19012

Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

Лекция

Физика

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения задача Кеплера. Классификация орбит при финитном и инфинитном движении В предыдущей лекции мы выяснили при каких значениях энергии движение будет инфинитным финитным а так же определили условия при которых траект

Русский

2013-07-11

281 KB

20 чел.

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

В предыдущей лекции мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным, а так же определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь, проведя общее исследование возможных особенностей движения, получим уравнения траекторий движения частицы в поле притяжения  . Получим уравнения возможных траекторий частицы.

Будем использовать полученное ранее выражение для зависимости , которое фактически уже определяет траекторию движения в неявном виде. Напомним, что

   (1)

Для определения вида траектории (а не самого закона движения), совершенно не важен выбор знака перед интегралом в формуле (1). Кроме того, в астрономии принято выбирать  так, чтобы в начальный момент времени, тело находилось на наименьшем расстоянии от центра, т.е. в перигелии орбиты. С учетом сказанного, выражение (1) для нашей конкретной задачи,  можно записать в виде:

.             (2)

Используя выражения для параметра и эксцентриситета, введенные в предыдущей лекции, получим:

   (3)

Здесь, как и ранее,  - безразмерное расстояние до центра поля и . Осуществляя в (3) замену переменной интегрирования: , , приводим интеграл к табличному виду:

.

Поэтому получаем:

.

Легко видеть, что второе слагаемое равно нулю. Поэтому:

     (4)

Откуда

     (5)

Это и есть уравнение семейства траекторий в поле притяжения  в полярных координатах.

Теперь приступим к анализу выражения (5) для различных значений энергии частицы . Проведем анализ различных траекторий движения в задаче Кеплера, записав уравнение (9.6)

,                                            (6)

в обычных декартовых координатах. Учитывая, что ,  запишем , т.е.

    (7)

Это и есть уравнение траекторий в декартовых координатах.

Рассмотрим сначала случай финитного движения, когда энергия отрицательна: . В этом случае эксцентриситет орбиты . Перепишем уравнение (7) в виде

    (8)

Далее

.

Отсюда видно, что уравнение траектории при финитном движении принимает канонический вид:

     (9)

Это есть уравнение эллипса с полуосями  и  с началом координат в точке :

.      .        (10)

Поскольку , то . Большую полуось эллипса можно было сразу определить из уравнения: . Отсюда получаем, что

    (11)

Таким образом, большая полуось эллипса зависит только от энергии частицы. При  получаем уравнение окружности с радиусом .

Таблица 9.1

В таблице 9.1 приведены значения нескольких характерных точек траектории при финитном движении, рассчитанные по полученным выше формулам.

На рис.1 представлены орбиты движения частицы в поле  притяжения   при финитном движении для различных значений эксцентриситета , рассчитанные по формуле (9) в приведенных единицах . Видно, что все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

Рис.1 Орбиты при финитном движении частицы при различных

эксцентриситетах орбиты

Чтобы вычислить время обращения по эллиптической орбите, т.е. период обращения  воспользуемся законом сохранения момента импульса:

,

где  - площадь сектора орбиты. Интегрируя это равенство по , получим, что , где - площадь эллиптической орбиты: . Подставляя сюда значения  и  из (9.17), будем иметь:

   (12)

Заметим, что период зависит только от энергии частицы.

Теперь рассмотрим случай инфинитного движения, когда энергия положительна: . В этом случае эксцентриситет орбиты .

Рассмотрим сначала самый простой случай, когда энергия частицы , т.е. . В этом случае уравнение (7) принимает вид:

,           (13)

Уравнение (13) есть уравнение параболы в области  (красная кривая на рисунке 2.

Если , т.е. , то уравнение траектории в декартовых координатах будет иметь вид:

    (14)

Здесь

,      ,       (15)

Уравнение (15) есть уравнение гиперболы, с «полуосью» .

На рис.2 представлены орбиты движения частицы в поле притяжения   при инфинитном движении для различных значений эксцентриситета в приведенных единицах .

Рис.9.2 Орбиты при инфинитном движении частицы

при различных эксцентриситетах орбиты.

При  () траекториями движения являются гиперболы, огибающие центр поля (фокус) – черная и синяя кривые. При  значение  и траекторией движения является парабола – красная кривая. Видно, что, как и при финитном движении, все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4339. Использование JavaScript в HTML 64.5 KB
  JavaScript в HTML Основные тезисы: Не тоже самое, что и Java, хотя синтаксис немного схож. Скриптовый (облегченный) интерпретируемый язык без строгой типизации. Внедряется в HTML-код Поддерживается всеми ...
4340. Программирование для Web, CGI (Common Gateway Interface) 464 KB
  Программированиедля Web, CGI (Common Gateway Interface) CGI - это спецификация обмена данными между прикладной программой, выполняемой по запросу пользователя, и HTTP-сервером, который данную программу запускает. Часть информации заголовка HTT...
4341. Протокол HTTP. Унифицированные указатели ресурсов (URL) 133.5 KB
  Протокол HTTP В середине 90-х годов очень популярной стала WWW (WorldWideWeb) — Всемирная паутина. Это набор протоколов и программ для Интернета, представляющих информацию в гипертекстовом формате. Знаменитый браузер Mosaic...
4342. Создание приложений для динамического представления Web-страниц 235 KB
  Создание приложений для динамического представления Web-страниц Основы использования Web - технологий для доступа к базам данных Развитие web технологий с использованием баз данных Создание динамических сайтов Современные технологии динамического пр...
4343. Обзор Common Gateway Interface (CGI) 149.5 KB
  Обзор CGI CGI (Common Gateway Interface, общий шлюзовой интерфейс) относится к числу средств, без которых нельзя обойтись как при создании комплексных Web-узлов, так и при управлении ими. CGI обеспечивает возможность писать сценарии, котор...
4344. Расширенный язык разметки XML 244.5 KB
  Расширенный язык разметки XML Общие сведения об XML Особенности XML Стандарты XML Структура и элементы языка разметки XML Таблицы стилей Расширяемый язык создания ссылок Спецификация XForms 1.0 Области использования языка XML Общие сведения об XML К...
4345. Базовый процесс технологии проектирования веб-сайта и его фазы 87 KB
  Базовый процесс технологии проектирования веб-сайта и его фазы Базовый процесс - это всесторонний план работы для групп любых типов и компаний всех видов с различными бюджетами. Базовый процесс - это всего пять фаз, каждая фаза включает три переплет...
4346. Классификация веб-сайтов 84.5 KB
  Классификация веб-сайтов Корпоративные сайты Промо презентационные сайты Электронные магазины Онлайн-сервисы Контент-проекты Порталы Коммьюнити. Средство общения. Интернет-форумы Литература Корпоративные сайты Корпоративный сайт - это официальное ...
4347. Информационная архитектура лекционные материалы по курсу Интернет-технологии 1.02 MB
  Введение Разрабатывая Web-сайты, каждый из нас не первый год старается идти по кратчайшему пути. Это особенно характерно для работы над проектами с небольшим бюджетом. И из всех кратчайших путей самым дорогим оказывается тот, когда мы пропускаем эта...