19015

Малые одномерные колебания (свободные и вынужденные). Вынужденные колебания под действием произвольной силы

Лекция

Физика

Лекция 13. Малые одномерные колебания свободные и вынужденные. Вынужденные колебания под действием произвольной силы. Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Резонанс. Затухающие колебания Распространенным движением в природе являются колебания те

Русский

2013-07-11

2.55 MB

32 чел.

Лекция 13. Малые одномерные колебания (свободные и вынужденные). Вынужденные колебания под действием произвольной силы. Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Резонанс. Затухающие колебания

Распространенным движением в природе являются колебания тела относительно положения устойчивого равновесия. Здесь мы рассмотрим простейший случай, когда система имеет всего одну степень свободы: , .  

Начнем рассмотрение с изучения свободных одномерных колебаний, когда на систему не действуют внешние силы. В этом случае система замкнута, и её энергия сохраняется. Функция Лагранжа такой системы имеет вид:

    (1)

Устойчивому положению равновесия соответствует такое состояние системы, в котором его потенциальная энергия  имеет минимум (пример такой функции приведен на рисунке). Всякое отклонение от положения равновесия приводит к возникновению силы,  (), которая стремиться вернуть систему обратно. Пусть функция  имеет минимум при . При малых отклонениях от положения равновесия величину  можно разложить в ряд по величине разности :

  (2)

Примем за начало отсчета потенциальной  энергии её значение в минимуме, т.е. будем считать, что  . В точке минимума

,   а       (3)

Малость отклонения от положения равновесия, позволяет считать, что

    (4)

Коэффициент  совпадает с массой частицы, если  есть декартова координата. С учетом всего сказанного функция Лагранжа (1) будет выглядеть так:

    (5)

Обозначим отклонение от положения равновесия

     (6)

Тогда

     (7)

Это и есть, в самом общем виде ф. Лагранжа для малых, свободных одномерных колебаний. Коэффициенты  и   определяются формулами (3) и (4). Уравнение Лагранжа

             (8)

Вводя обозначение

      (9)

получаем уравнение движения для малых одномерных колебаний:

    (10)

Решение уравнения (10) можно записать в виде

  (11)

Скорость частицы

 (12)

Величина  называется амплитудой колебаний. Величина  называется фазой колебаний, а  - начальной фазой, величина которой зависит от выбора начала отсчета времени. Величина  называется циклической частотой, или просто частотой колебаний. Согласно формуле (9) частота колебаний полностью определяется только свойствами механической системы и не зависит от начальных условий. Поэтому частота является фундаментальной характеристикой процесса гармонических колебаний. Подчеркнем, однако, что это свойство частоты связано с тем, что в разложении потенциальной энергии в ряд мы ограничились членами до второго порядка малости . Это свойство исчезает при учете членов разложения более высокого порядка – ангармонические колебания, и, конечно, не имеет места, если в точке минимума  обращается в ноль.

Поскольку , то, приравнивая коэффициенты при величинах  и  , получаем:

            ;          (13)

Формулы (13) устанавливают связь между постоянными ,  и величинами  и .

Вычислим значения  и  при произвольных начальных условиях. Полагая в формулах (11) и (12) , получим:

;           (14)

Следовательно, амплитуда колебаний

     (15)

В заключение этого раздела сделаем следующее полезное замечание. Зависимость  удобно представить в виде реальной части простого комплексного выражения:

     (16)

Здесь - комплексная амплитуда, модуль которой совпадает с обычной амплитудой , а аргумент с начальной фазой:

      (17)

Представление колебательного движения в комплексной форме удобно тем, что при многократном  дифференцировании по времени комплексная экспонента не изменяет своего вида, в отличие от тригонометрических функций. При этом, пока производятся лишь линейные операции (сложение, умножение на комплексные числа, дифференцирование, интегрирование), можно при всех промежуточных операциях вообще опускать знак взятия реальной части. Переход к реальной части можно осуществить лишь на последнем шаге вычислений, когда необходимо записать результат вычислений в обычной действительной форме.

Рассмотрим колебания в системе с одной степенью свободы, на которую действует внешнее поле, зависящее от времени. Теперь, наряду с собственной потенциальной энергией  возникает дополнительная потенциальная энергия , связанная с наличием внешнего поля. Разлагая  в ряд в окрестности точки  по малой величине , получим:

   (18)

Первый член разложения всегда можно представить как полную производную по , от некоторой функции времени. Поэтому его можно опустить в функции Лагранжа. Величина

   (19)  

есть внешняя сила, зависящая только от времени. Поэтому функция Лагранжа принимает вид:

    (20)

Соответственно уравнение для малых одномерных, вынужденных колебаний и начальные условия будут выглядеть так:

     (21)

Здесь по-прежнему  - частота собственных колебаний. Таким образом, наличие внешней силы приводит к тому, что уравнение малых колебаний становится неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Из курса дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения:

    (22)

Решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, было получено в предыдущем разделе. Следовательно, осталось получить частное решение неоднородного уравнения, которое бы обращалось в ноль при .

Найдем зависимость координаты колеблющегося тела от времени для периодической вынуждающей силы , где  - частота вынуждающей силы. Ищем частное решение неоднородного дифференциального уравнения

    (23)

в виде:

     (24)

где  - пока неизвестная величина. Подставляя функцию (24) в уравнение, находим

и, следовательно, для вынужденных колебаний

   (25)

Произвольные постоянные  и  нужно определить из начальных условий. Решение (25) теряет смысл в случае резонанса, когда . В этом случае легко проверить, что частным решением неоднородного уравнения будет следующая функция

то есть в случае резонанса амплитуда колебаний линейно растет со временем.

Рассмотрим теперь колебания тела в среде, когда происходит диссипация механической энергии в тепловую. Ясно, что в этом случае амплитуда колебаний должна уменьшаться, а вся энергия тела в конце концов перейти в тепло.

Процесс движения в таких условиях не является уже чисто механическим, поскольку его рассмотрение требует учета движения самой среды. Однако если частота колебания тела мала по сравнению с характерными частотами внутренних процессов, можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая только от скорости тела. Если эта скорость мала (по сравнению с характерной скоростью в среде), то разложение силы трения по степеням скорости будет содержать одно слагаемое и

      (26)

Добавляя эту силу в правую часть уравнений движения, получаем

    (27)

Введем обозначение  и получим из (27)

    (28)

Ищем решение уравнения (28) в виде  и получаем для  характеристическое уравнение

    (29)

откуда находим

    (30)

Если  (малое затухание), то решение имеет вид

   (31)

где ,  и  - произвольные постоянные. Выражение (31) описывает затухающие колебания: его можно рассматривать как гармоническое колебание с экспоненциально затухающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется величиной , которую принято называть коэффициентом затухания. Частота затухающих колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения.

Если  (большое затухание), то решение имеет вид

   (32)

где  и  - произвольные постоянные. Выражение (31) описывает движение, которое состоит в экспоненциальном приближении тела к равновесию без всяких колебаний. Такое движение принято называть апериодическим затуханием.

5

q

U


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17247. Транзакции и восстановление данных 66 KB
  Лекция №11 Транзакции и восстановление данных В данной главе изучаются возможности восстановления данных после сбоев системы т.е. свойство Д долговечность транзакций. Главное требование долговечности данных транзакций состоит в том что данные зафиксированных
17248. Основы технологии OLAP 132.5 KB
  Лекция №12 Основы технологии OLAP Что такое хранилище данных Что такое OLAP Многомерные кубы Некоторые термины и понятия Заключение OLAP OnLine Analytical Processing технологии многомерного анализа данных. Что такое хранилище данных Устно. Информационные с...
17249. Облік доходів підприємства 31.5 KB
  Облік доходів підприємства. Дохід є надходженням економічних вигод які виникають в результаті діяльності підприємства у вигляді виручки від реалізації продукції товарів робіт послуг гонорарів відсотків дивідендів тощо. В обліку дохід відображається в момент надх
17250. Облік фінансових результатів та використання прибутку 35.5 KB
  Облік фінансових результатів та використання прибутку. Фінансові результати за видами діяльності внаслідок яких вони виникають поділяються на : прибутки збитки від звичайної діяльності операційна основна та інша діяльність інша звичайна інвестиційна та фінансо...
17251. Облік власного капіталу 35 KB
  Облік власного капіталу. Власний капітал підприємства це частина в активах підприємства яка залишається після вирахування усіх його зобов'язань. Власний капітал складається із статутного пайового додаткового резервного нерозподілених прибутків непокритих збитк...
17252. Облік резервного капіталу 26.5 KB
  Облік резервного капіталу. Резервний капітал це сума резервів створених відповідно до чинного законодавства і засновницьких документів за рахунок нерозподіленого прибутку підприємства. Він створюється з метою усунення можливих в майбутньому тимчасових фінансових ...
17253. Облік цільового фінансування і цільових надходжень 24.5 KB
  Облік цільового фінансування і цільових надходжень. До цільового фінансування і цільових надходжень належать кошти отримані у вигляді субсидій та асигнувань з бюджету та позабюджетних фондів цільових внесків фізичних та юридичних осіб гуманітарної допомоги тощо. К
17254. Поняття та принципи побудови звітності 54 KB
  Поняття та принципи побудови звітності Підсумкове узагальнення інформації та одержання підсумкових показників що характеризують діяльність підприємства здійснюється шляхом складання звітності за звітний період. Звітним періодом для складання фінансової звітності...
17255. Класифікація звітності та її користувачі 63.5 KB
  Класифікація звітності та її користувачі З метою впорядкування складання звітності її класифікують за такими найбільш поширеними ознаками: змістом і джерелами формування терміном подання ступенем узагальнення обсягом періодичністю подання охопленням видів діяль