18994

О черных дырах

Лекция

Физика

Лекция VII 1. О черных дырах. Научное представление о черных дырах возникло к концу 18 века. В 1799 г. Лаплас на основании ньютоновской теории тяготения и предположения о конечной скорости света показал что достаточно компактное массивное тело будет невидимым для внешнего ...

Русский

2013-07-11

228 KB

0 чел.

Лекция VII

 1. О черных дырах.

Научное представление о черных дырах возникло к концу 18 века. В 1799 г. Лаплас на основании ньютоновской теории тяготения и предположения о конечной скорости света показал, что достаточно компактное массивное тело будет невидимым для внешнего наблюдателя. Действительно, найдем радиус  звезды с массой  такой, что она не выпускает на бесконечность даже свет. Согласно Ньютону для полной энергии частицы имеем

                                                         (VII.1.1)

На бесконечности , так что

                                                                (VII.1.2)

Для света  и это уравнение дает

                                                               (VII.1.3)

Хотя современное представление о черных дырах как объектах, обладающих горизонтом событий, могло возникнуть только после создания общей теории относительности, формула (VII.1.3) для гравитационного радиуса, полученная в нерелятивистской теории формальной заменой , следует из решения Шварцшильда (1873-1916 гг.), найденного им уже через два месяца после опубликования Эйнштейном уравнений релятивистской теории тяготения.

Нобелевский лауреат 1983 года по физике Субрахманьян Чандрасекар (1910-1995 гг.) в книге “Математическая теория черных дыр” говорит: “Вряд ли я погрешу против истины, утверждая, что черные дыры – это самые совершенные объекты во вселенной. Ведь для их построения достаточно понятий о времени и пространстве”. Действительно, единственными характеристиками этих объектов являются масса, угловой момент и заряд,

,                                                               (VII.1.4)

которые связаны с законами сохранения энергии, момента и заряда.

Будем рассматривать только сферически симметричные, невращающиеся, , незаряженные, , черные дыры. Единственной величиной, характеризующей такие черные дыры, является их масса , и, следовательно, гравитационный радиус (радиус Шварцшильда) , см. (VII.1.3)

                                   (VII.1.5)

где масса Солнца. На радиусе Шварцшильда гравитация становится такой сильной, что ничто не может вырваться из ее плена. Область пространства-времени, из которой невозможно уйти на бесконечность (классически) называется черной дырой. Граница этой области – горизонт событий, см. Рис. VII.1.

                                        Рис. VII.1

Любая частица с массой  притягивается черной дырой. На горизонте событий энергия связи равна массе покоя, . Если бы  это было не так, то оставшуюся часть массы можно было бы использовать, чтобы уйти от горизонта на бесконечность.

Для шварцшильдовской черной дыры можно определить ее площадь  

                                                  (VII.1.6)

и поверхностную гравитацию

                                             (VII.1.7)

Поверхностная гравитация является аналогом ускорения свободного падения  на поверхности Земли или звезды и постоянна на горизонте событий черной дыры.

2. Температура черной дыры.

Рассмотрим тепловую машину, у которой холодильником является черная дыра (Black Hole), а рабочим телом – ящик с черным излучением (radiation), см. рис. VII.2. Цикл Карно состоит в следующем. Будем медленно опускать ящик с равновесным излучением при температуре . Черная дыра совершает работу над механизмом поддержки (ворот, как в колодце). Вблизи горизонта откроем заслонку, чтобы часть излучения упала на дыру, а ящик стал “легче”. Закроем заслонку и поднимем ящик на прежнее место. Работа, совершенная механизмом поддержки во второй стадии будет меньше той, которую произвела черная дыра в первой. Откроем заслонку, чтобы черное излучение в ящике приобрело температуру , и закроем ее. И будем повторять эту процедуру неоднократно. Найдем коэффициент полезного действия такого устройства.

Поскольку ящик опускается медленно, то нет гравитационного излучения и вся работа – это освободившаяся энергия связи. Если бы ящик достиг горизонта, то вся энергия связи была бы равна точно,  (масса  ящика с излучением). Однако, чтобы можно было поднять ящик к механизму поддержки, надо остановиться на некотором расстоянии от горизонта. В противном случае никакая подвеска не удержит тело от падения в черную дыру. В то же время механизм поддержки может находиться на заданном расстоянии от черной дыры, например, на стационарной орбите.

Рис. VII.2

Пусть средний размер ящика , тогда лучшее, что можно сделать, это остановиться на расстоянии  от горизонта. Чтобы можно было использовать нерелятивисткое приближение, потребуем выполнения неравенства

                                                              (VII.2.1)

Действительно, в этом случае изменение потенциальной энергии ящика с излучением много меньше энергии покоя,

                                                   (VII.2.2)

Энергия связи нашего рабочего тела, центр инерции которого находится на расстоянии  от горизонта, равна

,                                                       (VII.2.3)

а работа, совершенная над механизмом поддержки,

,                                                   (VII.2.4)

Если черная дыра поглощает часть равновесного излучения с энергией , то механизм поддержки совершает работу

,                                                (VII.2.5)

Тогда “чистый” выигрыш в работе равен

,                                           (VII.2.6)

Он получен за счет передачи холодильнику энергии . Таким образом, коэффициент полезного действия машины

,                                                                (VII.2.7)

Чтобы получить максимальный коэффициент , нужно сделать расстояние  как можно меньше. Однако, если в ящике находится черное излучение при температуре , то есть квантовомеханическое ограничение на минимально допустимые размеры ящика. Размеры ящика должны быть достаточными, чтобы в нем уместились “эффективные” длины волн, в которых заключена основная энергия излучения . Более точно, согласно закону смещения Вина

,                                                           (VII.2.8)

где частота электромагнитных волн, отвечающая максимуму распределения энергии согласно формуле Планка, см. формулу (XIII.1.8). Поскольку , , так что

,                                                          (VII.2.9)

где некоторая константа, термодинамически неопределимая. Подставляя (VII.2.9) в (VII.2.7) получаем

                                                           (VII.2.10)

Сравнение этой формулы с формулой Карно

                                                           (VII.2.11)

дает (далее полагаем )

                                                    (VII.2.12)

Точное значение  получено Хокингом из первых принципов. Аббревиатура  может читаться как Black Hole, а также как Bekenstein-Hawking. Бекенштейн был, по-видимому, первый, кто рассмотрел термодинамику черных дыр, а Хокинг теоретически предсказал явление, которое называется “испарением черных дыр”.

Для массивных тел температура Бекенштейна-Хокинга чрезвычайно мала

                                                      (VII.2.13)

Следует отметить замечательную особенность черной дыры: при увеличении массы (энергии) она не нагревается, а остывает (отрицательная теплоемкость). Этим же свойством обдадает ньютоновская самогравитирующая система. Здесь нельзя использовать каноническое распределение, а только микроканоническое.

Для черной дыры с массой Солнца

,                                          (VII.2.14)

так что выполняются условия

                                     (VII.2.15)

Первое неравенство оправдывает приближение плоского горизонта событий, см. рис. VII.2, второе – нерелятивистское приближение (VII.2.1), а третье неравенство приведено для справок: радиус Солнца на пять порядков больше, чем гравитационный радиус черной дыры с массой Солнца.

3. Энтропия черной дыры.

Перенос чернотельного излучения является “чистым” переносом тепла без совершения работы. Потеря энтропии излучения

                                                                                               (VII.3.1)

Энтропия, полученая черной дырой равна

                                                                                            (VII.3.2)

Чтобы найти энтропию черной дыры, перепишем уравнение (VII.3.2), используя выражение (VII.2.12) для ее температуры

                                          (VII.3.4)

Интегрируя это уравнение, получаем

 ,                     (VII.3.5)

планковская длина. В частности для черной дыры с массой Солнца

                                               (VII.3.6)

В то же время, если считать, что Солнце – идеальный газ, состоящий из нуклонов, тогда согласно (III.4.6)

                                       (VII.3.7)

Здесь , , , так что

                                               (VII.3.8)

Таким образом,

                                                         (VII.3.9)

т.е. если Солнце сжать под его гравитационный радиус, то произойдет гигантская потеря информации. Действительно, черная дыра характеризуется лишь одним параметром – ее массой, в то время как Солнце обладает нетривиальной структурой (корона, солнечные пятна, магнитное поле, квадрупольный момент, ядерные реакции солнечного цикла и т.д.). В модели (VII.3.7) структура солнца характеризуется числом частиц (протонов).

4. Четыре закона термодинамики.

Для черных дыр выполняются аналоги всех начал термодинамики:

Нулевое начало термодинамики

0)                                   (VII.4.1)

(поверхностная гравитация постоянна)           (в равновесии температура системы постоянна)

Первое начало термодинамики

1)             (VII.4.2)

(для шварцшильдовских черных дыр)                                      (при постоянном объеме)

Второе начало термодинамики

2)                                       (VII.4.3)

(закон возрастания энтропии для замкнутых систем)

Третье начало термодинамики

4)                   (VII.4.4)

                  теорема Нернста

(Поверхностная гравитация                              (недостижимость абсолютного

равна нулю, только если )                  нуля температуры)

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

горизонт событий


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28907. Внешняя политика Советского Союза в 1945—1984 гг. 44.5 KB
  Победа в Великой Отечественной войне решающая роль во Второй мировой войне существенно укрепили авторитет СССР его влияние на международной арене. СССР стал одним из создателей Организации Объединенных Наций постоянным членом Совета Безопасности. Трумэн предложил образовать военнополитический союз западных стран создать на границах СССР сеть военных баз развернуть программу экономической помощи европейским странам пострадавшим от фашистской Германии доктрина Трумэна. Реакция СССР была вполне предсказуема.
28908. Цели и этапы перестройки 26.5 KB
  Горбачевым перестройка нашла живой отклик во всех слоях советского общества. Если говорить коротко то перестройка означала: создание эффективного механизма ускорения социально экономического развития общества; всестороннее развитие демократии укрепление дисциплины и порядка уважениек ценности и достоинству личности; отказ от командования и администрирования поощрение новаторства; решительный поворот к науке соединение научно технических достижений с экономикой и многое другое. К началу 1990х годов перестройка завершилась...
28909. Перестройка и распад СССР (1985–1991 гг.) 46.5 KB
  Перестройка и распад СССР 19851991 гг. В стране был введен пост президента первым президентом СССР стал Горбачев. В марте была отменена 6 статья Конституции СССР о руководящей роли КПСС. I Съезд народных депутатов СССР 1989 г.
28910. Внешняя политика в годы перестройки 24.5 KB
  ; XXVII съезд КПСС анализировал перспективы мирового развития исходя из концепции противоречивого но взаимосвязанного по сути дела целостного мира. Было признано что жизнеспособность мирового сообщества в многовариантности развития в его многоликости: национальной духовной социальной политической географической культурной. А поэтому каждая страна должна быть свободна в выборе пути к прогрессу; 5 необходимость отказа от осуществления собственного развития за счет других стран и народов а также учета баланса их интересов поиска...
28911. Человечество в конце XX-начале XXI веков 24 KB
  мир всё в большей степени взаимозависимый столкнулся с угрозой которая может быть предотвращена только общими усилиями. Всё больше и больше кажется что мир должен либо исчезнуть либо выжить как единое целое. Глобальная угроза которую сулит разрушение окружающей среды и истощение материальных и энергетических ресурсов была не первым материальноэнергетическим кризисом с которым столкнулся мир. мир снова застрял в историческом узком месте выбраться из которого можно при помощи новых технологий включая исследования в области...
28912. Становление новой российской государственности 45.5 KB
  Проведенные изменения пришли в противоречие с положениями Конституции РСФСР 1977 года. Ельцин в обращении к гражданам России объявил о введении в стране президентского правления вплоть до принятия новой Конституции. На основании решений референдума Президент приступил к разработке новой Конституции. Верховный Совет данный указ президента признал не соответствующим Конституции и в свою очередь принял решение о смещении президента как нарушившего Конституцию.
28913. Радикальная социально-экономическая модернизация 43.5 KB
  Конкурентный рынок мог утвердиться только на базе частной собственности поэтому необходимо было приватизировать передать в частную собственность значительную часть предприятий ограничить роль государства как хозяйствующего субъекта. Следующим этапом реформ стала приватизация государственных предприятий. Согласно ей было проведено акционирование государственных предприятий 51 акций распределялись между работниками предприятий а остальные поступали в открытую продажу: каждому россиянину выдавался приватизационный чек ваучер стоимостью...
28914. Основные направления внешней политики России в новой геополитической ситуации (1991–2002 гг.) 43.5 KB
  Провозглашалась невозможность решения международных проблем силовыми методами. Универсальным способом решения международных вопросов объявлялся баланс интересов приоритет общечеловеческих ценностей над классовыми. Конструктивное решение международных проблем возможно только путем мирных переговоров путем учета законных национальных интересов всех стран мира. В этих условиях неимоверно возрастает роль ООН в решении международных проблем.
28915. Февральская революция 1917 г. и свержение самодержавия 38.5 KB
  Специфика исторического процесса в России спрессовала во времени и пространстве фундаментальные проблемы общественного преобразования разных эпох. Особую остроту и зрелость революционной ситуации в России к началу 1917 г. Заявив что судьбу политического строя в России должно решать Учредительное собрание. Самодержавие в России окончательно пало.