19000

Черное излучение

Лекция

Физика

Лекция XIII 1. Черное излучение. Черным излучением называется электромагнитное излучение находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов то черное излучение – это равновесный идеальный бозегаз: фотоны практически не взаи...

Русский

2013-07-11

238.5 KB

3 чел.

Лекция XIII

1. Черное излучение.

Черным излучением называется электромагнитное излучение, находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов, то черное излучение – это равновесный идеальный бозе-газ: фотоны практически не взаимодействуют друг с другом (сечение взаимодействия , где  - постоянная тонкой структуры) и являются бозонами (говорят, что спин фотона равен 1, но это не вполне точно, так как нет ни одной системы отсчета, в которой бы фотон покоился).

Равновесие фотонов с веществом устанавливается за счет их поглощения и испускания. Поэтому число частиц не фиксировано и при расчетах необходимо использовать большое каноническое распределение. Среднее число частиц при фиксированных температуре и объеме определяется из условия минимума свободной энергии , см. (V.2.14). Поэтому

  ,                                                       (XIII.1.1)

т.е. химический потенциал фотонов равен нулю. Этот вывод не меняется, если считать фиксированным не объем, а давление. В этом случае

   ,                                                       (XIII.1.2)

где  - термодинамический потенциал Гиббса.

Числа заполнения  характеризуются квантовыми числами

  ,                                                     (XIII.1.3)

Здесь волновой вектор светового кванта (фотона), а индекс  отличает два независимых состояния поляризации. Энергия каждого фотона равна

                                                 (XIII.1.4)

Среднее число фотонов в  - ом квантовом состоянии определяется распределением Бозе-Эйнштейна (IX.3.5) с химическим потенциалом

                            (XIII.1.5)

Это выражение называется распределением Планка.

При вычислении среднего числа фотонов согласно (IX.3.6), нужно сумму по квантовым состояниям заменить интегралом по фазовому пространству.

                                   (XIII.1.6)

Здесь учтено, что , в соответствии с двумя возможными поляризациями. Поэтому среднее число фотонов, приходящихся на спектральный интервал  равно

                                                  (XIII.1.7)

Спектральная плотность энергии

                       (XIII.1.8)

называется формулой Планка, см рис. XIII.1.

 

     Рис. XIII.1.

Положение максимума этого распределения определяется из трансцендентного уравнения

и равно

                                                              (XIII.1.9)

(закон смещения Вина).

При низких частотах распределение Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса,

,                                           (XIII.1.10)

которая эквивалентна закону равнораспределения: на каждую колебательную степень свободы приходится две половинки  в средней энергии. Использование этой формулы при высоких частотах приводит к “ультрафиолетовой катастрофе”.

При высоких частотах распределение Планка дает формулу Вина:

                                       (XIII.1.11)

которая снимает противоречие. В 1911 году Вильгельм Вин (1864-1928) получил Нобелевскую премию “За открытие законов теплового излучения”, еще до присуждения в 1918 году Нобелевской премии Максу Планку “За открытие кванта энергии”.

2. Термодинамические функции черного излучения.

Вычисление термодинамических функций равновесного излучения упрощается из-за равенства нулю химического потенциала. Поскольку

,                                                 (XIII.2.1)

то согласно (IX.3.7) и (XIII.1.6) имеем

                     (XIII.2.2)

Сравнение этого равенства с формулой (XIII.1.8) дает

                                                                (XIII.2.3)

Это соотношение, справедливое для ультрарелятивистского газа, было использовано ранее при получении закона Больцмана (см. Лекцию VI).

 Фигурирующий в (XIII.2.2) интеграл, согласно (XII.1.3) равен

                                       (XIII.2.4)

(здесь число Бернулли ). Закон Больцмана представляют в виде

                            (XIII.2.5)

Отсюда с учетом (XIII.2.2) для свободной энергии получаем

                                                          (XIII.2.6)

а для энтропии имеем

                                                (XIII.2.7)

Теплоемкость

                                                         (XIII.2.8)

пропорциональна  во всем диапазоне температур, а не только при , поскольку закон дисперсии линеен при всех импульсах.

Вычислим поток электромагнитной энергии  с единицы поверхности в единицу времени, см рис. XIII.2.

     

Рис. XIII.2.

Подставляя сюда выражение (XIII.2.5) для полной интенсивности испускания черного тела получаем

                                                                    (XIII.2.9)

В частности для светимости Солнца формула (XIII.2.9) дает значение

    (XIII.2.10)

Измеренное значение светимости Солнца . Таким образом, на каждый квадратный сантиметр земной поверхности при нормальном падении солнечных лучей попадает

.

Здесь  – радиус Солнца,     –  астрономическая единица длины (расстояние от Солнца до Земли).

3. Реликтовое излучение.

Плотность среднего числа фотонов в соответствии с распределением (XIII.1.7) равна

,                               (XIII.3.1)

где учтено значение дзета-функции Римана

Арно Пензиас и Роберт Вильсон получили половину Нобелевской премии по физике 1978 года за открытие космического микроволнового фонового излучения (другую половину получил Петр Леонидович Капица (1894-1984) за фундаментальные изобретения и открытия в области низких температур). Существование этого излучения было предсказано теоретически Георгием Антоновичем Гаммовым еще в 1946 году в рамках модели горячей Вселенной.

Это остаточное излучение с температурой , возникшее после “Большого взрыва” называется реликтовым излучением.

Согласно (XIII.3.1) в каждом кубическом сантиметре Вселенной находится  реликтовых фотонов:

                                       (XIII.3.2)

Для интерпретации результата Пензиаса и Вильсона выразим формулу Планка через длину волны фотона :

                                             (XIII.3.3)

Поэтому плотность энергии фотонов, находящаяся в ящике объемом

                                           (XIII.3.4)

Если размеры ящика увеличить адиабатически в  раз, то число фотонов в кубике уменьшится в  раз. Энергия каждого фотона уменьшится при этом в  раз (см., например, (VI.1.2)). Таким образом, плотность энергии уменьшится в  раз:

,                         (XIII.3.5)

где . Поэтому при

                                                                     (XIII.3.6)

форма распределения Планка остается неизменной. Это соотношение сразу же следует из формулы Больцмана. Если в качестве воображаемого ящика будет служить вся Вселенная, то при ее расширении будет уменьшаться и энергия фотонов. Таким образом, если в процессе расширения фотоны вырываются из электрон-протонной плазмы при температуре рекомбинации  (см. ниже), то согласно (XIII.3.6) с тех пор линейные размеры Вселенной увеличились примерно в полторы тысячи раз.

О том, как было открыто реликтовое излучение, у нас еще будет повод поговорить при обсуждении флуктуаций физических величин.

 

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40339. Расстройства речи 41 KB
  Ограничена подвижность органов речи мягкого нёба языка губ вследствие чего затруднена артикуляция. не сопровождается распадом речевой системы: нарушения восприятия речи на слух чтения письма. нередко приводит к нарушению произнесения слов и как следствие к нарушению чтения и письма а иногда к общему недоразвитию речи.
40340. Дисморфомания 30 KB
  Центральное расстройство подозрение со страхом дисморфофобия или убежденность дисморфомания в наличии физического недостатка может развиваться медленно посте пенно или возникнуть внезапно по типу озарения. Необходимо различать дисморфоманию как симптом пограничных состояний затяжные реактивные состояния эндореактивная подростковая дисморфомания особые развития личности и как проявление шизофрении.
40341. ИНФЕКЦИОННЫЕ ПСИХОЗЫ 28 KB
  Психические нарушения при инфекциях зависят от природы инфекционного заболевания особенностей реагирования на болезнь центральной нервной системы а также от локализации болезненного процесса. Психические нарушения при общих инфекциях: в основе лежат психопатологические расстройства относящиеся к экзогенным типам реакции: делирий аменция сумеречное состояние эпилептиформное возбуждение галлюциноз. Затяжных психозов протекающих без нарушения сознания в виде галлюциноза апатического ступора когфабулеза. психические нарушения при...
40342. Ипохондрический синдром 28 KB
  Возможны паранойяльный ипохондрический бред а также состояния в которых ипохондрические расстройства тесно связаны с явлениями психического автоматизма. Ипохондрический бред может проявляться и убежденностью больных в том что организм разрушается вирусами микробами насекомыми которые ввели им преследователи бред одержимости. Ипохондрический бред может подвергаться фантастическому преобразованию а иногда фантастические представления достигают степени громадности. Ипохондрический синдром в сочетании с синдромом навязчивости бывает при...
40343. ПСИХИАТРИЯ Учебник для студентов 3.21 MB
  В разделе частной психиатрии наряду с традиционным освещением основных психических заболевании представлены такие актуальные в настоящее время темы как психические расстройства при СПИДе ожоговой болезни психосоматические заболевания психические нарушения у пострадавших при стихийных бедствиях и катастрофах. Расстройства ощущений восприятий и представлений. Расстройства памяти и интеллекта. Расстройства мышления М.
40344. Эмоционально неустойчивое личностное расстройство, импульсивный тип 77 KB
  Домашний адрес: Рязань Место работы: инвалид II группы ЖАЛОБЫ БОЛЬНОГО На момент курации больная жалоб не предъявляла. ИСТОРИЯ ЖИЗНИ БОЛЬНОГО Наследственность психическими заболеваниями не отягощена. Спустя несколько дней избил отца наступило помрачение рассудка допекли родители по словам больного намахивался ножом на мать. Со слов сестры отца больного.
40345. Алкоголизм. Аддиктивное поведение 57.5 KB
  Концентрации эндогенного алкоголя достаточно низки Наличие эндогенного алкоголя очевидно имеет значение в развитии физической зависимости которая очень индивидуальна. Существуют лица генетически более или менее предрасположенные к развитию физической зависимости от алкоголя. В развитии зависимости имеет значение особенность употребления алкоголя стили употребления способствующие более быстрому формированию зависимости. Имеется в виду употребление уже в начале больших доз алкоголя превышающих его переносимость.
40346. Алкогольный абстинентный синдром 31.5 KB
  Многие нарушения свойственные ААС головная боль головокружение астения чувство разбитости жажда обложенность языка тошнота вздутие живота жидкий стул повышение АД неприятные ощущения или боли в области сердца плохое настроение и др. в структуре ААС перечисленные симптомы тем тяжелее разнообразнее и чаще чем старше человек и чем хуже его исходное соматоневрологическое состояние у больных алкоголизмом оно является также следствием тяжести и давности основного заболевания. Они нозологически неспецифичны хотя и составляют...
40347. Шизофрения, параноидная форма, непрерывный тип течения. Депрессивно-параноидный синдром, попытка суицида) 39 KB
  Соматический статус: без патологических особенностей Неврологический статус: без патологических особенностей Психический статус: Мимика больной обеднена поза и движения скованные. По словам больной ей требуется приложить усилия что бы чтолибо запомнить. По словам больной у нее отсутствуют какиелибо интересы в жизни. Анамнез больной не подтверждает эту гипотезу.