19005

Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах

Лекция

Физика

Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах Установим вид функции Лагранжа простейших механических систем и уста...

Русский

2013-07-11

275 KB

27 чел.

Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах

Установим вид функции Лагранжа простейших механических систем и установим рецепт ее нахождения в тех или иных случаях. Для этого будем использовать ряд общих свойств пространства-времени, а также законы Ньютона так, чтобы в декартовых координатах уравнения Лагранжа переходили в законы Ньютона.

Принцип относительности Галилея

Для изучения механических явлений необходимо выбрать какую-то систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения будут иметь, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета (например, вращающуюся), то законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что для свободного тела, которое не взаимодействует с другими телами, его различные положения в пространстве и его различные ориентации будут не эквивалентны в механическом отношении. То же относится и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты могут быть неэквивалентны. Например, во вращающейся системе координат, свободное тело не могло бы покоиться. если скорость тела в некоторый момент времени и была бы равна нулю, то уже в следующий момент времени тело начало бы двигаться (относительно этой системы отсчета) в некотором направлении. однако, как показывает опыт всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время - однородным. Такая простейшая система отсчета называется инерциальной. В такой системе отсчета тело, покоящееся в некоторый момент времени , будет оставаться в покое неограниченно долго (эти утверждения, фактически, повторяют первый закон Ньютона).

Рассмотрим свободно движущуюся материальную точку в инерциальной системе отсчета. В силу однородности пространства и времени, функция Лагранжа такой точки не должна зависеть от величин  и . В силу изотропии пространства, она может зависеть только от величины скорости, но не от её направления, т.е. зависеть только от квадрата скорости . Поэтому, для свободной м.т. точки

    (1)

Свободная материальная точка имеет три степени свободы - . Выберем в качестве системы координат прямоугольную декартовую систему. Тогда , , . Система 3-х уравнений Лагранжа (см. конец предыдущей лекции) запишется так:

;       ;        (2)

Очень удобно использовать краткие символические обозначения, широко распространенные в физике:

Теперь с учетом этих определений систему 3-х уравнений можно записать в виде одного векторного уравнения:

    (3)

Поскольку в рассматриваемом случае , то уравнение Лагранжа (3) для свободной частицы будет выглядеть очень просто:

     (4)

Отсюда получаем, что . Используя символическое правило дифференцирования, запишем:

  (5)

Поскольку величина  - скалярная, то равенство (5) может быть выполнено только при условии, что

     (6)

Таким образом, в инерциальной системе отсчета движение свободного тела происходит с постоянной (по величине и по направлению) скоростью. Это утверждение составляет содержание закона инерции, т.е., фактически, первого закона Ньютона.

Если какая-то другая система отсчета движется относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, то она то же является инерциальной. Таким образом, существует бесчисленное множество инерциальных систем отсчета.

Опыт показывает, что все инерциальные системы полностью эквивалентны. Это утверждение составляет содержание одного из важнейших принципов механики – принципа относительности Галилея: Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы; одинаковы и все законы механики. Это значит, что все физические законы в любых инерциальных системах одинаковы. По отношению к механике это означает, что вид уравнений движения не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Все сказанное говорит об исключительности свойств инерциальных систем отсчета. Поэтому везде в дальнейшем, если не оговаривается особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета.

Определим теперь вид функции Лагранжа для одной свободной частицы. Как показано выше, в этом случае . При этом уравнения движения во всех инерциальных отчетах должны иметь один и тот же вид.

Пусть система  движется относительно  с постоянной скоростью . Тогда функция Лагранжа  в системе  должна перейти в такую функцию  в системе , которая, если и отличается от функции , то лишь на полную производную какой-то функции координат и времени. Поскольку , то

     ,  т.е.     (7)

Учитывая это, сразу получаем, что для свободной частицы ф. Лагранжа должна быть пропорциональна квадрату скорости:

    (8)

Уравнение Лагранжа для свободной частицы теперь будет выглядеть так:

,     т.е.       

Сравнивая это с уравнением второго закона Ньютона для свободной частицы  , находим, что . Здесь  - инертная масса тела. Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для функции Лагранжа одной свободной частицы:

    (9)

Отметим, что в этом пункте мы существенно воспользовались вторым законом Ньютона. Иначе мы не смогли бы понять, что есть .

Если механическая система состоит не из одной, а из  невзаимодействующих частиц, то в силу свойства аддитивности функции Лагранжа, получим

    (10)

Величина

     (11)

называется кинетической энергией - ой частицы.

Сумма кинетических энергий всех частиц есть полная кинетическая энергия системы:

    (12)

Таким образом, кинетическая энергия есть величина аддитивная.

Рассмотрим теперь систему  м.т., взаимодействующих только друг с другом, но ни с какими посторонними телами, не входящими в эту систему. Такая система называется замкнутой системой.

Оказывается, что в классической механике, когда скорости частиц малы по сравнению со скоростью света , взаимодействие между точками системы может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек, некоторой функции координат  . Конкретный вид этой функции зависит от характера взаимодействия между частицами. Величина  называется потенциальной энергией системы. С учетом сказанного, в самом общем виде, ф. Лагранжа для замкнутой системы из  м.т. в декартовой системе координат будет выглядеть так:

   (13)

Потенциальная энергия зависит от положения всех м.т.  в один и тот же момент времени . Это означает, что изменение положения хотя бы одной из них, мгновенно отражается на всех остальных. Следовательно, в классической механике считается, что взаимодействие между телами «распространяется» мгновенно, с бесконечно большой скоростью.

Зная функцию Лагранжа, можем записать систему уравнений Лагранжа в следующем символическом векторном виде:

,           (14)

Поскольку , а , то система уравнений (14) примет вид:

,       (15)

Вектор

   (16)

называется силой, действующей на -ю частицу, со стороны всех остальных частиц системы. Вместе с  сила зависит только от координат частиц, но не от их скоростей: . Теперь система уравнений Лагранжа запишется так:

    (17)

Таким образом, если в качестве обобщенных координат выбрать декартовы координаты, уравнения Лагранжа сводятся к системе уравнений второго закона Ньютона.

При решении большинства задач, оказывается удобным использовать не декартовы, а некоторые обобщенные координаты . В этом случае для написания функции. Лагранжа нужно произвести соответствующие преобразования. Прежде всего, нужно выразить все декартовы координаты точек через обобщенные координаты  :

.

Затем нужно выразить кинетическую энергию системы через выбранные обобщенные координаты. Т.к.

,

то

Обозначим

  (18)

Отсюда видно, что матрица  зависит только от обобщенных координат и является симметричной матрицей. Таким образом, в обобщенных координатах кинетическая энергия системы по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть и от обобщенных координат:

.

Теперь функцию Лагранжа запишем в виде:

  (19)

Рассмотрим несколько простых примеров.

Запишем кинетическую энергию м.т.  в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. При этом учтем, что независимо от выбора координат

    (20)

Здесь  - квадрат элемента дуги в соответствующих координатах.

1.  В декартовых координатах:

    (21)

2. В цилиндрических координатах:  - расстояние до оси ; - азимутальный угол в плоскости  .

.

.

Поэтому

    (22)

Величина  определяет быстроту удаления  или приближения  точки к оси . Величина  есть угловая скорость вращения частицы относительно оси . Знак величины  определяет направление вращения (если смотреть на плоскость  со стороны оси ) – против часовой стрелки - знак "плюс", а по часовой стрелке – знак "минус". Наконец, величина  определяет поступательную скорость движения относительно оси .

3. В сферических координатах: - расстояние до начала координат; - полярный угол; - азимутальный угол :

               ;

Поэтому

   (23)

6

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78191. Алгоритмы поиска кратчайших расстояний в графе 194.5 KB
  Требуется посетить все вершины графа и вернуться в исходную вершину минимизировав затраты на проезд или минимизировав время. Исходные данные – это граф дугам которого приписаны положительные числа – затраты на проезд или время необходимое для продвижения из одной вершины в другую. В общем случае граф является ориентированным и каждые две вершины соединяют две дуги – туда и обратно. Пусть требуется найти расстояния от 1й вершины до всех остальных.
78192. Алгоритмы поиска с возвращением 87.5 KB
  Рассмотрим общий случай, когда решение задачи имеет вид вектора (а1, а2,), длина которого не определена, но ограничена сверху некоторым (известным или неизвестным) числом r, а каждое аi является элементом некоторого конечного линейно упорядоченного множества
78193. Типы файлов. Организация файловой системы. Текстовые файлы. Нетипизированные файлы 109.5 KB
  В Паскале понятие файла употребляется в двух смыслах: как поименованная информация на внешнем устройстве внешний файл; как переменная файлового типа в Паскальпрограмме внутренний файл. С элементами файла можно выполнять только две операции: читать из файла и записывать в файл. Существует специальная ячейка памяти которая хранит адрес элемента файла предназначенного для текущей обработки записи или чтения. Этот адрес называется указателем или окном файла.
78195. Элементы системного программирования. Прерывания. Резидентные программы 118 KB
  Системным программированием называют разработку программ, которые выполняют действия, возлагаемые на ОС. Это операции с файлами, управление выполнением программ, работа с устройствами и т.д.
78196. Объектно-ориентированное программирование: объект, наследование, инкапсуляция, полиморфизм 117.5 KB
  Объекты представляют собою упрощенное, идеализированное описание реальных сущностей предметной области. Если соответствующие модели адекватны решаемой задаче, то работать с ними оказывается намного удобнее, чем с низкоуровневым описанием всех возможных свойств и реакций объекта.
78197. Инициализация и разрушение объектов. Виртуальная функция 68.5 KB
  В программе концепция полиморфизма реализуется при помощи виртуальных методов. Виртуальный метод объявляется в базовом объектном типе и в порожденных от базового типах. После его объявления должно быть помещено зарезервированное слово virtual.
78198. Массивы в С# 94.5 KB
  В языке С# массив относится к ссылочным типам данных, то есть располагается только в динамической памяти, поэтому создание массива начинается с выделения памяти под его элементы. Всем элементам при создании массива присваиваются значения по умолчанию – нули для значимых типов, и null для ссылочных.
78199. Базовые элементы языка Паскаль. Операторы ввода-вывода. Структура программ 170.5 KB
  Особое место в алфавите языка занимают пробелы, к которым относятся любые символы ASCII в диапазоне кодов от 0 до 32. Эти символы рассматриваются как ограничители идентификаторов, констант, чисел, зарезервированных слов. Несколько следующих друг за другом пробелов считаются одним пробелом (последнее не относится к строковым константам).