19014

Дифференциальное сечение рассеяния частиц. Формула Резерфорда

Лекция

Физика

Лекция 12. Дифференциальное сечение рассеяния частиц. Формула Резерфорда Для изучения характера взаимодействия частиц друг с другом обычно проводятся эксперименты по рассеянию целого пучка одинаковых частиц которые падают из бесконечности с одинаковой начальной с...

Русский

2013-07-11

2.55 MB

39 чел.

Лекция 12. Дифференциальное сечение рассеяния частиц. Формула Резерфорда

Для изучения характера взаимодействия частиц друг с другом обычно проводятся эксперименты по рассеянию целого пучка одинаковых частиц, которые падают из "бесконечности" с одинаковой начальной скоростью  на рассеивающий центр. Роль источников таких пучков в современных физических экспериментах обычно играют различные ускорители.

Постановку задачи по рассеянию можно обрисовать следующим образом. Из "бесконечности" на покоящуюся  частицу  падает "бесконечно широкий", однородный в поперечном направлении поток одинаковых частиц  с одинаковой по величине и направлению скоростью . Каждая из частиц пучка, взаимодействуя с частицей , улетает после взаимодействия опять в "бесконечность", отклоняясь в Л – системе на определенный угол . При этом неподвижная до взаимодействия частица , после взаимодействия приобретает определенную скорость  и начинает двигаться в направлении  в Л – системе. Таким образом, в экспериментах по рассеянию мы имеем дело с инфинитным движением множества частиц падающего пучка. Известно, что если задачу решать в системе центра масс (Ц – системе), то задача о взаимодействии двух частиц  и  сводится к задаче о взаимодействии одной частицы с приведенной массой  с неподвижным силовым центром . Угол отклонения частицы  в  Ц – системе обозначается, как и ранее, буквой . Определение угла , требует полного решения уравнения движения, с учетом конкретного закона взаимодействия между частицами в центрально-симметричном поле , расположенным в центре инерции системы. Затем, зная угол отклонения , можно по формулам, полученным в предыдущей лекции, определить углы отклонения  и  в Л – системе.

Таким образом, на первом этапе, используя полученные ранее результаты задачи взаимодействия двух частиц, нужно определить угол отклонения (рассеяния)  в Ц – системе. Угол рассеяния  в Ц -  системе есть угол между двумя асимптотами траектории, т.е. между направлением первоначального движения (горизонтальная асимптота) и направлением движения после рассеяния (боковая асимптота). Ранее было показано, что траектория движения частицы при инфинитном движении симметрична по отношению к прямой, проведенной из центра поля  в точку поворота  (см. рисунок).

Поэтому обе асимптоты траектории движущейся частицы  пересекают указанную прямую под одинаковыми углами. Обозначим через  угол между любой из асимптот траектории и прямой . Из рисунка видно, что угол отклонения частицы  связан с углом  простым соотношением:

     (1)

Поскольку точка  является точкой наименьшего расстояния  от пролетающей частицы  до центра поля, то в соответствие полученной ранее формулой, можно сразу записать выражение для угла :

    (2)

Здесь, как и ранее  - начальная энергия относительного движения в Ц – системе, а  - момент импульса относительно центра поля в Ц - системе. Поскольку в начальный момент времени расстояние между частицами предполагается бесконечно большим , то начальная потенциальная энергия будет равна нулю: . Поэтому

    (3)

Естественно, что такая же энергия будет у частицы после рассеяния, когда она опять улетит "в бесконечность". Что касается момента импульса, то

.                    (4)

Величина  называется "прицельным расстоянием" или "прицельным параметром". Величина  есть длина перпендикуляра, опущенного из центра поля на горизонтальную асимптоту траектории частицы. Другими словами, величина  есть расстояние, на котором частица прошла бы мимо центра поля, если бы взаимодействие отсутствовало (см. рисунок).

Т.о., в рассматриваемой задаче все частицы пучка имеют одинаковую энергию , но разные прицельные параметры , т.е. разные моменты импульса . Именно поэтому различные частицы пучка будут отклоняться в Ц – системе на различные углы: . Теперь, используя формулы (3) и (4) и, учитывая, что , перепишем выражение (2) для угла  в следующем виде:

.

Учитывая, что  представим последнюю формулу в виде:

    (5)

Точку поворота (в нашем случае это точка наибольшего сближения ) находим из уравнения  , т.е. . В терминах величин  и  это уравнение будет выглядеть так: , т.е.

     (6)

Формулы (5) и (6) позволяют определить угол  для любой из частиц пучка с энергией , имеющей заданный прицельный параметр .

Из формул (5) и (6) видно, что угол , а, следовательно, и угол рассеяния , достаточно сложным образом зависят от энергии частицы и прицельного параметра. С одной стороны, величины  и  входят явно в интеграл (5), аналитическое вычисление которого далеко не всегда возможно при различных значениях . С другой стороны, величина , являющаяся корнем уравнения (6), может так же весьма сложно зависеть от этих величин.

Как отмечалось выше, в экспериментах по рассеянию мы имеем дело с облучением рассеивающего центра бесконечно широким в поперечном направлении (т.е. в плоскости, перпендикулярной вектору ) моноэнергетическим пучком многих частиц, прицельные параметры которых имеют значения от  (лобовое столкновение) до .

Обозначим посредством  число частиц, рассеиваемых в единицу времени в интервале углов от  до . Само это число физически наблюдаемо с помощью различных детекторов излучения. Но оно не удобно по той причине, что величина  зависит не только от процесса взаимодействия частиц с рассеивающим потенциалом , но и от плотности потока падающего пучка . Величина  есть число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения падающего пучка, который во всех экспериментах по рассеянию считается однородным по всему своему сечению. Размерность . Чтобы исключить зависимость результатов наблюдения от  вводится отношение

      (7)

Величина  называется эффективным (дифференциальным) сечением рассеяния. Легко видеть, что размерность . Величина  всецело определяется только видом рассеивающего поля и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния.

Полным эффективным сечением рассеяния называется отношение

      (8)

Здесь  - полное число частиц рассеянных во всех направлениях в единицу времени.

Понятно, что частицы с различным прицельным параметром  будут рассеиваться на различные углы. Следовательно, справедливо и обратное утверждение: на угол  рассеиваются частицы с вполне определенным прицельным параметром . На угол  рассеиваются частицы с прицельным параметром .  Следовательно, в заданный интервал плоских углов от  до  рассеиваются лишь те частицы, которые летят с прицельными расстояниями между  и . Число таких рассеянных частиц  равно произведению плотности потока падающих частиц  на площадь кольца между внутренним радиусом  и наружным радиусом : . Следовательно, согласно формуле (8),

    (9)

Учитывая, что , из формулы (9) получаем:

     (10)

В формуле (10)  записано абсолютное значение производной , т.к. обычно . Действительно, в подавляющем большинстве случаев, угол рассеяния является однозначной, монотонно убывающей функцией прицельного параметра . Обычно, чем прицельный параметр больше, т.е. чем "дальше" пролетает частица от центра поля, тем меньшие силы на неё действуют и тем на меньший угол она отклоняется: .

Формула (10) получена из простых геометрических рассуждений. Из неё следует, что для определения  нужно знать зависимость прицельного параметра от угла рассеяния .

В реальных экспериментах по рассеянию обычно измеряют не число частиц, рассеянных в единицу времени в элемент плоского угла , а в элемент телесного угла , между конусами с углами раствора  и . Это связано с тем, что любой детектор измерения частиц имеет конечную площадь "окна", через которое внутрь прибора и попадают регистрируемые частицы. Находясь на достаточно большом расстоянии от облучаемой мишени, такой детектор регистрирует частицы летящие в интервале телесных углов от  до . Величина такого элемента телесного угла есть . С учетом этого формулу (10) можно переписать в виде:

                       (11)

Полное эффективное сечение рассеяния получается из формулы  (11) интегрированием по всем телесным углам :

      (12)  

  Если масса покоящегося тела , то центр инерции системы фактически находится в точке положения тела . В этом случае

,

т.е. . Поэтому в этом случае формулы (11) и (12) являются окончательными и определяют дифференциальное и полное рассеяние частиц  в поле тела  сразу в Л – системе.  

Во всех остальных случаях формулу (11) нужно рассматривать как промежуточную, определяющую дифференциальное сечение рассеяния от угла  в Ц - системе. Для нахождения эффективного сечения рассеяния в Л - системе, надо выразить в этой формуле  через углы  и  согласно полученным ранее формулам:

;               (13)

При этом одновременно получаются выражения как для дифференциального сечения падающего пучка (когда  выражается через ), так и для дифференциального сечения покоящихся частиц (когда  выражается через ). При этом, даже при весьма простой зависимости  от угла  в Ц – системе, формулы для  и  могут оказаться весьма громоздкими.

Что касается полного эффективного сечения рассеяния , то его значение в любой системе отсчета одно и тоже, так как полное число частиц, рассеянных во всех направлениях  является инвариантом и не зависит от выбора системы отсчета.

Рассмотрим теперь рассеяние частиц в кулоновском поле

,        (14)

Будем для простоты считать, что . В этом случае центр инерции системы будет неподвижным, и совпадать с положением частицы . Система цента масс (Ц - система) и лабораторная система (Л-система) совпадают, приведенная масса системы двух частиц  и угол рассеяния  в Ц – системе будет практически равен углу рассеяния  частицы  в Л-системе. Как и раньше будем обозначать ,  и . Поскольку начальная, а, следовательно, и полная механическая энергия положительна , то в обоих случаях движение будет инфинитным, как и должно быть в задачах рассеяния.

Траектория движения частицы симметрична по отношению к прямой, проведенной из центра поля  в точку поворота  (см. рисунок). Следуя схеме решения задач рассеяния, определяем зависимость угла  по общей формуле:

  (15)

Минимальное расстояние до точки поворота (это точка) находим из уравнения: . В терминах величин  и  это уравнение будет выглядеть так:

                                         (16)

Формулы (15) и (16) позволяют определить угол  для любой из частиц  пучка с энергией , имеющей заданный прицельный параметр .

Подставляя в (15) потенциальную энергии (14), после интегрирования, получаем:

,  где     (17)

Условное изображение движения частицы  с начальной  скоростью . Точка  - точка наибольшего сближения;  - прицельный параметр; - угол рассеяния в Ц – системе.

Из формулы (17) находим зависимость :

    (18)

Из формулы (18) видно, что при “лобовом” столкновении  угол рассеяния . С увеличением прицельного параметра, угол рассеяния монотонно уменьшается до нуля при .

Теперь, определив зависимость квадрата прицельного параметра от угла рассеяния, можем определить дифференциальное сечение рассеяния в элемент телесного угла  по общей формуле:

 (19)

Получаем:

;         (20)

Это и есть формула Резерфорда.

На рисунке представлен график зависимости  дифференциального сечения рассеяния  (20) в кулоновском поле. Значение коэффициента  принято равным единице.

Т.о., число частиц, рассеянных в кулоновском поле в элемент телесного угла  обратно пропорционально . Во всех случаях, где нарушается закон кулоновского взаимодействия (1) нарушается и закон рассеяния Резерфорда.

Проведем анализ полученной формулы.

  1.  Величина . Поэтому рассеяние в кулоновском поле притяжения не отличается от рассеяния в кулоновском поле отталкивания.
  2.  Дифференциальное сечение рассеяния в кулоновском поле обратно пропорционально квадрату энергии рассеиваемых частиц: , т.е. .
  3.  При малых углах рассеяния  . При  значение  (малым углам рассеяния соответствуют большие значения ).
  4.  При угле рассеяния  (лобовое столкновение) значение дифференциального сечения рассеяния минимально: .

Вычислим полное сечение рассеяния в кулоновском поле:

;       (21)

из-за расходимости интеграла на нижнем пределе .

То, что полное сечение рассеяния оказывается расходящимся, является общим свойством не только для кулоновского поля (1), но и для любого потенциального поля , не обращается строго в ноль на конечном расстоянии от рассеивающего центра. Действительно, по определению . Но, если потенциал не обращается в ноль на конечном расстоянии от рассеивающего центра, то все частицы падающего пучка (независимо от их прицельного параметра ), будут испытывать действие силового поля и отклоняться, хоть и на малый угол при больших значениях . Т.е. все частицы пучка попадают в категорию рассеянных частиц:. Следовательно, . Указанное обстоятельство противоречит экспериментальным наблюдениям и является существенным недостатком классической теории рассеяния. Правильные значения величин  и  могут быть получены только методами расчета квантовой механики, где для большинства потенциалов полное сечение рассеяния оказывается конечным. Однако, замечательной особенностью классической формулы Резерфорда, является то, что она полностью сохраняет свой вид и в рамках квантовой механике.

Т.о., если массы частиц , то ,  и  формула (20) является окончательной и определяет дифференциальное сечение рассеяние частиц  сразу в Л – системе.

Если массы частиц сравнимы, то формулу (20) нужно рассматривать как промежуточную, определяющую дифференциальное сечение рассеяния частицы с приведенной массой  от угла рассеяния  в Ц - системе. Для нахождения эффективного сечения рассеяния в Л - системе, необходимо выразить в этой формуле  через углы  и  согласно полученным ранее формулам:

;  ;      (21)

При этом одновременно получаются выражения как для дифференциального сечения частиц  падающего пучка  (когда  выражается через  посредством первой из формул (21)), так и для дифференциального сечения покоящихся частиц   (когда  выражается через , посредством второй из формул (21)). При этом для каждой из частиц нужно вводить свой телесный угол  и , учитывая, что в Ц – системе . При этом получается весьма громоздкое выражение для величины .

7

о

.

x

A


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18700. Показатели использования основных фондов и фондовооруженности труда 19.64 KB
  Показатели использования основных фондов и фондовооруженности труда Фондоотдача фондоемкость фондовооруженность являются основными показателями уровня использования основных фондов. Экономическим эффектом улучшения использования основных фондов является рост п
18701. Plug and Play (PnP) 13.42 KB
  Plug and Play сокр. PnP дословно переводится как включил и играй работай технология предназначенная для быстрого определения и конфигурирования устройств в компьютере и других технических устройствах. Изначальная технология называлась NuBus и была разработана Western Digital. Ш
18702. Информационная база управленческого анализа эффективности хозяйственной деятельности 14.01 KB
  Информационная база управленческого анализа эффективности хозяйственной деятельности Эффективность хозяйственной деятельности измеряется одним из двух способов отражающих результативность работы организации относительно либо величины авансированных ресурсов л
18703. Оптимальное управление. Вариационное исчисление 16.22 KB
  Оптимальное управление это задача проектирования системы обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества...
18704. Правила формирования структуры и взаимодействия модулей ПС 30.54 KB
  Правила формирования структуры и взаимодействия модулей ПС . Структура ПС и правила оформления каждого модуля должны быть унифицированы . Каждый модуль должен характеризоваться функциональной законченностью автономностью и независимостью в оформлении от модулей. ко...
18705. Амортизация основных фондов. Норма амортизационных отчислений 14.63 KB
  Амортизация основных фондов. Норма амортизационных отчислений. Амортизацией называется денежное возмещение износа основных фондов. Амортизация осуществляется в виде ежемесячных отчислений от стоимости ОС в амортизационный фонд предприятия.Амортизация плановый пр
18706. Современные операционные системы. Структура Windows 16.49 KB
  Современные операционные системы. Структура Windows. Windows от всемирно известной компании Microsoft. Программное обеспечение выпускаемое данным брендом по праву занимает лидирующие позиции по количеству пользователей во всем мире. На данный момент в стадии низкого старта н...
18707. Участники фондового рынка 14.48 KB
  Участники фондового рынка. Фондовый рынок ценных бумаг представляет из себя разные организации каждые из которых занимаются определенным видом деятельности. Профессиональные участники фондового рынка это юридические лица имеющие соответствующие лицензии. Участ...
18708. Пакеты прикладных программ (ППП) 14.83 KB
  Пакеты прикладных программ ППП это совокупность совместимых программ для решения определенного класса задач. Свойства. должен состоять из нескольких программных единиц; предназначен для решения определенного класса задач; в пределах своего класса обладает опр