19012

Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

Лекция

Физика

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения задача Кеплера. Классификация орбит при финитном и инфинитном движении В предыдущей лекции мы выяснили при каких значениях энергии движение будет инфинитным финитным а так же определили условия при которых траект

Русский

2013-07-11

281 KB

18 чел.

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

В предыдущей лекции мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным, а так же определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь, проведя общее исследование возможных особенностей движения, получим уравнения траекторий движения частицы в поле притяжения  . Получим уравнения возможных траекторий частицы.

Будем использовать полученное ранее выражение для зависимости , которое фактически уже определяет траекторию движения в неявном виде. Напомним, что

   (1)

Для определения вида траектории (а не самого закона движения), совершенно не важен выбор знака перед интегралом в формуле (1). Кроме того, в астрономии принято выбирать  так, чтобы в начальный момент времени, тело находилось на наименьшем расстоянии от центра, т.е. в перигелии орбиты. С учетом сказанного, выражение (1) для нашей конкретной задачи,  можно записать в виде:

.             (2)

Используя выражения для параметра и эксцентриситета, введенные в предыдущей лекции, получим:

   (3)

Здесь, как и ранее,  - безразмерное расстояние до центра поля и . Осуществляя в (3) замену переменной интегрирования: , , приводим интеграл к табличному виду:

.

Поэтому получаем:

.

Легко видеть, что второе слагаемое равно нулю. Поэтому:

     (4)

Откуда

     (5)

Это и есть уравнение семейства траекторий в поле притяжения  в полярных координатах.

Теперь приступим к анализу выражения (5) для различных значений энергии частицы . Проведем анализ различных траекторий движения в задаче Кеплера, записав уравнение (9.6)

,                                            (6)

в обычных декартовых координатах. Учитывая, что ,  запишем , т.е.

    (7)

Это и есть уравнение траекторий в декартовых координатах.

Рассмотрим сначала случай финитного движения, когда энергия отрицательна: . В этом случае эксцентриситет орбиты . Перепишем уравнение (7) в виде

    (8)

Далее

.

Отсюда видно, что уравнение траектории при финитном движении принимает канонический вид:

     (9)

Это есть уравнение эллипса с полуосями  и  с началом координат в точке :

.      .        (10)

Поскольку , то . Большую полуось эллипса можно было сразу определить из уравнения: . Отсюда получаем, что

    (11)

Таким образом, большая полуось эллипса зависит только от энергии частицы. При  получаем уравнение окружности с радиусом .

Таблица 9.1

В таблице 9.1 приведены значения нескольких характерных точек траектории при финитном движении, рассчитанные по полученным выше формулам.

На рис.1 представлены орбиты движения частицы в поле  притяжения   при финитном движении для различных значений эксцентриситета , рассчитанные по формуле (9) в приведенных единицах . Видно, что все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

Рис.1 Орбиты при финитном движении частицы при различных

эксцентриситетах орбиты

Чтобы вычислить время обращения по эллиптической орбите, т.е. период обращения  воспользуемся законом сохранения момента импульса:

,

где  - площадь сектора орбиты. Интегрируя это равенство по , получим, что , где - площадь эллиптической орбиты: . Подставляя сюда значения  и  из (9.17), будем иметь:

   (12)

Заметим, что период зависит только от энергии частицы.

Теперь рассмотрим случай инфинитного движения, когда энергия положительна: . В этом случае эксцентриситет орбиты .

Рассмотрим сначала самый простой случай, когда энергия частицы , т.е. . В этом случае уравнение (7) принимает вид:

,           (13)

Уравнение (13) есть уравнение параболы в области  (красная кривая на рисунке 2.

Если , т.е. , то уравнение траектории в декартовых координатах будет иметь вид:

    (14)

Здесь

,      ,       (15)

Уравнение (15) есть уравнение гиперболы, с «полуосью» .

На рис.2 представлены орбиты движения частицы в поле притяжения   при инфинитном движении для различных значений эксцентриситета в приведенных единицах .

Рис.9.2 Орбиты при инфинитном движении частицы

при различных эксцентриситетах орбиты.

При  () траекториями движения являются гиперболы, огибающие центр поля (фокус) – черная и синяя кривые. При  значение  и траекторией движения является парабола – красная кривая. Видно, что, как и при финитном движении, все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84810. Карамелизированные апельсины с сорбетом 102.89 KB
  В данный момент на рынке ресторанного бизнеса стало целесообразным включать в меню широкий ассортимент кондитерских изделий, ведь главная отличительная черта десертов это их модно и креативное оформление и подача. При приготовлении блюд используются все возможности современного кондитерского искусства.
84811. Основные шкалы измерений и их использование в педагогических исследованиях 735.5 KB
  При планировании и подведении результатов эксперимента определённую роль играют статистические методы, которые дают в том числе, возможность устанавливать степень достоверности сходства и различия исследуемых объектов на основании результатов измерений их показателей
84812. Расчет теплоуловителя из гладких и профилированных листов 237.89 KB
  Работает теплоуловитель следующим образом. теплоноситель от сушильной части бумагоделательной машины подается в нижнюю часть камеры, где очищается от пыли и увлажнителя, затем в теплообменник и, отдавая тепло свежему воздуху через стенки пластин, попадает в вентилятор, из которого выбрасывается.
84813. Разработка комплексной механизации и автоматизации погрузочно-разгрузочных и складских операций 1.69 MB
  Все это приводит к необходимости построения, анализа и совершенствования транспортно-грузовых процессов и устройств не просто как отдельных объектов в экономике в целом, в промышленности и на транспорте, а как сложных технических систем, как правило, вероятностным характером функционирования...
84814. Проект цеха по ремонту двигателей с разработкой диагностирования ГРМ двигателей 463 KB
  В технологические процессы ТО внедряют технологическое диагностирование, что позволяет экономить средства на содержание тракторов и автомобилей за счет сокращения простоя на ТО и ремонт, выполнение действительно необходимых регулировочных и ремонтных операций, сокращение расхода запасных частей и топлива.
84816. РАЗРАБОТКА И АДАПТАЦИЯ САЙТА «ИНТЕГРА» для ИП Нафиков 141.79 KB
  В наши дни можно редко встретить компанию, которая бы не обладала бы web-сайтом. Так как, интернет стал для большинства людей источником необходимой информации и средством коммуникаций, практически все организации используют его в качестве своего лица. Шагая в ногу со временем, любая организация...
84817. Восприятие цвета 185.5 KB
  В современном мире все сферы деятельности людей подвержены влиянию новых информационных технологий (НИТ), что приводит к многообразным преобразованиям в сфере социальных отношений, материального и духовного производства.
84818. Особенности учета уставного капитала и учета расчетов с учредителями 78.3 KB
  Организация грамотного учета уставного капитала в современных условиях является весьма актуальной проблемой для многих предприятий ввиду постоянно изменяющейся законодательной базы в этой области а также целого ряда особенностей учета уставного капитала существуют различные трудности и проблемы в бухгалтерском...