18997

Термодинамические величины больцмановского идеального газа

Лекция

Физика

Лекция Х 1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа. Учитывая формулы IX.5.5 и IX.5.6 находим термодинамический потенциал X.1.1 С другой стороны поэтому ...

Русский

2013-07-11

222.5 KB

10 чел.

Лекция Х

1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа.

Учитывая формулы (IX.5.5) и (IX.5.6), находим термодинамический потенциал

                                                               (X.1.1)

С другой стороны , поэтому

                                                               (X.1.2)

- уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона). Отметим, что это уравнение не зависит от внутренних степеней свободы. Для граммолекулы (одного моля)  , так что газовая постоянная равна .

Для других термодинамических потенциалов нетрудно получить явные выражения. Согласно (IX.5.6) получаем

,                                (X.1.3)

а для свободной энергии имеем

       ,

так что                                          

                                            (X.1.4)

где основание натуральных  логарифмов.

Изотермическая сжимаемость (VIII.5.10) идеального газа равна

                                                   (X.1.5)

и для относительной флуктуации числа частиц имеем , что полностью согласуется с (VIII.5.12).

Ограничимся далее рассмотрением одноатомного идеального газа. Внутренняя статистическая сумма

,                                                   (X.1.6)

где статистический вес уровня (кратность вырождения), а суммирование ведется по уровням энергии. Для одноатомных газов энергия электронных степеней свободы. Для возбужденных состояний , поэтому главный вклад дает основное состояние , т.е. . В нормальном состоянии обычно , так что  - основной уровень невырожден. Тогда равенство (X.1.4) дает

,                                                 (X.1.7)

а энтропия равна

,   или            (X.1.8)

где концентрация . Выражение для энтропии (X.1.8) называется уравнением Сакура-Тетроде. Поскольку , то  (фактически , так как ). Однако эта классическая формула не удовлетворяет теореме Нернста. Тем не менее, ее проверили для многих газов. Например, для неона при температуре 27.2  и  давлении 1 атм  экспериментальное значение энтропии равно , а теоретическое – . Поэтому совпадение теории и эксперимента для такой сложной системы можно считать превосходным.

Для полной энергии из (X.1.7) и (X.1.8) получаем

,                                            (X.1.9)

что является выражением закона  равнораспределения: на каждую поступательную степень свободы приходится  в энергии, или  в теплоемкости:

                                                          (X.1.10)

2. Ферми- и бозе-газы элементарных частиц.

Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, т.е частиц не обладающих внутренними степенями свободы (элементарными частицами в этом смысле могут являться и атомы, если не возбуждаются электронные степени свободы). Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна для полного числа частиц дают

                                                              (X.2.1)

а для термодинамического потенциала

                                                      (X.2.2)

Верхний знак в (X.2.1) и (X.2.2) относится к фермионам, нижний – к бозонам.

Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое можно описывать в квазиклассическом приближении. Для нерелятивистских частиц имеем

,                                                              (X.2.3)

так что сумма по квантовым состояниям может быть преобразована к интегралу

,                              (X.2.4)

где кратность вырождения уровня энергии . Для частиц со спином  кратность вырождения  называют также статистическим весом.

Переходя в (X.2.4) к новой переменной интегрирования , получаем следующие выражения для полного числа частиц и термодинамического потенциала

                                                          (X.2.5)

                                           (X.2.6)

Интегрируя по частям интеграл в (X.2.6)

получаем    

                                        (X.2.7)

С другой стороны

                                     (X.2.8)

Сравнение (X.2.7) с (X.2.8) дает

   ,                                                                 (X.2.9)

т.е. аналог уравнения (VI.1.1) в нерелятивистском случае.

В классическом пределе , так что ограничиваясь в разложении логарифма из (X.2.6) первым членом и учитывая значение интеграла

                                                      (X.2.10)

получаем   

,                                                         (X.2.11)

что совпадает с классическим значением (IX.5.5), если учесть, что в нашем случае .

3. Квантовая поправка к уравнению состояния.

По-прежнему будем исходить из общего выражения (X.2.6), но удержим в разложении логарифма по малому параметру  первые два слагаемых:

Учитывая значение интеграла (X.2.10) для термодинамического потенциала  вместо (X.2.11) получаем

                                          (X.3.1)

Отсюда для полного числа частиц имеем

                                        (X.3.2)

Деление (X.3.1) на (X.3.2) дает

                      (X.3.3)

В рассматриваемом приближении

,                                                          (X.3.4)

так что окончательно приходим к уравнению

                                                  (X.3.5)

Для фермионов квантовая поправка увеличивает давление при заданных температуре  и объеме , что соответствует принципу Паули – эффективное отталкивание фермионов. Для бозонов наоборот, эта поправка отрицательна, что соответствует эффективному притяжению частиц. Шутливая формулировка этого принадлежит Дж. Займану: “Чем нас больше соберется, тем нам будет веселей”, см. эпиграф к главе I книги “Современная квантовая теория”.

При нормальных условиях квантовая поправка к уравнению Клапейрона как правило мала. Однако при уменьшении температуры и увеличении концентрации она растет. При заданной концентрации квантовая поправка становится порядка единицы при температуре, определяемой соотношением (статистический вес )

                         (X.3.6)

Температуру (X.3.6) называют температурой вырождения. Так как удельный объем , где среднее расстояние между частицами, то температура вырождения отвечает энергии , которую частица, запертая в области с линейным размером , приобретает вследствие принципа неопределенности Гейзенберга.

Уравнение (X.3.5) справедливо при температурах больших по сравнению с температурой вырождения, когда квантовая поправка мала и отличие в поведении ферми- и бозе-газов незначительно. Если же температура , то системы фермионов и бозонов ведут себя совершенно по-разному, и в этом случае их следует рассматривать порознь.

Чтобы составить себе представление о порядке величины температуры вырождения, оценим ее значение для воздуха в комнатных условиях: концентрация , средняя масса молекул , так что  

  

Таким образом, все обычные атомные или молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными, и для них остаются справедливыми все, соотношения классической статистики Больцмана. Температуры, при которых в таких системах начинают проявляться квантовые эффекты лежат гораздо ниже температуры конденсации газов. Напротив, для электронов в металлах уже комнатные температуры столь низки, что электронный газ оказывается сильно вырожденным (см. ниже).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84140. Категории тождества, различия, противоположности и противоречия. Закон единства и борьбы противоположностей 33.64 KB
  Таким образом противоречия это внутренний источник движения изменения развития объекта поскольку возникающие противоречия для своего разрешения порождают необходимые внутренние предпосылки объекта к соответствующему необходимому изменению. Когда объект меняется он превращается в нечто иное себе снимая обострившиеся противоречия и таким образом совершает некое необходимое развитие. Однако после момента снятия противоречий после их разрешения сразу же возникают новые противоречия поскольку у изменившегося объекта сразу же возникает...
84141. Категории отрицания и отрицания отрицания. Метафизическое и диалектическое понимание отрицания. Закон отрицания отрицания 38.35 KB
  Отрицание в логике это акт опровержения некоего несоответствующего действительности высказывания который разворачивается в новое высказывание. В философии же отрицание это возникновение нового отменяющего и замещающего собой старое. Применяться подобным образом в философии термин отрицание стал Гегелем который с его помощью объяснял циклический характер развития действительности: 1. В чем суть этого противоречия которое созревает в Разуме и отменяет отрицает собою нынешнее состояние Разума Рассмотрим это: суть этого внутренне...
84142. Общая характеристика философских категорий. Метафизическое и диалектическое понимание их взаимосвязи 39.51 KB
  Кроме того категории отражают наиболее важные характеристики и явления бытия которые пронизывают бытие насквозь во всём его многообразии и во всей его необъятности время пространство движение причина следствие единичное общее материя дух взаимодействие сила субстанция и т. К основным категориям относятся: бытиенебытие единичноеобщее причинаследствие случайностьнеобходимость сущностьявление возможностьдействительность материядвижение времяпространство качествоколичество сущностьявление содержаниеформа...
84143. Понятие общества. Основные идеи формационного и цивилизационного понимания общественной жизни и истории 38.69 KB
  Народ это всё население как таковое вовлеченное в совместную жизнь в системе какоголибо общества. Особая специфика и особая сложность общества состоит в том что его главным смысловым элементом является человек в результате чего общество в отличие от природных систем взаимодействия обладает высокой степенью непредсказуемости своего развития. Благодаря этому общественное развитие это процесс настолько сложный что его исследовательский анализ и теоретическое описание вызывают огромные трудности и сопровождаются безостановочными...
84144. Трудовая деятельность людей как основной фактор антропосоциогенеза. Общественное бытие и общественное сознание, характер их соотнесенности 32.32 KB
  Общественное бытие и общественное сознание характер их соотнесенности. Решающим для превращения человека в разумное и общественное животное стало пользование огнем и приручение животных. Таким образом благодаря труду бытие отдельного человека включено в общественное бытие. Общественное бытие это совокупность всевозможных форм совместной деятельности людей подчиненной общественной необходимости.
84145. Материальное производство и его структура: производительные силы и производственные отношения. Характер их соотнесенности 34.15 KB
  Теория материального производства разработана марксизмом. Главной особенностью материального производства которая служит его показательным отличием от любого другого вида производства различные виды производства духовных продуктов и нематериальных благ является наличие в процессах материального производства обязательного взаимодействия человека с природой. Таким образом в процессе материального производства человек воздействует на природу с помощью какихлибо средств труда. Сырье природный материал который в процессе производства...
84146. Структура производительных сил и производственных отношений. Базис и надстройка. Роль производительных сил и техники в развитии общества 31.33 KB
  Производственные отношения. Поскольку материальное производство непредставимо без участия человека то существенным фактором процесса производства выступают связи и отношения между людьми складывающиеся в производственной деятельности. Эти связи и отношения называются производственными отношениями. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ.
84147. Социальная структура общества и этнические общности. Исторические формы социальных и сословно-классовых общностей 36.93 KB
  Социальная структура с одной стороны указывает на различное положение людей по отношению друг к другу по тем или иным критериям имущественный критерий политические права привилегии возрастные образовательные и другие критерии а с другой стороны выражает деление людей в обществе по их интересам национальные классовые профессиональные религиозные семейные и т. ЭТНОС это исторически сложившаяся на определенной территории устойчивая совокупность людей обладающих одним языком общими народным искусством обычаями обрядами...
84148. Понятие социального института. Государство как важнейший социальный институт. Его происхождение и сущность 37.3 KB
  Таким образом государство отвечает за исполнение всех социальных функций общества и если говорить о сущности государства то в социальном плане сущность государства состоит в том что государство наделено всеми социальными функциями как верховный социальный институт. Эти функции для государства делятся на внешние и на внутренние: 1. Внешние функции государства сводятся к задачам обороны страны и отстаивания ее интересов во взаимоотношениях с другими государствами. Несмотря на очевидность назначения государства и несмотря на его...