19011

Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Лекция

Физика

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля Рассмотрим движение частицы массы во внешнем поле ; 1 когда Это соответствует полю притяж...

Русский

2013-07-11

1.28 MB

6 чел.

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Рассмотрим движение частицы массы  во внешнем поле

;             (1)

когда

Это соответствует полю притяжения, т.е., так называемую задачу Кеплера. Будем считать, что начальный радиус - вектор  и начальный импульс  лежат в плоскости . Тогда движение частицы будет происходить только в этой плоскости

Направим ось  так, чтобы она  совпадала с направлением вектора . Тогда будем иметь, что  . Отсюда следует, что  и, следовательно, , где  - значение азимутального угла при .

Эффективная потенциальная энергия в рассматриваемом поле (1)

    (2)

Если , то  и  движение будет происходить по прямой: . В этом простейшем случае, величина эффективной потенциальной энергии (2) совпадает с реальной потенциальной энергией. Этот случай сводится к одномерному движению, поэтому далее мы будем предполагать, что . В этом случае азимутальный угол  будет монотонно возрастать со временем: .

Исследуем подробно зависимость  для случая .  При  величина  по закону . при  величина  со стороны отрицательных значений по закону .

В точке

,                                                  (3)

величина  имеет локальный  минимум:

,                                (4)

В точке

,                                                 (5)

график функции  обращается в ноль: Другими словами, график зависимости , имеет вид «потенциальной ямы».

Таким образом, значение величины  определяет как положение точки минимума, так и расстояние, на котором , т.е.  определяет основные параметры эффективной потенциальной энергии. Поэтому, величину  называют параметром орбиты. В поле притяжения  величина  всегда положительна и определяется моментом импульса .

С учетом (5) выражение для величины  можно записать в виде:

    (6)

Из формулы (6) видно, что величина  играет роль характерной длины в данной задаче. Поэтому удобно измерять расстояние до центра в единицах , которое мы будем обозначать буквой (приведенное расстояние):

                     (7)

В терминах приведенных расстояний, формулу (6) можно записать в виде:

  (8)

Из формулы (8) следует, что  имеет минимум при . Из предыдущей лекции нам известно, что область допустимых расстояний до центра поля, где может происходить движение частицы, определяется из уравнения . В нашем случае, используя выражение (8), получаем:

     (9)

Решение уравнения (9), квадратного относительно переменной , дает:

     (10)

Величина  в формуле (10) определяется выражением:

   (11)

Величина  называется эксцентриситетом орбиты.

Параметр орбиты, может быть определен всегда, при заданном значении . Что касается эксцентриситета орбиты, то величина  может быть рассчитана только в том случае, когда выполняется неравенство:

,        т.е.       (12)

Полная механическая энергия  может быть как положительной, так и отрицательной или равной нулю, в зависимости от начальных значений  и :

   (13)

Если энергия частицы не отрицательна (), то неравенство (12) выполняется автоматически. В этом случае эксцентриситет орбиты всегда больше или равен единицы:

   (14)

Поэтому в формуле (10) можно брать только знак «+», т.к. в противном случае дробь будет отрицательной. Но это означает, что при  уравнение  имеет только один положительный корень:

   (15)

Из формулы (15) видно, что при  . Т.о., в этом случае имеется только одна точка поворота  и движение частицы будет инфинитным в области расстояний от центра поля: .

Теперь рассмотрим противоположный случай, когда энергия частицы отрицательна:. В этом случае неравенство (12) будет выполняться не всегда, а только в том случае, если величина энергии частицы удовлетворяет условию

;              (16)

В этом случае эксцентриситет орбиты

    (17)

меньше единицы и изменяется в пределах:

Это означает, что при  уравнение  имеет два корня:  и :

      и           (18)

Следовательно, движение частицы финитно, и происходит в области расстояний до центра поля

    (19)

Из формулы (19) видно, что эксцентриситет определяет степень “вытянутости” орбиты. Если  то орбита сильно вытянута, т.к. , а . Наоборот, если , то и  и . Если энергия частицы определяется формулой

    (20)

то . Следовательно, частица все время находится на одном и том же расстоянии от центра, т.е. вращается по окружности, радиуса

      (21)

Здесь - начальное расстояние частицы от центра поля  при .

Итак, мы выполнили предварительный анализ характера траектории частицы. Мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным и даже определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения по окружности при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь проведем анализ возможных траекторий движения в задаче Кеплера.

3

t=0

z

x

    y

r0

P0

O

0

0

r(t)

P(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67127. Воздействие опасности на человека и техносферу 18.58 KB
  Повышение привычных уровней потоков сопровождается негативными воздействиями на человека и или природную среду. Результат взаимодействия человека со средой обитания может изменяться в широких пределах от позитивного до катастрофического сопровождающегося гибелью людей и разрушением компонентов среды обитания.
67128. Информационное общество и информационная культура 38 KB
  Информационное общество – термин введен американским экономистом Машлуп. Работа вышла в 1962 году – «Производство и распространение знаний в США». Начинает рассматривать информационную концепцию. Он делал акцент на степени развития информационных технологий...
67129. ФОРМЫ ГОСУДАРСТВА 147 KB
  Категория формы государства показывает особенности внутренней организации государства порядок образования и структуру органов государственной власти специфику их территориальной обособленности характер взаимоотношения друг с другом и населением а также те методы которые используются...
67130. ОСТАНОВКА КРОВОТЕЧЕНИЯ. ОСТРАЯ КРОВОПОТЕРЯ 308.5 KB
  Кровотечением называется вытекание крови из кровеносных сосудов при нарушении целостности их стенки в ткани полости организма во внешнюю среду. В силу большого давления крови кровотечение самостоятельно не останавливается.
67131. Розвиток культури у другій половині XVII - ХVІІІ ст. Доба бароко та її особливості в Україні. Козацтво як явище соціально-політичної історії та культури українського народу 281.5 KB
  Барокова архітектура. Таке розуміння філософії акцентуація уваги на проблемі людина і Всесвіт що як уже згадувалося притаманне філософській думці доби Бароко визначає вагоме місце яке посідає в системі поглядів києвомогилянців натурфілософська проблематика.
67132. Товар и товарная политика в маркетинге. Классификация товаров промышленного назначения 74.5 KB
  Концепция жизненного цикла товара Смысл концепции жизненного цикла товара ЖЦТ заключается в том что каждый товар имеет определенный период рыночной устойчивости т. Графически жизненный цикл товара можно описать в виде кривой рис. Кривая жизненного цикла товара Как правило жизненный цикл товара...
67133. Поняття про функції - «друзі» класу 78.5 KB
  Технологія об'єктно-орієнтованого програмування дає змогу організувати доступ до закритих членів класу функціями, які не є його членами. Для цього достатньо оголосити ці функції дружніми до цього класу. Щоб зробити функцію “другом” класу, потрібно помістити її прототип в public-розділ оголошення класу і попередити його ключовим словом friend.
67134. Английская журналистика XIX века 32 KB
  В конце 19 века происходит разделение прессы на элитарную и массовую. В начале 19 века были самые различные налоги поэтому тираж у газет был небольшой и цена таких экземпляров была достаточно большой. К началу 20 века 3367 наименований газет и журналов.
67135. Пьер де Ронсар, Луис де Камоэнс, Уильям Шекспир 42.5 KB
  Первым начали использовать стихию народного языка для обогащения поэтики. Уже в следующем веке слава его начинает меркнуть. Очень нелицеприятного откликались о нем классицисты 19 века, его стихам не хватало стройности и порядочности. Эта эстетика не соответствовала духу его поэзии.