19009

Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в цен-тральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Лекция

Физика

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействую

Русский

2013-07-11

268 KB

13 чел.

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействующих друг с другом двух тел массами  и .  Это, так называемая, задача «двух тел».

Проще всего решать эту задачу в системе центра масс (Ц-системе). Однако, для большей наглядности мы начнем её решение в лабораторной системе (Л-системе), переходя затем в Ц-систему. Это позволит нам на языке уравнений Лагранжа наглядно продемонстрировать преимущества Ц -системы.

Рассматриваемая механическая система двух тел система имеет 6 степеней свободы: . Обозначим радиус-вектора частиц  в Л-системе  и  (см. рисунок). Тогда функция Лагранжа  в Л-системе будет иметь вид:

   (1)

Шесть уравнений Лагранжа и двенадцать начальных условий в Л-системе имеют обычный вид:

           (2)

Т.к. система замкнута, что её полный импульс сохраняется:

;      где       (3)

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц зависит только от расстояния  между частицами, то с учетом формулы (3), удобно от пары векторных переменных  и  перейти к новым переменным  и  (См. рисунок):

    и         (4)

Из формул (4) находим связь между старыми и новыми переменными:

   (5)

Величина  есть не что иное, как центр инерции системы: . Величина  определяет относительное расположение частиц друг относительно друга.

В Ц -системе, радиус-вектор каждой из частиц   и  будет определяться по формулам:

     (6)

Переход к новым переменным, фактически, представляет движение механической системы из двух тел как движение её как целое (переменная ) и движение каждой из частиц относительно их общего центра инерции (переменные  и ).

Дифференцируя уравнения (5) по времени и подставляя полученные производные в выражение для функции Лагранжа системы (1), получим

  (7)

где введено обозначение

     (9)

Величина  (9) называется приведенной массой двух тел. Функция Лагранжа (7) в новых переменных состоит из двух слагаемых: первое зависит только от величины , причем радиус вектор центра инерции  является циклической переменной. Второе слагаемое зависит только от величин  и , и только в него входит потенциальная энергия взаимодействия . Но это означает, что в новых переменных уравнения Лагранжа для величин  и  будут независимыми – закон относительного движения частиц  никак не связан с движением центра инерции системы .

Из формулы (7) получаем уравнения Лагранжа системы двух тел

    (10)

Уравнения (10) означают, что, во-первых, центр инерции системы движется равномерно и прямолинейно, а, во вторых, относительное движение тел таково, каким было бы движение тела с приведенной массой в потенциале .

Таким образом, для того чтобы определить положение каждой из двух частиц, как в Л-системе, так и в Ц-системе, остается определить зависимость от времени только их относительного движения, т.е. величины .

Таким образом, переход в Ц – системе позволяет задачу с шестью степенями свободы, свести к более простой задаче с тремя степенями свободы. Поэтому следующий шаг состоит в том, чтобы получить уравнение непосредственно для величины . Поэтому становится актуальной проблема изучения движения одной м. точки в заданном внешнем Ц.С. поле . Эта задача в общем виде будет рассматриваться в следующей лекции; сейчас же в связи со вторым уравнением (10) рассмотрим вопрос о силах, которые действуют на частицу в центрально-симметричном поле.

Если потенциальная энергия частицы  зависит только от расстояния  до определенной неподвижной точки, которая называется центром поля, то на частицу со стороны поля действует сила

   (11)

Эта сила по абсолютной величине зависит только от расстояния до центра поля  и направлена в каждой точке  коллинеарною радиус-вектору .  Если , то в данной точке это сила отталкивания . Если , то в данной точке это сила притяжения . Важнейшими ЦС полями являются: гравитационное поле двух точечных масс  (закон всемирного тяготения Ньютона) и электростатическое поле двух точечных зарядов  (закон Кулона):

;           .

;           .

Гравитационное поле может быть только полем притяжения . Кулоновское поле может быть как полем притяжения  так и полем отталкивания , причем первый случай реализуется при разноименных зарядах движущейся частицы и центра поля, второй – в случае, когда эти заряды одноименные.

3


r
(t)

Vц(t)

Vц

O

.

.

Rц

m1

.

m1

 m2

.

Ц

r

r1ц

r1

r2

m2

.

r(t)

Ц

Л


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78669. Программно-целевой метод управления 28 KB
  Программноцелевой метод управления. Программноцелевой метод научнопрограммный и временной способ увязки планируемых целей с ресурсами. Программноцелевой метод в управлении ориентирован на достижение конечного результата в логике поэтапного действия: формирование дерева целей разработка адекватной исполняющей программы реализация управляющей программы. Ключевой идеей программноцелевого метода выступает матрица цель средство иерархическая структура строго сформулированных целей программных элементов каждый из которых служит...
78670. Инновационная стратегия фирмы 33.5 KB
  Инновационная стратегия фирмы. Обычно к таким стратегиям относят. Стратегия непрерывного совершенствования кайзен продукции. Инновационная стратегия целенаправленная деятельность по определению приоритетов перспективного развития организации и их достижению в результате которой обеспечивается новое качество производства и управления.
78671. Прогрессивные формы организации инновационной деятельности :бизнес-инкубаторы, технопарки, технополисы 31 KB
  Инновационная деятельность это процесс направленный на реализацию результатов законченных научных исследований и разработку иных научно технических достижений интеллектуального продукта. Отличительные черты: комплексность по научнопроизводственному циклу научные учреждения вузы промышленные предприятия компактность расположения ограниченность площади расположение в экологически чистых районах. Технополис научнотехнический комплекс соединяющий научнотехническую деятельность с наукоемким производством с хорошо развитой...
78672. Система індукційного нагріву для нагрівання металів до температури оптимальної для пластичної деформації 1.51 MB
  В даному дипломному проекті розроблена система індукційного нагріву, яка призначений для нагрівання металів до температури оптимальної для пластичної деформації. Було визначено питому потужність системи для необхідного розміру деталі та оптимального часу нагрівання. Розглянуто аналоги та їх основні параметри. Розроблена структурна та принципова схеми системи.
78673. Предпринимательство как вид экономической деятельности. Виды предпринимательства 35 KB
  Виды предпринимательства. Рыночная экономика экономика свободного предпринимательства. В зависимости от содержания и направленности предпринимательской деятельности объекта приложения капитала и получения конкретных результатов связи предпринимательской деятельности с основными стадиями воспроизводственного процесса различают следующие виды предпринимательства. Коммерческое торговое предпринимательство Принцип организации торгового предпринимательства несколько отличается от производственного так как предприниматель выступает...
78674. Инфраструктурное обеспечение предпринимательской деятельности 25 KB
  система общих условий воспроизводства предпринимательского типа представляющая собой совокупность техникотехнологических организационноэкономических и социальных взаимосвязей тех элементов инфраструктуры которые обеспечивают обслуживание процесса предпринимательства на уровне макро мезо и микроэкономики. являются научность и системность в формировании и развитии предпринимательства и его инфраструктуры а также постепенность и многообразие моделей инфраструктурного обеспечения предпринимательства. Прежде всего нужна трансформация...
78675. Виды и формы предпринимательской деятельности 39 KB
  Рыночная экономика экономика свободного предпринимательства. В зависимости от содержания и направленности предпринимательской деятельности объекта приложения капитала и получения конкретных результатов связи предпринимательской деятельности с основными стадиями воспроизводственного процесса различают следующие виды предпринимательства: 1. Коммерческое торговое предпринимательство Принцип организации торгового предпринимательства несколько отличается от производственного так как предприниматель выступает непосредственно в роли...
78676. Государственное регулирование предпринимательской деятельности 28.5 KB
  Целью государственного регулирования предпринимательской деятельности является создание определенных условий обеспечивающих нормальное функционирование экономики в целом и стабильное участие предпринимателей страны в международном разделении труда и получение от этого оптимальных выгод. В обобщенном виде в задачи государственного регулирования входят: разработка принятие и контроль за законодательством обеспечивающим правовую основу и защиту интересов предпринимателей; повышение эффективности государственного регулирования и снижение...
78677. Малое предпринимательство, его фин-экон и организационные особенности 41.5 KB
  В современных условиях роль малого бизнеса в рыночной экономике растет. Функции малого бизнеса: Экономические функции малого бизнеса: Придает рыночной системе необходимую гибкость активизация структурных сдвигов процессов разгосударствления и приватизации. Социальные функции малого бизнеса: Обеспечивает рост занятости. Но все перечисленные достоинства малого бизнеса проявляются отнюдь не автоматически.