19004

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Лекция

Физика

Лекция 2. Принцип наименьшего действия принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа Самая общая формулировка закона движения системы с степенями свободы дается принципом наименьшего действия или принципом Гамильтона. Согласно этому принципу каждая механическая сист

Русский

2013-07-11

1.15 MB

26 чел.

Лекция 2. Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа

Самая общая формулировка закона движения системы с  степенями свободы дается принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу, каждая механическая система полностью характеризуется своей функцией Лагранжа. Функция Лагранжа зависит от обобщенных координат , обобщенных скоростей  и времени :

             (1)

Для сокращения записи обычно пишут:

    (2)

Пусть в начальный и конечный моменты времени  и , положение всех точек системы характеризуются двумя наборами значений обобщенных координат:     и     ;     . Тогда интеграл по времени

      (3)

называется действием для данной механической системы.

Принцип наименьшего действия формулируется следующим образом: пусть известна функция Лагранжа  для данной системы. Тогда, между начальным  и конечным положениями, система будет двигаться таким образом, чтобы интеграл действия имел наименьшее значение:

    (4)

только те функции , которые удовлетворяют условию минимума действия и будут являться истинными "траекториями" движения. Из условия (4) можно получить уравнения для истинных траекторий движения всех точек между начальным и конечным положением системы. Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа.

Получим эти уравнения. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью свободы: . Пусть в моменты времени  и  система находилась в заданных положениях  и . Рассмотрим траекторию , «близкую» к  и проходящую через те же самые точки  и  

Функция  является «малой» добавкой к : . Понятно, что для начального и для конечного положения системы  (см. рисунок). Тогда, для новой обобщенной скорости  будем иметь

Условие экстремальности действия определяется равенством нулю его вариации:

    (5)

Это условие есть обобщение хорошо известного признака экстремальности функции : в тех точках, где функция  имеет минимум или максимум, её производная . Следовательно, равен нулю и её дифференциал:. Формула (5) фактически обобщает признак экстремальности функции для функционала, которым и является интеграл действия.

Вычислим эту вариацию . Учитывая, что при

,

запишем

Проинтегрируем второе слагаемое по частям и учтем, что :

Теперь условие экстремальности действия запишется так:

   (6)

Поскольку функция  - произвольная, то условие (6) может быть удовлетворено только в случае - когда выражение в его фигурных скобках обращается в ноль:

   (7)

Это и есть уравнение Лагранжа. для мех. системы с одной степенью свободы. Конкретный вид уравнения (7) зависит от конкретного вида ф. Лагранжа. О том, что собой представляет ф. Лагранжа речь пойдет ниже.

Поскольку уравнение Лагранжа (7) является дифференциальным уравнением второго порядка, его общее решение зависит от двух произвольных констант: . Чтобы определить эти константы необходимо задать два начальных условия:  и . Таким образом, для определения закона движения системы с одной степенью свободы необходимо решить задачу Коши:

 (8)

Если система имеет  степеней свободы ( ), то вариацию действия нужно осуществлять независимо по каждой обобщенной координате . В результате получим систему однотипных  уравнений с  начальными условиями:

          (9)

В компактном виде систему уравнений и начальных условий (9) обычно записывают так:

 (10)

Основные свойства функции Лагранжа:

1.  Функцию Лагранжа можно умножить на любое число. Уравнения Лагранжа (10) при этом не изменяются.

2.   Функция Лагранжа обладает важным свойством аддитивности.

Пусть система АВ состоит из двух подсистем: А и В. Её Функция Лагранжа  будет зависеть от обобщенных координат и скоростей всех частиц подсистемы А, т.е. от , и всех частиц подсистемы В, т.е. от . Предположим теперь, что подсистемы А и В начнут удаляться друг от друга на очень большое расстояние: (см. рисунок).

Понятно, что в этом случае движение точек в подсистемах А и В будет происходить независимо и никак не влиять друг на друга. Но это означает, что уравнения Лагранжа для системы АВ должны распасться на две независимые системы уравнений для подсистем А и В, соответственно:

и     

Для этого необходимо, чтобы

  (11)

3. Функция Лагранжа любой мех. системы определена неоднозначно, а с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени.

Действительно, пусть , где  - произвольная функция. Запишем действие , используя ф. Лагранжа :

Следовательно

Величина, стоящая в фигурных скобках, есть некоторое число, которое исчезает при вариации действия. Поэтому  при любом виде функции , а уравнения Лагранжа будут иметь один и тот же вид независимо от того, какую функцию Лагранжа  или  мы выбираем.

3

q(1)

t2

2

1

q+g

  q(t)

t1

q

q(2)

A

B

AB

B

r AB  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32364. Психологические основы воспитания. Организация воспитания с учетом специфики различных категорий детей 13.68 KB
  Психология воспитания научает внутренние механизмы становления и развития личности в целом а также отдельные ее свойства. Воспитание социальное целенаправленное создание условий материальных духовных организованных для развития человека это целенаправленная деятельность призванная формировать у детей систему качеств личности взглядов и убеждений. Цели воспитания: Воспитание всесторонне и гармонично развитой личности сочетающей в себе духовное богатство моральную чистоту и физическое совершенство. Воспитание социально компетентной...
32365. Методы исследования в психологии 14.05 KB
  Метод это способ посредством которого познается предмет науки это способ получения фактов о проявлениях психологических особенностей человека. Являясь средством изучения фактов и закономерностей психики человека той или иной метод опирается на основные закономерности ее развития и функционирования и основан на методологии той науки в рамках которой он используется а методология это совокупность принципов. Психика человека представляет собой сложную психологическую систему в которой все процессы и функции тесно взаимосвязаны. а есть...
32366. Семья как малая социальная группа. Функции семьи. Конфликты в семье, их профилактика и разрешение 13.51 KB
  Функции семьи. Функции семьи деятельность членов семьи направленная на удовлетворение потребностей. Генеративная продолжение рода первичной социализации экономическая накопление богатства гедонистическая здоровый секс рекреационная совместный отдых рождение и воспитание детей; сохранение развитие передача последующим поколениям ценностей и традиций общества; удовлетворение потребностей в психологическом конфликте эмоциональной поддержке чувство безопасности значимости собственного Я; создание условий для развития личности...
32367. Классификация методов психологического исследования 14.31 KB
  Этапы психологического исследования: Постановка цели психологического исследования определение предмета исследования выработка рабочей гипотезы: Выявление проблемы Уточнение проблемы и характера затруднений сбор необходимой для этого информации беседа с учителями и родителями наблюдение за ребенком в проблемной и непроблемной ситуации Выявление социальных и биологических условий развития формальные характеристики состав семьи возраст образование и профессия родителей; физическое развитие и состояние здоровья ребенка группа...
32368. Понятие группы. Структура группы. Дифференциация в группах детей и подростков. Динамика развития группы. Метод социометрии 16.83 KB
  Структура группы. Динамика развития группы. Признаки группы: Наличие интегральный психических характеристик общественное мнение психологический климат групповые нормы и ценности интересы Существование основных параметров группы как единого целого: композиция численность возраст пол национальность соцположение; структура функциональная формальная групповые процессы сплоченность лидерство конформизм взаимодействие групповые нормы и ценности правила осуществления эффективной совместной деятельности групповые...
32369. Метод наблюдения 13.94 KB
  Достоинства наблюдения: Позволяет охватить и зафиксировать психические состояния или акты поведения. Недостатки наблюдения: Выявление настроения предупреждения положения наблюдателя на результаты Многочисленность мешающих факторов Невозможность обобщений при однократном наблюдении. Большие ресурсные затраты Виды наблюдения: По характеру объекта: Внутреннее наблюдение объектом наблюдения является сам наблюдатель Внешнее наблюдение объект исследования наблюдается извне со стороны.
32370. Метод беседы (интервью) 13.89 KB
  Отличительной особенностью беседы непосредственный характер общения исследователя с испытуемым. Может проводится заметно для субъекта с соблюдением норм профэтики Программа и содержание могут быть гибкими изменяться психологом в соответствии с целями Недостатки: Субъективность результатов эффект двойной субъективности Сильное влияние психолога на результаты исследования эффект ореола особенности внимания и памяти психолога Позиция психолога: Обязан создать доверительную спокойную доброжелательную атмосферу в ходе исследования без...
32371. Взаимодействие детей со взрослыми на различных возрастных этапах 14.64 KB
  Основа органические нужды ребенка которые заставляют первоначально выделить взрослого в окружающем мире. Взаимодействие с членами расширенной семьи бабушки дедушки дяди тети обогащает внутренний мир ребенка и вписывает новые соц. в психике ребенка формируется новообразование самооценка учится оценивать свою деятельность.
32372. Социальное развитие личности. Социализация. Направления социализации и ее задачи на разных этапах развития личности 14.9 KB
  Стилизованный субкультура Межличностный Психолгический подражание идентификация рефлексия Периодизация развития личности: В младенчестве главную роль в жизни ребенка играет мать она кормит ухаживает дает ласку заботу в результате чего у ребенка формируется базовое доверие к миру. Базовое доверие проявляется в легкости кормления хорошем сне ребенка нормальной работе кишечника умение ребенка спокойно ждать мать не кричит не зовет ребенок как бы уверен что мать придет и сделает то что нужно. Сильно выраженный дефицит...