19026

Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма. Спектр, стационарные состоя-ния, разложения по собственным функциям гамильтониана, средние

Лекция

Физика

Лекция 8 Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма. Спектр стационарные состояния разложения по собственным функциям гамильтониана средние Пусть потенциальная энергия частицы равна бесконечно глубокая потенциальная яма шириной см. рисунок. Най...

Русский

2013-07-11

434.5 KB

32 чел.

Лекция 8

Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма. Спектр, стационарные состояния, разложения по собственным функциям гамильтониана, средние

Пусть потенциальная энергия частицы равна

(бесконечно глубокая потенциальная яма шириной , см. рисунок). Найдем собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона этой частицы.

Так как в областях  потенциальная энергия обращается в бесконечность, потребуем, чтобы при этих значениях координат волновая функция обращалась бы в нуль (в противном случае средняя потенциальная энергия частицы равнялась бы бесконечности). Далее, так как согласно постулатам квантовой механики волновая функция непрерывна, то в точках  и  волновая функция также равна нулю. Поэтому для нахождения волновых функций и энергий стационарных состояний необходимо решить уравнение

     (1)

в области  с граничными условиями  и .

Как было доказано на предыдущей лекции, все собственные значения должны быть больше минимального значения потенциала, поэтому будем решать уравнение (1) при .

Линейно независимыми частными решениями уравнения (1) при  являются функции  и , где . Поэтому общее решение уравнения (1) имеет вид

     (2)

Из граничного условия при  находим . Из второго граничного условия получаем , то есть либо , либо

,          .       (3)

Первое условие приводит к нулевому решению. Таким образом, ненулевые непрерывные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям, существуют только при значениях , при которых выполнено условие (3), из которого находим

,      (5)

Энергии (5) и являются собственными значениями оператора Гамильтона и согласно постулатам квантовой механики являются возможными наблюдаемыми значениями энергии частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме. Собственной функцией, отвечающей собственному значению , является функция

    (6)

где

Как и должно быть, постоянная  осталась неопределенной. Она может быть определена из условия нормировки. Легко проверить, что функции

     (7)

нормированы на единицу. Отметим, что эти функции не обладают определенной четностью, несмотря на то, что , поскольку при значениях координат, лежащих вне ямы, все собственные функции равны нулю. Однако если бы яма была расположена симметрично относительно начала координат, то волновые функции стационарных состояний обладали бы определенной четностью. Действительно, в этом случае собственные функции можно получить из (7) с помощью сдвига их аргумента на

 

Знание спектра собственных значений и собственных функций частицы в потенциальной яме позволяет согласно постулатам квантовой механики отвечать на вопросы о возможных значениях энергии частицы в тех или иных состояниях и их вероятностях. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть, например, частица в яме в момент времени  имеет волновую функцию

    (8)

(где  - постоянная). Что можно сказать о результатах измерения энергии частицы в момент времени ? Какой будет средняя энергия частицы как функция времени?

Согласно основным принципам квантовой механики для ответа на вопросы такого рода нужно разложить волновую функцию частицы по собственным функциям оператора Гамильтона. Пользуясь известной тригонометрической формулой, представим начальную волновую функцию частицы в виде

    (9)

Формула (9) представляет собой разложение начальной волновой функции по собственным функциям оператора Гамильтона, в котором, таким образом, с равными весами представлены только третья и тринадцатая собственные функции; коэффициенты перед остальными собственными функциями равны нулю. Это значит, что измерения энергии в момент времени  с равными вероятностями  дадут третье и тринадцатое

      (10)

собственные значения. Отсюда легко найти среднюю энергию частицы в этот момент

   (11)

Так как гамильтониан не зависит от времени, то вероятности различных значений энергии и средняя энергия от времени не зависят, и, следовательно, останутся такими же в любой момент времени.

Можно решать и обратные задачи – т.е. по результатам измерения энергий восстанавливать волновую функцию, а по ней находить вероятности возможных значений различных наблюдаемых и их средние значения. Например.

Энергия частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, может принимать два значения

    и           (12)

с вероятностями  и  соответственно. Будет ли среднее значение координаты частицы  в этом состоянии зависеть от времени?

Будем рассуждать так. Поскольку гамильтониан частицы не зависит от времени, общее решение временного уравнения Шредингера имеет вид

     (13)

где  и  - собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона,  - произвольные постоянные. Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия частицы может принимать два значения  и , то в сумме (1) присутствуют  два слагаемых, отвечающие первому и третьему собственным состояниям, а остальные коэффициенты  равны нулю. То есть волновая функция частицы в любые моменты времени имеет вид

    (14)

где , . (Отметим, что по данным условия волновая функция восстанавливается неоднозначно, поскольку не определяется фазовые множители у коэффициентов  и . Тем не менее, эта неоднозначность не помешает однозначно ответить на вопрос задачи). Состояние (14) не является стационарным, поэтому средние значения физических величин в этом состоянии, вообще говоря, зависят от времени. Среднее значение координаты частицы в состоянии (14) можно найти по квантовомеханической формуле для средних

 (15)

(в (15) использована действительность собственных функций). Интегралы в первом и втором слагаемом определяют среднее значение координаты в первом и третьем стационарных состояниях и, следовательно, равны  (это утверждение проверяется с помощью непосредственного вычисления интегралов с использованием собственных функций ). Так как волновые функции стационарных состояний  и  четны относительно середины ямы и ортогональны, то интегралы в третьем и четвертом слагаемом равны нулю. Учитывая, что , получим из (3)

      (16)

То есть среднее значение координаты в данном нестационарном состоянии не зависит от времени. Однако, если бы в разложении начальной волновой функции частицы по собственным функциям гамильтониана содержались бы слагаемые, отвечающие как четным, так и нечетным стационарным состояниям, перекрестные слагаемые в равенстве (15) не обращались бы в нуль и среднее значение координаты частицы зависело бы от времени.

Рассмотрим еще один пример. Пусть волновая функция частица в яме в момент времени  имеет вид

    (17)

Какие значения энергии можно получить при измерениях?

Разложим волновую функцию (17) по собственным функциям Гамильтониана

          (18)

где  - коэффициенты разложения, которые согласно основным принципам квантовой механики и определяют вероятности различных значений энергии. Поскольку собственные функции  - ортонормированны, коэффициенты  можно найти, умножая равенство (18) на собственную функцию и интегрируя

     (19)

Поскольку волновая функция частицы – четна относительно центра ямы (это парабола, обращающаяся в нуль на границах ямы), функции  - четны для нечетных номеров, и нечетны для четных, то интеграл (19) будет отличен от нуля только для нечетных номеров. Следовательно, при измерении энергии в рассматриваемом состоянии можно обнаружить первое (отвечающее основному состоянию), третье, пятое, седьмое и т.д. собственные значения. Второе, четвертое, шестое и т.д. собственные значения при измерениях в рассматриваемом состоянии невозможно.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32119. La metaphore. Se base sur le transfert de la nomination d’un referent sur l’autre liee au premier par la ressemblensce. C’est une comparaison en raccourci 12.18 KB
  On distingue : L metp 3 termes : vous netes quune pie bevrde 2 termes : le desert une mer de sble un terme : mon oiseux u point de vue grmmt les met puvent etre nominles Mon beu nvire o m memoire verble lombre violente des touffes de giroflee eclboussit le mur rugueux. djectivlemon esprit mer dverbileJi quitee Mdrid prcournt philosophiquement les des Cstilles L semntique des imges on distingue : l met sptile Une mer de sble nthropomorphique quel princesse nimlomorphique : Le troupeuconcret de ponts...
32120. La metonimie et ses variantes, la synecdoque et l’antonomase sont des figures basees sur la contiguitee(sur le rapport de voisinage, d’interdependance) et ne depend pas de la vision personnele de l’auteur 11.84 KB
  Types de metonimies : on prend le contennt pour le contenu et vice vers : boire une bouteille=boisson on prend le producteur pour le produit : un beu Millet=tbleu on prend le lieu dorigine pour le produit : un bordeuxvin fbriquee Bordeux on prend l consequence pour l cuse et vicevers : ce trvil est remrqubleresultt On prend le concret pour lbstrit : l botteloppression l tyrnnie On prend l qulitee pour le porteur de cette qulitee :l bontee memeune femme tres bonne On prend le tout pour l prtie et...
32122. le style fonctionnele, theorie des souslangues 12.59 KB
  En fonction des fcteurs susmentionnes on distingue trditionnement les style suivnts: prle communiction quotidienne scientifique science officiel ffiresdroit publiciste Politique Style des belleslettres rts et litterture L theorie de souslngues.notion de discours les recherces dns le domine de l differencition slylistique de l lngue ont demontre que l theorie des styles fonct.ne decrit ps l lngue d'une mniere exhustive; elle ne met ps en vleur que des phenomenes âcentruxâ Chque souslngues comprend trois types...
32124. les traits specifiques du francais parle 26.5 KB
  Par le terme modalité on désigne les rapports qui existent entre le fait énoncé et la réalité ainsi que lattitude du sujet parlant envers ce fait. Pour traduire la modalité, le français dispose de moyens multiples qui relèvent de la grammaire, du lexique et de la phonétique
32125. Les notions principales de la sience sont apparues dans l’Antiquité 11.67 KB
  Les notions principles de l sience sont pprues dns lntiquité. Plusieurs procédés de style décrit pr les nciens ont grdé leurs noms grecs : tropes métphore métonymie etc. les etudes des svnts du Moyen ge ont pprofondi les idees des nciens mis un grnd essort est du ux linguistes des 1617 siecles qui ont posé le problème de l norme cthegorie neuve pour les etudes linguistiques. l linguistique connu un nouvel essor vec les trvux dHumbolt et de Sussure lopposition entre l lngue et l prole fit ressurgir le problème du style.
32126. la problematique de cette science est riche ce qui s’explique par le parcours assez long qu’elle a suivi avant de retrouver son autonomie 11.47 KB
  On peut essyer de controler les definitions de lobjet detude de l stylistique proposes pr des uteurs de mnuels : on ur chque fois une definition prticuliere. Les stylisticiens estimeent que cette science étudie les styles de l lngue les procédés expressifs propres ux unités linguistiques les styles des oeuvres littérires publicistes scintifiques et utres ; les prticulrités expressifs des styles fonctionnels. Guirud lobjet detudes de l stylistique est exprime comme c L tâche de l stque est de reconnître de décrire de définir et de...