19006

Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Лекция

Физика

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и р

Русский

2013-07-11

1.35 MB

62 чел.

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и рецепты лагранжева подхода.

Для описания движения тех или иных механических систем необходимо:

  1.  Определить число степеней свободы механической системы;
  2.  Выбрать наиболее удобные обобщенные координаты , характеризующие данную систему;
  3.  Записать функцию Лагранжа системы. Для этого надо сначала написать функцию Лагранжа в декартовых координатах как разность кинетической и потенциальной энергии, причем кинетическая энергия в декартовых координатах определяется следующим выражением

Потенциальная энергия определяется взаимодействиями тел, и, как правило, формула для потенциальной энергии может быть легко установлена. Затем необходимо написать связи между декартовыми каждого тела, входящего в механическую систему и выбранными обобщенными координатами

Затем по обычному правилу найти производные по времени.

Подставить эти выражения, а также связи декартовых и обобщенных координат в выражение для кинетической и потенциальной энергии:

  1.  Затем следует по общему правилу записать систему из  дифференциальных уравнений Лагранжа:

;    

  1.  Решить полученную систему уравнений, воспользовавшись заданными начальными условиями

Рассмотрим несколько простейших примеров нахождения функции Лагранжа и получения уравнений Лагранжа.

Тело на наклонной плоскости. Пусть тело находится на наклонной плоскости и может совершать движение только в направлении наибыстрейшего спуска с наклонной плоскости (то есть только в вертикальной плоскости). Тогда у этой системы одна степень свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем декартову координату (ось направлена вдоль наклонной плоскости, начало координат – в произвольной точке; см. рисунок). Тогда кинетическая энергия рассматричваемого тела определяется очевидным соотношением . Потенциальная энергия данного тела – это потенциальная энергия силы тяжести. Если тот уровень, на котором находится начало координат, взять за начало отсчета потенциальной энергии, то при выбранном направлении оси , где  - ускорение свободного падения. Теперь находим функцию Лагранжа

Теперь частные производные

  

а затем уравнение Лагранжа

Обратим внимание на то, что уравнение получилось таким же как и уравнение, полученное из второго закона Ньютона после его проецирования на ось , но здесь силу реакции (силу связи) вообще не пришлось вводить – в этом одно из важных достоинств лагранжева метода в механике.

Рассмотрим теперь математический маятник, точечное тело привязанное к невесомой, нерастяжимой нити. Будем считать движение маятника плоским. Запишем функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа для плоского математического маятника длиной  в поле тяжести Земли. (см. рисунок).

Задача имеет одну степень свободы: .

В качестве обобщ. координаты выберем угол отклонения . Колебания происходят в плоскости . Ось  направим вниз. Роль связи играет длина нити маятника . Функцмя Лагранжа в декартовых координатах

.

Из рисунка находим связь между величинами  и углом отклонения :

 

Поскольку , то получаем 

,    .

Следовательно, для рассматриваемой задачи функция Лагранжа, выраженная через обобщенные координаты, имеет следующий вид:

.

Теперь можем записать уравнение Лагранжа:

,    т.е.   ,  

или  

,    где      .

Это уравнение позволяет в принципе определить закон колебания маятника при любых углах отклонения. Однако, только если угол отклонения маятника не велик:  и , мы получаем простое  приближенное уравнение для гармонических колебаний:

,

решение которого хорошо известно:

.

Амплитуда колебаний  и начальная фаза  ищутся из начальных условий: ;   . Используя эти условия, при малых колебаниях , из системы уравнений  и , получаем:

;          

Следует помнить, что величины  и - алгебраические. в зависимости от того, в какую сторону был отклонен маятник в начальный момент, и в каком направлении ему сообщили начальную скорость, они могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рассмотрим теперь горизонтальную спицу, по которой без трения может скользить маленькая бусинка. Спица вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее концов (см. рисунок). Найти зависимость расстояния от бусинки до оси вращения.

Поскольку никаких потенциальных сил на бусинку не действует, ее функция Лагранжа содержит только кинетическую энергию. В декартовых координатах функция Лагранжа имеет следующий вид

Поскольку в каждый момент времени положение спицы в пространстве определено (если, например, в начальный момент спица была направлена вдоль оси , то угол между спицей и осью  в момент времени  будет равен ), для задания положения бусинки нужна одна координата – расстояние между бусинкой и осью вращения. Поэтому у этой системы одна степень свободы. Выбираем в качестве обобщенной координаты расстояние между бусинкой и осью вращения . Связь декартовых и обобщенной координаты очевидна из рисунка

Дифференцируя эти функции и подставляя полученные производные в функцию Лагранжа, находим

Отсюда, находя частные производные функции Лагранжа по обобщенной скорости и координате, а затем дифференцируя первую по времени, стандартным методом получаем уравнение Лагранжа

Легко проверить, что решением этого дифференциального уравнения второго порядка будет следующая функция

где  и  - произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий (начальное положение и начальная скорость бусинки).

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77319. СТРУКТУРА F-ЗАМЫКАНИЙ В СРЕДЕ RiDE 36.5 KB
  Перечисление наборов глобальных имён блоков данных которое предполагалось давать в неком подобии дизъюнктивной нормальной формы: 1ый набор имён или 2ой набор. Такой момент наступает когда в ходе вычисления сформированы все блоки данных имена которых перечислены в одном из указанных наборов назовём такой набор готовым. C; аргументами для этого запуска служат уже сформированные блоки данных поименованные некоторым готовым набором. Мы называем блоки данных с перечисленными в S именами предпосылками для активации.
77320. Structure of f-closures of RiDE environment 29 KB
  Bkhterev The distributed computtion support system we propose RiDE is built round the simple formlism of fclosure f is from future. Originlly we imgine fclosure consisting of five following fields. This field defines the moment in time fter which the system my ctivte the given fclosure.
77321. ТРЕХМЕРНАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ В СИСТЕМЕ ИСКУССТВЕННОГО ВИДЕНИЯ ДЛЯ ПИЛОТОВ МАЛОЙ АВИАЦИИ 1.39 MB
  Это вызвано тем что данные летательные аппараты перемещаются на относительно небольшой высоте в области действия природного ландшафта и искусственных высотных объектов и управляются пилотом в ручном режиме а не на автопилоте. На основе этих данных пилотажный монитор должен в реальном режиме времени строить трёхмерное представление о реальной картине окружающей самолёт. Экран пилотажного монитора Программа пилотажного монитора получает данные от сервера данных о текущих параметрах полёта и в режиме реального времени строит соответствующее...
77322. C89 COMPILER FOR MCp 0411100101 CPU 21.5 KB
  Produced by «MultiClet» Corp. high performance processors of MCp family are based on original EPIC (Explicitly Parallel Instruction Computing) architecture. Traditional EPIC solutions with very long instruction words (VLIW) suggest to compose programs from words containing independent commands for different functional units
77323. DEVELOPMENT OF ENVIRONMENT FOR GRIDS VISUALIZATION 22 KB
  Strodubtsev IMM UrB RS UrFU Ekterinburg In our reserch tem during the lst decde the tools for grids visuliztion re designed nd developed. The second one is the visuliztion of grids which re results of lrge computing. Now the new system for visuliztion of grids t stge of genertion is under development.
77324. ЭФФЕКТИВНОСТЬ НИТЕЙ В СИСТЕМАХ С ОБЩЕЙ ПАМЯТЬЮ 29.5 KB
  Бахтерев ИММ УрО РАН Екатеринбург Традиционно считается что в системах с общей памятью разбивать вычисление на параллельно выполняющиеся задачи эффективней при помощи нитей а не процессов. Когда же уточняют то говорят о контексте исполнения связанным с TLB Trnsltion Lookside Buffer специальный кэш ускоряющий трансляцию виртуальных адресов в физические который нужно сбрасывать и заполнять новыми значениями при переключении процессора на исполнение разных процессов и которой можно не изменять при переключении на исполнение нитей одного...
77325. The RiDE.C microkernel 12 KB
  C microkernel M. t this point it is resonble to begin with description of microkernel RiDE. nd microkernel rchitecture ssumes to orgnize services mnging resources in the form of userlevel servers which re ccessed over interprocess communiction mchinery IPC nd over the stck of protocols built on IPC.C microkernel re determined by bsic intertsk exchnge protocol – RiDE.
77326. RiDE.L – programming language 12 KB
  Kosenko IMM UrB RS USU Yekterinburg With time ti is getting hrder to develop softwre for highperformnce computing HPC; the min reson for tht is the complexity grow of hrdwre rchitectures mthemticl models dt structures nd lgorithms complexity which re pplied in lrge computtions. The lnguges with clssicl compiler rchitectures trditionlly used in HPC: C C FORTRN Pscl – re not so good t hndling tht complexity s lter lnguges: Hskell JvScript Oz Ruby. The best in tht Hskell GHC even when breking hrmonious syntx nd semntic...
77327. DATAFLOW BASED DISTRIBUTED COMPUTING METHODS. SYSTEM PROTOTYPE 20.5 KB
  Different methods re pplied to simplify the progrmming nd execution of prllel progrms. On the one hnd universl tools for utomtic progrm prlleliztion both for execution on shred memory nd for multicomputer systems re being developed. The gol of tht design is to simplify prllel progrm development but without significnt loss in the effectiveness of the progrm codes execution. Term tsk nmes the progrm which reds during its execution the dt items with specific nmes from storge nd s the result...