19010

Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр

Лекция

Физика

Лекция 8. Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр Выберем начло координат в центре поля См. рисунок. В начальный момент времени частица находилась в какото точке имела импульс и следовательно имела относительно центра поля м...

Русский

2013-07-11

828 KB

68 чел.

Лекция 8. Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр

Выберем начло координат  в центре поля (См. рисунок). В начальный момент времени  частица находилась в како-то точке , имела импульс  и, следовательно, имела относительно центра поля момент импульса . Как нам уже известно, при движении в ЦС поле сохраняется момент импульса относительно центра поля:

   (1)

Следовательно, в каждый момент времени величины  и . Поэтому из закона сохранения момента импульса сразу следует, что траектория движение частицы в ЦС всегда остается в одной плоскости, перпендикулярной . Но это означает, что рассматриваемая задача имеет две степени свободы: s=2, а общее решение уравнений движения должно содержать четыре произвольные константы.Выберем ось  вдоль вектора , так, что

,       т.е.         (2)

При таком выборе оси  движение частицы будет происходить в плоскости . (см. рисунок).

Используем далее полярные координаты  и . В полярных координатах ф. Лагранжа имеет известный нам вид:

   (3)

Уравнения Лагранжа будут выглядеть так:

;                 (4)

;                   (5)

Поскольку ф. Лагранжа не зависит явно от угла  , то координата  является циклической. Поэтому из уравнения Лагранжа (5) сразу следует, что сохраняется обобщенный импульс:. Как нам известно, величина . Но при нашем выборе осей координат . Поэтому уравнение (5) выражает закон сохранения момента импульса относительно центра поля:

     (6)

Закон сохранения момента при плоском движении допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Выражение  есть площадь сектора, образованными двумя бесконечно близкими радиус-векторами с углом  между ними и элементом дуги траектории. Поэтому закон сохранения момента импульса (6) можно записать в виде:

      (7)

Производную  называют секториальной скоростью, а закон сохранения момента импульса иногда называется интегралом площадей: за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (второй закон Кеплера).

Из формулы (6) получаем, что

     (8)

Следовательно, угол  монотонно возрастает со временем, т.е. угловая скорость частицы . Из (8) сразу следует, что наибольшее значение угловая скорость достигает при наименьшем расстоянии частицы от центра поля:

   (9)

Полное решение задачи о движении в ЦС проще всего получить, используя законы сохранения энергии и импульса:

  (10)

Из второго уравнения (10) сразу находим угловую скорость

     (11)

Подставляя (11) в первое уравнение (10) получаем:

    (12)

Здесь  - так называемая «эффективная» потенциальная энергия частицы в ЦС поле:

   (13)

Величину  называют центробежной энергией. Соответствующая её центробежная сила всегда является силой отталкивания:

.                             (14)

Только в тех случаях, когда , величина эффективной потенциальной энергии совпадает с истинной потенциальной энергией частицы:

   (15)

Уравнение (12) для радиального движения частицы формально похоже на одномерное уравнение движение частицы с одной степенью свободы, изученное нами ранее. Однако следует помнить, что в рассматриваемой задаче величина  всегда положительна:  и точка  является центром поля. Кроме того, если , то это не точка остановки, как при истинном одномерном движении, а точка остановки радиального движения. Границы области движения (по расстоянию от центра) определяются условием:

    (16)

Уравнение

    (17)

определяет минимальное  и максимальное  расстояния от частицы до центра поля. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что величины  и  зависят от   и , как от параметров рассматриваемой задачи. Из уравнения (12) сразу находим, что

    (18)

Разделяя переменные, получаем:

 (19)

Формула (19) определяет (в неявном виде) зависимость расстояния от частицы до центра поля в любой момент времени . Переписав уравнение (11) и (18) в виде

,           ,

получаем уравнение траектории:

(20)

Здесь  - начальный азимутальный угол. Формула (20) определяет уравнение траектории  частицы в плоскости  в полярных координатах. Таким образом, формулы (19) и (20) полностью решают задачу о движении частицы  в произвольном ЦС поле . вся сложность решения такого рода задач смещается из плоскости физической в математическую плоскость.

Из уравнения (17) находим точки поворота. Если это уравнение имеет всего один корень , то движение частицы инфинитно: её траектория, начинаясь в точке , пройдет через некоторое время точку наибольшего сближения  и затем уйдет на бесконечность. Если уравнение (17) имеет два корня  и , то движение частицы финитно. В этом случае траектория частицы целиком лежит внутри кольца , ограниченного окружностями  и .

Но это вовсе не означает, что при финитном движении траектория частицы непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого расстояние  изменяется от величины  до  и обратно до  , радиус вектор повернется на угол (согласно формуле (20)) на величину

.                               (21)

Условие замкнутости траектории выражается условием: . Тогда, через  повторений периода времени радиус вектор точки, сделав  полных оборотов, совпадет со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется. Можно строго показать, что такая ситуация возможна только для двух потенциалов:  (задача Кеплера) и  (пространственный осциллятор).

В заключение этого раздела рассмотрим вопрос о возможности падения частицы на центр поля, когда поле носит характер притяжения.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда . Это будет иметь место, когда либо начальная скорость равна нулю (), либо когда вектор  коллениарен вектору . Понятно, что во всех этих случаях движение будет прямолинейным: - это уравнение прямой в полярных координатах.

Если  или , то падение на центр неизбежно. Если же начальная скорость направлена от центра, то возможны два случая:

1. Уравнение  не будет иметь решения при . Тогда частица удалится на бесконечность.

2. Уравнение  будет имеет корень . Тогда траектория частицы будет состоять из двух частей. На первом участке частица будет удаляться от центра до расстояния . В точке  частица, имея нулевую скорость, под действием сил притяжения начнет двигаться в обратную сторону и в конечном итоге упадет на центр поля притяжения.

Наконец рассмотрим вопрос о возможности падения на центр в общем случае, когда . Наличие центробежной энергии, стремящейся при  к  по закону , делает обычно невозможным проникновения частиц к центру поля, даже если это поле притяжения. Теоретически, падение на центр возможно лишь тогда, если  достаточно быстро стремиться к  при . Перепишем условие, определяющее область допустимых расстояний, в виде:

    (22)

Необходимо, чтобы это условие выполнялось вплоть до точки . Полагая в последней формуле , запишем её так:

    (23)

Здесь учтено, что при , величина , независимо от значения полной энергии . Последнее неравенство может выполняться в двух случаях:

1.  Если ,   при     (24)

2.  Если ,     при     (25)

Конечно, полученные ограничения на вид потенциальной энергии, означают только, что при их выполнении падение частицы на центр возможно в принципе, т.е. они являются необходимыми условиями падения на центр поля. Но их выполнение вовсе не означает, что в процессе движения частица достигнет центра поля. Это зависит от начальных условий. Например, начальные условия в любом центральном поле можно выбрать так, чтобы частица вращалась по окружности вокруг центра поля. В этом случае падения на центр поля не будет, даже если установленные выше условия будут выполнены.

4

.

t=0

z

x

    y

r0

P0

O

0

0

r(t)

P(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40589. Создание SADT-диаграмм по произвольным проектам 48 KB
  Организационный момент 23 мин: Приветствие фиксация отсутствующих проверка санитарного состояния аудитории заполнение журнала рапортички проверка подготовленности студентов к занятию. Напоминание правил техники безопасности при работе с ПК; 2. Сообщение темы цели и задач практикума 23 мин: Цели: Приобретение навыков создания SDT моделей по методологии IDEF0. Актуализация опорных знаний и умений студентов 1015 мин: устный опрос занятие 24 п.
40590. Метод моделирования IDEF1 35.48 KB
  Сущность в методологии IDEF1X является независимой от идентификаторов или просто независимой если каждый экземпляр сущности может быть однозначно идентифицирован без определения его отношений с другими сущностями. Сущность называется зависимой от идентификаторов или просто зависимой если однозначная идентификация экземпляра сущности зависит от его отношения к другой сущности рисунок 1. Сущности Каждой сущности присваивается уникальное имя и номер разделяемые косой чертой и помещаемые над блоком. Связь может дополнительно определяться с...
40591. Создание ERD диаграмм методом IDEF I 48.5 KB
  Организационный момент 23 мин: Приветствие фиксация отсутствующих проверка санитарного состояния аудитории заполнение журнала рапортички проверка подготовленности студентов к занятию. Напоминание правил техники безопасности при работе с ПК; 2. Сообщение темы цели и задач практикума 23 мин: Цели: Приобретение навыков создания SDT моделей по методологии IDEF0. Актуализация опорных знаний и умений студентов 1015 мин: устный опрос занятие 27 п.
40592. Сущность объектно-ориентированного подхода 16.76 KB
  Объектноориентированный подход использует объектную декомпозицию при этом статическая структура системы описывается в терминах объектов и связей между ними а поведение системы описывается в терминах обмена сообщениями между объектами. Каждый объект системы обладает своим собственным поведением моделирующим поведение объекта реального мира. Абстрагирование это выделение существенных характеристик некоторого объекта которые отличают его от всех других видов объектов и таким образом четко определяют его концептуальные границы...
40593. Унифицированный язык UML 17.75 KB
  Например нотация диаграммы классов определяет каким образом представляются такие элементы и понятия как класс ассоциация и множественность. Определение классов и объектов одна из самых сложных задач объектноориентированного проектирования. Наследование означает построение новых классов на основе существующих с возможностью добавления или переопределения данных и методов. Наследование и полиморфизм обеспечивают возможность определения новой функциональности классов с помощью создания производных классов потомков базовых классов.
40594. Диаграммы вариантов использования 52.06 KB
  Суть диаграммы вариантов использования состоит в следующем. Проектируемая система представляется в виде множества сущностей или актеров взаимодействующих с системой с помощью вариантов использования. Вариант использования служит для описания сервисов которые система предоставляет актеру.
40595. Диаграммы классов 37.79 KB
  Диаграмма классов определяет типы объектов системы и различного рода статические связи которые существуют между ними.1 Диаграмма классов На диаграммах классов изображаются также атрибуты классов операции классов и ограничения которые накладываются на связи между объектами.1 изображена типичная диаграмма классов.
40596. Диаграммы состояний 39.47 KB
  Диаграмма состояний показывает автомат. Ее частной разновидностью является диаграмма деятельности в которой все или большая часть состояний это состояния деятельности а все или большая часть переходов инициируются в результате завершения деятельности в исходном состоянии. Таким образом при моделировании жизненного цикла объекта полезны как диаграммы деятельности так и диаграммы состояний.
40597. Диаграммы потоков данных DED. АИС 55 KB
  Вендрова Проектирование ПО Ход урока Организационный момент 24 мин: Приветствие оформление документов к занятию Повторение пройденного материала применяемая методика выводы1520 мин Устные ответы на вопросы занятие 10 п.5 Сообщение темы урока постановка цели и задачи:13 мин: Изучить и закрепить на примере понятие модели информационной системы; Изучить основные элементы DFD диаграмм Изложение нового материала применяемая методика: 5060 мин. лекция с опорой на презентацию понятие модели; цель...