19026

Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма. Спектр, стационарные состоя-ния, разложения по собственным функциям гамильтониана, средние

Лекция

Физика

Лекция 8 Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма. Спектр стационарные состояния разложения по собственным функциям гамильтониана средние Пусть потенциальная энергия частицы равна бесконечно глубокая потенциальная яма шириной см. рисунок. Най...

Русский

2013-07-11

434.5 KB

33 чел.

Лекция 8

Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма. Спектр, стационарные состояния, разложения по собственным функциям гамильтониана, средние

Пусть потенциальная энергия частицы равна

(бесконечно глубокая потенциальная яма шириной , см. рисунок). Найдем собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона этой частицы.

Так как в областях  потенциальная энергия обращается в бесконечность, потребуем, чтобы при этих значениях координат волновая функция обращалась бы в нуль (в противном случае средняя потенциальная энергия частицы равнялась бы бесконечности). Далее, так как согласно постулатам квантовой механики волновая функция непрерывна, то в точках  и  волновая функция также равна нулю. Поэтому для нахождения волновых функций и энергий стационарных состояний необходимо решить уравнение

     (1)

в области  с граничными условиями  и .

Как было доказано на предыдущей лекции, все собственные значения должны быть больше минимального значения потенциала, поэтому будем решать уравнение (1) при .

Линейно независимыми частными решениями уравнения (1) при  являются функции  и , где . Поэтому общее решение уравнения (1) имеет вид

     (2)

Из граничного условия при  находим . Из второго граничного условия получаем , то есть либо , либо

,          .       (3)

Первое условие приводит к нулевому решению. Таким образом, ненулевые непрерывные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям, существуют только при значениях , при которых выполнено условие (3), из которого находим

,      (5)

Энергии (5) и являются собственными значениями оператора Гамильтона и согласно постулатам квантовой механики являются возможными наблюдаемыми значениями энергии частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме. Собственной функцией, отвечающей собственному значению , является функция

    (6)

где

Как и должно быть, постоянная  осталась неопределенной. Она может быть определена из условия нормировки. Легко проверить, что функции

     (7)

нормированы на единицу. Отметим, что эти функции не обладают определенной четностью, несмотря на то, что , поскольку при значениях координат, лежащих вне ямы, все собственные функции равны нулю. Однако если бы яма была расположена симметрично относительно начала координат, то волновые функции стационарных состояний обладали бы определенной четностью. Действительно, в этом случае собственные функции можно получить из (7) с помощью сдвига их аргумента на

 

Знание спектра собственных значений и собственных функций частицы в потенциальной яме позволяет согласно постулатам квантовой механики отвечать на вопросы о возможных значениях энергии частицы в тех или иных состояниях и их вероятностях. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть, например, частица в яме в момент времени  имеет волновую функцию

    (8)

(где  - постоянная). Что можно сказать о результатах измерения энергии частицы в момент времени ? Какой будет средняя энергия частицы как функция времени?

Согласно основным принципам квантовой механики для ответа на вопросы такого рода нужно разложить волновую функцию частицы по собственным функциям оператора Гамильтона. Пользуясь известной тригонометрической формулой, представим начальную волновую функцию частицы в виде

    (9)

Формула (9) представляет собой разложение начальной волновой функции по собственным функциям оператора Гамильтона, в котором, таким образом, с равными весами представлены только третья и тринадцатая собственные функции; коэффициенты перед остальными собственными функциями равны нулю. Это значит, что измерения энергии в момент времени  с равными вероятностями  дадут третье и тринадцатое

      (10)

собственные значения. Отсюда легко найти среднюю энергию частицы в этот момент

   (11)

Так как гамильтониан не зависит от времени, то вероятности различных значений энергии и средняя энергия от времени не зависят, и, следовательно, останутся такими же в любой момент времени.

Можно решать и обратные задачи – т.е. по результатам измерения энергий восстанавливать волновую функцию, а по ней находить вероятности возможных значений различных наблюдаемых и их средние значения. Например.

Энергия частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, может принимать два значения

    и           (12)

с вероятностями  и  соответственно. Будет ли среднее значение координаты частицы  в этом состоянии зависеть от времени?

Будем рассуждать так. Поскольку гамильтониан частицы не зависит от времени, общее решение временного уравнения Шредингера имеет вид

     (13)

где  и  - собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона,  - произвольные постоянные. Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия частицы может принимать два значения  и , то в сумме (1) присутствуют  два слагаемых, отвечающие первому и третьему собственным состояниям, а остальные коэффициенты  равны нулю. То есть волновая функция частицы в любые моменты времени имеет вид

    (14)

где , . (Отметим, что по данным условия волновая функция восстанавливается неоднозначно, поскольку не определяется фазовые множители у коэффициентов  и . Тем не менее, эта неоднозначность не помешает однозначно ответить на вопрос задачи). Состояние (14) не является стационарным, поэтому средние значения физических величин в этом состоянии, вообще говоря, зависят от времени. Среднее значение координаты частицы в состоянии (14) можно найти по квантовомеханической формуле для средних

 (15)

(в (15) использована действительность собственных функций). Интегралы в первом и втором слагаемом определяют среднее значение координаты в первом и третьем стационарных состояниях и, следовательно, равны  (это утверждение проверяется с помощью непосредственного вычисления интегралов с использованием собственных функций ). Так как волновые функции стационарных состояний  и  четны относительно середины ямы и ортогональны, то интегралы в третьем и четвертом слагаемом равны нулю. Учитывая, что , получим из (3)

      (16)

То есть среднее значение координаты в данном нестационарном состоянии не зависит от времени. Однако, если бы в разложении начальной волновой функции частицы по собственным функциям гамильтониана содержались бы слагаемые, отвечающие как четным, так и нечетным стационарным состояниям, перекрестные слагаемые в равенстве (15) не обращались бы в нуль и среднее значение координаты частицы зависело бы от времени.

Рассмотрим еще один пример. Пусть волновая функция частица в яме в момент времени  имеет вид

    (17)

Какие значения энергии можно получить при измерениях?

Разложим волновую функцию (17) по собственным функциям Гамильтониана

          (18)

где  - коэффициенты разложения, которые согласно основным принципам квантовой механики и определяют вероятности различных значений энергии. Поскольку собственные функции  - ортонормированны, коэффициенты  можно найти, умножая равенство (18) на собственную функцию и интегрируя

     (19)

Поскольку волновая функция частицы – четна относительно центра ямы (это парабола, обращающаяся в нуль на границах ямы), функции  - четны для нечетных номеров, и нечетны для четных, то интеграл (19) будет отличен от нуля только для нечетных номеров. Следовательно, при измерении энергии в рассматриваемом состоянии можно обнаружить первое (отвечающее основному состоянию), третье, пятое, седьмое и т.д. собственные значения. Второе, четвертое, шестое и т.д. собственные значения при измерениях в рассматриваемом состоянии невозможно.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30722. «Новый курс» Результата и его историческое значение 24.5 KB
  Его основная цель состояла в оздоровлении экономики и восстановления доверия граждан к государству. Политика Рузвельта получила название Новый курс который он восстановил государственное регулирование экономики и социальных отношений. Законом об оздоровлении национальной экономики вся промышленность была разделена на 17 групп по отраслям и регулировалась нормативными актами кодексами чести определявшими объем выпуска товаров уровня заработной платы распределение рынков сбыта продолжительность рабочего времени и др....
30723. Эволюция и крах бюрократических режимов в стране ЦЮВЕ 26.5 KB
  было сформировано коалиционное правительство в ГДР. Чехословакия и ГДР несколько условно могут быть отнесены к государствам с довольно высоким уровнем развития Польша Венгрия Хорватия и Словения страны среднего развития а Болгария Румыния четыре другие республики бывшей Югославии Сербия Черногория Македония Босния и Герцеговина Албания низкого. По решению парламентов ГДР и ФРГ с 1 июля 1990 г. ГДР прекратила свое существование вместо нее появились пять новых федеральных земель ФРГ.
30724. Изоляционизм США термин использовавшийся с середины 19 в. 25 KB
  Изоляционизм США термин использовавшийся с середины 19 в. для обозначения направления во внешней политике США в основе которого лежит идея невмешательства в европейские дела и вообще в вооруженные конфликты вне американского континента. складывались под влиянием ряда факторов: географическая обособленность Американского континента создание в США ёмкого внутреннего рынка способствовавшего тому что значительная часть буржуазии мало интересовалась заокеанской экспансией расширение за счет др.
30725. Великобритания выбор новой модели развития в условиях кризиса и распада колониальной империи 28.5 KB
  Черчилль предложил емкую формулировку такого мировидения концепцию трех великих кругов центром пересечения которых считалась Британия. Чем глубже пускала корни биполярная система мира тем активнее Британия искала себе место в условиях противостояния двух сверхдержав. в 19401950е годы Британия все еще ощущала себя империей однородным государством и державой глобального масштаба.
30726. Ялтинская и Потсдамская конференции глав правительств СССР, США и Великобритании. (1945) 22.5 KB
  Участвовали: Сталин СССР Черчилль Великобритания Рузвельт США. Основные решения: 1 Германия делилась на 4 оккупационные зоны СССР Франция Англия США. 3 Согласия СССР вступить в войну с Японией через 3 месяца после капитуляции Германии.
30727. Кризис неолиберализма в США. Переход к неконсервативной модели развития ГМК 26 KB
  Главный замысел неолиберализма снижение регулирующей роли государства в экономике При общем экономическом подъеме неолиберальный курс обусловил неустойчивость и нестабильность развития США Причиной экономического роста в США стали специфические внутренние и внешние факторы конца ХХ в. Экономическое развитие США последнего десятилетия окончательно подтверждает: неолиберальная перестройка это путь к строительству эффективной капиталистической экономики. Неолиберальный режим вызвал крайне нестабильный экономический рост в США в 90е...
30728. Политика «невмешательства» (1935 – 1937 гг.). Мюнхенское соглашение 1938 г. и его значение для судеб мира 24.5 KB
  СССР готово было прийти на помощь Чехословакии в 1935 г у СССР и Чехословакии был договор о взаимопомощи при поддержке Франции у которой с СССР был такой же договор. Но французское правительство не поддержало СССР т. Попытки англофранцузской дипломатии умиротворить нацистов без участи СССР оказались тщетными и тогда Англия и Франция вынуждены были предоставить гарантии безопасности возможным жертвам агрессии Польше Румынии Греции и начали секретные переговоры с Советским союзом. провалились изза недоверия...
30729. Внутренняя политика британских консерваторов в 1930-е гг 23 KB
  Консерваторы выдвигали идею отказа от свободной торговли и перехода к политике протекционизма поддержка национальной экономики и защита от иностранных конкурентов требовали активизаций колониальной политики беспомощного подавления национальноосвободительного движения ирландского народа. В период утверждения капитализма на Западе консерваторы противостояли либерализму и социализму они то приходили к власти то теряли ее. Консерваторы же упорно настаивали на своих методах регулирования экономики основываясь на рыночных отношениях и в...
30730. Причины, основные этапы и итоги гражданской войны в Испании (1936 – 1939) 25.5 KB
  в Испании на всеобщих выборах побеждают левые силы партия Народный фронт республиканцы коммунисты которые возобновили аграрную реформу амнистируют политических заключенных поощряют требования забастовщиков снижение налогов и т. испанские войска в Марокко колония Испании под командованием генерала Франко против республики Народного Фронта. мятеж с колонии перекидывается на территорию Испании Франко поддерживают сухопутные войска.