19008

Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

Лекция

Физика

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

Русский

2013-07-11

301 KB

37 чел.

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

 Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

   (1)

Величина  - некоторая функция обобщенной координаты . Уравнение Лагранжа и начальные условия имеют вид:

   (2)

В общем виде, при произвольной потенциальной энергии , зависящей как от координаты , так и от времени , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е.

     (3)

Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости , по крайней мере в квадратурах.

Т.к. в этом случае , то  и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии:

     (4)

Из уравнения (5.4) находим, что

;              .     

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

    (5)

Его общее решение имеет вид:

   (6)

Решение уравнения (6) можно также  записать в виде:

    (7)

Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и разрешить относительно обобщенной координаты , то мы получим закон движения частицы в явном виде:  и задача будет полностью завершена.

Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия  и произвольная константа . Если величина  есть обычная декартова координата , то величина - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так:

   (8)

Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона:

  (9)

Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом:

     (10)

Отсюда находим, что

,   т.е.    (11)

так, что

  (12)

Решение уравнения (11) можно также записать в виде:

    (13)

Здесь

    (14)

    (15)

Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии  следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где

    (16)

Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. корни уравнения

      (17)

определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках  и, следовательно, .

Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит между этими точками в ограниченной области пространства. такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица уходит на бесконечность. Рассмотрим, например, зависимость , изображенную на рисунке. Проведя на этом рисунке горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии , можно сразу определить точки остановки  и области доступного движения.

На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» , между точками остановки  и . Область доступного инфинитного движения это область . достигнув точки , частица останавливается. в точке  на частицу действует сила , которая заставляет изменить направление движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область .

Вычисление периода одномерных колебаний

Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки  и . При этом время движения от  к  и обратно, от  к  одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой точке . Тогда

   (18)

Координаты точек остановки  и , определяемые из уравнения (17), зависят от энергии .

Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и собственную частоту  гармонических колебаний тела  на пружине жесткостью , если задана энергия системы .

Т.к. потенциальная энергия пружины , то формула (18) принимает вид:

/

Точки остановки   и  . Делая замену переменной интегрирования , приводим интеграл к виду

,

В результате имеем:.

Видим, что в поле , период колебаний не зависит от энергии системы. Не трудно сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле: .

3

(x)

C

U(x)

x

U(x)

A

B

E

C

xA

xB

E

E

xC


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19683. «Былое и думы» А.И. Герцена: поэтика, историческая концепция 35.5 KB
  Былое и думы А.И. Герцена: поэтика историческая концепция В 1854 году в Вольной русской типографии в Лондоне вышла в свет книга под названием Тюрьма и ссылка. Из записок Искандера. Это были первые печатные страницы Былого и дум А. И. Герцена. В свете общепринятых пре
19684. Народ в произведениях писателей-шестидесятников (очерки Н. Успенского) 42 KB
  Народ в произведениях писателейшестидесятников очерки Н. Успенского Жанр очерка был особенно любим писателями круга Современника вокруг которого после раскола в редакции группировались в основном писателиразночинцы именуемые обычно шестидесятниками. Н.В....
19685. «Подлиповцы» Ф.М. Решетникова: поэтика, выражение идеологии 35.5 KB
  Подлиповцы Ф.М. Решетникова: поэтика выражение идеологии Решетников: с 1847 учился в начальной школе затем в Пермском уездном училище. В 1855 за вынос из почтовой конторы пакетов был отдан под суд после длившегося два года судебного следствия был сослан на 3 месяца в Сол...
19686. «Очерки бурсы» Н.Г. Помяловского: идеология, поэтика 31 KB
  Очерки бурсы Н.Г. Помяловского: идеология поэтика. Помяловский родился в семье дьякона. Учился в АлександроНевском духовном училище. Окончил Петербургскую духовную семинарию 1857. По окончании в ожидании места читал по покойникам пел в церкви. В то же время занималс...
19687. Образ разночинца и его судьба в повестях Н.Г. Помяловского («Мещанское счастье», «Молотов») 32.5 KB
  Образ разночинца и его судьба в повестях Н.Г. Помяловского Мещанское счастье Молотов. Мещанское счастье и Молотов самые известные произведения писателя представляют собой дилогию в центре которой повествование о судьбе разночинца Молотова. Произведения з...
19688. Творческий путь Чернышевского 30 KB
  Творческий путь Чернышевского. Н. Г. Чернышевский 1828 1889 русский философутопист революционер редактор литературный критик публицист и писатель. Родился в Саратове в семье священника Гаврилы Ивановича Чернышевского 1793 1861. Учился дома под руководством отца много...
19689. «Что делать?»: идеология, поэтика, проблемы художественности 29.5 KB
  Что делать: идеология поэтика проблемы художественности. Огромная покоряющая сила романа Н.Г. Чернышевского заключалась в том что он убеждал в истинности передового в жизни убеждал что светлое социалистическое будущее возможно. Он отвечал на самый главный вопрос
19690. Творческий путь Некрасова 24 KB
  Творческий путь Некрасова. Н. А. Некрасов 1821 1877/78 пришел в литературу вскоре после гибели Пушкина и еще при жизни Лермонтова. Раннюю лирику поэта принято считать ученической подражательной перепевающей мотивы русских романтиков. Но уже в середине 40ч гг. им созданы поэ...
19691. Новаторство Некрасова как поэта 28.5 KB
  Новаторство Некрасова как поэта. Поэтический мир Некрасова удивительно богат и разнообразен. Талант которым щедро наградила его природа и необычайное трудолюбие помогли поэту создать такую многоголосую и напевную лирику. Поговорим о политической гражданской лири