19022

Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин

Лекция

Физика

Лекция 4 Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга Рассмотрим некоторый линейный оператор :. Выберем в рассматриваемом линейном пространст...

Русский

2013-07-11

650 KB

7 чел.

Лекция 4

Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Рассмотрим некоторый линейный оператор :. Выберем в рассматриваемом линейном пространстве дискретный ортонормированный базис. Так как каждому элементу этого пространства соответствует набор его координат в выбранном базисе, то оператору  соответствует закон, связывающий координаты элементов линейного пространства. Можно доказать, что для любого линейного оператора закон, позволяющий найти координаты элемента  по координатам элемента , можно представить в виде произведения некоторой матрицы из чисел на столбец, составленный из координат , , , … элемента

      (1)

где под умножением матрицы на столбец понимается принятое в линейной алгебре правило матричного умножения («строка на столбец»):

        (2)

Числа , которые являются характеристикой оператора, но не зависят от элемента , составляют матрицу оператора . Очевидно, размерность матрицы оператора совпадает с размерностью пространства, в котором оператор действует. В частности, операторам, действующим в бесконечномерных пространствах отвечают бесконечные матрицы.

Можно доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц:

  (3)

Матричные элементы матрицы оператора можно связать с результатом его действия на базисные элементы. Действительно, пусть  - ортонормированный базис. Разложим элементы  и  в определении оператора по базису :

      (4)

где  - координаты элементов  и . Умножим скалярно равенство (4) на  и, пользуясь ортонормированностью базиса, линейностью оператора и скалярного произведения, получим

      (5)

Сравнивая (4) с определением матрицы оператора, заключаем, что

       (6)

Из формулы (6) можно получить ряд следствий.

1. Если в качестве базиса выбрать собственные функции оператора, его матрица является диагональной

    (7)

причем на диагонали размещаются собственные значения оператора .

2. Матрицы сопряженных операторов транспонированы и комплексно сопряжены друг по отношению к другу:

     (8)

3. При комплексном сопряжении и транспонировании матрицы эрмитова оператора получается та же матрица

если    то         (9)

4. При изменении базиса матрица изменяется. Остановимся на этом пункте более подробно. Пусть выбрано два ортонормированных базиса  и . Каждый базисный элемент  можно разложить по базису :

       (10)

где  - некоторые числа, которые образуют квадратную матрицу (удобнее выполнять суммирование по первому индексу матрицы  - так, как это сделано в (10)). Матрицу  принято называть матрицей перехода от одного базиса к другому. Очевидно, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является унитарной. Действительно, из ортонормированности обоих базисов имеем

(11)

Но так как , из (11) имеем

      (12)

где  - единичная матрица, что и означает, что матрица перехода унитарна (равенство (12) есть определение унитарного оператора).

Чтобы установить связь между матрицами одного и того же оператора при разных выборах базиса воспользуемся формулой (7) и формулой связи базисов

 (13)

где  и  - матрицы оператора  в базисе  и  соответственно. С помощью правил матричного умножения формулу (13) можно записать в виде

     (14)

Из формулы (14), в частности, следует, что шпур матрицы оператора (сумма диагональных элементов) не зависит от выбора базиса или, как говорят, является инвариантным относительно выбора базиса (это связано с тем, что если под знак шпура входит произведение матриц, матрицы в нем можно циклически переставлять). Поэтому при любом выборе базиса шпур матрицы эрмитового оператора равен сумме его собственных значений. Также инвариантным является детерминант матрицы оператора.

Исследуем теперь вопрос о существовании общих собственных функций у разных операторов. Справедлива следующая

теорема:

Для того чтобы два оператора  и  имели полную систему общих собственных функций необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали: .

Необходимость: Пусть  - полная система общих собственных функций. Тогда любую функцию  можно разложить по : . Подействуем на это равенство коммутатором

 (15)

где   собственные значения. Так как  произвольна, то .

Достаточность: . Подействуем на уравнение на собственные функции оператора

 (16)

где ,  - собственное значение и собственная функция оператора , оператором

 (17)

Благодаря коммутации операторов и линейности оператора , имеем из (17)

 (18)

Таким образом, функция  также является собственной для оператора . Если у оператора  невырожденный спектр, то собственному значению  отвечает единственная собственная функция. Поэтому функция  может отличаться от  некоторым множителем:

   (19)

где буквой  обозначен указанный множитель. Уравнение (19) и означает, что функция  является собственной и для оператора .

Если спектр оператора  вырожден, то есть одному собственному значению отвечают несколько собственных функций, то функция , вообще говоря, не сводится к функции . В этом случае, однако, выбор собственных функций является неоднозначным и можно построить такие линейные комбинации собственных функций оператора , которые будут также и собственными для оператора . Теорема доказана.

Так как операторы координаты и импульса не коммутируют, они не имеют полной системы общих собственных функций. На самом деле у этих двух операторов нет ни одной общей собственной функции. Поэтому нет состояний, в которых и координата и импульс одновременно имели бы определенные значения (именно поэтому в квантовой механике нет понятия траектории). Всегда существует либо разброс координат, либо разброс импульсов, либо и то и другое. Рассмотрим утверждение, связывающее эти величины и которое является одним из основополагающим законов квантовой механики.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Исходя из коммутатора оператора координаты и импульса

 (20)

докажем, что

 

т.е. неопределенности координаты и импульса не могут быть одновременно уменьшены до сколь угодно малых величин.

Для доказательства рассмотрим произвольное состояние . Пусть в этом состоянии:  и  (этого всегда можно добиться выбором системы координат). Тогда:

 

  (21)

Рассмотрим некоторый функционал от действительной переменной :

  (22)

Очевидно, что , как интеграл от четной неотрицательной функции. Учитывая, что x-действительная величина и что действие оператора координаты в собственном представлении сводится просто к умножению на значение координаты x, получим:

 

 

 

  (23)

Полученное выражение как функция переменной , представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Чтобы выполнялось неравенство (23) при любых  необходимо, чтобы . Получим:

  (24)

Или

 

Поскольку  и , то:

 

Мы получили точную формулировку соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Замечание: 

1. Если бы операторы  и  коммутировали, то мы не смогли бы получить этого соотношения.

2. Состояние, которое «минимизирует» соотношение неопределенностей:

 

Это состояние представляет собой гауссовский волновой пакет. В нем:

 

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59999. Опис досвіду роботи з виховання особистості 173 KB
  Розбудова української держави ставить на порядок денний надзвичайно важливе і невідкладне завдання виховання нового покоління здатного не тільки осягнути загальнолюдський зміст сутності існування людини а й творчо вирішувати їх згідно з духом свого часу.
60000. Координатна площина. 6 клас 1.54 MB
  Мета уроку: навчити учнів будувати точку за її координатами і визначати координати точки позначеної на координатній площині Задачі уроку: ознайомити учнів з прямокутною системою координат на площині; навчити орієнтуватися на координатній площині...
60001. Випадкові події 92 KB
  Визначення подій: подія А яблуко яке взяли червоне або подія В яблуко яке взяли зелене ; 2визначення того яка подія швидше відбудеться А або В якщо у кошику 7 червоних і 2 зелених яблука тобто імовірність події 3 визначення...
60003. Витинаночка. Твір-опис процесу праці за власним спостереженням в художньому стилі (письмово) 1.62 MB
  Це мистецтво витинанки. Тож сміливо беріть у руки ножиці папір олівець і вирушайте у світ витинанки. Робота в групах До сьогоднішнього уроку справно готувалися групи Дослідників-пошуковців Мистецтвознавців Літературознавців Майстрів-інструкторів...
60004. Взаимоотношения человека и природы 42.5 KB
  С возникновением земледелия и животноводства произошел коренной перелом в отношении человека к окружающей природе. Все виды воздействия человека на природу можно объединить в четыре типа: преднамеренное...
60005. Вашингтон - столица США 62 KB
  For some time we have been learning many interesting things about the USA. You’ve got to know that the USA is the richest and highly developed country in the world. It stretches from one coast to another.
60006. We want to be healthy 64 KB
  There is a beautiful garden there where different fruit trees grow. Do you like fruits? What fruits do you like? As for me, I like cherries. And you? But the fruits in our garden are magic. If you eat them, you’ll be healthy an will study very well.
60007. Суд над Погодою 70 KB
  Слухається справа громадянки Погоди. Слідством було досліджено основну властивість погоди її мінливість. Встановлено: а характерною особливістю погоди є її безперервна мінливість; б причиною мінливості є переміщення величезних обємів повітря...