобразной и т.; получение сводного результата по расчету множества помещений и всего здания проекта; возможность детального анализа распределения освещенности по области расчета построение...
35034. WinELSO 232.5 KB
  Работа с программой Для модуля Схема Электрооборудование А Компонуем модель электроснабжения промышленного общественного или жилого сооружения из элементов базы данных Расчетная схема ИСТОЧНИКИ ПИТАНИЯ Генераторы ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ Силовые трансформаторы КОММУТАЦИОННАЯ АППАРАТУРА Автоматические выключатели Дифференциальные автоматические выключатели УЗО Предохранители Контакторы Пускатели Переключатели Разъединители ЭЛЕКТРОПРИЕМНИКИ Силовые Электроосветительная нагрузка Розетки бытовые Квартиры Дома одноквартирные Дома садовые Сооружения...