19009

Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в цен-тральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Лекция

Физика

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействую

Русский

2013-07-11

268 KB

11 чел.

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействующих друг с другом двух тел массами  и .  Это, так называемая, задача «двух тел».

Проще всего решать эту задачу в системе центра масс (Ц-системе). Однако, для большей наглядности мы начнем её решение в лабораторной системе (Л-системе), переходя затем в Ц-систему. Это позволит нам на языке уравнений Лагранжа наглядно продемонстрировать преимущества Ц -системы.

Рассматриваемая механическая система двух тел система имеет 6 степеней свободы: . Обозначим радиус-вектора частиц  в Л-системе  и  (см. рисунок). Тогда функция Лагранжа  в Л-системе будет иметь вид:

   (1)

Шесть уравнений Лагранжа и двенадцать начальных условий в Л-системе имеют обычный вид:

           (2)

Т.к. система замкнута, что её полный импульс сохраняется:

;      где       (3)

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц зависит только от расстояния  между частицами, то с учетом формулы (3), удобно от пары векторных переменных  и  перейти к новым переменным  и  (См. рисунок):

    и         (4)

Из формул (4) находим связь между старыми и новыми переменными:

   (5)

Величина  есть не что иное, как центр инерции системы: . Величина  определяет относительное расположение частиц друг относительно друга.

В Ц -системе, радиус-вектор каждой из частиц   и  будет определяться по формулам:

     (6)

Переход к новым переменным, фактически, представляет движение механической системы из двух тел как движение её как целое (переменная ) и движение каждой из частиц относительно их общего центра инерции (переменные  и ).

Дифференцируя уравнения (5) по времени и подставляя полученные производные в выражение для функции Лагранжа системы (1), получим

  (7)

где введено обозначение

     (9)

Величина  (9) называется приведенной массой двух тел. Функция Лагранжа (7) в новых переменных состоит из двух слагаемых: первое зависит только от величины , причем радиус вектор центра инерции  является циклической переменной. Второе слагаемое зависит только от величин  и , и только в него входит потенциальная энергия взаимодействия . Но это означает, что в новых переменных уравнения Лагранжа для величин  и  будут независимыми – закон относительного движения частиц  никак не связан с движением центра инерции системы .

Из формулы (7) получаем уравнения Лагранжа системы двух тел

    (10)

Уравнения (10) означают, что, во-первых, центр инерции системы движется равномерно и прямолинейно, а, во вторых, относительное движение тел таково, каким было бы движение тела с приведенной массой в потенциале .

Таким образом, для того чтобы определить положение каждой из двух частиц, как в Л-системе, так и в Ц-системе, остается определить зависимость от времени только их относительного движения, т.е. величины .

Таким образом, переход в Ц – системе позволяет задачу с шестью степенями свободы, свести к более простой задаче с тремя степенями свободы. Поэтому следующий шаг состоит в том, чтобы получить уравнение непосредственно для величины . Поэтому становится актуальной проблема изучения движения одной м. точки в заданном внешнем Ц.С. поле . Эта задача в общем виде будет рассматриваться в следующей лекции; сейчас же в связи со вторым уравнением (10) рассмотрим вопрос о силах, которые действуют на частицу в центрально-симметричном поле.

Если потенциальная энергия частицы  зависит только от расстояния  до определенной неподвижной точки, которая называется центром поля, то на частицу со стороны поля действует сила

   (11)

Эта сила по абсолютной величине зависит только от расстояния до центра поля  и направлена в каждой точке  коллинеарною радиус-вектору .  Если , то в данной точке это сила отталкивания . Если , то в данной точке это сила притяжения . Важнейшими ЦС полями являются: гравитационное поле двух точечных масс  (закон всемирного тяготения Ньютона) и электростатическое поле двух точечных зарядов  (закон Кулона):

;           .

;           .

Гравитационное поле может быть только полем притяжения . Кулоновское поле может быть как полем притяжения  так и полем отталкивания , причем первый случай реализуется при разноименных зарядах движущейся частицы и центра поля, второй – в случае, когда эти заряды одноименные.

3


r
(t)

Vц(t)

Vц

O

.

.

Rц

m1

.

m1

 m2

.

Ц

r

r1ц

r1

r2

m2

.

r(t)

Ц

Л


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30772. Приспособления для рабочего места и безопасного ведения работ на высоте 15.33 KB
  Приспособления для рабочего места и безопасного ведения работ на высоте. К работам на высоте относятся работы при выполнении которых работник находится на расстоянии менее 2 м от неогражденных перепадов по высоте 13 м и более. Рабочие места и проходы к ним зона А расположенные на перекрытиях покрытиях на высоте более 13 м и на расстоянии менее 2 м от границы перепада по высоте должны быть ограждены предохранительными или страховочными защитными ограждениями а при расстоянии более 2м сигнальными ограждениями соответствующими...
30773. Монтаж конструкций со склада и с транспортных средств 16.96 KB
  Монтаж конструкций со склада и с транспортных средств. Метод монтажа в зависимости от организации подачи элементов на монтаж: А со склада Б с колёс Основным условием доставки конструкций транспортными средствами является комплектная и ритмичная их подача в заданной технологической последовательности строго по часовому расписанному по минутам графику непосредственно к месту установки. Монтаж конструкций с транспортных средств по сравнению с предварительной разгрузкой является наиболее экономичным так как сокращаются затраты на...
30774. Классификация методов монтажа в зависимости от последовательности установки элементов 14.82 KB
  Классификация методов монтажа в зависимости от последовательности установки элементов. При раздельном методе одноименные конструкции монтируют или демонтируют самостоятельными потоками совмещенными во времени. Данный метод монтажа и демонтажа рекомендуется при реконструкции пролетов значительной протяженности небольшой внутренней стесненности обеспечивающей развертывание потока при свободном проходе монтажного крана и главное независимости СМР по реконструкции от основной деятельности предприятия. Комплексный метод связан с...
30775. Классификация методов монтажа по степени ограничения свободы перемещения в пространстве 14.68 KB
  По степени ограничения свободы перемещения элементов: А свободный Б ограничено свободный В принудительный оснастка позволяет перемещаться только в 1 необходимом направлении Свободный монтаж при котором монтируемый элемент без какихлибо ограничений устанавливают в проектное положение при его свободном перемещении. Ограниченносвободный монтаж характеризуется тем что монтируемая конструкция устанавливается в направляющие упоры фиксаторы и другие приспособления частично ограничивающие свободу перемещения конструкции но приводящие к...
30776. Выбор самоходного стрелового крана 19.06 KB
  hо превышение монтажного горизонта над уровнем стоянки крана hз запас по высоте для обеспечения безопасности монтажа hэл высота монтируемого элемента hстр высота строповки м вылет стрелы А=сlе где расстояние от оси вращения крана до оси крепления стрелы; горизонтальная проекция стрелы длина стрелы L находится по теореме пифагора мы знаем два катета. Зная необходимые характеристики которыми должен обладать кран поднять необходимую тяжесть с некоторой длинной стрелы. Определяем фактические грузоподьёмность длину...
30777. Подбор башенного крана 16.38 KB
  Подбор башенного крана требуемая грузоподъёмность крана Qтр = Qэл Qстр Qосн т Qэл масса монтируемого элемента Qстр масса строповочного приспособления Qосн масса монтажной оснастки т. Высота подъёма крюка Hкр = hо hз hэл hстр м hо превышение монтажного горизонта над уровнем стоянки крана hз запас по высоте для обеспечения безопасности монтажа hэл высота монтируемого элемента hстр высота строповки м Расчёт вылета стрелы крана производят по формуле б = а 2 b c м где а ширина подкраннового пути b ...
30778. Технико-экономическое сравнение вариантов 13.75 KB
  Исходя из того требуется ли нам выполнить проект быстро или дешево выбирают метод монтажа по раннее подсчитанным показателям : механоёмкости трудоёмкости продолжительности монтажа себестоимости выполнения работ и приведённым затратам. Механоёмкость затраты машинного времени на выполнение единицы монтажа также по ЕНиР. Продолжительность монтажа считается по количеству машиночасов всех монтажных кранов с учётом частичного совмещения во времени их работы на объекте. Себестоимость монтажа сумма прямых затрат и накладных расходов.
30779. Монтаж одноэтажных промышленных зданий. Методы монтажа. Продольная и поперечная схема 16.88 KB
  В этом случае кран двигаясь вдоль пролета монтирует все колонны а затем перемещаясь поперек пролета ведет секционный монтаж. Перед монтажом колонн проверяют их размеры и наносят риски облегчающие установку колонны в стакан фундамента или на оголовки подколенников. Тяжелые колонны обычно монтируют с транспортных средств или предварительно раскладывают колонны основанием обращенным к фундаментам. Тяжелые колонны поднимают и переводят в вертикальное положение способом поворота или скольжения.
30780. Основные технологические процессы при монтаже ж\б колонн в стаканы фундаментов 14.26 KB
  Тяжелые колонны обычно монтируют с транспортных средств или предварительно раскладывают колонны основанием обращенным к фундаментам. Колонны легкого типа как правило предварительно доставляют в зону монтажа и раскладывают вершинами обращенными к фундаменту. Тяжелые колонны поднимают и переводят в вертикальное положение способом поворота или скольжения. Особо тяжелые и нетранспортабельные железобетонные колонны бетонируют в инвентарных формах на позициях обеспечивающих удобное движение монтажного крана и установку с каждой позиции одной...