19009

Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в цен-тральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Лекция

Физика

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействую

Русский

2013-07-11

268 KB

11 чел.

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействующих друг с другом двух тел массами  и .  Это, так называемая, задача «двух тел».

Проще всего решать эту задачу в системе центра масс (Ц-системе). Однако, для большей наглядности мы начнем её решение в лабораторной системе (Л-системе), переходя затем в Ц-систему. Это позволит нам на языке уравнений Лагранжа наглядно продемонстрировать преимущества Ц -системы.

Рассматриваемая механическая система двух тел система имеет 6 степеней свободы: . Обозначим радиус-вектора частиц  в Л-системе  и  (см. рисунок). Тогда функция Лагранжа  в Л-системе будет иметь вид:

   (1)

Шесть уравнений Лагранжа и двенадцать начальных условий в Л-системе имеют обычный вид:

           (2)

Т.к. система замкнута, что её полный импульс сохраняется:

;      где       (3)

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц зависит только от расстояния  между частицами, то с учетом формулы (3), удобно от пары векторных переменных  и  перейти к новым переменным  и  (См. рисунок):

    и         (4)

Из формул (4) находим связь между старыми и новыми переменными:

   (5)

Величина  есть не что иное, как центр инерции системы: . Величина  определяет относительное расположение частиц друг относительно друга.

В Ц -системе, радиус-вектор каждой из частиц   и  будет определяться по формулам:

     (6)

Переход к новым переменным, фактически, представляет движение механической системы из двух тел как движение её как целое (переменная ) и движение каждой из частиц относительно их общего центра инерции (переменные  и ).

Дифференцируя уравнения (5) по времени и подставляя полученные производные в выражение для функции Лагранжа системы (1), получим

  (7)

где введено обозначение

     (9)

Величина  (9) называется приведенной массой двух тел. Функция Лагранжа (7) в новых переменных состоит из двух слагаемых: первое зависит только от величины , причем радиус вектор центра инерции  является циклической переменной. Второе слагаемое зависит только от величин  и , и только в него входит потенциальная энергия взаимодействия . Но это означает, что в новых переменных уравнения Лагранжа для величин  и  будут независимыми – закон относительного движения частиц  никак не связан с движением центра инерции системы .

Из формулы (7) получаем уравнения Лагранжа системы двух тел

    (10)

Уравнения (10) означают, что, во-первых, центр инерции системы движется равномерно и прямолинейно, а, во вторых, относительное движение тел таково, каким было бы движение тела с приведенной массой в потенциале .

Таким образом, для того чтобы определить положение каждой из двух частиц, как в Л-системе, так и в Ц-системе, остается определить зависимость от времени только их относительного движения, т.е. величины .

Таким образом, переход в Ц – системе позволяет задачу с шестью степенями свободы, свести к более простой задаче с тремя степенями свободы. Поэтому следующий шаг состоит в том, чтобы получить уравнение непосредственно для величины . Поэтому становится актуальной проблема изучения движения одной м. точки в заданном внешнем Ц.С. поле . Эта задача в общем виде будет рассматриваться в следующей лекции; сейчас же в связи со вторым уравнением (10) рассмотрим вопрос о силах, которые действуют на частицу в центрально-симметричном поле.

Если потенциальная энергия частицы  зависит только от расстояния  до определенной неподвижной точки, которая называется центром поля, то на частицу со стороны поля действует сила

   (11)

Эта сила по абсолютной величине зависит только от расстояния до центра поля  и направлена в каждой точке  коллинеарною радиус-вектору .  Если , то в данной точке это сила отталкивания . Если , то в данной точке это сила притяжения . Важнейшими ЦС полями являются: гравитационное поле двух точечных масс  (закон всемирного тяготения Ньютона) и электростатическое поле двух точечных зарядов  (закон Кулона):

;           .

;           .

Гравитационное поле может быть только полем притяжения . Кулоновское поле может быть как полем притяжения  так и полем отталкивания , причем первый случай реализуется при разноименных зарядах движущейся частицы и центра поля, второй – в случае, когда эти заряды одноименные.

3


r
(t)

Vц(t)

Vц

O

.

.

Rц

m1

.

m1

 m2

.

Ц

r

r1ц

r1

r2

m2

.

r(t)

Ц

Л


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28241. Теории типов и черт характера. Акцентуации характера. Патологии характера 51 KB
  Теории типов и черт характера. Акцентуации характера. Патологии характера. Классификация черт характера Ананьева: Коммуникативные Возникают первыми в процессе онтогенеза т.
28242. Способности: природа, типология, формирование и развитие 64 KB
  Способности: природа типология формирование и развитие. Способности индивидуальнопсихологические особенности определяющие успешность выполнения деятельности не сводимые к навыкам и умениям которые уже выработаны человеком. Способности оцениваются через темп и динамику развития человека: проявляются к 1213 годам в науке до 20 лет.общие проявляются во всех видах деятельности: интеллект глубина обобщенность и подвижность знаний; первичные умственные способности: вербальные пространственные мнемические арифметические умение...
28243. Направленность личности. Потребности и мотивы, мотивация. Ценностные ориентации 48 KB
  Потребности и мотивы мотивация. Маслоу: Основой мотивов являются потребности которые в процессе развития индивида образуют своего рода пирамиду иерархию. В основании пирамиды лежат физиологические потребности голод жажда секс и т. Аффилиативные потребности потребность в принадлежности к какойлибо группе людей в общении и т.
28244. Когнитивный (Ж. Пиаже и Л.Колберг) СОЦИАЛЬНО-КОГНИТИВНЫй (А.БАНДУРА, Д.РОТТЕР), и когнитивно-бихеворальный ( Б.Ф. Скиннер, А. Бек, А. Эллис) подходы к исследованию формирования личности 44 KB
  Причины функционирования человека нужно понимать в терминах непрерывного взаимодействия поведения познавательной сферы и окружения. Данный подход к анализу причин поведения который Бандура обозначил как взаимный детерминизм подразумевает что факторы предрасположенности и ситуационные факторы являются взаимосвязанными причинами поведения. внутренние детерминанты поведения такие как вера и ожидание и внешние детерминанты такие как поощрение и наказание являются частью системы взаимодействующих влияний которые действуют не только на...
28245. Номонетический (Кеттел и Айзенк) и идеографический (Олпорт и Келли) подходы к описанию личности. Метод факторного анализа в психологии личности 108.5 KB
  Номонетический Кеттел и Айзенк и идеографический Олпорт и Келли подходы к описанию личности. Метод факторного анализа в психологии личности. ДИСПОЗИЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ЛИЧНОСТИ Г. В своей первой книге Личность: психологическая интерпретация Олпорт описал и классифицировал более 50 различных определений личности.
28246. Жизненный путь личности: исследования и описаия процессов социализации и индивидуализации 47.5 KB
  Сущность человеческой личности находит себе своё завершающее выражение в том что она не только развивается как всякий организм но и имеет свою историю. В отличие от всех живых существ человечество имеет историю а ее просто повторяющиеся циклы развития потому что деятельность людей изменяя действительность объективируется в продуктах материальной и духовной культуры которые передаются от поколения к поколению. Не только человечество в целом но и каждый человек является в какойто мере участником и субъектом истории человечества и в...
28247. Личность, сознание, деятельность в Концепциях Московской психологической школы. (В.М. Леонтьев и др.) 60 KB
  Общая психология личности и персоналии. Понятие личности характеризуется двумя положениями: Л целостное и неповторимое единство. Эмпирицзм в исследованиях личности желание набрать максимальное количество данных и комплексно исследовать личностью Личность как субъект общественных отношений. Считал что никакое комплексное исследование не в состоянии заменить знанияисторию развития этой личности.
28248. Сознательное и бессознательное в личности: отечественный подход (школа установки Узнадзе) и зарубежный подход (психодинамические концепции) 51 KB
  Являясь исходной структурой психики ид выражает первичный принцип всей человеческой жизни немедленную разрядку психической энергии сдерживание которой приводит к напряжению в личностном функционировании. С целью преобразования и реализации потребностей в социально приемлемом контексте эго черпает из €œид€ часть энергии обеспечивая безопасность и самосохранение организма. Освобождение некоторого количества энергии эго для решения проблем на более высоком уровне психики является одной из основных целей психоаналитической терапии. Трактуя...
28249. Гуманистический (К.Роджерс, А. Маслоу), экзистенциальный (В.Франкл, Р.Мэй, И. Ялом) и гештальт (Ф. Перлз, К.Левин) подходы к исследованию личности и психотерапия 68 KB
  Основные положения гуманистической психологии: 1человек должен изучаться в его целостности; 2каждый человек уникален поэтому анализ отдельных случаев не менее оправдан чем статистические обобщения; 3переживания человеком мира и себя в мире являются главной психологической реальностью; 4человеческая жизнь единый процесс становления и бытия человека; 5человек открыт к непрерывному развитию и самореализации которые являются частью его природы; 6человек обладает определенной степенью свободы от внешней детерминации благодаря смыслам и...