19010

Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр

Лекция

Физика

Лекция 8. Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр Выберем начло координат в центре поля См. рисунок. В начальный момент времени частица находилась в какото точке имела импульс и следовательно имела относительно центра поля м...

Русский

2013-07-11

828 KB

75 чел.

Лекция 8. Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр

Выберем начло координат  в центре поля (См. рисунок). В начальный момент времени  частица находилась в како-то точке , имела импульс  и, следовательно, имела относительно центра поля момент импульса . Как нам уже известно, при движении в ЦС поле сохраняется момент импульса относительно центра поля:

   (1)

Следовательно, в каждый момент времени величины  и . Поэтому из закона сохранения момента импульса сразу следует, что траектория движение частицы в ЦС всегда остается в одной плоскости, перпендикулярной . Но это означает, что рассматриваемая задача имеет две степени свободы: s=2, а общее решение уравнений движения должно содержать четыре произвольные константы.Выберем ось  вдоль вектора , так, что

,       т.е.         (2)

При таком выборе оси  движение частицы будет происходить в плоскости . (см. рисунок).

Используем далее полярные координаты  и . В полярных координатах ф. Лагранжа имеет известный нам вид:

   (3)

Уравнения Лагранжа будут выглядеть так:

;                 (4)

;                   (5)

Поскольку ф. Лагранжа не зависит явно от угла  , то координата  является циклической. Поэтому из уравнения Лагранжа (5) сразу следует, что сохраняется обобщенный импульс:. Как нам известно, величина . Но при нашем выборе осей координат . Поэтому уравнение (5) выражает закон сохранения момента импульса относительно центра поля:

     (6)

Закон сохранения момента при плоском движении допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Выражение  есть площадь сектора, образованными двумя бесконечно близкими радиус-векторами с углом  между ними и элементом дуги траектории. Поэтому закон сохранения момента импульса (6) можно записать в виде:

      (7)

Производную  называют секториальной скоростью, а закон сохранения момента импульса иногда называется интегралом площадей: за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (второй закон Кеплера).

Из формулы (6) получаем, что

     (8)

Следовательно, угол  монотонно возрастает со временем, т.е. угловая скорость частицы . Из (8) сразу следует, что наибольшее значение угловая скорость достигает при наименьшем расстоянии частицы от центра поля:

   (9)

Полное решение задачи о движении в ЦС проще всего получить, используя законы сохранения энергии и импульса:

  (10)

Из второго уравнения (10) сразу находим угловую скорость

     (11)

Подставляя (11) в первое уравнение (10) получаем:

    (12)

Здесь  - так называемая «эффективная» потенциальная энергия частицы в ЦС поле:

   (13)

Величину  называют центробежной энергией. Соответствующая её центробежная сила всегда является силой отталкивания:

.                             (14)

Только в тех случаях, когда , величина эффективной потенциальной энергии совпадает с истинной потенциальной энергией частицы:

   (15)

Уравнение (12) для радиального движения частицы формально похоже на одномерное уравнение движение частицы с одной степенью свободы, изученное нами ранее. Однако следует помнить, что в рассматриваемой задаче величина  всегда положительна:  и точка  является центром поля. Кроме того, если , то это не точка остановки, как при истинном одномерном движении, а точка остановки радиального движения. Границы области движения (по расстоянию от центра) определяются условием:

    (16)

Уравнение

    (17)

определяет минимальное  и максимальное  расстояния от частицы до центра поля. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что величины  и  зависят от   и , как от параметров рассматриваемой задачи. Из уравнения (12) сразу находим, что

    (18)

Разделяя переменные, получаем:

 (19)

Формула (19) определяет (в неявном виде) зависимость расстояния от частицы до центра поля в любой момент времени . Переписав уравнение (11) и (18) в виде

,           ,

получаем уравнение траектории:

(20)

Здесь  - начальный азимутальный угол. Формула (20) определяет уравнение траектории  частицы в плоскости  в полярных координатах. Таким образом, формулы (19) и (20) полностью решают задачу о движении частицы  в произвольном ЦС поле . вся сложность решения такого рода задач смещается из плоскости физической в математическую плоскость.

Из уравнения (17) находим точки поворота. Если это уравнение имеет всего один корень , то движение частицы инфинитно: её траектория, начинаясь в точке , пройдет через некоторое время точку наибольшего сближения  и затем уйдет на бесконечность. Если уравнение (17) имеет два корня  и , то движение частицы финитно. В этом случае траектория частицы целиком лежит внутри кольца , ограниченного окружностями  и .

Но это вовсе не означает, что при финитном движении траектория частицы непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого расстояние  изменяется от величины  до  и обратно до  , радиус вектор повернется на угол (согласно формуле (20)) на величину

.                               (21)

Условие замкнутости траектории выражается условием: . Тогда, через  повторений периода времени радиус вектор точки, сделав  полных оборотов, совпадет со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется. Можно строго показать, что такая ситуация возможна только для двух потенциалов:  (задача Кеплера) и  (пространственный осциллятор).

В заключение этого раздела рассмотрим вопрос о возможности падения частицы на центр поля, когда поле носит характер притяжения.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда . Это будет иметь место, когда либо начальная скорость равна нулю (), либо когда вектор  коллениарен вектору . Понятно, что во всех этих случаях движение будет прямолинейным: - это уравнение прямой в полярных координатах.

Если  или , то падение на центр неизбежно. Если же начальная скорость направлена от центра, то возможны два случая:

1. Уравнение  не будет иметь решения при . Тогда частица удалится на бесконечность.

2. Уравнение  будет имеет корень . Тогда траектория частицы будет состоять из двух частей. На первом участке частица будет удаляться от центра до расстояния . В точке  частица, имея нулевую скорость, под действием сил притяжения начнет двигаться в обратную сторону и в конечном итоге упадет на центр поля притяжения.

Наконец рассмотрим вопрос о возможности падения на центр в общем случае, когда . Наличие центробежной энергии, стремящейся при  к  по закону , делает обычно невозможным проникновения частиц к центру поля, даже если это поле притяжения. Теоретически, падение на центр возможно лишь тогда, если  достаточно быстро стремиться к  при . Перепишем условие, определяющее область допустимых расстояний, в виде:

    (22)

Необходимо, чтобы это условие выполнялось вплоть до точки . Полагая в последней формуле , запишем её так:

    (23)

Здесь учтено, что при , величина , независимо от значения полной энергии . Последнее неравенство может выполняться в двух случаях:

1.  Если ,   при     (24)

2.  Если ,     при     (25)

Конечно, полученные ограничения на вид потенциальной энергии, означают только, что при их выполнении падение частицы на центр возможно в принципе, т.е. они являются необходимыми условиями падения на центр поля. Но их выполнение вовсе не означает, что в процессе движения частица достигнет центра поля. Это зависит от начальных условий. Например, начальные условия в любом центральном поле можно выбрать так, чтобы частица вращалась по окружности вокруг центра поля. В этом случае падения на центр поля не будет, даже если установленные выше условия будут выполнены.

4

.

t=0

z

x

    y

r0

P0

O

0

0

r(t)

P(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42788. ПРОФИЛЬ ДОРОЖНОЙ ТРАССЫ. ПОСТРОЕНИЕ ПРОФИЛЯ ДОРОЖНОЙ ТРАССЫ 202.05 KB
  Вычисление координат пунктов замкнутого теодолитного хода. Вычисление координат вершин диагонального теодолитного хода. Вычисление отметок съёмочных точек замкнутого хода. Построение прямоугольной сетки и теодолитного хода Нанесение на план съемочных пикетов пикетных точек.
42789. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия ОАО «ТНК-ВР Холдинг» 119.62 KB
  Орджоникидзе Кафедра Управление предприятиями МСК Курсовая работа по дисциплине Анализ и диагностика финансовохозяйственной деятельности предприятия на тему: Анализ и диагностика финансовохозяйственной деятельности предприятия ОАО ТНКВР Холдинг Выполнила: студентка группы ЭГ09 Тутарова...
42790. Усовершенствование организационной структуры ООО «Тез Тур» 127.59 KB
  Анализ организационной структуры управления на примере ООО Тез Тур. Организация управления выступает как один из факторов трансформации экономики через нее реализуется действие объективных законов функционирования рынка; она является организационным началом всей системы факторов радикальной реформы управления экономикой. Ключевой проблемой в организации управления является структура управления оргструктура. Зная структуру можно целенаправленно воздействовать на состав и содержание отдельных элементов...
42791. Индексный метод изучения динамики среднего уровня цен 376.43 KB
  Сущность цены и ее виды 4 Индексный метод изучения динамики среднего уровня цен 6 Формулы индекса цен Пааше и Ласпейреса 6 Идеальная формула цен Фишера 9 Система индексов цен 10 Использование индексного метода 10 Использование выборочного метода для расчета индексов цен 12 Расчетная часть 14 Задание 1 14 Задание 2 19 Задание 3 21 Задание 4 22 Аналитическая часть 24 Заключение 27 Список использованной литературы 28 Введение Так как в практике статистики индексы наряду со средними величинами...
42792. Разработка технологического процесса термической обработки для изготовления кузовов и крыльев легковых автомобилей 380.16 KB
  Анализ условий работы кузовов крыльев автомобилей и выбор марки стали .3 Выбор марки стали для горячей штамповки . 35 Приложение 36 РЕФЕРАТ Курсовая работа содержит информацию о разработке технологического процесса термической обработки кузовов и крыльев легковых автомобилей из стали 5ХНМ. Проведен анализ условий работы кузовов и крыльев легковых автомобилей материалов применяемых для производства данной детали на основании чего выбрана марка стали разработан технологический...
42793. Диагностика финансового состояния предприятия на примере ОАО «Электроприбор» 130.25 KB
  Горячкина Факультет заочного образования Кафедра: Финансы и диагностика предприятия КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине: Анализ финансовохозяйственной деятельности предприятия на тему: Диагностика финансового состояния предприятия на примере ОАО Электроприбор Выполнил: студент 37ЭК3 группы ФЗО Аладьев Н. Анализ имущества и положения...
42794. Технико-экономический расчет для участка распределительной сети 10/0,4 кВ 135.31 KB
  Годовой фонд основной заработной платы одного работника при повременной оплате труда определяется по формуле: ФЗП г о = Бч ∙ Фд ∙ к ∙ Ч руб 4 [ 9 ] где Б ч минимальная часовая ставка оплаты труда минимальный часовой тариф руб час; Фд действ. Минимальная часовая ставка оплаты труда рассчитывается по формуле: Б ч = ЗПм Н руб ч...
42795. ТЯГОВАЯ ПОДСТАНЦИЯ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 6.73 MB
  Пояснительная записка к курсовому проекту ОТЖТ. 18 сентября 2012 года ЗАДАНИЕ На курсовой проект студента группы ЭХ136III курса Батиенко Максима специальности Электроснабжение по отраслям по дисциплине Электрические подстанции 1 Тема курсового проекта Тяговая подстанция переменного тока.2 Транзитная тяговая подстанция переменного тока электрифицированной железной дороги 220 35 275 кВ 3 Курсовой проект состоит из двух частей.6 1Структурная схема тяговой подстанции переменного тока 220 35 275 кВ.
42796. Организационные и технические мероприятия безопасного проведения работ с электроустановками до 1000 В 1.05 MB
  Электроснабжение является неотъемлемой частью жизни каждого человека. С давних времен основной задачей электроснабжения было обеспечение объектов электрической энергией. С помощью электрической энергии освещаются помещения, осуществляется автоматическое управление производственными процессами, приводятся в движение миллионы станков и механизмов и многое другое.