19003

Описание движения системы материальных точек в нерелятивистской механике. Общая схема механики Ньютона. Основные определения

Лекция

Физика

Лекция 1. Описание движения системы материальных точек в нерелятивистской механике. Общая схема механики Ньютона. Основные определения Основная задача механики – нахождение положения тел в любые моменты времени при условии что известны начальные положения и скорос

Русский

2013-07-11

273 KB

0 чел.

Лекция 1. Описание движения системы материальных точек в нерелятивистской механике. Общая схема механики Ньютона. Основные определения

Основная задача механики – нахождение положения тел в любые моменты времени, при условии, что известны начальные положения и скорости тел и их взаимодействия. В рамках ньютоновского метода эта задача решается на основе законов Ньютона, которые утверждают следующее.

Первый закон Ньютона (его иногда называют также законом инерции, или законом Ньютона-Галилея) постулирует существование таких систем отсчета, в которых тело в отсутствие воздействий на него со стороны других тел движется прямолинейно и равномерно (такое движение называется движением по инерции). Эти системы отсчета называются инерциальными. Из первого закона Ньютона следует, что ускорения тел в инерциальных системах отсчета возникают благодаря силам.

Второй закон Ньютона утверждает, что в инерциальной системе отсчета ускорение тела определяется суммой всех действующих на тело сил

    (1)

где  – действующие на тело силы,  - его масса. При этом если известны выражения для сил через координаты (и может быть скорости) участвующих в задаче тел, то второй закон Ньютона

   (2)

представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции . Решение этого уравнения позволяет найти зависимость  при условии, что заданы начальный радиус-вектор и начальная скорость, которые являются, таким образом, произвольными постоянными в общем решении уравнения (2). Подчеркнем, что второй закон Ньютона сам по себе является уравнением неполным и должен быть в каждой задаче дополнен выражениями для сил, действующих в данной задаче. Установление формул для сил представляет задачу тех разделов физики, где соответствующие взаимодействия изучаются.

Третий закон Ньютона говорит о том, что в природе может существовать только взаимное действие тел друг на друга (взаимодействие тел): если первое тело действует на второе, то второе обязательно действует на первое, при этом эти силы равны по величине и противоположны по направлению («действие равно противодействию»).

Эти законы ньютоновской механики в принципе позволяют в любой задаче найти зависимость координат тел от времени, если известны их взаимодействия и начальные координаты и скорости. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть на тело действует одна постоянная сила. Тогда второй закон Ньютона для этого тела имеет вид

Интегрируя это уравнение один раз, найдем зависимость скорости от времени

     (*)

а второй раз – зависимость от времени радиуса-вектора тела

    (**)

В формулах (*) и (**), которые представляют собой известные законы равноускоренного движения, величины  и  – начальный радиус-вектор и начальная скорость тела,  – его ускорение.

Для тела, совершающего гармонические колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием упругой силы (см. рисунок), второй закон Ньютона имеет вид

    (***)

Помещая начало координат в положение равновесия тела и учитывая, что при таком выборе  (закон Гука), получим из уравнения (***) в проекциях на горизонтальную ось

     (4*)

Общее решение уравнения (4*) определяется выражением

   (5*)

которое и описывает зависимость координаты колеблющегося тела от времени (при этом постоянные  и  могут быть определены из начальных условий).

(Конечно, следует иметь в виду, что дифференциальное уравнение второго закона Ньютона решается далеко не всегда (точнее, очень редко, когда решается). Это связано с тем, что дифференциальное уравнение второго закона Ньютона является, как правило, нелинейным, поскольку силы, действующие на тело, могут нелинейно зависеть от радиусов-векторов или скоростей тел. Поэтому говоря о возможностях уравнений механики, всегда добавляют – «в принципе» позволяют решить любую задачу). Однако некоторые моменты ньютоновского подхода делают его не самым удобным для проведения конкретных вычислений.

Во-первых, уравнения Ньютона сформулированы в декартовых координат, что делает их применение во многих задачах неудобным, поскольку во многих случаях другие координаты оказываются адекватными рассматриваемой задаче. Поэтому для конкретных приложений метода приходится стартовать с ньютоновских уравнений, а затем совершать в них замены переменных. Очевидно, более правильным было бы написание уравнений сразу в «хороших» координатах.

Во-вторых, определенной проблемой для ньютоновской механики являются силы, возникающие в жестких связях, так называемые силы реакции опор и натяжения жестких стержней или веревок. Дело в том, что для этих сил нет никаких заранее задаваемых соотношений. Эти силы должны исключаться из уравнений второго закона но основе условий «жесткости» или «недеформируемости» опор и связей. Естественно, это представляется неудобным – сначала ввести эти силы, а затем исключить. Поэтому возникает задача формулировки уравнений механики сразу в наиболее удобных, адекватных задаче координатах, и без введения сил, которые затем необходимо исключить из уравнений.

В качестве примера применения ньютоновских уравнений рассмотрим задачу о математическом маятнике. Очевидно, в качестве координаты маятника естественно рассмотреть угол его отклонения от вертикали и для описания движения маятника необходимо найти зависимость угла его отклонения от времени (мы рассматриваем плоское движение маятника, для общего движения нужно ввести еще одну координату). Уравнение второго закона дает

    (2)

где  - сила тяжести,  – сила натяжения нити, которая нам неизвестна. Проецирование уравнения (2) на декартовы оси позволит получить уравнения для  и , из которых нужно будет, во-первых, исключить силу натяжения, а во-вторых, получить уравнение для . Имеем

      (3)

Разделим первое уравнение на , второе – на  и вычтем второе уравнение из первого. В результате получим

    (4)

Далее, декартовы координаты маятника следующим образом связаны с углом его отклонения от вертикали

      (5)

Дифференцируя два раза уравнения (5) по времени, получим выражения для  и  через зависимость угла отклонения маятника от времени

   (6)

 Подставляя выражения (6) в уравнение (4) и собирая подобные члены, получим окончательно следующее дифференциальное уравнение

      (7)

Подведем итоги. В простейшей задаче нам пришлось проводить целый ряд преобразований, связанных с неудачной формулировкой уравнений Ньютона: исключать силу реакции и переходить к новой функции.

От такого рода недостатков метода Ньютона свободен другой подход к механике, который называется лагранжевым методом или лагранжевым формализмом. Для практического решения механических задач этот метод оказывается гораздо более удобным и широко используется в теоретической физике.

Исторически уравнения Лагранжа были строго математически выведены из второго закона Ньютона. Однако в современных курсах механики уравнения Лагранжа часто постулируются вообще без ссылок на второй закон Ньютона (точнее выводятся, но не из второго закона Ньютона, а других утверждений, которые принимаются в качестве постулатов – так называемого принципа наименьшего действия). Именно так мы поступим и в нашем курсе и перейдем сейчас к формулировке лагранжева формализма в теоретической механике.

Уравнения лагранжева метода мы сформулируем на следующей лекции, а сейчас дадим ряд определений.

Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения в данных условиях.

2. Радиус-вектором м.т. точки  называется вектор, проведенный из начала координат в место расположения точки. Проекции радиус-вектора на декартовые оси координат совпадают с координатами точки (См. рисунок):

,

т.е. .

Таким образом, радиус вектор определяет положение м.т. точки в выбранной системе координат в любой момент времени , т.е. определяет её закон движения.

3. Скоростью м.т. точки называется векторная величина, определяющая быстроту изменения положения м.т. точки в пространстве, т.е. быстроту изменения её радиус-вектора:

,             

Здесь и в дальнейшем, как это принято в теоретической механике, точкой, мы будем обозначать дифференцирование по времени.

Из определения скорости следует, что скорость всегда направлена по касательной к траектории, поскольку при  отрезок  будет направлен по касательной к траектории.

4. Для определения положения системы, состоящей из  не связанных между собой  м.т. точек, нужно задать  их радиус - векторов , т.е. - координат.

5. Числом степеней свободы системы м.т. точек, называется минимальное число  независимых величин , задание которых необходимо для однозначного определения положения в пространстве всех  м.т. точек данной системы в любой момент времени . Очевидно, что . Величины  называются обобщенными координатами, их производные по времени  - обобщенными скоростями.

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Например, если , то , т.е. имеет размерность линейной скорости. Если же , то , т.е. имеет размерность угловой скорости.

Опыт показывает, что если в момент времени  известны все обобщенные координаты  и скорости  , то можно предсказать положение системы м.т. точек в последующий, близкий момент времени :

 

Для этого задание величин  и  в момент времени , должно однозначно определять величину обобщенного ускорения .

Соотношения, связывающие величины  с величинами  и  называются уравнениями движения.

Таким образом, уравнения движения есть система  дифференциальных уравнений второго порядка, решая которые можно определить закон движения системы, т.е. определить   в любой момент времени .

5

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

           y              

                                                

      EMBED Equation.DSMT4                           EMBED Equation.DSMT4

                                EMBED Equation.DSMT4

           EMBED Equation.DSMT4                        EMBED Equation.DSMT4       x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75313. Отечественная историография о феодализме 39.5 KB
  Гуревича многих других исследователей продвинулось вперед выяснение отдельных явлений и событий истории средневекового мира прогрессировало теоретическое осмысление проблематики феодализма. Конрад хотя он сам как и другие востоковеды сталкивался с трудноразрешимыми проблемами при рассмотрении феодализма во всемирноисторическом масштабе. Но подобное понимание феодализма оказывается крайне обедненным сводимым к малосодержательной социологической абстракции....
75314. Периодизация истории средних веков и феодализма в отечественной и зарубежной историографии 34.5 KB
  Западной Римской империи. Встреча двух миров античного грекоримского и варварского германского кельтского славянского стала началом глубокого переворота который открыл новый средневековый период в истории Западной Европы. В практике преподавания пока принято считать условным концом средневековья первую буржуазную революцию общеевропейского значения английскую революцию 1640-1660х годов положившую начало господству капитализма в Западной Европе и совпавшую с окончанием первой общеевропейской Тридцатилетней войны 16181648 гг....
75315. Источники по истории средних веков (V-XV вв) 41.5 KB
  Источники по истории средних веков VXV вв. Законодательные и документальные источники по истории средних веков. Они являлись ценными источниками по истории VI в. Источники по истории XI XV вв.
75317. Понятие “феодализма” в западноевропейской историографии 39.5 KB
  Понятие феодализма в западноевропейской историографии. Понимание феодализма в историографии XVIII в. Главными чертами феодализма некоторые из них считали политическую раздробленность и как следствие ее господство в средние века папской теократии. в определении сущности феодализма недалеко ушли от историков эпохи Просвещения хотя в отличие от них оценивали феодализм как положительное историческое явление: реакционные романтики потому что видели в нем свой политический идеал...
75318. Проблема генезиса феодализма в отечественной и зарубежной историографии 46.5 KB
  Проблема генезиса феодализма в отечественной и зарубежной историографии. Проблема генезиса феодализма и связанный с нею вопрос о путях складывания феодально зависимого крестьянства представляет трудность и с источниковедческой и с теоретической точек зрения. В советской историографии становление феодализма рассматривалось в первую очередь в аспекте вскрытия сдвигов в производительных силах в отношениях собственности...
75319. Образование государства и возникновение писаного права у франков 38.5 KB
  Образование государства и возникновение писаного права у франков. В исторических памятниках имя франков появилось начиная с III в. Франки распадались на две большие ветви приморских или салических франков от латинского слова slum что значит море живших у устья Рейна и прибрежных или рипуарских франков от латинского слова rip что значит берег живших южнее по берегам Рейна и Мааса. Из вождей франков известен Меровей при котором франки сражались против Аттилы на Каталаунских полях 451 г.
75320. Рост крупного землевладения и ослабление центральной власти у франков при преемниках Хлодвига. Объединение страны майордомами Австразии 33.5 KB
  После смерти Хлодвига началось дробление королевства. намечается обособление самостоятельных политических единиц в составе Франкского королевства: Нейстрии СевероЗападной Галлии с центром в Париже; Австразии северовосточной части Франкского королевства включавшей исконные франкские области по обоим берегам Рейна и Мааса; Бургундии территории бывшего королевства бургундов. В Нейстрии которая к моменту франкского завоевания была сильно романизована галлоримляне составлявшие и после завоевания большинство населения раньше чем в...