19004

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Лекция

Физика

Лекция 2. Принцип наименьшего действия принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа Самая общая формулировка закона движения системы с степенями свободы дается принципом наименьшего действия или принципом Гамильтона. Согласно этому принципу каждая механическая сист

Русский

2013-07-11

1.15 MB

24 чел.

Лекция 2. Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Самая общая формулировка закона движения системы с  степенями свободы дается принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу, каждая механическая система полностью характеризуется своей функцией Лагранжа. Функция Лагранжа зависит от обобщенных координат , обобщенных скоростей  и времени :

             (1)

Для сокращения записи обычно пишут:

    (2)

Пусть в начальный и конечный моменты времени  и , положение всех точек системы характеризуются двумя наборами значений обобщенных координат:     и     ;     . Тогда интеграл по времени

      (3)

называется действием для данной механической системы.

Принцип наименьшего действия формулируется следующим образом: пусть известна функция Лагранжа  для данной системы. Тогда, между начальным  и конечным положениями, система будет двигаться таким образом, чтобы интеграл действия имел наименьшее значение:

    (4)

только те функции , которые удовлетворяют условию минимума действия и будут являться истинными "траекториями" движения. Из условия (4) можно получить уравнения для истинных траекторий движения всех точек между начальным и конечным положением системы. Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа.

Получим эти уравнения. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью свободы: . Пусть в моменты времени  и  система находилась в заданных положениях  и . Рассмотрим траекторию , «близкую» к  и проходящую через те же самые точки  и  

Функция  является «малой» добавкой к : . Понятно, что для начального и для конечного положения системы  (см. рисунок). Тогда, для новой обобщенной скорости  будем иметь

Условие экстремальности действия определяется равенством нулю его вариации:

    (5)

Это условие есть обобщение хорошо известного признака экстремальности функции : в тех точках, где функция  имеет минимум или максимум, её производная . Следовательно, равен нулю и её дифференциал:. Формула (5) фактически обобщает признак экстремальности функции для функционала, которым и является интеграл действия.

Вычислим эту вариацию . Учитывая, что при

,

запишем

Проинтегрируем второе слагаемое по частям и учтем, что :

Теперь условие экстремальности действия запишется так:

   (6)

Поскольку функция  - произвольная, то условие (6) может быть удовлетворено только в случае - когда выражение в его фигурных скобках обращается в ноль:

   (7)

Это и есть уравнение Лагранжа. для мех. системы с одной степенью свободы. Конкретный вид уравнения (7) зависит от конкретного вида ф. Лагранжа. О том, что собой представляет ф. Лагранжа речь пойдет ниже.

Поскольку уравнение Лагранжа (7) является дифференциальным уравнением второго порядка, его общее решение зависит от двух произвольных констант: . Чтобы определить эти константы необходимо задать два начальных условия:  и . Таким образом, для определения закона движения системы с одной степенью свободы необходимо решить задачу Коши:

 (8)

Если система имеет  степеней свободы ( ), то вариацию действия нужно осуществлять независимо по каждой обобщенной координате . В результате получим систему однотипных  уравнений с  начальными условиями:

          (9)

В компактном виде систему уравнений и начальных условий (9) обычно записывают так:

 (10)

Основные свойства функции Лагранжа:

1.  Функцию Лагранжа можно умножить на любое число. Уравнения Лагранжа (10) при этом не изменяются.

2.   Функция Лагранжа обладает важным свойством аддитивности.

Пусть система АВ состоит из двух подсистем: А и В. Её Функция Лагранжа  будет зависеть от обобщенных координат и скоростей всех частиц подсистемы А, т.е. от , и всех частиц подсистемы В, т.е. от . Предположим теперь, что подсистемы А и В начнут удаляться друг от друга на очень большое расстояние: (см. рисунок).

Понятно, что в этом случае движение точек в подсистемах А и В будет происходить независимо и никак не влиять друг на друга. Но это означает, что уравнения Лагранжа для системы АВ должны распасться на две независимые системы уравнений для подсистем А и В, соответственно:

и     

Для этого необходимо, чтобы

  (11)

3. Функция Лагранжа любой мех. системы определена неоднозначно, а с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени.

Действительно, пусть , где  - произвольная функция. Запишем действие , используя ф. Лагранжа :

Следовательно

Величина, стоящая в фигурных скобках, есть некоторое число, которое исчезает при вариации действия. Поэтому  при любом виде функции , а уравнения Лагранжа будут иметь один и тот же вид независимо от того, какую функцию Лагранжа  или  мы выбираем.

3

q(1)

t2

2

1

q+g

  q(t)

t1

q

q(2)

A

B

AB

B

r AB  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54698. Антимонопольная политика государства 22.83 KB
  Рынок действует по определенным принципам, которые монополия подрывает. Поэтому борьба с монополией является одновременно защитой основных принципов рыночной экономики.
54699. Королева Осінь 37 KB
  Діти заходять під марш. Вихователь: Діти сьогодні ми з вами йдемо до країни Осінь. Під тиху музику діти йдуть на півпальцях. Діти розслаблюються.
54700. Основи безпеки життєдіяльності на уроках фізичної культури 326.5 KB
  Техніка безпеки на уроках фізичної культури 1.1 Основи техніки безпеки на уроках фізичної культури 1.2 Профілактика травматизму як основний напрямок техніки безпеки на уроках фізичної культури 1.
54701. Социально-экономическое понятие предприятия 56.5 KB
  Предприятие – это самостоятельный хозяйствующий субъект, созданный предпринимателем или объединением предпринимателей для производства продукции, выполнения работ и оказания услуг с целью удовлетворения общественных потребностей и получения прибыли
54702. Небезпека від вогню 87 KB
  Складання плану уроку: Історія вогню Що таке пожежа Причини виникнення пожежі Невідкладні дії під час пожежі Як поводитися під час пожежі ІІ. Вчитель: Ця група нагадала нам телефон пожежної служби яка прибуває на допомогу під час пожежі але пожежники кажуть: Пожежі краще запобігти ніж її гасити. Тому передаємо слово групі Юні пожежні які нагадають вам причини виникнення пожежі. Вона показує нам основні джерела займання та причини виникнення пожежі.
54703. Основы генетики, урок 71.5 KB
  Урок: освоение нового материала. Вильгельм Швебель немецкий ученый и публицист Слайд 2 Ход урока: Организационный момент Актуализация знаний. Слайд 3 Генетика рассматривает носители наследственности – хромосомы и гены. Учащиеся записывают в тетради Слайд 4 Наследственностью обладают все живые организмы.
54705. Сценарій Останнього уроку 123 KB
  Шановні гості Ми сьогодні зібралися в цій залі щоб вирядити на широку дорогу дорослого життя наших випускників.її життя починається світанком душі дитинством. Це справді найкраща пора життя людини і проходить вона у школі. Дороги дороги Тернисті і рівні Із пристані школа ведуть у життя.
54706. Открываем новые земли 60 KB
  Цель игры: сплочение коллектива развитие эмпатии и сопереживания между детьми и учителями; приобретение опыта совместного прохождения препятствий и принятия групповых решений формирование доверительного отношения между участниками игрового процесса.