19007

Интегралы движения. Однородность времени и закон сохранения энергии. Однородность пространства и закон сохранения импульса

Лекция

Физика

Лекция 5. Интегралы движения. Однородность времени и закон сохранения энергии. Однородность пространства и закон сохранения импульса. Изотропность пространства и закон сохранения момента импульса Величины и меняются со временем. Однако существуют такие их комбина

Русский

2013-07-11

328.5 KB

28 чел.

Лекция 5. Интегралы движения. Однородность времени и закон сохранения энергии. Однородность пространства и закон сохранения импульса. Изотропность пространства и закон сохранения момента импульса

Величины  и  меняются со временем. Однако существуют такие их комбинации, которые со временем не изменяются, а сохраняют постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти комбинации называются интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой системы с  степенями свободы равно . Действительно, общее решение системы уравнений Лагранжа системы с  степенями свободы содержит  произвольных постоянных , ……. Уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно. Поэтому выбор начала отсчета времени произволен и одна из постоянных (например ) всегда может принята равной , и будет определять начало отсчета времени. Т.о., для замкнутой системы имеем:

   (1)

Исключая из этих уравнений величину , получим  уравнений, из которых можно определить все величины , .

Не все интегралы движения играют важную роль. Наибольшее значение имеют только те из них, происхождение которых связано с однородностью пространства и времени и с изотропностью пространства. Они, так же как и функция Лагранжа обладают важнейшим свойством аддитивности: их значение для системы, состоящей из нескольких подсистем, взаимодействием между которыми можно пренебречь, равно сумме их значений для каждой из подсистем в отдельности:

Именно это обстоятельство особенно ценно при решении задач. Для этого нужно, чтобы эти интегралы движения выражались линейной зависимостью от ф. Лагранжа .

Энергия

Т.к. время однородно, то для замкнутой системы выбор начала отсчета времени может быть произвольным. Другими словами, функция Лагранжа не должна изменяться при «переносе» во времени: , т.е. ф. Лагранжа не должна зависеть от времени явно:

,     т.е.          (2)

С учетом этого обстоятельства вычислим полную производную от функции Лагранжа по времени:

   (3)

Но из уравнений Лагранжа следует, что

Поэтому формулу (3) можно записать так:

,    т.е.       (4)

Последнее соотношение в (4) можно записать в виде:

   (5)

Величина, стоящая в фигурных скобках формулы (3.6) называется механической энергией системы:

    (6)

Из формулы (5) следует, что в замкнутой системе энергия сохраняется

      (7)

Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем в постоянных внешних полях, то есть в случае, когда  явно не зависит от времени

Покажем, что из определения энергии (6) следует обычная формула, известная из курса общей физики:

      (8)

Здесь  и  кинетическая и потенциальная энергия системы.

Используем декартовы координаты. Тогда

  (9)

.    (10)

Здесь  - символ Кронекера. Отсюда имеем:

   (11)

Следовательно, утверждение (8) доказано.

Импульс

Из однородности пространства следует, что механические свойства замкнутой системы не изменяются при параллельном переносе системы как целого в пространстве. Параллельный перенос это такое преобразование, при котором все точки системы смещаются на один и тот же отрезок, в то время как скорости всех точек системы не изменяются. Рассмотрим бесконечно малый перенос на отрезок . Тогда . Изменение  при таком переносе будет равно:

  (12)

Суммирование в формуле (12) производится по всем точкам системы. Т.к.  произвольно, то требование  при параллельном переносе, выглядит так:

    (13)

Поскольку в декартовых координатах кинетическая энергия не зависит от координат, то - сила, действующая на - ую частицу со стороны всех остальных частиц системы. Следовательно, условие (13) можно записать так: . Но это есть хорошо известное из общей физики утверждение, что сумма всех внутренних сил системы равна нулю, что является следствием третьего закона Ньютона.

Суммируя систему уравнений Лагранжа в декартовых координатах, запишем:

,          т.е.              (14)

По определению, величина, стоящая в фигурных скобках уравнения (14), называется полным импульсом системы материальных точек:

    (15)

в декартовых координатах , и из формулы (15) сразу получаем, что

    (16)

Здесь - импульс одной частицы.

Аддитивность полного импульса системы м. точек из формулы (16) очевидна. Более того, в отличие от энергии, импульс системы м. точек равен их сумме вне зависимости от возможности пренебрежения взаимодействием между ними.

В заключение этого раздела заметим, что величина

     (17)

называется обобщенным импульсом. Величина

     (18)

называется обобщенной силой. В этих обозначениях уравнения Лагранжа выглядят так:

,            (19)

Если ф. Лагранжа не зависит от какой-то обобщенной координаты , то такая координата называется циклической. В этом случае соответствующая обобщенная сила равна нулю: . Тогда из уравнения (3.20) следует, что соответствующий обобщенный импульс сохраняется:

    (20)

Момент импульса

Существует закон сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства. Это означает, что механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целого в пространстве, т.е. не изменяется вид уравнений движения. Но это означает, что функция Лагранжа замкнутой системы не должна изменяться при повороте системы координат. В отличие от параллельного переноса осей (которым мы пользовались при выводе закона сохранения импульса), при повороте изменяются не только радиус-вектора всех материальных точек, но и их скорости.

Перейдем от системы координат  к системе координат , повернутой относительно  на угол  относительно оси . Легко доказать, что если величину  рассматривать как вектор, для которого  есть величина угла поворота  вокруг выбранной оси поворота (в данном случае это ось ), а направление  связано с направлением оси правилом правого буравчика, то

     (21)

где  - изменение радиуса-вектора точки. Таким образом, в повернутой системе координат , радиус вектор - ой материальной точки есть

    (22)

Скорость - ой частицы в повернутой системе координат будет равна:

   (23)

Т.о. изменение вектора скорости при повороте системы координат будет определяться формулой:

     (24)

(Угол поворота для всех частиц один и тот же!). В силу изотропности пространства, изменение функции Лагранжа при повороте  системы координат должно равняться нулю:

  (25)

Поскольку, по определению , а из уравнений Лагранжа следует, что , то с учетом формул (3.23) и (3.24) получаем, что

   (26)

Учитывая правило циклической перестановки для смешанного произведения трех векторов, из формулы (26) получаем, что . Или

 (27)

Поскольку  величина произвольная, то из последнего равенства следует, что

    (28)

Величина, стоящая в фигурных скобках в формуле (28), называется моментом импульса системы материальных точек:

   (29)

Здесь  - момент импульса - ой м. Точки. Из формулы (28) следует, что момент импудьса замкнутой системы точек сохраняется.

В более ограниченном виде закон сохранения момента имеет место и для системы материальных точек, находящихся во внешнем поле. При этом сохраняется проекция момента импульса только на ту ось, относительно которой данное поле симметрично, так что функция Лагранжа инвариантна относительно поворота вокруг этой оси. При этом, конечно, начало координат должно находиться на самой оси. Если, например, в цилиндрической системе координат потенциальная энергия системы не будет зависеть от азимутального угла , т.е.

, то .

Можно доказать следующее утверждение: проекция полного момента импульса системы м. точек на любую ось (назовем её осью ), может быть определена по формуле:

    (30)

где  есть угол поворота вокруг этой оси.

Особое значение имеет закон сохранения момента импульса в центрально симметричном поле, в котором потенциальная энергия  зависит только от расстояния до некоторой определенной точки, которая называется центром поля. Любая ось, проходящая через центр поля, является осью симметрии. Поэтому в Ц.С. поле сохраняются все три проекции момента импульса, но только относительно центра поля :

,              если          (31)

Таким образом, всякая замкнутая система всегда имеет ровно семь аддитивных интегралов движения: энергия ; три проекции полного импульса  и три проекции момента импульса относительно любой точки пространства .

Если система не замкнута, то наличие или отсутствие аддитивных интегралов движения зависит от вида внешнего поля и определяется видом функции Лагранжа системы частиц в этом поле.

1. Если ф. Лагранжа не зависит явно от времени, т.е. , то ;

2. Если ф. Лагранжа не зависит от какой либо декартовой координаты (например ), т.е. , то .

3. Если поле обладает аксиальной симметрией относительно какой-либо оси (например, оси ), т.е. , то , причем начало координат должно лежать на оси симметрии.

4. В Ц.С. поле сохраняются все проекции момента импульса относительно центра поля .

5

A

B

C

C

B

A

A


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32226. Тактика предъявления обвинения и тактические основы допроса обвиняемого 40.5 KB
  Для эффективного его проведения следователю необходимо хорошо разбираться в психологии допрашиваемых уметь устанавливать с ними правильные взаимоотношения варьировать с учетом конкретной ситуации личности допрашиваемого имеющихся доказательств различные тактические приемы и методы психологического воздействия. Предметом допроса могут быть: обстоятельства входящие в предмет доказывания место время обстоятельства субъекты; обстоятельства необходимые для достижения промежуточных целей расследования; обстоятельства с помощью...
32227. Подготовка следователя к проведению следственного эксперимента 30 KB
  Подготовка следователя к проведению следственного эксперимента. При этом подготовительные действия обеспечиваемые следователем можно подразделить на два этапа: подготовка до выезда на место проведения эксперимента и непосредственно на месте до совершения самих опытных действий. На первом этапе следователь должен определить цель эксперимента т. Тщательное изучение этих материалов позволяет определить место время и условия производства эксперимента круг его участников и роль каждого из них.
32228. Составление плана расследования. Основные и вспомогательные формы планов 35 KB
  Составление плана расследования. Это приводит к необходимости планирования расследования различных дел во времени подготовка документов отчётов и т. 2 План расследования по конкретному преступлению. Составляется план расследования по версиям.
32229. Каноническое представление уравнения Эйлера 137.5 KB
  Например требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока который поворачивает платформу экскаватора. Динамика двигателя описывается уравнением равновесия моментов момент развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления: п.1 где Мдв=Смi момент развиваемый двигателем См постоянная двигателя i якорный ток J момент инерции приведенный к валу двигателя скорость вращения...
32230. Синтез оптимального управления при ограничениях на управляющее воздействие 163 KB
  Более эффективно решение задач синтеза оптимального управления при ограничениях управляющих воздействий осуществляется путем использования принципа максимума предложенного в 1956 году академиком Л. Принцип максимума является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Это условие положено в основу принципа максимума. Рассмотрим применение принципа максимума Понтрягина для решения задач оптимизации.
32231. Метод динамического программирования Р. Беллмана 1.14 MB
  6 величина определяется в соответствии с уравнениями 7.10 При условиях ; Оптимальное уравнение определяется в результате решения уравнения 7.10 можно заменить уравнениями в частных производных 7.4 получим Из уравнения получим П 7.
32232. Связь между принципами максимумами и динамическим программированием 359.5 KB
  17 является скалярным произведением векторов Ψ и X: Н = ψ 8. Вектор касателен к траектории t и нормален к векторам ψ и ψ что определяет оптимальный процесс перехода из в . Максимальное быстрое уменьшение J будет происходить очевидно что если вектор скорости Хточка в направлении убывании убывание J будет максимальным. Для обеспечения этого необходимо чтобы проекция вектора скорости движения изображающей точки Хточка на вектор отрицательной нормалям к поверхности J...
32233. Синтез оптимального по быстродействию программного управления 211 KB
  3 Где уравнение динамики объекта управления Поскольку то максимум функции Н реализуется одновременно с максимумом функции: 9. Решим задачу определения оптимального по быстродействию программного управления на примере объекта второго порядка: .1 То структурная схема объекта представлена на рис. Структурная схема объекта управления В соответствии со структурной схемой на рис.
32234. Синтез замкнутых систем управления, оптимальных по быстродействию 147 KB
  невозможно путём интегрирования уравнений объекта найти уравнения траекторий в nмерном пространстве.6 в этом случае можно представить относительно других координат: где i = 12n Тогда уравнения проекций фазовых траекторий на координатные плоскости при U = const будут иметь вид: Интегрируя это выражение получим: где ; координаты точек через которые проходит проекция 10.2 С помощью уравнений проекций фазовых траекторий определяем координаты точек переключений U.6 получим выражение...