19004

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Лекция

Физика

Лекция 2. Принцип наименьшего действия принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа Самая общая формулировка закона движения системы с степенями свободы дается принципом наименьшего действия или принципом Гамильтона. Согласно этому принципу каждая механическая сист

Русский

2013-07-11

1.15 MB

25 чел.

Лекция 2. Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Самая общая формулировка закона движения системы с  степенями свободы дается принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу, каждая механическая система полностью характеризуется своей функцией Лагранжа. Функция Лагранжа зависит от обобщенных координат , обобщенных скоростей  и времени :

             (1)

Для сокращения записи обычно пишут:

    (2)

Пусть в начальный и конечный моменты времени  и , положение всех точек системы характеризуются двумя наборами значений обобщенных координат:     и     ;     . Тогда интеграл по времени

      (3)

называется действием для данной механической системы.

Принцип наименьшего действия формулируется следующим образом: пусть известна функция Лагранжа  для данной системы. Тогда, между начальным  и конечным положениями, система будет двигаться таким образом, чтобы интеграл действия имел наименьшее значение:

    (4)

только те функции , которые удовлетворяют условию минимума действия и будут являться истинными "траекториями" движения. Из условия (4) можно получить уравнения для истинных траекторий движения всех точек между начальным и конечным положением системы. Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа.

Получим эти уравнения. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью свободы: . Пусть в моменты времени  и  система находилась в заданных положениях  и . Рассмотрим траекторию , «близкую» к  и проходящую через те же самые точки  и  

Функция  является «малой» добавкой к : . Понятно, что для начального и для конечного положения системы  (см. рисунок). Тогда, для новой обобщенной скорости  будем иметь

Условие экстремальности действия определяется равенством нулю его вариации:

    (5)

Это условие есть обобщение хорошо известного признака экстремальности функции : в тех точках, где функция  имеет минимум или максимум, её производная . Следовательно, равен нулю и её дифференциал:. Формула (5) фактически обобщает признак экстремальности функции для функционала, которым и является интеграл действия.

Вычислим эту вариацию . Учитывая, что при

,

запишем

Проинтегрируем второе слагаемое по частям и учтем, что :

Теперь условие экстремальности действия запишется так:

   (6)

Поскольку функция  - произвольная, то условие (6) может быть удовлетворено только в случае - когда выражение в его фигурных скобках обращается в ноль:

   (7)

Это и есть уравнение Лагранжа. для мех. системы с одной степенью свободы. Конкретный вид уравнения (7) зависит от конкретного вида ф. Лагранжа. О том, что собой представляет ф. Лагранжа речь пойдет ниже.

Поскольку уравнение Лагранжа (7) является дифференциальным уравнением второго порядка, его общее решение зависит от двух произвольных констант: . Чтобы определить эти константы необходимо задать два начальных условия:  и . Таким образом, для определения закона движения системы с одной степенью свободы необходимо решить задачу Коши:

 (8)

Если система имеет  степеней свободы ( ), то вариацию действия нужно осуществлять независимо по каждой обобщенной координате . В результате получим систему однотипных  уравнений с  начальными условиями:

          (9)

В компактном виде систему уравнений и начальных условий (9) обычно записывают так:

 (10)

Основные свойства функции Лагранжа:

1.  Функцию Лагранжа можно умножить на любое число. Уравнения Лагранжа (10) при этом не изменяются.

2.   Функция Лагранжа обладает важным свойством аддитивности.

Пусть система АВ состоит из двух подсистем: А и В. Её Функция Лагранжа  будет зависеть от обобщенных координат и скоростей всех частиц подсистемы А, т.е. от , и всех частиц подсистемы В, т.е. от . Предположим теперь, что подсистемы А и В начнут удаляться друг от друга на очень большое расстояние: (см. рисунок).

Понятно, что в этом случае движение точек в подсистемах А и В будет происходить независимо и никак не влиять друг на друга. Но это означает, что уравнения Лагранжа для системы АВ должны распасться на две независимые системы уравнений для подсистем А и В, соответственно:

и     

Для этого необходимо, чтобы

  (11)

3. Функция Лагранжа любой мех. системы определена неоднозначно, а с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени.

Действительно, пусть , где  - произвольная функция. Запишем действие , используя ф. Лагранжа :

Следовательно

Величина, стоящая в фигурных скобках, есть некоторое число, которое исчезает при вариации действия. Поэтому  при любом виде функции , а уравнения Лагранжа будут иметь один и тот же вид независимо от того, какую функцию Лагранжа  или  мы выбираем.

3

q(1)

t2

2

1

q+g

  q(t)

t1

q

q(2)

A

B

AB

B

r AB  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49158. Цифровые системы передачи непрерывных сообщений 391 KB
  Распределение ошибки передачи сообщения по источникам искажений. Для преобразования непрерывного сообщения в цифровую форму используются операции дискретизации и квантования. К входным преобразованиям относятся ограничение максимальных значений сообщения дискретизация и квантование непрерывного сообщения.1 где 1 – эффективное значение относительной ошибки вызванной временной дискретизацией сообщения; 2 – эффективное значение относительной ошибки вызванной ограничением максимальных отклонений сообщений от среднего значения; 3 –...
49159. Разработка эскизного проекта локальной вычислительной сети 1.02 MB
  Цель проекта: Разработка эскизного проекта локальной вычислительной сети ЛВС. Планирование построения сети Выбор топологии сети
49160. Программа на языке программирования Паскаль 331.5 KB
  Проверить решение промежуточных задач средствами математических пакетов. Построить блок-схемы задачи и вспомогательных частей алгоритма. Оценить погрешность выполненных расчетов
49162. Применение нейросети для определения видовой принадлежности деревьев 364.5 KB
  Обучение нейросети. Применение нейросети для определения видовой принадлежности деревьев. Предметом исследования является применение нейросети для определения видовой принадлежности деревьев. В ней описываются все параметры используемые для обучения сети создается обучающая выборка и представлены результаты работы.
49163. Расчет защиты для линии электропередач 500 кВ 1.37 MB
  Расчет удельных параметров прямой последовательности Расчет параметров генератора: Расчет параметров линии: Удельное активное сопротивление прямой последовательности R1уд Ом км рассчитываем по формуле 2. Удельное индуктивное сопротивление прямой последовательности X1уд Ом км рассчитаем по формуле 2.2 Расчет удельных параметров нулевой последовательности линии Удельное активное сопротивление нулевой последовательности без учета троса Ом км рекомендуется рассчитывать по формуле 2.4 Удельное индуктивное сопротивление...
49164. Скоринговые системы в оценке кредитоспособности физического лица 1.04 MB
  Цель исследования обусловила постановку и решение следующих конкретных задач: рассмотреть сущность скоринговых систем; методологии построения скоринговых систем; рассмотреть сущность нейронных сетей; показать сходства биологической и искусственной нейронной сети; рассмотреть специфику искусственной нейронной сети; показать сущность персептрона; применить персептрон для оценки кредитоспособности заемщика; определить входные и выходные параметры сети; обучить персептрон; интерпретировать результаты работы персептрона.5...
49165. Проект печатной платы для устройства “Широкополосный антенный усилитель” 280.5 KB
  А ведь в большинстве случает можно обойтись штатной автомобильной антенной и правильно выбранным антенным усилителем Критерий выбора антенного усилителя – максимальное качество приема сигналов всех возможных радиостанций в данной местности. При выборе антенного усилителя необходимо учитывать следующее: полоса пропускания усилителя должна полностью перекрывать весь радиовещательный диапазон 015. при меньшем усилении незначителен выигрыш в качестве приема удаленных или маломощных радиостанций а при большем – возможна перегрузка самого...
49166. Философия. Исторические этапы развития философии 672 KB
  Назначение философии – поиск удела человека, обеспечение его бытия в причудливом мире, а в конечном счете в возвышении человека, в обеспечении его совершенствования. Общую структуру философского знания составляют четыре основных раздела: онтология(учение о бытие), гносеология(учение о познании), человек, общество.