19021

Операторы координаты и импульса: уравнения на собственные значения и собственные функции, разложения, координатное и импульсное представления волновой функции

Лекция

Физика

Лекция 3 Операторы координаты и импульса: уравнения на собственные значения и собственные функции разложения координатное и импульсное представления волновой функции Найдем оператор координаты в представлении то есть найдем как действует этот оператор на про

Русский

2013-07-11

444.5 KB

53 чел.

Лекция 3

Операторы координаты и импульса: уравнения на собственные значения и собственные функции, разложения, координатное и импульсное представления волновой функции

Найдем оператор координаты  в -представлении, то есть найдем, как действует этот оператор на произвольное состояние :

С одной стороны, согласно квантовомеханической формуле для средних

 (1)

где  - неизвестный пока оператор координаты. С другой стороны, поскольку  есть вероятность того, что частица имеет координату в интервале

 (2)

А поскольку  волновая функция  - произвольна, сравнение (1) и (2) дает  - это действие оператора . Найдем собственные функции этого оператора.

Пусть  - собственная функция оператора  в -представлении,  - собственное значение (фиксированное),  - аргумент функции - переменная. Функция  удовлетворяет уравнению

 (3)

Или, так как , то

  (4)

или

  (5)

Получили:

  (6)

Таким образом, функция  - удовлетворяет нашему соотношению, и для нее выполняется условие нормировки:  

Аналогично доказывается, что оператор любой физической величины, которая является функцией координаты, например, потенциальной энергии  есть умножение на эту функцию, то есть .

Здесь мы нигде не использовали, что  - координата  поэтому для любой физической величины  в -представлении имеем .

Исследуем теперь преобразование волновой функции при параллельном переносе системы координат и установим оператор импульса.

 

- однозначная функция точки пространства.

- волновая функция в другой системе отсчета.

- полностью описывает состояние системы. Тогда: , если .

Если имеется несколько частиц, и  описывает их состояние, тогда  

Подставим связь между координатами:  

Производим замену переменных:  

Любой параллельный перенос системы координат можно разбить на много бесконечно малых перенос. Рассмотрим бесконечно малый параллельный перенос:

  (7)

Введем  - оператор бесконечно малой трансляции, так, что . Из формулы (7) следует, что . Согласно основным физическим принципам оператор, связанный с трансляциями есть оператор импульса. Поэтому следует считать, что

 (8)

оператор импульса системы, а  - оператор импульса -той частицы. В другой форме записи: .

Рассмотрим свойства оператора импульса.

1)  - эрмитов оператор, что следует из цепочки формул:

(9)

Первое слагаемое равно нулю, в противном случае нормировочный интеграл для функций  и  не сходился бы. Поэтому . Поэтому эрмитов и оператор  (т.к. переменные  не отличаются друг от друга). Заметим, что если бы в определении  не было , то оператор был бы антиэрмитовым.

2) Операторы  - коммутируют друг с другом (очевидно)  они измеримы одновременно и имеют полную общую систему собственных функций.

  (10)

Найдем собственные функции и собственные значения оператора импульса. Пусть  - общая собственная функция операторов , а числа  - их собственные значения (соответственно). Тогда

  (11)

Очевидно, этим уравнениям удовлетворяет функция  , где  могут быть любыми действительными (в силу эрмитовости оператора ) числами. Если бы они были комплексными,  была бы неограничена при  (а мы ищем только ограниченные волновые функции). Таким образом, спектр оператора  непрерывен: .

Функции  ненормируемые (так как спектр непрерывен), их можно нормировать на -функцию. Выберем собственные функции так: (нормировочный коэффициент равен 1). Тогда:

  (12)

Собственные функции оператора импульса, как и любого эрмитова оператора, образуют полную систему функций или базис в пространстве «хороших» функций координат. Волновую функцию любого состояния  можно разложить по этому базису, причем это разложение в интеграл, поскольку собственные функции оператора импульса образуют непрерывный базис. Это разложение имеет вид

 (13)

где  - «коэффициенты» разложения, представляющие собой функцию непрерывной переменной . Нетрудно видеть, что разложение (13) – это разложение в интеграл Фурье по гармоникам . «Коэффициенты» разложения – функция  - может быть найдена следующим образом

  (14)

Согласно постулатам квантовой механики квадрат функции  представляет собой плотность вероятности обнаружения различных значений импульса

 (15)

Сравнивая формулу (15) с определением волновой функции в координатном представлении заключаем, что функция  также имеет смысл волновой функции, но определяющей вероятности различных значений импульса. Она называется волновой функцией в импульсном представлении. С математической точки зрения формула (14) - это обращение преобразования Фурье (а функция  – Фурье-образ функции )).

Мы знаем, что в координатном представлении операторы имеют следующий вид:. В импульсном представлении: . Найдем теперь оператор координаты в импульсном представлении.

Основная идея этого нахождения заключается в сравнении «прямого» (13) и «обратного» (14) разложения волновой функции. Поскольку обе этих формулы должны представлять собой разложение волновой функции в координатном представлении по собственным функциям оператора импульса, и волновой функции в импульсном представлении по собственным функциям оператора координаты, заключаем, что функция  как функция  есть собственная функция оператора координаты в импульсном представлении, поэтому:

  (16)

причем оператор  здесь действует на импульс. Отсюда получаем

 

Операторы координаты и импульса не коммутируют. Это видно из следующей цепочки формул

 

 

Поэтому , и, следовательно, операторы не коммутируют. По этой причине операторы координаты и импульса не имеют общих собственных функций (это, впрочем, видно и из явных выражений для собственных функций этих операторов).

Подведем итоги. Любое состояние частицы однозначно характеризуется как волновой функцией , так и «коэффициентами» разложения  функции  по собственным функциям оператора импульса , причем согласно постулатам квантовой механики функция  определяет вероятности различных значений импульса и называется волновой функцией в импульсном представлении. Свойства функций  и  похожи. Благодаря линейной связи, для функций  справедлив принцип суперпозиции: если возможны состояния, которые описываются (в указанном выше смысле вероятностей импульсов) функциями  или , то возможно и состояние, в котором вероятности различных значений импульса определяются линейной комбинацией . Можно определить операторы физических величин, действующие в пространстве функций, зависящих от импульса (операторы в импульсном представлении), причем операторы одной и той же величины в разных представлениях имеют одни и те же собственные значения, а собственные функции любых операторов в разных представлениях связаны, как и любые другие функции.

Проведенное рассмотрение показывает, что для анализа любой квантовомеханической задачи можно использовать не только координатное, но и импульсное представление, причем последнее обладает теми же свойствами, что и первое. При этом и многие формулы координатного и импульсного представления (например, операторы координаты в импульсном представлении и импульса в координатном) очень «симметричны». Последнее аналогично известному из классической механики подобию координаты и импульса, причем, как и в случае классических уравнений Гамильтона, отличие импульсов от координат сводится к разным знакам.

В заключение отметим, что можно построить и волновые функции состояний физических систем и операторы физических величин в представлении любой физической величины. Аргументами таких функций являются все возможные значения рассматриваемой величины (то есть все собственные значения ее оператора), а значения волновых функций при каждом значении аргумента определяют вероятность этого значения аргумента. При этом волновые функции в представлении величин, обладающих дискретным спектром собственных  значений, должны быть отличны от нуля только при таких значениях аргумента, которые совпадают с одним из собственных значений оператора этой величины (так как вероятности обнаружить другие значения этой величины равны нулю). Поэтому такие функции зависят от дискретной переменной и, фактически, представляют собой счетное множество чисел (конечное или бесконечное в зависимости от числа собственных функций оператора), представляющих собой коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора этой физической величины.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75325. Население и внешний вид средневековых городов. Борьба городов с сеньорами 36 KB
  В Западной Европе средневековые города раньше всего появились в Италии Венеция Генуя Пиза Неаполь Амальфи и др. Крестьяне бежавшие от своих господ или уходившие в города на условиях выплаты господину оброка становясь горожанами постепенно освобождались отличной зависимости феодалу. Лишь в дальнейшем в городах появились купцы новый общественный слой сферой деятельности которого являлось уже не производство а только обмен товаров. В отличие от странствующих купцов существовавших в феодальном обществе в предшествующий период и...
75327. Христианство, церковь, ереси в XI-XV вв. Раскол христианской церкви. Особенности греко-православной и римско-католической церкви 52.5 KB
  Раскол христианской церкви. Особенности грекоправославной и римскокатолической церкви. Единство христианской церкви уже задолго до её окончательного разделения было лишь видимым. За этими богословскими спорами скрывались совершенно реальные церковнополитические разногласия и в частности столкновения изза деятельности церковных миссий восточной церкви в IX Х вв.
75328. Феодально-рыцарская культура Западной Европы в XII-XV веков 37 KB
  Феодальнорыцарская культура Западной Европы в XIIXV вв. Рыцарские турниры имитировавшие настоящие сражения приобрели особую пышность в XIII XIV вв. В XII в. Магистром поэтов называли Гираута де Борнейля последняя треть XII начало XIII в.
75329. Торговля в средние веки, ее эволюция и роль 32.5 KB
  Возрождение торговли В XI в феодальное общество начало медленно просыпаться от тяжелого сна Страсть к путешествиям приключениям сразу рассеяла общее оцепенение таково завоевание Англии обеих Сицилии. Некоторые из этих предприятий носили политический другие религиозный характер; но все они способствовали развитию торговли потому что благодаря им устанавливались сношения между теми странами откуда выходили завоеватели и теми где они водружали свои знамена С этого времени руанские купцы пользуются правом свободной торговли в Лондоне где...
75330. Раннее Возрождение и гуманизм в Италии XIV-XV веков 36.5 KB
  Возникновение культуры Возрождения было подготовлено рядом общеевропейских и локальных исторических условий. Богатый процветающий итальянский город стал главной базой формирования культуры Возрождения светской по своей общей направленности и во многом отвечавшей потребностям его общественного развития. означал духовное обновление подъем культуры после ее тысячелетнего упадка в средние века: отношение деятелей новой культуры к средневековому варварству было подчеркнуто негативным. Идейной основой ренессансной культуры был гуманизм...
75331. Государство периода феодальной раздробленности 32.5 KB
  Феодальная анархия аристократический стройПо мере разветвления правящей династии в раннефеодальных государствах расширения их территории и административного аппарата представители которого осуществляют власть монарха над местным населением собирая дань и войско увеличивается количество претендентов на центральную власть периферийные военные ресурсы увеличиваются а контрольные возможности центра ослабевают. Верховная власть становится номинальной и монарх начинает избираться крупными феодалами из своей среды при этом ресурсы избранного...
75332. Испания и Португалия в XIV-XV веках 42 KB
  Испания и Португалия в XIVXV вв. Пиренейский полуостров в XIV XV вв. Арагон на протяжении всего периода осуществлял планомерную экспансию в Средиземноморье: он подчинил Балеарские острова в конце XIII первой половине XIV в. Крайне неблагоприятные последствия для полуострова как и для остальной Европы имела эпидемия чумы в середине XIV в.
75333. Особенности социально-экономического и политического развития Англии в XII-XIII веках 39 KB
  Развитие товарно-денежных отношений в деревне в целом тяжело отразилось на широких массах крестьянства. С развитием рынка росли потребности феодалов. Коммутация ренты ускорила и углубила начавшееся задолго до XIII в. имущественное расслоение крестьянства