19011

Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Лекция

Физика

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля Рассмотрим движение частицы массы во внешнем поле ; 1 когда Это соответствует полю притяж...

Русский

2013-07-11

1.28 MB

6 чел.

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Рассмотрим движение частицы массы  во внешнем поле

;             (1)

когда

Это соответствует полю притяжения, т.е., так называемую задачу Кеплера. Будем считать, что начальный радиус - вектор  и начальный импульс  лежат в плоскости . Тогда движение частицы будет происходить только в этой плоскости

Направим ось  так, чтобы она  совпадала с направлением вектора . Тогда будем иметь, что  . Отсюда следует, что  и, следовательно, , где  - значение азимутального угла при .

Эффективная потенциальная энергия в рассматриваемом поле (1)

    (2)

Если , то  и  движение будет происходить по прямой: . В этом простейшем случае, величина эффективной потенциальной энергии (2) совпадает с реальной потенциальной энергией. Этот случай сводится к одномерному движению, поэтому далее мы будем предполагать, что . В этом случае азимутальный угол  будет монотонно возрастать со временем: .

Исследуем подробно зависимость  для случая .  При  величина  по закону . при  величина  со стороны отрицательных значений по закону .

В точке

,                                                  (3)

величина  имеет локальный  минимум:

,                                (4)

В точке

,                                                 (5)

график функции  обращается в ноль: Другими словами, график зависимости , имеет вид «потенциальной ямы».

Таким образом, значение величины  определяет как положение точки минимума, так и расстояние, на котором , т.е.  определяет основные параметры эффективной потенциальной энергии. Поэтому, величину  называют параметром орбиты. В поле притяжения  величина  всегда положительна и определяется моментом импульса .

С учетом (5) выражение для величины  можно записать в виде:

    (6)

Из формулы (6) видно, что величина  играет роль характерной длины в данной задаче. Поэтому удобно измерять расстояние до центра в единицах , которое мы будем обозначать буквой (приведенное расстояние):

                     (7)

В терминах приведенных расстояний, формулу (6) можно записать в виде:

  (8)

Из формулы (8) следует, что  имеет минимум при . Из предыдущей лекции нам известно, что область допустимых расстояний до центра поля, где может происходить движение частицы, определяется из уравнения . В нашем случае, используя выражение (8), получаем:

     (9)

Решение уравнения (9), квадратного относительно переменной , дает:

     (10)

Величина  в формуле (10) определяется выражением:

   (11)

Величина  называется эксцентриситетом орбиты.

Параметр орбиты, может быть определен всегда, при заданном значении . Что касается эксцентриситета орбиты, то величина  может быть рассчитана только в том случае, когда выполняется неравенство:

,        т.е.       (12)

Полная механическая энергия  может быть как положительной, так и отрицательной или равной нулю, в зависимости от начальных значений  и :

   (13)

Если энергия частицы не отрицательна (), то неравенство (12) выполняется автоматически. В этом случае эксцентриситет орбиты всегда больше или равен единицы:

   (14)

Поэтому в формуле (10) можно брать только знак «+», т.к. в противном случае дробь будет отрицательной. Но это означает, что при  уравнение  имеет только один положительный корень:

   (15)

Из формулы (15) видно, что при  . Т.о., в этом случае имеется только одна точка поворота  и движение частицы будет инфинитным в области расстояний от центра поля: .

Теперь рассмотрим противоположный случай, когда энергия частицы отрицательна:. В этом случае неравенство (12) будет выполняться не всегда, а только в том случае, если величина энергии частицы удовлетворяет условию

;              (16)

В этом случае эксцентриситет орбиты

    (17)

меньше единицы и изменяется в пределах:

Это означает, что при  уравнение  имеет два корня:  и :

      и           (18)

Следовательно, движение частицы финитно, и происходит в области расстояний до центра поля

    (19)

Из формулы (19) видно, что эксцентриситет определяет степень “вытянутости” орбиты. Если  то орбита сильно вытянута, т.к. , а . Наоборот, если , то и  и . Если энергия частицы определяется формулой

    (20)

то . Следовательно, частица все время находится на одном и том же расстоянии от центра, т.е. вращается по окружности, радиуса

      (21)

Здесь - начальное расстояние частицы от центра поля  при .

Итак, мы выполнили предварительный анализ характера траектории частицы. Мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным и даже определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения по окружности при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь проведем анализ возможных траекторий движения в задаче Кеплера.

3

t=0

z

x

    y

r0

P0

O

0

0

r(t)

P(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49184. Понятие марксистской социологии. Диалектический материализм и социология 161.07 KB
  Устами своих основоположников Карла Маркса и Фридриха Энгельса она заявила о себе как о научном истолковании исторического процесса базирующемся на объективных данных исторической экономической социологической и других науках. Марксом и Ф.
49185. Расчет системы автоматического регулирования ГТД для поддержания частоты вращения ГТД 592.8 KB
  Расчет клапана для регулирования подачи топлива. Расчет расходов топлива. Расчет расхода топлива на номинальном режиме работы ГТД. Расчет расхода топлива на максимальном режиме работы ГТД.
49189. КОНСТРУИРОВАНИЕ ОДЕЖДЫ 271.29 KB
  Конструирование одежды Проектирование серии изделий на базе одной конструктивной основы Заключение Список литературы Введение История возникновения одежды уходит далеко в глубь веков к самым ранним ступеням развития человечества. Материалистическая точка зрения связывает происхождение одежды с климатическими условиями а её развитие –с...
49190. Расчет прочности рабочей лопатки, диска и определение частоты и формы изгибных колебаний одиночной лопатки и пакета лопаток, связанных бандажом 433.68 KB
  Расчет прочности рабочей лопатки. Расчет прочности лопатки и выбор материала рабочей лопатки. Определение частот и форм колебаний одиночной турбинной лопатки и пакета лопаток связанных бандажом.
49192. Природа і сутність політичної влади 51.21 KB
  Все життя людей нерозривно повязана з владою, яка є найбільш потужним засобом захисту людських інтересів, втілення планів людей, врегулювання їх протиріч і конфліктів. Ключова різновид влади - влада політична - має колосальними конструюють здібностями, представляє самий потужний джерело розвитку суспільства, знаряддя соціальних перетворень і трансформацій.