18998

Сильно вырожденный ферми - газ

Лекция

Физика

Лекция ХI 1. Сильно вырожденный ферми газ. Будем рассматривать фермионы со спином равным половине электроны протоны нейтроны когда . Посмотрим как ведет себя распределение ФермиДирака IX.2.2 XI.1.1 ка...

Русский

2013-07-11

249.5 KB

8 чел.

Лекция ХI

1. Сильно вырожденный ферми - газ.

Будем рассматривать фермионы со спином, равным половине (электроны, протоны, нейтроны), когда . Посмотрим, как ведет себя распределение Ферми-Дирака (IX.2.2)

                                                          (XI.1.1)

как функция энергии  при . Пусть химический потенциал при заданной плотности  и нулевой температуре равен . Тогда распределение (XI.1.1) принимает вид ступеньки с высотой равной 1, см. рис. XI.1.

                                                            Рис. XI.1.

Таким образом, все уровни с энергией меньше или равной  заняты, а выше ее – свободны. Это граничное значение энергии называется энергией Ферми . Поэтому полное число фермионов в объеме  равно

                                 (XI.1.2)

Отсюда граничный импульс – радиус ферми-сферы -

,                                                         (XI.1.3)

а энергия Ферми

                                                      (XI.1.4)

Полная энергия газа равна       

                                       (XI.1.5)

или с учетом (XI.1.3) и (XI.1.4)

                                        (XI.1.6)

Отсюда в соответствии с общей формулой (X.2.9) получаем

,                                          (XI.1.7)

т.е. давление сильно вырожденного ферми-газа зависит только от концентрации частиц, но не от температуры. Условие применимости формул (XI.1.5) и (XI.1.6)

                                                  (XI.1.8)

Оценим, когда можно считать плазму (т.е. газ электронов и ядер) идеальной. Пусть среднее расстояние между электронами и ядрами. Тогда энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону, должна быть много меньше средней кинетической энергии электрона, которая имеет порядок энергии Ферми:

                                                              (XI.1.9)

Если число электронов, а  - число ядер (заряд ядра, газ в целом электронейтрален), то  и условие (XI.1.9) принимает вид

                                          (XI.1.10)

Отсюда следует неравенство

                                            (XI.1.11)

(радиус Бора). Таким образом, чем больше плотность, тем лучше выполняется условие “идеальности” газа. Температура вырождения, соответствующая критической плотности , при которой нарушается требование идеальности (XI.1.11), равна

              (XI.1.12)

Температура внутри Солнца , т.е. электронный газ можно считать невырожденным.

Посмотрим, что можно сказать об электронах в зоне проводимости металлов. Все щелочные металлы, а также медь, серебро и золото отдают по одному электрону с атома в зону проводимости. Если учесть, что плотность золота , а его молярный вес , то плотность электронов

                                          (XI.1.13)

Примерно такая же концентрация и для других хороших проводников. Поэтому в этом случае

                (XI.1.14)

Таким образом, электроны в зоне проводимости металлов при комнатной температуре  сильно вырождены. Заметим, что скорость электронов на поверхности Ферми

                     (XI.1.15)

(), т.е.  и электронный газ является нерелятивистским.

2. Теплоемкость вырожденного ферми-газа.

Так как энергия (XI.1.6) не зависит от температуры, для вычисления теплоемкости нужно найти следующий член разложения (X.2.8) по малому параметру . Задача сводится к приближенному вычислению интеграла

                                  (XI.2.1)

при . Полагая , имеем

                               (XI.2.2)

В первом интеграле делаем замену  и учитываем тождество

,

                             (XI.2.3)

Переходя к переменной   в первом из этих интегралов, имеем

                                       (XI.2.4)

Заметим, что это точное соотношение, поскольку никаких приближений пока сделано не было. Учтем теперь, что параметр , а второй и третий интеграл сходятся при значениях . Поскольку

      ,

то интеграл (XI.2.4) приближенно равен

              (XI.2.5)

Используя значение интеграла

                                                               (XI.2.6)

окончательно с экспоненциальной точностью получаем.

                                         (XI.2.7)

Возвращаясь к поставленной задаче, найдем сначала поправку к химическому потенциалу , который определяется из уравнения (X.2.5) с

                                                       (XI.2.8)

Элементарное вычисление дает

                                              (XI.2.9)

Полагая здесь

                                                     (XI.2.10)

и учитывая явное выражение для энергии Ферми (XI.1.4) и квантового объема (IX.5.4), получаем

                    (XI.2.11)

Аналогично вычисляется поправка к полной энергии

                                             (XI.2.12)

Подставляя сюда разложение (XI.2.10) с , определенной в (XI.2.11), окончательно находим

                                                (XI.2.13)

Отсюда для теплоемкости следует

                             (XI.2.14)

Эта формула удовлетворяет теореме Нернста:  при . Выражение (XI.2.14) показывает, что электронные степени свободы “вымерзают” при , т.е. не дают вклада в теплоемкость, в отличие от классического закона равнораспределения. Вырожденный электронный газ – существенно квантовая система.

Рассмотрим флуктуацию числа частиц  в ом квантовом состоянии. Согласно общей формуле (VIII.5.5) имеем

                                 (XI.2.15)

где  - среднее число заполнения ого квантового состояния, см. (IX.2.2), а термодинамический потенциал  определен в (IX.2.1). Простое дифференцирование дает

                                                   (XI.2.16)

Максимальная флуктуация, возникающая при ,  равна . В классическом пределе ()

,                                                    (XI.2.17)

а для сильно вырожденного ферми-газа (при) она равна нулю:

                                                        (XI.2.18)

для всех квантовых состояний:  при  и  при .

Для флуктуации полного числа фермионов в этом случае согласно (VIII.5.5) и (XI.2.9) получаем

                                                      (XI.2.19)

Так что относительная флуктуация

                                   (XI.2.20)

мала не только за счет макроскопичности системы, но также из-за вырождения, . Изотермическая сжимаемость, см. (VIII.5.11), равна

,                                       (XI.2.21)

т.е. не зависит от температуры, а только от плотности числа частиц: чем больше концентрация, тем меньше сжимаемость, т.е. система фермионов становится более жесткой. Стабильность белых карликов и нейтронных звезд полностью связана с давлением вырожденного газа электронов и нейтронов, соответственно.

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78710. История винограда и виноделия 140.5 KB
  Но постепенно с развитием знания явились новые факты: наряду с легендами природа открыла интересные страницы из которых люди смогли прочесть историю винограда в виде отпечатка виноградного листа.
78711. Потребительская корзина в России 2013 17.41 KB
  Потребительская корзина - это некий набор товаров и услуг обеспечивающих комфортное и полноценное проживание человека на протяжении года и удовлетворяющих его минимальные потребности. Продукты питания: Наименование Единица измерения Объем потребления в среднем на одного...
78712. Олигополия. Модели олигополии 96 KB
  Издержки производства в этих компаниях будут намного выше и в конце концов фирмы не смогут удержаться на рынке. Данное понятие включает как тесную олигополию когда на рынке доминируют две или три крупные фирмы и свободную олигополию когда шесть или семь фирм делят между собой...
78713. Рациональное питание 200 KB
  Соблюдение режима питания определенное время приема пищи и определенное количество ее при каждом приеме. Изменяя характер питания в том числе и калорийность можно регулировать процессы обмена веществ. Нормы и есть критерии рационального питания.
78715. КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ З НІМЕЦЬКОЇ МОВИ (ЯК ДРУГОЇ ІНОЗЕМНОЇ) 196 KB
  Ich heiße Christina Müller und wohne in Dresden. Mein Vater heißt Peter und ist Ingenieur. Meine Mutter arbeitet als Sekretärin. Mein Bruder Klaus wohnt nicht hier. Er studiert in Leipzig. Wir telefonieren oft. Er ist schon 22 Jahre alt.Leider habe ich keine Schwester.
78716. Контрольна робота – хімія 70 KB
  Атомно-молекулярне вчення підсумок сучасної фізики хімії та природознавства провідною ідеєю якого є дискретність перервність будови речовини: уявлення про існування двох видів найдрібніших частинок речовини атомів і молекул; остаточно запроваджене в науковому світі лише на початку другої половини XIX ст.
78717. Методичні вказівки до самостійної роботи з хімії 2.32 MB
  Органічна хімія є фундаментальною дисципліною в хімічній освіті, яка сприяє активному формуванню предметних і професійних компетенцій, спрямованих на виконання виробничих функцій спеціалістів. Засвоєння теоретичних основ органічної хімії дозволить сформувати у студентів комплекс хімічних знань...