18997

Термодинамические величины больцмановского идеального газа

Лекция

Физика

Лекция Х 1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа. Учитывая формулы IX.5.5 и IX.5.6 находим термодинамический потенциал X.1.1 С другой стороны поэтому ...

Русский

2013-07-11

222.5 KB

10 чел.

Лекция Х

1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа.

Учитывая формулы (IX.5.5) и (IX.5.6), находим термодинамический потенциал

                                                               (X.1.1)

С другой стороны , поэтому

                                                               (X.1.2)

- уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона). Отметим, что это уравнение не зависит от внутренних степеней свободы. Для граммолекулы (одного моля)  , так что газовая постоянная равна .

Для других термодинамических потенциалов нетрудно получить явные выражения. Согласно (IX.5.6) получаем

,                                (X.1.3)

а для свободной энергии имеем

       ,

так что                                          

                                            (X.1.4)

где основание натуральных  логарифмов.

Изотермическая сжимаемость (VIII.5.10) идеального газа равна

                                                   (X.1.5)

и для относительной флуктуации числа частиц имеем , что полностью согласуется с (VIII.5.12).

Ограничимся далее рассмотрением одноатомного идеального газа. Внутренняя статистическая сумма

,                                                   (X.1.6)

где статистический вес уровня (кратность вырождения), а суммирование ведется по уровням энергии. Для одноатомных газов энергия электронных степеней свободы. Для возбужденных состояний , поэтому главный вклад дает основное состояние , т.е. . В нормальном состоянии обычно , так что  - основной уровень невырожден. Тогда равенство (X.1.4) дает

,                                                 (X.1.7)

а энтропия равна

,   или            (X.1.8)

где концентрация . Выражение для энтропии (X.1.8) называется уравнением Сакура-Тетроде. Поскольку , то  (фактически , так как ). Однако эта классическая формула не удовлетворяет теореме Нернста. Тем не менее, ее проверили для многих газов. Например, для неона при температуре 27.2  и  давлении 1 атм  экспериментальное значение энтропии равно , а теоретическое – . Поэтому совпадение теории и эксперимента для такой сложной системы можно считать превосходным.

Для полной энергии из (X.1.7) и (X.1.8) получаем

,                                            (X.1.9)

что является выражением закона  равнораспределения: на каждую поступательную степень свободы приходится  в энергии, или  в теплоемкости:

                                                          (X.1.10)

2. Ферми- и бозе-газы элементарных частиц.

Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, т.е частиц не обладающих внутренними степенями свободы (элементарными частицами в этом смысле могут являться и атомы, если не возбуждаются электронные степени свободы). Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна для полного числа частиц дают

                                                              (X.2.1)

а для термодинамического потенциала

                                                      (X.2.2)

Верхний знак в (X.2.1) и (X.2.2) относится к фермионам, нижний – к бозонам.

Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое можно описывать в квазиклассическом приближении. Для нерелятивистских частиц имеем

,                                                              (X.2.3)

так что сумма по квантовым состояниям может быть преобразована к интегралу

,                              (X.2.4)

где кратность вырождения уровня энергии . Для частиц со спином  кратность вырождения  называют также статистическим весом.

Переходя в (X.2.4) к новой переменной интегрирования , получаем следующие выражения для полного числа частиц и термодинамического потенциала

                                                          (X.2.5)

                                           (X.2.6)

Интегрируя по частям интеграл в (X.2.6)

получаем    

                                        (X.2.7)

С другой стороны

                                     (X.2.8)

Сравнение (X.2.7) с (X.2.8) дает

   ,                                                                 (X.2.9)

т.е. аналог уравнения (VI.1.1) в нерелятивистском случае.

В классическом пределе , так что ограничиваясь в разложении логарифма из (X.2.6) первым членом и учитывая значение интеграла

                                                      (X.2.10)

получаем   

,                                                         (X.2.11)

что совпадает с классическим значением (IX.5.5), если учесть, что в нашем случае .

3. Квантовая поправка к уравнению состояния.

По-прежнему будем исходить из общего выражения (X.2.6), но удержим в разложении логарифма по малому параметру  первые два слагаемых:

Учитывая значение интеграла (X.2.10) для термодинамического потенциала  вместо (X.2.11) получаем

                                          (X.3.1)

Отсюда для полного числа частиц имеем

                                        (X.3.2)

Деление (X.3.1) на (X.3.2) дает

                      (X.3.3)

В рассматриваемом приближении

,                                                          (X.3.4)

так что окончательно приходим к уравнению

                                                  (X.3.5)

Для фермионов квантовая поправка увеличивает давление при заданных температуре  и объеме , что соответствует принципу Паули – эффективное отталкивание фермионов. Для бозонов наоборот, эта поправка отрицательна, что соответствует эффективному притяжению частиц. Шутливая формулировка этого принадлежит Дж. Займану: “Чем нас больше соберется, тем нам будет веселей”, см. эпиграф к главе I книги “Современная квантовая теория”.

При нормальных условиях квантовая поправка к уравнению Клапейрона как правило мала. Однако при уменьшении температуры и увеличении концентрации она растет. При заданной концентрации квантовая поправка становится порядка единицы при температуре, определяемой соотношением (статистический вес )

                         (X.3.6)

Температуру (X.3.6) называют температурой вырождения. Так как удельный объем , где среднее расстояние между частицами, то температура вырождения отвечает энергии , которую частица, запертая в области с линейным размером , приобретает вследствие принципа неопределенности Гейзенберга.

Уравнение (X.3.5) справедливо при температурах больших по сравнению с температурой вырождения, когда квантовая поправка мала и отличие в поведении ферми- и бозе-газов незначительно. Если же температура , то системы фермионов и бозонов ведут себя совершенно по-разному, и в этом случае их следует рассматривать порознь.

Чтобы составить себе представление о порядке величины температуры вырождения, оценим ее значение для воздуха в комнатных условиях: концентрация , средняя масса молекул , так что  

  

Таким образом, все обычные атомные или молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными, и для них остаются справедливыми все, соотношения классической статистики Больцмана. Температуры, при которых в таких системах начинают проявляться квантовые эффекты лежат гораздо ниже температуры конденсации газов. Напротив, для электронов в металлах уже комнатные температуры столь низки, что электронный газ оказывается сильно вырожденным (см. ниже).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61758. Буквы безударных гласных в корне слова 20.32 KB
  Цель: обобщить и закрепить знания детей по орфограмме безударные гласные в корне слова Задачи: Образовательная: закрепить знания о способах проверки безударных гласных в корне слова проверяемых ударением...
61759. Мягкие и твердые согласные звуки 27.03 KB
  Задачи: совершенствовать умение определять и различать твердые и мягкие согласные; содействовать осознанию учащимися способов обозначения мягкости согласных; прививать интерес к русскому языку.
61760. Правописание слов с удвоенными согласными 41.95 KB
  Цель: познакомить детей со словами в которых пишутся удвоенные согласные буквы. Развивать умение сопоставлять слова друг с другом объединять их по какому-то одному признаку и находить среди них лишнее...
61761. Виды речевых ошибок. Причины употребления слова несвойственном ему значении. Причины лексической несочетаемости 21.8 KB
  Причины употребления слова несвойственном ему значении. Употребление слова в несвойственном ему значении. Студенты знакомятся с классификацией речевых ошибок IV Изучение вопроса о причинах появления речевых ошибок типа...
61762. Лексическое значение слова и способы его объяснения 30.97 KB
  Цель: научить определять лексическое значение слова разными способами. Задачи: Обучающая: закрепить представление о лексике как разделе лингвистики изучающем словарный состав языка; закрепить основные способы объяснения лексического значения слов...
61763. Изменение глаголов по временам 19.35 KB
  А что вы знаете о времени Что это такое Как вы понимаете Часы дни сутки года В толковом словаре Владимира Ивановича Даля это слово объясняется так: Время это когда идут дни за днями последовательное течение суток за сутками 2 Фонетический разбор...
61764. Фонетика. Звуки и буквы 19.96 KB
  Цели: создать условия для формирования представления о том что в слове количество звуков и букв может совпадать или не совпадать; развивать навык грамотного письма; совершенствовать работу со словарными словами.
61765. Основные способы образования слов в русском языке 19.25 KB
  Научиться определять способы словообразования. Сначала давайте попробуем определить что такое словообразование Дети дают определение по образцу: словообразование это 1 раздел науки о языке который изучает способы образования новых слов...
61766. ПРАВОПИСАНИЕ СЛОВ С НЕПРОИЗНОСИМЫМИ СОГЛАСНЫМИ 20.25 KB
  Цель: развить умение проверять написание непроизносимых согласных. какие согласные называются непроизносимыми какие буквы в сочетаниях стн здн лнц являются орфограммами как проверить непроизносимый согласный...