19006

Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Лекция

Физика

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и р

Русский

2013-07-11

1.35 MB

63 чел.

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и рецепты лагранжева подхода.

Для описания движения тех или иных механических систем необходимо:

  1.  Определить число степеней свободы механической системы;
  2.  Выбрать наиболее удобные обобщенные координаты , характеризующие данную систему;
  3.  Записать функцию Лагранжа системы. Для этого надо сначала написать функцию Лагранжа в декартовых координатах как разность кинетической и потенциальной энергии, причем кинетическая энергия в декартовых координатах определяется следующим выражением

Потенциальная энергия определяется взаимодействиями тел, и, как правило, формула для потенциальной энергии может быть легко установлена. Затем необходимо написать связи между декартовыми каждого тела, входящего в механическую систему и выбранными обобщенными координатами

Затем по обычному правилу найти производные по времени.

Подставить эти выражения, а также связи декартовых и обобщенных координат в выражение для кинетической и потенциальной энергии:

  1.  Затем следует по общему правилу записать систему из  дифференциальных уравнений Лагранжа:

;    

  1.  Решить полученную систему уравнений, воспользовавшись заданными начальными условиями

Рассмотрим несколько простейших примеров нахождения функции Лагранжа и получения уравнений Лагранжа.

Тело на наклонной плоскости. Пусть тело находится на наклонной плоскости и может совершать движение только в направлении наибыстрейшего спуска с наклонной плоскости (то есть только в вертикальной плоскости). Тогда у этой системы одна степень свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем декартову координату (ось направлена вдоль наклонной плоскости, начало координат – в произвольной точке; см. рисунок). Тогда кинетическая энергия рассматричваемого тела определяется очевидным соотношением . Потенциальная энергия данного тела – это потенциальная энергия силы тяжести. Если тот уровень, на котором находится начало координат, взять за начало отсчета потенциальной энергии, то при выбранном направлении оси , где  - ускорение свободного падения. Теперь находим функцию Лагранжа

Теперь частные производные

  

а затем уравнение Лагранжа

Обратим внимание на то, что уравнение получилось таким же как и уравнение, полученное из второго закона Ньютона после его проецирования на ось , но здесь силу реакции (силу связи) вообще не пришлось вводить – в этом одно из важных достоинств лагранжева метода в механике.

Рассмотрим теперь математический маятник, точечное тело привязанное к невесомой, нерастяжимой нити. Будем считать движение маятника плоским. Запишем функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа для плоского математического маятника длиной  в поле тяжести Земли. (см. рисунок).

Задача имеет одну степень свободы: .

В качестве обобщ. координаты выберем угол отклонения . Колебания происходят в плоскости . Ось  направим вниз. Роль связи играет длина нити маятника . Функцмя Лагранжа в декартовых координатах

.

Из рисунка находим связь между величинами  и углом отклонения :

 

Поскольку , то получаем 

,    .

Следовательно, для рассматриваемой задачи функция Лагранжа, выраженная через обобщенные координаты, имеет следующий вид:

.

Теперь можем записать уравнение Лагранжа:

,    т.е.   ,  

или  

,    где      .

Это уравнение позволяет в принципе определить закон колебания маятника при любых углах отклонения. Однако, только если угол отклонения маятника не велик:  и , мы получаем простое  приближенное уравнение для гармонических колебаний:

,

решение которого хорошо известно:

.

Амплитуда колебаний  и начальная фаза  ищутся из начальных условий: ;   . Используя эти условия, при малых колебаниях , из системы уравнений  и , получаем:

;          

Следует помнить, что величины  и - алгебраические. в зависимости от того, в какую сторону был отклонен маятник в начальный момент, и в каком направлении ему сообщили начальную скорость, они могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рассмотрим теперь горизонтальную спицу, по которой без трения может скользить маленькая бусинка. Спица вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее концов (см. рисунок). Найти зависимость расстояния от бусинки до оси вращения.

Поскольку никаких потенциальных сил на бусинку не действует, ее функция Лагранжа содержит только кинетическую энергию. В декартовых координатах функция Лагранжа имеет следующий вид

Поскольку в каждый момент времени положение спицы в пространстве определено (если, например, в начальный момент спица была направлена вдоль оси , то угол между спицей и осью  в момент времени  будет равен ), для задания положения бусинки нужна одна координата – расстояние между бусинкой и осью вращения. Поэтому у этой системы одна степень свободы. Выбираем в качестве обобщенной координаты расстояние между бусинкой и осью вращения . Связь декартовых и обобщенной координаты очевидна из рисунка

Дифференцируя эти функции и подставляя полученные производные в функцию Лагранжа, находим

Отсюда, находя частные производные функции Лагранжа по обобщенной скорости и координате, а затем дифференцируя первую по времени, стандартным методом получаем уравнение Лагранжа

Легко проверить, что решением этого дифференциального уравнения второго порядка будет следующая функция

где  и  - произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий (начальное положение и начальная скорость бусинки).

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46174. Массаж, значение, показания, противопоказания 94 KB
  История массажа В создании современного метода массажа русским ученым принадлежит огромная роль. Русскими врачами еще в прошлом столетии не только была проделана большая работа в области физиологического обоснования общего действия массажа на организм человека но и созданы отдельные приемы массажа в соответствии с их практической пригодностью в каждом отдельном случае расширены показания и противопоказания к назначению массажа. Еще до появления в свет шведской гимнастической системы и шведского врачебного массажа отец русской терапевтической...
46175. Отношение и развитие между людьми в первобытное время. Зарождение искусства, музыки и архитектуры в первобытное время 66.5 KB
  Люди в первобытных общинах были равноправными по своему положению имели одинаковые права и обязанности среди них не было богатых и бедных. Основой существования первобытных коллективов это равные обмены которые имели символистическую опору. Не было излишек все делили поровну для первобытных людей равный обмен помогал в общении. Очень несовершенными были также трудовые навыки и производственный опыт первобытных людей.
46176. Public Relations 47.5 KB
  Цель ПР установление двустороннего общения для выявления общих представлений или общих интересов и достижение взаимопонимания основанного на правде знании и полной информированности. Специалисты ПР используют для наведения мостов и установления взаимопонимания современные методы общения и убеждения. ТЕОРИЯ ОБЩЕНИЯ В философии ПР большое значение придается необходиимости двусторонних отношений. Сейчас эта необходимость признается достаточно широко но как ее достичь Недостаток общения порождает множество случаев непонимания и...
46177. PR - как теория коммуникативного воздействия. PR и другие науки 45 KB
  Для профессиональной практики в сфере связей с общественностью необходимы знания по психологии искусству коммуникации социальной психологии экономики основам менеджмента этики политологии социологии; а также опыт в анализе социальных проблем связям со средствами информации публикацией материалов создания рекламы кинотелематериалов видеосюжетов изучении общественного мнения подготовки презентаций докладов выступлений организации специальных событий. Специалист по PR получает базовую подготовку: в области планирования в...
46178. Глоссарий терминов и понятий института маркетинговых исследований в PR-коммуникации 113.5 KB
  Бюджет маркетинга финансовый план маркетинга система показателей раздел плана маркетинга предприятия в котором в детализированной форме по элементам комплекса маркетинга или по мероприятиям маркетинга приведены величины затрат доходов и прибыли от для осуществления маркетинговой деятельности фирмы. Планирование бюджета маркетинга может основываться на целевой прибыли или исходя из оптимизации прибыли. Основные составляющие затрат на маркетинг: управленческие расходы заработная плата персонала службы маркетинга амортизационные...
46179. Литогенез 211 KB
  Понятие осадочных горных пород.генез совокупность природных процессов образования и последующих изменений осадочных горных пород. Вальтером который выделил в процессе образования осадочных пород 5 основных фаз: выветривание горных пород денудация включая перенос исходного материала осадков отложение диагенез и метаморфизм. В цикле литогенеза различают следующие стадии: 1 образование и мобилизация исходного вещества осадков в процессе физического и химического разрушения материнских пород и его перенос к месту захоронения ...
46180. Структура научно-исследовательской работы. Требования к введению, реферату, основной части и заключению 64 KB
  Структура научно-исследовательской работы. Приложение задачи Введение Данная контрольная работа посвящена теме Структура научно-исследовательской работы. Целью написания данной работы является изучение структурных элементов научно-исследовательской работы.
46181. Анализ отчета о прибылях и убытках ОАО «Заря» 88 KB
  Как видно из таблицы 17, за отчетный период убыток от продаж увеличился на 427 тыс. руб., что является отрицательным моментом в деятельности предприятия. Что касается процентов к уплате, то их величина уменьшилась на 770 тыс. руб
46182. Ветеринарно-санитарная экспертиза продуктов животноводства и гигиены сельскохозяйственных животных 356 KB
  Вынужденный убой животных в вашем хозяйствеместо и способ убоя причины и пути реализации мяса сравните с действующими правилами и сделайте соответствующие выводы. Ветеринарносанитарная экспертиза продуктов убоя животных при отравлении. Вынужденный убой животных в вашем хозяйстве место и способ убоя причины и пути реализации мяса сравните с действующими правилами и сделайте соответствующие выводы.