19017

Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Лекция

Физика

Лекция 15. Уравнения Гамильтона канонические уравнения. Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства Одна из форм уравнения движения это уравнения Лагранжа когда задается функция Лагранжа как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей

Русский

2013-07-11

750 KB

31 чел.

Лекция 15. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа , как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей , а затем составляется система  уравнений Лагранжа

,         (1)

Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной. Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы:  и .

Чтобы перейти от набора переменных  к новому набору переменных  нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа  не через дифференциалы  и , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов  и . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных .

Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы , т.е. с одной обобщенной координатой . Тогда , и уравнение Лагранжа будет имеет вид:

     (2)

В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные  и  входят в него явно не симметричным образом. Время  играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. параметра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная . Уравнение  (2) можно формально записать в виде

,  где        (3)

- обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате .

В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим полный дифференциал от функции Лагранжа :

  (4)

В полученном выражении нужно исключить дифференциал , выразив его через дифференциал . Для этого воспользуемся очевидным равенством

       (5)

Подставляя это в соотношение (4) получим

,   т.е.

;     (6)

Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению

       (7)

Величина  в уравнении (6) выражена через обобщенные  координаты и импульсы, т.к. в правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина

      (8)

называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6)

    (9)

или

      (10)

Это и есть искомые уравнения в переменных  и  - уравнения Гамильтона.

Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные  и  входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения.

Наличие слагаемого с  в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что

      (11)

Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней свободы . В этом случае будем иметь:

     (12)

   (13)

,          (14)

Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;     ;        (15)

b). Функция и уравнения Гамильтона. Т.к. , то

;         ,   т.е.

     (16)

Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона.

2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;   

    (17)

b). Функция и уравнения Гамильтона

Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы

через обобщенные импульсы

;     ;       (18)

Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:

;    ;        (19)

Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона:

  (20)

Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах

                   (21)

3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда  и .

;                     (22)

;        ;       (23)

Получили обычное уравнение для линейного осциллятора.

4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника  длиной , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось  направлена вниз, так, что .  - угол отклонения от положения равновесия.

В цилиндрических координатах

;    ;

;         (24)

Уравнения Гамильтона

,              (25)

т.е.

;         (26)

Получили обычное уравнение колебания математического маятника.

Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы: . Её обобщенные координата  и импульс  удовлетворяют уравнениям Гамильтона (10)

    (27)

Пусть  - некоторая функция величин ,  и времени . Составим её полную производную по времени, учитывая, что величины  и  тоже зависят от времени

   (28)

Поскольку  и , то выражение (28) принимает вид

    (29)

Здесь введено обозначение

     (30)

Выражение , определяемое формулой (30) называется скобкой Пуассона для величин  и . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона функции Гамильтона и некоторой функции динамических переменных  равна

    (31)

где - число степеней свободы системы. Для любой пары функций динамических переменных скобка Пуассона определяется аналогично формуле (31)

    (32)

Для скобок Пуассона справедливы очевидные равенства

1.

2.  где  - постоянная

3.

4.

Поскольку для полной производной по времени функции динамических переменных  справедливо соотношение

    (33)

то величины независящие явно от времени являются интегралами движения, если их скобка Пуассона с функцией Гамильтона системы равна нулю.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63395. Оптическое мультиплексирование с разделением по длине волны 525.15 KB
  Различия между ними не сводятся к тому, что в OFDM-системах используются оптические, а не электрические сигналы. При обычном частотном мультиплексировании применяется механизм амплитудной модуляции с одной боковой...
63398. Управление процессами разработки нефтяных залежей на упругом режиме 1.53 MB
  Анализ результатов экспериментальных исследований по определению изменения эквивалентных осредненных пористости и проницаемости что особенно характерно для карбонатных пород показывает...
63399. СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ БД: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 683 KB
  Общие сведения о СУБД Место БД при различной архитектуре вычислительной системы Модели данных Язык описания данных Язык манипулирования данными для реляционной модели SQL Общие сведения о СУБД Первыми СУБД в России начали пользоваться в конце семидесятых годов.
63400. Периметровые средства обнаружения 1.66 MB
  Назначение виды и основные характеристики радиоволновых и радиолучевых средств обнаружения Радиоволновые РВСО и радиолучевые РЛСО средства обнаружения получили широкое распространение при защите периметров объектов...
63401. Модель устойчивого общества, его признаки и принципы функционирования. Международное сотрудничество по обеспечению устойчивого развития 54.5 KB
  Природоохранные проблемы не знают национальных границ. Через границы государств перебрасываются с воздушными массами десятки тысяч тонн загрязняющих веществ, в частности сернистый ангидрид — источник кислотных дождей.
63402. Мультиплексные технологии цифровых абонентских линий 400.32 KB
  Эти технологии поддерживают передачу голоса высокоскоростную передачу данных и видеосигналов создавая при этом значительные преимущества как для абонентов так и для провайдеров. Многие технологии хDSL позволяют совмещать высокоскоростную передачу данных и передачу голоса по одной и той же медной паре.
63403. Рыночная организация: содержание и структура. Социально-экономические основы рыночного хозяйства 71 KB
  Эта классификация в известной мере условна, В действительности регулирование конкуренции осуществляется с использованием различных методов. При этом, например, командно-административные методы могут сочетаться с использованием системы цен...