19015

Малые одномерные колебания (свободные и вынужденные). Вынужденные колебания под действием произвольной силы

Лекция

Физика

Лекция 13. Малые одномерные колебания свободные и вынужденные. Вынужденные колебания под действием произвольной силы. Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Резонанс. Затухающие колебания Распространенным движением в природе являются колебания те

Русский

2013-07-11

2.55 MB

31 чел.

Лекция 13. Малые одномерные колебания (свободные и вынужденные). Вынужденные колебания под действием произвольной силы. Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Резонанс. Затухающие колебания

Распространенным движением в природе являются колебания тела относительно положения устойчивого равновесия. Здесь мы рассмотрим простейший случай, когда система имеет всего одну степень свободы: , .  

Начнем рассмотрение с изучения свободных одномерных колебаний, когда на систему не действуют внешние силы. В этом случае система замкнута, и её энергия сохраняется. Функция Лагранжа такой системы имеет вид:

    (1)

Устойчивому положению равновесия соответствует такое состояние системы, в котором его потенциальная энергия  имеет минимум (пример такой функции приведен на рисунке). Всякое отклонение от положения равновесия приводит к возникновению силы,  (), которая стремиться вернуть систему обратно. Пусть функция  имеет минимум при . При малых отклонениях от положения равновесия величину  можно разложить в ряд по величине разности :

  (2)

Примем за начало отсчета потенциальной  энергии её значение в минимуме, т.е. будем считать, что  . В точке минимума

,   а       (3)

Малость отклонения от положения равновесия, позволяет считать, что

    (4)

Коэффициент  совпадает с массой частицы, если  есть декартова координата. С учетом всего сказанного функция Лагранжа (1) будет выглядеть так:

    (5)

Обозначим отклонение от положения равновесия

     (6)

Тогда

     (7)

Это и есть, в самом общем виде ф. Лагранжа для малых, свободных одномерных колебаний. Коэффициенты  и   определяются формулами (3) и (4). Уравнение Лагранжа

             (8)

Вводя обозначение

      (9)

получаем уравнение движения для малых одномерных колебаний:

    (10)

Решение уравнения (10) можно записать в виде

  (11)

Скорость частицы

 (12)

Величина  называется амплитудой колебаний. Величина  называется фазой колебаний, а  - начальной фазой, величина которой зависит от выбора начала отсчета времени. Величина  называется циклической частотой, или просто частотой колебаний. Согласно формуле (9) частота колебаний полностью определяется только свойствами механической системы и не зависит от начальных условий. Поэтому частота является фундаментальной характеристикой процесса гармонических колебаний. Подчеркнем, однако, что это свойство частоты связано с тем, что в разложении потенциальной энергии в ряд мы ограничились членами до второго порядка малости . Это свойство исчезает при учете членов разложения более высокого порядка – ангармонические колебания, и, конечно, не имеет места, если в точке минимума  обращается в ноль.

Поскольку , то, приравнивая коэффициенты при величинах  и  , получаем:

            ;          (13)

Формулы (13) устанавливают связь между постоянными ,  и величинами  и .

Вычислим значения  и  при произвольных начальных условиях. Полагая в формулах (11) и (12) , получим:

;           (14)

Следовательно, амплитуда колебаний

     (15)

В заключение этого раздела сделаем следующее полезное замечание. Зависимость  удобно представить в виде реальной части простого комплексного выражения:

     (16)

Здесь - комплексная амплитуда, модуль которой совпадает с обычной амплитудой , а аргумент с начальной фазой:

      (17)

Представление колебательного движения в комплексной форме удобно тем, что при многократном  дифференцировании по времени комплексная экспонента не изменяет своего вида, в отличие от тригонометрических функций. При этом, пока производятся лишь линейные операции (сложение, умножение на комплексные числа, дифференцирование, интегрирование), можно при всех промежуточных операциях вообще опускать знак взятия реальной части. Переход к реальной части можно осуществить лишь на последнем шаге вычислений, когда необходимо записать результат вычислений в обычной действительной форме.

Рассмотрим колебания в системе с одной степенью свободы, на которую действует внешнее поле, зависящее от времени. Теперь, наряду с собственной потенциальной энергией  возникает дополнительная потенциальная энергия , связанная с наличием внешнего поля. Разлагая  в ряд в окрестности точки  по малой величине , получим:

   (18)

Первый член разложения всегда можно представить как полную производную по , от некоторой функции времени. Поэтому его можно опустить в функции Лагранжа. Величина

   (19)  

есть внешняя сила, зависящая только от времени. Поэтому функция Лагранжа принимает вид:

    (20)

Соответственно уравнение для малых одномерных, вынужденных колебаний и начальные условия будут выглядеть так:

     (21)

Здесь по-прежнему  - частота собственных колебаний. Таким образом, наличие внешней силы приводит к тому, что уравнение малых колебаний становится неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Из курса дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения:

    (22)

Решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, было получено в предыдущем разделе. Следовательно, осталось получить частное решение неоднородного уравнения, которое бы обращалось в ноль при .

Найдем зависимость координаты колеблющегося тела от времени для периодической вынуждающей силы , где  - частота вынуждающей силы. Ищем частное решение неоднородного дифференциального уравнения

    (23)

в виде:

     (24)

где  - пока неизвестная величина. Подставляя функцию (24) в уравнение, находим

и, следовательно, для вынужденных колебаний

   (25)

Произвольные постоянные  и  нужно определить из начальных условий. Решение (25) теряет смысл в случае резонанса, когда . В этом случае легко проверить, что частным решением неоднородного уравнения будет следующая функция

то есть в случае резонанса амплитуда колебаний линейно растет со временем.

Рассмотрим теперь колебания тела в среде, когда происходит диссипация механической энергии в тепловую. Ясно, что в этом случае амплитуда колебаний должна уменьшаться, а вся энергия тела в конце концов перейти в тепло.

Процесс движения в таких условиях не является уже чисто механическим, поскольку его рассмотрение требует учета движения самой среды. Однако если частота колебания тела мала по сравнению с характерными частотами внутренних процессов, можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая только от скорости тела. Если эта скорость мала (по сравнению с характерной скоростью в среде), то разложение силы трения по степеням скорости будет содержать одно слагаемое и

      (26)

Добавляя эту силу в правую часть уравнений движения, получаем

    (27)

Введем обозначение  и получим из (27)

    (28)

Ищем решение уравнения (28) в виде  и получаем для  характеристическое уравнение

    (29)

откуда находим

    (30)

Если  (малое затухание), то решение имеет вид

   (31)

где ,  и  - произвольные постоянные. Выражение (31) описывает затухающие колебания: его можно рассматривать как гармоническое колебание с экспоненциально затухающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется величиной , которую принято называть коэффициентом затухания. Частота затухающих колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения.

Если  (большое затухание), то решение имеет вид

   (32)

где  и  - произвольные постоянные. Выражение (31) описывает движение, которое состоит в экспоненциальном приближении тела к равновесию без всяких колебаний. Такое движение принято называть апериодическим затуханием.

5

q

U


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55741. Яке значення має для людини сім’я 47.5 KB
  Мета: Ознайомити учнів із поняттям сімя; зясувати значення сімї для людини поговорити про те як слід уникати конфліктів у сімї...
55742. Твій родовід, піклування про здоров’я в родині 72 KB
  Слово вчителя Діти коли ви чуєте чи вимовляєте це слово кого ви уявляєте діти називають слова; вчитель будує на дошці асоціативний кущ: брат дідусь тато тітка мама сестра СІМЯ...
55743. Рід, родина, родовід 48.5 KB
  Обладнання: мультимедійні засоби фонограми з записами українських народних пісень столи для команд дзвоники для подачі сигналу про відповідь аркуші паперу ручки секундомір грамоти для нагородження учасників.
55744. Інтегрований урок з української і світової літератури у 8-му класі 135.5 KB
  Про яку літературну героїню сьогодні ми будемо вести розмову Вчитель світової літератури: Виконуючи кожний етап уроку ми з пазлів зберемо в одну цілісну картину образ двох Роксолан. Учителі прикріплюють перший пазл до плакату портрет...
55745. Роль загадок, ребусов, стихов, кроссвордов в развитии познавательной компетентности на уроках истории и во внеурочное время (из опыта работы) 176 KB
  Композиция всех без исключения загадок двухчастная: первая часть вопрос вторая ответ. Это хорошо видно на примере загадок вопросов загадок задач и загадок складок рифма выступает в качестве подсказки.
55746. Рольова гра «Стратегія успіху» 51.5 KB
  Мета. Активізувати у старшокласників процес життєвого, професійного самовизначення, формувати активну життєву установку, навички моделювання, планування та рефлексії...
55749. «Ромео і Джульєтт». Вистава за трагедією Вільяма Шекспіра мовою оригіналу (театралізоване свято) 56 KB
  When William married, he was still a teenager. r He had three children, but in 1587 he went to London. There he began to act and to write plays. Shakespeare became a veiy important member of a well- known acting company.