18999

Вырожденный бозе-газ

Лекция

Физика

Лекция XII 1. Вырожденный бозегаз. Химический потенциал бозегаза определяется из уравнения X.2.5 XII.1.1 При заданной концентрации будем понижать температуру газа. Поскольку по условию левая часть уравнения XII.1.1 не м

Русский

2013-07-11

309 KB

4 чел.

Лекция XII

1. Вырожденный бозе-газ.

Химический потенциал бозе-газа определяется из уравнения (X.2.5)

                                                (XII.1.1)

При заданной концентрации будем понижать температуру газа. Поскольку по условию левая часть уравнения (XII.1.1) не меняется, то интеграл в правой части должен увеличиваться с уменьшением температуры. Так как химический потенциал бозе-газа отрицателен, , это означает, что  должен уменьшаться при уменьшении . Поэтому при некоторой температуре  решением уравнения (XII.1.1) будет . Температура вырождения  равна

,                                                    (XII.1.2)

где дзета-функция Римана.

В дальнейшем нам понадобится значение более общего интеграла

                                                    (XII.1.3)

Вычисляется он следующим образом:

;

Здесь

                          (XII.1.4)

Возвращаясь к уравнению (XII.1.1) видим, что при  приходим к противоречию. Действительно, химический потенциал не может быть положительным, т.е. интеграл не может стать меньше, чем , в то время как множитель  продолжает уменьшаться, хотя левая часть уравнения постоянна.

Противоречие возникает при переходе от точной формулы (IX.3.6) к уравнению (XII.1.1) с помощью замены (X.2.4)

                                    (XII.1.5)

При такой замене теряется вклад в сумму от слагаемого с , т.е. от основного состояния, которое является определяющим при .

Чтобы найти химический потенциал при  будем исходить из распределения Бозе-Эйнштейна (IX.3.5)

                (XII.1.6)

Полагая как обычно, что для основного состояния , имеем

            (XII.1.7)

Учтем теперь, что в силу бозевости при  заселяется только основное состояние (это явление называют бозе-конденсацией). При этом  является макроскопически большим числом, а следовательно экспонента в знаменателе дроби в (XII.1.7) близка к единице и ее можно разложить в ряд:

    

Отсюда

,                                                    (XII.1.8)

т.е. как и должно быть для бозе-газа . При этом  не только за счет малости температуры, но и вследствие макроскопичности системы, . Поэтому

,                                                    (XII.1.8а)

что оправдывает (с макроскопической точностью) замену  в уравнении (XII.1.1).

Таким образом, при низких температурах полное число бозонов  слагается из числа частиц в основном состоянии  и числа частиц в возбужденных состояниях:

                                (XII.1.9)

Зависимость от температуры определяется при  в основном зависимостью квантового объема  от температуры:

,                                        (XII.1.10)

так как , если

Температуру бозе-конденсации (вырождения) можно определить как температуру, при которой впервые  при повышении температуры от нуля до , т.е. при  заселенность основного состояния не является макроскопической величиной и ей можно пренебречь в сравнении с .

Согласно (XII.1.2) и (XII.1.9) при  имеем

,                                                   (XII.1.11)

так что  при  и  при .

Для фермионов и бозонов с одинаковой массой при одной и той же концентрации имеем

                                        (XII.1.12)

Однако, например, масса  равна приблизительно . Поэтому температура вырождения для гелия при плотности, соответствующей нормальным условиям, согласно (XII.1.2), равна ()

                        (XII.1.13)

Это значение показывает, в частности, почему Нобелевскую премию по физике за 2001 год присудили за достижения в изучении процессов конденсации Бозе-Эйнштейна для разреженных газов и фундаментальные исследования характеристик конденсатов (лауреаты – Эрик Корнелл, Вольфганг Кеттерле и Карл Виман).

Поскольку основное состояние, , не дает вклада в полную энергию, которая определяется только энергиями возбужденных состояний, то при , согласно (X.2.8), имеем

                                   (XII.1.14)

Теплоемкость , а давление

                                            (XII.1.15)

не зависит от объема, а только от температуры.

2. Термодинамические функции идеального бозе-газа.

Пусть, не умаляя общности, статистический вес , тогда согласно (X.2.6) имеем

                            (XII.2.1)

Учитывая разложение            

   

и меняя в (XII.2.1) порядок интегрирования и суммирования, получаем

Вводя обозначение

,                                                         (XII.2.2а)

окончательно получаем

,                                        (XII.2.2)

Химический потенциал , т.е. аргумент функции , при  определяется из уравнения

                          (XII.2.3)

Последнее равенство следует из соотношения

                                                  (XII.2.3а)

Согласно общему соотношению (X.2.9) и формуле (XII.2.2) для полной энергии идеального бозе-газа имеем

                                              (XII.2.4)

а для давления вырожденного бозе-газа (при ) получаем

,                                                   (XII.2.5)

что полностью совпадает с (XII.1.15), поскольку  и .

Дифференцируя (XII.2.4) по температуре при постоянных  и , находим теплоемкость бозе-газа

                               (XII.2.6)

При получении верхнего равенства было учтено соотношение

,                                            (XII.2.7)

которое можно получить, дифференцируя уравнение (XII.2.3). Выражение для теплоемкости полезно представить в виде.

                                (XII.2.8)

Отсюда видно, что при  . Поскольку при функция  при любом , то асимптотически при  (), т.е. для классического больцмановского газа, теплоемкость . В то же время при температуре вырождения ,  т.е. ,   ( при ).

График зависимости теплоемкости (XII.2.8) от температуры показан на рис. XII.1. Кривая теплоемкости имеет излом при , причем сама она в этой точке максимальна. Однако такое поведение теплоемкости – результат пренебрежения взаимодействием бозонов. Ситуация меняется при введении даже слабого взаимодействия. Для сравнения на рис. XII.2 показана зависимость удельной теплоемкости жидкого гелия  вдоль кривой давления насыщенного пара. Учитывая форму экспериментальной кривой, соответствующую температуру называют лямбда-точкой. Экспериментальное значение температуры в рассматриваемом случае , а удельный объем составляет . Указанное на рис. XII.2 поведение теплоемкости всецело связано со свойствами бозонов. В частности сверхтекучесть жидкого  не наблюдается вплоть до температур . Это связано с тем, что спин атомов  равен половине, и они являются фермионами. Однако, при   обнаружена сверхтекучесть , обусловленная спариванием двух атомов гелия-3, так что такая пара ведет себя как бозон. Добавим, что Дейвид Ли, Дуглас Ошерофф и Роберт Ричардсон удостоены Нобелевской премии по физике 1996 года за открытие сверхтекучести гелия-3.

Рис. XII.1                                                          Рис.XII.2

Следует отметить, что зависимость теплоемкости вырожденного бозе-газа  при  связана с нерелятивистским законом дисперсии, , т.е. зависимостью энергии частицы от импульса. Если же закон дисперсии линеен, , то в этом случае . Действительно фазовый объем для квадратичного закона дисперсии и  для линейного закона. Подставляя сюда , приходим к указанным зависимостям теплоемкости от температуры. Примером систем с линейным законом дисперсии могут служить фононы в твердых телах (кванты возбуждения), а также фотоны (кванты электромагнитного поля).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85212. Социально-экономическое развитие белорусских земель в период ВКЛ 32.38 KB
  Категории крестьян в зависимости от повинности: тяглые панщина осадники чинш огородники бывшие слуги слуги занимали привилегированное положение и выполняли разные специальные работы. По степени зависимости крестьяне делились на похожих имели право уйти от феодала и непохожих челядь невольная домашние рабы которые не имели земельных наделов. Юридически закрепощение крестьян в 5 документах: 1447г Привилей Казимира феодалы получают право на суд над крестьянами 1529г. Статут ВКЛ вводится 10тилетний срок поиска...
85213. Эволюция сословной структуры и политического устройства ВКЛ: от единовластия к сословно-представительской монархии 30.83 KB
  В начальный период ВКЛ состояло из удельных княжеств а также областей находящихся в федеративных отношениях с центральной властью Полоцкая Витебская Смоленская Жемайтская земли и из территорий собственно Литвы с частью белорусских земель. территория ВКЛ разделяется на Трокское и Виленское воеводства. В ВКЛ входило 6 воеводств: Виленское Трокское Киевское Полоцкое Витебское Смоленское и с XVI в.
85214. Особенности духовной жизни белорусских земель в период ВКЛ 23.35 KB
  После вхождения белорусских земель в состав ВКЛ православие стало господствующей верой до Кревского соглашения 1385г. между ВКЛ и Польшей браком великого князи литовского Ягайло с Ядвигой в резте которой Ягайло стал польским королем и принял католичество православная церковь в ВКЛ начала терять свои позиции. Такой шаг был сделан потому что абсолютное большинство восточнославянского населения в ВКЛ составляли православные белорусы украинцы русские.
85215. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ: СОЦИАЛЬНО-КУЛЬТУРНЫЙ СЕРВИС И ТУРИЗМ 228.5 KB
  Учебным планом и программой подготовки студентов предусмотрена многосторонняя теоретическая и практическая подготовка специалиста к его будущей профессиональной производственной и научно-исследовательской деятельности.
85217. ДОСЛІДЖЕННЯ СТРУКТУРИ І ПОШКОДЖЕНОСТІ ЧАВУННОГО СКЛОФОРМУВАЛЬНОГО ІНСТРУМЕНТУ 14.44 MB
  Деталі склоформувального інструменту руйнуються під впливом дії хімічно активної скломаси, термоциклічних та механічних навантажень. Температура робочої поверхні інструменту досягає 750 С, а частота термоциклів - до 60 за хвилину. У цих умовах матеріал склоформувального інструменту повинен бути хімічно інертним до скломаси і мати високі механічні властивості
85218. Методические указания: Финансы и кредит 217 KB
  Методические указания по выполнению дипломных работ содержат рекомендации по выполнению дипломной работы: постановка цели дипломной работы, выбор темы, организация работы, процедура защиты дипломной работы в государственной аттестационной комиссии (ГАК).
85219. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя, его порядок и условия 627.5 KB
  При разрешении конкретных дел о восстановлении на работе нельзя не учитывать что незаконное расторжение трудового договора контракта нередко создает трудности в трудоустройстве в соответствии с профессиональной квалификацией снижение жизненного уровня в связи с потерей заработка порою на длительное время...
85220. Анализ линейной разветвленной электрической цепи различными методами 425.91 KB
  Целью курсовой работы является овладение некоторыми современными методами анализа линейной электрической цепи при различных воздействиях в переходном и установившемся режимах с применением вычислительной техники.