19017

Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Лекция

Физика

Лекция 15. Уравнения Гамильтона канонические уравнения. Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства Одна из форм уравнения движения это уравнения Лагранжа когда задается функция Лагранжа как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей

Русский

2013-07-11

750 KB

32 чел.

Лекция 15. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа , как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей , а затем составляется система  уравнений Лагранжа

,         (1)

Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной. Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы:  и .

Чтобы перейти от набора переменных  к новому набору переменных  нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа  не через дифференциалы  и , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов  и . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных .

Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы , т.е. с одной обобщенной координатой . Тогда , и уравнение Лагранжа будет имеет вид:

     (2)

В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные  и  входят в него явно не симметричным образом. Время  играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. параметра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная . Уравнение  (2) можно формально записать в виде

,  где        (3)

- обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате .

В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим полный дифференциал от функции Лагранжа :

  (4)

В полученном выражении нужно исключить дифференциал , выразив его через дифференциал . Для этого воспользуемся очевидным равенством

       (5)

Подставляя это в соотношение (4) получим

,   т.е.

;     (6)

Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению

       (7)

Величина  в уравнении (6) выражена через обобщенные  координаты и импульсы, т.к. в правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина

      (8)

называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6)

    (9)

или

      (10)

Это и есть искомые уравнения в переменных  и  - уравнения Гамильтона.

Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные  и  входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения.

Наличие слагаемого с  в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что

      (11)

Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней свободы . В этом случае будем иметь:

     (12)

   (13)

,          (14)

Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;     ;        (15)

b). Функция и уравнения Гамильтона. Т.к. , то

;         ,   т.е.

     (16)

Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона.

2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;   

    (17)

b). Функция и уравнения Гамильтона

Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы

через обобщенные импульсы

;     ;       (18)

Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:

;    ;        (19)

Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона:

  (20)

Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах

                   (21)

3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда  и .

;                     (22)

;        ;       (23)

Получили обычное уравнение для линейного осциллятора.

4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника  длиной , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось  направлена вниз, так, что .  - угол отклонения от положения равновесия.

В цилиндрических координатах

;    ;

;         (24)

Уравнения Гамильтона

,              (25)

т.е.

;         (26)

Получили обычное уравнение колебания математического маятника.

Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы: . Её обобщенные координата  и импульс  удовлетворяют уравнениям Гамильтона (10)

    (27)

Пусть  - некоторая функция величин ,  и времени . Составим её полную производную по времени, учитывая, что величины  и  тоже зависят от времени

   (28)

Поскольку  и , то выражение (28) принимает вид

    (29)

Здесь введено обозначение

     (30)

Выражение , определяемое формулой (30) называется скобкой Пуассона для величин  и . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона функции Гамильтона и некоторой функции динамических переменных  равна

    (31)

где - число степеней свободы системы. Для любой пары функций динамических переменных скобка Пуассона определяется аналогично формуле (31)

    (32)

Для скобок Пуассона справедливы очевидные равенства

1.

2.  где  - постоянная

3.

4.

Поскольку для полной производной по времени функции динамических переменных  справедливо соотношение

    (33)

то величины независящие явно от времени являются интегралами движения, если их скобка Пуассона с функцией Гамильтона системы равна нулю.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20057. Технология оптических деталей. Оптические материалы и их свойства 26 KB
  Свойства стекла: прозрачность стекла определяется коэф светопоглащения отношение светового потока поглощенного слоем стекла 10 мм к световому потоку на входе. Бесцветные опт стекла дел на флинты и кроны. Специальные стекла: с повышенным коэф пропускания ик и уф с малым коэф термического расширения фотохромные стекла измен коэф пропускания оптически активные стекла. Оптическиактивные стекла для изготовления активных элтов оптич.
20058. Горячее формообразование заготовок. Контроль заготовок 64.5 KB
  Для варки всех типов стекла используют шихту состоящую из окислов химических элементов вспомогательных добавок и стеклянного боя. Варку стекла производят в шамотных горшках. Бесформенный кусок 3 стекла по массе равный массе заготовки 4 укладывают в футерованную керамикой 2 металлическую форму и нагревают' в печи до температуры соответствующей вязкости стекла 107 Пас. Температурный режим свободного моллирования включает разогрев стекла до температуры моллирования выдержку при этой температуре отжиг и охлаждение.
20059. Абразивные, полирующие и вспомогательные материалы. Зернистость алмазных и неалмазных абразивов. Зерновой состав порошка 26.5 KB
  Синтетич абразивные матлы: _Карборунд _Электрокорунд _Корбид бора _Кубическ. характеристика абразивного матла его зернистость т. В зависимости от зернистости абразивные матлы делят на шлифзерно зернистость 160 мкм шлифпорошки 30120 мкм и микропорошки 540 мкм.
20060. Полирующие материалы. Материалы полировальников. Наклеечные материалы. Защитные лаки. Смазочно-охлаждающие и промывочные жидкости 42 KB
  Полирующие абразивы применяют для удаления следов шлифования с поверхности стекла и приобретения им прозрачности с необходимой степенью чистоты. Размер зерен до 5 мкм твердость 67 являются основными характеристиками для полирующих абразивов при изготовлении оптических деталей; окись тория TnO2 размер зерен до 10 мкм; имеет высокую полирующую способность но не обеспечивает высокой чистоты поверхности; двуокись циркония ZnO2 средний размер зерен 355 мкм. Материалы полировальников Обработка металлической поверхности полировальников...
20061. Инструмент и приспособления для шлифования и полирования. Алмазные круги и притиры. Инструмент для шлифования свободным абразивом. Полировальный инструмент 62 KB
  Шлифовальники исп для исполнительных поверхностей оптических деталей свободным абразивом и изготавливают из латуни и серого чугуна. Полировальники исп для получения исполнительных поверхностей оптических деталей и по конструкции сходны со шлифовальниками. Слой смолы наносят на нагретую поверхность корпуса и формируют обрабатываемым блоком деталей. На этих станках применяются две группы приспособлений: приспособления для обработки деталей в центрах; приспособления для обработки деталей в станках и шпинделях станка.
20062. Показатели качества оптических деталей 90.5 KB
  : 1 N допустимое отклонение в кольцах Ньютонас =550нм. Допустимое отклонение стрелки прогиба поверхности детали от стрелки прогиба пробного стекла данного радиуса характеризующее отклонение от заданной сферысм. 1; 2 это отклонение от правильной сферы или плоскости разность числа колец по 2м взаимно диаметрам детали или искривлении полос; 3 С допустимая децентрировка или смещение центров кривизны поверхности или точки фокуса геометрической оси или разнотол щинности в мм.
20063. Изготовление плоскопараллельных пластин и клиньев 29.5 KB
  Технология изготовления призм. Для обработки исполнительных поверхностей и подгонки углов призм заготовки склеиваются в столбик длина которого по отношению к высоте призмы составляет б:1. Блокирование призм в приспособлениях осуществляется приклеиванием или механическим зажимом. После обработки призм в столбиках наносят фаски на ребрах контролируют расклеивают столбики и промывают призмы.
20064. Обработка деталей на станках с жестко устанавливаемым инструментом. Способ свободной притирки 27.5 KB
  Инструмент устанавливается под углом относительно оси вращения блока. Соотношение между радиусом сферы R диаметром инструмента d и углом α : R=d 2sinα.
20065. Изготовление пробных стекол. Изготовление шкал и сеток 393 KB
  Для получения точных плоских поверхностей принимают одно стекло например 1 на рис.31 б в Рис. При наложении стекол 2 и 3 друг на друга общий бугор составит 2 полосы рис 4. Эллиптические зеркала большого диаметра изготавливают за несколько переходов с промежуточным отжигом из тонкого латунного листа 1 выдавливанием на токарном станке с помощью приспособления 2 имеющего выпуклую форму с наружной асферической поверхностью рис.