19011

Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Лекция

Физика

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля Рассмотрим движение частицы массы во внешнем поле ; 1 когда Это соответствует полю притяж...

Русский

2013-07-11

1.28 MB

6 чел.

Лекция 9. Общие закономерности движения частицы в кулоновском поле притяжения. Эффективный потенциал. Минимальное и максимальное расстояние до центра поля

Рассмотрим движение частицы массы  во внешнем поле

;             (1)

когда

Это соответствует полю притяжения, т.е., так называемую задачу Кеплера. Будем считать, что начальный радиус - вектор  и начальный импульс  лежат в плоскости . Тогда движение частицы будет происходить только в этой плоскости

Направим ось  так, чтобы она  совпадала с направлением вектора . Тогда будем иметь, что  . Отсюда следует, что  и, следовательно, , где  - значение азимутального угла при .

Эффективная потенциальная энергия в рассматриваемом поле (1)

    (2)

Если , то  и  движение будет происходить по прямой: . В этом простейшем случае, величина эффективной потенциальной энергии (2) совпадает с реальной потенциальной энергией. Этот случай сводится к одномерному движению, поэтому далее мы будем предполагать, что . В этом случае азимутальный угол  будет монотонно возрастать со временем: .

Исследуем подробно зависимость  для случая .  При  величина  по закону . при  величина  со стороны отрицательных значений по закону .

В точке

,                                                  (3)

величина  имеет локальный  минимум:

,                                (4)

В точке

,                                                 (5)

график функции  обращается в ноль: Другими словами, график зависимости , имеет вид «потенциальной ямы».

Таким образом, значение величины  определяет как положение точки минимума, так и расстояние, на котором , т.е.  определяет основные параметры эффективной потенциальной энергии. Поэтому, величину  называют параметром орбиты. В поле притяжения  величина  всегда положительна и определяется моментом импульса .

С учетом (5) выражение для величины  можно записать в виде:

    (6)

Из формулы (6) видно, что величина  играет роль характерной длины в данной задаче. Поэтому удобно измерять расстояние до центра в единицах , которое мы будем обозначать буквой (приведенное расстояние):

                     (7)

В терминах приведенных расстояний, формулу (6) можно записать в виде:

  (8)

Из формулы (8) следует, что  имеет минимум при . Из предыдущей лекции нам известно, что область допустимых расстояний до центра поля, где может происходить движение частицы, определяется из уравнения . В нашем случае, используя выражение (8), получаем:

     (9)

Решение уравнения (9), квадратного относительно переменной , дает:

     (10)

Величина  в формуле (10) определяется выражением:

   (11)

Величина  называется эксцентриситетом орбиты.

Параметр орбиты, может быть определен всегда, при заданном значении . Что касается эксцентриситета орбиты, то величина  может быть рассчитана только в том случае, когда выполняется неравенство:

,        т.е.       (12)

Полная механическая энергия  может быть как положительной, так и отрицательной или равной нулю, в зависимости от начальных значений  и :

   (13)

Если энергия частицы не отрицательна (), то неравенство (12) выполняется автоматически. В этом случае эксцентриситет орбиты всегда больше или равен единицы:

   (14)

Поэтому в формуле (10) можно брать только знак «+», т.к. в противном случае дробь будет отрицательной. Но это означает, что при  уравнение  имеет только один положительный корень:

   (15)

Из формулы (15) видно, что при  . Т.о., в этом случае имеется только одна точка поворота  и движение частицы будет инфинитным в области расстояний от центра поля: .

Теперь рассмотрим противоположный случай, когда энергия частицы отрицательна:. В этом случае неравенство (12) будет выполняться не всегда, а только в том случае, если величина энергии частицы удовлетворяет условию

;              (16)

В этом случае эксцентриситет орбиты

    (17)

меньше единицы и изменяется в пределах:

Это означает, что при  уравнение  имеет два корня:  и :

      и           (18)

Следовательно, движение частицы финитно, и происходит в области расстояний до центра поля

    (19)

Из формулы (19) видно, что эксцентриситет определяет степень “вытянутости” орбиты. Если  то орбита сильно вытянута, т.к. , а . Наоборот, если , то и  и . Если энергия частицы определяется формулой

    (20)

то . Следовательно, частица все время находится на одном и том же расстоянии от центра, т.е. вращается по окружности, радиуса

      (21)

Здесь - начальное расстояние частицы от центра поля  при .

Итак, мы выполнили предварительный анализ характера траектории частицы. Мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным и даже определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения по окружности при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь проведем анализ возможных траекторий движения в задаче Кеплера.

3

t=0

z

x

    y

r0

P0

O

0

0

r(t)

P(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60025. Traveling. Travel Quote 80 KB
  Listen to the announcements at JFK Airport and answer the questions (You don’t need to understand every announcement.)
60027. Улюблені англійські і американські письменники 43 KB
  During our previous lessons we read and talked about writers and books. And I know that you like to read books. This is very good, because as people say: “Books are our friends”. Why do we call books our friends?
60028. Урок иностранного языка 50 KB
  Der Lektor betritt (der Seminarraum, der Hörsaal, die Aula, das Sprachlabor, der Raum). 2. Die Studenten besprechen (der Text, die Regel, der Wortschatz, die Fehler). 3. Der Student besucht (der Unterricht, die Stunden, die Vorlesungen, das Kino).
60029. Хвороби шлунково-кишкового тракту та їхня профілактика 62.5 KB
  Щодня ви пізнаєте життя відкриваєте для себе світ відкриваєте світу себе. Усе життя для вас попереду. Мотивація навчальної діяльності Головним скарбом життя є не землі що ти завоював не багатства що в тебе в скринях головним скарбом життя є здоровя...
60030. До якості освіти крізь призму інформаційних технологій 255 KB
  Як відомо якість освіти - це соціальна категорія яка визначає сукупність показників які характеризують різні аспекти навчальної діяльності освітнього закладу: зміст освіти форми та методи навчання матеріально-технічну базу...
60031. Конспект заняття з пізнавального розвитку з використанням технік арт-терапії. Сфери життєдіяльності «Природа», «Я Сам», «Люди» 37.5 KB
  Вихователь: Малята Хто б це міг бути На порозі групи зявляється ялинка. Вихователь: Що за гостя завітала до нас Діти: Ялиночка Вихователь: Як ви гадаєте чому саме зараз вона в нас зявилася Діти: Тому що скоро Новий рік.
60032. Сорочинський ярмарок. Година дозвілля 62 KB
  Гей народ збирається Ярмарок починається Під музику діти в українському одязі з кошиками торбами возиками ідуть на ярмарок. З давніхдавен на Полтавщині в селі Сорочинці проводиться ярмарок. Отже на ярмарок ішли не тільки щоб продати та купити...