19013

Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Лекция

Физика

Лекция 11. Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Цсистему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л и Цсистемах Столкновение двух частиц называется упругим если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния в том числе не ...

Русский

2013-07-11

1.06 MB

49 чел.

Лекция 11. Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Столкновение двух частиц называется упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния, в том числе не изменяется их внутренняя энергия. Термин "столкновение" предполагает, что взаимодействие между частицами  происходит в течение какого-то ограниченного времени, после чего частицы движутся как свободные.

Процесс упругого столкновения можно проанализировать в рамках законов сохранения энергии и импульса. Эти результаты получались и подробно исследовались в курсе общей физики. Здесь мы интерпретируем их графически с помощью так называемых импульсных диаграмм. Ограничимся подробным рассмотрением простого, но важного и часто встречающегося случая, когда вторая частица до столкновения покоилась (в общем случае формулы очень громоздки), т.е.

,              (1)

В этом случае импульс системы и относительный импульс определяются импульсом первого тела

      и         (2)

Тогда импульсы те в системе центра инерции до и после столкновения равны:

,                     (3)

,                 (4)

( - приведенная масса). Кинетическая энергия в Ц-системе

    (5)

Тогда формулы для импульсов тел в Л-системе после столкновения можно записать в виде:

  (6)

  (7)

Рассмотрим три случая, которые отличаются друг от друга соотношением масс частиц  и .

1. Налетающая частица  легче покоящейся частицы , т.е.

Проведем следующие построения (См. рисунок). Отложим отрезок  . Из точки отложим отрезок . Тогда очевидно, что отрезок  будет представлять собой импульс налетающей частицы до столкновения: . Из точки  проведем окружность радиусом . Точка  будет лежать на этой окружности, а точка  будет находиться внутри круга, т.к. при  . Заметим, что отрезок , т.е. одновременно представляет собой импульс налетающей частицы в Ц - системе.

Рассмотрим на окружности произвольную точку . Отрезок  можно рассматривать как импульс первой частицы после столкновения в Ц - системе: , т.к. . Следовательно, угол  есть угол поворота первой частицы в Ц – системе. Тогда отрезок  есть импульс первой частицы после столкновения в Л – системе: .

Одновременно,  есть импульс второй частицы после столкновения в Л – системе: . Т.о. на одной векторной диаграмме удается одновременно представить векторы импульсов частиц до и после столкновений как в Л – системе, так и в Ц – системе. Именно это обстоятельство делает векторные импульсные диаграммы исключительно наглядными и позволяет установить из них связь между различными величинами в Л – и в Ц – системах. Например, из диаграммы сразу видно, что угол отклонения  первой частицы в Л – системе может изменяться во всем интервале , а угол отклонения  второй частицы в Л – системе может изменяться в интервале . Видно, что , когда , что имеет место при . При этом частицы разлетаются в разные стороны вдоль одной прямой: , а . Это соответствует "лобовому" столкновению частиц. При , . При этом , а . Это соответствует отсутствию столкновения частиц.

Установим связь между углами отклонения частиц  и  в Л – системе и углом поворота  в Ц – системе. Углы  и  представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара, т.е. по отношению к вектору налетающей частицы , т.е. по отношению к отрезку  на рисунке.

Сначала установим связь между углами  и .  Поскольку треугольник  равнобедренный, то . Отсюда сразу получаем, что

      (8)

Теперь установим связь между углами  и .  Из рисунка следуют соотношения:

Поскольку , а , то получаем

.

Эту формулу обычно записывают в виде:

   (9)

Угол , т.к. точка  лежит внутри круга. Поскольку , то при  угол разлета частиц   и  после столкновения меньше чем :

,             (10)

Рассмотрим случай "лобового" удара. Из диаграммы 1 видно, что в этом случае налетающая частица  полетит в сторону, противоположную её начальному направлению движения: . Точка  будет находиться на одном диаметре окружности слева от точки . Т.е. при "лобовом" столкновении . Поэтому

,     т.е.       ,

т.е.

    (11)

Следовательно

   (12)

Для покоящейся частицы при "лобовом" ударе , т.е.

    (13)

Следовательно,

   (14)

Если частица  до столкновения покоилась, то наибольшую энергию, которую может потерять налетающая частица, будет равна энергии, приобретенной второй частицей именно после "лобового" столкновения:

  (15)

Используя формулу  (15) легко получаем:

(16)

Здесь  - первоначальная энергия налетающей частицы.

Рассмотрим случай, когда налетающая частица  тяжелее покоящейся частицы , т.е. . В этом случае построение векторной импульсной диаграммы производится аналогично тому, как это делалось выше для случая . Отличие будет состоять только в том, что теперь точка  будет лежать вне круга радиуса , т.к. длина отрезка  будет больше , поскольку  (рис.10.6).

Такое, казалось бы, не столь большое отличие, приводит, однако, к существенному изменению результата взаимодействия частиц, по сравнению с рассмотренным выше случаем . В то время, как при  скорость первой частицы после столкновения могла иметь любое направление , теперь угол отклонения налетающей частицы  не может превышать некоторого максимального значения , так, что при  величина  может изменяться в пределах: . Значение угла  может легко определено из векторной диаграммы 2. Максимальному отклонению первой частицы в Л – системе соответствует такое положение точки , при котором прямая AС касается окружности в точке E.

Поскольку треугольник AEO – прямоугольный, то .

Поскольку , а , то сразу получаем, что

     (17)

Значению угла  соответствует угол поворота в Ц – системе , так, что .

обсудим значение угла разлета. Теперь угол , т.к. точка  лежит вне круга. Поскольку , то при  угол разлета частиц   и  после столкновения больше чем :

,             (18)

Кроме того, как это видно из диаграммы 2, одному и тому же значению угла  будет соответствовать два различных значения угла  в Ц – системе, т.к. прямая AC пересекает окружность в двух точках. Но это означает, что одному и тому же углу отклонения   будет соответствовать две различные пары значений импульсов  и . Кроме того, одному и тому же углу отклонения   будет соответствовать два различных значения угла .

Пусть теперь налетающая и покоящаяся частицы имеют одинаковую массу, т.е. , так, что . В этом случае векторная диаграмма имеет наиболее простой вид, т.к. отрезки  и  оказываются равными. Поэтому точки  и  будут лежать на противоположных концах диаметра (рис.3). B этом случае треугольник  является равнобедренным. Поэтому . Следовательно, в случае частиц  равных масс получаем:

;              ;                     (19)

Формула (19) для угла  получается конечно из общей формулы, если в ней положить :

Одинаковые частицы всегда разлетаются под прямым углом друг к другу. Это видно как из диаграммы 3, так и непосредственно из формул (19):

      (20)

4


O

A

B

Рис. 3. Импульсная диаграмма столкновения  частиц для случая .

Рис.2. Импульсная диаграмма столкновения  частиц для случая .

D

Рис. 1  Импульсная диаграмма столкновения

      частиц для случая .

C

B

O

D

A

E

n0

C

B

O

D

A

n0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43065. Социальные изменения. Понятие социального прогресса и модернизации 17 KB
  Понятием «социальные изменения» обозначаются различные перемены, происходящие в течение некоторого времени внутри социальных систем и во взаимоотношениях между ними, в обществе в целом как социальной системе.
43066. Рассчет и конструкция станочного приспособления для фрезерования двух канавок 301.5 KB
  Изучение закономерности влияния приспособления на точность и производительность выполняемых операций позволяет проектировать приспособления интенсифицирующее производство и повышающее его точность. Проводимая работа по унификации и стандартизации элементов приспособления создала основу для автоматизированного проектирования приспособлений с использованием ЭВМ и автоматов для графического изображения что приводит к ускорению технологической подготовке производства.1 Назначение устройство и принцип работы проектируемого приспособления.2...
43067. Проектирование АТП по перевозке строительных грузов (кирпичи, песок, и т.д.) по Сибири 487 KB
  Реализация потенциальных свойств автомобиля, заложенных при его создании, снижение затрат на содержание, ТО и ремонт, уменьшение соответствующих простоев, обеспечивающие повышение производительности, при одновременном снижении их себестоимости – основные задачи технической эксплуатации подвижного состава автомобильного транспорта.
43068. Расчет применения станков с ЧПУ 386.5 KB
  Характерной особенностью серийного производства является изготовление деталей партиями. Под размером партии деталей понимают число деталей, обрабатываемых с одной наладки оборудования.
43069. Расчет технико-экономических показателей строительного предприятия 313 KB
  Строительные процессы выполняемые вручную с использованием ручного инструмента и простейших приспособлений называют ручными; выполняемые с помощью электрических ручных машин электропилы электрорубанка и пр. Эффективность инвестиций может также устанавливаться при выражении результата в стоимостной а затрат в натуральной форме и наоборот когда затраты рассчитываются в рублях а результат в натуральных измерителях.
43070. Подземная разработка месторождений полезных ископаемых 427.5 KB
  В настоящих методических указаниях поставлена задача освоить методы и приемы применяемые проектными и научными организациями, при решении таких вопросов, как установление размеров очистных камер и целиков, определение рациональных параметров отбойки, выпуска и доставки руды, организации основных технологических процессов и др.
43071. Система автоматического управления электроприводом 6.2 MB
  Конструктивное исполнение всех двигателей со степенью защиты IP44 – станина с продольными радиальными ребрами и наружный обдув, установленным на валу реверсивным центробежным вентилятором, защищенным кожухом, предназначенным одновременно и для направления воздушного потока.
43072. Объединение региональных объединённых энергосистем в более мощную систему образует Единую энергетическую систему России 2.3 MB
  Одной из главных задач электроснабжения является обеспечить дальнейший экономический прогресс общества, глубокий качественный сдвиг в материально-технической базе на основе ускорения научно- технического прогресса, интенсификации общественного производства, повышение эффективности.
43073. Народное хозяйство и природно-климатические условия проектирования 88 KB
  Климат: почти вся территория Томской области находится в пределах таежной зоны. Климатические условия южных и северных районов Томской области заметно отличаются ввиду того что расстояние между северной и южной границами области по меридиану достигает 600 километров. Климатические характеристики северных районов области отличаются большей суровостью и продолжительностью зимнего сезона. На долю речных долин приходится 1 5 территории Томской области.