18996

Идеальные газы

Лекция

Физика

Лекция IX 1. Идеальные газы. Большую статистическую сумму удается рассчитать для идеальных газов. Это системы в которых можно пренебречь взаимодействием частиц. Такое пренебрежение возможно когда взаимодействие мало черное излучение асимптотическая свобода или газ...

Русский

2013-07-11

249.5 KB

6 чел.

Лекция IX

1. Идеальные газы.

Большую статистическую сумму удается рассчитать для идеальных газов. Это системы, в которых можно пренебречь взаимодействием частиц. Такое пренебрежение возможно, когда взаимодействие мало (черное излучение, асимптотическая свобода) или газ разрежен (столкновения редки).

В этом случае

   (IX.1.1)

и большая статистическая сумма равна

 (IX.1.2)

Здесь квантовые числа , т.е. являются числами заполнения квантовых состояний  (вторичное квантование). Использование большого канонического ансамбля существенно облегчает выкладки, поскольку не надо учитывать, что общее число частиц в газе фиксировано.

Действительно, рассмотрим для простоты двухуровневые системы, когда имеются только два состояния: . В этом случае

            (IX.1.3)

Слагаемые под знаком  запишем в виде треугольной таблицы:

   (IX.1.4)

Суммирование в (IX.1.4) будем производить «по диагонали» (параллельно стрелке)

 (IX.1.5)

обобщение на случай любого числа состояний очевидно:

      (IX.1.6)

Отсюда для термодинамического потенциала получаем (без учета принципа Паули)

.        (IX.1.7)

Эту формулу можно получить с помощью такого рассуждения. Для идеальных газов динамического взаимодействия частиц нет, а квантовомеханическое (обменное) взаимодействие проявляется лишь для частиц, находящихся в данном квантовом состоянии. Рассмотрим поэтому совокупность частиц, находящихся в данном квантовом состоянии, как квазизамкнутую подсистему с переменным, вообще говоря, числом частиц. Пусть  – число частиц в данном квантовом состоянии , т.е.  - число заполнения этого состояния. Среднее число заполнения -ого квантового состояния согласно (VIII.5.3) равно

          (IX.1.8)

для идеального газа , поэтому

,       (IX.1.9)

что полностью совпадает с выражением (IX.1.7).

2. Распределение Ферми-Дирака.

Для системы фермионов справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Статистика, основанная на этом принципе, называется статистикой Ферми-Дирака. Для термодинамического потенциала  имеем

          (IX.2.1)

отсюда следует                            

             (IX.2.2)

– функция распределения для идеального газа, подчиняющегося статистике Ферми-Дирака (Ферми-газ). Как и следовало ожидать среднее число заполнения -ого квантового состояния не больше единицы, . Если полное число фермионов в газе равно , то

      (IX.2.3)

Это равенство определяет химический потенциал . Термодинамический потенциал всей системы

        (IX.2.4)

Формулы (IX.2.3) и (IX.2.4) полностью определяют термодинамические свойства Ферми-газа.

3. Распределение Бозе-Энштейна.

Для системы бозонов числа заполнения ничем не ограничены и могут принимать все целые значения, включая нуль. Поэтому

  (IX.3.1)

Сумма геометрической прогрессии существует только если ее знаменатель

       (IX.3.2)

для любых . Полагая, что энергия основного состояния , т.е. энергия отсчитывается от нуля, из неравенства (IX.3.2) следует, что для бозонов

.       (IX.3.3)

т.е. химический потенциал отрицателен. Поскольку при этом условии

,

то                                                               

 .          (IX.3.4)

Среднее число заполнения -ого квантового состояния

   (IX.3.5)

– функция распределения идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе-Эйнштейна (бозе-газа). Полное число бозонов

      (IX.3.6)

и термодинамический потенциал

   (IX.3.7)

определяют все термодинамические свойства бозе-газа.

4. Распределение Больцмана.

Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Энштейна удобно представить единым образом

           (IX.4.1)

Квантовые свойства системы частиц проявляются только при , т.е. когда средние числа заполнения сравнимы с единицей (для Ферми-газа), или порядка единицы или много больше ее (для Бозе-газа). Если же , то квантовомеханические ограничения не сказываются. В этом случае газ является классическим – больцмановский идеальный газ.

Если

,                      (IX.4.2)

то в знаменателе формулы (IX.4.1) можно пренебречь слагаемым  и получить классическую (больцмановскую) функцию распределения

.     (IX.4.3)

Это неравенство должно выполняться при любых энергиях, в том числе для основного состояния, . Поэтому формальным условием применимости распределения Больцмана является неравенство

    (IX.4.4)

т.е.  - химический потенциал должен быть отрицательным и большим абсолютной величине.

Если движение частиц (молекул газа) можно описывать классически, тогда вместо квантовых чисел состояния нужно использовать фазовые переменные . В квазиклассическом приближении число квантовых состояний в элементе фазового пространства  равно

-число степеней свободы)        (IX.4.5)

Умножая (IX.4.5) на среднее число частиц в одном квантовом состоянии (IX.4.3), получим среднее число частиц в элементе фазового пространства

        (IX.4.6)

Энергия частицы, движущейся во внешнем поле

.           (IX.4.7)

- сумма кинетической и потенциальной энергии, так что импульсные и пространственные переменные в распределении (IX.4.6) разделяются.

  (IX.4.8)

- распределение Максвелла, нормированное на плотность  частиц в единице объема (в (IX.4.8) восстановлена константа Больцмана , так что температура измеряется в градусах Кельвина).

Распределение по координатам во внешнем поле будет равно

,      (IX.4.9)

т.е.

                                                                               (IX.4.10)

- формула Больцмана. Здесь  - плотность числа частиц в точке , а  - плотность в тех точках, где потенциальная энергия .

В частности, в однородном поле тяжести, ,

        (IX.4.11)

- барометрическая формула. В то же время в гравитационном поле ,  и если при , то распределение (IX.4.10) неприменимо. Это связано с неустойчивостью равновесия в гравитационном поле (примером может служить отсутствие атмосферы Луны).

5. Больцмановский идеальный газ.

Вычислим термодинамический потенциал больцмановского идеального газа. При условии (IX.4.4) оба выражения (IX.2.4) и (IX.3.7) дают

                                      (IX.5.1)

Поступательное движение молекул будем описывать квазиклассически. В этом случае энергию молекулы можно представить в виде

,                                                  (IX.5.2)

где собственные значения энергии, отвечающей внутренним степеням свободы частицы (например, колебательное или вращательное движение молекулы). В квазиклассическом приближении имеем

                 (IX.5.3)

Вводя обозначения

                                    ,     ,                         (IX.5.4)

окончательно получаем

                                                (IX.5.5)

Здесь  - внутренняя статистическая сумма, а  - так называемый квантовый объем. Его физический смысл состоит в следующем. Температуре  соответствует энергия . Поэтому волновой вектор , а  - тепловая длина волны. Квантовый объем, связанный с этой величиной , определен формулой (IX.5.4).

Если в газе  молекул, то химический потенциал можно найти из соотношения

                    (IX.5.6)

Поэтому, например, для одноатомного газа () условие применимости статистики Больцмана (IX.4.4)  эквивалентно неравенству

                               или            ,                                 (IX.5.7)

т.е. число частиц в квантовом объеме должно быть много меньше единицы. Это неравенство нарушается при высоких концентрациях, низких температурах и малом молекулярном весе.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47493. Язык программирования Java 2.28 MB
  Программы на языке Java строятся на основе классов. Руководствуясь определением класса, разработчик создает произвольное количество объектов, или экземпляров, данного класса. Класс и его объекты можно сравнить, соответственно, с чертежом и деталями — имея чертеж, не составляет труда произвести необходимое количество деталей
47495. дискретно-событийного моделирования систем и технология имитационного моделирования 3.66 MB
  МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. Основы дискретнособытийного моделирования СМО. ВЕРОЯТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. Моделирование дискретных случайных величин.
47496. Начинаем программировать на языке Java 150.5 KB
  Элементарные строительные блоки в Jаvа называются классами как и в C. При этом необходимо набрать имя запускаемого класса точно так как оно написано в исходном тексте программы т. Вся программа состоит из одного класса с именем JаvаTest. У этого класса имеется единственный метод min аналогичный функции min в языках программирования C и C и определяющий место с которого программа начинает выполняться так называемая точка входа.
47497. Программирование на Java 1.15 MB
  Процесс инкапсуляции значения в объект называется упаковкой (boxing). До появления Java 2 версии 5.0 вся упаковка выполнялась программистом вручную, с помощью создания экземпляра оболочки с нужным значением. В приведенной далее строке кода значение 100 упаковывается вручную в объект типа Integer:
47498. Культура русской речи 1.17 MB
  Виноградова Культура русской речи Ответственные редакторы доктор филологических наук профессор Л. Ширяев Культура русской речи. Книга представляет собой первый академический учебник по культуре речи содержащий наиболее полный систематизированный материал по данной теме. В основе издания лежит принципиально новая теоретическая концепция культуры речи.
47499. Артикуляционная гимнастика в считалках 3.44 MB
  В пособии предложены эффективные упражнения для укрепления мышц артикуляционного аппарата. Упражнения сопровождаются иллюстрациями и стихотворным текстом. Упражнения сопровождаются забавными рисунками которые дети с удовольствием раскрасят и стихотворным текстом который сначала читает взрослый а затем по мере запоминания проговаривает ребенок.
47500. Маркетинг. Тестові та ситуаційні завдання 2.67 MB
  Самостійна робота у навчанні студентів ІЕУ ІОФ маркетингу. теоретичні методичні та практичні аспекти маркетингу Змістовий модуль Теоретичні та методичні основи маркетингу. Актуальність і практична необхідність вивчення і використання маркетингу в умовах ринкових відносин.