19006

Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Лекция

Физика

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и р

Русский

2013-07-11

1.35 MB

60 чел.

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и рецепты лагранжева подхода.

Для описания движения тех или иных механических систем необходимо:

  1.  Определить число степеней свободы механической системы;
  2.  Выбрать наиболее удобные обобщенные координаты , характеризующие данную систему;
  3.  Записать функцию Лагранжа системы. Для этого надо сначала написать функцию Лагранжа в декартовых координатах как разность кинетической и потенциальной энергии, причем кинетическая энергия в декартовых координатах определяется следующим выражением

Потенциальная энергия определяется взаимодействиями тел, и, как правило, формула для потенциальной энергии может быть легко установлена. Затем необходимо написать связи между декартовыми каждого тела, входящего в механическую систему и выбранными обобщенными координатами

Затем по обычному правилу найти производные по времени.

Подставить эти выражения, а также связи декартовых и обобщенных координат в выражение для кинетической и потенциальной энергии:

  1.  Затем следует по общему правилу записать систему из  дифференциальных уравнений Лагранжа:

;    

  1.  Решить полученную систему уравнений, воспользовавшись заданными начальными условиями

Рассмотрим несколько простейших примеров нахождения функции Лагранжа и получения уравнений Лагранжа.

Тело на наклонной плоскости. Пусть тело находится на наклонной плоскости и может совершать движение только в направлении наибыстрейшего спуска с наклонной плоскости (то есть только в вертикальной плоскости). Тогда у этой системы одна степень свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем декартову координату (ось направлена вдоль наклонной плоскости, начало координат – в произвольной точке; см. рисунок). Тогда кинетическая энергия рассматричваемого тела определяется очевидным соотношением . Потенциальная энергия данного тела – это потенциальная энергия силы тяжести. Если тот уровень, на котором находится начало координат, взять за начало отсчета потенциальной энергии, то при выбранном направлении оси , где  - ускорение свободного падения. Теперь находим функцию Лагранжа

Теперь частные производные

  

а затем уравнение Лагранжа

Обратим внимание на то, что уравнение получилось таким же как и уравнение, полученное из второго закона Ньютона после его проецирования на ось , но здесь силу реакции (силу связи) вообще не пришлось вводить – в этом одно из важных достоинств лагранжева метода в механике.

Рассмотрим теперь математический маятник, точечное тело привязанное к невесомой, нерастяжимой нити. Будем считать движение маятника плоским. Запишем функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа для плоского математического маятника длиной  в поле тяжести Земли. (см. рисунок).

Задача имеет одну степень свободы: .

В качестве обобщ. координаты выберем угол отклонения . Колебания происходят в плоскости . Ось  направим вниз. Роль связи играет длина нити маятника . Функцмя Лагранжа в декартовых координатах

.

Из рисунка находим связь между величинами  и углом отклонения :

 

Поскольку , то получаем 

,    .

Следовательно, для рассматриваемой задачи функция Лагранжа, выраженная через обобщенные координаты, имеет следующий вид:

.

Теперь можем записать уравнение Лагранжа:

,    т.е.   ,  

или  

,    где      .

Это уравнение позволяет в принципе определить закон колебания маятника при любых углах отклонения. Однако, только если угол отклонения маятника не велик:  и , мы получаем простое  приближенное уравнение для гармонических колебаний:

,

решение которого хорошо известно:

.

Амплитуда колебаний  и начальная фаза  ищутся из начальных условий: ;   . Используя эти условия, при малых колебаниях , из системы уравнений  и , получаем:

;          

Следует помнить, что величины  и - алгебраические. в зависимости от того, в какую сторону был отклонен маятник в начальный момент, и в каком направлении ему сообщили начальную скорость, они могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рассмотрим теперь горизонтальную спицу, по которой без трения может скользить маленькая бусинка. Спица вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее концов (см. рисунок). Найти зависимость расстояния от бусинки до оси вращения.

Поскольку никаких потенциальных сил на бусинку не действует, ее функция Лагранжа содержит только кинетическую энергию. В декартовых координатах функция Лагранжа имеет следующий вид

Поскольку в каждый момент времени положение спицы в пространстве определено (если, например, в начальный момент спица была направлена вдоль оси , то угол между спицей и осью  в момент времени  будет равен ), для задания положения бусинки нужна одна координата – расстояние между бусинкой и осью вращения. Поэтому у этой системы одна степень свободы. Выбираем в качестве обобщенной координаты расстояние между бусинкой и осью вращения . Связь декартовых и обобщенной координаты очевидна из рисунка

Дифференцируя эти функции и подставляя полученные производные в функцию Лагранжа, находим

Отсюда, находя частные производные функции Лагранжа по обобщенной скорости и координате, а затем дифференцируя первую по времени, стандартным методом получаем уравнение Лагранжа

Легко проверить, что решением этого дифференциального уравнения второго порядка будет следующая функция

где  и  - произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий (начальное положение и начальная скорость бусинки).

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59522. Свято козацького роду (у дошкільному закладі) 79.5 KB
  Гостей дорогих ми вітаємо щиро Покозацьки стрічаємо з хлібом і миром. 2й учень: Для гостей відкрита Наша хата біла Тільки б чужа кривда До нас не забігла. 3й учень: Хліб духмяний в хаті Сяють очі щирі Хай живеться в правді Хай живеться в мирі.
59523. Сценарій до Дня української писемності й мови: “Рідна мова чиста, як роса” 70.5 KB
  1й учень О слово рідне Пращура молитво Громи Перука Велеса поля Софія Київська творіння Ярослава Словяномовна праведна земля. 2й учень В мені в тобі Бояна віщим співом Воно живе здолавши тьму віків Воно Мстиславича Романа голос і ратний клич Данилових полків.
59524. Сценарій КВК до дня правових знань 31 KB
  Познайомити учнів середніх класів з основними правознавства. Виховувати у дітей почуття відповідальності за свої вчинки популяризувати правові закони формувати правову культуру школярів.
59525. Мову вивчай, а пильно про неї знай (свято рідної мови) 58 KB
  Рідна моя мова поетична пісенна Пелюсткова і ніжна як спів солов’я Як народу душа: щира добра натхненна Ти найкраща у світі бо рідна моя 1 Учениця: Скільки в мові тепла і палкого кохання Туги й щастя дзвінкого і світла душі...
59526. Бал казок. Сценарій виховного заходу 42.5 KB
  Дійові особи: Принц Попелюшки Принц Принцеси на горошині Принц Русалоньки князь Гвідон Ельф Морозенко Зайчик Гном Вовк Пєро. З вами міг би я погратись Та від сонця у кутку Мушу я сховатись Виходять два принци: Принц Попелюшки і Принцеси т горошині.
59527. Літературний сценарій дитячого новорічного свята: “Новорічні пригоди” 88.5 KB
  На сцену підстрибуючи підкрадається Баба Яга і Капосник. Прослухавши Глашатаїв вони починають прозиватись дражнитись і кидати шишками в Глашатаїв Глашатай І: Ой що це Глашатай ІІ: Що відбувається Баба Яга...
59528. Хто не бачив наші гори - не бачив Карпати, завітайте до нас в гості раді Вас вітати 122.5 KB
  Мета: Ознайомити учнів з історією рідного краю, її традиціями, виховувати в них національну свідомість, виховувати любов до рідної землі. Обладнання: грамзаписи, трембіти, вишиті рушники, хліб.
59529. Сценарій свята. Міс Весна 91.5 KB
  Приміщення прикрашене гірляндами із квітів, кольоровими стрічками, рожевими, червоними та білими повітряними кульками. Стільці для глядачів розставлені по периметру залу.
59530. Сценарій. Моя барвиста Україна (свято в 6 класі) 40.5 KB
  А хто переможе в нашій конкурсній програмі визначатиме досвідчене й уважне журі. Перший конкурс програми має назву Подорож містами України. Ведучі проводять перший конкурс. Конкурс Подорож містами України Обом командам роздають карти...