19017

Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Лекция

Физика

Лекция 15. Уравнения Гамильтона канонические уравнения. Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства Одна из форм уравнения движения это уравнения Лагранжа когда задается функция Лагранжа как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей

Русский

2013-07-11

750 KB

32 чел.

Лекция 15. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа , как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей , а затем составляется система  уравнений Лагранжа

,         (1)

Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной. Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы:  и .

Чтобы перейти от набора переменных  к новому набору переменных  нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа  не через дифференциалы  и , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов  и . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных .

Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы , т.е. с одной обобщенной координатой . Тогда , и уравнение Лагранжа будет имеет вид:

     (2)

В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные  и  входят в него явно не симметричным образом. Время  играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. параметра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная . Уравнение  (2) можно формально записать в виде

,  где        (3)

- обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате .

В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим полный дифференциал от функции Лагранжа :

  (4)

В полученном выражении нужно исключить дифференциал , выразив его через дифференциал . Для этого воспользуемся очевидным равенством

       (5)

Подставляя это в соотношение (4) получим

,   т.е.

;     (6)

Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению

       (7)

Величина  в уравнении (6) выражена через обобщенные  координаты и импульсы, т.к. в правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина

      (8)

называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6)

    (9)

или

      (10)

Это и есть искомые уравнения в переменных  и  - уравнения Гамильтона.

Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные  и  входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения.

Наличие слагаемого с  в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что

      (11)

Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней свободы . В этом случае будем иметь:

     (12)

   (13)

,          (14)

Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;     ;        (15)

b). Функция и уравнения Гамильтона. Т.к. , то

;         ,   т.е.

     (16)

Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона.

2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;   

    (17)

b). Функция и уравнения Гамильтона

Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы

через обобщенные импульсы

;     ;       (18)

Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:

;    ;        (19)

Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона:

  (20)

Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах

                   (21)

3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда  и .

;                     (22)

;        ;       (23)

Получили обычное уравнение для линейного осциллятора.

4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника  длиной , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось  направлена вниз, так, что .  - угол отклонения от положения равновесия.

В цилиндрических координатах

;    ;

;         (24)

Уравнения Гамильтона

,              (25)

т.е.

;         (26)

Получили обычное уравнение колебания математического маятника.

Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы: . Её обобщенные координата  и импульс  удовлетворяют уравнениям Гамильтона (10)

    (27)

Пусть  - некоторая функция величин ,  и времени . Составим её полную производную по времени, учитывая, что величины  и  тоже зависят от времени

   (28)

Поскольку  и , то выражение (28) принимает вид

    (29)

Здесь введено обозначение

     (30)

Выражение , определяемое формулой (30) называется скобкой Пуассона для величин  и . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона функции Гамильтона и некоторой функции динамических переменных  равна

    (31)

где - число степеней свободы системы. Для любой пары функций динамических переменных скобка Пуассона определяется аналогично формуле (31)

    (32)

Для скобок Пуассона справедливы очевидные равенства

1.

2.  где  - постоянная

3.

4.

Поскольку для полной производной по времени функции динамических переменных  справедливо соотношение

    (33)

то величины независящие явно от времени являются интегралами движения, если их скобка Пуассона с функцией Гамильтона системы равна нулю.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10429. Исследование фазированной антенной решетки 380.5 KB
  Практически выяснить влияние закона распределения фаз возбуждения излучателей и расстояния между излучателями на параметры характеристики направленности фазированной антенной решетки (ФАР).
10430. Характерные черты политического процесса в России 25.5 KB
  Характерные черты политического процесса в России. Важной тенденцией мирового политического процесса является движение по пути демократизации. При всей несхожести этих процессов для всех регионов характерно стремление упразднить авторитарные режимы создать прав...
10431. Урок - семінарське заняття з теми Насичені вуглеводні. Номенклатура 167 KB
  Тема: Урок семінарське заняття з теми Насичені вуглеводні. Номенклатура.â Тип уроку: урок застосування знань умінь та навичок. Навчальна мета: Конкретизувати та поглибити знання учнів з теми Насичені вуглеводніâ. Навчити учнів застосовувати загальн...
10432. Життя та наукова діяльність Д.І. Менделеєва 69 KB
  Мета уроку: докладно ознайомити учнів з періодами життя та наукової діяльності Д. Менделєєва. Усвідомити суть створення періодичної системи та періодичного закону як фундаменту для природної класифікації хімічних елементів і значення для розвитку хімії й суміжних з нею ...
10433. Загальні фізичні властивості металів. Металічний звязок. Особливості будови атомів металів 67 KB
  Навчальний предмет: хімія Клас: 9 Тема уроку: Загальні фізичні властивості металів. Металічний звязок. Особливості будови атомів металів Вид заняття: урок вивчення нового матеріалу Цілі уроку: навчальні: формувати поняття про металічний звязок е...
10434. Загальні хімічні властивості металів 71.5 KB
  Тема: Загальні хімічні властивості металів Навчальна мета: розглянути хімічні властивості металів як простих речовин з позиції знань про окисновідновні реакції сформувати поняття про метали як відновники; сформувати вміння порівнювати хімічну активність металів ск...
10435. Значення хімії у створенні нових матеріалів, розвязання сировинної та енергетичної проблем 53 KB
  Тема: Значення хімії у створенні нових матеріалів розвязання сировинної та енергетичної проблем. Навчальна мета: поглибити й розширити знання учнів про роль хімії у створенні нових матеріалів; показати можливості застосування нових синтетичних матеріалів з оригін...
10436. Значення хімії у створенні нових матеріалів 45.5 KB
  Тема: Значення хімії у створенні нових матеріалів. Навчальна мета: поглибити й розширити знання учнів про роль хімії у створенні нових матеріалів; показати можливості застосування нових синтетичних матеріалів з оригінальними властивостями й новими технологіями. ...
10437. Кисень у природі. Фізіологічна дія кисню. Одержання кисню в лабораторії. Реакції розкладу. Поняття про каталізатор. Фізичні властивості кисню 93 KB
  Тема: Кисень у природі. Фізіологічна дія кисню. Одержання кисню в лабораторії. Реакції розкладу. Поняття про каталізатор. Фізичні властивості кисню. Тип уроку: комбінований урок з елементами інтерактивності. Навчальна мета: Розглянути елемент Оксиген та просту ре...