18998

Сильно вырожденный ферми - газ

Лекция

Физика

Лекция ХI 1. Сильно вырожденный ферми газ. Будем рассматривать фермионы со спином равным половине электроны протоны нейтроны когда . Посмотрим как ведет себя распределение ФермиДирака IX.2.2 XI.1.1 ка...

Русский

2013-07-11

249.5 KB

7 чел.

Лекция ХI

1. Сильно вырожденный ферми - газ.

Будем рассматривать фермионы со спином, равным половине (электроны, протоны, нейтроны), когда . Посмотрим, как ведет себя распределение Ферми-Дирака (IX.2.2)

                                                          (XI.1.1)

как функция энергии  при . Пусть химический потенциал при заданной плотности  и нулевой температуре равен . Тогда распределение (XI.1.1) принимает вид ступеньки с высотой равной 1, см. рис. XI.1.

                                                            Рис. XI.1.

Таким образом, все уровни с энергией меньше или равной  заняты, а выше ее – свободны. Это граничное значение энергии называется энергией Ферми . Поэтому полное число фермионов в объеме  равно

                                 (XI.1.2)

Отсюда граничный импульс – радиус ферми-сферы -

,                                                         (XI.1.3)

а энергия Ферми

                                                      (XI.1.4)

Полная энергия газа равна       

                                       (XI.1.5)

или с учетом (XI.1.3) и (XI.1.4)

                                        (XI.1.6)

Отсюда в соответствии с общей формулой (X.2.9) получаем

,                                          (XI.1.7)

т.е. давление сильно вырожденного ферми-газа зависит только от концентрации частиц, но не от температуры. Условие применимости формул (XI.1.5) и (XI.1.6)

                                                  (XI.1.8)

Оценим, когда можно считать плазму (т.е. газ электронов и ядер) идеальной. Пусть среднее расстояние между электронами и ядрами. Тогда энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону, должна быть много меньше средней кинетической энергии электрона, которая имеет порядок энергии Ферми:

                                                              (XI.1.9)

Если число электронов, а  - число ядер (заряд ядра, газ в целом электронейтрален), то  и условие (XI.1.9) принимает вид

                                          (XI.1.10)

Отсюда следует неравенство

                                            (XI.1.11)

(радиус Бора). Таким образом, чем больше плотность, тем лучше выполняется условие “идеальности” газа. Температура вырождения, соответствующая критической плотности , при которой нарушается требование идеальности (XI.1.11), равна

              (XI.1.12)

Температура внутри Солнца , т.е. электронный газ можно считать невырожденным.

Посмотрим, что можно сказать об электронах в зоне проводимости металлов. Все щелочные металлы, а также медь, серебро и золото отдают по одному электрону с атома в зону проводимости. Если учесть, что плотность золота , а его молярный вес , то плотность электронов

                                          (XI.1.13)

Примерно такая же концентрация и для других хороших проводников. Поэтому в этом случае

                (XI.1.14)

Таким образом, электроны в зоне проводимости металлов при комнатной температуре  сильно вырождены. Заметим, что скорость электронов на поверхности Ферми

                     (XI.1.15)

(), т.е.  и электронный газ является нерелятивистским.

2. Теплоемкость вырожденного ферми-газа.

Так как энергия (XI.1.6) не зависит от температуры, для вычисления теплоемкости нужно найти следующий член разложения (X.2.8) по малому параметру . Задача сводится к приближенному вычислению интеграла

                                  (XI.2.1)

при . Полагая , имеем

                               (XI.2.2)

В первом интеграле делаем замену  и учитываем тождество

,

                             (XI.2.3)

Переходя к переменной   в первом из этих интегралов, имеем

                                       (XI.2.4)

Заметим, что это точное соотношение, поскольку никаких приближений пока сделано не было. Учтем теперь, что параметр , а второй и третий интеграл сходятся при значениях . Поскольку

      ,

то интеграл (XI.2.4) приближенно равен

              (XI.2.5)

Используя значение интеграла

                                                               (XI.2.6)

окончательно с экспоненциальной точностью получаем.

                                         (XI.2.7)

Возвращаясь к поставленной задаче, найдем сначала поправку к химическому потенциалу , который определяется из уравнения (X.2.5) с

                                                       (XI.2.8)

Элементарное вычисление дает

                                              (XI.2.9)

Полагая здесь

                                                     (XI.2.10)

и учитывая явное выражение для энергии Ферми (XI.1.4) и квантового объема (IX.5.4), получаем

                    (XI.2.11)

Аналогично вычисляется поправка к полной энергии

                                             (XI.2.12)

Подставляя сюда разложение (XI.2.10) с , определенной в (XI.2.11), окончательно находим

                                                (XI.2.13)

Отсюда для теплоемкости следует

                             (XI.2.14)

Эта формула удовлетворяет теореме Нернста:  при . Выражение (XI.2.14) показывает, что электронные степени свободы “вымерзают” при , т.е. не дают вклада в теплоемкость, в отличие от классического закона равнораспределения. Вырожденный электронный газ – существенно квантовая система.

Рассмотрим флуктуацию числа частиц  в ом квантовом состоянии. Согласно общей формуле (VIII.5.5) имеем

                                 (XI.2.15)

где  - среднее число заполнения ого квантового состояния, см. (IX.2.2), а термодинамический потенциал  определен в (IX.2.1). Простое дифференцирование дает

                                                   (XI.2.16)

Максимальная флуктуация, возникающая при ,  равна . В классическом пределе ()

,                                                    (XI.2.17)

а для сильно вырожденного ферми-газа (при) она равна нулю:

                                                        (XI.2.18)

для всех квантовых состояний:  при  и  при .

Для флуктуации полного числа фермионов в этом случае согласно (VIII.5.5) и (XI.2.9) получаем

                                                      (XI.2.19)

Так что относительная флуктуация

                                   (XI.2.20)

мала не только за счет макроскопичности системы, но также из-за вырождения, . Изотермическая сжимаемость, см. (VIII.5.11), равна

,                                       (XI.2.21)

т.е. не зависит от температуры, а только от плотности числа частиц: чем больше концентрация, тем меньше сжимаемость, т.е. система фермионов становится более жесткой. Стабильность белых карликов и нейтронных звезд полностью связана с давлением вырожденного газа электронов и нейтронов, соответственно.

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66189. Планування робіт з технічного обслуговування і поточного ремонту електрообладнання 82 KB
  Планування ТО і ПР енергетичного обладнання здійснюється по нормативним значенням періодичності і трудомісткості цих заходів з планування умов експлуатації, що складаються в сільськогосподарському підприємстві.
66190. Лабораторная диагностика бешенства 86 KB
  Бешенство (синонимы: rabies, lyssa, hydrophobia - водобоязнь) – особо опасная инфекционная болезнь человека и теплокровных животных, передающаяся при контакте с инфицированным животным (укус, ослюнение микроповреждений)...
66191. Монтаж магнітного пускача 88.5 KB
  Пускач електромагнітний (магнітний пускач) - це низьковольтний електромагнітний (електромеханічний) комбінований пристрій розподілу та управління, призначений для пуску і розгону електродвигуна до номінальної швидкості, забезпечення його безперервної роботи, відключення живлення...
66192. Проектування та вибір бази електротехнічної служби господарства. Розрахунок забезпечення її запасних частин та матеріалами. Створення резервного фонду 182 KB
  Матеріально-технічне забезпечення базується на науково-обгрунтованих потребах матеріалів і запасних частин. Потрібна кількість апаратів, пристроїв та запасних частин визначається за нормами, що встановлені системою ПЗРЕсг.
66193. Морфология простейших 191.5 KB
  Округлые клетки с рубиновым ядром голубой цитоплазмой красными 5 жгутиками и аксостилем и ундулирующей мембраной. Удлиненные клетки с 1 жгутиком 1 ядром и ундулирующей мембраной. Клетки грушевидной формы с 2 ядрами и 4 парами жгутиков.
66194. Лабораторная диагностика герпесвирусных инфекций 186 KB
  Вирус простого герпеса – одна из самых распространенных вирусных инфекций человека, характеризующаяся лихорадочным состоянием и пузырьковыми высыпаниями, которые чаще всего локализуются на коже и слизистых оболочках.
66195. Монтаж електричного лічильника 79 KB
  Дана схема підключення електролічильника однофазного і трифазного називається прямою. На лічильниках є напис про його характеристики серед яких зазначений номінальний і максимальний струм наприклад зазвичай пишеться так: 5 15 А.
66196. Визначення несправностей трансформаторів і складання дефектної відомості на ремонт 137.5 KB
  Оглядаючи обмотки трансформатора звертають увагу на стан виткової ізоляції деформацію і зміщення обмоток в радіальному напрямку що може бути наслідком переміщень і ослаблень прокладок планок розпірок; стан місця паяння на обмотках та охолодних...
66197. Лабораторная диагностика арбовирусных инфекций 109.5 KB
  Наибольшее значение в патологии человека имеют вирусы клещевого энцефалита японского энцефалита омской геморрагической лихорадки крымской геморрагической лихорадки желтой лихорадки лихорадки денге москитной флеботомной лихорадки.