19021

Операторы координаты и импульса: уравнения на собственные значения и собственные функции, разложения, координатное и импульсное представления волновой функции

Лекция

Физика

Лекция 3 Операторы координаты и импульса: уравнения на собственные значения и собственные функции разложения координатное и импульсное представления волновой функции Найдем оператор координаты в представлении то есть найдем как действует этот оператор на про

Русский

2013-07-11

444.5 KB

55 чел.

Лекция 3

Операторы координаты и импульса: уравнения на собственные значения и собственные функции, разложения, координатное и импульсное представления волновой функции

Найдем оператор координаты  в -представлении, то есть найдем, как действует этот оператор на произвольное состояние :

С одной стороны, согласно квантовомеханической формуле для средних

 (1)

где  - неизвестный пока оператор координаты. С другой стороны, поскольку  есть вероятность того, что частица имеет координату в интервале

 (2)

А поскольку  волновая функция  - произвольна, сравнение (1) и (2) дает  - это действие оператора . Найдем собственные функции этого оператора.

Пусть  - собственная функция оператора  в -представлении,  - собственное значение (фиксированное),  - аргумент функции - переменная. Функция  удовлетворяет уравнению

 (3)

Или, так как , то

  (4)

или

  (5)

Получили:

  (6)

Таким образом, функция  - удовлетворяет нашему соотношению, и для нее выполняется условие нормировки:  

Аналогично доказывается, что оператор любой физической величины, которая является функцией координаты, например, потенциальной энергии  есть умножение на эту функцию, то есть .

Здесь мы нигде не использовали, что  - координата  поэтому для любой физической величины  в -представлении имеем .

Исследуем теперь преобразование волновой функции при параллельном переносе системы координат и установим оператор импульса.

 

- однозначная функция точки пространства.

- волновая функция в другой системе отсчета.

- полностью описывает состояние системы. Тогда: , если .

Если имеется несколько частиц, и  описывает их состояние, тогда  

Подставим связь между координатами:  

Производим замену переменных:  

Любой параллельный перенос системы координат можно разбить на много бесконечно малых перенос. Рассмотрим бесконечно малый параллельный перенос:

  (7)

Введем  - оператор бесконечно малой трансляции, так, что . Из формулы (7) следует, что . Согласно основным физическим принципам оператор, связанный с трансляциями есть оператор импульса. Поэтому следует считать, что

 (8)

оператор импульса системы, а  - оператор импульса -той частицы. В другой форме записи: .

Рассмотрим свойства оператора импульса.

1)  - эрмитов оператор, что следует из цепочки формул:

(9)

Первое слагаемое равно нулю, в противном случае нормировочный интеграл для функций  и  не сходился бы. Поэтому . Поэтому эрмитов и оператор  (т.к. переменные  не отличаются друг от друга). Заметим, что если бы в определении  не было , то оператор был бы антиэрмитовым.

2) Операторы  - коммутируют друг с другом (очевидно)  они измеримы одновременно и имеют полную общую систему собственных функций.

  (10)

Найдем собственные функции и собственные значения оператора импульса. Пусть  - общая собственная функция операторов , а числа  - их собственные значения (соответственно). Тогда

  (11)

Очевидно, этим уравнениям удовлетворяет функция  , где  могут быть любыми действительными (в силу эрмитовости оператора ) числами. Если бы они были комплексными,  была бы неограничена при  (а мы ищем только ограниченные волновые функции). Таким образом, спектр оператора  непрерывен: .

Функции  ненормируемые (так как спектр непрерывен), их можно нормировать на -функцию. Выберем собственные функции так: (нормировочный коэффициент равен 1). Тогда:

  (12)

Собственные функции оператора импульса, как и любого эрмитова оператора, образуют полную систему функций или базис в пространстве «хороших» функций координат. Волновую функцию любого состояния  можно разложить по этому базису, причем это разложение в интеграл, поскольку собственные функции оператора импульса образуют непрерывный базис. Это разложение имеет вид

 (13)

где  - «коэффициенты» разложения, представляющие собой функцию непрерывной переменной . Нетрудно видеть, что разложение (13) – это разложение в интеграл Фурье по гармоникам . «Коэффициенты» разложения – функция  - может быть найдена следующим образом

  (14)

Согласно постулатам квантовой механики квадрат функции  представляет собой плотность вероятности обнаружения различных значений импульса

 (15)

Сравнивая формулу (15) с определением волновой функции в координатном представлении заключаем, что функция  также имеет смысл волновой функции, но определяющей вероятности различных значений импульса. Она называется волновой функцией в импульсном представлении. С математической точки зрения формула (14) - это обращение преобразования Фурье (а функция  – Фурье-образ функции )).

Мы знаем, что в координатном представлении операторы имеют следующий вид:. В импульсном представлении: . Найдем теперь оператор координаты в импульсном представлении.

Основная идея этого нахождения заключается в сравнении «прямого» (13) и «обратного» (14) разложения волновой функции. Поскольку обе этих формулы должны представлять собой разложение волновой функции в координатном представлении по собственным функциям оператора импульса, и волновой функции в импульсном представлении по собственным функциям оператора координаты, заключаем, что функция  как функция  есть собственная функция оператора координаты в импульсном представлении, поэтому:

  (16)

причем оператор  здесь действует на импульс. Отсюда получаем

 

Операторы координаты и импульса не коммутируют. Это видно из следующей цепочки формул

 

 

Поэтому , и, следовательно, операторы не коммутируют. По этой причине операторы координаты и импульса не имеют общих собственных функций (это, впрочем, видно и из явных выражений для собственных функций этих операторов).

Подведем итоги. Любое состояние частицы однозначно характеризуется как волновой функцией , так и «коэффициентами» разложения  функции  по собственным функциям оператора импульса , причем согласно постулатам квантовой механики функция  определяет вероятности различных значений импульса и называется волновой функцией в импульсном представлении. Свойства функций  и  похожи. Благодаря линейной связи, для функций  справедлив принцип суперпозиции: если возможны состояния, которые описываются (в указанном выше смысле вероятностей импульсов) функциями  или , то возможно и состояние, в котором вероятности различных значений импульса определяются линейной комбинацией . Можно определить операторы физических величин, действующие в пространстве функций, зависящих от импульса (операторы в импульсном представлении), причем операторы одной и той же величины в разных представлениях имеют одни и те же собственные значения, а собственные функции любых операторов в разных представлениях связаны, как и любые другие функции.

Проведенное рассмотрение показывает, что для анализа любой квантовомеханической задачи можно использовать не только координатное, но и импульсное представление, причем последнее обладает теми же свойствами, что и первое. При этом и многие формулы координатного и импульсного представления (например, операторы координаты в импульсном представлении и импульса в координатном) очень «симметричны». Последнее аналогично известному из классической механики подобию координаты и импульса, причем, как и в случае классических уравнений Гамильтона, отличие импульсов от координат сводится к разным знакам.

В заключение отметим, что можно построить и волновые функции состояний физических систем и операторы физических величин в представлении любой физической величины. Аргументами таких функций являются все возможные значения рассматриваемой величины (то есть все собственные значения ее оператора), а значения волновых функций при каждом значении аргумента определяют вероятность этого значения аргумента. При этом волновые функции в представлении величин, обладающих дискретным спектром собственных  значений, должны быть отличны от нуля только при таких значениях аргумента, которые совпадают с одним из собственных значений оператора этой величины (так как вероятности обнаружить другие значения этой величины равны нулю). Поэтому такие функции зависят от дискретной переменной и, фактически, представляют собой счетное множество чисел (конечное или бесконечное в зависимости от числа собственных функций оператора), представляющих собой коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора этой физической величины.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36930. Зовнішній вигляд сторінок. Їх оформлення. Форматування тексту 75 KB
  Форматування тексту. Навчитись змінювати параметри форматування абзаців: вирівнювання інтервал розміщення на сторінці табуляція обрамлення та заповнення список нумерація заголовків. Засвоїти поняття: автозбереження; резервні копії документів; режими відображення документів; пошук текстових документів за різними критеріями; захист документа; основні елементи документа; опції редагування; параметри форматування символів; параметри форматування абзацу; вирівнювання; відступ інтервал розміщення на сторінці табуляція ...
36931. Дослідження нормального розподілу 16.96 KB
  Створюємо таблицю зі стовпчиками задача а задача б задача в та рядками вага пакунку та ймовірність. Задача а Задача б Задача в Вага пакунку Менше 48 Більше 51 У межах від 48 до 51 кг. Ймовірність Задача а Для підрахунку ймовірності РХ 48 події що навмання взятий пакет важить менше 48 кг. Задача б Для підрахуваня ймовірності РХ 51 події що навмання взятий пакет важить більше 51 кг використаємо співвідношення РХ 51=1РХ 51.
36932. Амплітудний модулятор 211.5 KB
  Мета: Дослідження методики настроювання амплітудного модулятора Дослідження модуляційної характеристики амплітудного модулятора Дослідження режимів роботи амплітудного модулятора 1. Методика настроювання амплітудного модулятора на біполярному транзисторі: Для цього складемо схему: Після чого настроїмо резонансний контур на частоту несучого коливання. Закріпимо здобуті навички і налагодимо амплітудний модулятор на частоту модулю чого коливання 150кГц розрахуємо необхідні дані: Статична модуляційна характеристика: E Uвих 02...
36933. Неповністю визначені функції 424.25 KB
  Зберіть схему підключіть входи DCB до джерела логічних сигналів а вихід до логічного пробника. Намалюйте часові діаграми сигналів на виходах всіх логічних елементів схеми для всіх можливих комбінацій вхідних сигналів. Розробіть схему що формує на виході сигнал F із вхідних сигналів А В С як показано на рисунку. При перевірці її роботи для формування вхідних сигналів використайте: а джерела логічних сигналів; б генератор слів.
36934. Розробка засобів програмованого (тестового) контролю навчальних досягнень учнів з трудового навчання 29.76 KB
  Мета роботи: Вивчення дидактичних основ вибору питань для тестової перевірки навчальних досягнень учнів з трудового навчання. Оволодіти методикою проведення тестової перевірка знань умінь та навичок учнів за допомогою нових інформаційних технологій. Система тестування як форма контролю та оцінювання навчальних досягнень учнів з трудового навчання.
36935. ВИЗНАЧЕННЯ СТАЛОЇ В ЗАКОНІ СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА 127 KB
  Основні теоретичні відомості Якщо на тіло падає потік світла то частина цього потоку буде відбиватися від його поверхні а друга частина потоку що проникає в тіло буде поглинатися частинками тіла і перетворюватися в інші форми енергії в кінцевому рахунку в теплоту. Відношення відбитого потоку Фвідб до падаючого потоку Ф називається коефіцієнтом відбивання або поглинаючою здатністю тіла тобто а = Фвід6 Ф а відношення потоку що поглинається тілом до падаючого потоку називається коефіцієнтом поглинання або поглинаючою здатністю...
36936. Удаленная работа з FTP-сервером 225 KB
  FTPсервер представляет из себя своеобразную библиотеку файлов. Для перекачки файлов между FTPсерверами и компьютером пользователя используется протокол FTP File Trnsfer Protocol – протокол передачи файлов. С помощью FTPсервера можно выкачивать на свой компьютер файлы выложенные на многочисленных FTPсерверах.
36937. ПОВІРКА МОСТА ПОСТІЙНОГО СТРУМУ МО-62 ТА ПРЯМЕ ВИМІРЮВАННЯ ОПОРУ РЕЗИСТОРА 259.5 KB
  Крім того міст дозволяє: а визначити характер і місце ушкодження повітряних ліній або кабелю; б повіряти вимірювальні прилади й пристрої до термометрів опору за винятком деяких меж виміру; в підганяти опір сполучних ліній приладів що працюють із термометрами опору по 2 і 3провідній схемі включення; г вимірювати опори ізоляції в межах від 1 до 100 Мом; д використовувати плече зрівняння моста в якості магазину опорів; е використовувати внутрішній гальванометр у зовнішніх електричних ланцюгах. Резистори намотані бифилярно...
36938. Пошук інформації в Internet 99.5 KB
  Як трактуються слова Незалежно від того яка форма слова стоїть в запиті пошук враховує всі форми за правилами російської мови. Наприклад якщо задано запит “идти†те в результаті пошуку будуть знайдені посилання на документи що містять слова идет†шел†шла†тощо . Якщо в запиті слово набране з великої букви будуть знайдені тільки слова з великої літери у противному випадку будуть знайдені як слова з великої так і з маленької літери. Між словами можна поставити знак †або кому †щоб знайти документи що містять...