19005

Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах

Лекция

Физика

Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах Установим вид функции Лагранжа простейших механических систем и уста...

Русский

2013-07-11

275 KB

28 чел.

Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах

Установим вид функции Лагранжа простейших механических систем и установим рецепт ее нахождения в тех или иных случаях. Для этого будем использовать ряд общих свойств пространства-времени, а также законы Ньютона так, чтобы в декартовых координатах уравнения Лагранжа переходили в законы Ньютона.

Принцип относительности Галилея

Для изучения механических явлений необходимо выбрать какую-то систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения будут иметь, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета (например, вращающуюся), то законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что для свободного тела, которое не взаимодействует с другими телами, его различные положения в пространстве и его различные ориентации будут не эквивалентны в механическом отношении. То же относится и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты могут быть неэквивалентны. Например, во вращающейся системе координат, свободное тело не могло бы покоиться. если скорость тела в некоторый момент времени и была бы равна нулю, то уже в следующий момент времени тело начало бы двигаться (относительно этой системы отсчета) в некотором направлении. однако, как показывает опыт всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время - однородным. Такая простейшая система отсчета называется инерциальной. В такой системе отсчета тело, покоящееся в некоторый момент времени , будет оставаться в покое неограниченно долго (эти утверждения, фактически, повторяют первый закон Ньютона).

Рассмотрим свободно движущуюся материальную точку в инерциальной системе отсчета. В силу однородности пространства и времени, функция Лагранжа такой точки не должна зависеть от величин  и . В силу изотропии пространства, она может зависеть только от величины скорости, но не от её направления, т.е. зависеть только от квадрата скорости . Поэтому, для свободной м.т. точки

    (1)

Свободная материальная точка имеет три степени свободы - . Выберем в качестве системы координат прямоугольную декартовую систему. Тогда , , . Система 3-х уравнений Лагранжа (см. конец предыдущей лекции) запишется так:

;       ;        (2)

Очень удобно использовать краткие символические обозначения, широко распространенные в физике:

Теперь с учетом этих определений систему 3-х уравнений можно записать в виде одного векторного уравнения:

    (3)

Поскольку в рассматриваемом случае , то уравнение Лагранжа (3) для свободной частицы будет выглядеть очень просто:

     (4)

Отсюда получаем, что . Используя символическое правило дифференцирования, запишем:

  (5)

Поскольку величина  - скалярная, то равенство (5) может быть выполнено только при условии, что

     (6)

Таким образом, в инерциальной системе отсчета движение свободного тела происходит с постоянной (по величине и по направлению) скоростью. Это утверждение составляет содержание закона инерции, т.е., фактически, первого закона Ньютона.

Если какая-то другая система отсчета движется относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, то она то же является инерциальной. Таким образом, существует бесчисленное множество инерциальных систем отсчета.

Опыт показывает, что все инерциальные системы полностью эквивалентны. Это утверждение составляет содержание одного из важнейших принципов механики – принципа относительности Галилея: Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы; одинаковы и все законы механики. Это значит, что все физические законы в любых инерциальных системах одинаковы. По отношению к механике это означает, что вид уравнений движения не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Все сказанное говорит об исключительности свойств инерциальных систем отсчета. Поэтому везде в дальнейшем, если не оговаривается особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета.

Определим теперь вид функции Лагранжа для одной свободной частицы. Как показано выше, в этом случае . При этом уравнения движения во всех инерциальных отчетах должны иметь один и тот же вид.

Пусть система  движется относительно  с постоянной скоростью . Тогда функция Лагранжа  в системе  должна перейти в такую функцию  в системе , которая, если и отличается от функции , то лишь на полную производную какой-то функции координат и времени. Поскольку , то

     ,  т.е.     (7)

Учитывая это, сразу получаем, что для свободной частицы ф. Лагранжа должна быть пропорциональна квадрату скорости:

    (8)

Уравнение Лагранжа для свободной частицы теперь будет выглядеть так:

,     т.е.       

Сравнивая это с уравнением второго закона Ньютона для свободной частицы  , находим, что . Здесь  - инертная масса тела. Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для функции Лагранжа одной свободной частицы:

    (9)

Отметим, что в этом пункте мы существенно воспользовались вторым законом Ньютона. Иначе мы не смогли бы понять, что есть .

Если механическая система состоит не из одной, а из  невзаимодействующих частиц, то в силу свойства аддитивности функции Лагранжа, получим

    (10)

Величина

     (11)

называется кинетической энергией - ой частицы.

Сумма кинетических энергий всех частиц есть полная кинетическая энергия системы:

    (12)

Таким образом, кинетическая энергия есть величина аддитивная.

Рассмотрим теперь систему  м.т., взаимодействующих только друг с другом, но ни с какими посторонними телами, не входящими в эту систему. Такая система называется замкнутой системой.

Оказывается, что в классической механике, когда скорости частиц малы по сравнению со скоростью света , взаимодействие между точками системы может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек, некоторой функции координат  . Конкретный вид этой функции зависит от характера взаимодействия между частицами. Величина  называется потенциальной энергией системы. С учетом сказанного, в самом общем виде, ф. Лагранжа для замкнутой системы из  м.т. в декартовой системе координат будет выглядеть так:

   (13)

Потенциальная энергия зависит от положения всех м.т.  в один и тот же момент времени . Это означает, что изменение положения хотя бы одной из них, мгновенно отражается на всех остальных. Следовательно, в классической механике считается, что взаимодействие между телами «распространяется» мгновенно, с бесконечно большой скоростью.

Зная функцию Лагранжа, можем записать систему уравнений Лагранжа в следующем символическом векторном виде:

,           (14)

Поскольку , а , то система уравнений (14) примет вид:

,       (15)

Вектор

   (16)

называется силой, действующей на -ю частицу, со стороны всех остальных частиц системы. Вместе с  сила зависит только от координат частиц, но не от их скоростей: . Теперь система уравнений Лагранжа запишется так:

    (17)

Таким образом, если в качестве обобщенных координат выбрать декартовы координаты, уравнения Лагранжа сводятся к системе уравнений второго закона Ньютона.

При решении большинства задач, оказывается удобным использовать не декартовы, а некоторые обобщенные координаты . В этом случае для написания функции. Лагранжа нужно произвести соответствующие преобразования. Прежде всего, нужно выразить все декартовы координаты точек через обобщенные координаты  :

.

Затем нужно выразить кинетическую энергию системы через выбранные обобщенные координаты. Т.к.

,

то

Обозначим

  (18)

Отсюда видно, что матрица  зависит только от обобщенных координат и является симметричной матрицей. Таким образом, в обобщенных координатах кинетическая энергия системы по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть и от обобщенных координат:

.

Теперь функцию Лагранжа запишем в виде:

  (19)

Рассмотрим несколько простых примеров.

Запишем кинетическую энергию м.т.  в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. При этом учтем, что независимо от выбора координат

    (20)

Здесь  - квадрат элемента дуги в соответствующих координатах.

1.  В декартовых координатах:

    (21)

2. В цилиндрических координатах:  - расстояние до оси ; - азимутальный угол в плоскости  .

.

.

Поэтому

    (22)

Величина  определяет быстроту удаления  или приближения  точки к оси . Величина  есть угловая скорость вращения частицы относительно оси . Знак величины  определяет направление вращения (если смотреть на плоскость  со стороны оси ) – против часовой стрелки - знак "плюс", а по часовой стрелке – знак "минус". Наконец, величина  определяет поступательную скорость движения относительно оси .

3. В сферических координатах: - расстояние до начала координат; - полярный угол; - азимутальный угол :

               ;

Поэтому

   (23)

6

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35385. Зміст державної політики у сфері охорони здоровя 93 KB
  Система органів управління охороною здоровя населення. Державна політика у галузі охорони здоровя. Шляхи вдосконалення державного управління у сфері охорони здоровя
35386. Тема: Робота з оболонкою Norton Commnder. 116 KB
  Ознайомитися з прийомами роботи у файлових менеджерах на прикладі оболонки Norton Commander.
35387. Тема: Створення файлу конфігурації системи config. 36 KB
  Ознайомитися з основними командами конфігурації системи MS - DOS і на підставі одержаних теоретичних відомостях написати прості файли конфігурації системи.
35389. Тема: Користувальницький інтерфейс MMC Windows. 4.34 MB
  Порожня консоль не має ніякої функціональної нагоди до тих пір поки в неї не додані оснащення. У меню Консоль Console виберіть пункт Додати видалити оснащення dd Remove Snpin. Відкриється вікно Додати Видалити оснащення. У цьому вікні перераховуються ізольовані оснащення і оснащення розширення які будуть додані в консоль або вже включені в неї.
35390. Охрана труда отдельных категорий работников 178 KB
  Условия и дополнительные гарантии труда женщин. Работы, на которых запрещается применение труда женщин. Ограничение труда женщин на определенных работах. Льготы для беременных женщин и женщин, имеющих детей. Охрана труда несовершеннолетних.
35391. Тема: Команди MSDOS: cls dte time copy del dir find mem mkdir lbel rd. 68 KB
  Для створення текстового файла потрібно ввести команду: copy соп [диск:] [шлях ] ім'я файла. Після введення цієї команди слід по черзі вводити рядки файла. Формат команди: del [диск:][шлях ]ім'я файла.DOC вилучення файла PET.
35392. Тема: Управління папками файлами і ярликами Мета: придбати уміння і навик роботи з папками і файлам 51.97 KB
  Індивідуальне завдання Для того щоб освоїти прийоми роботи з теками і файлами необхідно виконати наступне: 1 відкрити вікно папки диска D: і створити в ній скажімо папку Petrenko букви латинські;відкрив вікно паки диска Д за допомогою клавіші лівої мишіІ створив в ній папку Педренко За допомогою панелі інструментів правої кнопки миші2 створив папку за допомогою миші у файлі миші педренкооооо 2 перейменувати папку Petrenko в папку Петренко букви кирилиці; перейменувати за допомогою інтервалу клацання кнопки...
35393. Основи теорії держави та права 113.5 KB
  Держава - це суверенна політико-територіальна організація влади певної частини населення в соціальна неоднорідному суспільстві, що має спеціальний апарат управління і примусу, здатна за допомогою права робити свої веління загальнообовязковими для населення всієї країни, а також здійснювати керівництво та управління загальносуспільними справами.