18998

Сильно вырожденный ферми - газ

Лекция

Физика

Лекция ХI 1. Сильно вырожденный ферми газ. Будем рассматривать фермионы со спином равным половине электроны протоны нейтроны когда . Посмотрим как ведет себя распределение ФермиДирака IX.2.2 XI.1.1 ка...

Русский

2013-07-11

249.5 KB

6 чел.

Лекция ХI

1. Сильно вырожденный ферми - газ.

Будем рассматривать фермионы со спином, равным половине (электроны, протоны, нейтроны), когда . Посмотрим, как ведет себя распределение Ферми-Дирака (IX.2.2)

                                                          (XI.1.1)

как функция энергии  при . Пусть химический потенциал при заданной плотности  и нулевой температуре равен . Тогда распределение (XI.1.1) принимает вид ступеньки с высотой равной 1, см. рис. XI.1.

                                                            Рис. XI.1.

Таким образом, все уровни с энергией меньше или равной  заняты, а выше ее – свободны. Это граничное значение энергии называется энергией Ферми . Поэтому полное число фермионов в объеме  равно

                                 (XI.1.2)

Отсюда граничный импульс – радиус ферми-сферы -

,                                                         (XI.1.3)

а энергия Ферми

                                                      (XI.1.4)

Полная энергия газа равна       

                                       (XI.1.5)

или с учетом (XI.1.3) и (XI.1.4)

                                        (XI.1.6)

Отсюда в соответствии с общей формулой (X.2.9) получаем

,                                          (XI.1.7)

т.е. давление сильно вырожденного ферми-газа зависит только от концентрации частиц, но не от температуры. Условие применимости формул (XI.1.5) и (XI.1.6)

                                                  (XI.1.8)

Оценим, когда можно считать плазму (т.е. газ электронов и ядер) идеальной. Пусть среднее расстояние между электронами и ядрами. Тогда энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону, должна быть много меньше средней кинетической энергии электрона, которая имеет порядок энергии Ферми:

                                                              (XI.1.9)

Если число электронов, а  - число ядер (заряд ядра, газ в целом электронейтрален), то  и условие (XI.1.9) принимает вид

                                          (XI.1.10)

Отсюда следует неравенство

                                            (XI.1.11)

(радиус Бора). Таким образом, чем больше плотность, тем лучше выполняется условие “идеальности” газа. Температура вырождения, соответствующая критической плотности , при которой нарушается требование идеальности (XI.1.11), равна

              (XI.1.12)

Температура внутри Солнца , т.е. электронный газ можно считать невырожденным.

Посмотрим, что можно сказать об электронах в зоне проводимости металлов. Все щелочные металлы, а также медь, серебро и золото отдают по одному электрону с атома в зону проводимости. Если учесть, что плотность золота , а его молярный вес , то плотность электронов

                                          (XI.1.13)

Примерно такая же концентрация и для других хороших проводников. Поэтому в этом случае

                (XI.1.14)

Таким образом, электроны в зоне проводимости металлов при комнатной температуре  сильно вырождены. Заметим, что скорость электронов на поверхности Ферми

                     (XI.1.15)

(), т.е.  и электронный газ является нерелятивистским.

2. Теплоемкость вырожденного ферми-газа.

Так как энергия (XI.1.6) не зависит от температуры, для вычисления теплоемкости нужно найти следующий член разложения (X.2.8) по малому параметру . Задача сводится к приближенному вычислению интеграла

                                  (XI.2.1)

при . Полагая , имеем

                               (XI.2.2)

В первом интеграле делаем замену  и учитываем тождество

,

                             (XI.2.3)

Переходя к переменной   в первом из этих интегралов, имеем

                                       (XI.2.4)

Заметим, что это точное соотношение, поскольку никаких приближений пока сделано не было. Учтем теперь, что параметр , а второй и третий интеграл сходятся при значениях . Поскольку

      ,

то интеграл (XI.2.4) приближенно равен

              (XI.2.5)

Используя значение интеграла

                                                               (XI.2.6)

окончательно с экспоненциальной точностью получаем.

                                         (XI.2.7)

Возвращаясь к поставленной задаче, найдем сначала поправку к химическому потенциалу , который определяется из уравнения (X.2.5) с

                                                       (XI.2.8)

Элементарное вычисление дает

                                              (XI.2.9)

Полагая здесь

                                                     (XI.2.10)

и учитывая явное выражение для энергии Ферми (XI.1.4) и квантового объема (IX.5.4), получаем

                    (XI.2.11)

Аналогично вычисляется поправка к полной энергии

                                             (XI.2.12)

Подставляя сюда разложение (XI.2.10) с , определенной в (XI.2.11), окончательно находим

                                                (XI.2.13)

Отсюда для теплоемкости следует

                             (XI.2.14)

Эта формула удовлетворяет теореме Нернста:  при . Выражение (XI.2.14) показывает, что электронные степени свободы “вымерзают” при , т.е. не дают вклада в теплоемкость, в отличие от классического закона равнораспределения. Вырожденный электронный газ – существенно квантовая система.

Рассмотрим флуктуацию числа частиц  в ом квантовом состоянии. Согласно общей формуле (VIII.5.5) имеем

                                 (XI.2.15)

где  - среднее число заполнения ого квантового состояния, см. (IX.2.2), а термодинамический потенциал  определен в (IX.2.1). Простое дифференцирование дает

                                                   (XI.2.16)

Максимальная флуктуация, возникающая при ,  равна . В классическом пределе ()

,                                                    (XI.2.17)

а для сильно вырожденного ферми-газа (при) она равна нулю:

                                                        (XI.2.18)

для всех квантовых состояний:  при  и  при .

Для флуктуации полного числа фермионов в этом случае согласно (VIII.5.5) и (XI.2.9) получаем

                                                      (XI.2.19)

Так что относительная флуктуация

                                   (XI.2.20)

мала не только за счет макроскопичности системы, но также из-за вырождения, . Изотермическая сжимаемость, см. (VIII.5.11), равна

,                                       (XI.2.21)

т.е. не зависит от температуры, а только от плотности числа частиц: чем больше концентрация, тем меньше сжимаемость, т.е. система фермионов становится более жесткой. Стабильность белых карликов и нейтронных звезд полностью связана с давлением вырожденного газа электронов и нейтронов, соответственно.

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50509. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА АНТРОПОГЕННЫХ ЗАГРЯЗНЕНИЙ, ПОПАДАЮЩИХ В ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ В РЕЗУЛЬТАТЕ РАБОТЫ АВТОТРАНСПОРТА 223.5 KB
  Применение этой присадки позволяет сократить потребление топлива но загрязняет атмосферу соединениями свинца. При сжигании в автотранспортных установках топлива в воздух выбрасывается с продуктами сгорания сернистый ангидрид который соединяясь с атмосферной влагой образует сернистую и серную кислоты попадающие в конечном счете в почву и воду. В автомобильных двигателях химическая энергия топлива преобразуется в тепловую а затем в механическую работу. Курчатова подсчитано что во избежание гибельного парникового эффекта нужно...
50511. Теория информационной безопасности и методология защиты информации. Методические указания 2.41 MB
  Защита ПО от несанкционированного использования с помощью электронных ключей HSP Защита ПО от несанкционированного использования с помощью электронных ключей HSP Цель Познакомиться на практике с методами и средствами программно-аппаратной защиты программ и данных на примере электронных ключей HSP. Научиться программировать под электронные ключи HSP с использованием PIфункций для защиты программ от НСД. Программно-аппаратные средства Компьютерная лаборатория с ЛВС; электронные ключи HSP: HSP4 Stndrd HSP4 Memo HSP4 Time HSP4 Net;...
50512. АРХИВИРОВАНИЕ ДАННЫХ. РАБОТА С АРХИВАТОРАМИ КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 159 KB
  Наиболее известные архиваторы Название Описание 7ZIP http: 7zip. Он поддерживает ZIP 7z RR CB GZIP BZIP2 и TRархивы. Степень сжатия которая достигается этим архиватором чрезвычайно высока при использовании родного формата 7zip но при использовании опций обычного ZIPформата степень сжатия меньше. LZip Мощная программа для работы как с Zipфайлами так и с архивами других форматов всего 35 и компрессирование разных форматов.
50513. Изучение затухающих электромагнитных колебаний в колебательном контуре с помощью осциллографа 519.5 KB
  Цель работы: Изучение с помощью электронного осциллографа электромагнитных колебаний возникающих в колебательном контуре содержащем индуктивность емкость и активное сопротивление; изучение условий возникновения затухающих колебаний в контуре; расчет основных физических...
50514. Использование СУБД ACCESS для публикация данных в Web 58 KB
  Результат создания страницы доступа к данным просмотреть в Web – броузере. Статические HTMLстраницы Такая Webстраница содержит некоторые неизменяемые данные полученные путем преобразования данных таблицы или запроса CCESS в документ формата HTML. При создании такой страницы создается один документ для каждой таблицы формы или страницы отчета CCESS.
50515. Создание запроса к внешним источникам данных 109.5 KB
  Регион адрес Город адрес Улица адрес Предприятие Статус предпр. Регион адрес Город адрес Улица адрес Семестр Учебный год Задолженность экзамены Задолженность зачеты Задолженность оплата Пол Задание 2.
50516. Безопасность систем баз данных. Методические указания 200 KB
  Методические указания к лабораторным работам по дисциплине Безопасность систем баз данных Для студентов специальности 090105 Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем Ижевск 2007 УДК. Методические указания предназначены для выполнения лабораторных работ по дисциплине Безопасность систем баз данных для студентов специальности 090105 – Комплексное обеспечение безопасности автоматизированных систем Данные методические указания предназначены для проведения...
50517. Реализация диалогового интерфейса в СУБД FoxPro. Язык запросов SQL 212 KB
  Форму можно создать с помощью мастера формы Form Wizrd Мастер формы. Создать структуру файла БД в соответствии с вариантом См. Создать форму с помощью мастера. Создать форму с помощью конструктора см.