19017

Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Лекция

Физика

Лекция 15. Уравнения Гамильтона канонические уравнения. Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства Одна из форм уравнения движения это уравнения Лагранжа когда задается функция Лагранжа как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей

Русский

2013-07-11

750 KB

32 чел.

Лекция 15. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа , как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей , а затем составляется система  уравнений Лагранжа

,         (1)

Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной. Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы:  и .

Чтобы перейти от набора переменных  к новому набору переменных  нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа  не через дифференциалы  и , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов  и . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных .

Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы , т.е. с одной обобщенной координатой . Тогда , и уравнение Лагранжа будет имеет вид:

     (2)

В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные  и  входят в него явно не симметричным образом. Время  играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. параметра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная . Уравнение  (2) можно формально записать в виде

,  где        (3)

- обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате .

В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим полный дифференциал от функции Лагранжа :

  (4)

В полученном выражении нужно исключить дифференциал , выразив его через дифференциал . Для этого воспользуемся очевидным равенством

       (5)

Подставляя это в соотношение (4) получим

,   т.е.

;     (6)

Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению

       (7)

Величина  в уравнении (6) выражена через обобщенные  координаты и импульсы, т.к. в правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина

      (8)

называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6)

    (9)

или

      (10)

Это и есть искомые уравнения в переменных  и  - уравнения Гамильтона.

Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные  и  входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения.

Наличие слагаемого с  в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что

      (11)

Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней свободы . В этом случае будем иметь:

     (12)

   (13)

,          (14)

Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;     ;        (15)

b). Функция и уравнения Гамильтона. Т.к. , то

;         ,   т.е.

     (16)

Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона.

2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;   

    (17)

b). Функция и уравнения Гамильтона

Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы

через обобщенные импульсы

;     ;       (18)

Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:

;    ;        (19)

Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона:

  (20)

Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах

                   (21)

3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда  и .

;                     (22)

;        ;       (23)

Получили обычное уравнение для линейного осциллятора.

4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника  длиной , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось  направлена вниз, так, что .  - угол отклонения от положения равновесия.

В цилиндрических координатах

;    ;

;         (24)

Уравнения Гамильтона

,              (25)

т.е.

;         (26)

Получили обычное уравнение колебания математического маятника.

Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы: . Её обобщенные координата  и импульс  удовлетворяют уравнениям Гамильтона (10)

    (27)

Пусть  - некоторая функция величин ,  и времени . Составим её полную производную по времени, учитывая, что величины  и  тоже зависят от времени

   (28)

Поскольку  и , то выражение (28) принимает вид

    (29)

Здесь введено обозначение

     (30)

Выражение , определяемое формулой (30) называется скобкой Пуассона для величин  и . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона функции Гамильтона и некоторой функции динамических переменных  равна

    (31)

где - число степеней свободы системы. Для любой пары функций динамических переменных скобка Пуассона определяется аналогично формуле (31)

    (32)

Для скобок Пуассона справедливы очевидные равенства

1.

2.  где  - постоянная

3.

4.

Поскольку для полной производной по времени функции динамических переменных  справедливо соотношение

    (33)

то величины независящие явно от времени являются интегралами движения, если их скобка Пуассона с функцией Гамильтона системы равна нулю.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

994. Математические методы и исследование операций в экономике 662.91 KB
  Диагностика функционирования рыночных механизмов на предприятии. Жизненный цикл конкурентного преимущества фирмы. Внешние сигналы о возможных изменениях состояния. Сканирование внешней и внутренней среды фирмы — условие обнаружения слабых сигналов о надвигающемся кризисе.
995. Разработка технологического процесса обработки щита подшипникового 275.5 KB
  Описание конструкции и служебного назначения детали. Выбор вида и обоснование метода получения заготовки. Определение размеров, массы и стоимости детали. Проектирование технологического маршрута обработки и технологического процесса. Выбор оборудования, приспособлений, мерительного инструмента.
996. Метеонавигационный радиолокатор Контур-10СВ 556 KB
  Метеонавигационный радиолокатор Контур-10СВ предназначен для использования на борту самолетов различного класса в составе комплекса бортового радиоэлектронного оборудования (БРЭО). Частота излучения МНРЛ от 9,3 до 9,5 ГГц.
997. Система социальной защиты детства в Республике Башкортостан 427 KB
  Понятие, значение и методы государственного управления социальной защитой детства. Анализ состояния социальной защиты детства в Республике Башкортостан. Правовые аспекты государственного управления социальной защитой детства в Республике Башкортостан. Возможность применения опыта США по социальной защите детства в Российской Федерации. Применение информационных технологий в системе государственного управления социальной защитой детства в Республике Башкортостан.
998. Создание локальной вычислительной сети небольшого городка 454.5 KB
  Разделение данных предоставляет возможность доступа и управления базами данных с периферийных рабочих мест. Многопользовательские свойства системы содействуют одновременному использованию централизованных прикладных программных средств. Технологии беспроводных сетей (радиотехнологии). Выбор кабельной системы.
999. Инфляция и антиинфляционная политика 433 KB
  Определение и значение инфляции, ее виды и методы расчета. Основные направления антиинфляционной политики РБ. Кейнсианская теория инфляции. Сущность антиинфляционной политики и ее инструменты. Основные направления антиинфляционной политики Республики Беларусь.
1000. Разработка передатчик GSM900 582.5 KB
  Подключение сигнального процессора. Смеситель ADL 5350. Фильтр B 3850. Усилитель мощности RF 2173. Выбор синтезатора. Диапазон частот передатчика 876-915 МГц (канал вниз). Для передачи низкочастотного полезного сигнала необходимо использовать высокостабильный опорный кварцевый генератор DS4026.
1001. Измерение низких сопротивлений материалов 184 KB
  Определение удельного сопротивления металлов и других низкоомных материалов с помощью измерительного усилителя. Концентрация свободных электронов в металле при однократной ионизации. отношение удельной теплопроводности к удельной проводимости металла.
1002. Составление калькуляций и расчёта изменения себестоимости конкретных видов продукции 325.5 KB
  Формирование и анализ фактической себестоимости производства конкретного вида продукции. Разработка организационно-технических мероприятий по снижению себестоимости конкретного вида продукции. Определение капитальных вложений, необходимых для проведения внедрения АСУ ТП, и расчёт амортизационных отчислений. Расчет затрат на материальные, топливные и энергетические ресурсы.