19010

Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр

Лекция

Физика

Лекция 8. Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр Выберем начло координат в центре поля См. рисунок. В начальный момент времени частица находилась в какото точке имела импульс и следовательно имела относительно центра поля м...

Русский

2013-07-11

828 KB

63 чел.

Лекция 8. Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр

Выберем начло координат  в центре поля (См. рисунок). В начальный момент времени  частица находилась в како-то точке , имела импульс  и, следовательно, имела относительно центра поля момент импульса . Как нам уже известно, при движении в ЦС поле сохраняется момент импульса относительно центра поля:

   (1)

Следовательно, в каждый момент времени величины  и . Поэтому из закона сохранения момента импульса сразу следует, что траектория движение частицы в ЦС всегда остается в одной плоскости, перпендикулярной . Но это означает, что рассматриваемая задача имеет две степени свободы: s=2, а общее решение уравнений движения должно содержать четыре произвольные константы.Выберем ось  вдоль вектора , так, что

,       т.е.         (2)

При таком выборе оси  движение частицы будет происходить в плоскости . (см. рисунок).

Используем далее полярные координаты  и . В полярных координатах ф. Лагранжа имеет известный нам вид:

   (3)

Уравнения Лагранжа будут выглядеть так:

;                 (4)

;                   (5)

Поскольку ф. Лагранжа не зависит явно от угла  , то координата  является циклической. Поэтому из уравнения Лагранжа (5) сразу следует, что сохраняется обобщенный импульс:. Как нам известно, величина . Но при нашем выборе осей координат . Поэтому уравнение (5) выражает закон сохранения момента импульса относительно центра поля:

     (6)

Закон сохранения момента при плоском движении допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Выражение  есть площадь сектора, образованными двумя бесконечно близкими радиус-векторами с углом  между ними и элементом дуги траектории. Поэтому закон сохранения момента импульса (6) можно записать в виде:

      (7)

Производную  называют секториальной скоростью, а закон сохранения момента импульса иногда называется интегралом площадей: за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (второй закон Кеплера).

Из формулы (6) получаем, что

     (8)

Следовательно, угол  монотонно возрастает со временем, т.е. угловая скорость частицы . Из (8) сразу следует, что наибольшее значение угловая скорость достигает при наименьшем расстоянии частицы от центра поля:

   (9)

Полное решение задачи о движении в ЦС проще всего получить, используя законы сохранения энергии и импульса:

  (10)

Из второго уравнения (10) сразу находим угловую скорость

     (11)

Подставляя (11) в первое уравнение (10) получаем:

    (12)

Здесь  - так называемая «эффективная» потенциальная энергия частицы в ЦС поле:

   (13)

Величину  называют центробежной энергией. Соответствующая её центробежная сила всегда является силой отталкивания:

.                             (14)

Только в тех случаях, когда , величина эффективной потенциальной энергии совпадает с истинной потенциальной энергией частицы:

   (15)

Уравнение (12) для радиального движения частицы формально похоже на одномерное уравнение движение частицы с одной степенью свободы, изученное нами ранее. Однако следует помнить, что в рассматриваемой задаче величина  всегда положительна:  и точка  является центром поля. Кроме того, если , то это не точка остановки, как при истинном одномерном движении, а точка остановки радиального движения. Границы области движения (по расстоянию от центра) определяются условием:

    (16)

Уравнение

    (17)

определяет минимальное  и максимальное  расстояния от частицы до центра поля. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что величины  и  зависят от   и , как от параметров рассматриваемой задачи. Из уравнения (12) сразу находим, что

    (18)

Разделяя переменные, получаем:

 (19)

Формула (19) определяет (в неявном виде) зависимость расстояния от частицы до центра поля в любой момент времени . Переписав уравнение (11) и (18) в виде

,           ,

получаем уравнение траектории:

(20)

Здесь  - начальный азимутальный угол. Формула (20) определяет уравнение траектории  частицы в плоскости  в полярных координатах. Таким образом, формулы (19) и (20) полностью решают задачу о движении частицы  в произвольном ЦС поле . вся сложность решения такого рода задач смещается из плоскости физической в математическую плоскость.

Из уравнения (17) находим точки поворота. Если это уравнение имеет всего один корень , то движение частицы инфинитно: её траектория, начинаясь в точке , пройдет через некоторое время точку наибольшего сближения  и затем уйдет на бесконечность. Если уравнение (17) имеет два корня  и , то движение частицы финитно. В этом случае траектория частицы целиком лежит внутри кольца , ограниченного окружностями  и .

Но это вовсе не означает, что при финитном движении траектория частицы непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого расстояние  изменяется от величины  до  и обратно до  , радиус вектор повернется на угол (согласно формуле (20)) на величину

.                               (21)

Условие замкнутости траектории выражается условием: . Тогда, через  повторений периода времени радиус вектор точки, сделав  полных оборотов, совпадет со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется. Можно строго показать, что такая ситуация возможна только для двух потенциалов:  (задача Кеплера) и  (пространственный осциллятор).

В заключение этого раздела рассмотрим вопрос о возможности падения частицы на центр поля, когда поле носит характер притяжения.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда . Это будет иметь место, когда либо начальная скорость равна нулю (), либо когда вектор  коллениарен вектору . Понятно, что во всех этих случаях движение будет прямолинейным: - это уравнение прямой в полярных координатах.

Если  или , то падение на центр неизбежно. Если же начальная скорость направлена от центра, то возможны два случая:

1. Уравнение  не будет иметь решения при . Тогда частица удалится на бесконечность.

2. Уравнение  будет имеет корень . Тогда траектория частицы будет состоять из двух частей. На первом участке частица будет удаляться от центра до расстояния . В точке  частица, имея нулевую скорость, под действием сил притяжения начнет двигаться в обратную сторону и в конечном итоге упадет на центр поля притяжения.

Наконец рассмотрим вопрос о возможности падения на центр в общем случае, когда . Наличие центробежной энергии, стремящейся при  к  по закону , делает обычно невозможным проникновения частиц к центру поля, даже если это поле притяжения. Теоретически, падение на центр возможно лишь тогда, если  достаточно быстро стремиться к  при . Перепишем условие, определяющее область допустимых расстояний, в виде:

    (22)

Необходимо, чтобы это условие выполнялось вплоть до точки . Полагая в последней формуле , запишем её так:

    (23)

Здесь учтено, что при , величина , независимо от значения полной энергии . Последнее неравенство может выполняться в двух случаях:

1.  Если ,   при     (24)

2.  Если ,     при     (25)

Конечно, полученные ограничения на вид потенциальной энергии, означают только, что при их выполнении падение частицы на центр возможно в принципе, т.е. они являются необходимыми условиями падения на центр поля. Но их выполнение вовсе не означает, что в процессе движения частица достигнет центра поля. Это зависит от начальных условий. Например, начальные условия в любом центральном поле можно выбрать так, чтобы частица вращалась по окружности вокруг центра поля. В этом случае падения на центр поля не будет, даже если установленные выше условия будут выполнены.

4

.

t=0

z

x

    y

r0

P0

O

0

0

r(t)

P(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22171. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ 112.5 KB
  ОБЩИЕ ПОНЯТИЕ ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ ЯВЛЕНИЙ В отличие от механической энергии которая может изменяться только за счет работы внутренняя энергия может изменяться как за счет работы так и при контакте с телами имеющими другую температуру т.При соприкосновении двух тел имеющих различную температуру происходит обмен энергией движения структурных частиц молекул атомов свободных электронов вследствие чего интенсивность движения частиц тела имеющего меньшую температуру увеличивается а интенсивность движения частиц тела с более высокой...
22172. ТЕРМОМАГНИТНЫЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 195 KB
  Зависимость парамагнитной восприимчивости от Температуры 4 2. Экспериментально достижимая область температур постоянно понижается; вместе с тем повышаются требования к точности измерения температуры поэтому конструирование новых и надёжных приборов становиться жизненно необходимой задачей. Можно сказать что измерение температуры в миллиградусном диапазоне более сложно чем само достижение этих температур и едва ли менее важно.
22173. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ. Конструкция термопар 5.65 MB
  Если один спай термопары называемый рабочим спаем поместить в среду с температурой t1 подлежащей измерению а температуру другого – нерабочего – спая поддерживать постоянной то и независимо от того каким образом произведено соединение термоэлектродов спайкой сваркой и т. Таким образом естественной входной величиной термопары является температура t1 ее рабочего спая а выходной величиной термоэ. Приборы представляющие собой сочетание термопары и указателя используемые для измерения температуры часто называют не термометрами а...
22174. ТЕРМОСОПРОТИВЛЕНИЯ 1.45 MB
  4 Преобразователи промышленных термометров сопротивления.19 Измерительные цепи термометров сопротивления. Термосопротивлением называется проводник или полупроводник с большим температурным коэффициентом сопротивления находящийся в теплообмене с окружающей средой вследствие чего его сопротивление резко зависит от температуры и поэтому определяется режимом теплового обмена между проводником и средой.
22175. Основы организации финансов предприятий 68 KB
  Финансы – это наука об управлении денежными потоками. Это экономические отношения по поводу создания, распределения и использования фондов денежных средств. Финансы организаций это тоже экономические отношения, но на микроэкономическом уровне. В нашем курсе понятие организация и предприятие (фирма) совпадают и в дальнейшем будут взаимозаменяемы.
22176. Трансформаторные преобразователи перемещения 154.5 KB
  К одной из них первичной или обмотки возбуждения подводится переменное напряжение питания U а с другой вторичной или сигнальной обмотки снимается индуцированное в ней напряжение Uвых зависящее от коэффициента взаимоиндукции. Eг = jωMI1 где ω – частота питающего напряжения; M – взаимная индуктивность обмоток; I1 – ток протекающий в цепи первичной обмотки. Включение обмотки возбуждения в сеть Чувствительность преобразователя можно увеличить за счет: Увеличения ампервитков обмотки возбуждения до индукции в стали магнитопровода 1 –...
22177. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ 590 KB
  Биологические нейронные сети 3. Нейронные сети и алгоритм обучения персептрона 1. Оптическая память и нейронные сети Москва 1994 г. Поэтому коннекционная машина или нейронная сеть должна состоять из сети с множеством соединений сравнительно простых процессоров узлы устройства или искусственные нейроны каждый из которых имеет много входов и один выход.
22178. ПЕРСЕПТРОНЫ 260.5 KB
  Сети состоящие из одного слоя персептронных нейронов соединенных с помощью весовых коэффициентов с множеством входов см. Подобно биологическим системам которые они моделируют нейронные сети сами моделируют себя в результате попыток достичь лучшей модели поведения. При обучении нейронной сети мы действуем совершенно аналогично. Предъявляя изображение буквы А на вход нейронной сети мы получаем от нее некоторый ответ не обязательно верный.
22179. Нечеткие запросы к реляционным базам данных 81 KB
  К усиливающим относится модификатор Очень Very к ослабляющим – Болееилименее или Приблизительно Почти moreorless нечеткие множества которых описываются функциями принадлежности вида: Для примера формализуем нечеткое понятие Возраст сотрудника компании . Последнее что осталось сделать – построить функции принадлежности для каждого лингвистического терма. Выберем трапецеидальные функции принадлежности со следующими координатами: Молодой = [18 18 28 34] Средний = [28 35 45 50] Выше среднего = [42 53 60 60]. Теперь можно...