18998

Сильно вырожденный ферми - газ

Лекция

Физика

Лекция ХI 1. Сильно вырожденный ферми газ. Будем рассматривать фермионы со спином равным половине электроны протоны нейтроны когда . Посмотрим как ведет себя распределение ФермиДирака IX.2.2 XI.1.1 ка...

Русский

2013-07-11

249.5 KB

7 чел.

Лекция ХI

1. Сильно вырожденный ферми - газ.

Будем рассматривать фермионы со спином, равным половине (электроны, протоны, нейтроны), когда . Посмотрим, как ведет себя распределение Ферми-Дирака (IX.2.2)

                                                          (XI.1.1)

как функция энергии  при . Пусть химический потенциал при заданной плотности  и нулевой температуре равен . Тогда распределение (XI.1.1) принимает вид ступеньки с высотой равной 1, см. рис. XI.1.

                                                            Рис. XI.1.

Таким образом, все уровни с энергией меньше или равной  заняты, а выше ее – свободны. Это граничное значение энергии называется энергией Ферми . Поэтому полное число фермионов в объеме  равно

                                 (XI.1.2)

Отсюда граничный импульс – радиус ферми-сферы -

,                                                         (XI.1.3)

а энергия Ферми

                                                      (XI.1.4)

Полная энергия газа равна       

                                       (XI.1.5)

или с учетом (XI.1.3) и (XI.1.4)

                                        (XI.1.6)

Отсюда в соответствии с общей формулой (X.2.9) получаем

,                                          (XI.1.7)

т.е. давление сильно вырожденного ферми-газа зависит только от концентрации частиц, но не от температуры. Условие применимости формул (XI.1.5) и (XI.1.6)

                                                  (XI.1.8)

Оценим, когда можно считать плазму (т.е. газ электронов и ядер) идеальной. Пусть среднее расстояние между электронами и ядрами. Тогда энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону, должна быть много меньше средней кинетической энергии электрона, которая имеет порядок энергии Ферми:

                                                              (XI.1.9)

Если число электронов, а  - число ядер (заряд ядра, газ в целом электронейтрален), то  и условие (XI.1.9) принимает вид

                                          (XI.1.10)

Отсюда следует неравенство

                                            (XI.1.11)

(радиус Бора). Таким образом, чем больше плотность, тем лучше выполняется условие “идеальности” газа. Температура вырождения, соответствующая критической плотности , при которой нарушается требование идеальности (XI.1.11), равна

              (XI.1.12)

Температура внутри Солнца , т.е. электронный газ можно считать невырожденным.

Посмотрим, что можно сказать об электронах в зоне проводимости металлов. Все щелочные металлы, а также медь, серебро и золото отдают по одному электрону с атома в зону проводимости. Если учесть, что плотность золота , а его молярный вес , то плотность электронов

                                          (XI.1.13)

Примерно такая же концентрация и для других хороших проводников. Поэтому в этом случае

                (XI.1.14)

Таким образом, электроны в зоне проводимости металлов при комнатной температуре  сильно вырождены. Заметим, что скорость электронов на поверхности Ферми

                     (XI.1.15)

(), т.е.  и электронный газ является нерелятивистским.

2. Теплоемкость вырожденного ферми-газа.

Так как энергия (XI.1.6) не зависит от температуры, для вычисления теплоемкости нужно найти следующий член разложения (X.2.8) по малому параметру . Задача сводится к приближенному вычислению интеграла

                                  (XI.2.1)

при . Полагая , имеем

                               (XI.2.2)

В первом интеграле делаем замену  и учитываем тождество

,

                             (XI.2.3)

Переходя к переменной   в первом из этих интегралов, имеем

                                       (XI.2.4)

Заметим, что это точное соотношение, поскольку никаких приближений пока сделано не было. Учтем теперь, что параметр , а второй и третий интеграл сходятся при значениях . Поскольку

      ,

то интеграл (XI.2.4) приближенно равен

              (XI.2.5)

Используя значение интеграла

                                                               (XI.2.6)

окончательно с экспоненциальной точностью получаем.

                                         (XI.2.7)

Возвращаясь к поставленной задаче, найдем сначала поправку к химическому потенциалу , который определяется из уравнения (X.2.5) с

                                                       (XI.2.8)

Элементарное вычисление дает

                                              (XI.2.9)

Полагая здесь

                                                     (XI.2.10)

и учитывая явное выражение для энергии Ферми (XI.1.4) и квантового объема (IX.5.4), получаем

                    (XI.2.11)

Аналогично вычисляется поправка к полной энергии

                                             (XI.2.12)

Подставляя сюда разложение (XI.2.10) с , определенной в (XI.2.11), окончательно находим

                                                (XI.2.13)

Отсюда для теплоемкости следует

                             (XI.2.14)

Эта формула удовлетворяет теореме Нернста:  при . Выражение (XI.2.14) показывает, что электронные степени свободы “вымерзают” при , т.е. не дают вклада в теплоемкость, в отличие от классического закона равнораспределения. Вырожденный электронный газ – существенно квантовая система.

Рассмотрим флуктуацию числа частиц  в ом квантовом состоянии. Согласно общей формуле (VIII.5.5) имеем

                                 (XI.2.15)

где  - среднее число заполнения ого квантового состояния, см. (IX.2.2), а термодинамический потенциал  определен в (IX.2.1). Простое дифференцирование дает

                                                   (XI.2.16)

Максимальная флуктуация, возникающая при ,  равна . В классическом пределе ()

,                                                    (XI.2.17)

а для сильно вырожденного ферми-газа (при) она равна нулю:

                                                        (XI.2.18)

для всех квантовых состояний:  при  и  при .

Для флуктуации полного числа фермионов в этом случае согласно (VIII.5.5) и (XI.2.9) получаем

                                                      (XI.2.19)

Так что относительная флуктуация

                                   (XI.2.20)

мала не только за счет макроскопичности системы, но также из-за вырождения, . Изотермическая сжимаемость, см. (VIII.5.11), равна

,                                       (XI.2.21)

т.е. не зависит от температуры, а только от плотности числа частиц: чем больше концентрация, тем меньше сжимаемость, т.е. система фермионов становится более жесткой. Стабильность белых карликов и нейтронных звезд полностью связана с давлением вырожденного газа электронов и нейтронов, соответственно.

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82098. Проектирование беспроводной сети Wi-Fi на основе стандарта 802.11n в общежитии № 2 Алматинского Института Энергетики и Связи 1.64 MB
  Перечень подлежащих разработке в дипломном проекте вопросов или краткое содержание дипломного проекта: Общие понятия беспроводного доступа WiFi характеристики стандарты. Выбор оборудования системы беспроводного доступа. Расчет зоны покрытия точек доступа Охрана безопасности и жизнедеятельности...
82099. Проектирование и расчеты электрических сетей освещения цехов промышленных предприятий 4.22 MB
  Целью данного пособия является оказание методической помощи при изучении курса МДК 01.03 «Электрическое и электромеханическое оборудование» студентами выпускных курсов колледжа по специальности 140448 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования.
82100. СТАНОВЛЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ РОСТА И РАЗВИТИЯ В ГОРОДАХ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ: ВОЗМОЖНОСТИ И ОГРАНИЧЕНИЯ 414 KB
  Вышеперечисленные исследования власти в городах России в теоретическом плане базируются как на западном, так и на отечественном опыте изучения локальной политики. Однако несмотря на относительную популярность данного направления в последнее время малые и средние города в рамках данного направления...
82101. Анализ содержательной модели американского инфлайт-издания «AmericanWay» 1.82 MB
  Авиажурнал (или инфлайт-журнал) будучи одним из представителей корпоративных СМИ, стал участником медиа соревнований. Мы предлагаем остановить свое внимание на журналах данного вида бортовой прессы и исследовать их содержательную модель.
82102. Зиянды шығыстың таралуын есептеу 130.8 KB
  Құрылыс материалдардың даму тендециясының бірі өндірістің бірден өсуі,өнімдердің сапасын жоғарлату, жаңа өнімдерді шығаруды ұйымдастыру, цементтің-кірпіштің тиімді түрлерін шығару, қазіргі заманның қуатты қондырғыларын пайдалану болып табылады.
82103. Алгоритм ориентирования сверхлегкого БПЛА по данным бортового фото-видео регистратора 1.45 MB
  В современном мире для решения задач мониторинга местности все чаще стали применятся беспилотные летательные аппараты БПЛА которые могут выполнять поставленную им задачу например полет по маршруту по заданным точкам в автоматическом режиме.
82104. СОБЫТИЙНЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ В РАЗВИТИИ ТУРИСТИЧЕСКОЙ ИНДУСТРИИ РЕГИОНА (НА ПРИМЕРЕ ВОЛОГОДСКОЙ ОБЛАСТИ) 594 KB
  Важно также учитывать влияние глобальных процессов, таких как социальная мобильность, медиатизация и урбанизация, на преобразования, происходящие в регионах. Эти процессы интересны тем, что они приводят к интенсификации взаимосвязей между центральными и региональными системами.
82105. Электрогидравлический привод подачи фрезерного станка 1.61 MB
  Отсчет перемещения стола 10 относительно станины 9 осуществляется линейным индуктосином 11, который является индуктивным датчиком перемещения. Измерение осуществляется за счет сдвига вектора магнитной индукции при перемещении движка индуктосина относительно основной шкалы...
82106. Система автоматического регулирования температуры жидкости в системе охлаждения двигателя 858.5 KB
  Построение желаемой ЛАЧХ системы и оценка качества САР. Коррекция САР и расчет параметров корректирующего устройства Расчет переходной характеристики скорректированной САР Заключение. Для получения характеристического уравнения найдем главную передаточную функцию замкнутой САР.