19008

Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

Лекция

Физика

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

Русский

2013-07-11

301 KB

42 чел.

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

 Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

   (1)

Величина  - некоторая функция обобщенной координаты . Уравнение Лагранжа и начальные условия имеют вид:

   (2)

В общем виде, при произвольной потенциальной энергии , зависящей как от координаты , так и от времени , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е.

     (3)

Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости , по крайней мере в квадратурах.

Т.к. в этом случае , то  и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии:

     (4)

Из уравнения (5.4) находим, что

;              .     

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

    (5)

Его общее решение имеет вид:

   (6)

Решение уравнения (6) можно также  записать в виде:

    (7)

Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и разрешить относительно обобщенной координаты , то мы получим закон движения частицы в явном виде:  и задача будет полностью завершена.

Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия  и произвольная константа . Если величина  есть обычная декартова координата , то величина - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так:

   (8)

Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона:

  (9)

Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом:

     (10)

Отсюда находим, что

,   т.е.    (11)

так, что

  (12)

Решение уравнения (11) можно также записать в виде:

    (13)

Здесь

    (14)

    (15)

Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии  следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где

    (16)

Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. корни уравнения

      (17)

определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках  и, следовательно, .

Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит между этими точками в ограниченной области пространства. такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица уходит на бесконечность. Рассмотрим, например, зависимость , изображенную на рисунке. Проведя на этом рисунке горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии , можно сразу определить точки остановки  и области доступного движения.

На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» , между точками остановки  и . Область доступного инфинитного движения это область . достигнув точки , частица останавливается. в точке  на частицу действует сила , которая заставляет изменить направление движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область .

Вычисление периода одномерных колебаний

Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки  и . При этом время движения от  к  и обратно, от  к  одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой точке . Тогда

   (18)

Координаты точек остановки  и , определяемые из уравнения (17), зависят от энергии .

Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и собственную частоту  гармонических колебаний тела  на пружине жесткостью , если задана энергия системы .

Т.к. потенциальная энергия пружины , то формула (18) принимает вид:

/

Точки остановки   и  . Делая замену переменной интегрирования , приводим интеграл к виду

,

В результате имеем:.

Видим, что в поле , период колебаний не зависит от энергии системы. Не трудно сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле: .

3

(x)

C

U(x)

x

U(x)

A

B

E

C

xA

xB

E

E

xC


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23626. Типовые топологии сетей 219.5 KB
  При создании сети в первую очередь следует выбрать топологию физических связей. Под топологией сети понимается конфигурация графа, вершинам которого аппаратура сети, а ребрам — физические связи между ними. Оборудование - узлы сети.
23628. Как я изучаю языки 706.5 KB
  Работая с этими языками я перевожу с одного на другой в любом сочетании и в перевод включаюсь мгновенно. Прежде чем приступить к работе связанной с применением итальянского испанского японского китайского или польского языка я чтобы освежить знания обычно трачу полдня просматривая свои записи. С остальными шестью языками я работаю только как переводчик художественной и специальной литературы то есть имею здесь лишь пассивную практику.
23629. СКОЛЬКО НА ПЛАНЕТЕ ЯЗЫКОВ 808 KB
  Сканировал и проверил Илья Франк СКОЛЬКО НА ПЛАНЕТЕ ЯЗЫКОВ На скольких языках говорят люди населяющие планету Ответить на этот вопрос казалось бы не так уж трудно. Но почему тогда разные ученые называют различное число языков планеты: одни говорят о 20 тысячах другие о 10 тысячах третьи о 5 тысячах а некоторые лингвисты полагают что население нашей планеты изъясняется всегонавсего на 2 тысячах языках. Но можно ли провести границу при исчислении количества языков между языком и его диалектом Мы знаем что на Юге России говорят не...
23630. ЯЗЫКОВОЕ РОДСТВО СЛАВЯНСКИХ НАРОДОВ 346 KB
  литовский белорус. белорусский нем. старославянский древнепрус. древнепрусский укр.
23631. Философия языка А.Ф.Лосева: типологический лик, генетические истоки, основные идеи и подходы 58 KB
  если слово не действенно и имя не реально. И вот рассмотреть его как имя я и дерзаю. имя. Имя откровение личности.
23632. Теория электропривода лекции 2.82 MB
  Общие сведения об энергетике электроприводов. Потери энергии в электроприводе. Потери энергии в переходных режимах. Нагрев и охлаждение электродвигателя. Номинальные режимы работы электродвигателя. Понятие о компенсации постоянной времени...
23633. Закон «Об обеспечении единства измерений». Государственная система обеспечения единства измерений в стране 19.86 KB
  Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ) - государственное управление субъектами, нормами, средствами и видами деятельности по обеспечению заданного уровня единства измерений в стране...
23634. МОРФОНОЛОГИЯ В ОПИСАНИИ ЯЗЫКОВ 433.5 KB
  Таково например противопоставление классов сильных и слабых глаголов в германских языках. например противопоставление сильных и слабых глаголов в германских языках противопоставление процессов словообразования происходящих с исконными и неисконными элементами лексики в современном английском языке разграничение первичных и вторичных основ типа другдружитьдрузья в русском языке и т. Из пяти русских глаголов на оть только один молоть маркирован морфонологически ср. Причина чередования лежит по нашему мнению в предотвращении...