19000

Черное излучение

Лекция

Физика

Лекция XIII 1. Черное излучение. Черным излучением называется электромагнитное излучение находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов то черное излучение – это равновесный идеальный бозегаз: фотоны практически не взаи...

Русский

2013-07-11

238.5 KB

3 чел.

Лекция XIII

1. Черное излучение.

Черным излучением называется электромагнитное излучение, находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов, то черное излучение – это равновесный идеальный бозе-газ: фотоны практически не взаимодействуют друг с другом (сечение взаимодействия , где  - постоянная тонкой структуры) и являются бозонами (говорят, что спин фотона равен 1, но это не вполне точно, так как нет ни одной системы отсчета, в которой бы фотон покоился).

Равновесие фотонов с веществом устанавливается за счет их поглощения и испускания. Поэтому число частиц не фиксировано и при расчетах необходимо использовать большое каноническое распределение. Среднее число частиц при фиксированных температуре и объеме определяется из условия минимума свободной энергии , см. (V.2.14). Поэтому

  ,                                                       (XIII.1.1)

т.е. химический потенциал фотонов равен нулю. Этот вывод не меняется, если считать фиксированным не объем, а давление. В этом случае

   ,                                                       (XIII.1.2)

где  - термодинамический потенциал Гиббса.

Числа заполнения  характеризуются квантовыми числами

  ,                                                     (XIII.1.3)

Здесь волновой вектор светового кванта (фотона), а индекс  отличает два независимых состояния поляризации. Энергия каждого фотона равна

                                                 (XIII.1.4)

Среднее число фотонов в  - ом квантовом состоянии определяется распределением Бозе-Эйнштейна (IX.3.5) с химическим потенциалом

                            (XIII.1.5)

Это выражение называется распределением Планка.

При вычислении среднего числа фотонов согласно (IX.3.6), нужно сумму по квантовым состояниям заменить интегралом по фазовому пространству.

                                   (XIII.1.6)

Здесь учтено, что , в соответствии с двумя возможными поляризациями. Поэтому среднее число фотонов, приходящихся на спектральный интервал  равно

                                                  (XIII.1.7)

Спектральная плотность энергии

                       (XIII.1.8)

называется формулой Планка, см рис. XIII.1.

 

     Рис. XIII.1.

Положение максимума этого распределения определяется из трансцендентного уравнения

и равно

                                                              (XIII.1.9)

(закон смещения Вина).

При низких частотах распределение Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса,

,                                           (XIII.1.10)

которая эквивалентна закону равнораспределения: на каждую колебательную степень свободы приходится две половинки  в средней энергии. Использование этой формулы при высоких частотах приводит к “ультрафиолетовой катастрофе”.

При высоких частотах распределение Планка дает формулу Вина:

                                       (XIII.1.11)

которая снимает противоречие. В 1911 году Вильгельм Вин (1864-1928) получил Нобелевскую премию “За открытие законов теплового излучения”, еще до присуждения в 1918 году Нобелевской премии Максу Планку “За открытие кванта энергии”.

2. Термодинамические функции черного излучения.

Вычисление термодинамических функций равновесного излучения упрощается из-за равенства нулю химического потенциала. Поскольку

,                                                 (XIII.2.1)

то согласно (IX.3.7) и (XIII.1.6) имеем

                     (XIII.2.2)

Сравнение этого равенства с формулой (XIII.1.8) дает

                                                                (XIII.2.3)

Это соотношение, справедливое для ультрарелятивистского газа, было использовано ранее при получении закона Больцмана (см. Лекцию VI).

 Фигурирующий в (XIII.2.2) интеграл, согласно (XII.1.3) равен

                                       (XIII.2.4)

(здесь число Бернулли ). Закон Больцмана представляют в виде

                            (XIII.2.5)

Отсюда с учетом (XIII.2.2) для свободной энергии получаем

                                                          (XIII.2.6)

а для энтропии имеем

                                                (XIII.2.7)

Теплоемкость

                                                         (XIII.2.8)

пропорциональна  во всем диапазоне температур, а не только при , поскольку закон дисперсии линеен при всех импульсах.

Вычислим поток электромагнитной энергии  с единицы поверхности в единицу времени, см рис. XIII.2.

     

Рис. XIII.2.

Подставляя сюда выражение (XIII.2.5) для полной интенсивности испускания черного тела получаем

                                                                    (XIII.2.9)

В частности для светимости Солнца формула (XIII.2.9) дает значение

    (XIII.2.10)

Измеренное значение светимости Солнца . Таким образом, на каждый квадратный сантиметр земной поверхности при нормальном падении солнечных лучей попадает

.

Здесь  – радиус Солнца,     –  астрономическая единица длины (расстояние от Солнца до Земли).

3. Реликтовое излучение.

Плотность среднего числа фотонов в соответствии с распределением (XIII.1.7) равна

,                               (XIII.3.1)

где учтено значение дзета-функции Римана

Арно Пензиас и Роберт Вильсон получили половину Нобелевской премии по физике 1978 года за открытие космического микроволнового фонового излучения (другую половину получил Петр Леонидович Капица (1894-1984) за фундаментальные изобретения и открытия в области низких температур). Существование этого излучения было предсказано теоретически Георгием Антоновичем Гаммовым еще в 1946 году в рамках модели горячей Вселенной.

Это остаточное излучение с температурой , возникшее после “Большого взрыва” называется реликтовым излучением.

Согласно (XIII.3.1) в каждом кубическом сантиметре Вселенной находится  реликтовых фотонов:

                                       (XIII.3.2)

Для интерпретации результата Пензиаса и Вильсона выразим формулу Планка через длину волны фотона :

                                             (XIII.3.3)

Поэтому плотность энергии фотонов, находящаяся в ящике объемом

                                           (XIII.3.4)

Если размеры ящика увеличить адиабатически в  раз, то число фотонов в кубике уменьшится в  раз. Энергия каждого фотона уменьшится при этом в  раз (см., например, (VI.1.2)). Таким образом, плотность энергии уменьшится в  раз:

,                         (XIII.3.5)

где . Поэтому при

                                                                     (XIII.3.6)

форма распределения Планка остается неизменной. Это соотношение сразу же следует из формулы Больцмана. Если в качестве воображаемого ящика будет служить вся Вселенная, то при ее расширении будет уменьшаться и энергия фотонов. Таким образом, если в процессе расширения фотоны вырываются из электрон-протонной плазмы при температуре рекомбинации  (см. ниже), то согласно (XIII.3.6) с тех пор линейные размеры Вселенной увеличились примерно в полторы тысячи раз.

О том, как было открыто реликтовое излучение, у нас еще будет повод поговорить при обсуждении флуктуаций физических величин.

 

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8767. Протокол HTTP 34 KB
  HTTP Протокол HTTP (Hyper Text Transfer Protocol) является базовым для службы WWW (World Wide Web) доступа к документам с гипертекстовым ссылками. Согласно эт...
8768. Telnet - базовый протокол ОС UNIX 39.5 KB
  Telnet Telnet - базовый протокол ОС UNIX, обеспечивающий терминальный доступ пользователей к удалённому компьютеру [4, с. 423-433]. Первоначально терминалом являлось устройство типа пишущей машинки, на котором оператор (пользователь) печат...
8769. Стек TCP/IP 40.5 KB
  Стек TCP/IP Несмотря на короткое с исторической точки зрения время существования компьютерных сетей и наличие разнообразны стеков, разработанных отдельными фирмами (например, стек IPX/SPX фирмы Novell) или международными организациями (например, Х.2...
8770. IP пакет 39 KB
  IP пакет В связи с тем, что стек разрабатывался для операционной системы UNIX, пакет принято разбивать на 4 байтовые (32 битные) слова, содержимое которых приведено ниже. Версия. Сейчас используется 4-я версия (IPv4) протокола. Наметившийся де...
8771. Технологии удалённого доступа 42.5 KB
  Технологии удалённого доступа Под удалённым доступом понимается предоставление ресурсов сети с использованием общедоступных, чаще всего телефонных каналов связи. Наиболее проблемным участком таких каналов является участок от абонента до телефонной с...
8772. Удалённый доступ по радиоканалам 44 KB
  Удалённый доступ по радиоканалам Неоспоримые преимущества, присущие беспроводным технологиям, способствуют их быстрому развитию и массовому внедрению, особенно в связи с бурным распространением таких мобильных компьютерных систем, как сотовый телефо...
8773. WEB публикации 38 KB
  WEB публикации В настоящее время существует достаточное количество серверных программных продуктов для представления информационный ресурсов по протоколу http, или Web (WWW) публикаций. Остановился на трех наиболее популярных в России...
8774. UDP пакет 39.5 KB
  UDP пакет Протоколы UDP и TCP относятся к транспортному уровню модели стека TCP/IP Протокол UDP (UserDatagramProtocol) не требует подтверждения получения, не обеспечивает гарантированности доставки и, следовательно, целостност...
8775. ТСР (Transmission Control Protocol) протокол 41 KB
  TCP пакет ТСР (Transmission Control Protocol) протокол обеспечивает сквозную доставку данных прикладным процессам на взаимодействующих по сети узлах. ТСР - надёжный потоковый протокол с установлением соединения и последующим двунаправленны...