19005

Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах

Лекция

Физика

Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах Установим вид функции Лагранжа простейших механических систем и уста...

Русский

2013-07-11

275 KB

28 чел.

Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах

Установим вид функции Лагранжа простейших механических систем и установим рецепт ее нахождения в тех или иных случаях. Для этого будем использовать ряд общих свойств пространства-времени, а также законы Ньютона так, чтобы в декартовых координатах уравнения Лагранжа переходили в законы Ньютона.

Принцип относительности Галилея

Для изучения механических явлений необходимо выбрать какую-то систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения будут иметь, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета (например, вращающуюся), то законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что для свободного тела, которое не взаимодействует с другими телами, его различные положения в пространстве и его различные ориентации будут не эквивалентны в механическом отношении. То же относится и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты могут быть неэквивалентны. Например, во вращающейся системе координат, свободное тело не могло бы покоиться. если скорость тела в некоторый момент времени и была бы равна нулю, то уже в следующий момент времени тело начало бы двигаться (относительно этой системы отсчета) в некотором направлении. однако, как показывает опыт всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время - однородным. Такая простейшая система отсчета называется инерциальной. В такой системе отсчета тело, покоящееся в некоторый момент времени , будет оставаться в покое неограниченно долго (эти утверждения, фактически, повторяют первый закон Ньютона).

Рассмотрим свободно движущуюся материальную точку в инерциальной системе отсчета. В силу однородности пространства и времени, функция Лагранжа такой точки не должна зависеть от величин  и . В силу изотропии пространства, она может зависеть только от величины скорости, но не от её направления, т.е. зависеть только от квадрата скорости . Поэтому, для свободной м.т. точки

    (1)

Свободная материальная точка имеет три степени свободы - . Выберем в качестве системы координат прямоугольную декартовую систему. Тогда , , . Система 3-х уравнений Лагранжа (см. конец предыдущей лекции) запишется так:

;       ;        (2)

Очень удобно использовать краткие символические обозначения, широко распространенные в физике:

Теперь с учетом этих определений систему 3-х уравнений можно записать в виде одного векторного уравнения:

    (3)

Поскольку в рассматриваемом случае , то уравнение Лагранжа (3) для свободной частицы будет выглядеть очень просто:

     (4)

Отсюда получаем, что . Используя символическое правило дифференцирования, запишем:

  (5)

Поскольку величина  - скалярная, то равенство (5) может быть выполнено только при условии, что

     (6)

Таким образом, в инерциальной системе отсчета движение свободного тела происходит с постоянной (по величине и по направлению) скоростью. Это утверждение составляет содержание закона инерции, т.е., фактически, первого закона Ньютона.

Если какая-то другая система отсчета движется относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, то она то же является инерциальной. Таким образом, существует бесчисленное множество инерциальных систем отсчета.

Опыт показывает, что все инерциальные системы полностью эквивалентны. Это утверждение составляет содержание одного из важнейших принципов механики – принципа относительности Галилея: Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы; одинаковы и все законы механики. Это значит, что все физические законы в любых инерциальных системах одинаковы. По отношению к механике это означает, что вид уравнений движения не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Все сказанное говорит об исключительности свойств инерциальных систем отсчета. Поэтому везде в дальнейшем, если не оговаривается особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета.

Определим теперь вид функции Лагранжа для одной свободной частицы. Как показано выше, в этом случае . При этом уравнения движения во всех инерциальных отчетах должны иметь один и тот же вид.

Пусть система  движется относительно  с постоянной скоростью . Тогда функция Лагранжа  в системе  должна перейти в такую функцию  в системе , которая, если и отличается от функции , то лишь на полную производную какой-то функции координат и времени. Поскольку , то

     ,  т.е.     (7)

Учитывая это, сразу получаем, что для свободной частицы ф. Лагранжа должна быть пропорциональна квадрату скорости:

    (8)

Уравнение Лагранжа для свободной частицы теперь будет выглядеть так:

,     т.е.       

Сравнивая это с уравнением второго закона Ньютона для свободной частицы  , находим, что . Здесь  - инертная масса тела. Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для функции Лагранжа одной свободной частицы:

    (9)

Отметим, что в этом пункте мы существенно воспользовались вторым законом Ньютона. Иначе мы не смогли бы понять, что есть .

Если механическая система состоит не из одной, а из  невзаимодействующих частиц, то в силу свойства аддитивности функции Лагранжа, получим

    (10)

Величина

     (11)

называется кинетической энергией - ой частицы.

Сумма кинетических энергий всех частиц есть полная кинетическая энергия системы:

    (12)

Таким образом, кинетическая энергия есть величина аддитивная.

Рассмотрим теперь систему  м.т., взаимодействующих только друг с другом, но ни с какими посторонними телами, не входящими в эту систему. Такая система называется замкнутой системой.

Оказывается, что в классической механике, когда скорости частиц малы по сравнению со скоростью света , взаимодействие между точками системы может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек, некоторой функции координат  . Конкретный вид этой функции зависит от характера взаимодействия между частицами. Величина  называется потенциальной энергией системы. С учетом сказанного, в самом общем виде, ф. Лагранжа для замкнутой системы из  м.т. в декартовой системе координат будет выглядеть так:

   (13)

Потенциальная энергия зависит от положения всех м.т.  в один и тот же момент времени . Это означает, что изменение положения хотя бы одной из них, мгновенно отражается на всех остальных. Следовательно, в классической механике считается, что взаимодействие между телами «распространяется» мгновенно, с бесконечно большой скоростью.

Зная функцию Лагранжа, можем записать систему уравнений Лагранжа в следующем символическом векторном виде:

,           (14)

Поскольку , а , то система уравнений (14) примет вид:

,       (15)

Вектор

   (16)

называется силой, действующей на -ю частицу, со стороны всех остальных частиц системы. Вместе с  сила зависит только от координат частиц, но не от их скоростей: . Теперь система уравнений Лагранжа запишется так:

    (17)

Таким образом, если в качестве обобщенных координат выбрать декартовы координаты, уравнения Лагранжа сводятся к системе уравнений второго закона Ньютона.

При решении большинства задач, оказывается удобным использовать не декартовы, а некоторые обобщенные координаты . В этом случае для написания функции. Лагранжа нужно произвести соответствующие преобразования. Прежде всего, нужно выразить все декартовы координаты точек через обобщенные координаты  :

.

Затем нужно выразить кинетическую энергию системы через выбранные обобщенные координаты. Т.к.

,

то

Обозначим

  (18)

Отсюда видно, что матрица  зависит только от обобщенных координат и является симметричной матрицей. Таким образом, в обобщенных координатах кинетическая энергия системы по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть и от обобщенных координат:

.

Теперь функцию Лагранжа запишем в виде:

  (19)

Рассмотрим несколько простых примеров.

Запишем кинетическую энергию м.т.  в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. При этом учтем, что независимо от выбора координат

    (20)

Здесь  - квадрат элемента дуги в соответствующих координатах.

1.  В декартовых координатах:

    (21)

2. В цилиндрических координатах:  - расстояние до оси ; - азимутальный угол в плоскости  .

.

.

Поэтому

    (22)

Величина  определяет быстроту удаления  или приближения  точки к оси . Величина  есть угловая скорость вращения частицы относительно оси . Знак величины  определяет направление вращения (если смотреть на плоскость  со стороны оси ) – против часовой стрелки - знак "плюс", а по часовой стрелке – знак "минус". Наконец, величина  определяет поступательную скорость движения относительно оси .

3. В сферических координатах: - расстояние до начала координат; - полярный угол; - азимутальный угол :

               ;

Поэтому

   (23)

6

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38208. Основні понятійні категорії теорії інформаційно-психологічних операцій 112.5 KB
  Аналіз закономірностей розвитку сучасного людства говорить про те, що світ знаходиться на порозі глобального інформаційного суспільства, суспільства цивілізаційних змін, що передвіщає кардинальні зміни у всіх сферах особистого та суспільного життя
38210. Основные категории регионального управления 72.5 KB
  Регион — территориальное образование на едином экономическом поле, выполняющее посредническую роль между макро- и микроэкономикой, обеспечивая оптимальное функционирование всех систем: экономических, социальных, политических, национальных в любой части пространства и тем самым в целом на определенной территории.
38211. Информационное обеспечение регионального управления 93.5 KB
  Научный подход - это стратегия исследования. От того, насколько обоснована с научных позиций региональная политика, зависит успех в социально-экономическом развитии региона. И, наоборот, игнорирование процесса познания, опора только на интуицию чреваты самыми отрицательными последствиями во всех сферах жизни людей, общества.
38212. ИНФОРМАЦИОННЫЙ РЫНОК И ОСОБЕННОСТИ ЕГО РАЗВИТИЯ В УКРАИНЕ 86.5 KB
  Информация сегодня важнейший ресурс и источник, обеспечивающий эффективное функционирование государства, межгосударственных отношений, различных регионов. Без развития информационной деятельности невозможен экономический рост и технический прогресс.
38213. Бурение с применением гибких труб 22.39 KB
  В настоящее время объёмы бурения им незначительны по причине высокой стоимости сложной эксплуатации.85 В отличие от других с поверхности можно задавать частоту оборотов то есть легче регулируются параметры бурения. Достоинства и недостатки роторного и турбинного бурения. Недостатки: Малая скорость механического бурения в пластичных и малоабразивных породах.
38214. Форматирование гибких и жестких дисков. Создание системных дисков 253.7 KB
  После перезагрузки форматируем диски в командном интерфейсе MS DOS утилитой FROMAT, для этого выполняем команду FORMAT C, на вопрос отвечаем положительно. С форматированием раздела D возникли проблемы т.к.
38215. Информационные основы управления природно-ресурсным потенциалом региона (ПРП) 142.5 KB
  На всех этапах развития производство материальных благ является процессом взаимодействия людей и природы. Дальнейшее развитие продуктивных сил неизбежно связанное с включением в хозяйственное обращение все большего количества естественных ресурсов и увеличением нагрузки на окружающую среду.