19009

Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в цен-тральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Лекция

Физика

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействую

Русский

2013-07-11

268 KB

11 чел.

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействующих друг с другом двух тел массами  и .  Это, так называемая, задача «двух тел».

Проще всего решать эту задачу в системе центра масс (Ц-системе). Однако, для большей наглядности мы начнем её решение в лабораторной системе (Л-системе), переходя затем в Ц-систему. Это позволит нам на языке уравнений Лагранжа наглядно продемонстрировать преимущества Ц -системы.

Рассматриваемая механическая система двух тел система имеет 6 степеней свободы: . Обозначим радиус-вектора частиц  в Л-системе  и  (см. рисунок). Тогда функция Лагранжа  в Л-системе будет иметь вид:

   (1)

Шесть уравнений Лагранжа и двенадцать начальных условий в Л-системе имеют обычный вид:

           (2)

Т.к. система замкнута, что её полный импульс сохраняется:

;      где       (3)

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц зависит только от расстояния  между частицами, то с учетом формулы (3), удобно от пары векторных переменных  и  перейти к новым переменным  и  (См. рисунок):

    и         (4)

Из формул (4) находим связь между старыми и новыми переменными:

   (5)

Величина  есть не что иное, как центр инерции системы: . Величина  определяет относительное расположение частиц друг относительно друга.

В Ц -системе, радиус-вектор каждой из частиц   и  будет определяться по формулам:

     (6)

Переход к новым переменным, фактически, представляет движение механической системы из двух тел как движение её как целое (переменная ) и движение каждой из частиц относительно их общего центра инерции (переменные  и ).

Дифференцируя уравнения (5) по времени и подставляя полученные производные в выражение для функции Лагранжа системы (1), получим

  (7)

где введено обозначение

     (9)

Величина  (9) называется приведенной массой двух тел. Функция Лагранжа (7) в новых переменных состоит из двух слагаемых: первое зависит только от величины , причем радиус вектор центра инерции  является циклической переменной. Второе слагаемое зависит только от величин  и , и только в него входит потенциальная энергия взаимодействия . Но это означает, что в новых переменных уравнения Лагранжа для величин  и  будут независимыми – закон относительного движения частиц  никак не связан с движением центра инерции системы .

Из формулы (7) получаем уравнения Лагранжа системы двух тел

    (10)

Уравнения (10) означают, что, во-первых, центр инерции системы движется равномерно и прямолинейно, а, во вторых, относительное движение тел таково, каким было бы движение тела с приведенной массой в потенциале .

Таким образом, для того чтобы определить положение каждой из двух частиц, как в Л-системе, так и в Ц-системе, остается определить зависимость от времени только их относительного движения, т.е. величины .

Таким образом, переход в Ц – системе позволяет задачу с шестью степенями свободы, свести к более простой задаче с тремя степенями свободы. Поэтому следующий шаг состоит в том, чтобы получить уравнение непосредственно для величины . Поэтому становится актуальной проблема изучения движения одной м. точки в заданном внешнем Ц.С. поле . Эта задача в общем виде будет рассматриваться в следующей лекции; сейчас же в связи со вторым уравнением (10) рассмотрим вопрос о силах, которые действуют на частицу в центрально-симметричном поле.

Если потенциальная энергия частицы  зависит только от расстояния  до определенной неподвижной точки, которая называется центром поля, то на частицу со стороны поля действует сила

   (11)

Эта сила по абсолютной величине зависит только от расстояния до центра поля  и направлена в каждой точке  коллинеарною радиус-вектору .  Если , то в данной точке это сила отталкивания . Если , то в данной точке это сила притяжения . Важнейшими ЦС полями являются: гравитационное поле двух точечных масс  (закон всемирного тяготения Ньютона) и электростатическое поле двух точечных зарядов  (закон Кулона):

;           .

;           .

Гравитационное поле может быть только полем притяжения . Кулоновское поле может быть как полем притяжения  так и полем отталкивания , причем первый случай реализуется при разноименных зарядах движущейся частицы и центра поля, второй – в случае, когда эти заряды одноименные.

3


r
(t)

Vц(t)

Vц

O

.

.

Rц

m1

.

m1

 m2

.

Ц

r

r1ц

r1

r2

m2

.

r(t)

Ц

Л


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35043. CAD/CAM системы среднего уровня на примере систем Cimatron, MasterCam, Solid Edge 585.5 KB
  Реферат по САПР на тему: CD CM системы среднего уровня на примере систем Cimtron MsterCm Solid Edge.5 MsterCm. На рынке программных продуктов широко используются два типа твердотельного геометрического ядра: Prsolid CIS К наиболее известным CD CM системам среднего уровня построенным на основе ядра CIS относятся: DEM Cimtron MsterCm utoCD 2000 Powermill CDdy Brvo К наиболее известным CD CM системам среднего уровня построенным на основе ядра Prsolid относятся: ...
35044. Программное обеспечение Consistent Software ElectriCS 3D 83 KB
  Реферат на тему: Программное обеспечение Consistent Softwre ElectriCS 3D Студент: Петров И.3 Назначение ElectriCS 3D.4 Предмет автоматизации ElectriCS 3D.4 Достоинства ElectriCS 3D.
35045. Изотопы в природе 156 KB
  Основная заслуга в открытии стабильных изотопов принадлежит английскому физику Ф. он установил что инертный газ неон атомный вес – 202 является смесью двух изотопов с атомными весами 20 и 22. Ученый проводил исследования на протяжении полутора десятилетий и обнаружил 210 стабильных изотопов большинства элементов. Химические элементы как правило представляют собой смесь изотопов т.
35047. Радиоэкология и ОС 99 KB
  В него не включают поступившие в окружающую среду искусственные радиоактивные вещества от испытаний ядерного оружия и от работы предприятий ядерного топливного цикла ЯТЦ. Загрязнение биосферы радионуклидами образовавшимися при испытаниях ядерного оружия. Испытания ядерного оружия в атмосфере были начаты США в 1945 г. большинство стран подписали Договор об ограничении испытаний ядерного оружия кроме подземных.
35048. ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ АТМОСФЕРЫ 170.5 KB
  Отношение содержание инертных газов в атмосфере Земли к их содержанию в солнечной системе Такое различие указывает что земная атмосфера не есть производная солнечной атмосферы а образовалась при эволюции самой Земли. Если аргон третий по объему газ атмосферы выделился из горных пород значит и остальные газы могли поступить также. Особенно сильное воздействие живые организмы оказали на состав атмосферы.
35049. ГИДРОСФЕРА 118.5 KB
  Воды Мирового океана покрывают 2 3 поверхности планеты и образуют основную массу ее водной оболочки. Воды Мирового океана составляют около 93 всех вод биосферы поэтому можно считать что химический состав гидросферы в целом определяется главным образом химическим составом океанических вод. Существует мнение и не без основания что для Земли характерно постоянное присутствие воды на её поверхности. Катионы переходили сразу в раствор поэтому воды сразу же стали солеными.
35050. Биосфера Состав живого вещества 238 KB
  Сумма зольных элементов – это сложный итог взаимодействия живого вещества с земной корой. Поэтому изучение зольных элементов так же важно как и определение главных элементов в организме. С целью исключения влияния сильно варьирующих количеств воды и приведения данных о содержании химических элементов к выражению удобному для сравнения рассчитывают содержание элементов на абсолютно сухое органическое вещество высушенное до постоянной массы при температуре 102 – 105 оС. В этом случае получают значения содержания элементов не в реальных...
35051. Деформация природных биогеохимических циклов хозяйственной деятельностью человека 204.5 KB
  Значителен расход кислорода на окисление выплавляемых промышленностью металлов главным образом железа. Ежегодно поступающее в окружающую среду количество техногенных тяжелых металлов сопоставимо с массами металлов участвующих в глобальных процессах массообмена таблица 2.3 Массы тяжелых металлов вовлекаемых в техногенную и природную миграцию 103 т год по В. При выплавке металлов также выделяются в атмосферу крупные массы диоксида серы.