19005

Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах

Лекция

Физика

Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах Установим вид функции Лагранжа простейших механических систем и уста...

Русский

2013-07-11

275 KB

27 чел.

Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах

Установим вид функции Лагранжа простейших механических систем и установим рецепт ее нахождения в тех или иных случаях. Для этого будем использовать ряд общих свойств пространства-времени, а также законы Ньютона так, чтобы в декартовых координатах уравнения Лагранжа переходили в законы Ньютона.

Принцип относительности Галилея

Для изучения механических явлений необходимо выбрать какую-то систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения будут иметь, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета (например, вращающуюся), то законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что для свободного тела, которое не взаимодействует с другими телами, его различные положения в пространстве и его различные ориентации будут не эквивалентны в механическом отношении. То же относится и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты могут быть неэквивалентны. Например, во вращающейся системе координат, свободное тело не могло бы покоиться. если скорость тела в некоторый момент времени и была бы равна нулю, то уже в следующий момент времени тело начало бы двигаться (относительно этой системы отсчета) в некотором направлении. однако, как показывает опыт всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время - однородным. Такая простейшая система отсчета называется инерциальной. В такой системе отсчета тело, покоящееся в некоторый момент времени , будет оставаться в покое неограниченно долго (эти утверждения, фактически, повторяют первый закон Ньютона).

Рассмотрим свободно движущуюся материальную точку в инерциальной системе отсчета. В силу однородности пространства и времени, функция Лагранжа такой точки не должна зависеть от величин  и . В силу изотропии пространства, она может зависеть только от величины скорости, но не от её направления, т.е. зависеть только от квадрата скорости . Поэтому, для свободной м.т. точки

    (1)

Свободная материальная точка имеет три степени свободы - . Выберем в качестве системы координат прямоугольную декартовую систему. Тогда , , . Система 3-х уравнений Лагранжа (см. конец предыдущей лекции) запишется так:

;       ;        (2)

Очень удобно использовать краткие символические обозначения, широко распространенные в физике:

Теперь с учетом этих определений систему 3-х уравнений можно записать в виде одного векторного уравнения:

    (3)

Поскольку в рассматриваемом случае , то уравнение Лагранжа (3) для свободной частицы будет выглядеть очень просто:

     (4)

Отсюда получаем, что . Используя символическое правило дифференцирования, запишем:

  (5)

Поскольку величина  - скалярная, то равенство (5) может быть выполнено только при условии, что

     (6)

Таким образом, в инерциальной системе отсчета движение свободного тела происходит с постоянной (по величине и по направлению) скоростью. Это утверждение составляет содержание закона инерции, т.е., фактически, первого закона Ньютона.

Если какая-то другая система отсчета движется относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, то она то же является инерциальной. Таким образом, существует бесчисленное множество инерциальных систем отсчета.

Опыт показывает, что все инерциальные системы полностью эквивалентны. Это утверждение составляет содержание одного из важнейших принципов механики – принципа относительности Галилея: Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы; одинаковы и все законы механики. Это значит, что все физические законы в любых инерциальных системах одинаковы. По отношению к механике это означает, что вид уравнений движения не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Все сказанное говорит об исключительности свойств инерциальных систем отсчета. Поэтому везде в дальнейшем, если не оговаривается особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета.

Определим теперь вид функции Лагранжа для одной свободной частицы. Как показано выше, в этом случае . При этом уравнения движения во всех инерциальных отчетах должны иметь один и тот же вид.

Пусть система  движется относительно  с постоянной скоростью . Тогда функция Лагранжа  в системе  должна перейти в такую функцию  в системе , которая, если и отличается от функции , то лишь на полную производную какой-то функции координат и времени. Поскольку , то

     ,  т.е.     (7)

Учитывая это, сразу получаем, что для свободной частицы ф. Лагранжа должна быть пропорциональна квадрату скорости:

    (8)

Уравнение Лагранжа для свободной частицы теперь будет выглядеть так:

,     т.е.       

Сравнивая это с уравнением второго закона Ньютона для свободной частицы  , находим, что . Здесь  - инертная масса тела. Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для функции Лагранжа одной свободной частицы:

    (9)

Отметим, что в этом пункте мы существенно воспользовались вторым законом Ньютона. Иначе мы не смогли бы понять, что есть .

Если механическая система состоит не из одной, а из  невзаимодействующих частиц, то в силу свойства аддитивности функции Лагранжа, получим

    (10)

Величина

     (11)

называется кинетической энергией - ой частицы.

Сумма кинетических энергий всех частиц есть полная кинетическая энергия системы:

    (12)

Таким образом, кинетическая энергия есть величина аддитивная.

Рассмотрим теперь систему  м.т., взаимодействующих только друг с другом, но ни с какими посторонними телами, не входящими в эту систему. Такая система называется замкнутой системой.

Оказывается, что в классической механике, когда скорости частиц малы по сравнению со скоростью света , взаимодействие между точками системы может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек, некоторой функции координат  . Конкретный вид этой функции зависит от характера взаимодействия между частицами. Величина  называется потенциальной энергией системы. С учетом сказанного, в самом общем виде, ф. Лагранжа для замкнутой системы из  м.т. в декартовой системе координат будет выглядеть так:

   (13)

Потенциальная энергия зависит от положения всех м.т.  в один и тот же момент времени . Это означает, что изменение положения хотя бы одной из них, мгновенно отражается на всех остальных. Следовательно, в классической механике считается, что взаимодействие между телами «распространяется» мгновенно, с бесконечно большой скоростью.

Зная функцию Лагранжа, можем записать систему уравнений Лагранжа в следующем символическом векторном виде:

,           (14)

Поскольку , а , то система уравнений (14) примет вид:

,       (15)

Вектор

   (16)

называется силой, действующей на -ю частицу, со стороны всех остальных частиц системы. Вместе с  сила зависит только от координат частиц, но не от их скоростей: . Теперь система уравнений Лагранжа запишется так:

    (17)

Таким образом, если в качестве обобщенных координат выбрать декартовы координаты, уравнения Лагранжа сводятся к системе уравнений второго закона Ньютона.

При решении большинства задач, оказывается удобным использовать не декартовы, а некоторые обобщенные координаты . В этом случае для написания функции. Лагранжа нужно произвести соответствующие преобразования. Прежде всего, нужно выразить все декартовы координаты точек через обобщенные координаты  :

.

Затем нужно выразить кинетическую энергию системы через выбранные обобщенные координаты. Т.к.

,

то

Обозначим

  (18)

Отсюда видно, что матрица  зависит только от обобщенных координат и является симметричной матрицей. Таким образом, в обобщенных координатах кинетическая энергия системы по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть и от обобщенных координат:

.

Теперь функцию Лагранжа запишем в виде:

  (19)

Рассмотрим несколько простых примеров.

Запишем кинетическую энергию м.т.  в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. При этом учтем, что независимо от выбора координат

    (20)

Здесь  - квадрат элемента дуги в соответствующих координатах.

1.  В декартовых координатах:

    (21)

2. В цилиндрических координатах:  - расстояние до оси ; - азимутальный угол в плоскости  .

.

.

Поэтому

    (22)

Величина  определяет быстроту удаления  или приближения  точки к оси . Величина  есть угловая скорость вращения частицы относительно оси . Знак величины  определяет направление вращения (если смотреть на плоскость  со стороны оси ) – против часовой стрелки - знак "плюс", а по часовой стрелке – знак "минус". Наконец, величина  определяет поступательную скорость движения относительно оси .

3. В сферических координатах: - расстояние до начала координат; - полярный угол; - азимутальный угол :

               ;

Поэтому

   (23)

6

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22992. Акустичний аспект вивчення звукової будови мови 30.5 KB
  Акустичний аспект вивчення звукової будови мови Акустика розрізняє в звуках силу висоту довготу і тембр. Сила звука залежить від амплітуди розмаху коливання: чим більша амплітуда тим звук сильніший. Так скажімо що сильніше ударити по струні то більшою буде й амплітуда коливання і відповідно сила звука. Висота звука залежить від частоти коливань за одиницю часу: чим більша частота коливань тим вищий звук.
22993. Типологія наголосу в мовознавстві 38 KB
  Типологія наголосу в мовознавстві Наголос виділення в мовленні певної одиниці в ряду однорідних одиниць за допомогою фонетичних засобів. Залежно від того з якою сегментною одиницею функціонально співвідноситься наголос розрізняють словесний тактовий фразовий логічний і емфатичний наголос. Словесний наголос буває динамічним музикальним і кількісним. Динамічний силовий експіраторний наголос виділення вимова одного із складів слова такту більшою силою тобто сильнішим видихом струменя повітря.
22994. Інтонація, основні складники, функції 32 KB
  Інтонація основні складники функції Інтонація рух зміна динаміка тну що супроводжує висловлювання ритмікомелодійний малюнокмовлення. Інтонація складається з мелодики інтенсивності пауз темпу і тембру мовлення. Мелодика мовлення від гр. pausa припинення перерва у звучанні зупинка в потоці мовлення.
22995. Лінгвістичний аспект дослідження звукової будови мови 31 KB
  Третім аспектом у вивченні звуків є лінгвістичний який розглядає функції звуків у мові. Так скажімо опозиція [а] [и] [у] в українській мові є релевантною бо вона розрізняє значення слів дам дим дум. В англійській мові релевантною є опозиція [е] [л] [і] [і:] [з] [о:] [аз] [u:]: bet [bet] заклад парі but [b t] але крім bit [bit] кусок трошки beat [bi:t] бити удар bot [bot] личинка овода bought [bo:t] купив bat [bast] кажан boot [bu:t] черевик . Як бачимо в українській мові довгота чи короткість звука...
22996. Фонема, її функції, принципи виділення 31.5 KB
  Фонема її функції принципи виділення Фонема мінімальна звукова одиниця мови яка служить для розпізнавання й розрізнення значеннєвих одиниць морфем і слів. Отже звуки [а] [и] [у] [ґ] [г] в українській мові є окремими фонемами бо вони як свідчать вищенаведені приклади служать для розрізнення слів так само як звуки [е] [а] [і] [і:] [о] [з:] [ав] [и:] в англійській [а:] [а] в німецькій. Іншими словами фонема це мінімальна релевантна звукова одиниця. Фонема виконує дистинктивну від лат.
22997. Система фонем мови. Диференційні та інтегральні ознаки фонем 43 KB
  Диференційні та інтегральні ознаки фонем. Диференційні ознаки від лат. differentia різниця відмінність ознаки фонеми за якими розрізняють значення слів чи морфем Недиференційні або інтегральні ознаки від лат. integralis нероздільно пов'язаний з цілістю ознаки фонем які не розрізняють значень слів чи морфем.
22998. Критерій класифікації голосних фонем 31 KB
  Однак описати голосні звуки за тембром дуже складну; через що найпоширенішою класифікацією голосних є артикуляційна тобто за ступенем просування язика вперед або назад і ступенем його підняття при їх творенні. За цими ознаками голосні поділяються на голосні переднього середнього та заднього рядів і низького середнього та високого піднесення. Більшість голосних це голосні переднього і заднього рядів. За положенням губ під час артикуляції звуків розрізняють лабіалізовані і нелабіалізовані голосні.
22999. Критерій класифікації приголосних фонем 43 KB
  Критерій класифікації приголосних фонем За акустичною ознакою співвідношенням голосу й шуму приголосні поділяють на сонорні й шумні. Шумні приголосні у свою чергу поділяються на дзвінкі й глухі. Глухі приголосні творяться тільки шумом. З артикуляційного фізіологічного погляду приголосні класифікують за місцем творення і способом творення.
23000. Склад та складоподіл 50.5 KB
  Склад та складоподіл Склад – звук або комплекс звуків що вимовляється одним поштовхом видихуваного повітря мінімальна одиниця мовленнєвого потоку яка складається з максимально звучного звука і прилеглих до нього менш звучних звуків. Існує три теорії складу: еспіраторна мускульна напруга та сонорна. еспіраторна теорія еспіраторне визначення складу. 3гідно з нею склад це звук або комплекс звуків що вимовляється одним поштовхом видихуваного повітря.