19012

Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

Лекция

Физика

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения задача Кеплера. Классификация орбит при финитном и инфинитном движении В предыдущей лекции мы выяснили при каких значениях энергии движение будет инфинитным финитным а так же определили условия при которых траект

Русский

2013-07-11

281 KB

15 чел.

Лекция 10. Движение в кулоновском поле притяжения (задача Кеплера). Классификация орбит при финитном и инфинитном движении

В предыдущей лекции мы выяснили, при каких значениях энергии  движение будет инфинитным, финитным, а так же определили условия, при которых траектория финитного движения будет окружностью. Мы вычислили скорость вращения при заданном начальном расстоянии от центра . Теперь, проведя общее исследование возможных особенностей движения, получим уравнения траекторий движения частицы в поле притяжения  . Получим уравнения возможных траекторий частицы.

Будем использовать полученное ранее выражение для зависимости , которое фактически уже определяет траекторию движения в неявном виде. Напомним, что

   (1)

Для определения вида траектории (а не самого закона движения), совершенно не важен выбор знака перед интегралом в формуле (1). Кроме того, в астрономии принято выбирать  так, чтобы в начальный момент времени, тело находилось на наименьшем расстоянии от центра, т.е. в перигелии орбиты. С учетом сказанного, выражение (1) для нашей конкретной задачи,  можно записать в виде:

.             (2)

Используя выражения для параметра и эксцентриситета, введенные в предыдущей лекции, получим:

   (3)

Здесь, как и ранее,  - безразмерное расстояние до центра поля и . Осуществляя в (3) замену переменной интегрирования: , , приводим интеграл к табличному виду:

.

Поэтому получаем:

.

Легко видеть, что второе слагаемое равно нулю. Поэтому:

     (4)

Откуда

     (5)

Это и есть уравнение семейства траекторий в поле притяжения  в полярных координатах.

Теперь приступим к анализу выражения (5) для различных значений энергии частицы . Проведем анализ различных траекторий движения в задаче Кеплера, записав уравнение (9.6)

,                                            (6)

в обычных декартовых координатах. Учитывая, что ,  запишем , т.е.

    (7)

Это и есть уравнение траекторий в декартовых координатах.

Рассмотрим сначала случай финитного движения, когда энергия отрицательна: . В этом случае эксцентриситет орбиты . Перепишем уравнение (7) в виде

    (8)

Далее

.

Отсюда видно, что уравнение траектории при финитном движении принимает канонический вид:

     (9)

Это есть уравнение эллипса с полуосями  и  с началом координат в точке :

.      .        (10)

Поскольку , то . Большую полуось эллипса можно было сразу определить из уравнения: . Отсюда получаем, что

    (11)

Таким образом, большая полуось эллипса зависит только от энергии частицы. При  получаем уравнение окружности с радиусом .

Таблица 9.1

В таблице 9.1 приведены значения нескольких характерных точек траектории при финитном движении, рассчитанные по полученным выше формулам.

На рис.1 представлены орбиты движения частицы в поле  притяжения   при финитном движении для различных значений эксцентриситета , рассчитанные по формуле (9) в приведенных единицах . Видно, что все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

Рис.1 Орбиты при финитном движении частицы при различных

эксцентриситетах орбиты

Чтобы вычислить время обращения по эллиптической орбите, т.е. период обращения  воспользуемся законом сохранения момента импульса:

,

где  - площадь сектора орбиты. Интегрируя это равенство по , получим, что , где - площадь эллиптической орбиты: . Подставляя сюда значения  и  из (9.17), будем иметь:

   (12)

Заметим, что период зависит только от энергии частицы.

Теперь рассмотрим случай инфинитного движения, когда энергия положительна: . В этом случае эксцентриситет орбиты .

Рассмотрим сначала самый простой случай, когда энергия частицы , т.е. . В этом случае уравнение (7) принимает вид:

,           (13)

Уравнение (13) есть уравнение параболы в области  (красная кривая на рисунке 2.

Если , т.е. , то уравнение траектории в декартовых координатах будет иметь вид:

    (14)

Здесь

,      ,       (15)

Уравнение (15) есть уравнение гиперболы, с «полуосью» .

На рис.2 представлены орбиты движения частицы в поле притяжения   при инфинитном движении для различных значений эксцентриситета в приведенных единицах .

Рис.9.2 Орбиты при инфинитном движении частицы

при различных эксцентриситетах орбиты.

При  () траекториями движения являются гиперболы, огибающие центр поля (фокус) – черная и синяя кривые. При  значение  и траекторией движения является парабола – красная кривая. Видно, что, как и при финитном движении, все орбиты имеют две общие точки  при , когда .

2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61160. ОДНОРІДНІ ЧЛЕНИ РЕЧЕННЯ ІЗ СПОЛУЧНИКОВИМ, БЕЗСПОЛУЧНИКОВИМ І ЗМІШАНИМ ЗВ’ЯЗКОМ 68.5 KB
  Поглибити знання восьмикласників про однорідні члени речення; сформувати загальнопізнавальні вміння знаходити однорідні члени речення та визначати їх вид, аналізувати зв’язок між ними (сполучниковий, безсполучниковий чи змішаний), а також смислові відношення...
61161. РЕЧЕННЯ З КІЛЬКОМА РЯДАМИ ОДНОРІДНИХ ЧЛЕНІВ 130 KB
  Правопис: кома між однорідними членами речення. Міжпредметні зв’язки: речення з кількома рядами однорідних членів як засіб художньої виразності література. Які члени речення називаються однорідними.
61162. ОДНОРІДНІ Й НЕОДНОРІДНІ ОЗНАЧЕННЯ 28.44 KB
  Ознайомити учнів з поняттям про однорідні й неоднорідні означення, сформувати загальнопізнавальні вміння знаходити однорідні й неоднорідні означення, з’ясовувати їх роль у реченні; правильно розставляти розділові знаки та інтонувати речення з однорідними й неоднорідними означеннями
61163. КОМА МІЖ ОДНОРІДНИМИ ЧЛЕНАМИ РЕЧЕННЯ 25.48 KB
  Визначити з учнями основні випадки вживання коми в реченнях з однорідними членами, сформувати загальнопізнавальні вміння правильно ставити коми між однорідними членами речення, підпорядковуючи їх пунктуаційним правилам; удосконалити навички інтонування речень з однорідними членами...
61164. ПИСЬМОВИЙ ТВІР-РОЗДУМ НА МОРАЛЬНО-ЕТИЧНУ (ЧИ СУСПІЛЬНУ) ТЕМУ В ПУБЛІЦИСТИЧНОМУ СТИЛІ 44.5 KB
  Ми вступаємо в життя в епоху інтенсивного розвитку не лише науки і техніки а й негативних наслідків науковотехнічного прогресу: забруднення повітря високий рівень шуму та радіації страшні людські хвороби.
61165. УЗАГАЛЬНЮВАЛЬНІ СЛОВА В РЕЧЕННЯХ З ОДНОРІДНИМИ ЧЛЕНАМИ. ДВОКРАПКА Й ТИРЕ ПРИ УЗАГАЛЬНЮВАЛЬНИХ СЛОВАХ 440.02 KB
  Поглибити знання восьмикласників про однорідні члени речення, удосконалити вміння знаходити узагальнювальні слова при них, домогтися засвоєння учнями правил уживання розділових знаків при узагальнювальних словах, сформувати вміння пояснювати розділові знаки в реченнях з однорідними членами за допомогою пунктуаційних правил
61166. КОНТРОЛЬНЕ АУДІЮВАННЯ ТЕКСТУ ПУБЛІЦИСТИЧНОГО СТИЛЮ 51 KB
  Стічні води промислових підприємств забруднюють прісні водойми. У результаті цього забруднення повністю змінюються фізичні властивості води підвищується температура зменшується прозорість з’являються забарвлення присмаки запахи.
61167. ЗВЕРТАННЯ НЕПОШИРЕНІ Й ПОШИРЕНІ 29.73 KB
  Поглибити знання восьмикласників про звертання, їх стилістичну роль у мовленні; розвивати вміння виділяти в реченнях непоширені й поширені звертання, правильно інтонувати речення зі звертаннями; формувати загальнопізнавальні вміння визначати спосіб морфологічного вираження звертань