19009

Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в цен-тральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Лекция

Физика

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействую

Русский

2013-07-11

268 KB

12 чел.

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействующих друг с другом двух тел массами  и .  Это, так называемая, задача «двух тел».

Проще всего решать эту задачу в системе центра масс (Ц-системе). Однако, для большей наглядности мы начнем её решение в лабораторной системе (Л-системе), переходя затем в Ц-систему. Это позволит нам на языке уравнений Лагранжа наглядно продемонстрировать преимущества Ц -системы.

Рассматриваемая механическая система двух тел система имеет 6 степеней свободы: . Обозначим радиус-вектора частиц  в Л-системе  и  (см. рисунок). Тогда функция Лагранжа  в Л-системе будет иметь вид:

   (1)

Шесть уравнений Лагранжа и двенадцать начальных условий в Л-системе имеют обычный вид:

           (2)

Т.к. система замкнута, что её полный импульс сохраняется:

;      где       (3)

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц зависит только от расстояния  между частицами, то с учетом формулы (3), удобно от пары векторных переменных  и  перейти к новым переменным  и  (См. рисунок):

    и         (4)

Из формул (4) находим связь между старыми и новыми переменными:

   (5)

Величина  есть не что иное, как центр инерции системы: . Величина  определяет относительное расположение частиц друг относительно друга.

В Ц -системе, радиус-вектор каждой из частиц   и  будет определяться по формулам:

     (6)

Переход к новым переменным, фактически, представляет движение механической системы из двух тел как движение её как целое (переменная ) и движение каждой из частиц относительно их общего центра инерции (переменные  и ).

Дифференцируя уравнения (5) по времени и подставляя полученные производные в выражение для функции Лагранжа системы (1), получим

  (7)

где введено обозначение

     (9)

Величина  (9) называется приведенной массой двух тел. Функция Лагранжа (7) в новых переменных состоит из двух слагаемых: первое зависит только от величины , причем радиус вектор центра инерции  является циклической переменной. Второе слагаемое зависит только от величин  и , и только в него входит потенциальная энергия взаимодействия . Но это означает, что в новых переменных уравнения Лагранжа для величин  и  будут независимыми – закон относительного движения частиц  никак не связан с движением центра инерции системы .

Из формулы (7) получаем уравнения Лагранжа системы двух тел

    (10)

Уравнения (10) означают, что, во-первых, центр инерции системы движется равномерно и прямолинейно, а, во вторых, относительное движение тел таково, каким было бы движение тела с приведенной массой в потенциале .

Таким образом, для того чтобы определить положение каждой из двух частиц, как в Л-системе, так и в Ц-системе, остается определить зависимость от времени только их относительного движения, т.е. величины .

Таким образом, переход в Ц – системе позволяет задачу с шестью степенями свободы, свести к более простой задаче с тремя степенями свободы. Поэтому следующий шаг состоит в том, чтобы получить уравнение непосредственно для величины . Поэтому становится актуальной проблема изучения движения одной м. точки в заданном внешнем Ц.С. поле . Эта задача в общем виде будет рассматриваться в следующей лекции; сейчас же в связи со вторым уравнением (10) рассмотрим вопрос о силах, которые действуют на частицу в центрально-симметричном поле.

Если потенциальная энергия частицы  зависит только от расстояния  до определенной неподвижной точки, которая называется центром поля, то на частицу со стороны поля действует сила

   (11)

Эта сила по абсолютной величине зависит только от расстояния до центра поля  и направлена в каждой точке  коллинеарною радиус-вектору .  Если , то в данной точке это сила отталкивания . Если , то в данной точке это сила притяжения . Важнейшими ЦС полями являются: гравитационное поле двух точечных масс  (закон всемирного тяготения Ньютона) и электростатическое поле двух точечных зарядов  (закон Кулона):

;           .

;           .

Гравитационное поле может быть только полем притяжения . Кулоновское поле может быть как полем притяжения  так и полем отталкивания , причем первый случай реализуется при разноименных зарядах движущейся частицы и центра поля, второй – в случае, когда эти заряды одноименные.

3


r
(t)

Vц(t)

Vц

O

.

.

Rц

m1

.

m1

 m2

.

Ц

r

r1ц

r1

r2

m2

.

r(t)

Ц

Л


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60028. Урок иностранного языка 50 KB
  Der Lektor betritt (der Seminarraum, der Hörsaal, die Aula, das Sprachlabor, der Raum). 2. Die Studenten besprechen (der Text, die Regel, der Wortschatz, die Fehler). 3. Der Student besucht (der Unterricht, die Stunden, die Vorlesungen, das Kino).
60029. Хвороби шлунково-кишкового тракту та їхня профілактика 62.5 KB
  Щодня ви пізнаєте життя відкриваєте для себе світ відкриваєте світу себе. Усе життя для вас попереду. Мотивація навчальної діяльності Головним скарбом життя є не землі що ти завоював не багатства що в тебе в скринях головним скарбом життя є здоровя...
60030. До якості освіти крізь призму інформаційних технологій 255 KB
  Як відомо якість освіти - це соціальна категорія яка визначає сукупність показників які характеризують різні аспекти навчальної діяльності освітнього закладу: зміст освіти форми та методи навчання матеріально-технічну базу...
60031. Конспект заняття з пізнавального розвитку з використанням технік арт-терапії. Сфери життєдіяльності «Природа», «Я Сам», «Люди» 37.5 KB
  Вихователь: Малята Хто б це міг бути На порозі групи зявляється ялинка. Вихователь: Що за гостя завітала до нас Діти: Ялиночка Вихователь: Як ви гадаєте чому саме зараз вона в нас зявилася Діти: Тому що скоро Новий рік.
60032. Сорочинський ярмарок. Година дозвілля 62 KB
  Гей народ збирається Ярмарок починається Під музику діти в українському одязі з кошиками торбами возиками ідуть на ярмарок. З давніхдавен на Полтавщині в селі Сорочинці проводиться ярмарок. Отже на ярмарок ішли не тільки щоб продати та купити...
60033. ОСІННІЙ ЯРМАРОК 362.5 KB
  Уперед виходить Осінь. Осінь уклоняється: Добрий деньмої малята Й любі гості цього свята Нині знов із вами Я. Осіньось моє імя Осінь рідним краєм йде Сіє листя золоте.
60034. Призначення, можливості і класифікація систем обробки текстів. Основи роботи з текстовим процесором. Введення й редагування тексту 206 KB
  Розроблений фірмою Microsoft текстовий процесор Word є найпопулярнішим засобом для створення документів які крім текстової інформації можуть містити малюнки таблиці різноманітні символи математичні формули тощо.
60036. Сценарий юбилея школы «75 лет - наши года – наше богатство» 77 KB
  Мгновенья счастья и волненья странного И детский смех и труд учителей Все это словно прожитое заново Слилось сегодня в слове юбилей Ведущий 1: На первый взгляд 75 ти и нет Но сколько радости тревог здесь пережито...