19012

Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

Лекция

Физика

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения задача Кеплера. Классификация орбит при финитном и инфинитном движении В предыдущей лекции мы выяснили при каких значениях энергии движение будет инфинитным финитным а так же определили условия при которых траект

Русский

2013-07-11

281 KB

18 чел.

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

В предыдущей лекции мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным, а так же определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь, проведя общее исследование возможных особенностей движения, получим уравнения траекторий движения частицы в поле притяжения  . Получим уравнения возможных траекторий частицы.

Будем использовать полученное ранее выражение для зависимости , которое фактически уже определяет траекторию движения в неявном виде. Напомним, что

   (1)

Для определения вида траектории (а не самого закона движения), совершенно не важен выбор знака перед интегралом в формуле (1). Кроме того, в астрономии принято выбирать  так, чтобы в начальный момент времени, тело находилось на наименьшем расстоянии от центра, т.е. в перигелии орбиты. С учетом сказанного, выражение (1) для нашей конкретной задачи,  можно записать в виде:

.             (2)

Используя выражения для параметра и эксцентриситета, введенные в предыдущей лекции, получим:

   (3)

Здесь, как и ранее,  - безразмерное расстояние до центра поля и . Осуществляя в (3) замену переменной интегрирования: , , приводим интеграл к табличному виду:

.

Поэтому получаем:

.

Легко видеть, что второе слагаемое равно нулю. Поэтому:

     (4)

Откуда

     (5)

Это и есть уравнение семейства траекторий в поле притяжения  в полярных координатах.

Теперь приступим к анализу выражения (5) для различных значений энергии частицы . Проведем анализ различных траекторий движения в задаче Кеплера, записав уравнение (9.6)

,                                            (6)

в обычных декартовых координатах. Учитывая, что ,  запишем , т.е.

    (7)

Это и есть уравнение траекторий в декартовых координатах.

Рассмотрим сначала случай финитного движения, когда энергия отрицательна: . В этом случае эксцентриситет орбиты . Перепишем уравнение (7) в виде

    (8)

Далее

.

Отсюда видно, что уравнение траектории при финитном движении принимает канонический вид:

     (9)

Это есть уравнение эллипса с полуосями  и  с началом координат в точке :

.      .        (10)

Поскольку , то . Большую полуось эллипса можно было сразу определить из уравнения: . Отсюда получаем, что

    (11)

Таким образом, большая полуось эллипса зависит только от энергии частицы. При  получаем уравнение окружности с радиусом .

Таблица 9.1

В таблице 9.1 приведены значения нескольких характерных точек траектории при финитном движении, рассчитанные по полученным выше формулам.

На рис.1 представлены орбиты движения частицы в поле  притяжения   при финитном движении для различных значений эксцентриситета , рассчитанные по формуле (9) в приведенных единицах . Видно, что все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

Рис.1 Орбиты при финитном движении частицы при различных

эксцентриситетах орбиты

Чтобы вычислить время обращения по эллиптической орбите, т.е. период обращения  воспользуемся законом сохранения момента импульса:

,

где  - площадь сектора орбиты. Интегрируя это равенство по , получим, что , где - площадь эллиптической орбиты: . Подставляя сюда значения  и  из (9.17), будем иметь:

   (12)

Заметим, что период зависит только от энергии частицы.

Теперь рассмотрим случай инфинитного движения, когда энергия положительна: . В этом случае эксцентриситет орбиты .

Рассмотрим сначала самый простой случай, когда энергия частицы , т.е. . В этом случае уравнение (7) принимает вид:

,           (13)

Уравнение (13) есть уравнение параболы в области  (красная кривая на рисунке 2.

Если , т.е. , то уравнение траектории в декартовых координатах будет иметь вид:

    (14)

Здесь

,      ,       (15)

Уравнение (15) есть уравнение гиперболы, с «полуосью» .

На рис.2 представлены орбиты движения частицы в поле притяжения   при инфинитном движении для различных значений эксцентриситета в приведенных единицах .

Рис.9.2 Орбиты при инфинитном движении частицы

при различных эксцентриситетах орбиты.

При  () траекториями движения являются гиперболы, огибающие центр поля (фокус) – черная и синяя кривые. При  значение  и траекторией движения является парабола – красная кривая. Видно, что, как и при финитном движении, все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5628. Упрощенная система налогообложения (УСН) 39 KB
  Упрощенная система налогообложения (УСН) УСН предусматривает уплату единого налога вместо уплаты нескольких налогов. Единый налог заменяет: налог на прибыль организаций (для индивидуальных предпринимателей - НДФЛ) НДС налог на имущество ЕСН....
5629. Система налогообложения для сельскохозяйственных товаропроизводителей (единый сельскохозяйственный налог - ЕСХН) 30 KB
  Система налогообложения для сельскохозяйственных товаропроизводителей (единый сельскохозяйственный налог - ЕСХН) Сельскохозяйственные товаропроизводители - это организации и индивидуальные предприниматели, производящие сельскохозяйственную...
5630. Ответственность за нарушение налогового законодательства. Административная и уголовная ответственность в налоговой сфере 78.5 KB
  Ответственность за нарушение налогового законодательства Понятие налоговой ответственности. Составы налоговых правонарушений. Ответственность в соответствии с НК РФ. Административная и уголовная ответственность в налоговой...
5631. Налоговый контроль. Камеральная и выездная налоговые проверки 76 KB
  Налоговый контроль Понятие и виды налогового контроля. Камеральная и выездная налоговые проверки. Порядок оформления результатов проверок. Административная и судебная защита прав налогоплательщиков. Налоговый контроль
5632. Федеральная налоговая служба. Государственные органы как участники отношений в налоговой сфере 76.5 KB
  Государственные органы как участники отношений в налоговой сфере Федеральная налоговая служба. Таможенные органы. Федеральная служба по борьбе с налоговыми и экономическими преступлениями. Другие участники отношений в налогов...
5633. Налоговое производство. Порядок исчисления и уплаты налога 75 KB
  Налоговое производство Понятие налогового производства. Бухгалтерский и налоговый учет при исчислении налога. Порядок исчисления налога. Порядок уплаты налога. Юридической обязанностью налогоплательщика является уплата нал...
5634. Система налогов. Направления развития системы налогообложения в РФ 76 KB
  Система налогов Направления развития системы налогообложения в РФ. Перечень налогов, взимаемых на территории РФ. Общие сведения о налогах. Реформирование налоговой системы - это ее преобразование, исходя из направлений...
5635. Основы российской налоговой системы. Принципы налогообложения 68 KB
  Основы российской налоговой системы Понятие налоговой системы и налоговой политики. Принципы налогообложения в РФ. Система налогового законодательства. Бюджетный процесс и налогообложение. Основные характеристики налого...
5636. Дискретная математика. Теория вероятностей и математическая статистика 1.01 MB
  Учебно-методическое пособие разработано по дисциплине Математика и содержит краткий теоретический материал и упражнения по двум разделам дисциплины: дискретная математика, теория вероятностей и математическая статистика. Для организации самостоятель...