19008

Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

Лекция

Физика

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

Русский

2013-07-11

301 KB

44 чел.

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

 Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

   (1)

Величина  - некоторая функция обобщенной координаты . Уравнение Лагранжа и начальные условия имеют вид:

   (2)

В общем виде, при произвольной потенциальной энергии , зависящей как от координаты , так и от времени , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е.

     (3)

Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости , по крайней мере в квадратурах.

Т.к. в этом случае , то  и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии:

     (4)

Из уравнения (5.4) находим, что

;              .     

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

    (5)

Его общее решение имеет вид:

   (6)

Решение уравнения (6) можно также  записать в виде:

    (7)

Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и разрешить относительно обобщенной координаты , то мы получим закон движения частицы в явном виде:  и задача будет полностью завершена.

Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия  и произвольная константа . Если величина  есть обычная декартова координата , то величина - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так:

   (8)

Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона:

  (9)

Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом:

     (10)

Отсюда находим, что

,   т.е.    (11)

так, что

  (12)

Решение уравнения (11) можно также записать в виде:

    (13)

Здесь

    (14)

    (15)

Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии  следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где

    (16)

Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. корни уравнения

      (17)

определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках  и, следовательно, .

Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит между этими точками в ограниченной области пространства. такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица уходит на бесконечность. Рассмотрим, например, зависимость , изображенную на рисунке. Проведя на этом рисунке горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии , можно сразу определить точки остановки  и области доступного движения.

На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» , между точками остановки  и . Область доступного инфинитного движения это область . достигнув точки , частица останавливается. в точке  на частицу действует сила , которая заставляет изменить направление движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область .

Вычисление периода одномерных колебаний

Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки  и . При этом время движения от  к  и обратно, от  к  одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой точке . Тогда

   (18)

Координаты точек остановки  и , определяемые из уравнения (17), зависят от энергии .

Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и собственную частоту  гармонических колебаний тела  на пружине жесткостью , если задана энергия системы .

Т.к. потенциальная энергия пружины , то формула (18) принимает вид:

/

Точки остановки   и  . Делая замену переменной интегрирования , приводим интеграл к виду

,

В результате имеем:.

Видим, что в поле , период колебаний не зависит от энергии системы. Не трудно сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле: .

3

(x)

C

U(x)

x

U(x)

A

B

E

C

xA

xB

E

E

xC


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83773. Нормы налогового права: понятие, особенности, виды норм налогового права 48.68 KB
  Особенности норм НП: 1 налоговые нормы отличаются от всех иных норм права по своему непосредственному целевому назначению 2 реализация большинства из них политически направлена в рамках внутренней и внешней экономической политики Признаки: 1 это правила поведения гарантированные государством 2 возлагают юридические обязанности и предоставляют субъективные права 3 имеют общеобязательный характер 4 всегда выражены в НПА 5 являются средством реализации публичных а не частных интересов 6 практически не имеют своего прототипа в...
83774. Налоговые правоотношения: понятие, признаки, структура 45.16 KB
  НК РФ законодательство о налогах и сборах регулирует властные отношения по установлению введению и взиманию налогов и сборов в РФ а также отношения возникающие в процессе осуществления налогового контроля обжалования актов налоговых органов действий бездействия их должностных лиц и привлечения к ответственности за совершение налогового правонарушения. Под воздействием правовых норм участники налоговых правоотношений наделяются правосубъектностью юридическими правами и обязанностями в налоговой сфере. Наряду с ней предпосылками...
83775. Субъекты налоговых правоотношений: общая характеристика 46.47 KB
  Точное определение субъекта налогового права имеет и практическое значение поскольку позволяет выявить круг лиц вступающих в налоговые отношения и действия которых влекут юридически значимые последствия. Наличие критериев позволяющих относить какоелибо физическое или юридическое лицо к субъектам налогового права дает возможность установить какие лица и их действия подпадают под юрисдикцию законодательства о налогах и сборах. Только субъекты налогового права могут иметь права и нести обязанности предусмотренные НК РФ и принятыми в...
83776. Правовой статус налогоплательщиков, налоговых агентов и налоговых представителей 57.26 KB
  Возникновение обстоятельств влекущих уплату суммы налога или сбора служит юридическим фактом на основании которого субъект налогового права приобретает статус участника налоговых правоотношений. 11 НК РФ указывает что физические лица осуществляющие предпринимательскую деятельность без образования юридического лица но не зарегистрировавшиеся в качестве индивидуальных предпринимателей в нарушение требований гражданского законодательства при исполнении налоговых обязанностей не вправе ссылаться на то что они не являются индивидуальными...
83777. Банки как субъекты налогового права. Иные участники налоговых отношений 49.16 KB
  Иные участники налоговых отношений. 9 НК РФ к участникам налоговых отношений регулируемых законодательством о налогах и сборах фактически они таковыми являются и обладают специальным налоговоправовым статусом. Банки являются субъектами налоговых правоотношений обеспечивающими налоговые изъятия и наделенными в связи с этим соответствующими правами и обязанностями. Участие банков в налоговых отношениях носит более сложный по сравнению с иными участниками налоговых отношений регулируемых законодательством о налогах и сборах характер.
83778. Правовой статус налоговых органов. Их права и обязанности. Обязанности должностных лиц налоговых органов 43.23 KB
  Обязанности должностных лиц налоговых органов. Правовой статус налоговых органов РФ объем и характер прав и обязанностей системы налоговых органов России строго определенных законодательством. Правовое положение налоговых органов обусловлено их местом в системе органов государственного управления страны наделением их над ведомственными полномочиями по отношению к организационно неподчиненным объектам управления по контролю за соблюдением налогового законодательства правильностью их исчисления полнотой и своевременностью внесения в...
83779. Правовой статус таможенных органов, финансовых органов, органов внутренних дел, следственных органов 44.78 KB
  Таможенные органы пользуются правами и несут обязанности налоговых органов по взиманию налогов при перемещении товаров через таможенную границу Таможенного союза в соответствии с таможенным законодательством ТС и законодательством РФ о таможенном деле. При исполнении указанных функций таможенные органы и их должностные лица реализовывают в пределах своей компетенции права и обязанности налоговых органов ст. В ходе проведения контрольных мероприятий таможенные органы вправе: запрашивать документы и сведения в том числе в форме электронных...
83780. Исполнение обязанности по уплате налогов и сборов. Объекты налогообложения. Принципы определения цены товаров, работ или услуг для целей налогообложения 44.19 KB
  Сущность исполнения налоговой обязанности заключается в уплате налога или сбора. Налоговая обязанность возникает с момента возникновения установленных налоговым законодательством обстоятельств предусматривающих уплату конкретного налога или сбора. Так вот обстоятельствами с которыми налоговое законодательство связывает возникновение налоговой обязанности являются следующие: вопервых это наличие объекта конкретного налога или сбора; вовторых это наличие непосредственной связи между этим объектом и субъектом налогоплательщиком. И...
83781. Исполнение обязанности по уплате налогов и сборов. Основания возникновения, изменения и прекращения обязанности по уплате налогов и соборов; порядок исчисления налогов; взыскание налога за счет денежных средств и иного имущества налогоплательщика 46.34 KB
  Основания возникновения изменения и прекращения обязанности по уплате налогов и соборов; порядок исчисления налогов; взыскание налога за счет денежных средств и иного имущества налогоплательщика. Возникновение обязанности по уплате налогов и сборов связано с несколькими обстоятельствами: с наличием конституционноправовой обязанности по уплате налогов по нормам законодательства о налогах и сборах в которых детализируется реализация обязанности по уплате налогов объектами налогообложения.  Основанием возникновения налогового обязательства...