18996

Идеальные газы

Лекция

Физика

Лекция IX 1. Идеальные газы. Большую статистическую сумму удается рассчитать для идеальных газов. Это системы в которых можно пренебречь взаимодействием частиц. Такое пренебрежение возможно когда взаимодействие мало черное излучение асимптотическая свобода или газ...

Русский

2013-07-11

249.5 KB

6 чел.

Лекция IX

1. Идеальные газы.

Большую статистическую сумму удается рассчитать для идеальных газов. Это системы, в которых можно пренебречь взаимодействием частиц. Такое пренебрежение возможно, когда взаимодействие мало (черное излучение, асимптотическая свобода) или газ разрежен (столкновения редки).

В этом случае

   (IX.1.1)

и большая статистическая сумма равна

 (IX.1.2)

Здесь квантовые числа , т.е. являются числами заполнения квантовых состояний  (вторичное квантование). Использование большого канонического ансамбля существенно облегчает выкладки, поскольку не надо учитывать, что общее число частиц в газе фиксировано.

Действительно, рассмотрим для простоты двухуровневые системы, когда имеются только два состояния: . В этом случае

            (IX.1.3)

Слагаемые под знаком  запишем в виде треугольной таблицы:

   (IX.1.4)

Суммирование в (IX.1.4) будем производить «по диагонали» (параллельно стрелке)

 (IX.1.5)

обобщение на случай любого числа состояний очевидно:

      (IX.1.6)

Отсюда для термодинамического потенциала получаем (без учета принципа Паули)

.        (IX.1.7)

Эту формулу можно получить с помощью такого рассуждения. Для идеальных газов динамического взаимодействия частиц нет, а квантовомеханическое (обменное) взаимодействие проявляется лишь для частиц, находящихся в данном квантовом состоянии. Рассмотрим поэтому совокупность частиц, находящихся в данном квантовом состоянии, как квазизамкнутую подсистему с переменным, вообще говоря, числом частиц. Пусть  – число частиц в данном квантовом состоянии , т.е.  - число заполнения этого состояния. Среднее число заполнения -ого квантового состояния согласно (VIII.5.3) равно

          (IX.1.8)

для идеального газа , поэтому

,       (IX.1.9)

что полностью совпадает с выражением (IX.1.7).

2. Распределение Ферми-Дирака.

Для системы фермионов справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Статистика, основанная на этом принципе, называется статистикой Ферми-Дирака. Для термодинамического потенциала  имеем

          (IX.2.1)

отсюда следует                            

             (IX.2.2)

– функция распределения для идеального газа, подчиняющегося статистике Ферми-Дирака (Ферми-газ). Как и следовало ожидать среднее число заполнения -ого квантового состояния не больше единицы, . Если полное число фермионов в газе равно , то

      (IX.2.3)

Это равенство определяет химический потенциал . Термодинамический потенциал всей системы

        (IX.2.4)

Формулы (IX.2.3) и (IX.2.4) полностью определяют термодинамические свойства Ферми-газа.

3. Распределение Бозе-Энштейна.

Для системы бозонов числа заполнения ничем не ограничены и могут принимать все целые значения, включая нуль. Поэтому

  (IX.3.1)

Сумма геометрической прогрессии существует только если ее знаменатель

       (IX.3.2)

для любых . Полагая, что энергия основного состояния , т.е. энергия отсчитывается от нуля, из неравенства (IX.3.2) следует, что для бозонов

.       (IX.3.3)

т.е. химический потенциал отрицателен. Поскольку при этом условии

,

то                                                               

 .          (IX.3.4)

Среднее число заполнения -ого квантового состояния

   (IX.3.5)

– функция распределения идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе-Эйнштейна (бозе-газа). Полное число бозонов

      (IX.3.6)

и термодинамический потенциал

   (IX.3.7)

определяют все термодинамические свойства бозе-газа.

4. Распределение Больцмана.

Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Энштейна удобно представить единым образом

           (IX.4.1)

Квантовые свойства системы частиц проявляются только при , т.е. когда средние числа заполнения сравнимы с единицей (для Ферми-газа), или порядка единицы или много больше ее (для Бозе-газа). Если же , то квантовомеханические ограничения не сказываются. В этом случае газ является классическим – больцмановский идеальный газ.

Если

,                      (IX.4.2)

то в знаменателе формулы (IX.4.1) можно пренебречь слагаемым  и получить классическую (больцмановскую) функцию распределения

.     (IX.4.3)

Это неравенство должно выполняться при любых энергиях, в том числе для основного состояния, . Поэтому формальным условием применимости распределения Больцмана является неравенство

    (IX.4.4)

т.е.  - химический потенциал должен быть отрицательным и большим абсолютной величине.

Если движение частиц (молекул газа) можно описывать классически, тогда вместо квантовых чисел состояния нужно использовать фазовые переменные . В квазиклассическом приближении число квантовых состояний в элементе фазового пространства  равно

-число степеней свободы)        (IX.4.5)

Умножая (IX.4.5) на среднее число частиц в одном квантовом состоянии (IX.4.3), получим среднее число частиц в элементе фазового пространства

        (IX.4.6)

Энергия частицы, движущейся во внешнем поле

.           (IX.4.7)

- сумма кинетической и потенциальной энергии, так что импульсные и пространственные переменные в распределении (IX.4.6) разделяются.

  (IX.4.8)

- распределение Максвелла, нормированное на плотность  частиц в единице объема (в (IX.4.8) восстановлена константа Больцмана , так что температура измеряется в градусах Кельвина).

Распределение по координатам во внешнем поле будет равно

,      (IX.4.9)

т.е.

                                                                               (IX.4.10)

- формула Больцмана. Здесь  - плотность числа частиц в точке , а  - плотность в тех точках, где потенциальная энергия .

В частности, в однородном поле тяжести, ,

        (IX.4.11)

- барометрическая формула. В то же время в гравитационном поле ,  и если при , то распределение (IX.4.10) неприменимо. Это связано с неустойчивостью равновесия в гравитационном поле (примером может служить отсутствие атмосферы Луны).

5. Больцмановский идеальный газ.

Вычислим термодинамический потенциал больцмановского идеального газа. При условии (IX.4.4) оба выражения (IX.2.4) и (IX.3.7) дают

                                      (IX.5.1)

Поступательное движение молекул будем описывать квазиклассически. В этом случае энергию молекулы можно представить в виде

,                                                  (IX.5.2)

где собственные значения энергии, отвечающей внутренним степеням свободы частицы (например, колебательное или вращательное движение молекулы). В квазиклассическом приближении имеем

                 (IX.5.3)

Вводя обозначения

                                    ,     ,                         (IX.5.4)

окончательно получаем

                                                (IX.5.5)

Здесь  - внутренняя статистическая сумма, а  - так называемый квантовый объем. Его физический смысл состоит в следующем. Температуре  соответствует энергия . Поэтому волновой вектор , а  - тепловая длина волны. Квантовый объем, связанный с этой величиной , определен формулой (IX.5.4).

Если в газе  молекул, то химический потенциал можно найти из соотношения

                    (IX.5.6)

Поэтому, например, для одноатомного газа () условие применимости статистики Больцмана (IX.4.4)  эквивалентно неравенству

                               или            ,                                 (IX.5.7)

т.е. число частиц в квантовом объеме должно быть много меньше единицы. Это неравенство нарушается при высоких концентрациях, низких температурах и малом молекулярном весе.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13751. Искусство вокруг нас. Виды искусства 642 KB
  Вопрос 1. Искусство вокруг нас. Виды искусства. Искусство – часть духовной культуры человечества специфический род духовно практического освоения мира. К искусству относят разновидности человеческой деятельности объединяемые художественно – образными формами в
13752. Развитие дизайна и его значение в жизни современного общества 1.31 MB
  Развитие дизайна и его значение в жизни современного общества Формирование красивой и комфортной предметной среды всегда привлекало внимание людей. На рубеже ХIХ ХХ вв. вместе с развитием промышленного производст...
13753. Художественный образ – стиль – язык 2.33 MB
  Художественный образ – стиль – язык. У каждого времени свое лицо свой образ свои мелодии и ритмы. Когда мы видим величественные египетские пирамиды храм Василия Блаженного рассматриваем полотна Рембрандта Репина слушаем музыку Баха Моцарта Чайковского читаем...
13754. Наука и искусство. Универсальный гений эпохи Возрождения Леонардо да Винчи 1.38 MB
  Наука и искусство. Универсальный гений эпохи Возрождения Леонардо да Винчи. Наука и искусство – две области деятельности человечества на протяжении всего существования. Культуре в равной мере нужны и наука и искусство. Для того чтобы наука приносила людям пользу и рад
13755. Декоративно-прикладное искусство 2.81 MB
  Декоративноприкладное искусство Декоративноприкладное искусство сложное и многогранное явление культуры. Оно охватывает многие виды народных промыслов связанных с созданием художественных изделий имеющих практическое назначение в быту
13756. Красота Земли в искусстве (поэтический пейзаж) 2.23 MB
  Красота Земли в искусстве поэтический пейзаж А.С.Пушкин называл искусство магическим кристаллом сквозь грани которого поновому видны окружающие нас люди предметы явления привычной жизни. Во все времена живописцы композиторы и писатели отражают в своих...
13757. Музыка в быту 1.54 MB
  Музыка в быту Трудно представить жизнь современного человека без музыки. Она окружает его повсюду. Музыка звучит с экранов телевизоров с мониторов компьютеров. Она сопровождает праздники развлечения и т. п. У каждого наверняка есть своя фо...
13759. Импрессионизм. Клод Моне 1.06 MB
  Импрессионизм. Клод Моне. Имрессионизм зародился в 1860 годах во французской живописи. Э. Мане О. Ренуар Эдгард Дега внесли в искусство свежестьизображение мгновенныхкак бы случай ных движений и ситуацийфрагментарность композиций ракурсы срезы фигур.В 18701880го