19016

Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты

Лекция

Физика

Лекция 14. Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты Рассмотрим случай малых колебаний системы частиц имеющей степеней свободы. Самый общий вид функции Лагранжа такой системы таков: 1 2 Устойч

Русский

2013-07-11

459.5 KB

45 чел.

Лекция 14. Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты

Рассмотрим случай малых колебаний системы частиц, имеющей   степеней свободы. Самый общий вид функции Лагранжа такой системы таков:

 (1)

       (2)

Устойчивому положению равновесия соответствует такое состояние системы, в котором её потенциальная энергия  имеет минимум. Малые отклонения от положения равновесия приводят к возникновению сил, которые стремятся вернуть систему обратно в состояние равновесия. Пусть  имеет минимум при . При малых отклонениях от положения равновесия потенциальную энергию  можно разложить в ряд Тейлора по величинам разности

,           (3)

которые представляют собой малые отклонения от положения равновесия системы. Ограничимся в этом разложении членами второго порядка малости:

  (4)

Примем за начало отсчета потенциальной  энергии её значение в минимуме, т.е. будем считать, что  . В точке минимума

      (5)

Обозначим

,          (6)

Из (6) следует, что коэффициенты  симметричны относительно перестановки индексов:

      (7)

С учетом всего сказанного, выражение для потенциальной энергии (4) для потенциальной энергии вблизи положения равновесия  принимает простой вид:

   (8)

Теперь упростим выражение для кинетической энергии в функции Лагранжа (15.2). Поскольку величины  уже являются величинами второго порядка малости, то в силу малости отклонения от положения равновесия, в рамках рассматриваемой точности можно считать, что

   (9)

Постоянные коэффициенты , так же как и величины  симметрии величины относительно перестановки индексов: . С учетом всего сказанного функция Лагранжа (1) будет выглядеть так:

   (10)

Теперь запишем систему  уравнений Лагранжа для функции Лагранжа (10):

;           (11)

Вычисляя производные  и :

      (12)

      (13)

и подставляя их в уравнения Лагранжа, получаем:

,        (14)

Здесь мы переобозначили индексы суммирования , чтобы уравнения движения имели более привычный вид. Или в развернутом виде:

   (15)

Система дифференциальных уравнений (15) и есть уравнения движения для малых колебаний системы с  степенями свободы для величин , ,……..

Ищем решение системы в комплексном виде:

     (16)

Здесь  некоторые, пока неизвестные комплексные постоянные: . Подставляя (16) в систему уравнений (15), получаем после сокращения на общий множитель  систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные :

;  ,        (17)

Для того, чтобы эта система однородных уравнений имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы её определитель обращался в ноль:

,               (18)

( - номер строки;  - номер столбца).

Уравнение (18) называется характеристическим уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение порядка  относительно величин . В общем случае оно имеет  различных и положительных корней: , где . Определенные из уравнения (18) величины  называются собственными частотами системы.

Согласно уравнению (18), собственные частоты колебаний полностью определяется только свойствами механической системы (коэффициентами  и ), и не зависят от начальных условий (и соответственно от амплитуд колебаний).

После того, когда все собственные частоты  определены, можно частично определить значения коэффициентов . Если все частоты различны, то значения величин  пропорциональны минорам определителя (15.21), в котором нужно заменить  на величину . Каждому значению координаты  будет соответствовать свой минор :

     (19)

( - номер строки;  - номер столбца). Тогда частное решение будет иметь вид:

,        .                        (20)

Здесь  - произвольные комплексные постоянные.

Общее решение системы уравнений (15) есть суперпозиция частных решений (20). Переходя как обычно к вещественной части общее решение можно записать в виде (миноры  величины действительные):

,       (21)

Здесь обозначено

     (22)

Общее решение (21) содержит  неизвестных постоянных  и . Эти постоянные определяются из начальных условий:

;   ;    ;      (23)

Из формулы (23) видно, что изменение каждой из координат  со временем представляет собой наложение  простых гармонических колебаний , ,……. с произвольными амплитудами и фазами (которые определяются из начальных условий), но имеющих вполне определенные частоты , ,……., которые от начальных условий не зависят.

Как уже отмечалось ранее, из формулы (21) следует, что изменение каждой из координат  со временем представляет собой наложение  простых гармонических колебаний  с произвольными амплитудами и фазами, но имеющими вполне определенные частоты . Но это означает, что всегда от обобщенных координат  можно перейти к новым обобщенным координатам, чтобы каждая из них соответствовала только одной собственной частоте . Ясно, что новыми обобщенными координатами и будут величины , ,…….. Это непосредственно следует из самого вида общего решения (21). Действительно, рассматривая  соотношений (21) как систему  уравнений относительно неизвестных , можно выразить все старые обобщенные координаты  через величины ,…….:

     (24)

Но это как раз и означает, что величины  можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называются нормальными координатами (или главными), а совершаемые ими простые гармонические колебания – нормальными колебаниями системы, которым соответствуют нормальные частоты . Поскольку каждая нормальная координата меняется по гармоническому закону , то каждая из величин  удовлетворяет обычному уравнению для одномерных гармонических колебаний

,            (25)

Сказанное выше означает, что в нормальных координатах система уравнений (15) распадается на  независимых друг от друга уравнений, с независимыми начальными условиями. Другими словами, нормальные координаты полностью независимы друг от друга. Последнее означает, что функция Лагранжа (15.13), выраженная через нормальные координаты , может быть представлена как сумма функций Лагранжа для каждой нормальной координаты

 (26)

Здесь  - положительные постоянные.

Сказанное выше фактически означает, что и потенциальная и кинетическая энергия

;      ;   ,

могут быть одновременно приведены к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты принято выбирать таким образом, чтобы коэффициенты  в функции Лагранжа (26) отсутствовали. Для этого достаточно определить новые нормальные координаты  соотношением:

     (27)

При таком выборе нормальных координат функция Лагранжа будет выглядеть так

     (28)

Проиллюстрируем введение нормальных координат для рассмотренной выше задачи с функцией Лагранжа:

.

Решение соответствующих уравнений Лагранжа имеет вид

;     ,

где собственные частоты определяются формулой

      и       

Из формул для  и  видно, что всегда можно записать

      и         (29)

Отсюда находим нормальные координаты

     и           (30)

Запишем функцию Лагранжа в новых обобщенных координатах. Кинетическая энергия

  (31)

Потенциальная энергия

.

или

 (32)

Видим, что кинетическая и потенциальная энергии системы одновременно привились к диагональному виду. Функция Лагранжа в новых обобщенных координатах теперь будет выглядеть так

   (33)

Система уравнений Лагранжа распадается на два независимых уравнения

;           (34)

;           (35)

Уравнение (34) описывает простые гармонические колебания с частотой , а уравнение (35) с частотой .

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82781. Жанровые разновидности и особенности музыки моего народа. Песенные жанры 2.63 MB
  Цель: научить различать особенности песенного жанра; ориентировать учащихся на духовное развитие средствами музыкального искусства; активизировать музыкальное мышление; формировать способности к разным видам музыкальной творческой деятельности и к овладению элементарных практических умений и навыков.
82782. Прикметник як частина мови. Прикметники-синоніми. Прикметники-антоніми. Пряме та переносне значення прикметників 60 KB
  Мета: закріпити в учнів поняття про прикметник як частину мови, про його роль в мовленні; збагачувати мовлення учнів прикметниками із синонімічними та антонімічними значеннями; вчити вживати їх у прямому та переносному значенні; виховувати любов до рідної мови та бажання вивчати її.
82783. Повторення і закріплення вивченого про іменник 94.5 KB
  Поле чудес дзиґа конверти із завданнями символи для оцінювання грамота таблиці на дошку. На змодельованому Полі чудес лежать конверти із завданнями біля позначених номерівдзиґа для визначення завдань. Діти по черзі вибиратимуть завдання для команд виконувати будуть всі разом відповідати...
82784. Знаходження значень виразів на сумісні дії першого ступеня. Задачі з буквеними даними 287 KB
  Мета: Закріплювати вміння учнів виконувати дії додавання і віднімання над багатоцифровими числами. Формувати обчислювальні навички, потребу в навчанні. Навчати узагальнених прийомів розв’язування задач. Ознайомити учнів з навчальним закладами і професіями.
82785. Особливості соціально-психологічної адаптації людей похилого віку до умов стаціонарних установ 951 KB
  Мета роботи – теоретично обґрунтувати та дослідити питання соціально – психологічної адаптації людей похилого віку до умов стаціонарних установ. Завдання роботи: Описати функціонування стаціонарних установ в контексті надання соціальних послуг та організацією побуту людям похилого віку...
82786. Прибыль и ее использование на предприятии на примере ООО «Объединение» 748.5 KB
  Целью выпускной квалификационной работы является понятие и анализ прибыли, ее распределение и пути ее роста, а также разработка мероприятий по увеличению прибыли на предприятии. Задачи для достижения данной цели реализуются следующие: изучить понятие и виды прибыли; распределение и использование прибыли...
82787. Организация продаж с целью повышения эффективности сети магазинов «Пятёрочка» в городе Кунгуре 95.33 KB
  Для достижения цели в работе решены следующие задачи: определить и обобщить особенности торговли приемы современных продаж размещения товаров и качественного обслуживания; провести анализ организационно-экономического состояния торгового предприятия оценить размещение товаров устройство...
82788. Учет и аудит заемных средств на примере DaCar ООО «ЭйБиСи – Авто» 212.78 KB
  В настоящее время трудно представить себе современную, успешно развивающуюся организацию, которая бы не использовала заемные средства, занимающие особое место в жизни современного общества. Вопросы и проблемы аудита и учета долговых средств и обязательств находятся в постоянном совершенствовании и доработке.
82789. Политические репрессии в Казахстане в I половине XX века 1.57 MB
  Обоснование актуальности темы: Обретение Казахстаном независимости открыла широкие возможности для изучения целого ряда проблем ранее не доступных для исследователей. Советская история находилась под прессом партии, которая стремилась представить всю мировую историю как постоянное и чуть неосознанное...