19008

Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

Лекция

Физика

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

Русский

2013-07-11

301 KB

32 чел.

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

 Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

   (1)

Величина  - некоторая функция обобщенной координаты . Уравнение Лагранжа и начальные условия имеют вид:

   (2)

В общем виде, при произвольной потенциальной энергии , зависящей как от координаты , так и от времени , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е.

     (3)

Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости , по крайней мере в квадратурах.

Т.к. в этом случае , то  и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии:

     (4)

Из уравнения (5.4) находим, что

;              .     

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

    (5)

Его общее решение имеет вид:

   (6)

Решение уравнения (6) можно также  записать в виде:

    (7)

Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и разрешить относительно обобщенной координаты , то мы получим закон движения частицы в явном виде:  и задача будет полностью завершена.

Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия  и произвольная константа . Если величина  есть обычная декартова координата , то величина - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так:

   (8)

Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона:

  (9)

Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом:

     (10)

Отсюда находим, что

,   т.е.    (11)

так, что

  (12)

Решение уравнения (11) можно также записать в виде:

    (13)

Здесь

    (14)

    (15)

Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии  следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где

    (16)

Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. корни уравнения

      (17)

определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках  и, следовательно, .

Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит между этими точками в ограниченной области пространства. такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица уходит на бесконечность. Рассмотрим, например, зависимость , изображенную на рисунке. Проведя на этом рисунке горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии , можно сразу определить точки остановки  и области доступного движения.

На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» , между точками остановки  и . Область доступного инфинитного движения это область . достигнув точки , частица останавливается. в точке  на частицу действует сила , которая заставляет изменить направление движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область .

Вычисление периода одномерных колебаний

Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки  и . При этом время движения от  к  и обратно, от  к  одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой точке . Тогда

   (18)

Координаты точек остановки  и , определяемые из уравнения (17), зависят от энергии .

Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и собственную частоту  гармонических колебаний тела  на пружине жесткостью , если задана энергия системы .

Т.к. потенциальная энергия пружины , то формула (18) принимает вид:

/

Точки остановки   и  . Делая замену переменной интегрирования , приводим интеграл к виду

,

В результате имеем:.

Видим, что в поле , период колебаний не зависит от энергии системы. Не трудно сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле: .

3

(x)

C

U(x)

x

U(x)

A

B

E

C

xA

xB

E

E

xC


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21736. Интерфейсы и адаптеры дисплеев 327 KB
  В традиционной технике цветного телевизионного вещания PAL SECAM или NTSC видеосигнал непосредственно несет информацию о мгновенном значении яркости fн а цветовая информация передается в модулированном виде на дополнительных частотах fд . Таким образом обеспечивается совместимость чернобелого приемника игнорирующего цветовую информацию с цветным передающим каналом. fп 35МГц f МГц fд1 =443Мгц fн=45МГц fд2=46 МГц Однако для вывода графической информации с...
21737. Печатающие устройства 188.5 KB
  По способу печати принтеры разделяются на буквопечатающие и знакосинтезирующие что аналогично текстовому и графическому режимам дисплея а также последовательные и параллельные. В последовательных принтерах печать осуществляется поэлементно с продвижением по строке и после завершения печати одной строки переходят к печати следующей строки. Вместе с тем у них есть преимущество в качестве печатаемых символов а в ряде случаев и в скорости печати. Во время печати головка движется по строке слева направо и ударами иголок...
21738. Устройства хранения данных 237 KB
  Устройства хранения данных Вопросы: Общая характеристика устройств хранения данных. Общая характеристика устройств хранения данных. Утройства хранения данных относятся к внешней памяти компьютера они пзволяют сохранять информацию для последующего ее использования независимо от состояния включен или выключен компьютера. В устройствах хранения данных могут быть реализованы различные физические принципы хранения информации магнитный оптический электронный в любых их сочетаниях.
21739. Накопители на гибких магнитных дисках 323 KB
  С тех пор эти устройства претерпели относительно не большие изменения размер дискеты уменьшился почти в два раза а емкость возросла всего на порядок. Первые накопители использовали дискеты диаметром 525 133 мм для краткости обозначаемые как 5 заключенные в мягкие конверты рис. Поскольку дискеты НВ отличаются более высокой коэрцитивной силой носителя для них требуется более сильный ток записи чем для обычных дискет. Эти компактные дискеты заключены в пластмассовый конверт.
21740. Организация работ в очистных забоях. Основные понятия и определения 23.5 KB
  Организация производства – комплекс мероприятий направленный на рациональное сочетание процессов труда с вещественными элементами производства в пространстве и времени с целью повышения эффективности горного производства. Для разработки конкретных и детальных мероприятий по организации производственных процессов разрабатывается проект. В состав проекта входят графики работы очистных и подготовительных забоев определение типа бригады и выполняемых ею производственных процессов количество членов бригады их разряды нормы выработки и...
21741. Формы организации производства в очистных забоях 36 KB
  Цикличность ведение работ по циклам характеризуется повторяемостью выполнения определенных процессов в известной последовательности. Под циклом понимают совокупность всех процессов и операций выполняемых в определенной последовательности и объеме и необходимых для выемки полезных ископаемых по всей длине лавы очистного забоя на установленную паспортом величину подвигания забоя. Полный цикл совокупность всех процессов выполняемых в данном забое в определенном порядке и объеме необходимом для его подвигания на установленную величину...
21742. Проектирование организации очистных работ 23.5 KB
  Режим работы очистных забоев является исходным для составления проекта организации работ на добычном участке который включает графики организации производственных процессов в очистных и подготовительных забоях. Составление графиков организации очистных работдля случая когда режим работ и число циклов в сутки задано:для составления или корректировки необходимо посчитать объемы работ по каждому процессу и время для их выполнения; численность рабочих необходимых для выполнения каждого процесса комплексную норму выработки расценки. Для...
21743. Методика по выполнению раздела проекта: проектирование и организация работ в очистных забоях 65.5 KB
  Зависит от того задан ли режим работы рудника и число циклов в сутки либо режим работы и число циклов определяется как возможные в данных условиях. 1 Уточнить определить исходные данные задан ли режим работы и число циклов в скутки 2 Осуществляется анализ существующей организации производственных предприятий. Число производственных циклов в сутки по формуле: Кцп = 24 – число часов в сутки. коэффициент повторяемости – число повторений процессов подготовки на 1 цикл выемки полезного компонента.
21744. Организация производства подготовительных забоев 22 KB
  Время в течении которого выполняются все процессы проходческого цикла составляют продолжительность цикла. Процессы проходческого цикла могут выполняться последовательно или параллельно. При 2 способе продолжительность проходческого цикла сокращается и скорость в единицу времени повышается.