19016

Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты

Лекция

Физика

Лекция 14. Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты Рассмотрим случай малых колебаний системы частиц имеющей степеней свободы. Самый общий вид функции Лагранжа такой системы таков: 1 2 Устойч

Русский

2013-07-11

459.5 KB

45 чел.

Лекция 14. Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты

Рассмотрим случай малых колебаний системы частиц, имеющей   степеней свободы. Самый общий вид функции Лагранжа такой системы таков:

 (1)

       (2)

Устойчивому положению равновесия соответствует такое состояние системы, в котором её потенциальная энергия  имеет минимум. Малые отклонения от положения равновесия приводят к возникновению сил, которые стремятся вернуть систему обратно в состояние равновесия. Пусть  имеет минимум при . При малых отклонениях от положения равновесия потенциальную энергию  можно разложить в ряд Тейлора по величинам разности

,           (3)

которые представляют собой малые отклонения от положения равновесия системы. Ограничимся в этом разложении членами второго порядка малости:

  (4)

Примем за начало отсчета потенциальной  энергии её значение в минимуме, т.е. будем считать, что  . В точке минимума

      (5)

Обозначим

,          (6)

Из (6) следует, что коэффициенты  симметричны относительно перестановки индексов:

      (7)

С учетом всего сказанного, выражение для потенциальной энергии (4) для потенциальной энергии вблизи положения равновесия  принимает простой вид:

   (8)

Теперь упростим выражение для кинетической энергии в функции Лагранжа (15.2). Поскольку величины  уже являются величинами второго порядка малости, то в силу малости отклонения от положения равновесия, в рамках рассматриваемой точности можно считать, что

   (9)

Постоянные коэффициенты , так же как и величины  симметрии величины относительно перестановки индексов: . С учетом всего сказанного функция Лагранжа (1) будет выглядеть так:

   (10)

Теперь запишем систему  уравнений Лагранжа для функции Лагранжа (10):

;           (11)

Вычисляя производные  и :

      (12)

      (13)

и подставляя их в уравнения Лагранжа, получаем:

,        (14)

Здесь мы переобозначили индексы суммирования , чтобы уравнения движения имели более привычный вид. Или в развернутом виде:

   (15)

Система дифференциальных уравнений (15) и есть уравнения движения для малых колебаний системы с  степенями свободы для величин , ,……..

Ищем решение системы в комплексном виде:

     (16)

Здесь  некоторые, пока неизвестные комплексные постоянные: . Подставляя (16) в систему уравнений (15), получаем после сокращения на общий множитель  систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные :

;  ,        (17)

Для того, чтобы эта система однородных уравнений имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы её определитель обращался в ноль:

,               (18)

( - номер строки;  - номер столбца).

Уравнение (18) называется характеристическим уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение порядка  относительно величин . В общем случае оно имеет  различных и положительных корней: , где . Определенные из уравнения (18) величины  называются собственными частотами системы.

Согласно уравнению (18), собственные частоты колебаний полностью определяется только свойствами механической системы (коэффициентами  и ), и не зависят от начальных условий (и соответственно от амплитуд колебаний).

После того, когда все собственные частоты  определены, можно частично определить значения коэффициентов . Если все частоты различны, то значения величин  пропорциональны минорам определителя (15.21), в котором нужно заменить  на величину . Каждому значению координаты  будет соответствовать свой минор :

     (19)

( - номер строки;  - номер столбца). Тогда частное решение будет иметь вид:

,        .                        (20)

Здесь  - произвольные комплексные постоянные.

Общее решение системы уравнений (15) есть суперпозиция частных решений (20). Переходя как обычно к вещественной части общее решение можно записать в виде (миноры  величины действительные):

,       (21)

Здесь обозначено

     (22)

Общее решение (21) содержит  неизвестных постоянных  и . Эти постоянные определяются из начальных условий:

;   ;    ;      (23)

Из формулы (23) видно, что изменение каждой из координат  со временем представляет собой наложение  простых гармонических колебаний , ,……. с произвольными амплитудами и фазами (которые определяются из начальных условий), но имеющих вполне определенные частоты , ,……., которые от начальных условий не зависят.

Как уже отмечалось ранее, из формулы (21) следует, что изменение каждой из координат  со временем представляет собой наложение  простых гармонических колебаний  с произвольными амплитудами и фазами, но имеющими вполне определенные частоты . Но это означает, что всегда от обобщенных координат  можно перейти к новым обобщенным координатам, чтобы каждая из них соответствовала только одной собственной частоте . Ясно, что новыми обобщенными координатами и будут величины , ,…….. Это непосредственно следует из самого вида общего решения (21). Действительно, рассматривая  соотношений (21) как систему  уравнений относительно неизвестных , можно выразить все старые обобщенные координаты  через величины ,…….:

     (24)

Но это как раз и означает, что величины  можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называются нормальными координатами (или главными), а совершаемые ими простые гармонические колебания – нормальными колебаниями системы, которым соответствуют нормальные частоты . Поскольку каждая нормальная координата меняется по гармоническому закону , то каждая из величин  удовлетворяет обычному уравнению для одномерных гармонических колебаний

,            (25)

Сказанное выше означает, что в нормальных координатах система уравнений (15) распадается на  независимых друг от друга уравнений, с независимыми начальными условиями. Другими словами, нормальные координаты полностью независимы друг от друга. Последнее означает, что функция Лагранжа (15.13), выраженная через нормальные координаты , может быть представлена как сумма функций Лагранжа для каждой нормальной координаты

 (26)

Здесь  - положительные постоянные.

Сказанное выше фактически означает, что и потенциальная и кинетическая энергия

;      ;   ,

могут быть одновременно приведены к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты принято выбирать таким образом, чтобы коэффициенты  в функции Лагранжа (26) отсутствовали. Для этого достаточно определить новые нормальные координаты  соотношением:

     (27)

При таком выборе нормальных координат функция Лагранжа будет выглядеть так

     (28)

Проиллюстрируем введение нормальных координат для рассмотренной выше задачи с функцией Лагранжа:

.

Решение соответствующих уравнений Лагранжа имеет вид

;     ,

где собственные частоты определяются формулой

      и       

Из формул для  и  видно, что всегда можно записать

      и         (29)

Отсюда находим нормальные координаты

     и           (30)

Запишем функцию Лагранжа в новых обобщенных координатах. Кинетическая энергия

  (31)

Потенциальная энергия

.

или

 (32)

Видим, что кинетическая и потенциальная энергии системы одновременно привились к диагональному виду. Функция Лагранжа в новых обобщенных координатах теперь будет выглядеть так

   (33)

Система уравнений Лагранжа распадается на два независимых уравнения

;           (34)

;           (35)

Уравнение (34) описывает простые гармонические колебания с частотой , а уравнение (35) с частотой .

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34326. Комплексное использование сырья 22 KB
  Комплексное использование сырья. Комплексное использование сырья достигается обогащением сырья а также разнообразной химической переработкой сложного сырья с последовательным выделением компонентов в виде ценных продуктов используемых в различных отраслях народного хозяйства что приводит к комбинированию различных прв. Обогащение сырья необходимо т. 1нецелесообразно перевозить пустую породу и 2применение более чистого концго сырья позволит получить качественную продукцию которая обладает более высокой стоимостью.
34327. Экономические проблемы защиты окружающей среды. Очистка газообразных выбросов и сточных вод 24 KB
  Очистка газообразных выбросов и сточных вод. Что касается очистки то необходимым условием повышения эффективности очистки природных и сточных вод явл. Могут применяться следующие варианты обезвреживания и очистки сточных вод: очистка и повторное использование воды; обезвоживание ила и шлама; выпаривание сточных вод; осаждение фильтрование твердых частиц; нейтрализация кислых или щелочных сточных вод; использование очищенных сточных вод в сельском хозяйстве; денитрификация сточных вод. Механические заключаются в отстаивании и...
34328. Технологическая блок-схема и пооперационная структура 21 KB
  Технологическая схема прва состоит из отдельных операций через ке проходит сырье для получения продукта. Все процессы взаимосвязаны между собой и направлены на изготовление конечного продукта. Для получения конечного продукта могут быть и другие схемы но здесь важно с экономической точки зрения оценить в кой схеме мы имеем больше выгоды.
34329. Принцип составления материального и энергетического балансов 24 KB
  Под технологическим балансом подразумевают результаты расчетов отражающих количество введенных и полученных в производственном процессе материалов и энергии. В основе составления материального и энергетического балансов лежат законы сохранения материи и энергии. энергии и колва выведенной с продуктом и отходами энергии. выход продции коэфты полезного использя энергии расходы и потери сырья т.
34330. Производство бетона и железобетона 28 KB
  Бетон искусый каменй матл получй в резте затвердевания перемешанной и уплотненной бетонной смеси состоящей из вяжущего вва воды и заполнителей. Чтобы повысить прочность вводят стальную арматуру железобетон. Выбор вяжущего опредся условиями эксплуаи бетй консти назначением прочность бетона видом бетй консти.
34331. Определение расходных коэффициентов, степени превращения, выхода продукции 22.5 KB
  Коэффициент определяется отношением массы сырья к массе целевого продукта: K=mс mц. Характеризует сколько можно получить целевого продукта с едцы сырья. Степень совершенства техн процесса определяется выходом продукта и ее качеством. Под выходом продукта Х понимают отношение фактически полеченного продукта Мф к теоретическому Мт ке можно было бы получить их данного исходного вещества: Х=Мф Мт Для хим реакций выход продукта определяется по уровню реакций с учетом количества исходного вещества.
34333. Технико-экономические показатели химико-технологических процессов 27.5 KB
  Чаще всего основой классификации химикотехнологических процессов является способ организации процесса кратность обработки сырья вид используемого сырья тип основной химической реакции. Комбинированные процессы могут характеризоваться непрерывным поступлением сырья и периодическим отводом продукта рис.2 г периодическим поступлением сырья и непрерывным отводом продукта рис.2 в периодическим поступлением одного из исходных видов сырья и непрерывным другого рис.
34334. Химико-технологические процессы 22 KB
  Химикотехнологические процессы Химикотехнологический процесс ХТП можно рассматривать как разновидность производственного процесса включающего стадию химического превращения веществ. Любой ХТП можно представить состоящим из трех основных стадий: подготовки сырья химического превращения и выделения целевого продукта и характеризуются различными физическими и физикохимическими явлениями при подготовке исходных реагентов к химическим превращениям стадия 1 или выделении целевого продукта из смеси веществ после химического. Первая и...