19000

Черное излучение

Лекция

Физика

Лекция XIII 1. Черное излучение. Черным излучением называется электромагнитное излучение находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов то черное излучение это равновесный идеальный бозегаз: фотоны практически не взаи...

Русский

2013-07-11

238.5 KB

3 чел.

Лекция XIII

1. Черное излучение.

Черным излучением называется электромагнитное излучение, находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов, то черное излучение – это равновесный идеальный бозе-газ: фотоны практически не взаимодействуют друг с другом (сечение взаимодействия , где  - постоянная тонкой структуры) и являются бозонами (говорят, что спин фотона равен 1, но это не вполне точно, так как нет ни одной системы отсчета, в которой бы фотон покоился).

Равновесие фотонов с веществом устанавливается за счет их поглощения и испускания. Поэтому число частиц не фиксировано и при расчетах необходимо использовать большое каноническое распределение. Среднее число частиц при фиксированных температуре и объеме определяется из условия минимума свободной энергии , см. (V.2.14). Поэтому

  ,                                                       (XIII.1.1)

т.е. химический потенциал фотонов равен нулю. Этот вывод не меняется, если считать фиксированным не объем, а давление. В этом случае

   ,                                                       (XIII.1.2)

где  - термодинамический потенциал Гиббса.

Числа заполнения  характеризуются квантовыми числами

  ,                                                     (XIII.1.3)

Здесь волновой вектор светового кванта (фотона), а индекс  отличает два независимых состояния поляризации. Энергия каждого фотона равна

                                                 (XIII.1.4)

Среднее число фотонов в  - ом квантовом состоянии определяется распределением Бозе-Эйнштейна (IX.3.5) с химическим потенциалом

                            (XIII.1.5)

Это выражение называется распределением Планка.

При вычислении среднего числа фотонов согласно (IX.3.6), нужно сумму по квантовым состояниям заменить интегралом по фазовому пространству.

                                   (XIII.1.6)

Здесь учтено, что , в соответствии с двумя возможными поляризациями. Поэтому среднее число фотонов, приходящихся на спектральный интервал  равно

                                                  (XIII.1.7)

Спектральная плотность энергии

                       (XIII.1.8)

называется формулой Планка, см рис. XIII.1.

 

     Рис. XIII.1.

Положение максимума этого распределения определяется из трансцендентного уравнения

и равно

                                                              (XIII.1.9)

(закон смещения Вина).

При низких частотах распределение Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса,

,                                           (XIII.1.10)

которая эквивалентна закону равнораспределения: на каждую колебательную степень свободы приходится две половинки  в средней энергии. Использование этой формулы при высоких частотах приводит к “ультрафиолетовой катастрофе”.

При высоких частотах распределение Планка дает формулу Вина:

                                       (XIII.1.11)

которая снимает противоречие. В 1911 году Вильгельм Вин (1864-1928) получил Нобелевскую премию “За открытие законов теплового излучения”, еще до присуждения в 1918 году Нобелевской премии Максу Планку “За открытие кванта энергии”.

2. Термодинамические функции черного излучения.

Вычисление термодинамических функций равновесного излучения упрощается из-за равенства нулю химического потенциала. Поскольку

,                                                 (XIII.2.1)

то согласно (IX.3.7) и (XIII.1.6) имеем

                     (XIII.2.2)

Сравнение этого равенства с формулой (XIII.1.8) дает

                                                                (XIII.2.3)

Это соотношение, справедливое для ультрарелятивистского газа, было использовано ранее при получении закона Больцмана (см. Лекцию VI).

 Фигурирующий в (XIII.2.2) интеграл, согласно (XII.1.3) равен

                                       (XIII.2.4)

(здесь число Бернулли ). Закон Больцмана представляют в виде

                            (XIII.2.5)

Отсюда с учетом (XIII.2.2) для свободной энергии получаем

                                                          (XIII.2.6)

а для энтропии имеем

                                                (XIII.2.7)

Теплоемкость

                                                         (XIII.2.8)

пропорциональна  во всем диапазоне температур, а не только при , поскольку закон дисперсии линеен при всех импульсах.

Вычислим поток электромагнитной энергии  с единицы поверхности в единицу времени, см рис. XIII.2.

     

Рис. XIII.2.

Подставляя сюда выражение (XIII.2.5) для полной интенсивности испускания черного тела получаем

                                                                    (XIII.2.9)

В частности для светимости Солнца формула (XIII.2.9) дает значение

    (XIII.2.10)

Измеренное значение светимости Солнца . Таким образом, на каждый квадратный сантиметр земной поверхности при нормальном падении солнечных лучей попадает

.

Здесь  – радиус Солнца,     –  астрономическая единица длины (расстояние от Солнца до Земли).

3. Реликтовое излучение.

Плотность среднего числа фотонов в соответствии с распределением (XIII.1.7) равна

,                               (XIII.3.1)

где учтено значение дзета-функции Римана

Арно Пензиас и Роберт Вильсон получили половину Нобелевской премии по физике 1978 года за открытие космического микроволнового фонового излучения (другую половину получил Петр Леонидович Капица (1894-1984) за фундаментальные изобретения и открытия в области низких температур). Существование этого излучения было предсказано теоретически Георгием Антоновичем Гаммовым еще в 1946 году в рамках модели горячей Вселенной.

Это остаточное излучение с температурой , возникшее после “Большого взрыва” называется реликтовым излучением.

Согласно (XIII.3.1) в каждом кубическом сантиметре Вселенной находится  реликтовых фотонов:

                                       (XIII.3.2)

Для интерпретации результата Пензиаса и Вильсона выразим формулу Планка через длину волны фотона :

                                             (XIII.3.3)

Поэтому плотность энергии фотонов, находящаяся в ящике объемом

                                           (XIII.3.4)

Если размеры ящика увеличить адиабатически в  раз, то число фотонов в кубике уменьшится в  раз. Энергия каждого фотона уменьшится при этом в  раз (см., например, (VI.1.2)). Таким образом, плотность энергии уменьшится в  раз:

,                         (XIII.3.5)

где . Поэтому при

                                                                     (XIII.3.6)

форма распределения Планка остается неизменной. Это соотношение сразу же следует из формулы Больцмана. Если в качестве воображаемого ящика будет служить вся Вселенная, то при ее расширении будет уменьшаться и энергия фотонов. Таким образом, если в процессе расширения фотоны вырываются из электрон-протонной плазмы при температуре рекомбинации  (см. ниже), то согласно (XIII.3.6) с тех пор линейные размеры Вселенной увеличились примерно в полторы тысячи раз.

О том, как было открыто реликтовое излучение, у нас еще будет повод поговорить при обсуждении флуктуаций физических величин.

 

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14092. Здоровий спосіб життя. План-конспект уроку з англійської мови для учнів 11-х класів 25.78 KB
  Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів Урок 113 Тема: Природа й людина Підтема: Здоровий спосіб життя. Мета: Практикувати учнів в аудіюванні мовленні читанні. Тренувати учнів у вживанні конструкцій з герундієм Gerund. Обладнання: підручник текс
14093. Свята в Україні. План-конспект уроку з англійської мови для учнів 11-х класів 38 KB
  Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів Урок 115 Тема: Людина й природа Підтема: Свята в Україні Мета: Повторити ЛО теми. Практикувати учнів у непідготовлених висловлюваннях за темою уроку. Продемонструвати граматичні структури Perfect Infinitive у ти
14094. Шляхи покращення маркетингової діяльності ДП ВАТ «Київхліб» «Булочно-кондитерський комбінат» 1.07 MB
  Виявлення маркетингових можливостей, які відповідають ресурсам фірми; визначення маркетингових загроз і розробка заходів щодо знешкодження їхнього впливу; виявлення сильних сторін фірми й зіставлення їх з ринковими можливостями; визначення слабкостей фірми та розроблення стратегічних напрямів їх подолання; виявлення ролі функціональної маркетингової стратегії в розвитку підприємства; напрацювання комбінованої стратегії росту для ДП ВАТ «Київхліб» «Булочно-кондитерський комбінат»...
14095. Наша Земля - наш дім. План-конспект уроку з англійської мови для учнів 11-х класів 16.31 KB
  Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів Урок 118 Тема: Природа й людина Підтема: Наша Земля наш дім. Мета: Закріпляти та розвивати мовні навички. Підкреслити необхідність захисту оточуючого середовища. Обладнання: підручник плакати малюнки за...
14096. Оценка анализа и конкуренции на примере ООО «Уралпромсрой» за период 2007-2008 годов 133.96 KB
  Стратегический менеджмент как концепция управления фирмой позволяет взглянуть на организацию как на единое целое, объяснить с общесистемных позиций, почему происходит постоянное перераспределение ролей основных участников рынка.
14097. Роль массажа в комплексной реабилитации больных бронхиальной астмой 48.78 KB
  Астма - это хроническое воспалительное заболевание дыхательных путей. При наличии предрасположенности это воспаление вызывает повторяющиеся приступы кашля, хрипов, возникает чувство сдавления в груди, дыхание затруднено
14098. Форматування диска. Діагностика та дефрагментація дисків. Відновлення інформації на диску. Правила записування та зчитування інформації з дискет 218.5 KB
  Тема: Форматування диска. Діагностика та дефрагментація дисків. Відновлення інформації на диску. Правила записування та зчитування інформації з дискет. Мета: Охарактеризувати нову тему висвітлити її роль в курсі інформатики. Ввести поняття форматування діагностики
14099. Розпис тарелі «Летіла зозуля з яру в долину» та Ліплення з пластиліну на тему «Красивий кіт» 1.47 MB
  Конспект залікового уроку з Образотворчого мистецтва проведеного в 2А класі ЗОШ ІІІІ ступенів № 2 Тема уроку: Розпис тарелі Летіла зозуля з яру в долину. Мета. Ознайомити учнів із традиційним видом українського декоративноприкладного мистецтва петриківським ...
14100. Конструювання моделей із сірникових коробок та Аплікація. Види аплікацій. Естетика і культура 5.11 MB
  Конспект залікового уроку з трудового навчання проведеного в 2А класі ЗОШ ІІІІ ступенів № 2 Тема уроку: Конструювання моделей із сірникових коробок. Обєкт праці. Виготовлення моделей вантажних та легкових автомобілів. Мета. Ознайомити учнів із поняттям констр