19013

Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Лекция

Физика

Лекция 11. Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Цсистему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л и Цсистемах Столкновение двух частиц называется упругим если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния в том числе не ...

Русский

2013-07-11

1.06 MB

47 чел.

Лекция 11. Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Столкновение двух частиц называется упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния, в том числе не изменяется их внутренняя энергия. Термин "столкновение" предполагает, что взаимодействие между частицами  происходит в течение какого-то ограниченного времени, после чего частицы движутся как свободные.

Процесс упругого столкновения можно проанализировать в рамках законов сохранения энергии и импульса. Эти результаты получались и подробно исследовались в курсе общей физики. Здесь мы интерпретируем их графически с помощью так называемых импульсных диаграмм. Ограничимся подробным рассмотрением простого, но важного и часто встречающегося случая, когда вторая частица до столкновения покоилась (в общем случае формулы очень громоздки), т.е.

,              (1)

В этом случае импульс системы и относительный импульс определяются импульсом первого тела

      и         (2)

Тогда импульсы те в системе центра инерции до и после столкновения равны:

,                     (3)

,                 (4)

( - приведенная масса). Кинетическая энергия в Ц-системе

    (5)

Тогда формулы для импульсов тел в Л-системе после столкновения можно записать в виде:

  (6)

  (7)

Рассмотрим три случая, которые отличаются друг от друга соотношением масс частиц  и .

1. Налетающая частица  легче покоящейся частицы , т.е.

Проведем следующие построения (См. рисунок). Отложим отрезок  . Из точки отложим отрезок . Тогда очевидно, что отрезок  будет представлять собой импульс налетающей частицы до столкновения: . Из точки  проведем окружность радиусом . Точка  будет лежать на этой окружности, а точка  будет находиться внутри круга, т.к. при  . Заметим, что отрезок , т.е. одновременно представляет собой импульс налетающей частицы в Ц - системе.

Рассмотрим на окружности произвольную точку . Отрезок  можно рассматривать как импульс первой частицы после столкновения в Ц - системе: , т.к. . Следовательно, угол  есть угол поворота первой частицы в Ц – системе. Тогда отрезок  есть импульс первой частицы после столкновения в Л – системе: .

Одновременно,  есть импульс второй частицы после столкновения в Л – системе: . Т.о. на одной векторной диаграмме удается одновременно представить векторы импульсов частиц до и после столкновений как в Л – системе, так и в Ц – системе. Именно это обстоятельство делает векторные импульсные диаграммы исключительно наглядными и позволяет установить из них связь между различными величинами в Л – и в Ц – системах. Например, из диаграммы сразу видно, что угол отклонения  первой частицы в Л – системе может изменяться во всем интервале , а угол отклонения  второй частицы в Л – системе может изменяться в интервале . Видно, что , когда , что имеет место при . При этом частицы разлетаются в разные стороны вдоль одной прямой: , а . Это соответствует "лобовому" столкновению частиц. При , . При этом , а . Это соответствует отсутствию столкновения частиц.

Установим связь между углами отклонения частиц  и  в Л – системе и углом поворота  в Ц – системе. Углы  и  представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара, т.е. по отношению к вектору налетающей частицы , т.е. по отношению к отрезку  на рисунке.

Сначала установим связь между углами  и .  Поскольку треугольник  равнобедренный, то . Отсюда сразу получаем, что

      (8)

Теперь установим связь между углами  и .  Из рисунка следуют соотношения:

Поскольку , а , то получаем

.

Эту формулу обычно записывают в виде:

   (9)

Угол , т.к. точка  лежит внутри круга. Поскольку , то при  угол разлета частиц   и  после столкновения меньше чем :

,             (10)

Рассмотрим случай "лобового" удара. Из диаграммы 1 видно, что в этом случае налетающая частица  полетит в сторону, противоположную её начальному направлению движения: . Точка  будет находиться на одном диаметре окружности слева от точки . Т.е. при "лобовом" столкновении . Поэтому

,     т.е.       ,

т.е.

    (11)

Следовательно

   (12)

Для покоящейся частицы при "лобовом" ударе , т.е.

    (13)

Следовательно,

   (14)

Если частица  до столкновения покоилась, то наибольшую энергию, которую может потерять налетающая частица, будет равна энергии, приобретенной второй частицей именно после "лобового" столкновения:

  (15)

Используя формулу  (15) легко получаем:

(16)

Здесь  - первоначальная энергия налетающей частицы.

Рассмотрим случай, когда налетающая частица  тяжелее покоящейся частицы , т.е. . В этом случае построение векторной импульсной диаграммы производится аналогично тому, как это делалось выше для случая . Отличие будет состоять только в том, что теперь точка  будет лежать вне круга радиуса , т.к. длина отрезка  будет больше , поскольку  (рис.10.6).

Такое, казалось бы, не столь большое отличие, приводит, однако, к существенному изменению результата взаимодействия частиц, по сравнению с рассмотренным выше случаем . В то время, как при  скорость первой частицы после столкновения могла иметь любое направление , теперь угол отклонения налетающей частицы  не может превышать некоторого максимального значения , так, что при  величина  может изменяться в пределах: . Значение угла  может легко определено из векторной диаграммы 2. Максимальному отклонению первой частицы в Л – системе соответствует такое положение точки , при котором прямая AС касается окружности в точке E.

Поскольку треугольник AEO – прямоугольный, то .

Поскольку , а , то сразу получаем, что

     (17)

Значению угла  соответствует угол поворота в Ц – системе , так, что .

обсудим значение угла разлета. Теперь угол , т.к. точка  лежит вне круга. Поскольку , то при  угол разлета частиц   и  после столкновения больше чем :

,             (18)

Кроме того, как это видно из диаграммы 2, одному и тому же значению угла  будет соответствовать два различных значения угла  в Ц – системе, т.к. прямая AC пересекает окружность в двух точках. Но это означает, что одному и тому же углу отклонения   будет соответствовать две различные пары значений импульсов  и . Кроме того, одному и тому же углу отклонения   будет соответствовать два различных значения угла .

Пусть теперь налетающая и покоящаяся частицы имеют одинаковую массу, т.е. , так, что . В этом случае векторная диаграмма имеет наиболее простой вид, т.к. отрезки  и  оказываются равными. Поэтому точки  и  будут лежать на противоположных концах диаметра (рис.3). B этом случае треугольник  является равнобедренным. Поэтому . Следовательно, в случае частиц  равных масс получаем:

;              ;                     (19)

Формула (19) для угла  получается конечно из общей формулы, если в ней положить :

Одинаковые частицы всегда разлетаются под прямым углом друг к другу. Это видно как из диаграммы 3, так и непосредственно из формул (19):

      (20)

4


O

A

B

Рис. 3. Импульсная диаграмма столкновения  частиц для случая .

Рис.2. Импульсная диаграмма столкновения  частиц для случая .

D

Рис. 1  Импульсная диаграмма столкновения

      частиц для случая .

C

B

O

D

A

E

n0

C

B

O

D

A

n0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22797. Курс на перебудову: плани та реальності його здійснення в Україні 37 KB
  Перш ніж горбачовські реформи дійшли до України тут сталася катастрофа глобального значення: 26 квітня 1986 р. Величезна радіоактивна хмара покрила багато районів України Росії Білорусії а згодом поширилася на землі Польщі та Скандинавії. Постали Українська республіканська партія Демократична партія України партія зелених та ін. На діаметрально протилежних позиціях стояла Комуністична партія України.
22798. Разработка заказной спецификации на аппаратные средства ЭВМ 30.85 KB
  Наличие хорошего сетевого адаптера, встроенного или внешнего; Наличие мощного процессора и видеоадаптера, необходимого для обработки трехмерной графической информации, а так же достаточная емкость ОЗУ.
22799. Визнання Української держави світовим співтовариством. Міжнародне співробітництво незалежної України 31 KB
  Міжнародне співробітництво незалежної України. Важливим кроком в цьому відношенні став робочий візит міністра закордонних справ України Б. Визначною подією в двосторонніх відносинах України з Канадою став офіційний візит до Києва прем’єрміністра Канади Ж. Важливим кроком на шляху підтвердження вірності України європейському вибору поглиблення її відносин з Францією стало проведення 1 березня 1999р.
22800. Походження назви «Україна» та «українці» 41.5 KB
  Походження назви Україна та українці Назва Україна щодо українських земель вперше зустрічається в Київському літописі 1187 р. За тих часів назва Україна поширювалася на Київщину Переяславщину Чернігівщину. Про походження назви Україна існує кілька припущень. Надєждін пояснив значення слова Україна.
22801. Ранній залізний вік на території України 63 KB
  Протягом тисячолітнього існування в Північному Причорномор'ї античні містадержави справили значний вплив на розвиток місцевих племен: скіфів сарматів слов'ян. Етногенез слов’ян. Перші писемні згадки про слов’ян. Існує кілька концепцій походження слов’ян з яких найпоширеніша така: витоки слов'янської історії сягають щонайменше II тис.
22802. Походження Русі 28 KB
  Основними ознаками будьякої середньовічної держави в тому числі Київської Русі були: розміщення населення не за національним у той період за племінним принципом а за територіальним поява влади не пов'язаної з волевиявленням народу збирання данини для утримання цієї влади династичний спадковий характер влади вождя.
22803. Основні етапи розвитку Києворуської держави 29 KB
  До часів правління Аскольда вчені відносять і першу спробу введення християнства як офіційної релігії у Київській Русі. Володимир починає своє правління посадовивши синів і старших дружинників у містах Русі. У період правління Ярослава Мудрого розширюються кордони Київської Русі: від Чорного моря і пониззя Дунаю на півдні аж до Фінської затоки на півночі від Закарпаття на заході до верхів'їв Волги та Дону на сході. в Київській Русі встановлюється форма правління яку називають тріумвіратом Ярославичів Ізяслава Святослава та Всеволода.
22804. Київська Русь періоду розквіту. Володимир Великий. Ярослав Мудрий 34.5 KB
  Володимир Великий. Ставши Великим князем київським Володимир багато зробив аби зміцнити державу встановити лад і порядок. За часів Володимира в загальних рисах завершилося формування держави. Видатний політик і адміністратор Володимир здійснив серію реформ.
22805. Зовнішня політика Київської Русі та ГВК 25 KB
  Зовнішня політика Київської Русі та ГВК Починаючи із заснування Київської Русі вона досить активно займалася зовнішньою політикою у різних напрямках: політичному економічному релігійному та культурному. перервало зв'язки північносхідних земель Русі з Європою. Для Київської Русі була характерна договірна торгівля значне місце посідав звичайний обмін товар на товар .Отже і в період існування Київської Русі і під час розвитку ГалицькоВолинського князівства зовнішня політика проводилася досить активно і різнобічно.