19012

Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

Лекция

Физика

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения задача Кеплера. Классификация орбит при финитном и инфинитном движении В предыдущей лекции мы выяснили при каких значениях энергии движение будет инфинитным финитным а так же определили условия при которых траект

Русский

2013-07-11

281 KB

15 чел.

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

В предыдущей лекции мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным, а так же определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь, проведя общее исследование возможных особенностей движения, получим уравнения траекторий движения частицы в поле притяжения  . Получим уравнения возможных траекторий частицы.

Будем использовать полученное ранее выражение для зависимости , которое фактически уже определяет траекторию движения в неявном виде. Напомним, что

   (1)

Для определения вида траектории (а не самого закона движения), совершенно не важен выбор знака перед интегралом в формуле (1). Кроме того, в астрономии принято выбирать  так, чтобы в начальный момент времени, тело находилось на наименьшем расстоянии от центра, т.е. в перигелии орбиты. С учетом сказанного, выражение (1) для нашей конкретной задачи,  можно записать в виде:

.             (2)

Используя выражения для параметра и эксцентриситета, введенные в предыдущей лекции, получим:

   (3)

Здесь, как и ранее,  - безразмерное расстояние до центра поля и . Осуществляя в (3) замену переменной интегрирования: , , приводим интеграл к табличному виду:

.

Поэтому получаем:

.

Легко видеть, что второе слагаемое равно нулю. Поэтому:

     (4)

Откуда

     (5)

Это и есть уравнение семейства траекторий в поле притяжения  в полярных координатах.

Теперь приступим к анализу выражения (5) для различных значений энергии частицы . Проведем анализ различных траекторий движения в задаче Кеплера, записав уравнение (9.6)

,                                            (6)

в обычных декартовых координатах. Учитывая, что ,  запишем , т.е.

    (7)

Это и есть уравнение траекторий в декартовых координатах.

Рассмотрим сначала случай финитного движения, когда энергия отрицательна: . В этом случае эксцентриситет орбиты . Перепишем уравнение (7) в виде

    (8)

Далее

.

Отсюда видно, что уравнение траектории при финитном движении принимает канонический вид:

     (9)

Это есть уравнение эллипса с полуосями  и  с началом координат в точке :

.      .        (10)

Поскольку , то . Большую полуось эллипса можно было сразу определить из уравнения: . Отсюда получаем, что

    (11)

Таким образом, большая полуось эллипса зависит только от энергии частицы. При  получаем уравнение окружности с радиусом .

Таблица 9.1

В таблице 9.1 приведены значения нескольких характерных точек траектории при финитном движении, рассчитанные по полученным выше формулам.

На рис.1 представлены орбиты движения частицы в поле  притяжения   при финитном движении для различных значений эксцентриситета , рассчитанные по формуле (9) в приведенных единицах . Видно, что все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

Рис.1 Орбиты при финитном движении частицы при различных

эксцентриситетах орбиты

Чтобы вычислить время обращения по эллиптической орбите, т.е. период обращения  воспользуемся законом сохранения момента импульса:

,

где  - площадь сектора орбиты. Интегрируя это равенство по , получим, что , где - площадь эллиптической орбиты: . Подставляя сюда значения  и  из (9.17), будем иметь:

   (12)

Заметим, что период зависит только от энергии частицы.

Теперь рассмотрим случай инфинитного движения, когда энергия положительна: . В этом случае эксцентриситет орбиты .

Рассмотрим сначала самый простой случай, когда энергия частицы , т.е. . В этом случае уравнение (7) принимает вид:

,           (13)

Уравнение (13) есть уравнение параболы в области  (красная кривая на рисунке 2.

Если , т.е. , то уравнение траектории в декартовых координатах будет иметь вид:

    (14)

Здесь

,      ,       (15)

Уравнение (15) есть уравнение гиперболы, с «полуосью» .

На рис.2 представлены орбиты движения частицы в поле притяжения   при инфинитном движении для различных значений эксцентриситета в приведенных единицах .

Рис.9.2 Орбиты при инфинитном движении частицы

при различных эксцентриситетах орбиты.

При  () траекториями движения являются гиперболы, огибающие центр поля (фокус) – черная и синяя кривые. При  значение  и траекторией движения является парабола – красная кривая. Видно, что, как и при финитном движении, все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54430. Моральні норми і правила співжиття у людському суспільстві 44 KB
  Нагадайте будь ласка що таке етикет Памятаєте я вам розповідала що у часи Людовіка ХІУ етикетками називали картки на яких писали основні правила поведінки та роздавали придворним. Скажіть про які обовязкові правила етикету нагадала дівчинці королева Які з правил етикету виконуються й зараз а які вже є застарілими Діти відповідають. З часом деякі норми змінюються ми вже не робимо реверанси але головні правила спілкування зостаються тими ж що в Аристотеля і Декарта вихованість ввічливість...
54431. РЕПРЕЗЕНТАЦІЯ ОБРАЗУ МОРЯ У ТВОРАХ УКРАЇНСЬКИХ ПИСЬМЕННИКІВ ЯК ЗАСІБ ЕКСПРЕСИВНОГО ВПЛИВУ, ФОРМУВАННЯ СВІДОМОСТІ СУЧАСНОГО СТУДЕНТА, ЙОГО ІНТЕЛЕКТУАЛЬНО-ЕСТЕТИЧНОГО СМАКУ І СВІТОСПРИЙНЯТТЯ 109.5 KB
  Це і мариністичні мотиви і образи в народній класичній і сучасній літературах; жанри морського роману й мариністичної лірики образи мореплавців першовідкривачів піратів та морських фантастичних істот у художніх творах. Не можна оминути й прислів’їв та приказок пов’язаних з морем рибалками риболовлею. Море Нащо в море воду лити коли й так море повне. І море починалося з краплі.
54432. Бачу пейзаж неозорого моря 122.5 KB
  Діти посміхаються. Що за вивіска така Музей Діти читають. Паличка торкається до стрічки і вона опускається падає і діти заходять в картинну галерею. Портретдіти декламують вірші Якщо бачиш на картині В безкозирці моряка Чи принцесу в кринолині Чи сусідського Вітька Як зображено людину А не вазу чи букет Всім відомо цю картину Називаємо портрет.
54433. Комплексная система заданий по развитию творческих способностей учащихся по теме «Морфология» 145 KB
  Я уверена, что вы хорошо усвоили изученную тему. Но если хотите проверить свои знания, творческие способности, умение использовать их в нестандартных ситуациях, предлагаю вам выполнить задания разных видов и выразить своё отношение к ним.
54434. ВЕСІЛЛЯ МОРКОВИНКИ 74.5 KB
  Діти співають пісню Вже настала осінь Дід Панас: Дорогі гості Сьогодні в наш край завітала ОСІНЬ ЗОЛОТАВКА встелила килимами землю навкруги.Жовтий лист під ноги пада Осінь Осінь Золотисту стелить постіль Осінь Осінь 2. Сидить осінь на горбрчку вишиває лісові сорочку Наче золоті пташенята Злітають у дерев листки.
54435. Пояснювальна записка до інтегрованого уроку (англійська, німецька мови, інформатика) 115 KB
  Тема: Die Brücke vom Herzen zum Herzen The Bridge from Hert to Hert Міст від серця до серця Мета уроку: 1 практична: розвивати навички монологічного та діалогічного мовлення; стимулювати інтерес учнів до теми уроку активізуючи використання вивченого лексичного матеріалу з теми; повторити правила утворення ступенів порівняння прикметників тренувати їх вживання; розвивати навички читання пошуку потрібної інформації в тексті; повторити географічні назви країн та...
54436. Мотивація навчальної діяльності учнів 58.5 KB
  Мотивація навчальної діяльності учнів Найважливіший сенс учительської праці навчити учнів так щоб вони не розгубилися в бурхливому вирії сучасного життя. Треба зацікавити учнів не лише конкретним предметом а й процесом отримання знань. За словами французького письменника вчитись треба тільки весело; щоб переварити знання треба поглинати їх з апетитом Саме тому однією з моїх методичних тем є проблема Мотивація навчальної діяльності учнів Будь яка діяльність людинив тому числі і навчання підкоряється загальній схемі: 1. Навіщо...
54437. Мотивація - один і з структурних елементів інтерактивного навчання 68.5 KB
  Використовую різноманітні прийоми мотивації: Мотивація навчальної діяльності шляхом бесіди Шляхом створення проблемної ситуації Шляхом використання технології мозкова атака Шляхом опрацювання тексту періодичних видань За технологією незакінчене речення Шляхом виготовлення саморобних наочних посібників Шляхом використання творчих завдань Шляхом використання художньої та науковопопулярної літератури Шляхом створення ситуацій успіху На основі діяльнісного підходу до навчання За допомогою екстраполяції прогнозування...
54438. Die Ukraine − unsere Heimat 49.5 KB
  Die Ukrine − unsere Heimt Мета. Мовна зарядка Welche Tg ist heute Der wievielte ist heute Sind lle Schen in Ordnung Ist die Tfel suber 3. Де ви живете Ви живете в Києві Ми живемо на вулиці Шевченка 12 Konjugiert die folgenden Verben im Präsens sprechen wohnen leben. Die Hupstdt der Ukrine heißt Kyjiw.