18997

Термодинамические величины больцмановского идеального газа

Лекция

Физика

Лекция Х 1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа. Учитывая формулы IX.5.5 и IX.5.6 находим термодинамический потенциал X.1.1 С другой стороны поэтому ...

Русский

2013-07-11

222.5 KB

9 чел.

Лекция Х

1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа.

Учитывая формулы (IX.5.5) и (IX.5.6), находим термодинамический потенциал

                                                               (X.1.1)

С другой стороны , поэтому

                                                               (X.1.2)

- уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона). Отметим, что это уравнение не зависит от внутренних степеней свободы. Для граммолекулы (одного моля)  , так что газовая постоянная равна .

Для других термодинамических потенциалов нетрудно получить явные выражения. Согласно (IX.5.6) получаем

,                                (X.1.3)

а для свободной энергии имеем

       ,

так что                                          

                                            (X.1.4)

где основание натуральных  логарифмов.

Изотермическая сжимаемость (VIII.5.10) идеального газа равна

                                                   (X.1.5)

и для относительной флуктуации числа частиц имеем , что полностью согласуется с (VIII.5.12).

Ограничимся далее рассмотрением одноатомного идеального газа. Внутренняя статистическая сумма

,                                                   (X.1.6)

где статистический вес уровня (кратность вырождения), а суммирование ведется по уровням энергии. Для одноатомных газов энергия электронных степеней свободы. Для возбужденных состояний , поэтому главный вклад дает основное состояние , т.е. . В нормальном состоянии обычно , так что  - основной уровень невырожден. Тогда равенство (X.1.4) дает

,                                                 (X.1.7)

а энтропия равна

,   или            (X.1.8)

где концентрация . Выражение для энтропии (X.1.8) называется уравнением Сакура-Тетроде. Поскольку , то  (фактически , так как ). Однако эта классическая формула не удовлетворяет теореме Нернста. Тем не менее, ее проверили для многих газов. Например, для неона при температуре 27.2  и  давлении 1 атм  экспериментальное значение энтропии равно , а теоретическое – . Поэтому совпадение теории и эксперимента для такой сложной системы можно считать превосходным.

Для полной энергии из (X.1.7) и (X.1.8) получаем

,                                            (X.1.9)

что является выражением закона  равнораспределения: на каждую поступательную степень свободы приходится  в энергии, или  в теплоемкости:

                                                          (X.1.10)

2. Ферми- и бозе-газы элементарных частиц.

Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, т.е частиц не обладающих внутренними степенями свободы (элементарными частицами в этом смысле могут являться и атомы, если не возбуждаются электронные степени свободы). Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна для полного числа частиц дают

                                                              (X.2.1)

а для термодинамического потенциала

                                                      (X.2.2)

Верхний знак в (X.2.1) и (X.2.2) относится к фермионам, нижний – к бозонам.

Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое можно описывать в квазиклассическом приближении. Для нерелятивистских частиц имеем

,                                                              (X.2.3)

так что сумма по квантовым состояниям может быть преобразована к интегралу

,                              (X.2.4)

где кратность вырождения уровня энергии . Для частиц со спином  кратность вырождения  называют также статистическим весом.

Переходя в (X.2.4) к новой переменной интегрирования , получаем следующие выражения для полного числа частиц и термодинамического потенциала

                                                          (X.2.5)

                                           (X.2.6)

Интегрируя по частям интеграл в (X.2.6)

получаем    

                                        (X.2.7)

С другой стороны

                                     (X.2.8)

Сравнение (X.2.7) с (X.2.8) дает

   ,                                                                 (X.2.9)

т.е. аналог уравнения (VI.1.1) в нерелятивистском случае.

В классическом пределе , так что ограничиваясь в разложении логарифма из (X.2.6) первым членом и учитывая значение интеграла

                                                      (X.2.10)

получаем   

,                                                         (X.2.11)

что совпадает с классическим значением (IX.5.5), если учесть, что в нашем случае .

3. Квантовая поправка к уравнению состояния.

По-прежнему будем исходить из общего выражения (X.2.6), но удержим в разложении логарифма по малому параметру  первые два слагаемых:

Учитывая значение интеграла (X.2.10) для термодинамического потенциала  вместо (X.2.11) получаем

                                          (X.3.1)

Отсюда для полного числа частиц имеем

                                        (X.3.2)

Деление (X.3.1) на (X.3.2) дает

                      (X.3.3)

В рассматриваемом приближении

,                                                          (X.3.4)

так что окончательно приходим к уравнению

                                                  (X.3.5)

Для фермионов квантовая поправка увеличивает давление при заданных температуре  и объеме , что соответствует принципу Паули – эффективное отталкивание фермионов. Для бозонов наоборот, эта поправка отрицательна, что соответствует эффективному притяжению частиц. Шутливая формулировка этого принадлежит Дж. Займану: “Чем нас больше соберется, тем нам будет веселей”, см. эпиграф к главе I книги “Современная квантовая теория”.

При нормальных условиях квантовая поправка к уравнению Клапейрона как правило мала. Однако при уменьшении температуры и увеличении концентрации она растет. При заданной концентрации квантовая поправка становится порядка единицы при температуре, определяемой соотношением (статистический вес )

                         (X.3.6)

Температуру (X.3.6) называют температурой вырождения. Так как удельный объем , где среднее расстояние между частицами, то температура вырождения отвечает энергии , которую частица, запертая в области с линейным размером , приобретает вследствие принципа неопределенности Гейзенберга.

Уравнение (X.3.5) справедливо при температурах больших по сравнению с температурой вырождения, когда квантовая поправка мала и отличие в поведении ферми- и бозе-газов незначительно. Если же температура , то системы фермионов и бозонов ведут себя совершенно по-разному, и в этом случае их следует рассматривать порознь.

Чтобы составить себе представление о порядке величины температуры вырождения, оценим ее значение для воздуха в комнатных условиях: концентрация , средняя масса молекул , так что  

  

Таким образом, все обычные атомные или молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными, и для них остаются справедливыми все, соотношения классической статистики Больцмана. Температуры, при которых в таких системах начинают проявляться квантовые эффекты лежат гораздо ниже температуры конденсации газов. Напротив, для электронов в металлах уже комнатные температуры столь низки, что электронный газ оказывается сильно вырожденным (см. ниже).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78761. Хай сонцю і квітам всміхаються діти 717.5 KB
  Організаційна робота. Прийом дітей в пришкільний табір. Знайомство з вожатими та дітьми Знайомство з вожатими. Хто запам’ятав, як звуть вожатих? Знайомство-жарт з дітьми. З нами ви вже познайомились. А тепер ми хочемо познайомитись з вами. Я рахую до трьох, на рахунок «три» кожний викрикує своє ім’я.
78762. У Марійки Підгірянки, мов із золота співанки 80 KB
  Однак незважаючи на її велике бажання вчитися батько -– незаможний лісник не міг дати освіту всім дітям тому в сімейному колі вирішили що вчитися буде син а дівчатка займатимуться хатньою роботою. Допомагав дочці батько котрий досконало володів німецькою мовою добре знав математику біологію.
78763. ЛІТЕРАТУРНИЙ ВЕЧІР ЗА ТВОРАМИ ГРИЦЬКА БОЙКА 73 KB
  Добрий день, дорогі гості. Ми дуже раді, що ви прийшли на наше свято. Ми зможемо сьогодні розвеселити вас і зробити вам приємне, значит наша праця не буде марною. Як відомо, кожна людина ставить перед собою завдання і намагається його виконати.
78764. Бармен. Особливості приготування коктейлів 1.39 MB
  Професію бармена відносять до типу професій «людина — людина», тому що головним предметом праці для неї є людина, а головною метою праці цієї професії є оперативне обслуговування відвідувачів та розрахунок з ними.
78765. Конструювання радіоелектронного засобу 674.24 KB
  Коли на комутатор телефонної станції надходить виклик він повідомляє про вхідний дзвінок абонента шляхом подачі змінного струму на дроти що ведуть до викликається телефонному апарату. У режимі очікування коли трубка лежить на важелі спеціальний пристрій зване конденсатором...
78766. Правове регулювання електронної комерції в Україні. Національне законодавство та міжнародні стандарти 134.5 KB
  Матеріали дослідження можуть бути використані для розширення методологічної бази правових галузевих досліджень. Одержані результати можуть бути використані: у практиці правозастосування з метою подолання існуючих проблем та методичних рекомендацій; для проведення подальших теоретичних...
78767. Технологія перевезення вугілля морським транспортом 110.4 KB
  Метою даного дипломного проекту полягає у висвітленні наступних завдань: Ознайомитись з транспортною характеристикою вугілля; Встановити особливості перевезення вугілля морським транспортом; З’ясувати характеристику ринку вугілля.
78768. Створення форонтиспісу у програмі Photshop 2.36 MB
  З усіх видів криття брошур основним є криття врозпуск при якому на обкладинці роблять чотири рубчики і приклеюють її не тільки до корінця а й до першої сторінки блока. Комбіноване фальцювання Формат видання це розмір сторінки видання після обрізки блока по ширині і довжині.
78769. Вышивка атласными ленточками 3.28 MB
  Для вышивки лентами используются длинные иглы поэтому когда на игле остается очень короткий конец ленты завершить узор бывает проблематично. Для того чтобы вывести на изнаночную сторону ткани короткий конец ленты выньте его из иглы затем иглу без ленты вколите до самого ушка в...