18998

Сильно вырожденный ферми - газ

Лекция

Физика

Лекция ХI 1. Сильно вырожденный ферми газ. Будем рассматривать фермионы со спином равным половине электроны протоны нейтроны когда . Посмотрим как ведет себя распределение ФермиДирака IX.2.2 XI.1.1 ка...

Русский

2013-07-11

249.5 KB

7 чел.

Лекция ХI

1. Сильно вырожденный ферми - газ.

Будем рассматривать фермионы со спином, равным половине (электроны, протоны, нейтроны), когда . Посмотрим, как ведет себя распределение Ферми-Дирака (IX.2.2)

                                                          (XI.1.1)

как функция энергии  при . Пусть химический потенциал при заданной плотности  и нулевой температуре равен . Тогда распределение (XI.1.1) принимает вид ступеньки с высотой равной 1, см. рис. XI.1.

                                                            Рис. XI.1.

Таким образом, все уровни с энергией меньше или равной  заняты, а выше ее – свободны. Это граничное значение энергии называется энергией Ферми . Поэтому полное число фермионов в объеме  равно

                                 (XI.1.2)

Отсюда граничный импульс – радиус ферми-сферы -

,                                                         (XI.1.3)

а энергия Ферми

                                                      (XI.1.4)

Полная энергия газа равна       

                                       (XI.1.5)

или с учетом (XI.1.3) и (XI.1.4)

                                        (XI.1.6)

Отсюда в соответствии с общей формулой (X.2.9) получаем

,                                          (XI.1.7)

т.е. давление сильно вырожденного ферми-газа зависит только от концентрации частиц, но не от температуры. Условие применимости формул (XI.1.5) и (XI.1.6)

                                                  (XI.1.8)

Оценим, когда можно считать плазму (т.е. газ электронов и ядер) идеальной. Пусть среднее расстояние между электронами и ядрами. Тогда энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону, должна быть много меньше средней кинетической энергии электрона, которая имеет порядок энергии Ферми:

                                                              (XI.1.9)

Если число электронов, а  - число ядер (заряд ядра, газ в целом электронейтрален), то  и условие (XI.1.9) принимает вид

                                          (XI.1.10)

Отсюда следует неравенство

                                            (XI.1.11)

(радиус Бора). Таким образом, чем больше плотность, тем лучше выполняется условие “идеальности” газа. Температура вырождения, соответствующая критической плотности , при которой нарушается требование идеальности (XI.1.11), равна

              (XI.1.12)

Температура внутри Солнца , т.е. электронный газ можно считать невырожденным.

Посмотрим, что можно сказать об электронах в зоне проводимости металлов. Все щелочные металлы, а также медь, серебро и золото отдают по одному электрону с атома в зону проводимости. Если учесть, что плотность золота , а его молярный вес , то плотность электронов

                                          (XI.1.13)

Примерно такая же концентрация и для других хороших проводников. Поэтому в этом случае

                (XI.1.14)

Таким образом, электроны в зоне проводимости металлов при комнатной температуре  сильно вырождены. Заметим, что скорость электронов на поверхности Ферми

                     (XI.1.15)

(), т.е.  и электронный газ является нерелятивистским.

2. Теплоемкость вырожденного ферми-газа.

Так как энергия (XI.1.6) не зависит от температуры, для вычисления теплоемкости нужно найти следующий член разложения (X.2.8) по малому параметру . Задача сводится к приближенному вычислению интеграла

                                  (XI.2.1)

при . Полагая , имеем

                               (XI.2.2)

В первом интеграле делаем замену  и учитываем тождество

,

                             (XI.2.3)

Переходя к переменной   в первом из этих интегралов, имеем

                                       (XI.2.4)

Заметим, что это точное соотношение, поскольку никаких приближений пока сделано не было. Учтем теперь, что параметр , а второй и третий интеграл сходятся при значениях . Поскольку

      ,

то интеграл (XI.2.4) приближенно равен

              (XI.2.5)

Используя значение интеграла

                                                               (XI.2.6)

окончательно с экспоненциальной точностью получаем.

                                         (XI.2.7)

Возвращаясь к поставленной задаче, найдем сначала поправку к химическому потенциалу , который определяется из уравнения (X.2.5) с

                                                       (XI.2.8)

Элементарное вычисление дает

                                              (XI.2.9)

Полагая здесь

                                                     (XI.2.10)

и учитывая явное выражение для энергии Ферми (XI.1.4) и квантового объема (IX.5.4), получаем

                    (XI.2.11)

Аналогично вычисляется поправка к полной энергии

                                             (XI.2.12)

Подставляя сюда разложение (XI.2.10) с , определенной в (XI.2.11), окончательно находим

                                                (XI.2.13)

Отсюда для теплоемкости следует

                             (XI.2.14)

Эта формула удовлетворяет теореме Нернста:  при . Выражение (XI.2.14) показывает, что электронные степени свободы “вымерзают” при , т.е. не дают вклада в теплоемкость, в отличие от классического закона равнораспределения. Вырожденный электронный газ – существенно квантовая система.

Рассмотрим флуктуацию числа частиц  в ом квантовом состоянии. Согласно общей формуле (VIII.5.5) имеем

                                 (XI.2.15)

где  - среднее число заполнения ого квантового состояния, см. (IX.2.2), а термодинамический потенциал  определен в (IX.2.1). Простое дифференцирование дает

                                                   (XI.2.16)

Максимальная флуктуация, возникающая при ,  равна . В классическом пределе ()

,                                                    (XI.2.17)

а для сильно вырожденного ферми-газа (при) она равна нулю:

                                                        (XI.2.18)

для всех квантовых состояний:  при  и  при .

Для флуктуации полного числа фермионов в этом случае согласно (VIII.5.5) и (XI.2.9) получаем

                                                      (XI.2.19)

Так что относительная флуктуация

                                   (XI.2.20)

мала не только за счет макроскопичности системы, но также из-за вырождения, . Изотермическая сжимаемость, см. (VIII.5.11), равна

,                                       (XI.2.21)

т.е. не зависит от температуры, а только от плотности числа частиц: чем больше концентрация, тем меньше сжимаемость, т.е. система фермионов становится более жесткой. Стабильность белых карликов и нейтронных звезд полностью связана с давлением вырожденного газа электронов и нейтронов, соответственно.

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24904. Собственность и право собственности (общие положения) 33.5 KB
  В одних случаях его используют как синоним понятие имущество в других случаях считают что речь идет о сугубо экономическом отношении присвоения а иногда отождествляют с чисто юридической конструкциейправом собственности. Таким образом экономические отношения собственности представляют собой отношения присвоения конкретными лицами определенных благ влекущие его отчуждение от всех иных лиц и предоставляющие возможность хозяйственного господства соединенную с необходимостью несения бремени его содержания. Собственность как экономическая...
24905. Понятие права собственности как субъективного права. Правомочия собственника 42.5 KB
  Конституция РФ не даёт понятия права собственности устанавливая лишь право иметь имущество в собственности владеть пользоваться и распоряжаться им. Толстого не только на раскрытии содержания права собственности но и на практике применения законодательства. В юридической науке стали подниматься вопросы о том исчерпывается ли перечисленной триадой правомочий право собственности.
24906. Приобретение и прекращение права собственности 68.5 KB
  Приобретение и прекращение права собственности. Приобретение права собственности. Основаниями возникновения права собственности являются различные правопорождающие юридические факты обстоятельства реальной жизни которые влекут возникновение права собственности. Эти основания называются титулами собственности.
24907. Право общей собственности граждан (понятие, виды, осуществление) 71 KB
  Таким образом общая собственность не является какойто новой особой разновидностью формой собственности она основывается на существующих формах собственности. Право общей собственности в объективном смысле совокупность правовых норм закрепляющих регламентирующих и охраняющих принадлежность составляющего единое целое имущества одновременно двум и более лицам. Право общей собственности в субъективном смысле право двух или более лиц сообща и по своему усмотрению владеть пользоваться распоряжаться принадлежащим им имуществом...
24908. Понятие гражданского права. Гражданское право как частное право 39 KB
  Понятие гражданского права. Гражданское право как частное право Гражданское право – стержневая базисная отрасль права любой развитой правовой системы. Своим происхождением гражданское право обязано древнейшей части римского частного права ius civile ius Quiritum – праву исконных граждан Рима. Со временем гражданское право охватило собой большую часть норм права частного и стало нередко с ним отождествляться.
24909. Гражданское законодательство: понятие, система, проблемы совершенствования 47.5 KB
  Однако в актах ГЗ ГП нормы преобладают. Однако имеются и императивные нормы. Более того в случае сомнения следует исходить из презумпции императивности нормы гражданского права. Следует иметь в виду что нормы ГП нередко содержатся и в законодательстве о хозяйственной деятельности коммерческом или предпринимательском законодательстве.
24910. Общая характеристика зарубежного гражданского и торгового права 39 KB
  Общая характеристика зарубежного гражданского и торгового права Гражданское и торговое право являются важнейшими отраслями зарубежного права. Гражданское т торговое право – две отрасли две тесно переплетающиеся ветви частного права. Наличие в зарубежном частном праве гражданского и торгового права принято называть дуализмом частного права. В университетах ФРГ Испании Японии и многих других стран отдельно преподаются нередко самостоятельными кафедрами курсы гражданского и торгового права.
24911. Гражданское правоотношение: понятие, содержание, виды 34 KB
  Однако данное понятие не соответствует существу правоотношения в силу деления его на юридическое идеальное и фактическое поэтому следует придерживаться первой трактовки. Элементами правоотношения юридическая форма являются: субъекты правоотношения; объект правоотношения материальные и нематериальные блага на которые направлено фактическое отношение подвергающееся правовому воздействию или по поводу которых это отношение возникло; юридические факты т. Субъект правоотношения поведение которого рассматривается как юридически...
24912. Граждане как субъекты гражданского права 37.5 KB
  К таким признакам относятся: имя гражданство возраст семейное положение пол состояние здоровья Имя: Право на имя является важнейшим неимущественным правом гражданина. Возраст: имеет большое значение при решении вопросов об объявлении н л гражданина полностью дееспособным эмансипация при вступлении гражданина в члены кооперативных организаций при определении круга наследников а также лиц имеющих право на возмещение вреда причиненного здоровью и др. Основным документом подтверждающим возраст является свидетельство о рождении...