19004

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Лекция

Физика

Лекция 2. Принцип наименьшего действия принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа Самая общая формулировка закона движения системы с степенями свободы дается принципом наименьшего действия или принципом Гамильтона. Согласно этому принципу каждая механическая сист

Русский

2013-07-11

1.15 MB

24 чел.

Лекция 2. Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Самая общая формулировка закона движения системы с  степенями свободы дается принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу, каждая механическая система полностью характеризуется своей функцией Лагранжа. Функция Лагранжа зависит от обобщенных координат , обобщенных скоростей  и времени :

             (1)

Для сокращения записи обычно пишут:

    (2)

Пусть в начальный и конечный моменты времени  и , положение всех точек системы характеризуются двумя наборами значений обобщенных координат:     и     ;     . Тогда интеграл по времени

      (3)

называется действием для данной механической системы.

Принцип наименьшего действия формулируется следующим образом: пусть известна функция Лагранжа  для данной системы. Тогда, между начальным  и конечным положениями, система будет двигаться таким образом, чтобы интеграл действия имел наименьшее значение:

    (4)

только те функции , которые удовлетворяют условию минимума действия и будут являться истинными "траекториями" движения. Из условия (4) можно получить уравнения для истинных траекторий движения всех точек между начальным и конечным положением системы. Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа.

Получим эти уравнения. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью свободы: . Пусть в моменты времени  и  система находилась в заданных положениях  и . Рассмотрим траекторию , «близкую» к  и проходящую через те же самые точки  и  

Функция  является «малой» добавкой к : . Понятно, что для начального и для конечного положения системы  (см. рисунок). Тогда, для новой обобщенной скорости  будем иметь

Условие экстремальности действия определяется равенством нулю его вариации:

    (5)

Это условие есть обобщение хорошо известного признака экстремальности функции : в тех точках, где функция  имеет минимум или максимум, её производная . Следовательно, равен нулю и её дифференциал:. Формула (5) фактически обобщает признак экстремальности функции для функционала, которым и является интеграл действия.

Вычислим эту вариацию . Учитывая, что при

,

запишем

Проинтегрируем второе слагаемое по частям и учтем, что :

Теперь условие экстремальности действия запишется так:

   (6)

Поскольку функция  - произвольная, то условие (6) может быть удовлетворено только в случае - когда выражение в его фигурных скобках обращается в ноль:

   (7)

Это и есть уравнение Лагранжа. для мех. системы с одной степенью свободы. Конкретный вид уравнения (7) зависит от конкретного вида ф. Лагранжа. О том, что собой представляет ф. Лагранжа речь пойдет ниже.

Поскольку уравнение Лагранжа (7) является дифференциальным уравнением второго порядка, его общее решение зависит от двух произвольных констант: . Чтобы определить эти константы необходимо задать два начальных условия:  и . Таким образом, для определения закона движения системы с одной степенью свободы необходимо решить задачу Коши:

 (8)

Если система имеет  степеней свободы ( ), то вариацию действия нужно осуществлять независимо по каждой обобщенной координате . В результате получим систему однотипных  уравнений с  начальными условиями:

          (9)

В компактном виде систему уравнений и начальных условий (9) обычно записывают так:

 (10)

Основные свойства функции Лагранжа:

1.  Функцию Лагранжа можно умножить на любое число. Уравнения Лагранжа (10) при этом не изменяются.

2.   Функция Лагранжа обладает важным свойством аддитивности.

Пусть система АВ состоит из двух подсистем: А и В. Её Функция Лагранжа  будет зависеть от обобщенных координат и скоростей всех частиц подсистемы А, т.е. от , и всех частиц подсистемы В, т.е. от . Предположим теперь, что подсистемы А и В начнут удаляться друг от друга на очень большое расстояние: (см. рисунок).

Понятно, что в этом случае движение точек в подсистемах А и В будет происходить независимо и никак не влиять друг на друга. Но это означает, что уравнения Лагранжа для системы АВ должны распасться на две независимые системы уравнений для подсистем А и В, соответственно:

и     

Для этого необходимо, чтобы

  (11)

3. Функция Лагранжа любой мех. системы определена неоднозначно, а с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени.

Действительно, пусть , где  - произвольная функция. Запишем действие , используя ф. Лагранжа :

Следовательно

Величина, стоящая в фигурных скобках, есть некоторое число, которое исчезает при вариации действия. Поэтому  при любом виде функции , а уравнения Лагранжа будут иметь один и тот же вид независимо от того, какую функцию Лагранжа  или  мы выбираем.

3

q(1)

t2

2

1

q+g

  q(t)

t1

q

q(2)

A

B

AB

B

r AB  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70222. Принципы работы фотоаппаратов 95.5 KB
  Численное значение диафрагмы определяет следующие элементы фотографического процесса: экспозиция с уменьшением отверстия на одну ступень поток света уменьшается вдвое что требует увеличения вдвое времени выдержки для сохранения правильной экспозиции; глубина резкости чем меньше отверстие...
70223. Основні терміни метрології та їх визначення 311 KB
  Фізичні величини та одиниці вимірювань Об’єкти довкілля це фізичні тіла та їх системи. Вибір основних величин і розмірів їх одиниць під час побудови системи одиниць теоретично довільний але він продиктований певними вимогами практики а саме: кількість основних величин має бути невеликою...
70224. Методологические и правовые основы безопасности жизнедеятельности 332.5 KB
  Студент должен знать: ПК50 основы безопасности общества и личности; порядок взаимодействия медицинских формирований и учреждений при ликвидации последствий в очагах поражения ПК12 особенности организации оказания медицинской помощи проведения реанимационных мероприятий в чрезвычайных...
70225. ЗАЩИТА ЧЕЛОВЕКА ОТ ВРЕДНЫХ И ОПАСНЫХ ФАКТОРОВ ПРИРОДНОГО И ТЕХНОГЕННОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ 887.5 KB
  Цель занятия: овладеть следующими компетенциями в пределах дисциплины БЖД и Медицина катастроф ПК12 способность и готовность использовать методы оценки природных и медико-социальных факторов среды в развитии болезней у взрослого населения и подростков проводить их коррекцию осуществлять...
70226. Безопасность жизнедеятельности в медицинских организациях 364 KB
  Система здравоохранения сегодня - это более трех миллионов работающих, тысячи медицинских организаций (лечебно-профилактических, аптечных, санитарно-эпидемиологических учреждений) десятки научно-исследовательских институтов, центров, высших и средних учебных заведений...
70227. Национальная безопасность 307 KB
  Национальная безопасность - основы государственного устройства и управления, осуществляющие процесс переоценки национальных ценностей и согласования интересов личности, общества и государства, дальнейшее развития социально-экономических, политических, правовых, этнических связей и отношений.
70228. Расстройства восприятия, иллюзии, галлюцинации. Дереализация и деперсонализация 95 KB
  Показанием к срочной даже без согласия больного госпитализации являются: C 12. Психосенсорные расстройства обычно являются проявлением: D 14. В каком случае иллюзии являются безусловным признаком психоза C Галлюцинации относятся к расстройствам невротического уровня.
70230. Визвольні ідеї Г.Сковороди, Т.Шевченка, І.Франка 132 KB
  Національна природа інтелігента визначається не кількістю його декларацій про любов до Батьківщини а відповідністю власної духовної діяльності специфіці менталітету рідного народу і потребам його розвитку спричинених своєрідністю конкретної історичної ситуації.