19013

Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Лекция

Физика

Лекция 11. Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Цсистему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л и Цсистемах Столкновение двух частиц называется упругим если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния в том числе не ...

Русский

2013-07-11

1.06 MB

49 чел.

Лекция 11. Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Столкновение двух частиц называется упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния, в том числе не изменяется их внутренняя энергия. Термин "столкновение" предполагает, что взаимодействие между частицами  происходит в течение какого-то ограниченного времени, после чего частицы движутся как свободные.

Процесс упругого столкновения можно проанализировать в рамках законов сохранения энергии и импульса. Эти результаты получались и подробно исследовались в курсе общей физики. Здесь мы интерпретируем их графически с помощью так называемых импульсных диаграмм. Ограничимся подробным рассмотрением простого, но важного и часто встречающегося случая, когда вторая частица до столкновения покоилась (в общем случае формулы очень громоздки), т.е.

,              (1)

В этом случае импульс системы и относительный импульс определяются импульсом первого тела

      и         (2)

Тогда импульсы те в системе центра инерции до и после столкновения равны:

,                     (3)

,                 (4)

( - приведенная масса). Кинетическая энергия в Ц-системе

    (5)

Тогда формулы для импульсов тел в Л-системе после столкновения можно записать в виде:

  (6)

  (7)

Рассмотрим три случая, которые отличаются друг от друга соотношением масс частиц  и .

1. Налетающая частица  легче покоящейся частицы , т.е.

Проведем следующие построения (См. рисунок). Отложим отрезок  . Из точки отложим отрезок . Тогда очевидно, что отрезок  будет представлять собой импульс налетающей частицы до столкновения: . Из точки  проведем окружность радиусом . Точка  будет лежать на этой окружности, а точка  будет находиться внутри круга, т.к. при  . Заметим, что отрезок , т.е. одновременно представляет собой импульс налетающей частицы в Ц - системе.

Рассмотрим на окружности произвольную точку . Отрезок  можно рассматривать как импульс первой частицы после столкновения в Ц - системе: , т.к. . Следовательно, угол  есть угол поворота первой частицы в Ц – системе. Тогда отрезок  есть импульс первой частицы после столкновения в Л – системе: .

Одновременно,  есть импульс второй частицы после столкновения в Л – системе: . Т.о. на одной векторной диаграмме удается одновременно представить векторы импульсов частиц до и после столкновений как в Л – системе, так и в Ц – системе. Именно это обстоятельство делает векторные импульсные диаграммы исключительно наглядными и позволяет установить из них связь между различными величинами в Л – и в Ц – системах. Например, из диаграммы сразу видно, что угол отклонения  первой частицы в Л – системе может изменяться во всем интервале , а угол отклонения  второй частицы в Л – системе может изменяться в интервале . Видно, что , когда , что имеет место при . При этом частицы разлетаются в разные стороны вдоль одной прямой: , а . Это соответствует "лобовому" столкновению частиц. При , . При этом , а . Это соответствует отсутствию столкновения частиц.

Установим связь между углами отклонения частиц  и  в Л – системе и углом поворота  в Ц – системе. Углы  и  представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара, т.е. по отношению к вектору налетающей частицы , т.е. по отношению к отрезку  на рисунке.

Сначала установим связь между углами  и .  Поскольку треугольник  равнобедренный, то . Отсюда сразу получаем, что

      (8)

Теперь установим связь между углами  и .  Из рисунка следуют соотношения:

Поскольку , а , то получаем

.

Эту формулу обычно записывают в виде:

   (9)

Угол , т.к. точка  лежит внутри круга. Поскольку , то при  угол разлета частиц   и  после столкновения меньше чем :

,             (10)

Рассмотрим случай "лобового" удара. Из диаграммы 1 видно, что в этом случае налетающая частица  полетит в сторону, противоположную её начальному направлению движения: . Точка  будет находиться на одном диаметре окружности слева от точки . Т.е. при "лобовом" столкновении . Поэтому

,     т.е.       ,

т.е.

    (11)

Следовательно

   (12)

Для покоящейся частицы при "лобовом" ударе , т.е.

    (13)

Следовательно,

   (14)

Если частица  до столкновения покоилась, то наибольшую энергию, которую может потерять налетающая частица, будет равна энергии, приобретенной второй частицей именно после "лобового" столкновения:

  (15)

Используя формулу  (15) легко получаем:

(16)

Здесь  - первоначальная энергия налетающей частицы.

Рассмотрим случай, когда налетающая частица  тяжелее покоящейся частицы , т.е. . В этом случае построение векторной импульсной диаграммы производится аналогично тому, как это делалось выше для случая . Отличие будет состоять только в том, что теперь точка  будет лежать вне круга радиуса , т.к. длина отрезка  будет больше , поскольку  (рис.10.6).

Такое, казалось бы, не столь большое отличие, приводит, однако, к существенному изменению результата взаимодействия частиц, по сравнению с рассмотренным выше случаем . В то время, как при  скорость первой частицы после столкновения могла иметь любое направление , теперь угол отклонения налетающей частицы  не может превышать некоторого максимального значения , так, что при  величина  может изменяться в пределах: . Значение угла  может легко определено из векторной диаграммы 2. Максимальному отклонению первой частицы в Л – системе соответствует такое положение точки , при котором прямая AС касается окружности в точке E.

Поскольку треугольник AEO – прямоугольный, то .

Поскольку , а , то сразу получаем, что

     (17)

Значению угла  соответствует угол поворота в Ц – системе , так, что .

обсудим значение угла разлета. Теперь угол , т.к. точка  лежит вне круга. Поскольку , то при  угол разлета частиц   и  после столкновения больше чем :

,             (18)

Кроме того, как это видно из диаграммы 2, одному и тому же значению угла  будет соответствовать два различных значения угла  в Ц – системе, т.к. прямая AC пересекает окружность в двух точках. Но это означает, что одному и тому же углу отклонения   будет соответствовать две различные пары значений импульсов  и . Кроме того, одному и тому же углу отклонения   будет соответствовать два различных значения угла .

Пусть теперь налетающая и покоящаяся частицы имеют одинаковую массу, т.е. , так, что . В этом случае векторная диаграмма имеет наиболее простой вид, т.к. отрезки  и  оказываются равными. Поэтому точки  и  будут лежать на противоположных концах диаметра (рис.3). B этом случае треугольник  является равнобедренным. Поэтому . Следовательно, в случае частиц  равных масс получаем:

;              ;                     (19)

Формула (19) для угла  получается конечно из общей формулы, если в ней положить :

Одинаковые частицы всегда разлетаются под прямым углом друг к другу. Это видно как из диаграммы 3, так и непосредственно из формул (19):

      (20)

4


O

A

B

Рис. 3. Импульсная диаграмма столкновения  частиц для случая .

Рис.2. Импульсная диаграмма столкновения  частиц для случая .

D

Рис. 1  Импульсная диаграмма столкновения

      частиц для случая .

C

B

O

D

A

E

n0

C

B

O

D

A

n0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30812. ПОТОКИ И ПРОЦЕССЫ 13.25 KB
  Процесс обеспечивает программу всем что ей нужно для работы включая один поток. Этот стандартный поток основной поток используется для выполнения кода программы. Основной поток типичного процесса начинает работу с точки входа и продолжает выполняться в соответствии со всеми циклами условными операторами и вызовами функций. Основной поток завершается вместе с завершением процесса.
30813. Гонки и тупики 11.15 KB
  Пусть Поток 1 получил доступ к ресурсу и изменил его в своих интересах; затем активизировался Поток 2 и модифицировал этот же ресурс до завершения Потока 1. Поток 1 полагает что ресурс остался в том же состоянии что и был до переключения. Тупики имеют место тогда когда поток ожидает ресурс который в данный момент принадлежит другому потоку.
30814. Создание таблиц для базы 18.26 KB
  Создание таблиц для базы Важным моментом при создании базы данных является распределение информации между полями записи. Очевидно что информация может быть распределена между полями различным образом. После того как определены поля записи необходимо выполнить распределение полей по таблицам. В простой базе данных все поля можно разместить в одной таблице.
30815. Создание модуля данных 23.7 KB
  Создание модуля данных Для размещения компонентов доступа к данным в приложении баз данных желательно использовать специальную форму модуль данных класс TDtModule. Обратите внимание что модуль данных не имеет ничего общего с обычной формой приложения ведь его непосредственным предком является класс TComponent. В модуле данных можно размещать только невизуальные компоненты. Модуль данных доступен разработчику как и любой другой модуль проекта на этапе разработки.
30816. Доступ к базе данных (таблице) 19.97 KB
  Доступ к базе данных таблице Доступ к базе данных обеспечивают компоненты Dtbse Tble Query и DtSource значки которых находятся на вкладках Dt ccess и BDE палитры Компонент Dtbse представляет базу данных как единое целое т. совокупность таблиц а компонент Tble одну из таблиц базы данных. Компонент DtSource источник данных обеспечивает связь компонента отображенияредактирования данных например компонента DBGrid и источника данных в качестве которого может выступать таблица компонент Tаblе или результат выполнения SQLзапроса к...
30817. Для сохранения целостности пользователь может наложить ограничения на процессы вставки удаления или обнов. 12.09 KB
  Для сохранения целостности пользователь может наложить ограничения на процессы вставки удаления или обновления данных в базе. База данных состоит из различных объектов таких как таблицы виды домены сохраненные процедуры триггеры. Объекты базы данных содержат всю информацию о ее структуре и данных.
30818. ADO, провайдеры ADO 11.36 KB
  DO позволяет представлять данные из разнообразных источников реляционных баз данных текстовых файлов и т. Провайдеры DO обеспечивают соединение приложения использующего данные через DO с источником данных сервером SQL локальной СУБД файловой системой и т. Для каждого типа хранилища данных должен существовать провайдер DO. Провайдер знает о местоположении хранилища данных и его содержании умеет обращаться к данным с запросами и интерпретировать возвращаемую служебную информацию и результаты запросов с целью их передачи приложению.
30819. Генератор отчетов Rave Reports 5.0 18.73 KB
  Компоненты для создания отчетов Генератор отчетов Rve Reports 5.0 Генератор отчетов Rve Reports 5.0 разработан фирмой Nevron и входит в состав Delphi 7 в качестве основного средства для создания отчетов. Он состоит из трех частей: ядро генератора отчетов обеспечивает управление отчетом и его предварительный просмотр и отправку на печать.
30820. Доступ к общим данным 17.87 KB
  Доступ к общим данным Строки являются записями а столбцы полями таблицы базы данных. Класс tdtset обеспечивает возможность редактирования набора данных а также предоставляет средства для перемещения навигации по записям. Этот класс инкапсулирует в себе функциональные возможности borlnd dtbse engine bde процессора баз данных фирмы borlnd. Класс tbdedtset имеет класспотомок tdbdtset в котором определены дополнительные свойства и методы обеспечивающие возможность связывания набора данных с физическими таблицами базы данных.