19011

Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Лекция

Физика

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля Рассмотрим движение частицы массы во внешнем поле ; 1 когда Это соответствует полю притяж...

Русский

2013-07-11

1.28 MB

6 чел.

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Рассмотрим движение частицы массы  во внешнем поле

;             (1)

когда

Это соответствует полю притяжения, т.е., так называемую задачу Кеплера. Будем считать, что начальный радиус - вектор  и начальный импульс  лежат в плоскости . Тогда движение частицы будет происходить только в этой плоскости

Направим ось  так, чтобы она  совпадала с направлением вектора . Тогда будем иметь, что  . Отсюда следует, что  и, следовательно, , где  - значение азимутального угла при .

Эффективная потенциальная энергия в рассматриваемом поле (1)

    (2)

Если , то  и  движение будет происходить по прямой: . В этом простейшем случае, величина эффективной потенциальной энергии (2) совпадает с реальной потенциальной энергией. Этот случай сводится к одномерному движению, поэтому далее мы будем предполагать, что . В этом случае азимутальный угол  будет монотонно возрастать со временем: .

Исследуем подробно зависимость  для случая .  При  величина  по закону . при  величина  со стороны отрицательных значений по закону .

В точке

,                                                  (3)

величина  имеет локальный  минимум:

,                                (4)

В точке

,                                                 (5)

график функции  обращается в ноль: Другими словами, график зависимости , имеет вид «потенциальной ямы».

Таким образом, значение величины  определяет как положение точки минимума, так и расстояние, на котором , т.е.  определяет основные параметры эффективной потенциальной энергии. Поэтому, величину  называют параметром орбиты. В поле притяжения  величина  всегда положительна и определяется моментом импульса .

С учетом (5) выражение для величины  можно записать в виде:

    (6)

Из формулы (6) видно, что величина  играет роль характерной длины в данной задаче. Поэтому удобно измерять расстояние до центра в единицах , которое мы будем обозначать буквой (приведенное расстояние):

                     (7)

В терминах приведенных расстояний, формулу (6) можно записать в виде:

  (8)

Из формулы (8) следует, что  имеет минимум при . Из предыдущей лекции нам известно, что область допустимых расстояний до центра поля, где может происходить движение частицы, определяется из уравнения . В нашем случае, используя выражение (8), получаем:

     (9)

Решение уравнения (9), квадратного относительно переменной , дает:

     (10)

Величина  в формуле (10) определяется выражением:

   (11)

Величина  называется эксцентриситетом орбиты.

Параметр орбиты, может быть определен всегда, при заданном значении . Что касается эксцентриситета орбиты, то величина  может быть рассчитана только в том случае, когда выполняется неравенство:

,        т.е.       (12)

Полная механическая энергия  может быть как положительной, так и отрицательной или равной нулю, в зависимости от начальных значений  и :

   (13)

Если энергия частицы не отрицательна (), то неравенство (12) выполняется автоматически. В этом случае эксцентриситет орбиты всегда больше или равен единицы:

   (14)

Поэтому в формуле (10) можно брать только знак «+», т.к. в противном случае дробь будет отрицательной. Но это означает, что при  уравнение  имеет только один положительный корень:

   (15)

Из формулы (15) видно, что при  . Т.о., в этом случае имеется только одна точка поворота  и движение частицы будет инфинитным в области расстояний от центра поля: .

Теперь рассмотрим противоположный случай, когда энергия частицы отрицательна:. В этом случае неравенство (12) будет выполняться не всегда, а только в том случае, если величина энергии частицы удовлетворяет условию

;              (16)

В этом случае эксцентриситет орбиты

    (17)

меньше единицы и изменяется в пределах:

Это означает, что при  уравнение  имеет два корня:  и :

      и           (18)

Следовательно, движение частицы финитно, и происходит в области расстояний до центра поля

    (19)

Из формулы (19) видно, что эксцентриситет определяет степень “вытянутости” орбиты. Если  то орбита сильно вытянута, т.к. , а . Наоборот, если , то и  и . Если энергия частицы определяется формулой

    (20)

то . Следовательно, частица все время находится на одном и том же расстоянии от центра, т.е. вращается по окружности, радиуса

      (21)

Здесь - начальное расстояние частицы от центра поля  при .

Итак, мы выполнили предварительный анализ характера траектории частицы. Мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным и даже определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения по окружности при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь проведем анализ возможных траекторий движения в задаче Кеплера.

3

t=0

z

x

    y

r0

P0

O

0

0

r(t)

P(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54378. Розвязування задач за допомогою пропорцій 1.11 MB
  Мета та задачі уроку: Закріпити поняття відношення та пропорції їх основні властивості способи запису види залежності між величинами правило знаходження невідомого члена пропорції показати звязок музики архітектури кулінарії економіки з математикою підвищувати зацікавленість учнів предметом. Продовжувати формування навичок оформлення скороченої умови задачі за допомогою таблиці формувати навички складання пропорцій та добутків розвивати вміння знаходити невідомий член пропорції розвивати життєві полікультурні мовленеві...
54379. Фізичні якості м’язів. Робота м’язів 57 KB
  Мета: Освітня продовжити формувати знання учнів про функції мязів в організмі;ознайомитись з фізичними якостями мязів тіла людини; встановити відмінності динамічної та статичної роботи мязів; визначити причини втоми; вивести правило оптимальної роботи мязів. Розвиваюча розвивати уміння порівнювати функції та фізичні якості мязів робити висновки та узагальнення.
54380. ЕКОНОМІЧНИЙ СПОСІБ МИСЛЕННЯ ТА ПРОБЛЕМИ ЙОГО ВИХОВАННЯ В ПРОЦЕСІ ВИКЛАДАННЯ ЕКОНОМІКИ У ЗАГАЛЬНООСВІТНІХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДАХ 54 KB
  Адже нею є формування в учнів економічного способу мислення ЕСМ. Ще 1776 року у своїй епохальній праці Дослідження про природу і багатство народів Адам Сміт розкрив ЕСМ як метод всебічного дослідження змін що відбуваються у суспільстві. Але головним дослідником і популяризатором ідеї ЕСМ згодом став американський економіст Пол Хейне. Хейне винайшов цікаву аналогію для розуміння ЕСМ: дорожній рух в години пік.
54381. Основные тенденции развития российской культуры в конце XX - начале XXI веков 20.76 KB
  Одной из особенностей развития российской культуры рубежа XX-XXI вв. является ее деидеологизированность и плюрализм творческого поиска. В элитарной художественной литературе и изобразительном искусстве пост - советской России на первый план вышли произведения авангардистского направления
54382. Розвиток критичного мислення школярів на уроках української літератури: запитання які «пробуджують» думку 94 KB
  Дьюї належить твердження що фундаментальна мета сучасної освіти полягає не в наданні учням інформації а в тому щоб розвивати в них критичний спосіб мислення. Саме такий тип мислення надає найбільше можливостей молоді успішно розбудовувати своє життя в мінливому сучасному світі. Критичне мислення допомагає людині адекватно оцінювати нові обставини та формувати стратегію подолання проблем пристосовуватися до нових часом не передбачуваних політичних економічних або інших обставин.
54383. Конкурсно – розважальна програма: «Міс Екологія» 34 KB
  Людська цивілізація вступила в таку форму розвитку, коли її доля вирішується не науково-технічним прогресом, а глибиною екологічних знань та вмінням діяти відповідно до цих знань. Завданням нашого конкурсу є – визначити творчий потенціал кожної учасниці.
54384. MISTER OF THE 5-В FORM 58.15 KB
  Dear participants, guests, jurors. Thanks you for being so active, diligent and clever. It's high time to score the results of our contest and to announce the nominations.
54385. Виховний захід для третьокласників «Містер класу» 55 KB
  Тоненьке кругленьке серце чорненьке Хто на його слід погляне думку його взнає Олівець Що ми робимо олівцем Малюємо Наступний конкурс 2К Містер художник. Наступний конкурс Містер поет. Містер ерудит На подвірї ходить декілька кур.
54386. Основные тенденции развития мировой культуры на рубеже XX - XXI веков 17.12 KB
  Анализируя произошедшие исторические события, развитие научно-технического прогресса, панораму художественной культуры, следует выделить основные тенденции и проблемы развития мировой культуры ХХ-XXI вв.