19020

Принципы построения и постулаты квантовой механики. Операторы физических величин

Лекция

Физика

Лекция 2 Принципы построения и постулаты квантовой механики. Операторы физических величин Как следует из опытов по дифракции микрочастиц в квантовой механике отсутствует понятие траектории т.е. состояние квантовой частицы не описывается заданием координаты и имп

Русский

2013-07-11

285 KB

12 чел.

Лекция 2

Принципы построения и постулаты квантовой механики. Операторы физических величин

Как следует из опытов по дифракции микрочастиц, в квантовой механике отсутствует понятие траектории, т.е. состояние квантовой частицы не описывается заданием координаты и импульса. Или, другими словами, состояние описывается меньшим, чем в классической механике, числом параметров. Это приводит к неоднозначности в результатах измерений, что означает следующее. Пусть мы имеем тождественные квантовые системы, находящиеся в одинаковых условиях, и одновременно одинаковым прибором измеряем одну и ту же физическую величину. Результаты таких измерений оказываются, вообще говоря, различными. Поэтому и предсказания теории могут носить только вероятностный характер. Квантовая механика, как физическая теория, должна правильно отвечать на правильно поставленный вопрос: уметь перечислять возможные значения результатов измерений и указывать вероятности этих значений. Вопрос же, скажем, о том чему равна такая-то величина в такой-то квантовой системе, вообще говоря, не имеет смысла, поскольку на него «не может ответить природа» (нет экспериментального ответа, эксперимент дает разные, неопределенные результаты).

Тем не менее, и в микромире существуют ситуации, когда измерение с достоверностью приводит к некоторому фиксированному результату. В этом случае говорят, что в этом состоянии соответствующая физическая величина имеет определенное значение или является измеримой.

Описанная выше неопределенность результатов измерений физических величин, характерная для микромира, приводит к тому, что в теории приходится «разрывать» понятия «состояния» и «наблюдаемых», поскольку они в отличие от классической механики не тождественны друг другу. В теорию приходится вводить ненаблюдаемые величины, описывающие состояния квантовых систем (то есть то, какие они), и устанавливать рецепт, как по состоянию определять возможные значения и вероятности результатов измерений.

Остановимся теперь на утверждениях, которые можно назвать основными принципами или постулатами квантовой механики.

1. Рассмотрим систему частиц с  степенями свободы. Тогда координаты - это наблюдаемые и измеримые сколь угодно точно физические величины. . Состояние системы описывается некоторой функцией координат , которая является комплексной функцией действительного аргумента и называется волновой функцией. При этом  показывает, какова вероятность того, что при измерении координат будут получены значения координат в интервале от  до :

  (1)

Вероятность удовлетворяет условию нормировки:

  (2)

так как вероятность обнаружить частицу во всем пространстве равна 1. Если  (а такие ситуации имеют место в квантовой механике), то нормировка в обычном понимании невозможна, и интерпретировать  как вероятность нельзя. В этом случае эта величина, пропорциональной вероятности. Пусть  - конечна во всех точках, тогда отношение двух интегралов участкам  и

 (3)

показывает относительную вероятность нахождения квантовой системы в интервале  по сравнению с интервалом .

2. Принцип суперпозиции. Если есть два состояния системы с волновыми функциями , то:

  (4)

тоже волновая функция возможного состояния системы, где  -произвольные (с точностью до нормировки) комплексные постоянные. Принцип суперпозиции говорит о том, что множество волновых функций всех возможных состояний квантовой системы образует линейное пространство (пространство состояний). Кроме того, из принципа суперпозиции следует, что уравнение для волновых функций возможных состояний квантовой системы должно быть линейным.

3. Каждой наблюдаемой физической величине  в квантовой механике ставится в соответствие некоторый линейный эрмитов оператор  (в квантовой механике принято обозначать операторы буквами со «шляпками»), который действует в пространстве состояний квантовой системы (то есть на функции координат системы и времени), причем наблюдаемыми в эксперименте значениями этой физической величины могут быть только собственные значения  ее оператора. Другими словами, наблюдаемые значения физической величины определяются из уравнения:

      (5)

где  - собственная функция оператора , отвечающая собственному значению , индекс  нумерует собственные значения и собственные функции. Отметим, что уравнение (5) должно решаться в пространстве состояний квантовой системы

4. Квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции квантовой системы  по собственным функциям  оператора некоторой наблюдаемой величины  определяют вероятности наблюдения в этой системе различных значений физической величины , которыми, как это следует из предыдущего постулата, могут быть только собственные значения оператора .

Смысл этого утверждения заключается в следующем. Как известно (это утверждение строго доказывается в линейной алгебре), собственные функции любого эрмитового оператора образуют полную систему функций. Это значит, что любая функция и, в частности, волновая функция квантовой системы может быть разложена по собственным функциям оператора физической величины , то есть может быть представлена в виде

     (6)

где  - коэффициенты разложения. Рассматриваемый постулат утверждает, что величина  (коэффициент при функции  в разложении) определяет вероятность того, что при измерении физической величины  в квантовой системе, описываемой волновой функцией , будет получено собственное значение  (соответствующее функции ),  определяет вероятность собственного значения  и т.д. Из этого утверждения, в частности, следует, что если какая-либо собственная функция  не представлена в разложении (или, другими словами, представлена с нулевым коэффициентом), то вероятность обнаружить при измерении наблюдаемой величины  в состоянии с волновой функцией , что , равна нулю ( - собственное значение оператора , соответствующее собственной функции ). Отметим, что совокупность величин  имеет смысл, аналогичный смыслу волновой функции, но определяет не вероятности различных значений координат, а вероятности различных значений  величины  (волновая функция в -представлении).

5. Волновая функция любой физической системы  удовлетворяет уравнению (которое называется уравнением Шредингера):

    (7)

где  - оператор, отвечающий энергии этой системы (оператор Гамильтона или гамильтониан).

6. Динамическим переменным частицы соответствуют следующие операторы. Координате частицы  - оператор умножения на координату: . Проекции импульса на ось  - оператор , то есть . Из приведенных операторов можно «сконструировать» операторы любых наблюдаемых физических величин, являющихся функциями координат и импульсов, и, в частности, оператор энергии, о котором говорится в постулате 5.

Рассмотрим простейшие математические и физические следствия постулатов.

(1) Поскольку собственные функции эрмитовых операторов, отвечающих различным собственным значениям, ортогональны, то коэффициенты разложения волновой функции  по собственным функциям  представляют собой проекцию состояния  на базисное, собственное состояние . Действительно, умножая разложение (6) на , интегрируя и пользуясь ортонормированностью базисных функций, получим

     (8)

(2) Коэффициенты разложения нормированной волновой функции по нормированным собственным функциям нормированы. Действительно,

 (9)

(3) Для собственных функций выполнено условие

 (10)

которое называется условием полноты системы собственных функций.

(4) Среднее значение результатов многих измерений физической величины  равно

(11)

где  - оператор физической величины .

(5) Если волновая функция квантовой системы  совпадает с одной из собственных функций оператора некоторой физической величины, то при измерении этой физической величины в таком состоянии с достоверностью будет получено единственное значение. Это значит, что данная физическая величина имеет определенное значение в таком состоянии.

Все вышеприведенные утверждения буквально сформулированы для операторов, имеющих дискретный спектр собственных значений. Для операторов с непрерывным спектром собственных значений все, сказанное выше, остается в силе, с некоторыми дополнениями и изменениями:

Пусть есть физическая величина , обладающая непрерывным спектром собственных значений. Тогда собственные функции  можно отметить индексом , который пробегает непрерывный ряд значений.

Берем произвольную нормированную функцию (q): . Разложение этой функции по собственным функциям  есть в этом случае не разложение не в ряд, а разложение в интеграл:

 (12)

где  - коэффициенты разложения, имеющие смысл амплитуд вероятности, то есть . Аналогично прежнему

 (13)

Но! Собственные функции  оказываются ненормируемыми (хотя ортогональными). Проверим это:

  (14)

то есть  в точке  Рассмотрим условие нормировки:

  (15)

Видим, что собственные состояния ортогональны (при ); но при  интеграл равен . Говорят, что волновые функции нормированы на -функцию. Условие полноты собственных функций оператора, имеющего непрерывный спектр собственных значений, имеет вид

 (16)

5

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28923. Первый период ВОВ. Перестройка страны на военный лад 23.5 KB
  Начало войны стало катастрофой для Красной Армии. Обескровленная репрессиями и в результате оперативностратегических промахов уже за первые три недели войны Красная Армия потеряла около 850 тыс. Преодолев шок первых месяцев войны правящий режим СССР смог использовать такие преимущества как сверхцентрализация управления огромные природные и людские ресурсы обеспечив предельное напряжение всех сил народа. В результате в первые полгода войны несмотря на трудности связанные с немецким наступлением летомосенью 1941 удалось эвакуировать на...
28924. Коренной перелом в ходе войны и ее победоносное завершение. Значение Великой Победы 23.5 KB
  Коренной перелом в ходе войны и ее победоносное завершение. явилось периодом коренного перелома в ходе Великой Отечественной войны. Вопервых в этот период Красная Армия окончательно вырвала инициативу военных действий из рук врага и закрепила за собой до конца войны; вовторых наша армия провела большое летнее наступление против армий противника и тем самым похоронила фашистский миф о том что советские войска будто бы неспособны вести успешное наступление в летнее время; втретьих в этот период Красная Армия осуществляла массовое изгнание...
28925. Завершение Второй Мировой Войны 21 KB
  На конференции было решено не ограничивать сроки оккупации Германии для управления которой создавался союзный контрольный совет. В дни Потсдамской конференции произошло еще одно событие которому было суждено оказать серьезное влияние на послевоенную историю мира. На этой конференции американский президент Г. в соответствии с обязательствами принятыми на Ялтинской конференции СССР объявил Японии войну.
28926. Смутное время, его причины и последствия 28 KB
  Это первая в истории России гражданская война В апреле 1605 года царь Борис Годунов умер трон перешел к его сыну Федору В июне 1605 года Лжедмитрий с огромным войском вступил в Москву. Лжедмитрий 1 щедро раздавал деньги и земли дворянству чтобы заручиться его поддержкой был деятельным и энергичным. Шуйским подняли народ против поляков Лжедмитрий 1 был убит. В 1607 году появляется новый самозванец Лжедмитрий II личность которого так и не была установлена.
28927. Приход к власти в России царской династии Романовых. Становление российского абсолютизма 28.5 KB
  21 февраля казаки ворвались на заседание Земского собора и потребовали избрать царем 16летнего Михаила Федоровича Романова сына патриарха Филарета родственника царя Федора Ивановича. Избрание Михаила не было случайностью: один из бояр писал что Михаил молод разумом еще не дошел и будет нам удобен; отсутствие у Михаила ярких талантов жесткого характера устраивало всех: страна устала от жестокости и хотела осторожной политики; избрание Михаила обещало всеобщее согласие и спокойствие; царская власть опять становилась...
28928. Причины и основные этапы установления крепостного права в России 22.25 KB
  Причины и основные этапы установления крепостного права в России Крепостничество представляет собой любую зависимость крестьян от землевладельца запрет менять прописку и хозяина. установившая правило €œЮрьева дня€ осенний праздник представляющий собой определенный и очень ограниченный срок перехода крестьян к другому землевладельцу после расчета с прежним. вводятся €œзаповедные лета€ в течение которых даже установленный переход крестьян запрещался. писцовые книги стали документальным основанием в процессе прикрепления крестьян.
28929. Петровская модернизация России, ее особенности и значение для дальнейшего развития страны 38 KB
  Это был верховный орган управления страной состоящий из девяти человек назначаемых царем. Каждая коллегия ведала определенной отраслью управления. была изменена система местного управления. Главную роль в системе управления играл царь Петр I.
28930. Внешняя политика Петра I. Становление Российской империи 29.5 KB
  Внешняя политика Петра I. Во внешней политике Петра I можно выделить 4 основных события: Азовские походы Великое посольство Северная война Каспийский поход. Однако уже в 1696 предварительно создав эскадру из 2 крупных кораблей 23 галер и более чем 1000 барок вдвое увеличив и оснастив армию Петр взял Азов и тля удержания захваченных земель приказал возвести крепость Таганрог. Весной 1697 посольство из 250 человек среди которых под именем Петра Михайлова был и царь отправилось в Европу.
28931. Дворцовые перевороты (1725—1762) 45 KB
  со смерти Петра I в России начинается эпоха дворцовых переворотов смена царствующих особ которая сопровождалась ожесточенной борьбой между различными группировками придворной знати. Старая знать Голицыны Долгоруковы выступала за царевича Петра сына Алексея. возвела на престол жену Петра Великого Екатерину I. Незадолго до смерти она выбрала своим преемником 12летнего царевича Петра сына убитого царевича Алексея.