19000

Черное излучение

Лекция

Физика

Лекция XIII 1. Черное излучение. Черным излучением называется электромагнитное излучение находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов то черное излучение это равновесный идеальный бозегаз: фотоны практически не взаи...

Русский

2013-07-11

238.5 KB

3 чел.

Лекция XIII

1. Черное излучение.

Черным излучением называется электромагнитное излучение, находящееся в равновесии с веществом. Поскольку электромагнитное излучение состоит из фотонов, то черное излучение – это равновесный идеальный бозе-газ: фотоны практически не взаимодействуют друг с другом (сечение взаимодействия , где  - постоянная тонкой структуры) и являются бозонами (говорят, что спин фотона равен 1, но это не вполне точно, так как нет ни одной системы отсчета, в которой бы фотон покоился).

Равновесие фотонов с веществом устанавливается за счет их поглощения и испускания. Поэтому число частиц не фиксировано и при расчетах необходимо использовать большое каноническое распределение. Среднее число частиц при фиксированных температуре и объеме определяется из условия минимума свободной энергии , см. (V.2.14). Поэтому

  ,                                                       (XIII.1.1)

т.е. химический потенциал фотонов равен нулю. Этот вывод не меняется, если считать фиксированным не объем, а давление. В этом случае

   ,                                                       (XIII.1.2)

где  - термодинамический потенциал Гиббса.

Числа заполнения  характеризуются квантовыми числами

  ,                                                     (XIII.1.3)

Здесь волновой вектор светового кванта (фотона), а индекс  отличает два независимых состояния поляризации. Энергия каждого фотона равна

                                                 (XIII.1.4)

Среднее число фотонов в  - ом квантовом состоянии определяется распределением Бозе-Эйнштейна (IX.3.5) с химическим потенциалом

                            (XIII.1.5)

Это выражение называется распределением Планка.

При вычислении среднего числа фотонов согласно (IX.3.6), нужно сумму по квантовым состояниям заменить интегралом по фазовому пространству.

                                   (XIII.1.6)

Здесь учтено, что , в соответствии с двумя возможными поляризациями. Поэтому среднее число фотонов, приходящихся на спектральный интервал  равно

                                                  (XIII.1.7)

Спектральная плотность энергии

                       (XIII.1.8)

называется формулой Планка, см рис. XIII.1.

 

     Рис. XIII.1.

Положение максимума этого распределения определяется из трансцендентного уравнения

и равно

                                                              (XIII.1.9)

(закон смещения Вина).

При низких частотах распределение Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса,

,                                           (XIII.1.10)

которая эквивалентна закону равнораспределения: на каждую колебательную степень свободы приходится две половинки  в средней энергии. Использование этой формулы при высоких частотах приводит к “ультрафиолетовой катастрофе”.

При высоких частотах распределение Планка дает формулу Вина:

                                       (XIII.1.11)

которая снимает противоречие. В 1911 году Вильгельм Вин (1864-1928) получил Нобелевскую премию “За открытие законов теплового излучения”, еще до присуждения в 1918 году Нобелевской премии Максу Планку “За открытие кванта энергии”.

2. Термодинамические функции черного излучения.

Вычисление термодинамических функций равновесного излучения упрощается из-за равенства нулю химического потенциала. Поскольку

,                                                 (XIII.2.1)

то согласно (IX.3.7) и (XIII.1.6) имеем

                     (XIII.2.2)

Сравнение этого равенства с формулой (XIII.1.8) дает

                                                                (XIII.2.3)

Это соотношение, справедливое для ультрарелятивистского газа, было использовано ранее при получении закона Больцмана (см. Лекцию VI).

 Фигурирующий в (XIII.2.2) интеграл, согласно (XII.1.3) равен

                                       (XIII.2.4)

(здесь число Бернулли ). Закон Больцмана представляют в виде

                            (XIII.2.5)

Отсюда с учетом (XIII.2.2) для свободной энергии получаем

                                                          (XIII.2.6)

а для энтропии имеем

                                                (XIII.2.7)

Теплоемкость

                                                         (XIII.2.8)

пропорциональна  во всем диапазоне температур, а не только при , поскольку закон дисперсии линеен при всех импульсах.

Вычислим поток электромагнитной энергии  с единицы поверхности в единицу времени, см рис. XIII.2.

     

Рис. XIII.2.

Подставляя сюда выражение (XIII.2.5) для полной интенсивности испускания черного тела получаем

                                                                    (XIII.2.9)

В частности для светимости Солнца формула (XIII.2.9) дает значение

    (XIII.2.10)

Измеренное значение светимости Солнца . Таким образом, на каждый квадратный сантиметр земной поверхности при нормальном падении солнечных лучей попадает

.

Здесь  – радиус Солнца,     –  астрономическая единица длины (расстояние от Солнца до Земли).

3. Реликтовое излучение.

Плотность среднего числа фотонов в соответствии с распределением (XIII.1.7) равна

,                               (XIII.3.1)

где учтено значение дзета-функции Римана

Арно Пензиас и Роберт Вильсон получили половину Нобелевской премии по физике 1978 года за открытие космического микроволнового фонового излучения (другую половину получил Петр Леонидович Капица (1894-1984) за фундаментальные изобретения и открытия в области низких температур). Существование этого излучения было предсказано теоретически Георгием Антоновичем Гаммовым еще в 1946 году в рамках модели горячей Вселенной.

Это остаточное излучение с температурой , возникшее после “Большого взрыва” называется реликтовым излучением.

Согласно (XIII.3.1) в каждом кубическом сантиметре Вселенной находится  реликтовых фотонов:

                                       (XIII.3.2)

Для интерпретации результата Пензиаса и Вильсона выразим формулу Планка через длину волны фотона :

                                             (XIII.3.3)

Поэтому плотность энергии фотонов, находящаяся в ящике объемом

                                           (XIII.3.4)

Если размеры ящика увеличить адиабатически в  раз, то число фотонов в кубике уменьшится в  раз. Энергия каждого фотона уменьшится при этом в  раз (см., например, (VI.1.2)). Таким образом, плотность энергии уменьшится в  раз:

,                         (XIII.3.5)

где . Поэтому при

                                                                     (XIII.3.6)

форма распределения Планка остается неизменной. Это соотношение сразу же следует из формулы Больцмана. Если в качестве воображаемого ящика будет служить вся Вселенная, то при ее расширении будет уменьшаться и энергия фотонов. Таким образом, если в процессе расширения фотоны вырываются из электрон-протонной плазмы при температуре рекомбинации  (см. ниже), то согласно (XIII.3.6) с тех пор линейные размеры Вселенной увеличились примерно в полторы тысячи раз.

О том, как было открыто реликтовое излучение, у нас еще будет повод поговорить при обсуждении флуктуаций физических величин.

 

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65580. Обгрунтування параметрів землезберігаючих технологій при відкритій розробці розсипних родовищ титанових руд і бурштину 238.5 KB
  Карєри фабрики збагачення і хвостосховища будуються на значній відстані одне від одного що погіршує технікоекономічні показники підприємств. Метою роботи є обґрунтування параметрів землезберігаючих технологій відкритої розробки обводнених розсипних родовищ...
65581. СПІВВІДНОШЕННЯ РОЗСУДКУ І РОЗУМУ: ФІЛОСОФСЬКО-ПЕДАГОГІЧНИЙ КОНТЕКСТ 263 KB
  Чому власне співвідношення розсудку і розуму розглядається як філософсько-педагогічна проблема Наша освіта відчайдушно загрузла у болоті розсудкових форм і не менш розсудкових інноваційних симулякрів бездумних реформувань.
65582. Методи нечіткої кластеризації політематичних текстових документів 641.5 KB
  Вирішення таких задач можливе за допомогою методів кластеризації що дозволяють розбивати множину webсторінок на категорії залежно від характеристик даних документів. Слід зазначити що більшість web-сторінок є політематичними текстовими документами тобто одночасно...
65583. РОЗВИТОК ТЕОРІЇ І МЕТОДІВ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ РЕЖИМІВ РОБОТИ ЕЛЕКТРИЧНИХ СИСТЕМ З НЕСИМЕТРІЄЮ 843 KB
  Розв’язання таких задач принципово можливо на основі переходу до математичних моделей, що використовують рівняння у фазних координатах. Перейти до більш повних і точних моделей на основі рівнянь у фазних координатах, що враховують електромагнітний і електростатичний...
65584. РОЗВИТОК У КЕРІВНИКІВ ОПЕРАТИВНО-РОЗШУКОВИХ ПІДРОЗДІЛІВ ДЕРЖАВНОЇ ПРИКОРДОННОЇ СЛУЖБИ УКРАЇНИ ЗДАТНОСТІ ДО САМОРЕГУЛЯЦІЇ ПСИХІЧНОЇ СТІЙКОСТІ В ЕКСТРЕМАЛЬНИХ УМОВАХ 235 KB
  За оцінкою експертів у рейтингу якостей керівника ОРП ДПСУ найважливішою є здатність до саморегуляції в екстремальних умовах професійної діяльності. З огляду на це керівник ОРП повинен бути емоційно стриманим уміти контролювати себе тобто мати високий рівень саморегуляції...
65585. СТРУКТУРА ТА МЕХАНІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ БАГАТОШАРОВИХ КОМПОЗИТІВ МІДЬ –ТАНТАЛ, ОТРИМАНИХ МЕТОДОМ ДИФУЗІЙНОГО ЗВАРЮВАННЯ 457.5 KB
  Для досягнення поставленої мети виникла необхідність у вирішенні таких основних задач: вибір металу проміжного між міддю та танталом шару та методів виготовлення мідних та проміжних шарів; встановлення технологічних параметрів дифузійного зварювання які забезпечували б надійний адгезійний...
65586. Діагностика процесу чистового шліфування по динаміці зміни вихідних змінних 454.5 KB
  Вирішення перелічених завдань має особливе значення для операцій шліфування при виконанні яких на якість і продуктивність впливають збурюючи дії і зміни параметрів технологічної системи. Операція настроюється на найгірший стан системи і середовища.
65587. Багатофункціональні сонячні системи тепло-холодопостачання і кондиціювання повітря 402.5 KB
  Метою роботи є вдосконалення багатофункціональних сонячних систем тепло холодопостачання і кондиціювання повітря на основі осушувальновипарних методів і сонячної енергії для підтримки безперервності циклу.
65588. ТВОРЧІСТЬ ЗЕНОВІЯ КРАСІВСЬКОГО ТА ЯРОСЛАВА ЛЕСІВА: ДИСКУРС НАЦІОНАЛЬНОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ 172 KB
  Простежити діахронію розуміння України Батьківщини дому рідної мови свободи Бога в життєвому та літературному досвіді обох письменників; зясувати жанровотематичні параметри творчості...