19015

Малые одномерные колебания (свободные и вынужденные). Вынужденные колебания под действием произвольной силы

Лекция

Физика

Лекция 13. Малые одномерные колебания свободные и вынужденные. Вынужденные колебания под действием произвольной силы. Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Резонанс. Затухающие колебания Распространенным движением в природе являются колебания те

Русский

2013-07-11

2.55 MB

32 чел.

Лекция 13. Малые одномерные колебания (свободные и вынужденные). Вынужденные колебания под действием произвольной силы. Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Резонанс. Затухающие колебания

Распространенным движением в природе являются колебания тела относительно положения устойчивого равновесия. Здесь мы рассмотрим простейший случай, когда система имеет всего одну степень свободы: , .  

Начнем рассмотрение с изучения свободных одномерных колебаний, когда на систему не действуют внешние силы. В этом случае система замкнута, и её энергия сохраняется. Функция Лагранжа такой системы имеет вид:

    (1)

Устойчивому положению равновесия соответствует такое состояние системы, в котором его потенциальная энергия  имеет минимум (пример такой функции приведен на рисунке). Всякое отклонение от положения равновесия приводит к возникновению силы,  (), которая стремиться вернуть систему обратно. Пусть функция  имеет минимум при . При малых отклонениях от положения равновесия величину  можно разложить в ряд по величине разности :

  (2)

Примем за начало отсчета потенциальной  энергии её значение в минимуме, т.е. будем считать, что  . В точке минимума

,   а       (3)

Малость отклонения от положения равновесия, позволяет считать, что

    (4)

Коэффициент  совпадает с массой частицы, если  есть декартова координата. С учетом всего сказанного функция Лагранжа (1) будет выглядеть так:

    (5)

Обозначим отклонение от положения равновесия

     (6)

Тогда

     (7)

Это и есть, в самом общем виде ф. Лагранжа для малых, свободных одномерных колебаний. Коэффициенты  и   определяются формулами (3) и (4). Уравнение Лагранжа

             (8)

Вводя обозначение

      (9)

получаем уравнение движения для малых одномерных колебаний:

    (10)

Решение уравнения (10) можно записать в виде

  (11)

Скорость частицы

 (12)

Величина  называется амплитудой колебаний. Величина  называется фазой колебаний, а  - начальной фазой, величина которой зависит от выбора начала отсчета времени. Величина  называется циклической частотой, или просто частотой колебаний. Согласно формуле (9) частота колебаний полностью определяется только свойствами механической системы и не зависит от начальных условий. Поэтому частота является фундаментальной характеристикой процесса гармонических колебаний. Подчеркнем, однако, что это свойство частоты связано с тем, что в разложении потенциальной энергии в ряд мы ограничились членами до второго порядка малости . Это свойство исчезает при учете членов разложения более высокого порядка – ангармонические колебания, и, конечно, не имеет места, если в точке минимума  обращается в ноль.

Поскольку , то, приравнивая коэффициенты при величинах  и  , получаем:

            ;          (13)

Формулы (13) устанавливают связь между постоянными ,  и величинами  и .

Вычислим значения  и  при произвольных начальных условиях. Полагая в формулах (11) и (12) , получим:

;           (14)

Следовательно, амплитуда колебаний

     (15)

В заключение этого раздела сделаем следующее полезное замечание. Зависимость  удобно представить в виде реальной части простого комплексного выражения:

     (16)

Здесь - комплексная амплитуда, модуль которой совпадает с обычной амплитудой , а аргумент с начальной фазой:

      (17)

Представление колебательного движения в комплексной форме удобно тем, что при многократном  дифференцировании по времени комплексная экспонента не изменяет своего вида, в отличие от тригонометрических функций. При этом, пока производятся лишь линейные операции (сложение, умножение на комплексные числа, дифференцирование, интегрирование), можно при всех промежуточных операциях вообще опускать знак взятия реальной части. Переход к реальной части можно осуществить лишь на последнем шаге вычислений, когда необходимо записать результат вычислений в обычной действительной форме.

Рассмотрим колебания в системе с одной степенью свободы, на которую действует внешнее поле, зависящее от времени. Теперь, наряду с собственной потенциальной энергией  возникает дополнительная потенциальная энергия , связанная с наличием внешнего поля. Разлагая  в ряд в окрестности точки  по малой величине , получим:

   (18)

Первый член разложения всегда можно представить как полную производную по , от некоторой функции времени. Поэтому его можно опустить в функции Лагранжа. Величина

   (19)  

есть внешняя сила, зависящая только от времени. Поэтому функция Лагранжа принимает вид:

    (20)

Соответственно уравнение для малых одномерных, вынужденных колебаний и начальные условия будут выглядеть так:

     (21)

Здесь по-прежнему  - частота собственных колебаний. Таким образом, наличие внешней силы приводит к тому, что уравнение малых колебаний становится неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Из курса дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения:

    (22)

Решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, было получено в предыдущем разделе. Следовательно, осталось получить частное решение неоднородного уравнения, которое бы обращалось в ноль при .

Найдем зависимость координаты колеблющегося тела от времени для периодической вынуждающей силы , где  - частота вынуждающей силы. Ищем частное решение неоднородного дифференциального уравнения

    (23)

в виде:

     (24)

где  - пока неизвестная величина. Подставляя функцию (24) в уравнение, находим

и, следовательно, для вынужденных колебаний

   (25)

Произвольные постоянные  и  нужно определить из начальных условий. Решение (25) теряет смысл в случае резонанса, когда . В этом случае легко проверить, что частным решением неоднородного уравнения будет следующая функция

то есть в случае резонанса амплитуда колебаний линейно растет со временем.

Рассмотрим теперь колебания тела в среде, когда происходит диссипация механической энергии в тепловую. Ясно, что в этом случае амплитуда колебаний должна уменьшаться, а вся энергия тела в конце концов перейти в тепло.

Процесс движения в таких условиях не является уже чисто механическим, поскольку его рассмотрение требует учета движения самой среды. Однако если частота колебания тела мала по сравнению с характерными частотами внутренних процессов, можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая только от скорости тела. Если эта скорость мала (по сравнению с характерной скоростью в среде), то разложение силы трения по степеням скорости будет содержать одно слагаемое и

      (26)

Добавляя эту силу в правую часть уравнений движения, получаем

    (27)

Введем обозначение  и получим из (27)

    (28)

Ищем решение уравнения (28) в виде  и получаем для  характеристическое уравнение

    (29)

откуда находим

    (30)

Если  (малое затухание), то решение имеет вид

   (31)

где ,  и  - произвольные постоянные. Выражение (31) описывает затухающие колебания: его можно рассматривать как гармоническое колебание с экспоненциально затухающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется величиной , которую принято называть коэффициентом затухания. Частота затухающих колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения.

Если  (большое затухание), то решение имеет вид

   (32)

где  и  - произвольные постоянные. Выражение (31) описывает движение, которое состоит в экспоненциальном приближении тела к равновесию без всяких колебаний. Такое движение принято называть апериодическим затуханием.

5

q

U


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42238. Работа с векторной графикой в Adobe Photoshop 448.5 KB
  Кнопка для вывода оглавления Этапы создания кнопки: Создание нового рисунка размером 25090 пикселей с прозрачным фоном. Установка для инструмента Карандаш Pencil размера 9 пикселей. Зеркальный Линейный Зеркальный Зеркальный Линейный Зеркальный Зеркальный Угол 90 90 90 90 95 90 90 0 90 90 Масштаб 130 130 130 90 110 80 100 100 100 110 Дополнительные эффекты Обводка Размер: 2 пикс. Цвет: RGB255 0 0 Тень Цвет: RGB137 11 5 Смещение: 9 пикс.
42239. Создание анимационных изображений в Adobe Photoshop 781.5 KB
  На панели этого инструмента можно задать следующие опции: вид гарнитуру шрифта ; стиль шрифта Regulr обычный Itlic курсив Bold жирный Bold Itlic жирный курсив ; размер шрифта в пунктах ; режим сглаживания для границ символов ; режим выравнивания выравнивание влево по центру или вправо; цвет текста при щелчке по этому прямоугольнику открывается окно Палитра цветов в котором можно задать цвет текста ; деформация текста вывод текста по заданной кривой ; включение выключение палитры символов...
42240. Форматирование Web-страниц. Знакомство с элементами и стилями форматирования языка HTML 725 KB
  Программное обеспечение: операционная система Windows Webбраузер Internet Explorer версии 6. Разработчики Webстраниц должны включать в свои документы одно из трех объявлений типов. Сущности и комментарии HTML и XHTML В Webстраницах могут быть представлены только символы кодовой таблицы SCII.
42241. Вставка изображений, списков и гипертекстовых ссылок в Web-страницы 432.5 KB
  Адресатом ссылки может быть: начало какоголибо раздела данного документа HTML другой документ HTML изображение звуковой клип видеоклип программа и т. Атрибут nme и id используется для создания внутренних ссылок меток или якорей в документе к разделам документа таблицам рисункам терминам и т. например: nme= P01 Раздел 1.1 Тот же пример с использованием атрибута id рекомендуется использовать именно этот атрибут: id= P01 Раздел 1.
42242. Вставка таблиц в Web-страницы. Элементы и стили таблиц в языке HTML 125 KB
  Основные элементы представления таблиц в HTML Основные элементы представления таблиц: представление всей таблицы элемент tble ; представление заголовка таблицы элемент cption ; представление строки таблицы элемент tr ; представление ячейки таблицы элементы th и td . В Webстранице может содержаться произвольное число таблиц допускаются также вложенные таблицы. Представление всей таблицы 3. Описание таблицы состоит из одной или нескольких строк задаваемых в контейнере tble tble с помощью контейнеров tr tr .
42243. Использование карт ссылок и фреймов в Web-страницах 209.5 KB
  работа 207 Использование карт ссылок и фреймов в Webстраницах 1. Программное обеспечение: операционная система Windows Webбраузер Internet Explorer версии 6. Клиентский вариант карты ссылок Карты ссылок Imgemp Imge Mp re Mp Clickble Mp Sensitive Mp предоставляют пользователям возможность перехода на другие Webстраницы при щелчке мышью по отдельным фрагментам изображения. При использовании обычной гиперссылки для изображения переход на другую Webстраницу выполняется при щелчке мышью в любом месте изображения т.
42244. Программирование на языке JavaScript (данные, функции и управление выполнением программы) 186.5 KB
  Программирование на языке JvScript данные функции и управление выполнением программы 1. Цель работы Целью работы является овладение навыками работы с данными функциями и предложениями управления при создании интерактивных Webстраниц с использованием языка сценариев JvScript. Синтаксис языка JvScript Текст программы на языке JvScript представляет собой последовательность символов в кодировке SCII или Unicode. Комментарии в языке JvScript можно оформлять одним из следующих двух способов: 1.
42245. Программирование на языке JavaScript (встроенные объектные типы) 194.5 KB
  Предложение создания нового объекта имеет следующий синтаксис: vr переменная = new имяобъектноготипа[параметры] Этот оператор создает новый экземпляр объекта заданного объектного типа и присваивает его значение переменной. Пример создание переменной встроенного объектного типа String: vr string1= new String Строка 1 ; Объекту может быть присвоено специальное значение null. Объект который еще не инициализирован также имеет значение null. Свойства объектного типа Mth Свойство Значение E Значение константы Эйлера 2718.
42246. Создание объектов в языке JavaScript, регулярные выражения и обработка ошибок 496.5 KB
  Опции шаблона регулярного выражения Опция Назначение g Глобальный поиск т. Свойства объекта Regulr Expression Имя Значение Тип возвращаемого значения Возможность изменения globl Состояние опции g true включена или flse выключена Только для чтения ignoreCse Состояние опции i true включена или flse выключена Только для чтения multiline Состояние опции m true включена или flse выключена Только для чтения source Копия строки шаблона регулярного выражения Строка Только для чтения lstIndex Позиция того символа в строке с которой...