19022

Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин

Лекция

Физика

Лекция 4 Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга Рассмотрим некоторый линейный оператор :. Выберем в рассматриваемом линейном пространст...

Русский

2013-07-11

650 KB

7 чел.

Лекция 4

Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Рассмотрим некоторый линейный оператор :. Выберем в рассматриваемом линейном пространстве дискретный ортонормированный базис. Так как каждому элементу этого пространства соответствует набор его координат в выбранном базисе, то оператору  соответствует закон, связывающий координаты элементов линейного пространства. Можно доказать, что для любого линейного оператора закон, позволяющий найти координаты элемента  по координатам элемента , можно представить в виде произведения некоторой матрицы из чисел на столбец, составленный из координат , , , … элемента

      (1)

где под умножением матрицы на столбец понимается принятое в линейной алгебре правило матричного умножения («строка на столбец»):

        (2)

Числа , которые являются характеристикой оператора, но не зависят от элемента , составляют матрицу оператора . Очевидно, размерность матрицы оператора совпадает с размерностью пространства, в котором оператор действует. В частности, операторам, действующим в бесконечномерных пространствах отвечают бесконечные матрицы.

Можно доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц:

  (3)

Матричные элементы матрицы оператора можно связать с результатом его действия на базисные элементы. Действительно, пусть  - ортонормированный базис. Разложим элементы  и  в определении оператора по базису :

      (4)

где  - координаты элементов  и . Умножим скалярно равенство (4) на  и, пользуясь ортонормированностью базиса, линейностью оператора и скалярного произведения, получим

      (5)

Сравнивая (4) с определением матрицы оператора, заключаем, что

       (6)

Из формулы (6) можно получить ряд следствий.

1. Если в качестве базиса выбрать собственные функции оператора, его матрица является диагональной

    (7)

причем на диагонали размещаются собственные значения оператора .

2. Матрицы сопряженных операторов транспонированы и комплексно сопряжены друг по отношению к другу:

     (8)

3. При комплексном сопряжении и транспонировании матрицы эрмитова оператора получается та же матрица

если    то         (9)

4. При изменении базиса матрица изменяется. Остановимся на этом пункте более подробно. Пусть выбрано два ортонормированных базиса  и . Каждый базисный элемент  можно разложить по базису :

       (10)

где  - некоторые числа, которые образуют квадратную матрицу (удобнее выполнять суммирование по первому индексу матрицы  - так, как это сделано в (10)). Матрицу  принято называть матрицей перехода от одного базиса к другому. Очевидно, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является унитарной. Действительно, из ортонормированности обоих базисов имеем

(11)

Но так как , из (11) имеем

      (12)

где  - единичная матрица, что и означает, что матрица перехода унитарна (равенство (12) есть определение унитарного оператора).

Чтобы установить связь между матрицами одного и того же оператора при разных выборах базиса воспользуемся формулой (7) и формулой связи базисов

 (13)

где  и  - матрицы оператора  в базисе  и  соответственно. С помощью правил матричного умножения формулу (13) можно записать в виде

     (14)

Из формулы (14), в частности, следует, что шпур матрицы оператора (сумма диагональных элементов) не зависит от выбора базиса или, как говорят, является инвариантным относительно выбора базиса (это связано с тем, что если под знак шпура входит произведение матриц, матрицы в нем можно циклически переставлять). Поэтому при любом выборе базиса шпур матрицы эрмитового оператора равен сумме его собственных значений. Также инвариантным является детерминант матрицы оператора.

Исследуем теперь вопрос о существовании общих собственных функций у разных операторов. Справедлива следующая

теорема:

Для того чтобы два оператора  и  имели полную систему общих собственных функций необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали: .

Необходимость: Пусть  - полная система общих собственных функций. Тогда любую функцию  можно разложить по : . Подействуем на это равенство коммутатором

 (15)

где   собственные значения. Так как  произвольна, то .

Достаточность: . Подействуем на уравнение на собственные функции оператора

 (16)

где ,  - собственное значение и собственная функция оператора , оператором

 (17)

Благодаря коммутации операторов и линейности оператора , имеем из (17)

 (18)

Таким образом, функция  также является собственной для оператора . Если у оператора  невырожденный спектр, то собственному значению  отвечает единственная собственная функция. Поэтому функция  может отличаться от  некоторым множителем:

   (19)

где буквой  обозначен указанный множитель. Уравнение (19) и означает, что функция  является собственной и для оператора .

Если спектр оператора  вырожден, то есть одному собственному значению отвечают несколько собственных функций, то функция , вообще говоря, не сводится к функции . В этом случае, однако, выбор собственных функций является неоднозначным и можно построить такие линейные комбинации собственных функций оператора , которые будут также и собственными для оператора . Теорема доказана.

Так как операторы координаты и импульса не коммутируют, они не имеют полной системы общих собственных функций. На самом деле у этих двух операторов нет ни одной общей собственной функции. Поэтому нет состояний, в которых и координата и импульс одновременно имели бы определенные значения (именно поэтому в квантовой механике нет понятия траектории). Всегда существует либо разброс координат, либо разброс импульсов, либо и то и другое. Рассмотрим утверждение, связывающее эти величины и которое является одним из основополагающим законов квантовой механики.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Исходя из коммутатора оператора координаты и импульса

 (20)

докажем, что

 

т.е. неопределенности координаты и импульса не могут быть одновременно уменьшены до сколь угодно малых величин.

Для доказательства рассмотрим произвольное состояние . Пусть в этом состоянии:  и  (этого всегда можно добиться выбором системы координат). Тогда:

 

  (21)

Рассмотрим некоторый функционал от действительной переменной :

  (22)

Очевидно, что , как интеграл от четной неотрицательной функции. Учитывая, что x-действительная величина и что действие оператора координаты в собственном представлении сводится просто к умножению на значение координаты x, получим:

 

 

 

  (23)

Полученное выражение как функция переменной , представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Чтобы выполнялось неравенство (23) при любых  необходимо, чтобы . Получим:

  (24)

Или

 

Поскольку  и , то:

 

Мы получили точную формулировку соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Замечание: 

1. Если бы операторы  и  коммутировали, то мы не смогли бы получить этого соотношения.

2. Состояние, которое «минимизирует» соотношение неопределенностей:

 

Это состояние представляет собой гауссовский волновой пакет. В нем:

 

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46063. Каппацизм и йотацизм. Определение, этиология, виды. Логопедические технологии устранения каппацизма и йотацизма. Каппацизм – дефект произношения нёбных звуков к, к 18.5 KB
  Кончик языка опущен но не прикасается к нижним зубам. Корень языка поднят и смыкается с небом.Предложите ребенку произносить слоги татата и одновременно с этим нажимайте шпателем или плоским концом ложечки на кончик языка отодвигайте язык отт нижних зубов глубь рта. Таким образом спинка языка все больше выгибается и соответственно получается тятятя потом кякякя и наконец когда происходит смычка спинки языка с небом должно получиться какака.
46064. Нарушение звукопроизношения по звонкости – глухости, твёрдости – мягкости. Логопедические технологии устранения этих дефектов 32 KB
  Исправление данного недостатка следует начинать со щелевых звуков в з жА потом квзрывным б д г. громкое ишёпотное произнесение гласных звуков отрывисто и длительно. Озвончение щелевых звуков не всегда удаётся вызвать сразу это связано с тем что как правило в этих случаях есть какой то вид сигматизма. При этом он обращает внимание ребенка не только на различие в звучании звуков но и на то что в момент произнесения твердого звука в можно прикоснувшись рукой к гортани ощущать её вибрацию.
46065. Игры в логопедической работе с детьми. Системы игр, анализ методической литературы 15 KB
  Игры в логопедической работе с детьми. Игры используют в любые режимные моменты как на занятиях так и вне. Подготовительный этап: игры на развитие всех психических функций. Далее игры на развитие артикуляционной моторики.
46066. Личность логопеда. Сферы деятельности логопеда, функциональные обязанности, профессионально значимые качества. Организация логопедической помощи населению России 36 KB
  Логопед должен уметь распознавать речевые нарушения владеть приёмами и методами их устранения и коррекции специальными методами обучения детей с речевыми расстройствами родному языку как в дошкольном так и в школьном возрасте проводить профилактическую работу по предупреждению неуспеваемости хорошо знать психологические особенности детей с речевой патологией использовать приемы и методы их воспитания корреляции и развития у них высших корковых функций. Первостепенное значение для эффективности работы по обучению воспитанию...
46067. Теоретические и методологические основы специальной педагогической науки об обучении, воспитании, лиц с нарушениями речи 19 KB
  Теоретические и методологические основы специальной педагогической науки об обучении воспитании лиц с нарушениями речи. Логопедия это наука о нарушениях речи методах их выявления и устранения средствами специального обучения и воспитания. Термин логопедия происходит от греческих корней логос слово и пайдео воспитываю обучаю и в переводе означает воспитание правильной речи. Предметом логопедии как науки являются нарушения речи и процесс обучения и воспитания лиц с нарушением речевой деятельности.
46068. Основные положения учения об этиологии речевых нарушений 19.5 KB
  Основные положения учения об этиологии речевых нарушений. Еще в древности греческий философ и врач Гиппократ видел причину ряда речевых расстройств в частности заикания в поражениях мозга. Другой греческий философ Аристотель связывая процессы речеобразования с анатомическим строением периферического речевого аппарата усматривал причины речевых расстройств в нарушениях последнего. Таким образом уже в исследованиях античных ученых наметилось два направления в понимании причин речевых нарушений.
46069. Принципы анализа речевых нарушений 17.5 KB
  Принцип развития предусматривает анализ речевых нарушений в динамике развития ребенка. Анализ речевого дефекта в динамике возрастного развития ребенка оценка истоков его возникновения и прогнозирование его последствий требует знаний особенностей и закономерностей речевого развития на каждом возрастном этапе. Анализ речевых нарушений с позиций развития позволяет выделить ведущий дефект и связанные с ним вторичные нарушения. У детей у которых этот вид деятельности развивается слабо например длительная болезнь предпосылки речевого развития...
46070. История развития учения о классификации речевых нарушений 17.5 KB
  История развития учения о классификации речевых нарушений.Куссмауля который подверг критическому анализу сложившиеся ранее представления о видах речевых нарушений систематизировал их упорядочил терминологию. В этой классификации было много общего: клинический подход связь выделенных нарушений с теми или иными нозологическими формами заболеваний а также язык описания в котором применялись термины составленные из латинских и греческих словообразований. Между классификациями прослеживаются и несовпадения обусловленные разными принципами...
46071. Характеристика основных форм речевых нарушений в соответствии с клинико-педагогической классификацией 34.5 KB
  Рассматриваемых в данной классификации можно подразделить на две большие группы в зависимости от того какой вид речи нарушен: устная или письменная. Нарушения устной речи могут быть разделены на 2 типа: фонационного внешнего оформления высказывания которые называют нарушениями произносительной стороны речи; структурносемантического внутреннего оформления высказывания которые называют системными или полиморфными нарушениями речи. Бывает изолированной или входит в состав ряда других нарушений речи. Брадилалия патологически...