18999

Вырожденный бозе-газ

Лекция

Физика

Лекция XII 1. Вырожденный бозегаз. Химический потенциал бозегаза определяется из уравнения X.2.5 XII.1.1 При заданной концентрации будем понижать температуру газа. Поскольку по условию левая часть уравнения XII.1.1 не м

Русский

2013-07-11

309 KB

4 чел.

Лекция XII

1. Вырожденный бозе-газ.

Химический потенциал бозе-газа определяется из уравнения (X.2.5)

                                                (XII.1.1)

При заданной концентрации будем понижать температуру газа. Поскольку по условию левая часть уравнения (XII.1.1) не меняется, то интеграл в правой части должен увеличиваться с уменьшением температуры. Так как химический потенциал бозе-газа отрицателен, , это означает, что  должен уменьшаться при уменьшении . Поэтому при некоторой температуре  решением уравнения (XII.1.1) будет . Температура вырождения  равна

,                                                    (XII.1.2)

где дзета-функция Римана.

В дальнейшем нам понадобится значение более общего интеграла

                                                    (XII.1.3)

Вычисляется он следующим образом:

;

Здесь

                          (XII.1.4)

Возвращаясь к уравнению (XII.1.1) видим, что при  приходим к противоречию. Действительно, химический потенциал не может быть положительным, т.е. интеграл не может стать меньше, чем , в то время как множитель  продолжает уменьшаться, хотя левая часть уравнения постоянна.

Противоречие возникает при переходе от точной формулы (IX.3.6) к уравнению (XII.1.1) с помощью замены (X.2.4)

                                    (XII.1.5)

При такой замене теряется вклад в сумму от слагаемого с , т.е. от основного состояния, которое является определяющим при .

Чтобы найти химический потенциал при  будем исходить из распределения Бозе-Эйнштейна (IX.3.5)

                (XII.1.6)

Полагая как обычно, что для основного состояния , имеем

            (XII.1.7)

Учтем теперь, что в силу бозевости при  заселяется только основное состояние (это явление называют бозе-конденсацией). При этом  является макроскопически большим числом, а следовательно экспонента в знаменателе дроби в (XII.1.7) близка к единице и ее можно разложить в ряд:

    

Отсюда

,                                                    (XII.1.8)

т.е. как и должно быть для бозе-газа . При этом  не только за счет малости температуры, но и вследствие макроскопичности системы, . Поэтому

,                                                    (XII.1.8а)

что оправдывает (с макроскопической точностью) замену  в уравнении (XII.1.1).

Таким образом, при низких температурах полное число бозонов  слагается из числа частиц в основном состоянии  и числа частиц в возбужденных состояниях:

                                (XII.1.9)

Зависимость от температуры определяется при  в основном зависимостью квантового объема  от температуры:

,                                        (XII.1.10)

так как , если

Температуру бозе-конденсации (вырождения) можно определить как температуру, при которой впервые  при повышении температуры от нуля до , т.е. при  заселенность основного состояния не является макроскопической величиной и ей можно пренебречь в сравнении с .

Согласно (XII.1.2) и (XII.1.9) при  имеем

,                                                   (XII.1.11)

так что  при  и  при .

Для фермионов и бозонов с одинаковой массой при одной и той же концентрации имеем

                                        (XII.1.12)

Однако, например, масса  равна приблизительно . Поэтому температура вырождения для гелия при плотности, соответствующей нормальным условиям, согласно (XII.1.2), равна ()

                        (XII.1.13)

Это значение показывает, в частности, почему Нобелевскую премию по физике за 2001 год присудили за достижения в изучении процессов конденсации Бозе-Эйнштейна для разреженных газов и фундаментальные исследования характеристик конденсатов (лауреаты – Эрик Корнелл, Вольфганг Кеттерле и Карл Виман).

Поскольку основное состояние, , не дает вклада в полную энергию, которая определяется только энергиями возбужденных состояний, то при , согласно (X.2.8), имеем

                                   (XII.1.14)

Теплоемкость , а давление

                                            (XII.1.15)

не зависит от объема, а только от температуры.

2. Термодинамические функции идеального бозе-газа.

Пусть, не умаляя общности, статистический вес , тогда согласно (X.2.6) имеем

                            (XII.2.1)

Учитывая разложение            

   

и меняя в (XII.2.1) порядок интегрирования и суммирования, получаем

Вводя обозначение

,                                                         (XII.2.2а)

окончательно получаем

,                                        (XII.2.2)

Химический потенциал , т.е. аргумент функции , при  определяется из уравнения

                          (XII.2.3)

Последнее равенство следует из соотношения

                                                  (XII.2.3а)

Согласно общему соотношению (X.2.9) и формуле (XII.2.2) для полной энергии идеального бозе-газа имеем

                                              (XII.2.4)

а для давления вырожденного бозе-газа (при ) получаем

,                                                   (XII.2.5)

что полностью совпадает с (XII.1.15), поскольку  и .

Дифференцируя (XII.2.4) по температуре при постоянных  и , находим теплоемкость бозе-газа

                               (XII.2.6)

При получении верхнего равенства было учтено соотношение

,                                            (XII.2.7)

которое можно получить, дифференцируя уравнение (XII.2.3). Выражение для теплоемкости полезно представить в виде.

                                (XII.2.8)

Отсюда видно, что при  . Поскольку при функция  при любом , то асимптотически при  (), т.е. для классического больцмановского газа, теплоемкость . В то же время при температуре вырождения ,  т.е. ,   ( при ).

График зависимости теплоемкости (XII.2.8) от температуры показан на рис. XII.1. Кривая теплоемкости имеет излом при , причем сама она в этой точке максимальна. Однако такое поведение теплоемкости – результат пренебрежения взаимодействием бозонов. Ситуация меняется при введении даже слабого взаимодействия. Для сравнения на рис. XII.2 показана зависимость удельной теплоемкости жидкого гелия  вдоль кривой давления насыщенного пара. Учитывая форму экспериментальной кривой, соответствующую температуру называют лямбда-точкой. Экспериментальное значение температуры в рассматриваемом случае , а удельный объем составляет . Указанное на рис. XII.2 поведение теплоемкости всецело связано со свойствами бозонов. В частности сверхтекучесть жидкого  не наблюдается вплоть до температур . Это связано с тем, что спин атомов  равен половине, и они являются фермионами. Однако, при   обнаружена сверхтекучесть , обусловленная спариванием двух атомов гелия-3, так что такая пара ведет себя как бозон. Добавим, что Дейвид Ли, Дуглас Ошерофф и Роберт Ричардсон удостоены Нобелевской премии по физике 1996 года за открытие сверхтекучести гелия-3.

Рис. XII.1                                                          Рис.XII.2

Следует отметить, что зависимость теплоемкости вырожденного бозе-газа  при  связана с нерелятивистским законом дисперсии, , т.е. зависимостью энергии частицы от импульса. Если же закон дисперсии линеен, , то в этом случае . Действительно фазовый объем для квадратичного закона дисперсии и  для линейного закона. Подставляя сюда , приходим к указанным зависимостям теплоемкости от температуры. Примером систем с линейным законом дисперсии могут служить фононы в твердых телах (кванты возбуждения), а также фотоны (кванты электромагнитного поля).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25757. Аудит расчетов с персоналом по оплате труда 78.5 KB
  Целью аудита расчетов по оплате труда является установление соответствия применяемой в организации методики учета и налогообложения операций по оплате труда и расчетов с персоналом действующим в РФ нормативным документам. Основные задачи аудита: оценка существующей в организации системы расчетов с персоналом и ее эффективности; оценка состояния синтетического и аналитического учета операций по оплате труда и расчетов с персоналом организации в проверяемом периоде; оценка полноты отражения совершенных операций в бухгалтерском учете;...
25758. Аудит расчетов с поставщиками и покупателями 33.5 KB
  Этому участку учета свойственны определенные факторы риска обусловленные следующими причинами: отсутствие многократного контроля за первичными документами на стадии их создания и проверки как это происходит с документацией создаваемой на предприятии; сложность восстановления отсутствующих и исправления неправильно оформленных документов; большая вероятность несвоевременного поступления подтверждающих документов; отсутствие унификации значительной части первичных документов подтверждающих совершение этих операций особенно операций...
25759. Аудит учредительных документов и расчетов с учредителями организации 33.5 KB
  Задачами аудита учредительных документов являются: Изучение статуса юридического лица организации сферы деятельности и права его функционирования; Изучение наличия лицензий по видам деятельности; Проверка порядка формирования изменения уставного капитала и изучение его структуры. № 128ФЗ О лицензировании отдельных видов деятельности; Федеральный закон от 08. № 129ФЗ О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей; План счетов бухгалтерского учета финансовохозяйственной деятельности организаций...
25760. Законы пластической деформации 94 KB
  Если деформация, вызванная внешними силами, исчезает при прекращении действия внешних сил и твердое тело полностью восстанавливает свои исходные форму и размеры, то такую деформацию называют упругой. Если же при прекращении действия внешних сил твердое тело не полностью восстанавливает свои исходные форму и размеры
25761. Автоматизация бухгалтерского учета «1С: Бухгалтерия» 31 KB
  1С: Бухгалтерия универсальная программа массового назначения для автоматизации бухгалтерского учета. Программа позволяет автоматизировать ведение всех разделов бухгалтерского учета: операции по банку и кассе основные средства и нематериальные активы материалы ит. В 1С: Бухгалтерии предусмотрен как ручной ввод бухгалтерских операций так и работа от документа с автоматическим формированием проводок по различным разделам учета.
25762. Анализ эффективности капитальных вложений 28.5 KB
  Для анализа эффективности капитальных вложений используют следующие методы: 1. Метод расчета чистого приведенного эффекта. Метод расчета индекса рентабельности инвестиции. Метод расчета нормы рентабельности инвестиций.
25763. Анализ деловой активности 23.5 KB
  Качественными критериями являются: широта рынков сбыта продукции; наличие продукции поставляемой на экспорт; репутация предприятия. уровень эффективности использования ресурсов предприятия. Хозяйственная деятельность предприятия может быть охарактеризована различными показателями основными из которых являются: объем реализации продукции работ и услуг прибыль величина активов предприятия. Эта зависимость означает что экономический потенциал предприятия возрастает по сравнению с увеличением экономического потенциала объем реализации...
25764. Анализ использования оборотных средств 28 KB
  При анализе состояния предприятия большое внимание уделяется анализу интенсивности использования оборотных средств так как именно от скорости превращения их в денежную наличность зависит ликвидность предприятия. Эффективность использования оборотных средств может характеризоваться системой показателей: коэффициент опережения темпов роста объемов продукции работ и услуг над темпами роста остатков оборотных средств; увеличение реализации продукции работ и услуг на 1 рубль оборотных средств; относительной экономией или дополнительным...
25765. Анализ ликвидности бухгалтерского баланса 28 KB
  Активы группируют по степени их ликвидности и располагают в порядке убывания ликвидности. В зависимости от степени ликвидности активы предприятия разделяются на следующие группы: А1наиболее ликвидные активы это все статьи денежных средств и краткосрочные финансовые вложения ценные бумаги. А2 быстро реализуемые активы это дебиторская задолженность платежи по которой ожидаются в течение 12 месяцев после отчетной даты. А3 медленно реализуемые активы это запасы за минусом статьи Расходы будущих периодов налог на добавленную...