19016

Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты

Лекция

Физика

Лекция 14. Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты Рассмотрим случай малых колебаний системы частиц имеющей степеней свободы. Самый общий вид функции Лагранжа такой системы таков: 1 2 Устойч

Русский

2013-07-11

459.5 KB

40 чел.

Лекция 14. Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты

Рассмотрим случай малых колебаний системы частиц, имеющей   степеней свободы. Самый общий вид функции Лагранжа такой системы таков:

 (1)

       (2)

Устойчивому положению равновесия соответствует такое состояние системы, в котором её потенциальная энергия  имеет минимум. Малые отклонения от положения равновесия приводят к возникновению сил, которые стремятся вернуть систему обратно в состояние равновесия. Пусть  имеет минимум при . При малых отклонениях от положения равновесия потенциальную энергию  можно разложить в ряд Тейлора по величинам разности

,           (3)

которые представляют собой малые отклонения от положения равновесия системы. Ограничимся в этом разложении членами второго порядка малости:

  (4)

Примем за начало отсчета потенциальной  энергии её значение в минимуме, т.е. будем считать, что  . В точке минимума

      (5)

Обозначим

,          (6)

Из (6) следует, что коэффициенты  симметричны относительно перестановки индексов:

      (7)

С учетом всего сказанного, выражение для потенциальной энергии (4) для потенциальной энергии вблизи положения равновесия  принимает простой вид:

   (8)

Теперь упростим выражение для кинетической энергии в функции Лагранжа (15.2). Поскольку величины  уже являются величинами второго порядка малости, то в силу малости отклонения от положения равновесия, в рамках рассматриваемой точности можно считать, что

   (9)

Постоянные коэффициенты , так же как и величины  симметрии величины относительно перестановки индексов: . С учетом всего сказанного функция Лагранжа (1) будет выглядеть так:

   (10)

Теперь запишем систему  уравнений Лагранжа для функции Лагранжа (10):

;           (11)

Вычисляя производные  и :

      (12)

      (13)

и подставляя их в уравнения Лагранжа, получаем:

,        (14)

Здесь мы переобозначили индексы суммирования , чтобы уравнения движения имели более привычный вид. Или в развернутом виде:

   (15)

Система дифференциальных уравнений (15) и есть уравнения движения для малых колебаний системы с  степенями свободы для величин , ,……..

Ищем решение системы в комплексном виде:

     (16)

Здесь  некоторые, пока неизвестные комплексные постоянные: . Подставляя (16) в систему уравнений (15), получаем после сокращения на общий множитель  систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные :

;  ,        (17)

Для того, чтобы эта система однородных уравнений имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы её определитель обращался в ноль:

,               (18)

( - номер строки;  - номер столбца).

Уравнение (18) называется характеристическим уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение порядка  относительно величин . В общем случае оно имеет  различных и положительных корней: , где . Определенные из уравнения (18) величины  называются собственными частотами системы.

Согласно уравнению (18), собственные частоты колебаний полностью определяется только свойствами механической системы (коэффициентами  и ), и не зависят от начальных условий (и соответственно от амплитуд колебаний).

После того, когда все собственные частоты  определены, можно частично определить значения коэффициентов . Если все частоты различны, то значения величин  пропорциональны минорам определителя (15.21), в котором нужно заменить  на величину . Каждому значению координаты  будет соответствовать свой минор :

     (19)

( - номер строки;  - номер столбца). Тогда частное решение будет иметь вид:

,        .                        (20)

Здесь  - произвольные комплексные постоянные.

Общее решение системы уравнений (15) есть суперпозиция частных решений (20). Переходя как обычно к вещественной части общее решение можно записать в виде (миноры  величины действительные):

,       (21)

Здесь обозначено

     (22)

Общее решение (21) содержит  неизвестных постоянных  и . Эти постоянные определяются из начальных условий:

;   ;    ;      (23)

Из формулы (23) видно, что изменение каждой из координат  со временем представляет собой наложение  простых гармонических колебаний , ,……. с произвольными амплитудами и фазами (которые определяются из начальных условий), но имеющих вполне определенные частоты , ,……., которые от начальных условий не зависят.

Как уже отмечалось ранее, из формулы (21) следует, что изменение каждой из координат  со временем представляет собой наложение  простых гармонических колебаний  с произвольными амплитудами и фазами, но имеющими вполне определенные частоты . Но это означает, что всегда от обобщенных координат  можно перейти к новым обобщенным координатам, чтобы каждая из них соответствовала только одной собственной частоте . Ясно, что новыми обобщенными координатами и будут величины , ,…….. Это непосредственно следует из самого вида общего решения (21). Действительно, рассматривая  соотношений (21) как систему  уравнений относительно неизвестных , можно выразить все старые обобщенные координаты  через величины ,…….:

     (24)

Но это как раз и означает, что величины  можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называются нормальными координатами (или главными), а совершаемые ими простые гармонические колебания – нормальными колебаниями системы, которым соответствуют нормальные частоты . Поскольку каждая нормальная координата меняется по гармоническому закону , то каждая из величин  удовлетворяет обычному уравнению для одномерных гармонических колебаний

,            (25)

Сказанное выше означает, что в нормальных координатах система уравнений (15) распадается на  независимых друг от друга уравнений, с независимыми начальными условиями. Другими словами, нормальные координаты полностью независимы друг от друга. Последнее означает, что функция Лагранжа (15.13), выраженная через нормальные координаты , может быть представлена как сумма функций Лагранжа для каждой нормальной координаты

 (26)

Здесь  - положительные постоянные.

Сказанное выше фактически означает, что и потенциальная и кинетическая энергия

;      ;   ,

могут быть одновременно приведены к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты принято выбирать таким образом, чтобы коэффициенты  в функции Лагранжа (26) отсутствовали. Для этого достаточно определить новые нормальные координаты  соотношением:

     (27)

При таком выборе нормальных координат функция Лагранжа будет выглядеть так

     (28)

Проиллюстрируем введение нормальных координат для рассмотренной выше задачи с функцией Лагранжа:

.

Решение соответствующих уравнений Лагранжа имеет вид

;     ,

где собственные частоты определяются формулой

      и       

Из формул для  и  видно, что всегда можно записать

      и         (29)

Отсюда находим нормальные координаты

     и           (30)

Запишем функцию Лагранжа в новых обобщенных координатах. Кинетическая энергия

  (31)

Потенциальная энергия

.

или

 (32)

Видим, что кинетическая и потенциальная энергии системы одновременно привились к диагональному виду. Функция Лагранжа в новых обобщенных координатах теперь будет выглядеть так

   (33)

Система уравнений Лагранжа распадается на два независимых уравнения

;           (34)

;           (35)

Уравнение (34) описывает простые гармонические колебания с частотой , а уравнение (35) с частотой .

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82555. Технологія підготовки та проведення нарад. Етикет ділової людини 211.33 KB
  Наради невід’ємна частина багатьох видів бізнесу. Ось тільки користь вони приносять лише в тому випадку якщо правильно організовані в іншому випадку наради можуть перетворитися на пожирачів часу що гальмують робочий процес. Але описаний в попередньому абзаці погляд на наради досить ідеалізований...
82556. Организация использования цифровых сертификатов и электронно-цифровой подписи при обеспечении безопасности электронного документооборота хозяйствующего субъекта 745.5 KB
  Электронно-цифровая подпись ЭЦП имеет смысл только в том случае если на предприятии действует система электронного документооборота. На первый взгляд может показаться что ЭЦП – лишний атрибут документа и все можно отрегулировать правами доступа в ЭДО.
82557. Особенности развития мышления у подростков в условиях раннего выбора профильного обучения 1.48 MB
  Цель нашего исследования – выявление отличий в достигнутом уровне развития мышления и в познавательной мотивации у учащихся профильных и общеобразовательных классов средней школы. Проанализировать психологические исследования касающиеся: Особенностей мышления и его развития в подростковом возрасте...
82558. Движение военно-исторической реконструкции в России (на примере Екатеринбургского военно-исторического клуба «Горный щит») 170.32 KB
  Воспитание патриотизма на примерах истории рубежа XX – XXI вв. сопряжено с рядом негативных явлений, охвативших часть общества. К ним можно отнести психологические потрясения, пронизывавшие Россию в последние 15-20 лет; разрушение прежних нравственных ориентиров российского общества...
82559. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ИПОТЕЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 394.5 KB
  Правовое регулирование ипотеки. Общая характеристика правового регулирования ипотеки. Коллизии правового регулирования ипотеки зданий сооружений расположенных на земельном участке. Правовое регулирование ипотеки зданий и земельного участка.
82560. Разработка алгоритма подсчета контрольных сумм в RAID-подобных массивах с ненадежными и медленными каналами связи между устройствами хранения данных 229.55 KB
  Одним из возможных применений могут быть системы хранения данных СХД. В распределенных СХД появляется проблема передачи данных между устройствами если они расположены далеко друг от друга или соединены медленными и не надежными каналами связи.
82561. Моделирование процессов полирования оптических деталей на станках с ЧПУ 12.23 MB
  Объектом моделирования включает в себя процесс полирования поверхности оптических деталей а также автоматизацию анализа входных данных с поверхности линзы расчёта оптимального способа обработки оптических деталей генерации и записи кода ISO для станка с ЧПУ.
82562. Быстрое сравнение по образцу и обучение в глубину с помощью диаграмм решений 259.19 KB
  Машинное обучение – раздел информатики изучающий методы построения моделей, способных обучаться. Различают два типа обучения: обучение по прецедентам, или индуктивное обучение, т.е. выделение закономерностей в экспериментальных данных, и дедуктивное обучение, предполагающее формализацию знаний экспертов.
82563. Разработка мероприятий, направленных на повышение рентабельности ООО Поликлиника «А-3» 943.5 KB
  Целью любого предприятия является прибыль, она же, соответственно, является и важнейшим объектом экономического анализа. Однако сам размер прибыли не может охарактеризовать эффективность использования предприятием своих ресурсов. Одним из основных показателей, характеризующих эффективность работы предприятия, является рентабельность.