18998

Сильно вырожденный ферми - газ

Лекция

Физика

Лекция ХI 1. Сильно вырожденный ферми газ. Будем рассматривать фермионы со спином равным половине электроны протоны нейтроны когда . Посмотрим как ведет себя распределение ФермиДирака IX.2.2 XI.1.1 ка...

Русский

2013-07-11

249.5 KB

8 чел.

Лекция ХI

1. Сильно вырожденный ферми - газ.

Будем рассматривать фермионы со спином, равным половине (электроны, протоны, нейтроны), когда . Посмотрим, как ведет себя распределение Ферми-Дирака (IX.2.2)

                                                          (XI.1.1)

как функция энергии  при . Пусть химический потенциал при заданной плотности  и нулевой температуре равен . Тогда распределение (XI.1.1) принимает вид ступеньки с высотой равной 1, см. рис. XI.1.

                                                            Рис. XI.1.

Таким образом, все уровни с энергией меньше или равной  заняты, а выше ее – свободны. Это граничное значение энергии называется энергией Ферми . Поэтому полное число фермионов в объеме  равно

                                 (XI.1.2)

Отсюда граничный импульс – радиус ферми-сферы -

,                                                         (XI.1.3)

а энергия Ферми

                                                      (XI.1.4)

Полная энергия газа равна       

                                       (XI.1.5)

или с учетом (XI.1.3) и (XI.1.4)

                                        (XI.1.6)

Отсюда в соответствии с общей формулой (X.2.9) получаем

,                                          (XI.1.7)

т.е. давление сильно вырожденного ферми-газа зависит только от концентрации частиц, но не от температуры. Условие применимости формул (XI.1.5) и (XI.1.6)

                                                  (XI.1.8)

Оценим, когда можно считать плазму (т.е. газ электронов и ядер) идеальной. Пусть среднее расстояние между электронами и ядрами. Тогда энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону, должна быть много меньше средней кинетической энергии электрона, которая имеет порядок энергии Ферми:

                                                              (XI.1.9)

Если число электронов, а  - число ядер (заряд ядра, газ в целом электронейтрален), то  и условие (XI.1.9) принимает вид

                                          (XI.1.10)

Отсюда следует неравенство

                                            (XI.1.11)

(радиус Бора). Таким образом, чем больше плотность, тем лучше выполняется условие “идеальности” газа. Температура вырождения, соответствующая критической плотности , при которой нарушается требование идеальности (XI.1.11), равна

              (XI.1.12)

Температура внутри Солнца , т.е. электронный газ можно считать невырожденным.

Посмотрим, что можно сказать об электронах в зоне проводимости металлов. Все щелочные металлы, а также медь, серебро и золото отдают по одному электрону с атома в зону проводимости. Если учесть, что плотность золота , а его молярный вес , то плотность электронов

                                          (XI.1.13)

Примерно такая же концентрация и для других хороших проводников. Поэтому в этом случае

                (XI.1.14)

Таким образом, электроны в зоне проводимости металлов при комнатной температуре  сильно вырождены. Заметим, что скорость электронов на поверхности Ферми

                     (XI.1.15)

(), т.е.  и электронный газ является нерелятивистским.

2. Теплоемкость вырожденного ферми-газа.

Так как энергия (XI.1.6) не зависит от температуры, для вычисления теплоемкости нужно найти следующий член разложения (X.2.8) по малому параметру . Задача сводится к приближенному вычислению интеграла

                                  (XI.2.1)

при . Полагая , имеем

                               (XI.2.2)

В первом интеграле делаем замену  и учитываем тождество

,

                             (XI.2.3)

Переходя к переменной   в первом из этих интегралов, имеем

                                       (XI.2.4)

Заметим, что это точное соотношение, поскольку никаких приближений пока сделано не было. Учтем теперь, что параметр , а второй и третий интеграл сходятся при значениях . Поскольку

      ,

то интеграл (XI.2.4) приближенно равен

              (XI.2.5)

Используя значение интеграла

                                                               (XI.2.6)

окончательно с экспоненциальной точностью получаем.

                                         (XI.2.7)

Возвращаясь к поставленной задаче, найдем сначала поправку к химическому потенциалу , который определяется из уравнения (X.2.5) с

                                                       (XI.2.8)

Элементарное вычисление дает

                                              (XI.2.9)

Полагая здесь

                                                     (XI.2.10)

и учитывая явное выражение для энергии Ферми (XI.1.4) и квантового объема (IX.5.4), получаем

                    (XI.2.11)

Аналогично вычисляется поправка к полной энергии

                                             (XI.2.12)

Подставляя сюда разложение (XI.2.10) с , определенной в (XI.2.11), окончательно находим

                                                (XI.2.13)

Отсюда для теплоемкости следует

                             (XI.2.14)

Эта формула удовлетворяет теореме Нернста:  при . Выражение (XI.2.14) показывает, что электронные степени свободы “вымерзают” при , т.е. не дают вклада в теплоемкость, в отличие от классического закона равнораспределения. Вырожденный электронный газ – существенно квантовая система.

Рассмотрим флуктуацию числа частиц  в ом квантовом состоянии. Согласно общей формуле (VIII.5.5) имеем

                                 (XI.2.15)

где  - среднее число заполнения ого квантового состояния, см. (IX.2.2), а термодинамический потенциал  определен в (IX.2.1). Простое дифференцирование дает

                                                   (XI.2.16)

Максимальная флуктуация, возникающая при ,  равна . В классическом пределе ()

,                                                    (XI.2.17)

а для сильно вырожденного ферми-газа (при) она равна нулю:

                                                        (XI.2.18)

для всех квантовых состояний:  при  и  при .

Для флуктуации полного числа фермионов в этом случае согласно (VIII.5.5) и (XI.2.9) получаем

                                                      (XI.2.19)

Так что относительная флуктуация

                                   (XI.2.20)

мала не только за счет макроскопичности системы, но также из-за вырождения, . Изотермическая сжимаемость, см. (VIII.5.11), равна

,                                       (XI.2.21)

т.е. не зависит от температуры, а только от плотности числа частиц: чем больше концентрация, тем меньше сжимаемость, т.е. система фермионов становится более жесткой. Стабильность белых карликов и нейтронных звезд полностью связана с давлением вырожденного газа электронов и нейтронов, соответственно.

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23178. Класична онтологія та її фундаментальні проблеми 40.5 KB
  Класична онтологія та її фундаментальні проблеми Онтологія розділ філософії що вивчає проблеми буття. ТермінОнтологія був запропонований Р. Вольфом явно розділили семантику термінівонтологія іметафізика. Формально онтологія складається з понять термінів організованих в таксономія їх описів і правил виводу.
23179. Технология Token Ring 81.5 KB
  Сети Token Ring, так же как и сети Ethernet, характеризует разделяемая среда передачи данных, которая в данном случае состоит из отрезков кабеля, соединяющих все станции сети в кольцо. Кольцо рассматривается как общий разделяемый ресурс, и для доступа к нему требуется не случайный алгоритм
23180. Філософський зміст категорії матерія 37 KB
  Якщо для філософів стародавнього світу матерія це матеріал з якого складаються тіла предмети а кожний предметтіло складається з матерії та форми як духовного першопочатку то для Р.Ньютон додає до Декартового визначення матерії як субстанції ще три атрибути: протяжність непроникність непорушна цілісність тілаінертність пасивність нездатність самостійно змінювати швидкість згідно із законами динаміки; вага зумовлена дією закону всесвітньої гравітації. Причому інертність та вага потім об'єднуються ним у поняття маси яка виступає...
23181. Рух, як спосіб простір та час як форми існування матерії 37 KB
  Рухяк спосіб простір та час як форми існування матерії Простір і час це філософські категорії за допомогою яких позначаються основні форми існування матерії. Філософію цікавить насамперед питання про відношення простору і часу до матерії тобто чи є вони реальними чи це тільки абстракціїфеномени свідомості. Сучасна наука розглядає простір і час як форми існування матерії. Матеріалізм підкреслює об'єктивний характер простору і часу невіддільність від руху матерії: матерія рухається у просторі і часі.
23182. Онтологія 128.5 KB
  Поняття онтологія не має однозначного тлумачення у філософії. Існує принаймні три значення цього поняття: Поперше під онтологією розуміють ту частину філософії яка з'ясовує основні фундаментальні принципи буття першоначала всього сутнісного. Саме поняття онтологія у перекладі з грецької мови означає вчення про суще сутнісне найважливіше онто суще сутнісне логія вчення. Подруге у марксистській філософії поняття онтологія вживається для з'ясування сутності явищ що існують незалежно від людини її свідомості та...
23183. Визначальні категоріальні характеристики світу 40 KB
  Визначальні категоріальні характеристики світу. Визначення змісту поняття світ можливе і дійсне тільки у системі відношення людина світ . Іншими словами світ є все те що відмінне від людини і що одночасно органічно має людину в собі. Отже на противагу об'єктивно існуючому світу є внутрішній світ людини .
23184. Поняття природи 115 KB
  природаангл. В побуті слово природа часто вживається у значенні природне середовище в якому живе людина все що нас оточує за винятком створеного людиною. 4 Друга природа створені людиною матеріальні умови її існування. У широкому розумінні природа органічний і неорганічний матеріальний світ Всесвіт у всій сукупності і зв'язках його форм що є об'єктом людської діяльності і пізнання основний об'єкт вивчення науки включно з тим що створене діяльністю людини.
23185. Народонаселення як природне явище 45.5 KB
  Народонаселення як природне явище Насе́лення лю́дність сукупність людей що постійно живуть в межах якоїсь конкретно вказанної територіїрайоні місті області частини країни країні континенту чи всієї земної кулі тощо. Наука яка вивчає розмір структури динаміку руху і розвиток населення зветься д е мо г ра фі я. Сукупність людей які здатні до самовідтворення та саморозвитку й проживають на певній територіїкраїна регіон континент чи будьяка інша частина планети називають населенням або народонаселенням. Населення в...