19024

Зависимость средних от времени. Интегралы движения. Законы сохранения и симметрии. Сохранение четности

Лекция

Физика

Лекция 6 Зависимость средних от времени. Интегралы движения. Законы сохранения и симметрии. Сохранение четности Эволюция квантовой системы во времени определяется временным уравнением Шредингера 1 Поскольку это уравнение является уравнением первого пор...

Русский

2013-07-11

614 KB

7 чел.

Лекция 6

Зависимость средних от времени. Интегралы движения. Законы сохранения и симметрии. Сохранение четности

Эволюция квантовой системы во времени определяется временным уравнением Шредингера

      (1)

Поскольку это уравнение является уравнением первого порядка по времени, для однозначного нахождения решения необходимо задать волновую функцию системы в начальный момент времени  

Как было показано на предыдущей лекции, в случае, когда гамильтониан не зависит явно от времени, общее решение уравнения (1) может быть найдено в квадратурах

    (2)

где  - собственные функции оператора Гамильтона,  - соответствующие собственные значения,  - произвольные постоянные. Таким образом, для нахождения всех возможных решений временного уравнения Шредингера необходимо знать все решения уравнения на собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона

     (3)

По этой причине уравнение (3) играет для квантовой механики столь же фундаментальное значение, что и уравнение Шредингера, и потому (?) также называется уравнением Шредингера. Чтобы не путать эти два (совершенно разных) уравнения первое принято называть временным уравнением Шредингера, второе – стационарным уравнением Шредингера.

Чтобы исследовать зависимость средних от времени найдем оператор производной физической величины по времени.

Пусть есть некоторая физическая величина  и ей соответсвует оператор . Найдем, какой оператор будет соответствовать величине , то есть найдем вид оператора .

По определению в любом состоянии должно быть выполнено следующее равенство:

  (4)

Далее воспользуемся квантовомеханической формулой для средних и временным уравнением Шредингера. В результате получим следующее. 

В правой части формулы (4):

 (5)

где  - искомый оператор производной величины  по времени.

В левой части (4):

 

  (6)

Сравнивая (5), (6) и учитывая, что равенство (4) должно быть справедливо в состоянии с произвольной волновой функцией , заключаем:

  (7)

Из формулы (7) следует, что если оператор некоторой физической величины не зависит явно от времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то среднее значение данной физической величины не зависит от времени в любом состоянии, поскольку производная от среднего значения равна нулю.

Здесь можно провести определенную аналогию с классической механикой. В классической механике для производной функции  динамических переменных – координат и импульсов – по времени справедливо соотношение:

 

где  - функция Гамильтона,  - скобка Пуассона функции Гамильтона  и функции . Из этой формулы следует, что при переходе от квантовой механики к классической коммутатор операторов переходит в их классическую скобку Пуассона

 

В квантовой механике интегралами движения называют такие физические величины, средние значения которых в любых состояниях не зависят от времени. Из формулы (4) следует, что для того чтобы физическая величина была интегралом движения оператор этой величины не должен не зависеть явно от времени и должен коммутировать с оператором Гамильтона.

Поскольку факт коммутации ряда операторов физических величин с оператором Гамильтона следует из свойств симметрии пространства-времени, поэтому в квантовой механике (так же, как и в классической механике) существование ряда интегралов движения связано с симметриями пространства-времени.

Однородность времени и закон сохранения энергии.

Опыт показывает, что в инерциальных системах отсчета время однородно, т.е. законы движения не зависят от выбора начала отсчета времени. А это значит, что время явно в законы движения не входит. Из однородности времени следует, что гамильтониан не зависит явно от времени. А так как гамильтониан сам с собой коммутирует, то энергия является интегралом движения. (Отметим, что этот результат в точности согласуется с классическим: энергия классической механической системы сохраняется, если ее функция Гамильтона не зависит от времени).

Однородность пространства и закон сохранения импульса.

Как показывает опыт, пространство в инерциальных системах отсчета однородно (все точки эквивалентны). Значит, законы движения инвариантны относительно преобразований параллельного переноса. Любой конечный перенос является композицией бесконечно малых переносов, поэтому рассмотрим бесконечно малую трансляцию:

(8)

И функция , и функция  удовлетворяют временному уравнению Шредингера, поэтому

 (9)

Отсюда следует, что

 

и, следовательно, суммарный импульс системы есть интеграл движения.

Закон сохранения четности.

Назовем преобразованием инверсии (или четности) оператор, который следующим образом действует на произвольную функцию:

  (10)

Очевидно, оператор четности имеет два собственных значения  - это +1 и –1. Действительно, подействуем на уравнение на собственные значения и собственные функции оператора инверсии

 (11)

оператором инверсии (здесь  - собственное значение оператора инверсии,  - отвечающая ему собственная функция)

 (12)

В результате с учетом того, что, имеем

 (13)

Очевидно, собственные функции, отвечающие собственному значению  - любые четные функции, отвечающие собственному значению  - любые нечетные. Среднее значение оператора четности в любом состоянии

 (14)

показывает, насколько волновая функция этого состояния близка к четной или нечетной функции. Действительно, если волновая функция четная из (14) и условия нормировки получаем, что . Если волновая функция нечетная - .

Рассмотрим частицу, движущуюся в некотором потенциале . Если потенциальная энергия не меняется при преобразовании инверсии, то оператор инверсии коммутирует с гамильтонианом . В этом случае четность является интегралом движения. В частности, если потенциальная энергия четная функция, а волновая функция частицы в начальный момент времени имеет определенную четность (является либо четной, либо нечетной функцией координат), то она останется таковой и любой последующий момент времени.

В заключение этой лекции подчеркнем, что для сохранения физической величины в квантовой механики нужна независимость от времени ее среднего значения, результаты же отдельных измерений могут быть различными. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим состояние

 (15)

где  и  - собственные значения не зависящего от времени оператора Гамильтона,  и  - отвечающие им нормированные собственные функции. Согласно основным принципам квантовой механики энергия в состоянии (15) определенного значения не имеет, и при измерениях могут быть получены два значения  и  с одинаковыми вероятностями. Это значит, что мы не можем утверждать, что результаты любых измерений энергии будут одинаковыми. Можно утверждать, что если выполнить много измерений над ансамблем тождественных квантовых систем с волновой функцией (12) в некоторый момент времени и усреднить эти результаты, то это среднее значение не будет зависеть от времени. Для рассматривае6мого состояния согласно основным принципам квантовой механики имеем

 (16)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83799. Соглашение о ценообразовании для целей налогообложения: общие положения; стороны соглашения о ценообразовании; порядок заключения соглашения 41.59 KB
  Соглашение о ценообразовании для целей налогообложения представляет собой соглашение между налогоплательщиком отнесенным к категории крупнейших налогоплательщиков и ФНС России о порядке определения цен и или применения методов ценообразования в контролируемых сделках. Заключение соглашения о ценообразовании позволяет налогоплательщикам и налоговым органам. Предметом соглашения о ценообразовании являются: 1 виды и или перечни контролируемых сделок и товаров работ услуг в отношении которых заключается соглашение; 2 порядок...
83800. Общие положения об ответственности за совершение налоговых правонарушений: понятие, лица подлежащие ответственности за их совершение. Условия привлечения к ответственности за совершение налогового правонарушения 39.43 KB
  Условия привлечения к ответственности за совершение налогового правонарушения. Ответственность за совершение налоговых правонарушений несут организации и физические лица. Физическое лицо может быть привлечено к ответственности за совершение налоговых правонарушений с шестнадцатилетнего возраста.
83801. Формы вины при совершении налогового правонарушения. Обстоятельства, исключающие, смягчающие и отягчающие вину. Налоговые санкции 40.83 KB
  Виновным в совершении налогового правонарушения признается лицо совершившее противоправное деяние умышленно или по неосторожности. Вина организации в совершении налогового правонарушения определяется в зависимости от вины ее должностных лиц либо ее представителей действия бездействие которых обусловили совершение данного налогового правонарушения. К ним относятся: 1 отсутствие события налогового правонарушения; 2 отсутствие вины лица в совершении правонарушения; 3 совершение деяния физическим лицом не достигшим шестнадцатилетнего...
83802. Виды налоговых правонарушений и ответственность за их совершение. Характеристика налоговых правонарушений 42.44 KB
  Нарушение срока постановки на учет в налоговом органе установленного НК РФ срока подачи заявления о постановке на учет в налоговом органе при отсутствии признаков налогового правонарушения влечет взыскание штрафа в размере 5 тыс. Ведение деятельности организацией или индивидуальным предпринимателем без постановки на учет в налоговом органе влечет взыскание штрафа в размере 10 от доходов полученных в течение указанного времени в результате такой деятельности но не менее 20 тыс. Нарушение срока представления сведений об открытии и закрытии...
83803. Характеристика иных видов нарушения законодательства о налогах и сборах. Соотношение налоговых правонарушений с административными проступками и преступлениями 41.46 KB
  Ответственность за налоговые правонарушения предусмотрена не только налоговым законодательством но и в Кодексе РФ об административных нарушениях в Таможенном и Уголовном кодексах РФ. Данный кодекс ввел ответственность организаций должностных лиц и граждан за правонарушения в сферах производства и оборота алкогольной продукции наличноденежного обращения государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей за неприменение контрольнокассовой техники; а также дополнительно к Налоговому кодексу ответственности...
83804. Виды нарушений банком обязанностей, предусмотренных законодательством о налогах и сборах, и ответственность за их совершение 40.85 KB
  Открытие банком счета организации индивидуальному предпринимателю нотариусу занимающемуся частной практикой или адвокату учредившему адвокатский кабинет счета инвестиционного товарищества без предъявления этим лицом свидетельства уведомления о постановке на учет в налоговом органе а равно открытие счета при наличии решения налогового органа о приостановлении операций по счетам этого лица влекут взыскание штрафа в размере 20 тысяч рублей. Нарушение срока исполнения поручения о перечислении налога сбора авансового платежа пеней...
83805. Защита прав налогоплательщиков. Право на обжалование. Порядок обжалования 39.88 KB
  Статья 137 НК РФ предоставляет каждому налогоплательщику или налоговому агенту право обжаловать акты налоговых органов ненормативного характера действия или бездействие их должностных лиц если по мнению налогоплательщика или налогового агента такие акты действия или бездействие нарушают их права. Вместе с тем административный порядок не отрицает возможности обращения в последствии за защитой в суд либо предоставляется альтернативный порядок защиты прав субъектов налоговых правоотношений. Вместе с тем НК РФ устанавливает два условия...
83806. Рассмотрение жалобы и принятие решения по ней. Последствия подачи жалобы 39.84 KB
  Вышестоящий орган или вышестоящее должностное лицо в месячный срок со дня получения жалобы обязаны ее рассмотреть и принять одно из сле6дующих решений: – оставить жалобу без удовлетворения; – отменить акт налогового органа и назначить дополнительную проверку; – отменить решение и прекратить производство по делу о налоговом правонарушении; изменить решение или вынести новое решение по суще6ству обстоятельств дела. Законодательством РФ предусмотрены следующие способы судебной защиты прав налогоплательщиков: – признание неконституционным...
83807. Административный порядок защиты нарушенных прав налогоплательщиков 40.72 KB
  Вместе с тем административный порядок не отрицает возможности обращения в последствии за защитой в суд либо предоставляется альтернативный порядок защиты прав субъектов налоговых правоотношений. Вместе с тем НК РФ устанавливает два условия соблюдение которых необходимо для защиты нарушенных прав налогоплательщиков или налоговых агентов: – ненормативные акты налоговых органов а также действия бездействие должностных органов этих органов должны по мнению налогоплательщика или налогового агента нарушать их права; – нормативные правовые...