19008

Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

Лекция

Физика

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

Русский

2013-07-11

301 KB

32 чел.

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

 Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

   (1)

Величина  - некоторая функция обобщенной координаты . Уравнение Лагранжа и начальные условия имеют вид:

   (2)

В общем виде, при произвольной потенциальной энергии , зависящей как от координаты , так и от времени , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е.

     (3)

Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости , по крайней мере в квадратурах.

Т.к. в этом случае , то  и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии:

     (4)

Из уравнения (5.4) находим, что

;              .     

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

    (5)

Его общее решение имеет вид:

   (6)

Решение уравнения (6) можно также  записать в виде:

    (7)

Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и разрешить относительно обобщенной координаты , то мы получим закон движения частицы в явном виде:  и задача будет полностью завершена.

Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия  и произвольная константа . Если величина  есть обычная декартова координата , то величина - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так:

   (8)

Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона:

  (9)

Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом:

     (10)

Отсюда находим, что

,   т.е.    (11)

так, что

  (12)

Решение уравнения (11) можно также записать в виде:

    (13)

Здесь

    (14)

    (15)

Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии  следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где

    (16)

Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. корни уравнения

      (17)

определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках  и, следовательно, .

Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит между этими точками в ограниченной области пространства. такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица уходит на бесконечность. Рассмотрим, например, зависимость , изображенную на рисунке. Проведя на этом рисунке горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии , можно сразу определить точки остановки  и области доступного движения.

На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» , между точками остановки  и . Область доступного инфинитного движения это область . достигнув точки , частица останавливается. в точке  на частицу действует сила , которая заставляет изменить направление движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область .

Вычисление периода одномерных колебаний

Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки  и . При этом время движения от  к  и обратно, от  к  одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой точке . Тогда

   (18)

Координаты точек остановки  и , определяемые из уравнения (17), зависят от энергии .

Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и собственную частоту  гармонических колебаний тела  на пружине жесткостью , если задана энергия системы .

Т.к. потенциальная энергия пружины , то формула (18) принимает вид:

/

Точки остановки   и  . Делая замену переменной интегрирования , приводим интеграл к виду

,

В результате имеем:.

Видим, что в поле , период колебаний не зависит от энергии системы. Не трудно сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле: .

3

(x)

C

U(x)

x

U(x)

A

B

E

C

xA

xB

E

E

xC


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47560. Принципи та технології легування, спеціальні сталі 198.5 KB
  Спеціальні сталі – це сталі властивості яких на відміну від звичайних вуглецевих сталей обумовлені як способом виробництва так і способом обробки та хімічним складом. В останньому випадку сталі називають легованими і вони є найбільш розповсюдженими спеціальними сталями....
47561. Разработка и принятие управленческих решений по организации изготовления или сборки машиностроительных изделий. Методические указания 420 KB
  Разработка управленческого решения должна осуществляться до начала организации изготовления или сборки изделия и направлена на эффективное использование материальных энергетических трудовых и финансовых ресурсов в процессе изготовления или сборки изделия. Запас финансовой прочности изделия определяемый по формуле: Зф.= Nгод Nкр x 100 Nгод 2 где Nгод годовой объем изготовления изделия в штуках; Nкр критический объем изготовления...
47562. Методические указания. Менеджмент 164.5 KB
  Эффективный менеджер: роли и функции в организации профессиональные и личные качества. Анализ взаимосвязей внутренних переменных организации. Внешняя среда организации: основные характеристики; среда прямого воздействия. Эффективность системы планирования в организации.
47564. Понятие предмет и метод экономического анализа 47 KB
  Методом ЭА является системное комплексное изучение, измерение и обобщение влияние факторов на результаты деятельности предприятия путем обработки специальными приемами системных показателей, плана, учета, отчетности и других источников информации с целью повышения эффективности производства.
47566. Методические указания. Менеджмент организаций 156.5 KB
  Лобачевского МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению дипломной работы студентами всех форм обучения по специальности Менеджмент организации Нижний Новгород 2008 Методические указания по выполнению дипломной работы студентами всех форм обучения по специальности Менеджмент организаций. Методические указания содержат рекомендации по выполнению дипломной работы...
47567. Экономика и организация отрасли. Методические указания 560 KB
  На основе данных из справочника Госкомстата Торговля в России заполните приведенные ниже таблицы и сделайте вывод о вкладе торговли в российскую экономику. вес в общем объеме Таблица 10 Экономическая ситуация и ее изменение в организациях торговли Розничная торговля Оптовая торговля 2005 2008 2009 2010 2005 2008 2009 2010 Экономическая ситуация Благоприятная Удовлетворительная Неблагоприятная Баланс оценок Изменение экономической ситуации Улучшение Без изменений Ухудшение Баланс оценок Семинар 3. Структура торговой отрасли Тест по ГОСТам в...