19013

Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Лекция

Физика

Лекция 11. Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Цсистему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л и Цсистемах Столкновение двух частиц называется упругим если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния в том числе не ...

Русский

2013-07-11

1.06 MB

49 чел.

Лекция 11. Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Столкновение двух частиц называется упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния, в том числе не изменяется их внутренняя энергия. Термин "столкновение" предполагает, что взаимодействие между частицами  происходит в течение какого-то ограниченного времени, после чего частицы движутся как свободные.

Процесс упругого столкновения можно проанализировать в рамках законов сохранения энергии и импульса. Эти результаты получались и подробно исследовались в курсе общей физики. Здесь мы интерпретируем их графически с помощью так называемых импульсных диаграмм. Ограничимся подробным рассмотрением простого, но важного и часто встречающегося случая, когда вторая частица до столкновения покоилась (в общем случае формулы очень громоздки), т.е.

,              (1)

В этом случае импульс системы и относительный импульс определяются импульсом первого тела

      и         (2)

Тогда импульсы те в системе центра инерции до и после столкновения равны:

,                     (3)

,                 (4)

( - приведенная масса). Кинетическая энергия в Ц-системе

    (5)

Тогда формулы для импульсов тел в Л-системе после столкновения можно записать в виде:

  (6)

  (7)

Рассмотрим три случая, которые отличаются друг от друга соотношением масс частиц  и .

1. Налетающая частица  легче покоящейся частицы , т.е.

Проведем следующие построения (См. рисунок). Отложим отрезок  . Из точки отложим отрезок . Тогда очевидно, что отрезок  будет представлять собой импульс налетающей частицы до столкновения: . Из точки  проведем окружность радиусом . Точка  будет лежать на этой окружности, а точка  будет находиться внутри круга, т.к. при  . Заметим, что отрезок , т.е. одновременно представляет собой импульс налетающей частицы в Ц - системе.

Рассмотрим на окружности произвольную точку . Отрезок  можно рассматривать как импульс первой частицы после столкновения в Ц - системе: , т.к. . Следовательно, угол  есть угол поворота первой частицы в Ц – системе. Тогда отрезок  есть импульс первой частицы после столкновения в Л – системе: .

Одновременно,  есть импульс второй частицы после столкновения в Л – системе: . Т.о. на одной векторной диаграмме удается одновременно представить векторы импульсов частиц до и после столкновений как в Л – системе, так и в Ц – системе. Именно это обстоятельство делает векторные импульсные диаграммы исключительно наглядными и позволяет установить из них связь между различными величинами в Л – и в Ц – системах. Например, из диаграммы сразу видно, что угол отклонения  первой частицы в Л – системе может изменяться во всем интервале , а угол отклонения  второй частицы в Л – системе может изменяться в интервале . Видно, что , когда , что имеет место при . При этом частицы разлетаются в разные стороны вдоль одной прямой: , а . Это соответствует "лобовому" столкновению частиц. При , . При этом , а . Это соответствует отсутствию столкновения частиц.

Установим связь между углами отклонения частиц  и  в Л – системе и углом поворота  в Ц – системе. Углы  и  представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара, т.е. по отношению к вектору налетающей частицы , т.е. по отношению к отрезку  на рисунке.

Сначала установим связь между углами  и .  Поскольку треугольник  равнобедренный, то . Отсюда сразу получаем, что

      (8)

Теперь установим связь между углами  и .  Из рисунка следуют соотношения:

Поскольку , а , то получаем

.

Эту формулу обычно записывают в виде:

   (9)

Угол , т.к. точка  лежит внутри круга. Поскольку , то при  угол разлета частиц   и  после столкновения меньше чем :

,             (10)

Рассмотрим случай "лобового" удара. Из диаграммы 1 видно, что в этом случае налетающая частица  полетит в сторону, противоположную её начальному направлению движения: . Точка  будет находиться на одном диаметре окружности слева от точки . Т.е. при "лобовом" столкновении . Поэтому

,     т.е.       ,

т.е.

    (11)

Следовательно

   (12)

Для покоящейся частицы при "лобовом" ударе , т.е.

    (13)

Следовательно,

   (14)

Если частица  до столкновения покоилась, то наибольшую энергию, которую может потерять налетающая частица, будет равна энергии, приобретенной второй частицей именно после "лобового" столкновения:

  (15)

Используя формулу  (15) легко получаем:

(16)

Здесь  - первоначальная энергия налетающей частицы.

Рассмотрим случай, когда налетающая частица  тяжелее покоящейся частицы , т.е. . В этом случае построение векторной импульсной диаграммы производится аналогично тому, как это делалось выше для случая . Отличие будет состоять только в том, что теперь точка  будет лежать вне круга радиуса , т.к. длина отрезка  будет больше , поскольку  (рис.10.6).

Такое, казалось бы, не столь большое отличие, приводит, однако, к существенному изменению результата взаимодействия частиц, по сравнению с рассмотренным выше случаем . В то время, как при  скорость первой частицы после столкновения могла иметь любое направление , теперь угол отклонения налетающей частицы  не может превышать некоторого максимального значения , так, что при  величина  может изменяться в пределах: . Значение угла  может легко определено из векторной диаграммы 2. Максимальному отклонению первой частицы в Л – системе соответствует такое положение точки , при котором прямая AС касается окружности в точке E.

Поскольку треугольник AEO – прямоугольный, то .

Поскольку , а , то сразу получаем, что

     (17)

Значению угла  соответствует угол поворота в Ц – системе , так, что .

обсудим значение угла разлета. Теперь угол , т.к. точка  лежит вне круга. Поскольку , то при  угол разлета частиц   и  после столкновения больше чем :

,             (18)

Кроме того, как это видно из диаграммы 2, одному и тому же значению угла  будет соответствовать два различных значения угла  в Ц – системе, т.к. прямая AC пересекает окружность в двух точках. Но это означает, что одному и тому же углу отклонения   будет соответствовать две различные пары значений импульсов  и . Кроме того, одному и тому же углу отклонения   будет соответствовать два различных значения угла .

Пусть теперь налетающая и покоящаяся частицы имеют одинаковую массу, т.е. , так, что . В этом случае векторная диаграмма имеет наиболее простой вид, т.к. отрезки  и  оказываются равными. Поэтому точки  и  будут лежать на противоположных концах диаметра (рис.3). B этом случае треугольник  является равнобедренным. Поэтому . Следовательно, в случае частиц  равных масс получаем:

;              ;                     (19)

Формула (19) для угла  получается конечно из общей формулы, если в ней положить :

Одинаковые частицы всегда разлетаются под прямым углом друг к другу. Это видно как из диаграммы 3, так и непосредственно из формул (19):

      (20)

4


O

A

B

Рис. 3. Импульсная диаграмма столкновения  частиц для случая .

Рис.2. Импульсная диаграмма столкновения  частиц для случая .

D

Рис. 1  Импульсная диаграмма столкновения

      частиц для случая .

C

B

O

D

A

E

n0

C

B

O

D

A

n0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58000. Форматування тексту 55 KB
  Мета уроку: знайомити учнів з поняттям форматування та видами Форматування; Вчити використовувати засоби форматування тексту, Застосовувати кнопки панелі інструментів та нестандартні символи при оформлені текстів; розвивати абстрактне мислення, творчий підхід до ство рення документів.
58001. ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ 151.5 KB
  Вчитель відкриває на ІАД правильні відповіді які до цього момента були приховані. Вчитель викликає до дошки по черзі чотирьох учнів кожен з яких за допомогою стрілок зєднує записи завдань із записами правильних рішень.
58002. Freizeit. Вільний час 4.64 MB
  Мета: Тренувати учнів у вживанні нової лексики: die Freizeit, das Spiel, spielen, der Fussball, der Volleyball, der Federball, fernsehen, der Basketball, das Klavier, rauchen, der Rad, schwimmen, skaten, stricken, hören, die Musik, fahren, lesen, tanzen, nähen, backen, tauchen.
58003. Freizeit und Hobbys 93.5 KB
  Мета: Активізувати вживання вивчених ЛО до теми “Freizeit”. Навчати учнів вести бесіду, працювати у парах та групах. Повторити граматичний матеріал Модальні дієслова. Удосконалювати навички говоріння,читання,письма, аудіювання.
58004. Загальні відомості про функції. Класифікація функцій 299.5 KB
  Загальні відомості про функції. Навчити студентів застосовувати стандартні та функції користувача при реалізації програмних кодів на мові С....
58005. Квадратична функція у=ах2+вх.+с, (а≠0), її графік і властивості 60.5 KB
  Мета: систематизувати та узагальнювати матеріал, опрацьований на попередніх уроках, повторити, уточнити нові поняття; систематизувати та узагальнювати знання, отримані учнями в процесі вивчення теми. Розвивальні: розвивати увагу, мислення, память, культуру математичного мовлення...
58006. Функція у = х2 її властивості, графік 64.5 KB
  Функція у = х2 її властивості графік Мета: домогтися засвоєння учнями властивостей функції у = х2 і властивостей її графіка та способу застосування графіка функції у = х2 для графічного розвязання рівнянь виду х2 = а; формувати вміння відтворювати зміст вивчених понять відпрацювати навички роботи з графіком функції...
58007. Від атома до Галактики 158 KB
  Мета уроку: Узагальнити і систематизувати знання учнів по темі „Степінь з цілим показником”. Формувати в учнів вміння встановлювити головне. Самостійно застосовувати набуті знання в стандартних і не стандартних ситуаціях, а також вміння аналізувати певні математичні твердження, робити висновки.
58008. Чотирикутники. Подібність трикутників. Теорема Піфагора. Площі многокутників Розв’язування прямокутних трикутників 175.5 KB
  Мета уроку: Вдосконалення компентентності учнів з теми: Подібність трикутників, теореми Піфагора; площі многокутників; розв’язування прямокутних трикутників. Формувати вміння застосовувати їх під час розв’язування практичних (прикладних) задач; активізувати пізнавальну діяльність учнів;