19008

Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

Лекция

Физика

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

Русский

2013-07-11

301 KB

31 чел.

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале

 Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: . в самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:

   (1)

Величина  - некоторая функция обобщенной координаты . Уравнение Лагранжа и начальные условия имеют вид:

   (2)

В общем виде, при произвольной потенциальной энергии , зависящей как от координаты , так и от времени , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е.

     (3)

Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости , по крайней мере в квадратурах.

Т.к. в этом случае , то  и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии:

     (4)

Из уравнения (5.4) находим, что

;              .     

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

    (5)

Его общее решение имеет вид:

   (6)

Решение уравнения (6) можно также  записать в виде:

    (7)

Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и разрешить относительно обобщенной координаты , то мы получим закон движения частицы в явном виде:  и задача будет полностью завершена.

Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия  и произвольная константа . Если величина  есть обычная декартова координата , то величина - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так:

   (8)

Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона:

  (9)

Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом:

     (10)

Отсюда находим, что

,   т.е.    (11)

так, что

  (12)

Решение уравнения (11) можно также записать в виде:

    (13)

Здесь

    (14)

    (15)

Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии  следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где

    (16)

Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. корни уравнения

      (17)

определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках  и, следовательно, .

Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит между этими точками в ограниченной области пространства. такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица уходит на бесконечность. Рассмотрим, например, зависимость , изображенную на рисунке. Проведя на этом рисунке горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии , можно сразу определить точки остановки  и области доступного движения.

На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» , между точками остановки  и . Область доступного инфинитного движения это область . достигнув точки , частица останавливается. в точке  на частицу действует сила , которая заставляет изменить направление движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область .

Вычисление периода одномерных колебаний

Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки  и . При этом время движения от  к  и обратно, от  к  одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой точке . Тогда

   (18)

Координаты точек остановки  и , определяемые из уравнения (17), зависят от энергии .

Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и собственную частоту  гармонических колебаний тела  на пружине жесткостью , если задана энергия системы .

Т.к. потенциальная энергия пружины , то формула (18) принимает вид:

/

Точки остановки   и  . Делая замену переменной интегрирования , приводим интеграл к виду

,

В результате имеем:.

Видим, что в поле , период колебаний не зависит от энергии системы. Не трудно сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле: .

3

(x)

C

U(x)

x

U(x)

A

B

E

C

xA

xB

E

E

xC


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21532. Общие принципы диагностики и лечения острых отравлений 203 KB
  Она складывается из трех основных направлений диагностических мероприятий: а клинической диагностики основанной на данных анамнеза результатах осмотра места происшествия и изучения клинической картины заболевания для выделения специфических симптомов отравления которое проводится врачом оказывающим больному медицинскую помощь на догоспитальном этапе или в стационаре; б лабораторной диагностики направленной на: Качественное и количественное определение идентификацию токсических веществ в биологических средах организма кровь моча...
21533. Анализ данных литературы по средствам и схемам неотложной терапии отравлений ФОС и веществами удушающего действия 72.5 KB
  Признаки поражения: небольшая одышка чувство стеснения в груди кашель головокружение тошнота общая слабость небольшое слюнотечение насморк не резко выраженная гиперемия слизистой оболочки зева и гортани; в легких возможны единичные сухие хрипы. В легких выслушивается значительное количество хрипов; при перкуссии обнаруживаются участки притупленнотимпанического звука. Развивается сравнительно благоприятно протекающий отек легких. Из осложнений могут быть: бронхопневмония плевропневмония тромбозы и эмфизема легких.
21534. КЛИНИКА, ДИАГНОСТИКА И ЛЕЧЕНИЕ ПОРАЖЕНИЙ ОТРАВЛЯЮЩИМИ ВЕЩЕСТВАМИ НЕРВНОПАРАЛИТИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ 166 KB
  28 12 99 10:43:23 Copyright to Meditox Pty Ltd 19992000 ПОРАЖЕНИЯ ФОВ: клиника диагностика лечение Введение. Прежде всего необходимо подчеркнуть что фосфорорганические отравляющие вещества ФОВ являются табельными ОВ стоящими на вооружениии армий США и стран НАТО. Поэтому военные врачи должны быть готовы к оказанию медицинской помощи пораженным ФОВ. Кроме того в практике военного врача возможны случаи отравлений фосфорорганическими инсектицидами ФОИ которые существенно отличаясь от поражений ФОВ темпами развития отравления...
21535. ФОСГЕН 32 KB
  В скрытый период интоксикации введение 100200 мг преднизолона внутривенно каждые 4 ч 50 мл 5 раствора аскорбиновой кислоты внутривенно или 2 г внутрь 10 мл 10 раствора кальция хлорида внутривенно кровопускание 250300 мл. При развитии отека легких оксигенотерапия с ингаляцией паров 70˚ этилового спирта пеногаситель введение 100200 мг метилпреднизолона внутривенно каждые 46 ч 50 мл 2 раствора фуросемида лазикса внутривенно 10001500 ЕД гепарина внутривенно каждые 115 ч 2 мл раствора кордиамина внутримышечно....
21536. Активная детоксикационная терапия 111.5 KB
  Методы детоксикационной терапии . При выраженных клинических проявлениях отравления после проведения мероприятий по стабилизации состояния больного обычно в комплекс терапии включают методы искусственной детоксикации. Свидетельством этого является возрастающая роль энтеросороции и активированного угля в терапии начальных этапов отравления и в предотвращении гепатоэнтеральной циркуляции токсина. Стимуляция выведения яда и его метаболитов почками Значительное число токсических веществ и их метаболитов элиминируются из организма почками...
21537. АММИАК (НАШАТЫРНЫЙ СПИРТ) 35.5 KB
  Внутрь 12 таблетки кодеина по 0015 10 г аскорбиновой кислоты подкожно 10 мл 01 раствора атропина 10 мл 2 раствора промедола внутримышечно 20 мл 1 раствора димедрола 20 мл кордиамина. В случае попадания в глаза – обильное промывание не менее 15 мин проточной водой с последующим закапыванием 30 раствора сульфацилнатрия альбуцид натрия. Введение 24 мл 2 раствора фуросемида лазикса внутривенно; 100200 мг метилпреднизолона каждые 46 часов гидрокортизона 150250 мг или преднизолона 100150 мг внутривенно медленно...
21538. ДИАГНОСТИКА И ЛЕЧЕНИЕ ОСТРЫХ БЫТОВЫХ ОТРАВЛЕНИЙ И ОТРАВЛЕНИЙ НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ВОЙСКАХ 60.5 KB
  МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ по военнополевой терапии на тему: ДИАГНОСТИКА И ЛЕЧЕНИЕ ОСТРЫХ БЫТОВЫХ ОТРАВЛЕНИЙ И ОТРАВЛЕНИЙ НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ВОЙСКАХ со слушателями 1 факультета СанктПетербург 2001 г. Характерные особенности отравлений спиртами хлорированными углеводородами угарным газом некоторыми группами фармпрепаратов. Среди острых отравлений фармакологическими препаратами наиболее часто встречаются отравления снотворноседативными препаратами анальгетиками гипотензивными препаратами...
21539. ИНТЕНСИВНАЯ ТЕРАПИЯ ТЕРМИНАЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ 163.5 KB
  Тенденция к увеличению объема выброса в ответ на увеличение давления наполнения является важным адаптивным механизмом позволяющим приводить в соответствие сердечный выброс и венозный возврат. Обособленно от длины и диаметра сосудов вязкость крови является важной детерминантой постнагрузки. В таком состоянии миокард находится несколько дней что является стадией в полном восстановлении после преходящей дисфункции. ЦВД является важным диагностическим критерием инфаркта правого желудочка и более того форма его кривой помогает установить...
21540. КЛИНИКА, ДИАГНОСТИКА И ТЕРАПИЯ ПОРАЖЕНИЙ ОТРАВЛЯЮЩИМИ ВЕЩЕСТВАМИ УДУШАЮЩЕГО ДЕЙСТВИЯ 197 KB
  Классификация отравляющих веществ удушающего действия В настоящее время существует несколько подходов к классифицированию и рассмотрению механизмов токсического действия веществ способных при остром отравлении нарушать основную функцию легких – газообмен. Помимо названных существует большое количество химических соединений как природного происхождения так и синтетических которые нарушают функцию легких при энтеральном и парэнтеральном путях поступления. Объединяющим свойством пульмонотоксикантов вне зависимости от пути проникновения в...