19004

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Лекция

Физика

Лекция 2. Принцип наименьшего действия принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа Самая общая формулировка закона движения системы с степенями свободы дается принципом наименьшего действия или принципом Гамильтона. Согласно этому принципу каждая механическая сист

Русский

2013-07-11

1.15 MB

21 чел.

Лекция 2. Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Самая общая формулировка закона движения системы с  степенями свободы дается принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу, каждая механическая система полностью характеризуется своей функцией Лагранжа. Функция Лагранжа зависит от обобщенных координат , обобщенных скоростей  и времени :

             (1)

Для сокращения записи обычно пишут:

    (2)

Пусть в начальный и конечный моменты времени  и , положение всех точек системы характеризуются двумя наборами значений обобщенных координат:     и     ;     . Тогда интеграл по времени

      (3)

называется действием для данной механической системы.

Принцип наименьшего действия формулируется следующим образом: пусть известна функция Лагранжа  для данной системы. Тогда, между начальным  и конечным положениями, система будет двигаться таким образом, чтобы интеграл действия имел наименьшее значение:

    (4)

только те функции , которые удовлетворяют условию минимума действия и будут являться истинными "траекториями" движения. Из условия (4) можно получить уравнения для истинных траекторий движения всех точек между начальным и конечным положением системы. Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа.

Получим эти уравнения. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью свободы: . Пусть в моменты времени  и  система находилась в заданных положениях  и . Рассмотрим траекторию , «близкую» к  и проходящую через те же самые точки  и  

Функция  является «малой» добавкой к : . Понятно, что для начального и для конечного положения системы  (см. рисунок). Тогда, для новой обобщенной скорости  будем иметь

Условие экстремальности действия определяется равенством нулю его вариации:

    (5)

Это условие есть обобщение хорошо известного признака экстремальности функции : в тех точках, где функция  имеет минимум или максимум, её производная . Следовательно, равен нулю и её дифференциал:. Формула (5) фактически обобщает признак экстремальности функции для функционала, которым и является интеграл действия.

Вычислим эту вариацию . Учитывая, что при

,

запишем

Проинтегрируем второе слагаемое по частям и учтем, что :

Теперь условие экстремальности действия запишется так:

   (6)

Поскольку функция  - произвольная, то условие (6) может быть удовлетворено только в случае - когда выражение в его фигурных скобках обращается в ноль:

   (7)

Это и есть уравнение Лагранжа. для мех. системы с одной степенью свободы. Конкретный вид уравнения (7) зависит от конкретного вида ф. Лагранжа. О том, что собой представляет ф. Лагранжа речь пойдет ниже.

Поскольку уравнение Лагранжа (7) является дифференциальным уравнением второго порядка, его общее решение зависит от двух произвольных констант: . Чтобы определить эти константы необходимо задать два начальных условия:  и . Таким образом, для определения закона движения системы с одной степенью свободы необходимо решить задачу Коши:

 (8)

Если система имеет  степеней свободы ( ), то вариацию действия нужно осуществлять независимо по каждой обобщенной координате . В результате получим систему однотипных  уравнений с  начальными условиями:

          (9)

В компактном виде систему уравнений и начальных условий (9) обычно записывают так:

 (10)

Основные свойства функции Лагранжа:

1.  Функцию Лагранжа можно умножить на любое число. Уравнения Лагранжа (10) при этом не изменяются.

2.   Функция Лагранжа обладает важным свойством аддитивности.

Пусть система АВ состоит из двух подсистем: А и В. Её Функция Лагранжа  будет зависеть от обобщенных координат и скоростей всех частиц подсистемы А, т.е. от , и всех частиц подсистемы В, т.е. от . Предположим теперь, что подсистемы А и В начнут удаляться друг от друга на очень большое расстояние: (см. рисунок).

Понятно, что в этом случае движение точек в подсистемах А и В будет происходить независимо и никак не влиять друг на друга. Но это означает, что уравнения Лагранжа для системы АВ должны распасться на две независимые системы уравнений для подсистем А и В, соответственно:

и     

Для этого необходимо, чтобы

  (11)

3. Функция Лагранжа любой мех. системы определена неоднозначно, а с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени.

Действительно, пусть , где  - произвольная функция. Запишем действие , используя ф. Лагранжа :

Следовательно

Величина, стоящая в фигурных скобках, есть некоторое число, которое исчезает при вариации действия. Поэтому  при любом виде функции , а уравнения Лагранжа будут иметь один и тот же вид независимо от того, какую функцию Лагранжа  или  мы выбираем.

3

q(1)

t2

2

1

q+g

  q(t)

t1

q

q(2)

A

B

AB

B

r AB  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78816. Нехай Україна у щасті буя, - у тім нагорода і втіха моя… 51.5 KB
  Народе мій убожеством прибитий Знеможений і темністю сповитий Що вже забув і поважать себе Потративши свої колишні сили Як я любив твої сумні могили Україно Як я любив тебе на мультимедійній дошці з’являється портрет Михайла Старицького.
78817. Слава страстям, Твоїм Господи 231 KB
  Вона почуває себе винною В тому що її колючки ранили голову Христа. Побачивши Христа її обняв великий жаль і співчуття. Думаю що кожен з нас під час великого посту зробив собі іспит совісті і підтвердив що замість щирої подяки ми своїми гріховними вчинкми наново розпинаємо Христа.
78818. Свято Стрітення 131.5 KB
  Мета: розказати про історію виникнення свята Стрітення і традиції пов’язані з ним; дати поняття про те що свічка -– це світло Боже символ життя; ознайомити з легендою народними звичаями; поглибити знання про значення свічки як одного з символів християнської етики...
78820. Выступление агитбригады «Светофорчик» 58.5 KB
  По пути домой из школы Пригодятся правила Знак дорожный он достоин Твоего внимания Эти книги не простые И наука не легка Целый свод дорожных правил Надо знать наверняка 8. Ни на миг не забываем Знак дорожный каждый Всех к порядку призываем Это очень важно Все: Не нарушайте правила дорожного движения...
78821. ПОСВЯТА В СТАРШОКЛАСНИКИ 68.5 KB
  Мета. Виховувати повагу до вчителів, бажання продовжувати вчитися у старших класах; розвивати артистизм, логічне мислення; зв’язне мовлення; сприяти згуртуванню учнівського колективу.
78823. Дзвони Великодня 2.85 MB
  Показати красу і значущість одного з найвеличніших християнських свят; ознайомити з історією виникнення писанки із символікою знаків на писанках. На дошці висить килим а на ньому образ Ісуса Христа українська хата піч писанки кошики паска іграшковий коник квіти.
78824. Наші любі татусі і дідусі, ми вас любимо усі! 53.5 KB
  Сьогодні в нашім класі свято Тут сміху, радощів багато. Сьогодні татусів вітаєм, Всього найкращого бажаєм. Рідні, наші любі тата, Ми вітаєм вас на святі. Ми вас любим щиро-щиро, Вам бажаєм щастя й миру. Ви нас теж любіть, рідненькі, Бо ми діти дорогенькі Хочем бути на вас схожі І, як ви, такі ж хороші.