19006

Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Лекция

Физика

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и р

Русский

2013-07-11

1.35 MB

63 чел.

Лекция 4. Примеры нахождения функции Лагранжа, составления уравнений Лагранжа и их использования для описания движения простейших механических систем

Рассмотрим применение метода Лагранжа к описанию движения простейших систем. Но сначала повторим основные идеи и рецепты лагранжева подхода.

Для описания движения тех или иных механических систем необходимо:

  1.  Определить число степеней свободы механической системы;
  2.  Выбрать наиболее удобные обобщенные координаты , характеризующие данную систему;
  3.  Записать функцию Лагранжа системы. Для этого надо сначала написать функцию Лагранжа в декартовых координатах как разность кинетической и потенциальной энергии, причем кинетическая энергия в декартовых координатах определяется следующим выражением

Потенциальная энергия определяется взаимодействиями тел, и, как правило, формула для потенциальной энергии может быть легко установлена. Затем необходимо написать связи между декартовыми каждого тела, входящего в механическую систему и выбранными обобщенными координатами

Затем по обычному правилу найти производные по времени.

Подставить эти выражения, а также связи декартовых и обобщенных координат в выражение для кинетической и потенциальной энергии:

  1.  Затем следует по общему правилу записать систему из  дифференциальных уравнений Лагранжа:

;    

  1.  Решить полученную систему уравнений, воспользовавшись заданными начальными условиями

Рассмотрим несколько простейших примеров нахождения функции Лагранжа и получения уравнений Лагранжа.

Тело на наклонной плоскости. Пусть тело находится на наклонной плоскости и может совершать движение только в направлении наибыстрейшего спуска с наклонной плоскости (то есть только в вертикальной плоскости). Тогда у этой системы одна степень свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем декартову координату (ось направлена вдоль наклонной плоскости, начало координат – в произвольной точке; см. рисунок). Тогда кинетическая энергия рассматричваемого тела определяется очевидным соотношением . Потенциальная энергия данного тела – это потенциальная энергия силы тяжести. Если тот уровень, на котором находится начало координат, взять за начало отсчета потенциальной энергии, то при выбранном направлении оси , где  - ускорение свободного падения. Теперь находим функцию Лагранжа

Теперь частные производные

  

а затем уравнение Лагранжа

Обратим внимание на то, что уравнение получилось таким же как и уравнение, полученное из второго закона Ньютона после его проецирования на ось , но здесь силу реакции (силу связи) вообще не пришлось вводить – в этом одно из важных достоинств лагранжева метода в механике.

Рассмотрим теперь математический маятник, точечное тело привязанное к невесомой, нерастяжимой нити. Будем считать движение маятника плоским. Запишем функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа для плоского математического маятника длиной  в поле тяжести Земли. (см. рисунок).

Задача имеет одну степень свободы: .

В качестве обобщ. координаты выберем угол отклонения . Колебания происходят в плоскости . Ось  направим вниз. Роль связи играет длина нити маятника . Функцмя Лагранжа в декартовых координатах

.

Из рисунка находим связь между величинами  и углом отклонения :

 

Поскольку , то получаем 

,    .

Следовательно, для рассматриваемой задачи функция Лагранжа, выраженная через обобщенные координаты, имеет следующий вид:

.

Теперь можем записать уравнение Лагранжа:

,    т.е.   ,  

или  

,    где      .

Это уравнение позволяет в принципе определить закон колебания маятника при любых углах отклонения. Однако, только если угол отклонения маятника не велик:  и , мы получаем простое  приближенное уравнение для гармонических колебаний:

,

решение которого хорошо известно:

.

Амплитуда колебаний  и начальная фаза  ищутся из начальных условий: ;   . Используя эти условия, при малых колебаниях , из системы уравнений  и , получаем:

;          

Следует помнить, что величины  и - алгебраические. в зависимости от того, в какую сторону был отклонен маятник в начальный момент, и в каком направлении ему сообщили начальную скорость, они могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рассмотрим теперь горизонтальную спицу, по которой без трения может скользить маленькая бусинка. Спица вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее концов (см. рисунок). Найти зависимость расстояния от бусинки до оси вращения.

Поскольку никаких потенциальных сил на бусинку не действует, ее функция Лагранжа содержит только кинетическую энергию. В декартовых координатах функция Лагранжа имеет следующий вид

Поскольку в каждый момент времени положение спицы в пространстве определено (если, например, в начальный момент спица была направлена вдоль оси , то угол между спицей и осью  в момент времени  будет равен ), для задания положения бусинки нужна одна координата – расстояние между бусинкой и осью вращения. Поэтому у этой системы одна степень свободы. Выбираем в качестве обобщенной координаты расстояние между бусинкой и осью вращения . Связь декартовых и обобщенной координаты очевидна из рисунка

Дифференцируя эти функции и подставляя полученные производные в функцию Лагранжа, находим

Отсюда, находя частные производные функции Лагранжа по обобщенной скорости и координате, а затем дифференцируя первую по времени, стандартным методом получаем уравнение Лагранжа

Легко проверить, что решением этого дифференциального уравнения второго порядка будет следующая функция

где  и  - произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий (начальное положение и начальная скорость бусинки).

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80562. Банківське кредитування підприємств 165.5 KB
  Слово «кредит» походить від латинського, що означає борг, позика. В сучасному понятті кредит - це капітал, який береться під позику у вигляді грошової форми і надається в тимчасове використання госпорганам на умовах забезпеченості, повернення, терміновості, оплати та цільового використання.
80563. Небанківське і міжнародне кредитування підприємств 280 KB
  Комерційний кредит — це одна з найперших форм кредитних відносин в економіці, саме він породив вексельний обіг і тим самим сприяв розвитку безготівкового грошового обігу. Основна мета комерційного кредиту — прискорення процесу реалізації товарів і отримання закладеного в них прибутку.
80564. Фінансове забезпечення інвестиційної діяльності 104 KB
  Згідно закону України Про інвестиційну діяльність інвестиції усі види майнових та інтелектуальних цінностей що вкладаються в обєкти підприємницької та фінансової діяльності в результаті чого створюється прибуток або досягається соціальний ефект. інвестиції це вкладення капіталу в обєкти підприємницької діяльності з метою забезпечення його зростання у майбутньому. Інвестиції розрізняють за видами. Фінансові інвестиції це активи які утримує підприємство з метою отримання прибутку за рахунок відсотків дивідендів зростання вартості...
80565. Оцінка ефективності інвестицій 180 KB
  Ефективність дохідність довготермінових облігацій може бути виміряна у вигляді: купонної дохідності норма відсотка облігації; ставки розміщення річної ставки складних відсотків. Ставка розміщення найбільш точно характеризує реальну фінансову ефективність облігації враховуючи всі види доходів від неї. Отже завдання вимірювання фінансової ефективності облігації зводиться до обчислення ставки розміщення у вигляді річної ставки складних відсотків. Нарахування відсотків за цією ставкою на ціну придбання облігації яка може відрізнятись від...
80566. Особливості фінансів малого бізнесу 232 KB
  Малий бізнес є найбільш поширеним сектором економіки. Відмінності між цими трьома видами бізнесу обумовлені різним рівнем суспільного поділу праці, характером спеціалізації га усуспільнення виробництва, а також вибором технологічного типу виробничого процесу.
80568. Направления совершенствования расчетного и кассового обслуживания клиентуры в Новоуренгойском отделении Сберегательного банка №8369 707.5 KB
  Сберегательный Банк Российской Федерации – старейший банк страны. Созданный в 1841 году как финансовый институт для малоимущих слоёв населения, он и по сегодняшний день остаётся единственным банком, который обслуживает наименее обеспеченные группы физических лиц.
80569. Процесс перевозки грузов автомобильным транспортом на примере ОО УМ «Газпромдорстрой» 718 KB
  Автомобильный транспорт состоит на пороге больших перемен. Меняются требования к его работе. Необходимо поднять использование автомобилей на новый более качественный уровень развития...
80570. РАЗРАБОТКА СТРАТЕГИЙ РАЗВИТИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ (НА ПРИМЕРЕ ИП «СОРОЧИНСКАЯ Л.В.») 482 KB
  Цель работы охарактеризовать деятельность работы магазина розничной торговли и выявить перспективы развития данного предприятия. В первой части содержатся теоретические аспекты разработки стратегии развития организации.