19009

Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в цен-тральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Лекция

Физика

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействую

Русский

2013-07-11

268 KB

11 чел.

Лекция 7. Движение двух взаимодействующих частиц. Приведение к задаче о движении в центральном поле. Общие закономерности движения в центральном поле

Полное аналитическое решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы из взаимодействующих друг с другом двух тел массами  и .  Это, так называемая, задача «двух тел».

Проще всего решать эту задачу в системе центра масс (Ц-системе). Однако, для большей наглядности мы начнем её решение в лабораторной системе (Л-системе), переходя затем в Ц-систему. Это позволит нам на языке уравнений Лагранжа наглядно продемонстрировать преимущества Ц -системы.

Рассматриваемая механическая система двух тел система имеет 6 степеней свободы: . Обозначим радиус-вектора частиц  в Л-системе  и  (см. рисунок). Тогда функция Лагранжа  в Л-системе будет иметь вид:

   (1)

Шесть уравнений Лагранжа и двенадцать начальных условий в Л-системе имеют обычный вид:

           (2)

Т.к. система замкнута, что её полный импульс сохраняется:

;      где       (3)

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц зависит только от расстояния  между частицами, то с учетом формулы (3), удобно от пары векторных переменных  и  перейти к новым переменным  и  (См. рисунок):

    и         (4)

Из формул (4) находим связь между старыми и новыми переменными:

   (5)

Величина  есть не что иное, как центр инерции системы: . Величина  определяет относительное расположение частиц друг относительно друга.

В Ц -системе, радиус-вектор каждой из частиц   и  будет определяться по формулам:

     (6)

Переход к новым переменным, фактически, представляет движение механической системы из двух тел как движение её как целое (переменная ) и движение каждой из частиц относительно их общего центра инерции (переменные  и ).

Дифференцируя уравнения (5) по времени и подставляя полученные производные в выражение для функции Лагранжа системы (1), получим

  (7)

где введено обозначение

     (9)

Величина  (9) называется приведенной массой двух тел. Функция Лагранжа (7) в новых переменных состоит из двух слагаемых: первое зависит только от величины , причем радиус вектор центра инерции  является циклической переменной. Второе слагаемое зависит только от величин  и , и только в него входит потенциальная энергия взаимодействия . Но это означает, что в новых переменных уравнения Лагранжа для величин  и  будут независимыми – закон относительного движения частиц  никак не связан с движением центра инерции системы .

Из формулы (7) получаем уравнения Лагранжа системы двух тел

    (10)

Уравнения (10) означают, что, во-первых, центр инерции системы движется равномерно и прямолинейно, а, во вторых, относительное движение тел таково, каким было бы движение тела с приведенной массой в потенциале .

Таким образом, для того чтобы определить положение каждой из двух частиц, как в Л-системе, так и в Ц-системе, остается определить зависимость от времени только их относительного движения, т.е. величины .

Таким образом, переход в Ц – системе позволяет задачу с шестью степенями свободы, свести к более простой задаче с тремя степенями свободы. Поэтому следующий шаг состоит в том, чтобы получить уравнение непосредственно для величины . Поэтому становится актуальной проблема изучения движения одной м. точки в заданном внешнем Ц.С. поле . Эта задача в общем виде будет рассматриваться в следующей лекции; сейчас же в связи со вторым уравнением (10) рассмотрим вопрос о силах, которые действуют на частицу в центрально-симметричном поле.

Если потенциальная энергия частицы  зависит только от расстояния  до определенной неподвижной точки, которая называется центром поля, то на частицу со стороны поля действует сила

   (11)

Эта сила по абсолютной величине зависит только от расстояния до центра поля  и направлена в каждой точке  коллинеарною радиус-вектору .  Если , то в данной точке это сила отталкивания . Если , то в данной точке это сила притяжения . Важнейшими ЦС полями являются: гравитационное поле двух точечных масс  (закон всемирного тяготения Ньютона) и электростатическое поле двух точечных зарядов  (закон Кулона):

;           .

;           .

Гравитационное поле может быть только полем притяжения . Кулоновское поле может быть как полем притяжения  так и полем отталкивания , причем первый случай реализуется при разноименных зарядах движущейся частицы и центра поля, второй – в случае, когда эти заряды одноименные.

3


r
(t)

Vц(t)

Vц

O

.

.

Rц

m1

.

m1

 m2

.

Ц

r

r1ц

r1

r2

m2

.

r(t)

Ц

Л


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26474. Железы кожного покрова 45 KB
  На коже вымени: между бёдрами молочное зеркало planum lactiferum или надвыменная область regio supramammaria Под кожей поверхностная фасция вымени беловатая пластинка из плотн. ткани соединительнотканная собственная оболочка долей вымени соединённая прослойками ткани внутри долей вымени стромой stroma gl. mammaria между правой и левой половинами подвешивающая связка вымени lig. suspensorium mammarium на месте связки снизу вымени серединный жёлоб sulcus intermammarius.
26475. Классификация костей 23.5 KB
  Классификация костей Оs longum длинные дугообразные рёбра трубчатые плечевая бедренная общий план строения: биэпифизарные дистальный эпифиз проксимальный эпифиз между эпифизами тело кости диафиз. Зона роста кости в длину проксимальный и дистальный метафиз между эпифизом и диафизом. Os longum короткие равны по длине высоте ширине состоят из компактного и губчатого вещества кости запястья и заплюсны основная функция амортизация Os planum плоские или пластинчатые Имеют обширные...
26476. Кость как орган и её остеогенез 33.5 KB
  соли в кости меняется: Молодость: 1:1 Зрелость: 1:2 Старость: 1:7 кости твёрдые хрупкие С поверхности кость покрыта надкостницей periosteum: Наружный фиброзный слой защитная функция из плотной соединительной ткани содержит много коллагеновых волокон. продольно по отношению к главной оси кости. Костные перегородки остеоны расположены плотно что придаёт кости прочность сравнимую с прочностью гранита. Особо толстый слй компакты там где велики нагрузки кости на излом.
26477. Морфофункциональная характеристика волоса 35.5 KB
  Морфофункциональная характеристика волоса Волосы pili производные эпидермиса тонкие эластичные ороговевающие нити из ороговевшего или ороговевающего эпителия. волосы покрывают почти всё тело Фции: защита терморегуляторная орган осязания Волос состоит из: волосяная нить: стержень scapus pili видимая часть корень radix pili находится в толще кожного покрова корень переходит в луковицу волоса. волосяная сумка чехол в сумку открываются протоки сальных желёз Утолщение корня...
26478. Морфофункциональная характеристика кожного покрова 36.5 KB
  3 составляющих: кожа cutis слизистая оболочка tunica mycosa выстилает изнутри органы пищеварения дыхания размножения мочевыделения производные кожного покрова: железы потовые сальные молочные волосы перья чешуя мякиши роговые образования рога копыта когти СUTIS: epidermis располагается с поверхности представлен многослойным плоским ороговевающим эпителием dermis собственно кожа дерма соединительная ткань subcutis подкожный слой соединительная ткань epidermis 2060мкм эктодермальное происхождение...
26479. Морфофункциональная характеристика мякиша 32 KB
  Морфофункциональная характеристика мякиша МЯКИШИ torus упругие утолщения кожного покрова которые служат для опоры конечности о землю и обеспечивает амортизацию обладают большой чувствительностью осязание имеют хорошо развитый подкожный слой липоциты эласт. волокна располагаются на автоподиях Лошадь запястье пальмарно заплюсна плантарно каштаны пясть плюсна шоры пальцевый мякиш стрелка внутри копыта Собака на грудной запястные пястные пальцевые на тазовой плюсневые пальцевые Свинья КРС...
26480. СПЛАНХНОЛОГИЯ 24.5 KB
  Внутренние органы оъединяют в 3 аппарата: пищеварительный: система органов пищеварения пищеварительный канал пищеварительные железы вспомогательный аппарат жевательные мышцы челюсти зубы мышцы брюшного пресса и т. дыхательный: система органов дыхания дыхательные пути носовая полость глотка гортань трахея органы дыхания лёгкие вспомогательный аппарат органы дыхыхательной распираторики грудная клетка диафрагма мышцы брюшного пресса мочеполовой: почки мочевыводящие...
26481. МЫШЦЫ ГРУДНОЙ КЛЕТКИ 39.5 KB
  cerratus dorsalis craniflis i caudalis e поверхностная мышцы прикрывает мускулатуру позвоночного столба лежит дорсально в области холки в области поясницы закрепление различно у разных видов = инспиратор слабо развит у КРС экспираторнаиболее хорошо выражен у лошади и собаки иннервация венральные ветви спинномозговых нервов межрёберные закрепляется широким апоневрозом на остистых отростках грудных позвонков 58 поясничных позвонков 15 закрепляются зубцами на верхней трети и теле рёбер Л 512 КРС 58...