19017

Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Лекция

Физика

Лекция 15. Уравнения Гамильтона канонические уравнения. Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства Одна из форм уравнения движения это уравнения Лагранжа когда задается функция Лагранжа как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей

Русский

2013-07-11

750 KB

30 чел.

Лекция 15. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа , как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей , а затем составляется система  уравнений Лагранжа

,         (1)

Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной. Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы:  и .

Чтобы перейти от набора переменных  к новому набору переменных  нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа  не через дифференциалы  и , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов  и . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных .

Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы , т.е. с одной обобщенной координатой . Тогда , и уравнение Лагранжа будет имеет вид:

     (2)

В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные  и  входят в него явно не симметричным образом. Время  играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. параметра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная . Уравнение  (2) можно формально записать в виде

,  где        (3)

- обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате .

В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим полный дифференциал от функции Лагранжа :

  (4)

В полученном выражении нужно исключить дифференциал , выразив его через дифференциал . Для этого воспользуемся очевидным равенством

       (5)

Подставляя это в соотношение (4) получим

,   т.е.

;     (6)

Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению

       (7)

Величина  в уравнении (6) выражена через обобщенные  координаты и импульсы, т.к. в правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина

      (8)

называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6)

    (9)

или

      (10)

Это и есть искомые уравнения в переменных  и  - уравнения Гамильтона.

Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные  и  входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения.

Наличие слагаемого с  в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что

      (11)

Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней свободы . В этом случае будем иметь:

     (12)

   (13)

,          (14)

Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;     ;        (15)

b). Функция и уравнения Гамильтона. Т.к. , то

;         ,   т.е.

     (16)

Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона.

2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;   

    (17)

b). Функция и уравнения Гамильтона

Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы

через обобщенные импульсы

;     ;       (18)

Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:

;    ;        (19)

Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона:

  (20)

Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах

                   (21)

3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда  и .

;                     (22)

;        ;       (23)

Получили обычное уравнение для линейного осциллятора.

4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника  длиной , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось  направлена вниз, так, что .  - угол отклонения от положения равновесия.

В цилиндрических координатах

;    ;

;         (24)

Уравнения Гамильтона

,              (25)

т.е.

;         (26)

Получили обычное уравнение колебания математического маятника.

Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы: . Её обобщенные координата  и импульс  удовлетворяют уравнениям Гамильтона (10)

    (27)

Пусть  - некоторая функция величин ,  и времени . Составим её полную производную по времени, учитывая, что величины  и  тоже зависят от времени

   (28)

Поскольку  и , то выражение (28) принимает вид

    (29)

Здесь введено обозначение

     (30)

Выражение , определяемое формулой (30) называется скобкой Пуассона для величин  и . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона функции Гамильтона и некоторой функции динамических переменных  равна

    (31)

где - число степеней свободы системы. Для любой пары функций динамических переменных скобка Пуассона определяется аналогично формуле (31)

    (32)

Для скобок Пуассона справедливы очевидные равенства

1.

2.  где  - постоянная

3.

4.

Поскольку для полной производной по времени функции динамических переменных  справедливо соотношение

    (33)

то величины независящие явно от времени являются интегралами движения, если их скобка Пуассона с функцией Гамильтона системы равна нулю.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1216. Железнодорожный транспорт и работа в его сфере 2.37 MB
  Общий курс железных дорог. Сооружения и устройства путевого хозяйства. Движение поездов. Подвижной состав и его содержание. Устройство и эксплуатация механического оборудования пассажирских вагонов. Меры для предотвращения заклинивания колесных пар. Санитарно - техническое оборудование. Комбинированный кипятильник непрерывного действия. ПТЭ, инструкции и безопасность движения.
1217. Внутренние трубопроводы и канализация 191.5 KB
  Производство, передача и распределение электроэнергии. Деятельность по обеспечению работоспособности котельных. Внутренний водопровод здания. Система канализации здания. Дневник прохождения практики. Временное устранение канализационной течи или течи из под резьбы. Замена сифона под умывальником в детском саду.
1218. Базы данных 1.62 MB
  Проектирование однотабличной базы данных. Создание и использование фильтров. Создание многотабличной базы данных. Установление взаимосвязей между таблицами. Создание экранной формы. Создание элементов управления на форме. Создание главной кнопочной формы. Создание отчета. Создание подчиненного отчета. Вычисления в отчетах. Создание и управление базой данных с помощью SQL – операторов.
1219. Основы работы с СУБД MS Access 1.51 MB
  Редактирование таблиц, создание форм и запросов в СУБД MS Access. Изменение структуры таблиц. Редактирование таблиц, сортировка и фильтрация записей. Создание в Конструкторе (самый сложный). Использование макросов, обмен данными между СУБД MS Access и MS Excel, создание сетевых приложений.
1220. Технологический процесс термической обработки деталей машин 1.5 MB
  Основные задачи и исходные данные для курсового проектирования. Общие методические указания к выполнению курсовой работы. Разработка технологического маршрута изготовления детали. Разработка технологического процесса термической обработки. Основные требования к оформлению расчетно-пояснительной записки и чертежей.
1221. Экономика и организация производства 1.01 MB
  Бизнес-план - основной документ для оценки и обоснования реализации проекта в условиях конкуренции. Требования к оформлению и защите курсовой работы. Цели и задачи курсовой работы.
1222. Бухгалтерский финансовый учет 476 KB
  Учет кассовых операций. Учет операций на счетах в банках. Учет материально - производственных запасов. Учет внеоборотных активов. Учет финансовых вложений. Учет кредитов и займов. Ведения кассовых операций с банкнотами и монетой банка России.
1223. Технологический процесс подготовки и производства издания художественной литературы 710.5 KB
  История офсетной печати. Роль офсетной печати в полиграфическом производстве. Тенденции развития современных полиграфических технологий. Анализ действующего предприятия по выпуску аналогичной продукции. Выбор и обоснование выбора способа печати.
1224. Економіка та економічні системи України 901.5 KB
  Агропромисловий комплекс України і його адаптація до ринкових умов. Особливості банківської системи її Україні. Валовий внутрішній продукт та його структура. Валютні операції та їх види. Досконала і недосконала конкуренція. Економічна конкуренція, її форми та методи.