18997

Термодинамические величины больцмановского идеального газа

Лекция

Физика

Лекция Х 1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа. Учитывая формулы IX.5.5 и IX.5.6 находим термодинамический потенциал X.1.1 С другой стороны поэтому ...

Русский

2013-07-11

222.5 KB

10 чел.

Лекция Х

1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа.

Учитывая формулы (IX.5.5) и (IX.5.6), находим термодинамический потенциал

                                                               (X.1.1)

С другой стороны , поэтому

                                                               (X.1.2)

- уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона). Отметим, что это уравнение не зависит от внутренних степеней свободы. Для граммолекулы (одного моля)  , так что газовая постоянная равна .

Для других термодинамических потенциалов нетрудно получить явные выражения. Согласно (IX.5.6) получаем

,                                (X.1.3)

а для свободной энергии имеем

       ,

так что                                          

                                            (X.1.4)

где основание натуральных  логарифмов.

Изотермическая сжимаемость (VIII.5.10) идеального газа равна

                                                   (X.1.5)

и для относительной флуктуации числа частиц имеем , что полностью согласуется с (VIII.5.12).

Ограничимся далее рассмотрением одноатомного идеального газа. Внутренняя статистическая сумма

,                                                   (X.1.6)

где статистический вес уровня (кратность вырождения), а суммирование ведется по уровням энергии. Для одноатомных газов энергия электронных степеней свободы. Для возбужденных состояний , поэтому главный вклад дает основное состояние , т.е. . В нормальном состоянии обычно , так что  - основной уровень невырожден. Тогда равенство (X.1.4) дает

,                                                 (X.1.7)

а энтропия равна

,   или            (X.1.8)

где концентрация . Выражение для энтропии (X.1.8) называется уравнением Сакура-Тетроде. Поскольку , то  (фактически , так как ). Однако эта классическая формула не удовлетворяет теореме Нернста. Тем не менее, ее проверили для многих газов. Например, для неона при температуре 27.2  и  давлении 1 атм  экспериментальное значение энтропии равно , а теоретическое – . Поэтому совпадение теории и эксперимента для такой сложной системы можно считать превосходным.

Для полной энергии из (X.1.7) и (X.1.8) получаем

,                                            (X.1.9)

что является выражением закона  равнораспределения: на каждую поступательную степень свободы приходится  в энергии, или  в теплоемкости:

                                                          (X.1.10)

2. Ферми- и бозе-газы элементарных частиц.

Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, т.е частиц не обладающих внутренними степенями свободы (элементарными частицами в этом смысле могут являться и атомы, если не возбуждаются электронные степени свободы). Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна для полного числа частиц дают

                                                              (X.2.1)

а для термодинамического потенциала

                                                      (X.2.2)

Верхний знак в (X.2.1) и (X.2.2) относится к фермионам, нижний – к бозонам.

Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое можно описывать в квазиклассическом приближении. Для нерелятивистских частиц имеем

,                                                              (X.2.3)

так что сумма по квантовым состояниям может быть преобразована к интегралу

,                              (X.2.4)

где кратность вырождения уровня энергии . Для частиц со спином  кратность вырождения  называют также статистическим весом.

Переходя в (X.2.4) к новой переменной интегрирования , получаем следующие выражения для полного числа частиц и термодинамического потенциала

                                                          (X.2.5)

                                           (X.2.6)

Интегрируя по частям интеграл в (X.2.6)

получаем    

                                        (X.2.7)

С другой стороны

                                     (X.2.8)

Сравнение (X.2.7) с (X.2.8) дает

   ,                                                                 (X.2.9)

т.е. аналог уравнения (VI.1.1) в нерелятивистском случае.

В классическом пределе , так что ограничиваясь в разложении логарифма из (X.2.6) первым членом и учитывая значение интеграла

                                                      (X.2.10)

получаем   

,                                                         (X.2.11)

что совпадает с классическим значением (IX.5.5), если учесть, что в нашем случае .

3. Квантовая поправка к уравнению состояния.

По-прежнему будем исходить из общего выражения (X.2.6), но удержим в разложении логарифма по малому параметру  первые два слагаемых:

Учитывая значение интеграла (X.2.10) для термодинамического потенциала  вместо (X.2.11) получаем

                                          (X.3.1)

Отсюда для полного числа частиц имеем

                                        (X.3.2)

Деление (X.3.1) на (X.3.2) дает

                      (X.3.3)

В рассматриваемом приближении

,                                                          (X.3.4)

так что окончательно приходим к уравнению

                                                  (X.3.5)

Для фермионов квантовая поправка увеличивает давление при заданных температуре  и объеме , что соответствует принципу Паули – эффективное отталкивание фермионов. Для бозонов наоборот, эта поправка отрицательна, что соответствует эффективному притяжению частиц. Шутливая формулировка этого принадлежит Дж. Займану: “Чем нас больше соберется, тем нам будет веселей”, см. эпиграф к главе I книги “Современная квантовая теория”.

При нормальных условиях квантовая поправка к уравнению Клапейрона как правило мала. Однако при уменьшении температуры и увеличении концентрации она растет. При заданной концентрации квантовая поправка становится порядка единицы при температуре, определяемой соотношением (статистический вес )

                         (X.3.6)

Температуру (X.3.6) называют температурой вырождения. Так как удельный объем , где среднее расстояние между частицами, то температура вырождения отвечает энергии , которую частица, запертая в области с линейным размером , приобретает вследствие принципа неопределенности Гейзенберга.

Уравнение (X.3.5) справедливо при температурах больших по сравнению с температурой вырождения, когда квантовая поправка мала и отличие в поведении ферми- и бозе-газов незначительно. Если же температура , то системы фермионов и бозонов ведут себя совершенно по-разному, и в этом случае их следует рассматривать порознь.

Чтобы составить себе представление о порядке величины температуры вырождения, оценим ее значение для воздуха в комнатных условиях: концентрация , средняя масса молекул , так что  

  

Таким образом, все обычные атомные или молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными, и для них остаются справедливыми все, соотношения классической статистики Больцмана. Температуры, при которых в таких системах начинают проявляться квантовые эффекты лежат гораздо ниже температуры конденсации газов. Напротив, для электронов в металлах уже комнатные температуры столь низки, что электронный газ оказывается сильно вырожденным (см. ниже).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45252. Презентация как форма PR-акции: функции, этапы разработки и реализации 33 KB
  Полная готовность к проведению презентации 11 часов на час раньше назначенного времени остается время на устранение мелких неполадок и недочетов. Приглашенных встречает первое лицо и ведущий презентации. Модератор ведущий выступает с предварительной речью приветствие и обращение к аудитории оглашение тем презентации представление участников президиума оглашение регламента проведения презентации представительский блок. Примечание: Все участники президиума имеют на руках специально подготовленные папки с материалами презентации...
45253. Ярмарка как форма ПР акции: функции, классификация, этапы разработки и реализации 29.5 KB
  Ярмарки - это регулярно организуемые оптово-розничные рыночные мероприятия с ограниченным временем проведения где значительное количество экспонентов реализуют характерные услуги и товары одной или нескольких отраслей. Ярмарки имеют множество сходных признаков и характеристик деятельности с выставками однако на ярмарках производится не только демонстрация выставочных образцов но и прямая продажа продукции посетителям как оптом так и в розницу. Ярмарки зародились как мероприятие рыночного характера основной целью которого являлся сбыт....
45254. Выставка как форма ПР-акции: функции, классификация, этапы разработки и реализации 30.5 KB
  Выставки позволяют наглядно показать каких достижений добилась организация показать фирму с наиболее выгодной стороны и заинтересовать потенциальных потребителей. Функции: организация выставки вызывает у общественности мнение что фирма обладает положительными качествами: солидность успешность компетентность авторитетность. создание благоприятного общественного мнения о фирме в рамках выставки. Для чего проводятся мероприятия: освещение выставки в СМИ интервью доклады выступления с сообщением о деятельности фирмы качествах...
45255. Участие в выставке как В ПР акция: этапы организации, содержание информационной поддержки 31 KB
  Выбор конкретной выставки. стадия работы выставки работа в ходе функционирования выставки 5. Завязывание контактов в деловом мире страны-организатора выставки. Предоставление необходимой информации о самой фирме и ее продуктах формирование у потребителей знаний о конкретном товаре или услуге; формирование положительного имиджа фирмы доброжелательного отношения к ней поддержание репутации строительной фирмы на определенном этапе; поиск новых партнеров или агентов; формирование потребностей и стимулирование сбыта продукта; позиционирование...
45256. Выставочный стенд как форма ПР-коммуникаций: маркетинговые задачи, предметный формат, содержательное оформление 26 KB
  Маркетинговые задачи: Стенд это образ фирмы-экспонента в миниатюре воплощающий его общую предпринимательскую культуру. Отразить лицо фирмы.Иметь свое лицо название фирмы эмблема графическое изображение цвета что помогает идентификации фирмы и создает предпосылки для ее узнавания в будущем. Структура стенда: руководитель стенда документальное обеспечение представительские контакты с выставочным комитетом представление фирмы перед СМИ несколько стендистов рядовая публика привлечение к стенду и менеджер по продажам работа с...
45257. Антикризисная стратегия фирмы: этапы формирования и реализации 28 KB
  Антикризисная стратегия фирмы: этапы формирования и реализации Кризис это событие по вине которого компания попадает в центр не всегда доброжелательного внимания СМИ и других внешних целевых аудиторий в том числе акционеров политиков профсоюзных организации движений в защиту окружающей среды которые по той или иной причине вполне законно интересуются действиями организации. Реагирование на кризис: выявление сути проблемы идентификация источника выявление ключевых аудиторий расчет издержек информирование публичное заявление для СМИ...
45258. СМИ как ресурс реализации антикризисной программы фирмы 28 KB
  СМИ как ресурс реализации антикризисной программы фирмы. Кризис это событие по вине которого компания попадает в центр не всегда доброжелательного внимания СМИ и других внешних целевых аудиторий в том числе акционеров политиков профсоюзных организации движений в защиту окружающей среды которые по той или иной причине вполне законно интересуются действиями организации. Необходимо работать со СМИ они склонны искать и транслировать сенсации конфликты неоднозначные оценки слухи и т. Для СМИ важно кто первый обнародует сенсационный...
45259. Спонсоринг как разновидность PR-технологий: идеология, функции, приоритеты, мотивы, формы 29 KB
  В содержании программы должны быть представлены: Проблема вызывающая необходимость разработки программы. Цели конкретное представление о желаемом результате программы. Бюджет программы с конкретными статьями расходов.
45260. Попечительский совет как PR – ресурс фирмы: миссия, функции, этапы организации, приоритеты деятельности 30.5 KB
  Попечительский совет как PR ресурс фирмы: миссия функции этапы организации приоритеты деятельности. Но существуют некоторые общие функции которые присущи попечительскому совету любой организации: 1. создание положительного образа организации ПР; 3. лоббирование интересов организации на различных уровнях; 4 контроль за финансовой деятельностью организации; 5.