19008

Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

Лекция

Физика

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

Русский

2013-07-11

301 KB

38 чел.

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

 Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

   (1)

Величина  - некоторая функция обобщенной координаты . Уравнение Лагранжа и начальные условия имеют вид:

   (2)

В общем виде, при произвольной потенциальной энергии , зависящей как от координаты , так и от времени , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е.

     (3)

Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости , по крайней мере в квадратурах.

Т.к. в этом случае , то  и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии:

     (4)

Из уравнения (5.4) находим, что

;              .     

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

    (5)

Его общее решение имеет вид:

   (6)

Решение уравнения (6) можно также  записать в виде:

    (7)

Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и разрешить относительно обобщенной координаты , то мы получим закон движения частицы в явном виде:  и задача будет полностью завершена.

Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия  и произвольная константа . Если величина  есть обычная декартова координата , то величина - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так:

   (8)

Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона:

  (9)

Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом:

     (10)

Отсюда находим, что

,   т.е.    (11)

так, что

  (12)

Решение уравнения (11) можно также записать в виде:

    (13)

Здесь

    (14)

    (15)

Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии  следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где

    (16)

Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. корни уравнения

      (17)

определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках  и, следовательно, .

Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит между этими точками в ограниченной области пространства. такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица уходит на бесконечность. Рассмотрим, например, зависимость , изображенную на рисунке. Проведя на этом рисунке горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии , можно сразу определить точки остановки  и области доступного движения.

На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» , между точками остановки  и . Область доступного инфинитного движения это область . достигнув точки , частица останавливается. в точке  на частицу действует сила , которая заставляет изменить направление движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область .

Вычисление периода одномерных колебаний

Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки  и . При этом время движения от  к  и обратно, от  к  одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой точке . Тогда

   (18)

Координаты точек остановки  и , определяемые из уравнения (17), зависят от энергии .

Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и собственную частоту  гармонических колебаний тела  на пружине жесткостью , если задана энергия системы .

Т.к. потенциальная энергия пружины , то формула (18) принимает вид:

/

Точки остановки   и  . Делая замену переменной интегрирования , приводим интеграл к виду

,

В результате имеем:.

Видим, что в поле , период колебаний не зависит от энергии системы. Не трудно сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле: .

3

(x)

C

U(x)

x

U(x)

A

B

E

C

xA

xB

E

E

xC


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40954. Объявление и инициализация переменной типа bool. Вывод данных на консоль 97 KB
  Консолью называется окно операционной системы, в котором пользователи взаимодействуют с операционной системой. Приложение может считывать пользовательский ввод из стандартного входного потока, записывать обычные данные в стандартный выходной поток и записывать данные об ошибках в стандартный поток сообщений об ошибках.
40955. Оператор выбора switch 358 KB
  Пример using System; nmespce Consoleppliction5 { clss Progrm { sttic void Minstring[] rgs { int cseSwitch = 5; switch cseSwitch { cse 1: Console. Если за меткой cse нет списка операторов то операторы brek goto cse или goto defult необязательны В примере управление передается списку операторов следующему за меткой cse 2 using System; nmespce Consoleppliction5 {...
40956. Политические идеи современности 75 KB
  В наши дни наблюдается усиление прикладного характера современных политических идей их использования для решения конкретных социальных и экономических проблем. Для него характерно пристальное внимание к вопросам социальных гарантий политической демократии. С одной стороны социальная драма модели государственного социализма догматического марксизма и в то же время успех социалдемократии в решении социальных программ превращение в авторитетную политическую силу современности. Политическая дифференциация России выдвигает проблему...
40957. Пример использования делегата 112 KB
  Сортируемый класс Employee описывает данные о сотрудниках: код фамилия имя дата приема на работу заработная плата. Это реализуется определением в коде программы делегата: delegte bool CompreOpobject lhs object rhs; Сигнатуру метода сортировки Sort определим следующим образом: sttic public void Sortobject[] sortrry CompreOp gtMethod Параметр sortrry задает массив сортируемых объектов в рассматриваемом примере массив экземпляров класса Employee а параметр gtMethod метод принимающий два параметра и возвращающий true если...
40958. Концепция типов данных 121.5 KB
  C поддерживают концепцию соглашение типов данных которая включает следующие договорённости: каждая переменная константа выражение функция относятся к некоторому типу; тип объекта либо определяется по внешнему виду либо задаётся специальным описанием; тип Т определяет множество значений допустимых для данных этого типа множество допустимых операций множество функций определённых для данных этого типа Т. Тип Т = {DomT OPT FunT} { некоторая область памяти её размер способ представления...
40959. Использование двоичного кода 357.5 KB
  Т подходящее имя для обобщенного типа: public clss List T { } public clss LinkedList T { } если к обобщенному типу предъявляются специальные требования например что тип должен реализовывать интерфейс либо наследоваться от определенного класса или же используется два или более обобщенных типа в качестве параметров то следует применять осмысленные имена типов: public delegte void EventHndler TEventrgs object sender TEventrgs e; public delegte TOutput Converter TInput T0utput TInput from; public clss SortedList TKey...
40960. История политической социологии в России 48.5 KB
  Проблемы политического устройства; критика негативов политических отношений в России: произвола и бесправия масс; выдвижение идей демократизации общественнополитической жизни в трудах А. Социальнополитические программы и конституционные проекты демократического преобразования политического строя России политических лидеров и деятелей XIX начала XX веков Т. Основоположение ихлитической социологии как самостоятельной науки в России русский ученый М.
40961. Адреса ячеек в Excel 41 KB
  В Excel предусмотрен также удобный способ ссылки на ячейку путём присваивания этой ячейке произвольного собственного имени. Имена присваиваются ячейкам или диапазонам ячеек для придания наглядности вычислениям в таблице и удобства работы например собственными именами можно обозначать постоянные величины коэффициенты константы которые используются при выполнении Присвоить ячейке собственное имя или удалить имя можно с помощью команды ВСТАВКА Имя Присвоить или используя поле имени: Выделить ячейку или диапазон ячеек Щелкнуть...
40962. Слово і його значення. 173.5 KB
  Cyчcна ceмнтика грунтується на тких пpинципах: l cyтнicть як нзивєтьcя лeкcичним знчeнням це не нyкoвe пoняття пpo вiдпoвiднy piч звичйнe пoняття мoвця що iнкoли сyпpoвoджyєтьcя вжливими eмoцiйними oзнкми; 2 ця cyтніcть пoвинн вивoдитиcя із змicтoвнoгo тлyмчeння cлoв що гpyнтyєтьcя на ocнoвi мoвнoї oдиницi з її cтpyктypними влcтивocтями; 3 cлoв y мoвнoмy пoтoцi пoєднyютьcя не дoвiльно в злeжнocтi від їх знчeнь y вiдпoвiднocтi з лeкcичними i кoнcтpyктивними oзнкми які oбмeжyють i peгyлюють cпoлyчyвнicть.