18997

Термодинамические величины больцмановского идеального газа

Лекция

Физика

Лекция Х 1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа. Учитывая формулы IX.5.5 и IX.5.6 находим термодинамический потенциал X.1.1 С другой стороны поэтому ...

Русский

2013-07-11

222.5 KB

9 чел.

Лекция Х

1. Термодинамические величины больцмановского идеального газа.

Учитывая формулы (IX.5.5) и (IX.5.6), находим термодинамический потенциал

                                                               (X.1.1)

С другой стороны , поэтому

                                                               (X.1.2)

- уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона). Отметим, что это уравнение не зависит от внутренних степеней свободы. Для граммолекулы (одного моля)  , так что газовая постоянная равна .

Для других термодинамических потенциалов нетрудно получить явные выражения. Согласно (IX.5.6) получаем

,                                (X.1.3)

а для свободной энергии имеем

       ,

так что                                          

                                            (X.1.4)

где основание натуральных  логарифмов.

Изотермическая сжимаемость (VIII.5.10) идеального газа равна

                                                   (X.1.5)

и для относительной флуктуации числа частиц имеем , что полностью согласуется с (VIII.5.12).

Ограничимся далее рассмотрением одноатомного идеального газа. Внутренняя статистическая сумма

,                                                   (X.1.6)

где статистический вес уровня (кратность вырождения), а суммирование ведется по уровням энергии. Для одноатомных газов энергия электронных степеней свободы. Для возбужденных состояний , поэтому главный вклад дает основное состояние , т.е. . В нормальном состоянии обычно , так что  - основной уровень невырожден. Тогда равенство (X.1.4) дает

,                                                 (X.1.7)

а энтропия равна

,   или            (X.1.8)

где концентрация . Выражение для энтропии (X.1.8) называется уравнением Сакура-Тетроде. Поскольку , то  (фактически , так как ). Однако эта классическая формула не удовлетворяет теореме Нернста. Тем не менее, ее проверили для многих газов. Например, для неона при температуре 27.2  и  давлении 1 атм  экспериментальное значение энтропии равно , а теоретическое – . Поэтому совпадение теории и эксперимента для такой сложной системы можно считать превосходным.

Для полной энергии из (X.1.7) и (X.1.8) получаем

,                                            (X.1.9)

что является выражением закона  равнораспределения: на каждую поступательную степень свободы приходится  в энергии, или  в теплоемкости:

                                                          (X.1.10)

2. Ферми- и бозе-газы элементарных частиц.

Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, т.е частиц не обладающих внутренними степенями свободы (элементарными частицами в этом смысле могут являться и атомы, если не возбуждаются электронные степени свободы). Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна для полного числа частиц дают

                                                              (X.2.1)

а для термодинамического потенциала

                                                      (X.2.2)

Верхний знак в (X.2.1) и (X.2.2) относится к фермионам, нижний – к бозонам.

Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое можно описывать в квазиклассическом приближении. Для нерелятивистских частиц имеем

,                                                              (X.2.3)

так что сумма по квантовым состояниям может быть преобразована к интегралу

,                              (X.2.4)

где кратность вырождения уровня энергии . Для частиц со спином  кратность вырождения  называют также статистическим весом.

Переходя в (X.2.4) к новой переменной интегрирования , получаем следующие выражения для полного числа частиц и термодинамического потенциала

                                                          (X.2.5)

                                           (X.2.6)

Интегрируя по частям интеграл в (X.2.6)

получаем    

                                        (X.2.7)

С другой стороны

                                     (X.2.8)

Сравнение (X.2.7) с (X.2.8) дает

   ,                                                                 (X.2.9)

т.е. аналог уравнения (VI.1.1) в нерелятивистском случае.

В классическом пределе , так что ограничиваясь в разложении логарифма из (X.2.6) первым членом и учитывая значение интеграла

                                                      (X.2.10)

получаем   

,                                                         (X.2.11)

что совпадает с классическим значением (IX.5.5), если учесть, что в нашем случае .

3. Квантовая поправка к уравнению состояния.

По-прежнему будем исходить из общего выражения (X.2.6), но удержим в разложении логарифма по малому параметру  первые два слагаемых:

Учитывая значение интеграла (X.2.10) для термодинамического потенциала  вместо (X.2.11) получаем

                                          (X.3.1)

Отсюда для полного числа частиц имеем

                                        (X.3.2)

Деление (X.3.1) на (X.3.2) дает

                      (X.3.3)

В рассматриваемом приближении

,                                                          (X.3.4)

так что окончательно приходим к уравнению

                                                  (X.3.5)

Для фермионов квантовая поправка увеличивает давление при заданных температуре  и объеме , что соответствует принципу Паули – эффективное отталкивание фермионов. Для бозонов наоборот, эта поправка отрицательна, что соответствует эффективному притяжению частиц. Шутливая формулировка этого принадлежит Дж. Займану: “Чем нас больше соберется, тем нам будет веселей”, см. эпиграф к главе I книги “Современная квантовая теория”.

При нормальных условиях квантовая поправка к уравнению Клапейрона как правило мала. Однако при уменьшении температуры и увеличении концентрации она растет. При заданной концентрации квантовая поправка становится порядка единицы при температуре, определяемой соотношением (статистический вес )

                         (X.3.6)

Температуру (X.3.6) называют температурой вырождения. Так как удельный объем , где среднее расстояние между частицами, то температура вырождения отвечает энергии , которую частица, запертая в области с линейным размером , приобретает вследствие принципа неопределенности Гейзенберга.

Уравнение (X.3.5) справедливо при температурах больших по сравнению с температурой вырождения, когда квантовая поправка мала и отличие в поведении ферми- и бозе-газов незначительно. Если же температура , то системы фермионов и бозонов ведут себя совершенно по-разному, и в этом случае их следует рассматривать порознь.

Чтобы составить себе представление о порядке величины температуры вырождения, оценим ее значение для воздуха в комнатных условиях: концентрация , средняя масса молекул , так что  

  

Таким образом, все обычные атомные или молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными, и для них остаются справедливыми все, соотношения классической статистики Больцмана. Температуры, при которых в таких системах начинают проявляться квантовые эффекты лежат гораздо ниже температуры конденсации газов. Напротив, для электронов в металлах уже комнатные температуры столь низки, что электронный газ оказывается сильно вырожденным (см. ниже).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45497. Теоретические основы передачи данных 378.5 KB
  Ограничения на пропускную способность передачи данных.5c ∑ n sin2pnft∑ bncos2pnft f – частота nbn – амплитуды nой гармоники t – время передачи сигнала gt – определенное ограничение на пропускную способность. При этом скорость передачи информации зависит от способа кодирования и скорости изменения кодирования.
45498. Магистрали 261 KB
  Основное достижение – это применение одного канала для передачи сигналов между различными источниками и приемниками. Основано на разделении передачи сигналов от разных источников по различным несущим частотам. Это связано с тем что пропускная способность составляет 25000 Гц и за счет этого в оптических каналах скорость передачи на порядок выше. Это связано с тем что после получения канала с аналоговой петли скорость передачи данных может быть увеличена в несколько раз поэтому для цифровых каналов связи применяется метод мультиплексирования...
45499. Коммутация 466 KB
  Для систем передачи используются три способа коммутации: коммутация сообщений; коммутация каналов; коммутация пакетов. При использовании коммутации каналов снижаются накладные расходы на передачу информации. При коммутации пакетов все сообщения разделяются на определенные пакеты. В отличие от коммутации каналов абонент не может монополизировать линию.
45500. Использование амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) для построения систем передачи с временным разделением канала 311.5 KB
  При амплитудноимпульсной модуляции амплитуда периодической последовательности импульсов изменяется в соответствии с изменеием модулирующего сигнала. АИМ1 – амплитуда импульсов пропорциональна амплитуде моделирующего сигнала. При преобразовании: частота дискретизации; скважность – определяет количество времени свободное для передачи сигнала. Для простоты моделирующее колебание представляется: Для амплитудномоделирующей последовательности выражение: показывает глубину модуляции после преобразования получим ряд: Из данного...
45501. Использование широкоимпульсной модуляции (ШИМ) для построения систем передачи с временным разделением канала 299 KB
  Использование фазовоимпульсной модуляции ФИМ для построения систем передачи с временным разделением каналов. ФИМ является более помехоустойчивым видом модуляции чем ШИМ и АИМ. При ФИМ используется следующий моделирующий сигнал: В этом случае основным определяющим элементом является величина фазового сдвига которая определяется по следующей формуле: ∆τmx – максимальный временной сдвиг между импульсами: ∆τmx=MФИМUmx MФИМ – коэффициент глубины модуляции. Модуляция фазы импульсов определяется в соответствии со следующим...
45502. CASE-средства. Общая характеристика и классификация 51 KB
  Общая характеристика и классификация Современные CSEсредства охватывают обширную область поддержки многочисленных технологий проектирования ИС: от простых средств анализа и документирования до полномасштабных средств автоматизации покрывающих весь жизненный цикл ПО. Наиболее трудоемкими этапами разработки ИС являются этапы анализа и проектирования в процессе которых CSEсредства обеспечивают качество принимаемых технических решений и подготовку проектной документации. Графические средства моделирования предметной области позволяют...
45503. Типизация проектных решений АСОИУ. Использование коробочных продуктов и адаптируемых интегрированных систем. Подходы к созданию автоматизированной системы 58 KB
  Подходы к созданию автоматизированной системы В настоящее время существуют различные подходs к построению АСОИП отличающиеся признаками положенными в основу классификации. Полученная таким образом схема классификации подходов к построению АСОИП приведена на рис. В соответствии с этой схемой при выборе подхода к построению АСОИП решается вопрос о возможности использования существующих на рынке тиражируемых систем или необходимости создавать уникальную систему полностью ориентированную только на задачи конкретного предприятия. Подходы к...
45504. Графические средства представления проектных решений АСОИУ (IDEF, DFD, UML, ERD и т.п.) 36 KB
  DFD диаграммы потоков данных являются основным средством моделирования функциональных требований к проектируемой системе. Первый шаг моделирования – извлечение информации из интервью и выделение сущностей. Второй шаг моделирования – идентификация связей. Язык UML находится в процессе стандартизации проводимом OMG – организацией по стандартизации в области ОО методов и технологий в настоящее время принят в качестве стандартного языка моделирования и получил широкую поддержку в индустрии ПО.
45505. Анализ и оценка производительности АСОИУ 23 KB
  В основе такой оценки лежит понятие производительности. Есть 2 показателя производительности процессов по чистому времени: показатель производительности процессоров на операциях с данными целочисленного типа MIPS – отношение числа команд в программе к времени ее выполнения показатель производительности процессоров на операциях с данными вещественного типа при все кажущейся простоте критерия оценки чем MIPS тем быстрее выполняется программа его использование затруднено вследствие нескольких причин: процессоры разной архитектуры...