19008

Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

Лекция

Физика

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

Русский

2013-07-11

301 KB

37 чел.

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

 Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

   (1)

Величина  - некоторая функция обобщенной координаты . Уравнение Лагранжа и начальные условия имеют вид:

   (2)

В общем виде, при произвольной потенциальной энергии , зависящей как от координаты , так и от времени , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е.

     (3)

Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости , по крайней мере в квадратурах.

Т.к. в этом случае , то  и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии:

     (4)

Из уравнения (5.4) находим, что

;              .     

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

    (5)

Его общее решение имеет вид:

   (6)

Решение уравнения (6) можно также  записать в виде:

    (7)

Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и разрешить относительно обобщенной координаты , то мы получим закон движения частицы в явном виде:  и задача будет полностью завершена.

Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия  и произвольная константа . Если величина  есть обычная декартова координата , то величина - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так:

   (8)

Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона:

  (9)

Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом:

     (10)

Отсюда находим, что

,   т.е.    (11)

так, что

  (12)

Решение уравнения (11) можно также записать в виде:

    (13)

Здесь

    (14)

    (15)

Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии  следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где

    (16)

Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. корни уравнения

      (17)

определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках  и, следовательно, .

Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит между этими точками в ограниченной области пространства. такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица уходит на бесконечность. Рассмотрим, например, зависимость , изображенную на рисунке. Проведя на этом рисунке горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии , можно сразу определить точки остановки  и области доступного движения.

На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» , между точками остановки  и . Область доступного инфинитного движения это область . достигнув точки , частица останавливается. в точке  на частицу действует сила , которая заставляет изменить направление движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область .

Вычисление периода одномерных колебаний

Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки  и . При этом время движения от  к  и обратно, от  к  одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой точке . Тогда

   (18)

Координаты точек остановки  и , определяемые из уравнения (17), зависят от энергии .

Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и собственную частоту  гармонических колебаний тела  на пружине жесткостью , если задана энергия системы .

Т.к. потенциальная энергия пружины , то формула (18) принимает вид:

/

Точки остановки   и  . Делая замену переменной интегрирования , приводим интеграл к виду

,

В результате имеем:.

Видим, что в поле , период колебаний не зависит от энергии системы. Не трудно сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле: .

3

(x)

C

U(x)

x

U(x)

A

B

E

C

xA

xB

E

E

xC


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6217. Формирование и хранение дел в делопроизводстве 61.5 KB
  Формирование и хранение дел в делопроизводстве Формирование дел - это группирование исполненных документов в дело в соответствии с номенклатурой дел и систематизация документов внутри дела. Порядок формирования и оформления дел должен быть изло...
6218. Формализация задачи принятия решения 120 KB
  Постановка задачи Характерным примером практической реализации методов формализованного представления систем является формализация и решение задачи принятия решения. Рассмотрим применение данных методов на фоне формализации данной задачи. Введ...
6219. Основы медицинской генетики. Человек как объект генетических исследований 52.5 KB
  Основы медицинской генетики. Человек как объект генетических исследований. Генетика человека изучает явления наследственности и изменчивости в популяциях людей, особенности наследования нормальных и патологических признаков, влияние генетической кон...
6220. Программное обеспечение для института селекции растений 535 KB
  Аннотация В данной курсовом проекте разработано программное обеспечение для института селекции растений на языке программирования С++. Эта программа создана для хранения, ввода-вывода и обработки информации о покупках (номер покупки растения, ...
6221. Лекарственные средства неорганической природы. Классификация. Вода очищенная и вода для инъекций. Фармакопейный анализ препаратов водорода пероксида 87 KB
  Лекарственные средства неорганической природы. Классификация. Вода очищенная и вода для инъекций. Фармакопейный анализ препаратов водорода пероксида Лекарственные препараты неорганической природы составляют значительную часть ассортимента лекарствен...
6222. Генетика онтогенеза 109.5 KB
  Генетика онтогенеза 1. Общая характеристика онтогенеза (самостоятельно) 2. Генетическая детерминация онтогенеза. Генотип и среда. Поливариантность онтогенеза. Программы онтогенеза 3. Механизмы реализации программ онтогенеза 1. Общая характеристика о...
6223. Гонорея. Хламидиоз. Трихомониаз 130.5 KB
  Содержание Гонорея. Хламидиоз. Трихомониаз. Определение Этиология Тактика среднего медицинского работника при данных заболеваниях Принципы лечения Особенности ухода за пациентами Диспансеризация Профилактика...
6224. Конкуренция и монополия 66.5 KB
  Конкуренция и монополия. Цели изучения темы: уяснение сущности и функций конкуренции, умение дифференцировать различные типы рыночных структур, измерение уровня концентрации рынка, понимание природы монополий. Основные термины и понятия: конкуренция...
6225. Перевод числа из инфиксной формы в постфиксную 199 KB
  Одной из главных причин, лежащих в основе появления языков программирования высокого уровня, являются вычислительные задачи, требующие больших объёмов рутинных вычислений. Поэтому к языкам программирования предъявлялись требования максима...