19017

Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Лекция

Физика

Лекция 15. Уравнения Гамильтона канонические уравнения. Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства Одна из форм уравнения движения это уравнения Лагранжа когда задается функция Лагранжа как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей

Русский

2013-07-11

750 KB

31 чел.

Лекция 15. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа , как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей , а затем составляется система  уравнений Лагранжа

,         (1)

Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной. Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы:  и .

Чтобы перейти от набора переменных  к новому набору переменных  нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа  не через дифференциалы  и , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов  и . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных .

Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы , т.е. с одной обобщенной координатой . Тогда , и уравнение Лагранжа будет имеет вид:

     (2)

В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные  и  входят в него явно не симметричным образом. Время  играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. параметра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная . Уравнение  (2) можно формально записать в виде

,  где        (3)

- обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате .

В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим полный дифференциал от функции Лагранжа :

  (4)

В полученном выражении нужно исключить дифференциал , выразив его через дифференциал . Для этого воспользуемся очевидным равенством

       (5)

Подставляя это в соотношение (4) получим

,   т.е.

;     (6)

Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению

       (7)

Величина  в уравнении (6) выражена через обобщенные  координаты и импульсы, т.к. в правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина

      (8)

называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6)

    (9)

или

      (10)

Это и есть искомые уравнения в переменных  и  - уравнения Гамильтона.

Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные  и  входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения.

Наличие слагаемого с  в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что

      (11)

Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней свободы . В этом случае будем иметь:

     (12)

   (13)

,          (14)

Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;     ;        (15)

b). Функция и уравнения Гамильтона. Т.к. , то

;         ,   т.е.

     (16)

Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона.

2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;   

    (17)

b). Функция и уравнения Гамильтона

Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы

через обобщенные импульсы

;     ;       (18)

Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:

;    ;        (19)

Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона:

  (20)

Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах

                   (21)

3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда  и .

;                     (22)

;        ;       (23)

Получили обычное уравнение для линейного осциллятора.

4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника  длиной , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось  направлена вниз, так, что .  - угол отклонения от положения равновесия.

В цилиндрических координатах

;    ;

;         (24)

Уравнения Гамильтона

,              (25)

т.е.

;         (26)

Получили обычное уравнение колебания математического маятника.

Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы: . Её обобщенные координата  и импульс  удовлетворяют уравнениям Гамильтона (10)

    (27)

Пусть  - некоторая функция величин ,  и времени . Составим её полную производную по времени, учитывая, что величины  и  тоже зависят от времени

   (28)

Поскольку  и , то выражение (28) принимает вид

    (29)

Здесь введено обозначение

     (30)

Выражение , определяемое формулой (30) называется скобкой Пуассона для величин  и . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона функции Гамильтона и некоторой функции динамических переменных  равна

    (31)

где - число степеней свободы системы. Для любой пары функций динамических переменных скобка Пуассона определяется аналогично формуле (31)

    (32)

Для скобок Пуассона справедливы очевидные равенства

1.

2.  где  - постоянная

3.

4.

Поскольку для полной производной по времени функции динамических переменных  справедливо соотношение

    (33)

то величины независящие явно от времени являются интегралами движения, если их скобка Пуассона с функцией Гамильтона системы равна нулю.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68022. История противодействия коррупции в российском государстве - период до 1917 года 37.22 KB
  История коррупции не уступает по древности истории человеческой цивилизации. Коррупция в России - наиболее сложное и неоднозначное явление, специфичность которого связана с особым менталитетом, присущим россиянам.
68024. Протокол RIP (Routing Information Protocol) 121 KB
  В соответствии с протоколом RIP любая машина может быть маршрутизатором. В основу алгоритма маршрутизации по протоколу RIP положена простая идея: чем больше шлюзов надо пройти пакету тем больше времени требуется для прохождения маршрута. Другая идея которая призвана решить проблемы RIP...
68026. Психические явления. Познавательные явления 19.3 KB
  Внимание как особенность всех психических процессов. Внимание –это сосредоточение психической деятельности человека на одном и том же объекте в данное время и при данных условиях. Внимание является особенностью всех процессов. Внимание к вещи которая интересна.
68028. Нарушение эмоционально-волевой сферы 32.19 KB
  Гипербулия – это общее повышение воли, затрагивающее все основные влечения человека. Гипобулия – понижение волевой активности (вялость, отсутствие потребности в общение. Ступор – полная или частичная обездвиженность, к нарушением воли так же можно отнести негативизм. Клептомания – кража ненужных вещей.
68029. Матвей Иванович Афонин (1739-1810 гг.) 494.24 KB
  XVIII век в истории России - это жестокий, даже беспощадный век правления Петра I, решившего в короткие сроки изменить Россию, время стрелецких бунтов и дворцовых переворотов, правления Екатерины Великой, крестьянских войн и усиления крепостного права. Но в то же время для этого периода русской...
68030. Клубна діяльність – одна з активних форм самореалізації особистості 121 KB
  Кожен його учасник поставлений в однакові умови для всіх вироблені спільно єдині вимоги і правила оформлені як Статут клубу. Є ще одна значима особливість клубу: участь у ньому добровільна кількість членів не визначається як наприклад у гуртку чи спортивній секції.