19010

Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр

Лекция

Физика

Лекция 8. Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр Выберем начло координат в центре поля См. рисунок. В начальный момент времени частица находилась в какото точке имела импульс и следовательно имела относительно центра поля м...

Русский

2013-07-11

828 KB

67 чел.

Лекция 8. Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр

Выберем начло координат  в центре поля (См. рисунок). В начальный момент времени  частица находилась в како-то точке , имела импульс  и, следовательно, имела относительно центра поля момент импульса . Как нам уже известно, при движении в ЦС поле сохраняется момент импульса относительно центра поля:

   (1)

Следовательно, в каждый момент времени величины  и . Поэтому из закона сохранения момента импульса сразу следует, что траектория движение частицы в ЦС всегда остается в одной плоскости, перпендикулярной . Но это означает, что рассматриваемая задача имеет две степени свободы: s=2, а общее решение уравнений движения должно содержать четыре произвольные константы.Выберем ось  вдоль вектора , так, что

,       т.е.         (2)

При таком выборе оси  движение частицы будет происходить в плоскости . (см. рисунок).

Используем далее полярные координаты  и . В полярных координатах ф. Лагранжа имеет известный нам вид:

   (3)

Уравнения Лагранжа будут выглядеть так:

;                 (4)

;                   (5)

Поскольку ф. Лагранжа не зависит явно от угла  , то координата  является циклической. Поэтому из уравнения Лагранжа (5) сразу следует, что сохраняется обобщенный импульс:. Как нам известно, величина . Но при нашем выборе осей координат . Поэтому уравнение (5) выражает закон сохранения момента импульса относительно центра поля:

     (6)

Закон сохранения момента при плоском движении допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Выражение  есть площадь сектора, образованными двумя бесконечно близкими радиус-векторами с углом  между ними и элементом дуги траектории. Поэтому закон сохранения момента импульса (6) можно записать в виде:

      (7)

Производную  называют секториальной скоростью, а закон сохранения момента импульса иногда называется интегралом площадей: за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (второй закон Кеплера).

Из формулы (6) получаем, что

     (8)

Следовательно, угол  монотонно возрастает со временем, т.е. угловая скорость частицы . Из (8) сразу следует, что наибольшее значение угловая скорость достигает при наименьшем расстоянии частицы от центра поля:

   (9)

Полное решение задачи о движении в ЦС проще всего получить, используя законы сохранения энергии и импульса:

  (10)

Из второго уравнения (10) сразу находим угловую скорость

     (11)

Подставляя (11) в первое уравнение (10) получаем:

    (12)

Здесь  - так называемая «эффективная» потенциальная энергия частицы в ЦС поле:

   (13)

Величину  называют центробежной энергией. Соответствующая её центробежная сила всегда является силой отталкивания:

.                             (14)

Только в тех случаях, когда , величина эффективной потенциальной энергии совпадает с истинной потенциальной энергией частицы:

   (15)

Уравнение (12) для радиального движения частицы формально похоже на одномерное уравнение движение частицы с одной степенью свободы, изученное нами ранее. Однако следует помнить, что в рассматриваемой задаче величина  всегда положительна:  и точка  является центром поля. Кроме того, если , то это не точка остановки, как при истинном одномерном движении, а точка остановки радиального движения. Границы области движения (по расстоянию от центра) определяются условием:

    (16)

Уравнение

    (17)

определяет минимальное  и максимальное  расстояния от частицы до центра поля. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что величины  и  зависят от   и , как от параметров рассматриваемой задачи. Из уравнения (12) сразу находим, что

    (18)

Разделяя переменные, получаем:

 (19)

Формула (19) определяет (в неявном виде) зависимость расстояния от частицы до центра поля в любой момент времени . Переписав уравнение (11) и (18) в виде

,           ,

получаем уравнение траектории:

(20)

Здесь  - начальный азимутальный угол. Формула (20) определяет уравнение траектории  частицы в плоскости  в полярных координатах. Таким образом, формулы (19) и (20) полностью решают задачу о движении частицы  в произвольном ЦС поле . вся сложность решения такого рода задач смещается из плоскости физической в математическую плоскость.

Из уравнения (17) находим точки поворота. Если это уравнение имеет всего один корень , то движение частицы инфинитно: её траектория, начинаясь в точке , пройдет через некоторое время точку наибольшего сближения  и затем уйдет на бесконечность. Если уравнение (17) имеет два корня  и , то движение частицы финитно. В этом случае траектория частицы целиком лежит внутри кольца , ограниченного окружностями  и .

Но это вовсе не означает, что при финитном движении траектория частицы непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого расстояние  изменяется от величины  до  и обратно до  , радиус вектор повернется на угол (согласно формуле (20)) на величину

.                               (21)

Условие замкнутости траектории выражается условием: . Тогда, через  повторений периода времени радиус вектор точки, сделав  полных оборотов, совпадет со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется. Можно строго показать, что такая ситуация возможна только для двух потенциалов:  (задача Кеплера) и  (пространственный осциллятор).

В заключение этого раздела рассмотрим вопрос о возможности падения частицы на центр поля, когда поле носит характер притяжения.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда . Это будет иметь место, когда либо начальная скорость равна нулю (), либо когда вектор  коллениарен вектору . Понятно, что во всех этих случаях движение будет прямолинейным: - это уравнение прямой в полярных координатах.

Если  или , то падение на центр неизбежно. Если же начальная скорость направлена от центра, то возможны два случая:

1. Уравнение  не будет иметь решения при . Тогда частица удалится на бесконечность.

2. Уравнение  будет имеет корень . Тогда траектория частицы будет состоять из двух частей. На первом участке частица будет удаляться от центра до расстояния . В точке  частица, имея нулевую скорость, под действием сил притяжения начнет двигаться в обратную сторону и в конечном итоге упадет на центр поля притяжения.

Наконец рассмотрим вопрос о возможности падения на центр в общем случае, когда . Наличие центробежной энергии, стремящейся при  к  по закону , делает обычно невозможным проникновения частиц к центру поля, даже если это поле притяжения. Теоретически, падение на центр возможно лишь тогда, если  достаточно быстро стремиться к  при . Перепишем условие, определяющее область допустимых расстояний, в виде:

    (22)

Необходимо, чтобы это условие выполнялось вплоть до точки . Полагая в последней формуле , запишем её так:

    (23)

Здесь учтено, что при , величина , независимо от значения полной энергии . Последнее неравенство может выполняться в двух случаях:

1.  Если ,   при     (24)

2.  Если ,     при     (25)

Конечно, полученные ограничения на вид потенциальной энергии, означают только, что при их выполнении падение частицы на центр возможно в принципе, т.е. они являются необходимыми условиями падения на центр поля. Но их выполнение вовсе не означает, что в процессе движения частица достигнет центра поля. Это зависит от начальных условий. Например, начальные условия в любом центральном поле можно выбрать так, чтобы частица вращалась по окружности вокруг центра поля. В этом случае падения на центр поля не будет, даже если установленные выше условия будут выполнены.

4

.

t=0

z

x

    y

r0

P0

O

0

0

r(t)

P(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18886. Бытовой жанр в русской живописи 19в. П.А.Федотов, В.Г.Перов, И.Е. Репин, Передвижники 25.74 KB
  Бытовой жанр в русской живописи 19в. П.А.Федотов В.Г.Перов И.Е. Репин Передвижники. П.А.Федотов ― добрая ирония и красота предметного мира. Сватовство майора Вдовушка Анкор ещё анкор. В.Г.Перов ― острота социальной критики Крестный ход на Пасху Тройка Провод...
18887. Постимпрессионизм. В. Ван Гог, П.Гоген, П.Сезанн 23.7 KB
  Постимпрессионизм. В. Ван Гог П.Гоген П.Сезанн. Постимпрессионизм от лат. post после и импрессионизм условное собирательное обозначение основных направлений французской живописи конца XIX начала XX вв. Мастера постимпрессионизма многие из которых ранее примыкали к имп...
18888. Русский классицизм. Универсальный стиль эпохи. От Екатерины II до Александра I 27.9 KB
  Русский классицизм. Универсальный стиль эпохи. От Екатерины II до Александра I. Русский классицизм архитектурный стиль распространённый в России во второй половине 18 19вв. Особенностью русского классицизма являлось эклектическое сочетание в одном произведении разнос...
18889. Художественное объединение «Мир искусства» 28.78 KB
  Художественное объединение Мир искусства. Мир искусства русское художественное объединение. Оформилось в конце 1890х гг. официально в 1900 в Петербурге на основе кружка молодых художников и любителей искусства во главе с А. Н. Бенуа и С. П. Дягилевым. Как выставочный...
18890. Стиль Ампир. Величие и закат классицизма 22.13 KB
  Стиль Ампир. Величие и закат классицизма. Ампи́р от фр. empire империя стиль позднего высокого классицизма в архитектуре и прикладном искусстве. Возник во Франции в период правления императора Наполеона I; развивался в течение трёх первых десятилетий 19 века; сменил...
18891. Нелинейная архитектура 24.7 KB
  Нелинейная архитектура. Архитектура последнего десятилетия XX века ориентированная на новую сверхмощную компьютерную технологию продемонстрировала стремление к небывалому авангардистскому по сути прорыву в области формообразования на фоне которого переломы пост
18892. От «социалистического реализма» к « суровому стилю». Живопись советского периода 30х – 60х гг. XX века 28.82 KB
  От социалистического реализма к суровому стилю. Живопись советского периода 30х 60х гг. XX века. В 30е годы Рабочий и колхозница Мухиной. В начале 30х годов произошел серьезный перелом. 1932 год вышло постановление ЦКВКПБ о перестройке литературных художественных о
18893. Архитектура Возрождения 24.96 KB
  Архитектура Возрождения период развития архитектуры в европейских странах с начала XV до начала XVII века в общем течении Возрождения и развития основ духовной и материальной культуры Древней Греции и Рима. Этот период является переломным моментом в Истории Архитектуры...
18894. Архитектура 30-50-ых гг 25.07 KB
  Архитектура 30-50-ых гг. Новаторские черты вступали в сложные отношения с традициями в творчестве мастеров сложившихся еще до революции. Таким явлением оказалось здание Мавзолея В. И. Ленина выстроенный архитектором Щусевым. В первоначальном варианте он был выстроен