18997

Термодинамические величины больцмановского идеального газа

Лекция

Физика

Лекция Х 1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа. Учитывая формулы IX.5.5 и IX.5.6 находим термодинамический потенциал X.1.1 С другой стороны поэтому ...

Русский

2013-07-11

222.5 KB

9 чел.

Лекция Х

1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа.

Учитывая формулы (IX.5.5) и (IX.5.6), находим термодинамический потенциал

                                                               (X.1.1)

С другой стороны , поэтому

                                                               (X.1.2)

- уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона). Отметим, что это уравнение не зависит от внутренних степеней свободы. Для граммолекулы (одного моля)  , так что газовая постоянная равна .

Для других термодинамических потенциалов нетрудно получить явные выражения. Согласно (IX.5.6) получаем

,                                (X.1.3)

а для свободной энергии имеем

       ,

так что                                          

                                            (X.1.4)

где основание натуральных  логарифмов.

Изотермическая сжимаемость (VIII.5.10) идеального газа равна

                                                   (X.1.5)

и для относительной флуктуации числа частиц имеем , что полностью согласуется с (VIII.5.12).

Ограничимся далее рассмотрением одноатомного идеального газа. Внутренняя статистическая сумма

,                                                   (X.1.6)

где статистический вес уровня (кратность вырождения), а суммирование ведется по уровням энергии. Для одноатомных газов энергия электронных степеней свободы. Для возбужденных состояний , поэтому главный вклад дает основное состояние , т.е. . В нормальном состоянии обычно , так что  - основной уровень невырожден. Тогда равенство (X.1.4) дает

,                                                 (X.1.7)

а энтропия равна

,   или            (X.1.8)

где концентрация . Выражение для энтропии (X.1.8) называется уравнением Сакура-Тетроде. Поскольку , то  (фактически , так как ). Однако эта классическая формула не удовлетворяет теореме Нернста. Тем не менее, ее проверили для многих газов. Например, для неона при температуре 27.2  и  давлении 1 атм  экспериментальное значение энтропии равно , а теоретическое – . Поэтому совпадение теории и эксперимента для такой сложной системы можно считать превосходным.

Для полной энергии из (X.1.7) и (X.1.8) получаем

,                                            (X.1.9)

что является выражением закона  равнораспределения: на каждую поступательную степень свободы приходится  в энергии, или  в теплоемкости:

                                                          (X.1.10)

2. Ферми- и бозе-газы элементарных частиц.

Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, т.е частиц не обладающих внутренними степенями свободы (элементарными частицами в этом смысле могут являться и атомы, если не возбуждаются электронные степени свободы). Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна для полного числа частиц дают

                                                              (X.2.1)

а для термодинамического потенциала

                                                      (X.2.2)

Верхний знак в (X.2.1) и (X.2.2) относится к фермионам, нижний – к бозонам.

Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое можно описывать в квазиклассическом приближении. Для нерелятивистских частиц имеем

,                                                              (X.2.3)

так что сумма по квантовым состояниям может быть преобразована к интегралу

,                              (X.2.4)

где кратность вырождения уровня энергии . Для частиц со спином  кратность вырождения  называют также статистическим весом.

Переходя в (X.2.4) к новой переменной интегрирования , получаем следующие выражения для полного числа частиц и термодинамического потенциала

                                                          (X.2.5)

                                           (X.2.6)

Интегрируя по частям интеграл в (X.2.6)

получаем    

                                        (X.2.7)

С другой стороны

                                     (X.2.8)

Сравнение (X.2.7) с (X.2.8) дает

   ,                                                                 (X.2.9)

т.е. аналог уравнения (VI.1.1) в нерелятивистском случае.

В классическом пределе , так что ограничиваясь в разложении логарифма из (X.2.6) первым членом и учитывая значение интеграла

                                                      (X.2.10)

получаем   

,                                                         (X.2.11)

что совпадает с классическим значением (IX.5.5), если учесть, что в нашем случае .

3. Квантовая поправка к уравнению состояния.

По-прежнему будем исходить из общего выражения (X.2.6), но удержим в разложении логарифма по малому параметру  первые два слагаемых:

Учитывая значение интеграла (X.2.10) для термодинамического потенциала  вместо (X.2.11) получаем

                                          (X.3.1)

Отсюда для полного числа частиц имеем

                                        (X.3.2)

Деление (X.3.1) на (X.3.2) дает

                      (X.3.3)

В рассматриваемом приближении

,                                                          (X.3.4)

так что окончательно приходим к уравнению

                                                  (X.3.5)

Для фермионов квантовая поправка увеличивает давление при заданных температуре  и объеме , что соответствует принципу Паули – эффективное отталкивание фермионов. Для бозонов наоборот, эта поправка отрицательна, что соответствует эффективному притяжению частиц. Шутливая формулировка этого принадлежит Дж. Займану: “Чем нас больше соберется, тем нам будет веселей”, см. эпиграф к главе I книги “Современная квантовая теория”.

При нормальных условиях квантовая поправка к уравнению Клапейрона как правило мала. Однако при уменьшении температуры и увеличении концентрации она растет. При заданной концентрации квантовая поправка становится порядка единицы при температуре, определяемой соотношением (статистический вес )

                         (X.3.6)

Температуру (X.3.6) называют температурой вырождения. Так как удельный объем , где среднее расстояние между частицами, то температура вырождения отвечает энергии , которую частица, запертая в области с линейным размером , приобретает вследствие принципа неопределенности Гейзенберга.

Уравнение (X.3.5) справедливо при температурах больших по сравнению с температурой вырождения, когда квантовая поправка мала и отличие в поведении ферми- и бозе-газов незначительно. Если же температура , то системы фермионов и бозонов ведут себя совершенно по-разному, и в этом случае их следует рассматривать порознь.

Чтобы составить себе представление о порядке величины температуры вырождения, оценим ее значение для воздуха в комнатных условиях: концентрация , средняя масса молекул , так что  

  

Таким образом, все обычные атомные или молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными, и для них остаются справедливыми все, соотношения классической статистики Больцмана. Температуры, при которых в таких системах начинают проявляться квантовые эффекты лежат гораздо ниже температуры конденсации газов. Напротив, для электронов в металлах уже комнатные температуры столь низки, что электронный газ оказывается сильно вырожденным (см. ниже).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13051. Как сказать «НЕТ» и отстоять своё мнение. План-конспект классного часа 19.52 KB
  Планконспект классного часа на тему: Как сказать НЕТ и отстоять своё мнение Цели: 1 научить ребёнка отстаивать своё собственное мнение и противостоять давлению со стороны кого бы то ни было; 2 формировать умение отказываться от предложенных случайными людьми в
13052. Путешествие в страну Вежливости. Классный час 20.06 KB
  Классный час на тему: Путешествие в страну Вежливости. Цель: Способствовать нравственному развитию личности учащихся. Задачи: познакомить детей с понятием вежливость показать необходимость употребления в речи €œвежливых€ слов; развивать познавател
13053. Классный час. Мы живем среди людей 24.6 KB
  Классный час на тему: Мы живем среди людей зачетное мероприятие План: 1. Деление на команды. 2. Разминка: Собери эпиграф. 3. Вступительное слово. 4.Музыкальный светофор. 5. Пантомима. 6.Жилибыли. 7. Пойди туда не знаю куда. 8. Рисунок на спине. 9. Подведени
13054. Доброта. Классный час 16.91 KB
  Классный час По теме: Доброта Цель: создание праздничного настроения развитие внимания воображения в игровой форме воспитание доброжелательности. Материалы: поезд из картона солнышко Оформление: рисунки шары. Ход мероприятия: Ведущий1. Здраствуйте де...
13055. Основы теории движения автомобиля. Классный час 21.87 KB
  Классный час Основы теории движения автомобиля Физические и психофизиологические требования к водителям транспортных средств могут быть определены исходя из анализа деятельности водителя автомобиля. Водитель должен воспринимать большое количество информации о
13056. Классный час «Сквернословие и здоровье» 25.97 KB
  Классный час Сквернословие и здоровье Ход мероприятия: Учитель: Здравствуйте дорогие ребята гости учителя Тема нашего сегодняшнего классного часа Сквернословие и здоровье. Второе название €œЗдоровье не купишь – его разум дарит€. Сегодня мы поговорим с вами...
13057. Классный час. Режим дня 25.04 KB
  Классный час Режим дня 1 класс Цели: закрепить знания учащихся о гигиенических нормах и культуре поведения; научить детей составлять режим дня; развивать кругозор обогащать словарный запас. Оборудование: презентация Power Point; презентация на интеракт...
13058. Классный час. Мечта 29.5 KB
  Цель: познакомить детей с понятием мечта формировать его интеллектуальный коммуникативный и эстетический потенциал Задачи: 1. Развивать фантазию умение мечтать 2. Воспитывать любовь к профессиям 3. Развивать устную речь учащихся способность высказывать собств
13059. Классный час. Поделись улыбкою своей 58 KB
  Тема: Поделись улыбкою своей Цели: 1. Дать учащимся представление о том что такое улыбка в чём её секреты; Учить детей видеть понимать оценивать чувства и поступки других мотивировать объяснять свои суждения. Развивать речевые умения положительные эмоции; ...