19000

Черное излучение

Лекция

Физика

Лекция XIII 1. Черное излучение. Черным излучением называется электромагнитное излучение находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов то черное излучение – это равновесный идеальный бозегаз: фотоны практически не взаи...

Русский

2013-07-11

238.5 KB

3 чел.

Лекция XIII

1. Черное излучение.

Черным излучением называется электромагнитное излучение, находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов, то черное излучение – это равновесный идеальный бозе-газ: фотоны практически не взаимодействуют друг с другом (сечение взаимодействия , где  - постоянная тонкой структуры) и являются бозонами (говорят, что спин фотона равен 1, но это не вполне точно, так как нет ни одной системы отсчета, в которой бы фотон покоился).

Равновесие фотонов с веществом устанавливается за счет их поглощения и испускания. Поэтому число частиц не фиксировано и при расчетах необходимо использовать большое каноническое распределение. Среднее число частиц при фиксированных температуре и объеме определяется из условия минимума свободной энергии , см. (V.2.14). Поэтому

  ,                                                       (XIII.1.1)

т.е. химический потенциал фотонов равен нулю. Этот вывод не меняется, если считать фиксированным не объем, а давление. В этом случае

   ,                                                       (XIII.1.2)

где  - термодинамический потенциал Гиббса.

Числа заполнения  характеризуются квантовыми числами

  ,                                                     (XIII.1.3)

Здесь волновой вектор светового кванта (фотона), а индекс  отличает два независимых состояния поляризации. Энергия каждого фотона равна

                                                 (XIII.1.4)

Среднее число фотонов в  - ом квантовом состоянии определяется распределением Бозе-Эйнштейна (IX.3.5) с химическим потенциалом

                            (XIII.1.5)

Это выражение называется распределением Планка.

При вычислении среднего числа фотонов согласно (IX.3.6), нужно сумму по квантовым состояниям заменить интегралом по фазовому пространству.

                                   (XIII.1.6)

Здесь учтено, что , в соответствии с двумя возможными поляризациями. Поэтому среднее число фотонов, приходящихся на спектральный интервал  равно

                                                  (XIII.1.7)

Спектральная плотность энергии

                       (XIII.1.8)

называется формулой Планка, см рис. XIII.1.

 

     Рис. XIII.1.

Положение максимума этого распределения определяется из трансцендентного уравнения

и равно

                                                              (XIII.1.9)

(закон смещения Вина).

При низких частотах распределение Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса,

,                                           (XIII.1.10)

которая эквивалентна закону равнораспределения: на каждую колебательную степень свободы приходится две половинки  в средней энергии. Использование этой формулы при высоких частотах приводит к “ультрафиолетовой катастрофе”.

При высоких частотах распределение Планка дает формулу Вина:

                                       (XIII.1.11)

которая снимает противоречие. В 1911 году Вильгельм Вин (1864-1928) получил Нобелевскую премию “За открытие законов теплового излучения”, еще до присуждения в 1918 году Нобелевской премии Максу Планку “За открытие кванта энергии”.

2. Термодинамические функции черного излучения.

Вычисление термодинамических функций равновесного излучения упрощается из-за равенства нулю химического потенциала. Поскольку

,                                                 (XIII.2.1)

то согласно (IX.3.7) и (XIII.1.6) имеем

                     (XIII.2.2)

Сравнение этого равенства с формулой (XIII.1.8) дает

                                                                (XIII.2.3)

Это соотношение, справедливое для ультрарелятивистского газа, было использовано ранее при получении закона Больцмана (см. Лекцию VI).

 Фигурирующий в (XIII.2.2) интеграл, согласно (XII.1.3) равен

                                       (XIII.2.4)

(здесь число Бернулли ). Закон Больцмана представляют в виде

                            (XIII.2.5)

Отсюда с учетом (XIII.2.2) для свободной энергии получаем

                                                          (XIII.2.6)

а для энтропии имеем

                                                (XIII.2.7)

Теплоемкость

                                                         (XIII.2.8)

пропорциональна  во всем диапазоне температур, а не только при , поскольку закон дисперсии линеен при всех импульсах.

Вычислим поток электромагнитной энергии  с единицы поверхности в единицу времени, см рис. XIII.2.

     

Рис. XIII.2.

Подставляя сюда выражение (XIII.2.5) для полной интенсивности испускания черного тела получаем

                                                                    (XIII.2.9)

В частности для светимости Солнца формула (XIII.2.9) дает значение

    (XIII.2.10)

Измеренное значение светимости Солнца . Таким образом, на каждый квадратный сантиметр земной поверхности при нормальном падении солнечных лучей попадает

.

Здесь  – радиус Солнца,     –  астрономическая единица длины (расстояние от Солнца до Земли).

3. Реликтовое излучение.

Плотность среднего числа фотонов в соответствии с распределением (XIII.1.7) равна

,                               (XIII.3.1)

где учтено значение дзета-функции Римана

Арно Пензиас и Роберт Вильсон получили половину Нобелевской премии по физике 1978 года за открытие космического микроволнового фонового излучения (другую половину получил Петр Леонидович Капица (1894-1984) за фундаментальные изобретения и открытия в области низких температур). Существование этого излучения было предсказано теоретически Георгием Антоновичем Гаммовым еще в 1946 году в рамках модели горячей Вселенной.

Это остаточное излучение с температурой , возникшее после “Большого взрыва” называется реликтовым излучением.

Согласно (XIII.3.1) в каждом кубическом сантиметре Вселенной находится  реликтовых фотонов:

                                       (XIII.3.2)

Для интерпретации результата Пензиаса и Вильсона выразим формулу Планка через длину волны фотона :

                                             (XIII.3.3)

Поэтому плотность энергии фотонов, находящаяся в ящике объемом

                                           (XIII.3.4)

Если размеры ящика увеличить адиабатически в  раз, то число фотонов в кубике уменьшится в  раз. Энергия каждого фотона уменьшится при этом в  раз (см., например, (VI.1.2)). Таким образом, плотность энергии уменьшится в  раз:

,                         (XIII.3.5)

где . Поэтому при

                                                                     (XIII.3.6)

форма распределения Планка остается неизменной. Это соотношение сразу же следует из формулы Больцмана. Если в качестве воображаемого ящика будет служить вся Вселенная, то при ее расширении будет уменьшаться и энергия фотонов. Таким образом, если в процессе расширения фотоны вырываются из электрон-протонной плазмы при температуре рекомбинации  (см. ниже), то согласно (XIII.3.6) с тех пор линейные размеры Вселенной увеличились примерно в полторы тысячи раз.

О том, как было открыто реликтовое излучение, у нас еще будет повод поговорить при обсуждении флуктуаций физических величин.

 

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22668. Методи визначення числа Авогадро (досліди Перрена) 38 KB
  Методи визначення числа Авогадро досліди Перрена 1ий метод Перрена: досліджував броунівський рух частинок усі частинки зважені в рідині знаходяться в постійному хаотичному русі. В неї не входить миттєва швидкість броунівської частинки яку поміряти неможливо. Замість неї входить довжина прямолінійного відрізка що з’єднує положення частинки у два різні моменти часу: x2 = 2kTBt де k – стала Больцмана В – рухливість частинки де η – коефіцієнт внутрішнього тертя а α – радіус частинки частинка має форму кульки наближено. Перрен...
22669. Совершенствование процедуры аттестации госслужащих МКУ ЦБ МУО Орджоникидзевского района город Уфа 1.59 MB
  Аттестация государственных служащих декларируется современным законодательством в качестве обязательной нормы для определения уровня профессиональной подготовки и соответствия государственного служащего занимаемой должности государственной службы, а также для решения вопроса о присвоении ему квалификационного разряда.
22670. Релігієзнавство як галузь гуманітарного знання 65.5 KB
  Релігія і в наші часи продовжує залишатися суттєвим елементом духовного життя суспільства. Мільйони наших сучасників сприймають її, як природне завершення особистого життєвого досвіду, з хвилюванням читають Біблію, Коран як книги, що написані спеціально для них
22671. Досліди Франка і Герца по визначенню потенціалів іонізації 536 KB
  Докази квантування рівнів енергії електронів в атомі були отримані в дослідах Франка і Герца 1913. Порція енергії 49 еВ передається атому ртуті а енергія електрона зменшується на ту ж величину. При подальшому збільшенні потенціалу U зона зіткнень електронів з атомами ртуті зсувалась до катода К і електрони вже встигали набрати достатньо енергії після зіткнення для подолання UЗ ділянка CD. Знаючи початкову і кінцеву енергію електрона тобто його енергію до і після непружнього співудару можна вирахувати положення збуджених рівнів...
22672. Методи реєстрації і спектрометрії ядерних випромінювань 196.5 KB
  Під ядерним випромінюванням розуміють частинки що утворюються в наслідок ядерних перетворень. Частинки випромінення поділяють на 3 групи: 1. Заряджені частинкиер альфачастинки осколки ділення. Нейтральні частинкинейтрони.
22673. Нелінійна поляризованість. Явище генерації гармонік 50.5 KB
  Теорія лінійної поляризованості всановлює залежність показника заломлення від частоти. Нелінійна квадратична поляризованість вміщує різні комбінаційні частоти початкових електромагнітних хвиль. Отже породжені єю вторинні хвилі мають тіж самі різні комбінаційні частоти і росповсюджуються з різними швидкостями в відповідності до закону дисперсії. Інтерференція може відбуватися лише між хвилями однакової частоти випроміненими в різних точках середовища.
22674. Хвильові властивості частинок. Хвилі де Бройля 42 KB
  Хвилі де Бройля. Згідно гіпотези де Бройля для частинки речовини виконується співвідношення: E= =2 p=mV – імпульс частинки  довжина хв. де Бройля співвідношення де Бройля.де Бройля що описує вільний рух матеріальної частинки має вид : А – амплітуда плоскої монохроматичної хвилі радіус вектор частинки t – час.
22675. Рівняння Шредінгера. Інтерпретація хвильової функції 65.5 KB
  В квантовій механіці рівняння Шредінгера відіграє ту ж роль що і рівняння руху Ньютона в класичній механіці і рівняння Максвела в електродинаміці.Розглянемо тримірне хвильове рівняння і застосуємо його до хвиль де Броля. Найбільш важливим частковим випадком рішення хвильового рівняння є рішення виду: 2. Оскільки [потенціальна енергія ] рівняння 3 набуває вигляду стаціонарне рівняння Шреденгера оскільки вважалося що а значить і не залежать від часу.
22676. Співвідношення невизначеності Гейзенберга та приклади його проявів 63.5 KB
  Дві фізичні величини не можуть мати одночасно певні значення в жодному стані якщо їх оператори не комутують. В довільному стані фізичні величини відповідні цим операторам мають середнє значення визначені інтегралами: . З цієї формули випливає що якщо в деякому стані імпульс має певне значення =0 то координата х в цьому стані невизначена зовсім і навпаки. Згідно отриманій нерівності мікрочастинка не може знаходитись у стані строгого спокою який характеризується значеннями .