18998

Сильно вырожденный ферми - газ

Лекция

Физика

Лекция ХI 1. Сильно вырожденный ферми газ. Будем рассматривать фермионы со спином равным половине электроны протоны нейтроны когда . Посмотрим как ведет себя распределение ФермиДирака IX.2.2 XI.1.1 ка...

Русский

2013-07-11

249.5 KB

7 чел.

Лекция ХI

1. Сильно вырожденный ферми - газ.

Будем рассматривать фермионы со спином, равным половине (электроны, протоны, нейтроны), когда . Посмотрим, как ведет себя распределение Ферми-Дирака (IX.2.2)

                                                          (XI.1.1)

как функция энергии  при . Пусть химический потенциал при заданной плотности  и нулевой температуре равен . Тогда распределение (XI.1.1) принимает вид ступеньки с высотой равной 1, см. рис. XI.1.

                                                            Рис. XI.1.

Таким образом, все уровни с энергией меньше или равной  заняты, а выше ее – свободны. Это граничное значение энергии называется энергией Ферми . Поэтому полное число фермионов в объеме  равно

                                 (XI.1.2)

Отсюда граничный импульс – радиус ферми-сферы -

,                                                         (XI.1.3)

а энергия Ферми

                                                      (XI.1.4)

Полная энергия газа равна       

                                       (XI.1.5)

или с учетом (XI.1.3) и (XI.1.4)

                                        (XI.1.6)

Отсюда в соответствии с общей формулой (X.2.9) получаем

,                                          (XI.1.7)

т.е. давление сильно вырожденного ферми-газа зависит только от концентрации частиц, но не от температуры. Условие применимости формул (XI.1.5) и (XI.1.6)

                                                  (XI.1.8)

Оценим, когда можно считать плазму (т.е. газ электронов и ядер) идеальной. Пусть среднее расстояние между электронами и ядрами. Тогда энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону, должна быть много меньше средней кинетической энергии электрона, которая имеет порядок энергии Ферми:

                                                              (XI.1.9)

Если число электронов, а  - число ядер (заряд ядра, газ в целом электронейтрален), то  и условие (XI.1.9) принимает вид

                                          (XI.1.10)

Отсюда следует неравенство

                                            (XI.1.11)

(радиус Бора). Таким образом, чем больше плотность, тем лучше выполняется условие “идеальности” газа. Температура вырождения, соответствующая критической плотности , при которой нарушается требование идеальности (XI.1.11), равна

              (XI.1.12)

Температура внутри Солнца , т.е. электронный газ можно считать невырожденным.

Посмотрим, что можно сказать об электронах в зоне проводимости металлов. Все щелочные металлы, а также медь, серебро и золото отдают по одному электрону с атома в зону проводимости. Если учесть, что плотность золота , а его молярный вес , то плотность электронов

                                          (XI.1.13)

Примерно такая же концентрация и для других хороших проводников. Поэтому в этом случае

                (XI.1.14)

Таким образом, электроны в зоне проводимости металлов при комнатной температуре  сильно вырождены. Заметим, что скорость электронов на поверхности Ферми

                     (XI.1.15)

(), т.е.  и электронный газ является нерелятивистским.

2. Теплоемкость вырожденного ферми-газа.

Так как энергия (XI.1.6) не зависит от температуры, для вычисления теплоемкости нужно найти следующий член разложения (X.2.8) по малому параметру . Задача сводится к приближенному вычислению интеграла

                                  (XI.2.1)

при . Полагая , имеем

                               (XI.2.2)

В первом интеграле делаем замену  и учитываем тождество

,

                             (XI.2.3)

Переходя к переменной   в первом из этих интегралов, имеем

                                       (XI.2.4)

Заметим, что это точное соотношение, поскольку никаких приближений пока сделано не было. Учтем теперь, что параметр , а второй и третий интеграл сходятся при значениях . Поскольку

      ,

то интеграл (XI.2.4) приближенно равен

              (XI.2.5)

Используя значение интеграла

                                                               (XI.2.6)

окончательно с экспоненциальной точностью получаем.

                                         (XI.2.7)

Возвращаясь к поставленной задаче, найдем сначала поправку к химическому потенциалу , который определяется из уравнения (X.2.5) с

                                                       (XI.2.8)

Элементарное вычисление дает

                                              (XI.2.9)

Полагая здесь

                                                     (XI.2.10)

и учитывая явное выражение для энергии Ферми (XI.1.4) и квантового объема (IX.5.4), получаем

                    (XI.2.11)

Аналогично вычисляется поправка к полной энергии

                                             (XI.2.12)

Подставляя сюда разложение (XI.2.10) с , определенной в (XI.2.11), окончательно находим

                                                (XI.2.13)

Отсюда для теплоемкости следует

                             (XI.2.14)

Эта формула удовлетворяет теореме Нернста:  при . Выражение (XI.2.14) показывает, что электронные степени свободы “вымерзают” при , т.е. не дают вклада в теплоемкость, в отличие от классического закона равнораспределения. Вырожденный электронный газ – существенно квантовая система.

Рассмотрим флуктуацию числа частиц  в ом квантовом состоянии. Согласно общей формуле (VIII.5.5) имеем

                                 (XI.2.15)

где  - среднее число заполнения ого квантового состояния, см. (IX.2.2), а термодинамический потенциал  определен в (IX.2.1). Простое дифференцирование дает

                                                   (XI.2.16)

Максимальная флуктуация, возникающая при ,  равна . В классическом пределе ()

,                                                    (XI.2.17)

а для сильно вырожденного ферми-газа (при) она равна нулю:

                                                        (XI.2.18)

для всех квантовых состояний:  при  и  при .

Для флуктуации полного числа фермионов в этом случае согласно (VIII.5.5) и (XI.2.9) получаем

                                                      (XI.2.19)

Так что относительная флуктуация

                                   (XI.2.20)

мала не только за счет макроскопичности системы, но также из-за вырождения, . Изотермическая сжимаемость, см. (VIII.5.11), равна

,                                       (XI.2.21)

т.е. не зависит от температуры, а только от плотности числа частиц: чем больше концентрация, тем меньше сжимаемость, т.е. система фермионов становится более жесткой. Стабильность белых карликов и нейтронных звезд полностью связана с давлением вырожденного газа электронов и нейтронов, соответственно.

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44364. Технологія будівельного виробництва. Методичні вказівки 234 KB
  Склад робіт по винесенню проекту в натуру: складання схеми розбивки траси і рекогносцировці дільниці; винесення вісі колектора та двох крайніх дрен паралельних; одноразовий вимір та провіжування вісей колектора та двох крайніх дрен; провіжування вісей проміжних дрен з лінійним проміром по створах віх на крайніх дренах; висотна прив’язка нульового пікету колектора або одиничної дрени; Винос в натуру вісі колектора або одиночної дрени виконується за допомогою теодоліта і мірної стрічки від траси провідної мережі вищого порядку і...
44365. Основные понятия теории информации применительно к автоматизированному управлению в энергосистемах 115 KB
  Энергосистема - сложный объект, и управление ею может быть эффективным лишь при наличии автоматизированной системы диспетчерского управления (АСДУ). Под АСДУ понимается человеко-машинная система, обеспечивающая автоматизированный сбор и обработку оперативно-диспетчерской (ОДИ)
44366. Выбор и обоснование оптимальной схемы доставки груза из Западно – Сибирского региона до речного порта Якутск 2.98 MB
  Правила перевозок грузов в прямом смешанном сообщении. Динамика перерабатываемых грузов ООО Речной порт Якутск. А все они преследуют одну цель – максимальное удовлетворение потребности народного хозяйства в перевозках грузов и пассажиров при сокращении издержек транспортных и ускорении их доставки в пункт назначения. Для комплексного развития и эксплуатации всех видов транспорта необходимо не только определить общую потребность страны в грузовых и пассажирских перевозках но и распределить их между видами транспорта и отдельными...
44367. Стрелково-пушечное вооружение в условиях воздействия сплошного спектра термомеханических нагрузок 2.82 MB
  От этих немаловажных факторов и зависит его работоспособность ведь если не осмотреть и не проверить то можно пойти в бой с неисправным вооружением а если не почистить и не смазать после применения – это может привести к коррозии а в свою очередь к заклиниванию частей и механизмов. Продукты коррозии загрязняют детали снижают механические характеристики и портят внешний вид вооружения. Существует некоторая критическая относительная влажность воздуха выше которой при прочих равных условиях наступает резкое возрастание коррозии металла....
44368. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ КРЕДИТНЫМ РИСКОМ (НА ПРИМЕРЕ «ВТБ 24» (ЗАО)) 1008 KB
  За счет этого источника формируется основная часть чистой прибыли отчисляемой в резервные фонды и идущей на выплату дивидендов акционерам банка. Средства банка формируются за счет клиентских денег на расчетных текущих срочных и иных счетах; межбанковского кредита; средств мобилизованных банком во временное пользование путем выпуска долговых ценных бумаг и т. Кредит стал основой банковского дела и базисом по которому судили о качестве и о работе банка. Особого внимания заслуживает процесс управления кредитным риском потому что от его...
44369. Роль связей с общественностью в повышении конкурентоспособности группы компаний «Евразия» 228 KB
  Во второй практической главе « Программа по повышению конкурентоспособности ГК «Евразия» дается общая характеристика ГК «Евразия», предоставляется конкурентный анализ деятельности ГК «Евразия», и разрабатывается концепция программы по повышению конкурентоспособности ГК «Евразия» и оценка ее эффективности.
44370. Покрытие пиковых нагрузок энергосистем 1.07 MB
  Электроэнергетика России имея общую мощность электростанций 210 млн. Так основные параметры и единичная мощность основного генерирующего оборудования и линий электропередач используемых в отрасли находятся на уровне развитых стран мира. кВтч а установленная мощность электростанций увеличится примерно на 50 процентов и достигнет 320млн. Первая на Енисее Красноярская ГЭС с бетонной плотиной длиной 1100м и высотой 120 м начала работать на полную мощность и теперь ее 12 гидроагрегатов вырабатывают в год в среднем 204 млрд.
44372. Анализ характеристик микромеханического гироскопа в режиме автоколебания 7.18 MB
  Перечень принятых обозначений и сокращений АД – амплитудный детектор АМ – амплитудная модуляция АФХ – амплитуднофазовая характеристика АХ – амплитудная характеристика АЦП – аналогоцифровой преобразователь ВМ – временная модуляция ДП – датчик положения ДПИ – датчик первичной информации ДС – датчик силы ИМ – инерционная масса К – компаратор Кл ключ КП – компенсирующий преобразователь МК микроконтроллер ММГ –...