18999

Вырожденный бозе-газ

Лекция

Физика

Лекция XII 1. Вырожденный бозегаз. Химический потенциал бозегаза определяется из уравнения X.2.5 XII.1.1 При заданной концентрации будем понижать температуру газа. Поскольку по условию левая часть уравнения XII.1.1 не м

Русский

2013-07-11

309 KB

4 чел.

Лекция XII

1. Вырожденный бозе-газ.

Химический потенциал бозе-газа определяется из уравнения (X.2.5)

                                                (XII.1.1)

При заданной концентрации будем понижать температуру газа. Поскольку по условию левая часть уравнения (XII.1.1) не меняется, то интеграл в правой части должен увеличиваться с уменьшением температуры. Так как химический потенциал бозе-газа отрицателен, , это означает, что  должен уменьшаться при уменьшении . Поэтому при некоторой температуре  решением уравнения (XII.1.1) будет . Температура вырождения  равна

,                                                    (XII.1.2)

где дзета-функция Римана.

В дальнейшем нам понадобится значение более общего интеграла

                                                    (XII.1.3)

Вычисляется он следующим образом:

;

Здесь

                          (XII.1.4)

Возвращаясь к уравнению (XII.1.1) видим, что при  приходим к противоречию. Действительно, химический потенциал не может быть положительным, т.е. интеграл не может стать меньше, чем , в то время как множитель  продолжает уменьшаться, хотя левая часть уравнения постоянна.

Противоречие возникает при переходе от точной формулы (IX.3.6) к уравнению (XII.1.1) с помощью замены (X.2.4)

                                    (XII.1.5)

При такой замене теряется вклад в сумму от слагаемого с , т.е. от основного состояния, которое является определяющим при .

Чтобы найти химический потенциал при  будем исходить из распределения Бозе-Эйнштейна (IX.3.5)

                (XII.1.6)

Полагая как обычно, что для основного состояния , имеем

            (XII.1.7)

Учтем теперь, что в силу бозевости при  заселяется только основное состояние (это явление называют бозе-конденсацией). При этом  является макроскопически большим числом, а следовательно экспонента в знаменателе дроби в (XII.1.7) близка к единице и ее можно разложить в ряд:

    

Отсюда

,                                                    (XII.1.8)

т.е. как и должно быть для бозе-газа . При этом  не только за счет малости температуры, но и вследствие макроскопичности системы, . Поэтому

,                                                    (XII.1.8а)

что оправдывает (с макроскопической точностью) замену  в уравнении (XII.1.1).

Таким образом, при низких температурах полное число бозонов  слагается из числа частиц в основном состоянии  и числа частиц в возбужденных состояниях:

                                (XII.1.9)

Зависимость от температуры определяется при  в основном зависимостью квантового объема  от температуры:

,                                        (XII.1.10)

так как , если

Температуру бозе-конденсации (вырождения) можно определить как температуру, при которой впервые  при повышении температуры от нуля до , т.е. при  заселенность основного состояния не является макроскопической величиной и ей можно пренебречь в сравнении с .

Согласно (XII.1.2) и (XII.1.9) при  имеем

,                                                   (XII.1.11)

так что  при  и  при .

Для фермионов и бозонов с одинаковой массой при одной и той же концентрации имеем

                                        (XII.1.12)

Однако, например, масса  равна приблизительно . Поэтому температура вырождения для гелия при плотности, соответствующей нормальным условиям, согласно (XII.1.2), равна ()

                        (XII.1.13)

Это значение показывает, в частности, почему Нобелевскую премию по физике за 2001 год присудили за достижения в изучении процессов конденсации Бозе-Эйнштейна для разреженных газов и фундаментальные исследования характеристик конденсатов (лауреаты – Эрик Корнелл, Вольфганг Кеттерле и Карл Виман).

Поскольку основное состояние, , не дает вклада в полную энергию, которая определяется только энергиями возбужденных состояний, то при , согласно (X.2.8), имеем

                                   (XII.1.14)

Теплоемкость , а давление

                                            (XII.1.15)

не зависит от объема, а только от температуры.

2. Термодинамические функции идеального бозе-газа.

Пусть, не умаляя общности, статистический вес , тогда согласно (X.2.6) имеем

                            (XII.2.1)

Учитывая разложение            

   

и меняя в (XII.2.1) порядок интегрирования и суммирования, получаем

Вводя обозначение

,                                                         (XII.2.2а)

окончательно получаем

,                                        (XII.2.2)

Химический потенциал , т.е. аргумент функции , при  определяется из уравнения

                          (XII.2.3)

Последнее равенство следует из соотношения

                                                  (XII.2.3а)

Согласно общему соотношению (X.2.9) и формуле (XII.2.2) для полной энергии идеального бозе-газа имеем

                                              (XII.2.4)

а для давления вырожденного бозе-газа (при ) получаем

,                                                   (XII.2.5)

что полностью совпадает с (XII.1.15), поскольку  и .

Дифференцируя (XII.2.4) по температуре при постоянных  и , находим теплоемкость бозе-газа

                               (XII.2.6)

При получении верхнего равенства было учтено соотношение

,                                            (XII.2.7)

которое можно получить, дифференцируя уравнение (XII.2.3). Выражение для теплоемкости полезно представить в виде.

                                (XII.2.8)

Отсюда видно, что при  . Поскольку при функция  при любом , то асимптотически при  (), т.е. для классического больцмановского газа, теплоемкость . В то же время при температуре вырождения ,  т.е. ,   ( при ).

График зависимости теплоемкости (XII.2.8) от температуры показан на рис. XII.1. Кривая теплоемкости имеет излом при , причем сама она в этой точке максимальна. Однако такое поведение теплоемкости – результат пренебрежения взаимодействием бозонов. Ситуация меняется при введении даже слабого взаимодействия. Для сравнения на рис. XII.2 показана зависимость удельной теплоемкости жидкого гелия  вдоль кривой давления насыщенного пара. Учитывая форму экспериментальной кривой, соответствующую температуру называют лямбда-точкой. Экспериментальное значение температуры в рассматриваемом случае , а удельный объем составляет . Указанное на рис. XII.2 поведение теплоемкости всецело связано со свойствами бозонов. В частности сверхтекучесть жидкого  не наблюдается вплоть до температур . Это связано с тем, что спин атомов  равен половине, и они являются фермионами. Однако, при   обнаружена сверхтекучесть , обусловленная спариванием двух атомов гелия-3, так что такая пара ведет себя как бозон. Добавим, что Дейвид Ли, Дуглас Ошерофф и Роберт Ричардсон удостоены Нобелевской премии по физике 1996 года за открытие сверхтекучести гелия-3.

Рис. XII.1                                                          Рис.XII.2

Следует отметить, что зависимость теплоемкости вырожденного бозе-газа  при  связана с нерелятивистским законом дисперсии, , т.е. зависимостью энергии частицы от импульса. Если же закон дисперсии линеен, , то в этом случае . Действительно фазовый объем для квадратичного закона дисперсии и  для линейного закона. Подставляя сюда , приходим к указанным зависимостям теплоемкости от температуры. Примером систем с линейным законом дисперсии могут служить фононы в твердых телах (кванты возбуждения), а также фотоны (кванты электромагнитного поля).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47819. Інвестування. Навчально-методичний посібник 789 KB
  Рецензенти: РВВ ЖДТУ Житомир 2005 ВСТУП Мета і завдання дисципліни її місце у навчальному процесі Актуальним завданням на сьогодні є розвиток інвестиційної діяльності спрямованого на створення привабливого інвестиційного середовища та суттєвого нарощування обсягів інвестицій. Разом з тим річні обсяги інвестицій в Україні поки ще залишаються на низькому рівні через велику низку причин: несприятливий інвестиційний клімат нерозвинутість фондового ринку та фінансовокредитної системи високий податковий тиск неефективне використання...
47821. Художественные направления, течения и школы в литературе ХХ века. Модернизм и постмодернизм: проблема соотношения понятий в современном литературоведении 61.5 KB
  Модернизм и постмодернизм: проблема соотношения понятий в современном литературоведении. Открыть и разрешить вопрос соотношения модеонизма и постмодернизма. Воникновение и развитие постмодернизма. Попарт сегодня предстает как переход от модернизма к постмодернизму.
47823. Вялікая Айчынная вайна савецкага народа 1.44 MB
  Рэкамендавана да выдання Камісіяй па прыёмцы і атэстацыі электронных версій вучэбных і вучэбна-метадычных матэрыялаў Акадэмii кiравання пры Прэзiдэнце Рэспублiкi Беларусь
47824. Экологические проблемы России. Источники загрязнений. Классификация загрязнений 6.4 MB
  Она влияет на атмосферу потребление кислорода выбросы газов влаги и твердых частиц гидросферу потребление воды создание искусственных водохранилищ сбросы загрязненных и нагретых вод жидких отходов и на литосферу потребление ископаемых топлив изменение ландшафта выбросы токсичных веществ. Загрязненные сточные воды в основном содержат минеральные вещества 90 от массы загрязняющих веществ взвешенные вещества 9 нефтепродукты 02. Основными водопользователями являются атомные электростанции АЭС их доля в водопотреблении...
47825. Theoretical Grammar 219 KB
  Language is a system of means of expression. It includes units of different levels. So L is hierarchical in structure. L is the source that all speakers use in order to express what they need. So it is one for all, it’s social. L exists in our mind as knowledge, so it is ideal (abstract)
47826. Специфика профессиональной деятельности преподавателя 497.5 KB
  Понятие профессиональной педагогической деятельности. Структура и основные компоненты педагогической деятельности.Педагогические способности в структуре педагогической деятельности.
47827. Гистология. Курс лекция 764.5 KB
  Пуркине назвал полужидкое студенистое содержимое клетки протоплазмой. С выходом животных на сушу яйцеклетки стали выделяться в воздушную внешнюю среду. Через эти оболочки мужские половые клетки пройти не могут поэтому оплодотворить такую яйцеклетку можно только до образования оболочек т. Мужские половые клетки сперматозоиды мало отличаются у различных видов животных и человека.