19011

Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Лекция

Физика

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля Рассмотрим движение частицы массы во внешнем поле ; 1 когда Это соответствует полю притяж...

Русский

2013-07-11

1.28 MB

6 чел.

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Рассмотрим движение частицы массы  во внешнем поле

;             (1)

когда

Это соответствует полю притяжения, т.е., так называемую задачу Кеплера. Будем считать, что начальный радиус - вектор  и начальный импульс  лежат в плоскости . Тогда движение частицы будет происходить только в этой плоскости

Направим ось  так, чтобы она  совпадала с направлением вектора . Тогда будем иметь, что  . Отсюда следует, что  и, следовательно, , где  - значение азимутального угла при .

Эффективная потенциальная энергия в рассматриваемом поле (1)

    (2)

Если , то  и  движение будет происходить по прямой: . В этом простейшем случае, величина эффективной потенциальной энергии (2) совпадает с реальной потенциальной энергией. Этот случай сводится к одномерному движению, поэтому далее мы будем предполагать, что . В этом случае азимутальный угол  будет монотонно возрастать со временем: .

Исследуем подробно зависимость  для случая .  При  величина  по закону . при  величина  со стороны отрицательных значений по закону .

В точке

,                                                  (3)

величина  имеет локальный  минимум:

,                                (4)

В точке

,                                                 (5)

график функции  обращается в ноль: Другими словами, график зависимости , имеет вид «потенциальной ямы».

Таким образом, значение величины  определяет как положение точки минимума, так и расстояние, на котором , т.е.  определяет основные параметры эффективной потенциальной энергии. Поэтому, величину  называют параметром орбиты. В поле притяжения  величина  всегда положительна и определяется моментом импульса .

С учетом (5) выражение для величины  можно записать в виде:

    (6)

Из формулы (6) видно, что величина  играет роль характерной длины в данной задаче. Поэтому удобно измерять расстояние до центра в единицах , которое мы будем обозначать буквой (приведенное расстояние):

                     (7)

В терминах приведенных расстояний, формулу (6) можно записать в виде:

  (8)

Из формулы (8) следует, что  имеет минимум при . Из предыдущей лекции нам известно, что область допустимых расстояний до центра поля, где может происходить движение частицы, определяется из уравнения . В нашем случае, используя выражение (8), получаем:

     (9)

Решение уравнения (9), квадратного относительно переменной , дает:

     (10)

Величина  в формуле (10) определяется выражением:

   (11)

Величина  называется эксцентриситетом орбиты.

Параметр орбиты, может быть определен всегда, при заданном значении . Что касается эксцентриситета орбиты, то величина  может быть рассчитана только в том случае, когда выполняется неравенство:

,        т.е.       (12)

Полная механическая энергия  может быть как положительной, так и отрицательной или равной нулю, в зависимости от начальных значений  и :

   (13)

Если энергия частицы не отрицательна (), то неравенство (12) выполняется автоматически. В этом случае эксцентриситет орбиты всегда больше или равен единицы:

   (14)

Поэтому в формуле (10) можно брать только знак «+», т.к. в противном случае дробь будет отрицательной. Но это означает, что при  уравнение  имеет только один положительный корень:

   (15)

Из формулы (15) видно, что при  . Т.о., в этом случае имеется только одна точка поворота  и движение частицы будет инфинитным в области расстояний от центра поля: .

Теперь рассмотрим противоположный случай, когда энергия частицы отрицательна:. В этом случае неравенство (12) будет выполняться не всегда, а только в том случае, если величина энергии частицы удовлетворяет условию

;              (16)

В этом случае эксцентриситет орбиты

    (17)

меньше единицы и изменяется в пределах:

Это означает, что при  уравнение  имеет два корня:  и :

      и           (18)

Следовательно, движение частицы финитно, и происходит в области расстояний до центра поля

    (19)

Из формулы (19) видно, что эксцентриситет определяет степень “вытянутости” орбиты. Если  то орбита сильно вытянута, т.к. , а . Наоборот, если , то и  и . Если энергия частицы определяется формулой

    (20)

то . Следовательно, частица все время находится на одном и том же расстоянии от центра, т.е. вращается по окружности, радиуса

      (21)

Здесь - начальное расстояние частицы от центра поля  при .

Итак, мы выполнили предварительный анализ характера траектории частицы. Мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным и даже определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения по окружности при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь проведем анализ возможных траекторий движения в задаче Кеплера.

3

t=0

z

x

    y

r0

P0

O

0

0

r(t)

P(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39798. Логическая структура дисков 71 KB
  должна быть создана физическая и логическая структура диска. Формирование физической структуры диска состоит в создании на диске концентрических дорожек которые делятся на секторы. Для этого в процессе форматирования магнитная головка дисковода расставляет в определенных местах диска метки дорожек и секторов. После форматирования гибкого диска 35 его параметры будут следующими: Информационная емкость сектора – 512 байтов; Количество секторов на дорожке – 18; Дорожек на одной стороне – 80; Сторон – 2.
39799. Понятие операционной системы и цели ее работы 7.34 MB
  Суперкомпьютеры используются для вычислений требующих больших вычислительных мощностей сверхвысокой производительности и большого объема памяти. Другая характерная черта ноутбуков – это наличие кардридеров – портов для чтения всевозможных карт памяти используемых в мобильных телефонах или цифровых фотокамерах; обеспечивается также интерфейс FireWire официально – IEEE 1394 для подключения цифровой видеокамеры; таким образом ноутбуки хорошо приспособлены для ввода обработки и воспроизведения обработки мультимедийной информации....
39800. ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ 1.32 MB
  ISBN Новые информационные технологии активно развивающиеся в последние годы позволили осуществить своеобразную революцию в проблеме обработки и передачи информации. Основные угрозы безопасности информации в ИВС 8 1. Цели и задачи защиты информации в ИВС 19 1. При этом стоимость информации часто превосходит в сотни и тысячи раз стоимость компьютерной системы в которой она находится.
39801. БАЗЫ И БАНКИ ДАННЫХ 5.08 MB
  ВВЕДЕНИЕ В БАЗЫ И БАНКИ ДАННЫХ 1. Понятие базы и банка данных Развитие вычислительной техники и появление емких внешних запоминающих устройств прямого доступа предопределило интенсивное развитие автоматических и автоматизированных систем разного назначения и масштаба в первую очередь заметное в области бизнесприложений.1 Другими направлениями стимулировавшими развитие стали с одной стороны системы управления физическими экспериментами обеспечивающими сверхоперативную обработку в реальном масштабе времени огромных потоков данных от...
39802. Административная теория А. Файоля 36.5 KB
  Файоля Французский инженер и предприниматель Анри Файоль {18411925 создал так называемую административную теорию управления. Его теория состоит из двух частей: функций управления которые отвечают на вопрос что делает руководитель он выделяет всего пять функций: предвидение планирование организация координирование и контроль. Он называется так потому что все функции расписаны по уровням управления – каждому свои и в разном объёме. Существовавшую до него линейную структуру управления он дополнил функциональными службами.
39803. Використання ІТ в документознавстві 37 KB
  Хоча комп’ютерні інформаційні системи використовують комп’ютерні технології щоб обробити неперевірені відомості в значущу інформацію існує відчутна відмінність між комп’ютером і комп’ютерною програмою з одного боку та інформаційною системою – з іншого. Комп’ютери забезпечують устаткування для зберігання і виготовлення інформації. Комп’ютерні програми або програмне забезпечення є наборами керівництва по обслуговуванню які управляють роботою комп’ютерів. Але комп’ютери є тільки частиною інформаційної системи.
39804. Методика малювання натюрморту в початкових класах 21 KB
  При компонуванні натюрморту діти спочатку малюють лінію що виділяє предметну площину від вертикальної стіни. При зображенні натюрморту діти повинні користуватися модулем умовною міркою. За модуль береться самий маленький предмет натюрморту.
39805. Використання творів образотворчого мистецтва на уроках малювання і ліплення в початковій школі 22 KB
  Жодного уроку з образотворчої діяльності не повинно бути без аналізу творів образотворчого мистецтва. Програма пропонує використовувати репродукції фотографії таких видів образотворчого мистецтва: живопис графіка скульптура архітектура декоративнеприкладне мистецтво. Інколи для порівняння аналізів творів образотворчого мистецтва можна ввести в заключну частину при аналізі дитячих робіт щоб діти самі аналізуючи свою роботу могли знайти недоліки у своїх роботах.
39806. Вплив підготовки дітей на якість виконання робіт з образотворчого мистецтва 21 KB
  Одним із факторів підготовки є: спостереження предметів із навколишнього світу. виконання багаточисленнних ескізів і начерків предметів з ескізних блокнотах. виконання різноманітних вправ по техніці зображення предметів по утворенню кольорів та по використанню перспективи. навчання дітей послідовності зображення предметів використання педагогічного малюнка використання зразка вчителя ґрунтовна розповідь про даний предмет і сюжет індивідуальна робота з дітьми виконання окремих копій.