18999

Вырожденный бозе-газ

Лекция

Физика

Лекция XII 1. Вырожденный бозегаз. Химический потенциал бозегаза определяется из уравнения X.2.5 XII.1.1 При заданной концентрации будем понижать температуру газа. Поскольку по условию левая часть уравнения XII.1.1 не м

Русский

2013-07-11

309 KB

4 чел.

Лекция XII

1. Вырожденный бозе-газ.

Химический потенциал бозе-газа определяется из уравнения (X.2.5)

                                                (XII.1.1)

При заданной концентрации будем понижать температуру газа. Поскольку по условию левая часть уравнения (XII.1.1) не меняется, то интеграл в правой части должен увеличиваться с уменьшением температуры. Так как химический потенциал бозе-газа отрицателен, , это означает, что  должен уменьшаться при уменьшении . Поэтому при некоторой температуре  решением уравнения (XII.1.1) будет . Температура вырождения  равна

,                                                    (XII.1.2)

где дзета-функция Римана.

В дальнейшем нам понадобится значение более общего интеграла

                                                    (XII.1.3)

Вычисляется он следующим образом:

;

Здесь

                          (XII.1.4)

Возвращаясь к уравнению (XII.1.1) видим, что при  приходим к противоречию. Действительно, химический потенциал не может быть положительным, т.е. интеграл не может стать меньше, чем , в то время как множитель  продолжает уменьшаться, хотя левая часть уравнения постоянна.

Противоречие возникает при переходе от точной формулы (IX.3.6) к уравнению (XII.1.1) с помощью замены (X.2.4)

                                    (XII.1.5)

При такой замене теряется вклад в сумму от слагаемого с , т.е. от основного состояния, которое является определяющим при .

Чтобы найти химический потенциал при  будем исходить из распределения Бозе-Эйнштейна (IX.3.5)

                (XII.1.6)

Полагая как обычно, что для основного состояния , имеем

            (XII.1.7)

Учтем теперь, что в силу бозевости при  заселяется только основное состояние (это явление называют бозе-конденсацией). При этом  является макроскопически большим числом, а следовательно экспонента в знаменателе дроби в (XII.1.7) близка к единице и ее можно разложить в ряд:

    

Отсюда

,                                                    (XII.1.8)

т.е. как и должно быть для бозе-газа . При этом  не только за счет малости температуры, но и вследствие макроскопичности системы, . Поэтому

,                                                    (XII.1.8а)

что оправдывает (с макроскопической точностью) замену  в уравнении (XII.1.1).

Таким образом, при низких температурах полное число бозонов  слагается из числа частиц в основном состоянии  и числа частиц в возбужденных состояниях:

                                (XII.1.9)

Зависимость от температуры определяется при  в основном зависимостью квантового объема  от температуры:

,                                        (XII.1.10)

так как , если

Температуру бозе-конденсации (вырождения) можно определить как температуру, при которой впервые  при повышении температуры от нуля до , т.е. при  заселенность основного состояния не является макроскопической величиной и ей можно пренебречь в сравнении с .

Согласно (XII.1.2) и (XII.1.9) при  имеем

,                                                   (XII.1.11)

так что  при  и  при .

Для фермионов и бозонов с одинаковой массой при одной и той же концентрации имеем

                                        (XII.1.12)

Однако, например, масса  равна приблизительно . Поэтому температура вырождения для гелия при плотности, соответствующей нормальным условиям, согласно (XII.1.2), равна ()

                        (XII.1.13)

Это значение показывает, в частности, почему Нобелевскую премию по физике за 2001 год присудили за достижения в изучении процессов конденсации Бозе-Эйнштейна для разреженных газов и фундаментальные исследования характеристик конденсатов (лауреаты – Эрик Корнелл, Вольфганг Кеттерле и Карл Виман).

Поскольку основное состояние, , не дает вклада в полную энергию, которая определяется только энергиями возбужденных состояний, то при , согласно (X.2.8), имеем

                                   (XII.1.14)

Теплоемкость , а давление

                                            (XII.1.15)

не зависит от объема, а только от температуры.

2. Термодинамические функции идеального бозе-газа.

Пусть, не умаляя общности, статистический вес , тогда согласно (X.2.6) имеем

                            (XII.2.1)

Учитывая разложение            

   

и меняя в (XII.2.1) порядок интегрирования и суммирования, получаем

Вводя обозначение

,                                                         (XII.2.2а)

окончательно получаем

,                                        (XII.2.2)

Химический потенциал , т.е. аргумент функции , при  определяется из уравнения

                          (XII.2.3)

Последнее равенство следует из соотношения

                                                  (XII.2.3а)

Согласно общему соотношению (X.2.9) и формуле (XII.2.2) для полной энергии идеального бозе-газа имеем

                                              (XII.2.4)

а для давления вырожденного бозе-газа (при ) получаем

,                                                   (XII.2.5)

что полностью совпадает с (XII.1.15), поскольку  и .

Дифференцируя (XII.2.4) по температуре при постоянных  и , находим теплоемкость бозе-газа

                               (XII.2.6)

При получении верхнего равенства было учтено соотношение

,                                            (XII.2.7)

которое можно получить, дифференцируя уравнение (XII.2.3). Выражение для теплоемкости полезно представить в виде.

                                (XII.2.8)

Отсюда видно, что при  . Поскольку при функция  при любом , то асимптотически при  (), т.е. для классического больцмановского газа, теплоемкость . В то же время при температуре вырождения ,  т.е. ,   ( при ).

График зависимости теплоемкости (XII.2.8) от температуры показан на рис. XII.1. Кривая теплоемкости имеет излом при , причем сама она в этой точке максимальна. Однако такое поведение теплоемкости – результат пренебрежения взаимодействием бозонов. Ситуация меняется при введении даже слабого взаимодействия. Для сравнения на рис. XII.2 показана зависимость удельной теплоемкости жидкого гелия  вдоль кривой давления насыщенного пара. Учитывая форму экспериментальной кривой, соответствующую температуру называют лямбда-точкой. Экспериментальное значение температуры в рассматриваемом случае , а удельный объем составляет . Указанное на рис. XII.2 поведение теплоемкости всецело связано со свойствами бозонов. В частности сверхтекучесть жидкого  не наблюдается вплоть до температур . Это связано с тем, что спин атомов  равен половине, и они являются фермионами. Однако, при   обнаружена сверхтекучесть , обусловленная спариванием двух атомов гелия-3, так что такая пара ведет себя как бозон. Добавим, что Дейвид Ли, Дуглас Ошерофф и Роберт Ричардсон удостоены Нобелевской премии по физике 1996 года за открытие сверхтекучести гелия-3.

Рис. XII.1                                                          Рис.XII.2

Следует отметить, что зависимость теплоемкости вырожденного бозе-газа  при  связана с нерелятивистским законом дисперсии, , т.е. зависимостью энергии частицы от импульса. Если же закон дисперсии линеен, , то в этом случае . Действительно фазовый объем для квадратичного закона дисперсии и  для линейного закона. Подставляя сюда , приходим к указанным зависимостям теплоемкости от температуры. Примером систем с линейным законом дисперсии могут служить фононы в твердых телах (кванты возбуждения), а также фотоны (кванты электромагнитного поля).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50134. ВЕРОЯТНОСТНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА СТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 172.5 KB
  Принципиальное отличие этого метода от заложенного в нормы метода расчета по предельным состояниям состоит в том что в расчет вводится не нормативные или расчетные значения нагрузок и прочностных свойств конструкционных материалов а СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ их распределений СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ВАРИАЦИИ. Коэффициент надежности по ответственности не используется. Таблица 1 Статистические характеристики давления ВЕТРА Ветровой район Среднее значение давления ветра кПа кг м2 Коэффициенты вариации Vf k = qo I II III IV...
50135. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА 92.5 KB
  Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы схематические рисунки: Введение Первый закон термодинамики утверждает что количество теплоты DQ сообщенное газу расходуется на изменение внутренней энергии газа DU и на работу А совершаемую газом: DQ = DU . Теплоемкостью газа называется величина равная количеству теплоты необходимой для нагревания данной массы газа на один кельвин. T0...
50136. Фреймы, плавающие фреймы, сегментирование изображения, формы, бегущая строка 46.5 KB
  Клик на сегментах Бегущая строка и Сегментированные изображения должен открывать файл с любой картинкой в новом окне. Страница с фреймами Бегущая строка top Бег.
50137. Изучение рынка операторов сотовой и пейджинговой связи г. Санкт-Петербурга 228.5 KB
  Удовлетворить запросы потребителей - непростая задача. Прежде всего нужно хорошо изучить потребителя, т.е. ответить на вопросы кто покупает, какое количество, по какой цене, с ка-кой целью, для удовлетворения каких потребностей, где покупает. Обеспечить, если это необходимо, сервис. Для этого проводят маркетинговые исследования. Изучить всех покупателей продукта невозможно, да и ненужно. Целесообразно найти тот сегмент потребителей, который обеспечит основной сбыт.
50138. Рух протиходом. Рух змійкою. Команди та дії 50.5 KB
  Визначення рухiв при конструюваннi загальнорозвивальних вправ. Пiдроздiл на: простi рухи; послiдовнi рухи; сполученi рухи; послiдовно сполученi рухи. Розподiл рухiв за рахунком. Уточнення характеру рухiв.
50139. Нечеткая логика 67 KB
  Цель работы: создание простейшей системы нечеткой логики, реализованной на языке высокого уровня. Согласно заданным вариантам разработать программу на любом алгоритмическом языке, способную: А. Различать степени изменения лингвистической переменной в трех степенях – «Очень – Нормально – Слабо» Б. Изменять порог чувствительности. Кислятина – пить можно – для женщин и попов (о сладости вина)
50140. Программирование задач с использованием массивов. Ввод и вывод элементов. Упорядочивание. Нахождение максимального (max) элемента 51.5 KB
  Элементы массива нумеруются с нуля. Доступ к элементу массива осуществляется путем указания индекса номера элемента. Доступ к элементам массива можно осуществлять при помощи указателя. В инструкции объявления массива удобно использовать именованную константу объявленную в директиве define.
50141. Вивчення лічильника змінного струму 66 KB
  Вивчення лічильника змінного струму. Мета роботи: Вивчення принципу роботи лічильника змінного струму. Будова електричного лічильника змінного струму показана на рис. На кожному лічильнику вказана його постійна С величина її визначається кількістю енергії при споживанні якої в колі диск лічильника здійснює один оберт.
50142. Изучение работы трансформатора 376 KB
  С вторичной обмотки снимается переменное напряжение которое после выпрямителя подаётся на обмотку подмагничивания ротора. Концы первичной обмотки вход трансформатора подключены к сети питающего переменного тока а концы вторичной обмотки выход  к потребителям электрической энергии. электромагнитной индукции возникающая во вторичной обмотке пропорциональна числу витков в ней и поэтому изменяя это число витков можно изменять в широких пределах напряжение на выходе трансформатора. Именно это поле приводит в движение электроны во...