19022

Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин

Лекция

Физика

Лекция 4 Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга Рассмотрим некоторый линейный оператор :. Выберем в рассматриваемом линейном пространст...

Русский

2013-07-11

650 KB

7 чел.

Лекция 4

Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Рассмотрим некоторый линейный оператор :. Выберем в рассматриваемом линейном пространстве дискретный ортонормированный базис. Так как каждому элементу этого пространства соответствует набор его координат в выбранном базисе, то оператору  соответствует закон, связывающий координаты элементов линейного пространства. Можно доказать, что для любого линейного оператора закон, позволяющий найти координаты элемента  по координатам элемента , можно представить в виде произведения некоторой матрицы из чисел на столбец, составленный из координат , , , … элемента

      (1)

где под умножением матрицы на столбец понимается принятое в линейной алгебре правило матричного умножения («строка на столбец»):

        (2)

Числа , которые являются характеристикой оператора, но не зависят от элемента , составляют матрицу оператора . Очевидно, размерность матрицы оператора совпадает с размерностью пространства, в котором оператор действует. В частности, операторам, действующим в бесконечномерных пространствах отвечают бесконечные матрицы.

Можно доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц:

  (3)

Матричные элементы матрицы оператора можно связать с результатом его действия на базисные элементы. Действительно, пусть  - ортонормированный базис. Разложим элементы  и  в определении оператора по базису :

      (4)

где  - координаты элементов  и . Умножим скалярно равенство (4) на  и, пользуясь ортонормированностью базиса, линейностью оператора и скалярного произведения, получим

      (5)

Сравнивая (4) с определением матрицы оператора, заключаем, что

       (6)

Из формулы (6) можно получить ряд следствий.

1. Если в качестве базиса выбрать собственные функции оператора, его матрица является диагональной

    (7)

причем на диагонали размещаются собственные значения оператора .

2. Матрицы сопряженных операторов транспонированы и комплексно сопряжены друг по отношению к другу:

     (8)

3. При комплексном сопряжении и транспонировании матрицы эрмитова оператора получается та же матрица

если    то         (9)

4. При изменении базиса матрица изменяется. Остановимся на этом пункте более подробно. Пусть выбрано два ортонормированных базиса  и . Каждый базисный элемент  можно разложить по базису :

       (10)

где  - некоторые числа, которые образуют квадратную матрицу (удобнее выполнять суммирование по первому индексу матрицы  - так, как это сделано в (10)). Матрицу  принято называть матрицей перехода от одного базиса к другому. Очевидно, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является унитарной. Действительно, из ортонормированности обоих базисов имеем

(11)

Но так как , из (11) имеем

      (12)

где  - единичная матрица, что и означает, что матрица перехода унитарна (равенство (12) есть определение унитарного оператора).

Чтобы установить связь между матрицами одного и того же оператора при разных выборах базиса воспользуемся формулой (7) и формулой связи базисов

 (13)

где  и  - матрицы оператора  в базисе  и  соответственно. С помощью правил матричного умножения формулу (13) можно записать в виде

     (14)

Из формулы (14), в частности, следует, что шпур матрицы оператора (сумма диагональных элементов) не зависит от выбора базиса или, как говорят, является инвариантным относительно выбора базиса (это связано с тем, что если под знак шпура входит произведение матриц, матрицы в нем можно циклически переставлять). Поэтому при любом выборе базиса шпур матрицы эрмитового оператора равен сумме его собственных значений. Также инвариантным является детерминант матрицы оператора.

Исследуем теперь вопрос о существовании общих собственных функций у разных операторов. Справедлива следующая

теорема:

Для того чтобы два оператора  и  имели полную систему общих собственных функций необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали: .

Необходимость: Пусть  - полная система общих собственных функций. Тогда любую функцию  можно разложить по : . Подействуем на это равенство коммутатором

 (15)

где   собственные значения. Так как  произвольна, то .

Достаточность: . Подействуем на уравнение на собственные функции оператора

 (16)

где ,  - собственное значение и собственная функция оператора , оператором

 (17)

Благодаря коммутации операторов и линейности оператора , имеем из (17)

 (18)

Таким образом, функция  также является собственной для оператора . Если у оператора  невырожденный спектр, то собственному значению  отвечает единственная собственная функция. Поэтому функция  может отличаться от  некоторым множителем:

   (19)

где буквой  обозначен указанный множитель. Уравнение (19) и означает, что функция  является собственной и для оператора .

Если спектр оператора  вырожден, то есть одному собственному значению отвечают несколько собственных функций, то функция , вообще говоря, не сводится к функции . В этом случае, однако, выбор собственных функций является неоднозначным и можно построить такие линейные комбинации собственных функций оператора , которые будут также и собственными для оператора . Теорема доказана.

Так как операторы координаты и импульса не коммутируют, они не имеют полной системы общих собственных функций. На самом деле у этих двух операторов нет ни одной общей собственной функции. Поэтому нет состояний, в которых и координата и импульс одновременно имели бы определенные значения (именно поэтому в квантовой механике нет понятия траектории). Всегда существует либо разброс координат, либо разброс импульсов, либо и то и другое. Рассмотрим утверждение, связывающее эти величины и которое является одним из основополагающим законов квантовой механики.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Исходя из коммутатора оператора координаты и импульса

 (20)

докажем, что

 

т.е. неопределенности координаты и импульса не могут быть одновременно уменьшены до сколь угодно малых величин.

Для доказательства рассмотрим произвольное состояние . Пусть в этом состоянии:  и  (этого всегда можно добиться выбором системы координат). Тогда:

 

  (21)

Рассмотрим некоторый функционал от действительной переменной :

  (22)

Очевидно, что , как интеграл от четной неотрицательной функции. Учитывая, что x-действительная величина и что действие оператора координаты в собственном представлении сводится просто к умножению на значение координаты x, получим:

 

 

 

  (23)

Полученное выражение как функция переменной , представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Чтобы выполнялось неравенство (23) при любых  необходимо, чтобы . Получим:

  (24)

Или

 

Поскольку  и , то:

 

Мы получили точную формулировку соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Замечание: 

1. Если бы операторы  и  коммутировали, то мы не смогли бы получить этого соотношения.

2. Состояние, которое «минимизирует» соотношение неопределенностей:

 

Это состояние представляет собой гауссовский волновой пакет. В нем:

 

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29779. Цепи вызова абонентом и опроса вызывающего абонента П-194М по принципиальной схеме 49 KB
  Вопрос 1. Цепи вызова абонентом и опроса вызывающего абонента П-194М по принципиальной схеме. Назначение и основные ТТХ радиорелейной станции Р-409МА. Состав ВЧ оборудования Р-409МА, назначение блоков. Опрос абонента коммутатора П-194М.
29780. Цепь прохождения разговора между двумя абонентами П-194М по принципиальной схеме 474 KB
  2: При работе станции в поддиапазоне А частоты возбудителя лежат в пределах 60120 мГц а в поддиапазонах Б и В – в пределах 6011199 мГц. В сменных блоках передатчиков обеспечивается или только усиление А или усиление и умножение частоты колебаний возбудителя Б В. Отличие заключается лишь в том что в приемниках поддиапазонов Б и В дополнительно применено соответственно удвоение и учетверение частоты первого гетеродина блока Б2 общего для трех поддиапазонов станции. Как видно из рисунков в приемниках применено двойное...
29781. Цепь посылки вызова абонента АТС по СЛ с коммутатора П-194М по принципиальной схеме 354 KB
  Для обеспечения диапазонной кварцевой стабилизации частоты в возбудителе применена частотная автоматическая подстройка частоты генератора плавного диапазона по эталонному кварцевому калибратору источнику сетки опорных частот. Структурная схема возбудителя по назначению и принципу работы может быть разделена на три части: Тракт высокой частоты состоящий из генератора плавного диапазона частотного модулятора с компенсирующим усилителем и усилителя высокой частоты т. устройств обеспечивающих генерирование усиление и частотную...
29782. Цепь дистанционного управления радиостанцией П-194М по принципиальной схеме 77.5 KB
  После ответа требуемого абонента телефонист переводит ключ ОВ в среднее положение. При этом абоненты остаются соединенными шнуровой парой коммутатора, а приборы рабочего места от цепи разговора отключаются. Разговорные токи между абонентскими телефонными аппаратами пройдут по цепи
29783. Назначение и принцип работы источников вызова П-194М по принципиальной схеме 82 KB
  Назначение и принцип работы источников вызова П194М по принципиальной схеме. Источники вызова их назначение и принцип работы. Вызывные приборы рабочего места телефониста предназначены для посылки вызова абоненту. Вызывной трансформатор служит для понижения напряжения сети переменного тока 127 220 В до напряжения 80В используемого для посылки вызова абоненту.
29784. Назначение и ТТХ линейного телеграфного коммутатора П-190(192) 63.5 KB
  Назначение и ТТХ линейного телеграфного коммутатора П190192. Назначение состав и основные тактикотехнические характеристики коммутатора П190. НАЗНАЧЕНИЕ Комплект линейнотелеграфного коммутатора П190 предназначен для оборудования линейнотелеграфных кроссов и аппаратных а также для каблирования вводов узлов связи. Комплект коммутатора предназначен для работы в диапазоне температур окружающего воздуха от 0 до f50C также при относительной влажности воздуха не выше 95 о и температуре 25С.
29785. Классификация полевых кабелей связи. Конструкция и маркировка кабелей 63.5 KB
  Полевые кабели связи. Современные кабели связи классифицируются по ряду признаков в зависимости от назначения и области применения условий прокладки и эксплуатации спектра передаваемых частот конструкции материала и формы изоляции системы скрутки рода защитных покровов. В первую очередь кабели связи подразделяются на две основные группы: полевые и стационарные. Стационарные кабели предназначены для продолжительной службы; они обладают высокими и стабильными электрическими характеристиками и большой дальностью связи.
29786. Назначение, конструкция и ТТХ легкого полевого кабеля П-274М (внутриузлового кабеля ПТРК-5х2, кабеля дальней связи П-296М) 647 KB
  Назначение конструкция и ТТХ легкого полевого кабеля П274М внутриузлового кабеля ПТРК5х2 кабеля дальней связи П296М. Стальные проволоки выполняют роль грузонесущего элемента и обеспечивают необходимую прочность кабеля на разрыве. № п п Характеристика Кабель П274М П2 П268 П4 1 Емкость кабеля число пар 1 1 1 2 2 Наружный диаметр изолированной ТПЖ не более мм 23 17 34 22 3 Наружный диаметр оболочки кабеля мм 40 1 73 4 Прочность на разрыв кг 80 80 130 150 5 Строительная длина м на ТК2 П280М1 барабане типа Б...
29787. Принцип формирования линейного спектра сигналов аппаратуры П-327-2 по структурной схеме 72 KB
  Эксплуатационные измерения основных параметров кабелей. Измерение параметров полевых линий связи по постоянному и переменному току Эксплуатационные измерения линий связи проводятся с целью установления соответствия их параметров нормам а так же определения характера и места повреждения в случае аварии на линии. Эксплуатационные измерения производятся при:...