18989

Квантовомеханическое описание

Лекция

Физика

Лекция II 1. Квантовомеханическое описание. Казалось бы каноническое распределение Гиббса I.4.5 невозможно согласовать с требованиями квантовой механики так как обобщенные координаты и импульсы в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга не коммутирую

Русский

2013-07-11

288 KB

0 чел.

Лекция II

1. Квантовомеханическое описание.

Казалось бы, каноническое распределение Гиббса (I.4.5) невозможно согласовать с требованиями квантовой механики, так как обобщенные координаты и импульсы в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга не коммутируют. Однако, поскольку вероятностное описание в квантовой теории отвечает природе вещей, оказывается вполне естественным при неполном описании системы использование функции распределения, которая в этом случае носит название оператора плотности или матрицы плотности.

Пусть  - волновые функции стационарных состояний рассматриваемой системы. Индекс  обозначает совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния. Функции  взаимно ортогональны и нормированы, т.е. скалярное произведение

                                                             (II.1.1)

В наиболее привычном для слушателей, но не всегда самом удобном, координатном представлении скалярное произведение определяется следующим образом

.                                                (II.1.2)

где совокупность всех обобщенных координат системы. В обозначениях П.А.М. Дирака, возможно не совсем привычных для слушателей, но общепринятых во всем мире, скалярное произведение (II.1.2) обозначается как

=,                                                         (II.1.3)

где  и  - правый (“ket”) и сопряженный ему левый (“bra”) векторы состояния в гильбертовом пространстве состояний квантовой системы.

Пусть вероятность того, что система может быть обнаружена в ом стационарном состоянии, равна , . Тогда оператор плотности (статистический оператор) определяется выражением  

,                                                               (II.1.4)

и для произвольного вектора состояния  имеем

,                                         (II.1.5)

Пусть  - произвольный ортонормированный базис в пространстве векторов состояния. Тогда в этом базисе матрица плотности имеет элементы

                                             (II.1.6)

Если в качестве базиса  в (II.1.6) выбрать собственные векторы гамильтониана системы, то матрица  оказывается диагональной, причем диагональный элемент  совпадает с вероятностью обнаружить систему в ом квантовом состоянии. Условие нормировки вероятностей, с учетом (II.1.8), можно представить в виде

,                   (II.1.7)

где  (шпур) обозначает сумму диагональных элементов матрицы. Напомним, что шпур не зависит от выбора базиса, и в качестве  можно выбрать, например, собственные векторы оператора любой наблюдаемой.

Среднее значение какой-либо наблюдаемой величины (оператор этой величины)

можно представить как

,                  (II.1.8)

След произведения операторов  есть сумма диагональных элементов матрицы, являющейся произведением матриц  и  в некотором базисе.

Возвратимся к задаче об описании макроскопических систем в состоянии термодинамического равновесия. Квантовомеханическим аналогом теоремы Лиувилля (I.4.1) является условие коммутативности оператора плотности с гамильтонианом системы, т.е.

                                                                (II.1.9)

Поскольку мультипликативность статистического оператора также выполняется, условие (II.1.9) означает, что как и в классическом случае оператор плотности выражается через гамильтониан системы. Таким образом, не повторяя рассуждений, приведших к (I.4.5), получаем каноническое распределение в квантовом случае

,                                                (II.1.10)

Вероятность обнаружить систему в ом квантовом состоянии определяется диагональным элементом матрицы (II.1.10):

,                                               (II.1.11)

Нормировочную константу  в таком контексте называют статистической суммой.

2. Одноатомный идеальный газ как целое.

Рассмотрим систему слабо взаимодействующих друг с другом одинаковых бесструктурных атомов, находящихся в объеме  в состоянии термодинамического равновесия при температуре . Гамильтониан такой системы равен сумме по всем  частицам гамильтонианов отдельных атомов

                                     (II.2.1)

Распределение Гиббса

                           (II.2.2)

является ничем иным как произведением распределений Максвелла для отдельных атомов и факторов , отвечающих однородному распределению частиц по объему.

Теперь вместо распределения (II.2.2) будем интересоваться распределением по полной энергии газа . Для этого нам понадобится формула для объема мерного, а не трехмерного, шара радиуса :

,                                                (II.2.3)

где  - объем мерного шара единичного радиуса. Первое соотношение в (II.2.3) следует из соображений размерности. Проверим вторую формулу в (II.2.3) для небольших размерностей. Для  (отрезок),  (круг) и  (шар) она дает

,  ,    и т.д.

Поэтому представляется правдоподобным, что формулы (II.2.3) верны для любых . Однако, следуя такой логике, можно доказать, что все нечетные числа – простые. Действительно, числа 1, 3, 5, 7 – все простые, однако, уже число 9 не является таковым. Ясно, что в таких ситуациях необходима полная индукция. По определению

 

Отсюда имеем

 

Однако

где  – бэта-функция (эйлеров интеграл 1-го рода). Поэтому

и, проводя очевидные сокращения, приходим к (II.2.3) .

Поскольку

 

после интегрирования по координатам распределение (II.2.2) дает

                        (II.2.4)

что при  совпадает с (I.1.3). Для среднего значения  получаем

,                                     (II.2.5)

откуда находим среднюю энергию и дисперсию

                       (II.2.6)

Таким образом, относительная флуктуация , что является общим результатом для большого числа статистически независимых одинаковых величин.

Уравнение

                        (II.2.7)

определяет значение энергии , при котором распределение (II.2.4) имеет максимум. Учитывая (II.2.7) перепишем распределение (II.2.4) в виде

                               (II.2.8)

Поскольку при  среднее значение энергии  и  практически совпадают, а относительная дисперсия мала, разложим функцию  вблизи максимума:

                       (II.2.9)

Ограничиваясь первыми двумя членами этого разложения и используя формулу Стирлинга , вместо (II.2.8) получаем

,                          (II.2.10)

Чтобы изобразить распределения  для  и  в одном масштабе, перейдем в (II.2.10) к переменной :

,     (II.2.11)

Это нормальный закон распределения ошибок Гаусса с дисперсией , см. Рис. II.1.

Поскольку , где дельта-функция Дирака, то для макроскопических тел энергия практически не флуктуирует и совпадает со средней энергией. Это кардинально отличается от  случая , когда распределение по энергии одного атома достаточно широкое.

     Рис. II.1

Распределение по приведенной энергии ,  

при  (распределение Максвелла) и при


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42747. Определение скорости движения тела в жидкости на примере осаждения твердой частицы в неподвижной среде под действием силы тяжести 78 KB
  Скорость такого равномерного движения частицы в среде называют скоростью осаждения. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ: Лабораторная установка для определения скорости осаждения частиц состоит из стеклянного цилиндра рис. Установка снабжена микрометром для определения диаметра шариков ареометром для определения удельного веса глицерина секундомером для замера времени осаждения шариков на пути между метками на цилиндре.
42748. Проектирование цеха по производству специальных красных вин 1.17 MB
  Современное оборудование позволяет перерабатывать виноград в щадящих режимах, не разрушая семян и кожицу ягод, предварительно отделив гребни. Это дает возможность вырабатывать легкие вина с великолепным вкусом, без внесения в него вредных тонов.
42750. Организация текста внутри HTML-документов с помощью таблиц 94.5 KB
  Организация текста внутри HTMLдокументов с помощью таблиц Элементы HTML для построения таблиц Для создания таблицы используется элемент TBLE. Атрибут border в открывающем теге TBLE делает видимой рамку таблицы и сетку разделяющую строки и столбцы. Между открывающим TBLE и закрывающим TBLE тегами для построения таблицы размещаются парные теги следующих элементов: 1. CPTION Текст отмеченный тегами CPTION и CPTION этого элемента выводится в виде заголовка таблицы.
42751. Изучение и исследование термоэлектрического метода измерения температур 99.5 KB
  При этом студенты овладевают методикой поверки автоматического потенциометра КСП4 в комплекте с образцовым потенциометром УПИП60М градуировки шкалы. магазин сопротивлений R4 R10 и клеммы для подключения образцового потенциометра УПИП60М. Поверка автоматического потенциометра КСП4. Для поверки градуировки шкалы автоматического потенциометра КСП4 собирают схему по рисунку.
42752. Потери напора по длине в круглой трубе 273 KB
  Цель работы экспериментальная иллюстрация формулы ДарсиВейсбаха определяющей связь потерь механической энергии потока жидкости по длине трубы с параметрами трубы и течения: 1 где hдл потери напора на трение подлине м; L длина опытного участка трубы м; d диаметр тубы м; V средняя скорость потока м с; скоростной напор в живом сечении трубы м; λ гидравлический коэффициент трения коэффициент Дарси. м3 с м3 с 1 65 000003 78 0000092 82 000037 0000492 2 62 0000029 80 0000095 0000124 3 16...
42753. Исследование трехфазного асинхронного двигателя методом непосредственной нагрузки 71 KB
  Исследование трехфазного асинхронного двигателя методом непосредственной нагрузки. Цель: Ознакомиться с конструкцией асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором. Произвести испытание асинхронного двигателя под нагрузкой научиться снимать её рабочие характеристики. Ход работы: Теоретический материал: А Асинхронный двигатель это двигатель переменного тока у которого Б Относительное отставание скорости ротора от поля статора называется В Вращающий момент асинхронного двигателя зависит от Г Почему клемму напряжения...
42754. Исследование работы двигателя постоянного тока последовательного возбуждения 59 KB
  Исследование работы двигателя постоянного тока последовательного возбуждения. Цель: Изучить устройство двигателя постоянного тока последовательного возбуждения. а почему не допускается включение двигателя последовательного возбуждения с нагрузкой менее 25 от номинального б что представляет собой рабочие характеристики двигателя последовательного возбуждения в какие способы регулирования частоты применяют для двигателя последовательного возбуждения г чем объясняется свойства двигателя последовательного возбуждения д в чем отличие...
42755. Форматирование абзацев и всего документа 626.5 KB
  Страницы как правило имеют одинаковые размеры. Редактор автоматически разбивает текст на страницы в зависимости от их размеров. Если размеры страницы меняются а это можно делать то автоматически меняются длины и количество строк на странице а также количество страниц. К характеристикам страницы которые могут быть заданы и изменены относятся собственно размеры страницы и поля указывающие расстояние от края листа до границ текста .