19006

Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Лекция

Физика

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и р

Русский

2013-07-11

1.35 MB

58 чел.

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и рецепты лагранжева подхода.

Для описания движения тех или иных механических систем необходимо:

  1.  Определить число степеней свободы механической системы;
  2.  Выбрать наиболее удобные обобщенные координаты , характеризующие данную систему;
  3.  Записать функцию Лагранжа системы. Для этого надо сначала написать функцию Лагранжа в декартовых координатах как разность кинетической и потенциальной энергии, причем кинетическая энергия в декартовых координатах определяется следующим выражением

Потенциальная энергия определяется взаимодействиями тел, и, как правило, формула для потенциальной энергии может быть легко установлена. Затем необходимо написать связи между декартовыми каждого тела, входящего в механическую систему и выбранными обобщенными координатами

Затем по обычному правилу найти производные по времени.

Подставить эти выражения, а также связи декартовых и обобщенных координат в выражение для кинетической и потенциальной энергии:

  1.  Затем следует по общему правилу записать систему из  дифференциальных уравнений Лагранжа:

;    

  1.  Решить полученную систему уравнений, воспользовавшись заданными начальными условиями

Рассмотрим несколько простейших примеров нахождения функции Лагранжа и получения уравнений Лагранжа.

Тело на наклонной плоскости. Пусть тело находится на наклонной плоскости и может совершать движение только в направлении наибыстрейшего спуска с наклонной плоскости (то есть только в вертикальной плоскости). Тогда у этой системы одна степень свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем декартову координату (ось направлена вдоль наклонной плоскости, начало координат – в произвольной точке; см. рисунок). Тогда кинетическая энергия рассматричваемого тела определяется очевидным соотношением . Потенциальная энергия данного тела – это потенциальная энергия силы тяжести. Если тот уровень, на котором находится начало координат, взять за начало отсчета потенциальной энергии, то при выбранном направлении оси , где  - ускорение свободного падения. Теперь находим функцию Лагранжа

Теперь частные производные

  

а затем уравнение Лагранжа

Обратим внимание на то, что уравнение получилось таким же как и уравнение, полученное из второго закона Ньютона после его проецирования на ось , но здесь силу реакции (силу связи) вообще не пришлось вводить – в этом одно из важных достоинств лагранжева метода в механике.

Рассмотрим теперь математический маятник, точечное тело привязанное к невесомой, нерастяжимой нити. Будем считать движение маятника плоским. Запишем функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа для плоского математического маятника длиной  в поле тяжести Земли. (см. рисунок).

Задача имеет одну степень свободы: .

В качестве обобщ. координаты выберем угол отклонения . Колебания происходят в плоскости . Ось  направим вниз. Роль связи играет длина нити маятника . Функцмя Лагранжа в декартовых координатах

.

Из рисунка находим связь между величинами  и углом отклонения :

 

Поскольку , то получаем 

,    .

Следовательно, для рассматриваемой задачи функция Лагранжа, выраженная через обобщенные координаты, имеет следующий вид:

.

Теперь можем записать уравнение Лагранжа:

,    т.е.   ,  

или  

,    где      .

Это уравнение позволяет в принципе определить закон колебания маятника при любых углах отклонения. Однако, только если угол отклонения маятника не велик:  и , мы получаем простое  приближенное уравнение для гармонических колебаний:

,

решение которого хорошо известно:

.

Амплитуда колебаний  и начальная фаза  ищутся из начальных условий: ;   . Используя эти условия, при малых колебаниях , из системы уравнений  и , получаем:

;          

Следует помнить, что величины  и - алгебраические. в зависимости от того, в какую сторону был отклонен маятник в начальный момент, и в каком направлении ему сообщили начальную скорость, они могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рассмотрим теперь горизонтальную спицу, по которой без трения может скользить маленькая бусинка. Спица вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее концов (см. рисунок). Найти зависимость расстояния от бусинки до оси вращения.

Поскольку никаких потенциальных сил на бусинку не действует, ее функция Лагранжа содержит только кинетическую энергию. В декартовых координатах функция Лагранжа имеет следующий вид

Поскольку в каждый момент времени положение спицы в пространстве определено (если, например, в начальный момент спица была направлена вдоль оси , то угол между спицей и осью  в момент времени  будет равен ), для задания положения бусинки нужна одна координата – расстояние между бусинкой и осью вращения. Поэтому у этой системы одна степень свободы. Выбираем в качестве обобщенной координаты расстояние между бусинкой и осью вращения . Связь декартовых и обобщенной координаты очевидна из рисунка

Дифференцируя эти функции и подставляя полученные производные в функцию Лагранжа, находим

Отсюда, находя частные производные функции Лагранжа по обобщенной скорости и координате, а затем дифференцируя первую по времени, стандартным методом получаем уравнение Лагранжа

Легко проверить, что решением этого дифференциального уравнения второго порядка будет следующая функция

где  и  - произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий (начальное положение и начальная скорость бусинки).

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17796. ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ 244.53 KB
  Лекція 12. ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ Канонічні і параметричні рівняння прямої у тривимірному просторі Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана різними способами: двома точками точкою і напрямом перетином двох площин та ін. Нехай пряма пр
17797. Криві другого порядку 662.09 KB
  Лекція 13. Криві другого порядку Загальне рівняння кривої другого порядку Нагадаємо загальне рівняння поверхні другого порядку 1.5: a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz 2a23yz a10x a20y a00 = 0 5.1 Якщо поверхню другого порядку перетинає яканебудь площина поверхня першо
17798. Парабола 1021.92 KB
  Лекція 14 Парабола Нехай на площині дано точку F і пряму d яка не проходить через F. Геометричне місце точок площини рівновіддалених від фіксованої точки F та фіксованої прямої d що не проходить через точку F називається параболою. Точка F називається
17800. Поверхні другого порядку 3.67 MB
  Лекція 15. Поверхні другого порядку Загальне рівняння поверхні другого порядку Загальним рівнянням поверхні другого порядку називається рівняння виду 15.1 Розглянемо типи поверхонь які визначаються цим рівнянням. Довільна циліндрична поверх
17801. Обернена матриця 175.61 KB
  Лекція 7. Обернена матриця Матрицею А оберненою до квадратної матриці розміру n х n називається така для якої справедлива рівність 3.32 Наприклад легко перевірити рівність = Таким чином одна із перемножуваних матриць є оберненою від
17802. МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІЧНА СИСТЕМА 275.5 KB
  ТЕМА 1. МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІЧНА СИСТЕМА Предмет курсу €œміжнародна економіка€. Міжнародна економічна система: сутність та структура. Міжнародні економічні відносини. Міжнародна економічна діяльність. Сукупність національних економік. Класифікація країн за рівнем со
17803. Міжнародна торгівля 1.42 MB
  Міжнародна торгівля Місце міжнародної торгівлі в МЕВ. Світовий ринок товарів і послуг та особливості його розвитку в сучасних умовах. Показники масштабів структури динаміки й результативності міжнародної торгівлі. Еволюція теорій міжнародної торгівлі. Вид
17804. МІЖНАРОДНІ ІНВЕСТИЦІЇ 565.5 KB
  Причини і суть міжнародного руху капіталу. Форми іноземних інвестицій. Транснаціональні корпорації та їх роль в сучасному розвитку міжнародних економічних відносин. Стан та проблеми іноземного інвестування в Україні.