19009

Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в цен-тральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Лекция

Физика

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействую

Русский

2013-07-11

268 KB

11 чел.

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействующих друг с другом двух тел массами  и .  Это, так называемая, задача «двух тел».

Проще всего решать эту задачу в системе центра масс (Ц-системе). Однако, для большей наглядности мы начнем её решение в лабораторной системе (Л-системе), переходя затем в Ц-систему. Это позволит нам на языке уравнений Лагранжа наглядно продемонстрировать преимущества Ц -системы.

Рассматриваемая механическая система двух тел система имеет 6 степеней свободы: . Обозначим радиус-вектора частиц  в Л-системе  и  (см. рисунок). Тогда функция Лагранжа  в Л-системе будет иметь вид:

   (1)

Шесть уравнений Лагранжа и двенадцать начальных условий в Л-системе имеют обычный вид:

           (2)

Т.к. система замкнута, что её полный импульс сохраняется:

;      где       (3)

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц зависит только от расстояния  между частицами, то с учетом формулы (3), удобно от пары векторных переменных  и  перейти к новым переменным  и  (См. рисунок):

    и         (4)

Из формул (4) находим связь между старыми и новыми переменными:

   (5)

Величина  есть не что иное, как центр инерции системы: . Величина  определяет относительное расположение частиц друг относительно друга.

В Ц -системе, радиус-вектор каждой из частиц   и  будет определяться по формулам:

     (6)

Переход к новым переменным, фактически, представляет движение механической системы из двух тел как движение её как целое (переменная ) и движение каждой из частиц относительно их общего центра инерции (переменные  и ).

Дифференцируя уравнения (5) по времени и подставляя полученные производные в выражение для функции Лагранжа системы (1), получим

  (7)

где введено обозначение

     (9)

Величина  (9) называется приведенной массой двух тел. Функция Лагранжа (7) в новых переменных состоит из двух слагаемых: первое зависит только от величины , причем радиус вектор центра инерции  является циклической переменной. Второе слагаемое зависит только от величин  и , и только в него входит потенциальная энергия взаимодействия . Но это означает, что в новых переменных уравнения Лагранжа для величин  и  будут независимыми – закон относительного движения частиц  никак не связан с движением центра инерции системы .

Из формулы (7) получаем уравнения Лагранжа системы двух тел

    (10)

Уравнения (10) означают, что, во-первых, центр инерции системы движется равномерно и прямолинейно, а, во вторых, относительное движение тел таково, каким было бы движение тела с приведенной массой в потенциале .

Таким образом, для того чтобы определить положение каждой из двух частиц, как в Л-системе, так и в Ц-системе, остается определить зависимость от времени только их относительного движения, т.е. величины .

Таким образом, переход в Ц – системе позволяет задачу с шестью степенями свободы, свести к более простой задаче с тремя степенями свободы. Поэтому следующий шаг состоит в том, чтобы получить уравнение непосредственно для величины . Поэтому становится актуальной проблема изучения движения одной м. точки в заданном внешнем Ц.С. поле . Эта задача в общем виде будет рассматриваться в следующей лекции; сейчас же в связи со вторым уравнением (10) рассмотрим вопрос о силах, которые действуют на частицу в центрально-симметричном поле.

Если потенциальная энергия частицы  зависит только от расстояния  до определенной неподвижной точки, которая называется центром поля, то на частицу со стороны поля действует сила

   (11)

Эта сила по абсолютной величине зависит только от расстояния до центра поля  и направлена в каждой точке  коллинеарною радиус-вектору .  Если , то в данной точке это сила отталкивания . Если , то в данной точке это сила притяжения . Важнейшими ЦС полями являются: гравитационное поле двух точечных масс  (закон всемирного тяготения Ньютона) и электростатическое поле двух точечных зарядов  (закон Кулона):

;           .

;           .

Гравитационное поле может быть только полем притяжения . Кулоновское поле может быть как полем притяжения  так и полем отталкивания , причем первый случай реализуется при разноименных зарядах движущейся частицы и центра поля, второй – в случае, когда эти заряды одноименные.

3


r
(t)

Vц(t)

Vц

O

.

.

Rц

m1

.

m1

 m2

.

Ц

r

r1ц

r1

r2

m2

.

r(t)

Ц

Л


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40955. Оператор выбора switch 358 KB
  Пример using System; nmespce Consoleppliction5 { clss Progrm { sttic void Minstring[] rgs { int cseSwitch = 5; switch cseSwitch { cse 1: Console. Если за меткой cse нет списка операторов то операторы brek goto cse или goto defult необязательны В примере управление передается списку операторов следующему за меткой cse 2 using System; nmespce Consoleppliction5 {...
40956. Политические идеи современности 75 KB
  В наши дни наблюдается усиление прикладного характера современных политических идей их использования для решения конкретных социальных и экономических проблем. Для него характерно пристальное внимание к вопросам социальных гарантий политической демократии. С одной стороны социальная драма модели государственного социализма догматического марксизма и в то же время успех социалдемократии в решении социальных программ превращение в авторитетную политическую силу современности. Политическая дифференциация России выдвигает проблему...
40957. Пример использования делегата 112 KB
  Сортируемый класс Employee описывает данные о сотрудниках: код фамилия имя дата приема на работу заработная плата. Это реализуется определением в коде программы делегата: delegte bool CompreOpobject lhs object rhs; Сигнатуру метода сортировки Sort определим следующим образом: sttic public void Sortobject[] sortrry CompreOp gtMethod Параметр sortrry задает массив сортируемых объектов в рассматриваемом примере массив экземпляров класса Employee а параметр gtMethod метод принимающий два параметра и возвращающий true если...
40958. Концепция типов данных 121.5 KB
  C поддерживают концепцию соглашение типов данных которая включает следующие договорённости: каждая переменная константа выражение функция относятся к некоторому типу; тип объекта либо определяется по внешнему виду либо задаётся специальным описанием; тип Т определяет множество значений допустимых для данных этого типа множество допустимых операций множество функций определённых для данных этого типа Т. Тип Т = {DomT OPT FunT} { некоторая область памяти её размер способ представления...
40959. Использование двоичного кода 357.5 KB
  Т подходящее имя для обобщенного типа: public clss List T { } public clss LinkedList T { } если к обобщенному типу предъявляются специальные требования например что тип должен реализовывать интерфейс либо наследоваться от определенного класса или же используется два или более обобщенных типа в качестве параметров то следует применять осмысленные имена типов: public delegte void EventHndler TEventrgs object sender TEventrgs e; public delegte TOutput Converter TInput T0utput TInput from; public clss SortedList TKey...
40960. История политической социологии в России 48.5 KB
  Проблемы политического устройства; критика негативов политических отношений в России: произвола и бесправия масс; выдвижение идей демократизации общественнополитической жизни в трудах А. Социальнополитические программы и конституционные проекты демократического преобразования политического строя России политических лидеров и деятелей XIX начала XX веков Т. Основоположение ихлитической социологии как самостоятельной науки в России русский ученый М.
40961. Адреса ячеек в Excel 41 KB
  В Excel предусмотрен также удобный способ ссылки на ячейку путём присваивания этой ячейке произвольного собственного имени. Имена присваиваются ячейкам или диапазонам ячеек для придания наглядности вычислениям в таблице и удобства работы например собственными именами можно обозначать постоянные величины коэффициенты константы которые используются при выполнении Присвоить ячейке собственное имя или удалить имя можно с помощью команды ВСТАВКА Имя Присвоить или используя поле имени: Выделить ячейку или диапазон ячеек Щелкнуть...
40962. Слово і його значення. 173.5 KB
  Cyчcна ceмнтика грунтується на тких пpинципах: l cyтнicть як нзивєтьcя лeкcичним знчeнням це не нyкoвe пoняття пpo вiдпoвiднy piч звичйнe пoняття мoвця що iнкoли сyпpoвoджyєтьcя вжливими eмoцiйними oзнкми; 2 ця cyтніcть пoвинн вивoдитиcя із змicтoвнoгo тлyмчeння cлoв що гpyнтyєтьcя на ocнoвi мoвнoї oдиницi з її cтpyктypними влcтивocтями; 3 cлoв y мoвнoмy пoтoцi пoєднyютьcя не дoвiльно в злeжнocтi від їх знчeнь y вiдпoвiднocтi з лeкcичними i кoнcтpyктивними oзнкми які oбмeжyють i peгyлюють cпoлyчyвнicть.
40963. Анализ ИС-аналогов 117 KB
  Реализация навигационной схемы проекта Возможности инструментальных средств поддержки разработки обеспечившие авторский вид проекта Разработать сценарии к каждому разделу дипломного проекта. Провести юзабилити тестирование проекта с целью выявления и устранения недостатков.