19009

Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в цен-тральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Лекция

Физика

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействую

Русский

2013-07-11

268 KB

11 чел.

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействующих друг с другом двух тел массами  и .  Это, так называемая, задача «двух тел».

Проще всего решать эту задачу в системе центра масс (Ц-системе). Однако, для большей наглядности мы начнем её решение в лабораторной системе (Л-системе), переходя затем в Ц-систему. Это позволит нам на языке уравнений Лагранжа наглядно продемонстрировать преимущества Ц -системы.

Рассматриваемая механическая система двух тел система имеет 6 степеней свободы: . Обозначим радиус-вектора частиц  в Л-системе  и  (см. рисунок). Тогда функция Лагранжа  в Л-системе будет иметь вид:

   (1)

Шесть уравнений Лагранжа и двенадцать начальных условий в Л-системе имеют обычный вид:

           (2)

Т.к. система замкнута, что её полный импульс сохраняется:

;      где       (3)

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц зависит только от расстояния  между частицами, то с учетом формулы (3), удобно от пары векторных переменных  и  перейти к новым переменным  и  (См. рисунок):

    и         (4)

Из формул (4) находим связь между старыми и новыми переменными:

   (5)

Величина  есть не что иное, как центр инерции системы: . Величина  определяет относительное расположение частиц друг относительно друга.

В Ц -системе, радиус-вектор каждой из частиц   и  будет определяться по формулам:

     (6)

Переход к новым переменным, фактически, представляет движение механической системы из двух тел как движение её как целое (переменная ) и движение каждой из частиц относительно их общего центра инерции (переменные  и ).

Дифференцируя уравнения (5) по времени и подставляя полученные производные в выражение для функции Лагранжа системы (1), получим

  (7)

где введено обозначение

     (9)

Величина  (9) называется приведенной массой двух тел. Функция Лагранжа (7) в новых переменных состоит из двух слагаемых: первое зависит только от величины , причем радиус вектор центра инерции  является циклической переменной. Второе слагаемое зависит только от величин  и , и только в него входит потенциальная энергия взаимодействия . Но это означает, что в новых переменных уравнения Лагранжа для величин  и  будут независимыми – закон относительного движения частиц  никак не связан с движением центра инерции системы .

Из формулы (7) получаем уравнения Лагранжа системы двух тел

    (10)

Уравнения (10) означают, что, во-первых, центр инерции системы движется равномерно и прямолинейно, а, во вторых, относительное движение тел таково, каким было бы движение тела с приведенной массой в потенциале .

Таким образом, для того чтобы определить положение каждой из двух частиц, как в Л-системе, так и в Ц-системе, остается определить зависимость от времени только их относительного движения, т.е. величины .

Таким образом, переход в Ц – системе позволяет задачу с шестью степенями свободы, свести к более простой задаче с тремя степенями свободы. Поэтому следующий шаг состоит в том, чтобы получить уравнение непосредственно для величины . Поэтому становится актуальной проблема изучения движения одной м. точки в заданном внешнем Ц.С. поле . Эта задача в общем виде будет рассматриваться в следующей лекции; сейчас же в связи со вторым уравнением (10) рассмотрим вопрос о силах, которые действуют на частицу в центрально-симметричном поле.

Если потенциальная энергия частицы  зависит только от расстояния  до определенной неподвижной точки, которая называется центром поля, то на частицу со стороны поля действует сила

   (11)

Эта сила по абсолютной величине зависит только от расстояния до центра поля  и направлена в каждой точке  коллинеарною радиус-вектору .  Если , то в данной точке это сила отталкивания . Если , то в данной точке это сила притяжения . Важнейшими ЦС полями являются: гравитационное поле двух точечных масс  (закон всемирного тяготения Ньютона) и электростатическое поле двух точечных зарядов  (закон Кулона):

;           .

;           .

Гравитационное поле может быть только полем притяжения . Кулоновское поле может быть как полем притяжения  так и полем отталкивания , причем первый случай реализуется при разноименных зарядах движущейся частицы и центра поля, второй – в случае, когда эти заряды одноименные.

3


r
(t)

Vц(t)

Vц

O

.

.

Rц

m1

.

m1

 m2

.

Ц

r

r1ц

r1

r2

m2

.

r(t)

Ц

Л


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75419. Сенсори. Аналогові сенсори. Сенсори положення, кута, віддалі та товщини 575 KB
  Сенсори положення кута віддалі та товщини. Аналогові сенсори За допомогою аналогових сенсорів перетворюють механічні величини наприклад зміну положення або електричні величини наприклад зміну потужності на електричні сигнали напруги або струму. Сигнали з вимірювального перетворювача можуть бути представлені у фізичних величинах наприклад у випадку перетворювача положення в мм. Сенсори положення кута віддалі та товщини Потенціометричні контактні сенсори При пересуванні ковзного контакту в поступальному потенціометрі або повороту...
75420. Індуктивні безконтактні кінцеві сигналізатори 568 KB
  Котушка з відкритим, чашковим феромагнітним осердям створює високочастотне електромагнітне поле. Котушка є індуктивною частиною коливного контуру, який збуджується за допомогою частотного генератора з частотою близько
75421. Сенсори розтягу, сили, обертового моменту i тиску 585 KB
  Види виконання вимірювальних сіток фольгових тензометрів Для одночасного вимірювання в кількох напрямках служать спеціальні тензометри в яких вимірювальні сітки розміщені одна відносно іншої під кутом 120 або під кутом 45 до напрямку видовження рис.
75422. Сенсори прискорення. Сенсори температури 164 KB
  Сенсори температури. Сенсори температури Найважливішим різновидом давачів є давачі температури оскільки багато процесів у тому числі і в повсякденному житті регулюються температурою наприклад: регулювання опалення на підставі вимірювання температури теплоносія на вході і виході а також температури в приміщенні і зовнішньої температури; регулювання температури води в пральній машині; регулювання температури електропраски електроплитки духовки...
75423. Бінарні сенсори. Цифрові сенсори 480 KB
  Бінарні сенсори влаштовані як реле (перемикачі) або як аналогові сенсори з перемикачем порогового значення. Коли вхідна величина сенсора досягає порогу перемикання, бінарний вихідний сигнал змінює значення. Під час зміни вхідної величини у зворотному напрямі, по досягненню порогового значення...
75424. Інкрементальні сенсори положення. Кодові лінійки і диски абсолютних сенсорів 631 KB
  Інкременгальні сенсори переміщення оснащені лінійкою з рисковими поділками. Читання положення рисок здійснюється оптичними або магнітними методами. В сенсорах через які проходить світло використовуються скляні лінійки з рисками які поглинають світло і проміжками які пропускають світло шириною 4 мкм рис. Пристрої які зчитують це складаються з потужного джерела світла зчитувальної пластинки і електронної системи аналізу.
75425. Основи і методи регулювання. Основні поняття. Види регулювання 205.5 KB
  Види регулювання. Регулювання. Регулювання є дією яка полягає в такому впливі на поточно вимірювану регульовану величину щоб вона була подібною до заданої величини.
75426. Регулятор і система регулювання 7.58 MB
  Регулятори: перервні аналогові цифрові. Регулятори: первинні аналогові цифрові Регулятори неперервної дії аналогові змінюють значення регульовальної координати обєкту неперервним чином тобто ця координата може приймати будьякі значення з усього можливого діапазону. Неперервні регулятори будуються як правило з електронних операційних підсилювачів. Реулятори дискретної дії цифрові змінюють значення регульованої координати обєкту так само як і регулятори первинної дії але в них зміна величини відбувається лише в певні моменти...
75427. Двохпозиційні регулятори 96 KB
  Принцип роботи Двохпозиційні регулятори забезпечують хорошу якість регулювання для інерційних обєктів з малим запізнюванням не вимагають настройки і прості в експлуатації. Ці регулятори представляють звичайний і найбільш широко поширений метод регулювання...