19018

Канонические преобразования. Производящие функции. Временная эволюция механической системы как каноническое преобразование

Лекция

Физика

Лекция 15. Канонические преобразования. Производящие функции. Временная эволюция механической системы как каноническое преобразование Выбор обобщенных координат не ограничен никакими условиями – ими могут быть любые величин однозначно определяющие положение сис

Русский

2013-07-11

901 KB

12 чел.

Лекция 15. Канонические преобразования. Производящие функции. Временная эволюция механической системы как каноническое преобразование

Выбор обобщенных координат  не ограничен никакими условиями – ими могут быть любые величин, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Формальный вид уравнений Лагранжа от этого выбора не зависит, поэтому можно сказать, что уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к преобразованию координат , , …,  к любым другим независимым величинам , , …, . Новые координаты являются функциями старых, причем допустим и такой их выбор, который содержит явным образом время

      (1)

Наряду с уравнениями Лагранжа  сохраняют свой вид и уравнения Гамильтона. Последние, однако, допускают гораздо более широкий класс преобразований. Это связано с тем, что в гамильтоновом методе импульсы  играют наряду с координатами  роль равноправных независимых переменных. Поэтому понятие преобразования может быть расширено так, чтобы включить в себя преобразование всех  независимых переменных  и  к новым переменным  и  по формулам

       (2)

Такое расширение класса допустимых преобразований является одним из существенных достоинств гамильтонова метода.

Однако не при произвольных преобразованиях вида (2) уравнения движения сохраняют свой канонический вид. Выведем условия, которым должно удовлетворять преобразование, для того чтобы уравнения движения в новых переменных  и  имели вид

            (3)

с некоторой новой функцией Гамильтона . Такие преобразования координат и импульсов называют каноническими.

К формулам канонических преобразований можно придти из следующих соображений. Уравнения Гамильтона можно вывести из принципа наименьшего действия, представленного в форме

    (4)

(причем варьируются независимо все координаты и импульсы). Для того чтобы новые переменные  и  тоже удовлетворяли уравнениям Гамильтона, для них тоже должен быть справедлив принцип наименьшего действия

    (5)

Два принципа (4) и (5) эквивалентны друг другу только при условии, что их подынтегральные выражения отличаются лишь на полный дифференциал произвольной функции  координат, импульсов и времени; тогда разность между обоими интегралами будет несущественной при варьировании постоянной (разность значений  на пределах интегрирования). Таким образом, должно быть:

Всякое каноническое преобразование характеризуется своей функцией , которую называют производящей функцией данного преобразования. Переписав полученное соотношение в виде

   (6)

мы видим, что

     (7)

при этом предполагается, что производящая функция задана как функция старых и новых координат (и времени): . При заданной функции  формулы (7) устанавливают связь между старыми  и новыми  переменными, а также дают выражение для новой гамильтоновой функции.

Может оказаться удобным выражать производящую функцию не через переменные  и , а через старые координаты  и новые импульсы . Для вывода формул канонических преобразований в этом случае надо произвести в соотношении (6) соответствующее преобразование Лежандра. Именно, переписываем его в виде

Выражение, стоящее под знаком дифференциала в левой стороне равенства, выраженное через переменные  и , является новой производящей функцией. Обозначив ее посредством  имеем:

     (8)

Аналогичным образом можно перейти к формулам канонических преобразований, выраженных через производящие функции, зависящие от переменных  и  или  и .

Отметим, что связь между новой и старой гамильтоновыми функциями всегда выражается одинаковым образом: разность  дается частной производной по времени от производящей функции. В частности, если последняя не зависит от времени, то . Другими словами, в этом случае для получения новой функции Гамильтона достаточно подставить в  величины  и , выраженные через новые переменные  и .

Широта канонических преобразований в значительной степени лишает в гамильтоновом методе понятие обобщенных координат и импульсов их первоначального смысла. Поскольку преобразования (2) связывают каждую из величин  и  как с координатами , так и с импульсами , то переменные  уже не имеют смысла чисто пространственных координат. Различие между обеими группами переменных становится в основном вопросом номенклатурным. Это обстоятельство весьма наглядно проявляется, например, в преобразовании , , явно не меняющем канонический вид уравнений и сводящемся просто ко взаимному переименованию координат и импульсов.

В виду этой условности терминологии переменные  и  в гамильтоновом методе часто называют просто канонически сопряженными величинами.

Условие канонической сопряженности можно выразить с помощью скобок Пуассона. Для этого докажем общую теорему об инвариантности скобок Пуассона по отношению к каноническим преобразованиям.

Пусть  – скобка Пуассона величин, в которой дифференцирование производится по переменным  и ,  - скобка Пуассона тех же величин, дифференцируемых по каноническим переменным  и . Тогда

     (9)

В справедливости этого соотношения можно убедиться прямым вычислением с использованием формул канонического преобразования. Можно, однако, обойтись и без вычислений с помощью следующего рассуждения.

Прежде всего замечаем, что в канонических преобразованиях время играет роль параметра. Поэтому, если мы докажем теорему для величин, не зависящих явно от времени, то она будет верна и в общем случае. Рассмотрим теперь чисто формальным образом величину  как гамильтонову функцию некоторой фиктивной системы. Тогда согласно определению скобок Пуассона

Но производная  есть величина, которая может зависеть лишь от свойств движения (нашей фиктивной системы) как такового, а не от того либо иного выбора переменных. Поэтому и скобка Пуассона не может измениться при переходе от одних канонических переменных к другим.

Из определения скобок Пуассона и теоремы (9) получим:

     (10)

Это - записанные с помощью скобок Пуассона условия, которым должны удовлетворять новые переменные, для того чтобы преобразование было каноническим.

Интересно отметить, что изменение величин  и  при самом движении можно рассматривать как канонические преобразования. Смысл этого утверждения состоит в следующем. Пусть  и  – значения канонических переменных в момент времени , а  и  – их значения в другой момент времени . Последние являются некоторыми функциями от первых (и от величины интервала времени  как от параметра):

,   

Если рассматривать эти формулы как преобразование от переменных  и  к переменным  и , то это преобразование будет каноническим. Это очевидно из следующего выражения

для дифференциала действия , взятого вдоль истинной траектории, проходящей через точки  и  в заданные моменты времени  и . Сравнение этой формулы с (6) показывает, что  есть производящая функция преобразования.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14543. ЕДИНАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ ПОЛИТИКА ЕВРОПЕЙСКОГО СОЮЗА 43.99 KB
  Единая сельскохозяйственная политика Европейского Союза Оглавление Введение2 1. Необходимость и Цели ЕСХП2 2. Начало ЕСХП4 3. Современные реформы ЕСХП5 4. Реформа Сахарного Режима 2005 – 20066 Введение Единая Сельскохозяйственная Политика ЕСХП Евро
14544. Шенгенские соглашения 24.59 KB
  Шенгенские соглашения 1.Общая характеристика Шенгенских соглашений 2.Шенгенское соглашение 1985 г. 3.Шенгенская конвенция 1990 г. 1.Общая характеристика Шенгенских соглашений Шенгенские соглашения система из двух договоров которые были подписаны во второй полови
14545. Образование Европейских сообществ 33.75 KB
  Образование Европейских Сообществ 1. Парижский договор 1951 года и создание Европейского Объединения Угля и Стали1 2. Римский договор 1957 года и создание ЕЭС3 3. Попытка создания сообщества по безопасности и его провал7 4. Римский договор 1957 года и создание Европейского ...
14546. Особенности интеграции в Североамериканском регионе 18.72 KB
  Особенности интеграции в Североамериканском регионе Вся территория Северной Америки является зоной свободной торговли называемой официально Североамериканским Соглашением о Свободной Торговле €œNorth American Free Trade Area€ – НАФТА. В неё входят: США Канада и Мексика. Функц...
14547. ПАРИЖСКИЙ ДОГОВОР 1951 ГОДА И СОЗДАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ УГЛЯ И СТАЛИ 22.04 KB
  Парижский договор 1951 года и создание Европейского Объединения Угля и Стали Парижский Договор был подписан 18 апреля 1951 года вступил в силу 1 января 1952 года. Он положил начало созданию первого интеграционного объединения в Западной Европе – Европейского Объединения Угля ...
14548. УГЛУБЛЕНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ЗАПАДНОЕВРОПЕЙСКОЙ ИНТЕГРАЦИИ 18.63 KB
  Углубление и расширение Западноевропейской интеграции Середина 1968 года. На 15 года раньше намеченного срока – завершение создания таможенного союза. 1971 год. Принятие плана Вернера премьерминистра Люксембурга. По его плану намечалось создание к 1980 году экономическог...
14549. ОТ ЕВРОПЕЙСКИХ СООБЩЕСТВ К ЕДИНОМУ ЕВРОПЕЙСКОМУ АКТУ. УГЛУБЛЕНИЕ ЗАПАДНОЕВРОПЕЙСКОЙ ИНТЕГРАЦИИ 31.16 KB
  От Европейских сообществ к единому Европейскому акту. Углубление Западноевропейской интеграции. Оглавление 1. Брюссельский договор 1965 года1 2. Первое расширение ЕЭС2 3. Углубление и расширение Западноевропейской интеграции3 4. Единый Европейский Акт ЕЕА5 1. Бр...
14550. ОБРАЗОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКИХ СООБЩЕСТВ 51.85 KB
  Образование Европейских Сообществ Оглавление 1. Парижский договор 1951 года и создание Европейского Объединения Угля и Стали1 2. Римский договор 1957 года и создание ЕЭС3 3. Попытка создания сообщества по безопасности и его провал7 4. Римский договор 1957 года и создание
14551. МААСТРИХТСКИЙ ДОГОВОР. СОЗДАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО СОЮЗА 28.63 KB
  Маастрихтский Договор. Создание Европейского Союза. Оглавление 1. Роль правительственных конференций в подготовке Маастрихтского договора1 2. Основные положения договора о Европейском Союзе1 3. Три опоры Европейского Союза. Единое Общеевропейское Гражданство1 4...