19027

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение в виде ряда)

Лекция

Физика

Лекция 9 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции решение в виде ряда Одномерным гармоническим осциллятором называется частица движущаяся в потенциале где масса частицы число имеющее размерность сек1 в случае классического движения ча

Русский

2013-07-11

615.5 KB

39 чел.

Лекция 9

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение в виде ряда)

Одномерным гармоническим осциллятором называется частица, движущаяся в потенциале , где  - масса частицы,  - число, имеющее размерность сек-1 (в случае классического движения частицы в указанном потенциале величина  имела бы смысл круговой частота колебаний частицы). Найдем волновые функции и энергии стационарных состояний осциллятора.

Стационарное уравнение Шредингера для осциллятора имеет вид

    (1)

От координаты  и энергии  перейдем к безразмерным переменным  и , используя величины

 и       (2)

имеющие размерности длины и энергии соответственно:

 

В новых переменных уравнение Шредингера (1) принимает вид

     (3)

Необходимо найти такие значения  (и, следовательно, ), при которых уравнение (3) имеет конечные при всех  решения и сами эти решения. Перейдем к новой неизвестной функции :

     (4)

Подставляя это выражение в (3), получим уравнение для неизвестной функции :

    (5)

Ищем решение уравнения (5) в виде степенного ряда

     (6)

где  - неизвестные коэффициенты. Подставляя ряд (6) в уравнение (5), получим

   (7)

Меняя в первом слагаемом индекс суммирования  и собирая одинаковые степени , найдем рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (6)

    (8)

Таким образом, чтобы ряд (6) определял решение уравнения (5) его коэффициенты должны быть связаны рекуррентным соотношением (8). При этом, поскольку соотношение (8) связывает  и , оно связывает отдельно четные и нечетные коэффициенты. Поэтому  и  могут быть выбраны произвольно (заметим, что отсюда следует, что ряд (6), (8) определяет общее решение уравнения (3)). В частности, ряды с  и  (то есть ряд по четным степеням ) и  и  (то есть ряд по нечетным степеням) определяют два линейно независимых частных решения уравнения (5)).

Чтобы понять, какой функции отвечает ряд Тейлора (6), (8), рассмотрим соотношение (8) при больших . Для больших  рекуррентное соотношение (8) имеет вид (мы пренебрегли числами порядка единицы по сравнению с большим ):

     (9)

Соотношение (9) для четных индексов отвечает разложению в ряд Тейлора функции  и  - для нечетных. Это значит, что при больших  (при которых сумма ряда (5) определяется слагаемыми c большими ) оба частных решения уравнения (5) содержат экспоненту . Поэтому соответствующие частные решения уравнения (1)  расходятся при .

Однако при некоторых значениях энергии ряд (6) обрывается, и все коэффициенты, начиная с некоторого, равны нулю. Действительно, из (7) следует, что если , где  - любое целое неотрицательное число (или ), то коэффициент  обращается в нуль. Очевидно, в этом случае будут равны нулю и коэффициенты , , ... . Поэтому в этом случае ряд (6) содержит конечное число слагаемых той же четности, что и слагаемое .. Таким образом, если , то одно из частных решений уравнения (5) сводится к многочлену определенной четности, а не к функции , и, следовательно, соответствующее частное решение уравнения (1), , является ограниченной функцией при всех значениях координат. Следовательно, указанные  и  являются собственными значениями и собственными функциями уравнения (1).

Найдем явно несколько первых решений. При  (), обрыв ряда происходит при переходе от нулевого коэффициента ко второму. То есть в этом случае коэффициент . Ряд же по нечетным степеням  при таком значении  не обрывается, и потому его нужно сделать равным нулю, взяв коэффициент . Поэтому функция  в этом случае - многочлен нулевой степени. Таким образом, значение  - минимальное собственное значение, которому отвечает собственная функция

    (10)

Следующее значение энергии, при котором происходит обрыв ряда (6)  (). В этом случае обращается в нуль коэффициент . Ряд по четным степеням  надо сделать тождественно равным нулю, выбрав . Таким образом,

      (11)

Аналогично из соотношения (8) найдем

     (12)

и т.д.

Отметим, что из приведенных выше рассуждений буквально не следует, что перечисленные собственные решения исчерпывают все собственные значения и собственные функции уравнения (1). Действительно, так как линейная комбинация двух неограниченно возрастающих функций может, вообще говоря, расходиться гораздо медленнее каждой функции, то можно было бы ожидать, что при некоторых значениях  определенная линейная комбинация четного и нечетного частных решений уравнения (4) будет расходится медленнее, чем , и, следовательно, такие значения  будут собственными значениями уравнения (1). Это, однако, невозможно одновременно как на , так и на . Предлагаем слушателям доказать это утверждение самостоятельно при домашней подготовке к следующей лекции.

Таким образом, собственные значения и собственные функции осциллятора имеют вид

    (13)

где  - многочлены -ой степени, которые называются полиномами Эрмита. При принятой в математике нормировке полиномы Эрмита отличаются множителями от многочленов (10)-(12), а постоянные  равны

     (15)

Как следует из проведенного выше вывода, полиномы Эрмита с четными индексами содержат только четные степени , с нечетными - нечетные. Это значит, что собственные функции, отвечающие четным уровням энергии (нулевому, второму и т.д.) являются четными функциями координаты, нечетным уровням (первому, третьему и т.д.) - нечетными. Этот вывод согласуется с общим утверждением о четности собственных функций оператора Гамильтона в случае четной потенциальной энергии.

Приведем в заключение несколько нормированных собственных функций одномерного гармонического осциллятора

    (16)

    (17)

   (18)

Знание собственных значений и собственных функций гамильтониана гармонического осциллятора (13) позволяет находить вероятности различных значений энергии осциллятора и его среднюю энергию в любых состояниях, а также строить все возможные волновые функции осциллятора в любые моменты времени. Например. Пусть в момент времени  нормированная волновая функция гармонического осциллятора имеет вид

    (19)

Какие значения может принимать энергия осциллятора в последующие моменты времени и с какими вероятностями? Найти среднюю энергию гармонического осциллятора как функцию времени. Какова средняя четность указанного состояния осциллятора? Как средняя четность зависит от времени?

Поскольку потенциальная энергия не зависит от времени, вероятности различных значений энергии осциллятора в любом состоянии не зависят от времени. Поэтому достаточно вычислить вероятности различных значений энергии и среднюю энергию осциллятора в момент времени . Чтобы найти эти величины для осциллятора в рассматриваемом состоянии разложим начальную волновую функцию этого состояния по собственным функциям оператора Гамильтона для гармонического осциллятора. Так как данная в условии задачи волновая функция представляет собой произведение многочлена второй степени на , то в разложении могут быть представлены только нулевая, первая и вторая собственные функции гамильтониана осциллятора. Используя явные выражения для трех первых собственных функций осциллятора (16)-(18), легко найти

   (20)

Поэтому энергия осциллятора, находящегося в рассматриваемом состоянии может принимать значения ,  и  с вероятностями , , .. Среднюю энергию осциллятора найдем по формуле теории вероятностей для математического ожидания

     (21)

Так как собственные функции оператора Гамильтона  и  являются четными, то они являются и собственными функциями оператора четности, отвечающими собственному значению ,  - собственной функцией оператора четности, отвечающей собственному значению . Поэтому вероятность обнаружить четность рассматриваемого состояния осциллятора, равную +1, есть , равную -1, - . Отсюда найдем, что средняя четность рассматриваемого состояния равна

      (22)

Разумеется, вычисление средней четности данного состояния по квантовомеханической формуле приводит к тому же результату. Предоставляем слушателям самостоятельно в этом убедиться. Вероятности различных значений четности и средняя четность от времени не зависят, так как оператор Гамильтона и оператор четности коммутируют.

В том, что средняя четность не зависит от времени можно убедиться и непосредственно. Для этого нужно построить волновую функцию осциллятора в любые моменты времени по начальной волновой функции (20) (используя формулу для общего решения временного уравнения Шредингера) а затем вычислить среднюю четность по квантовомеханической формуле для средних. Предлагаем слушателям проделать эти вычисления самостоятельно.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74328. Линейная арматура ВЛ 69 KB
  Поддерживающие зажимы применяют для подвески и закрепления проводов ВЛ на промежуточных опорах с ограниченной жесткостью заделки рис. На анкерных опорах для жесткого крепления проводов используют натяжные гирлянды и зажимы натяжные и клиновые рис. Поддерживающая гирлянда рис.
74329. Кабельные линии (КЛ) эл.передачи. типы кабелей, виды кабельной канализации 34 KB
  Кабельная линия КЛ линия для передачи электроэнергии состоящая из одного или нескольких параллельных кабелей выполненная каким-либо способом прокладки. При этом концы жил кабелей освобождают от изоляции и заделывают в соединительные зажимы. На концах кабелей применяют концевые муфты или концевые заделки.
74330. Токопроводы, шинопроводы и внутренние проводки 32 KB
  Токопроводы шинопроводы и внутренние проводки Токопроводом называют линию электропередачи токоведущие части которой выполнены из одного или нескольких жестко закрепленных алюминиевых или медных проводов или шин и относящихся к ним поддерживающих и опорных конструкций и изоляторов защитных оболочек коробов.
74331. Характеристика передачи ЭЭ переменным током 47.5 KB
  Поэтому повышение напряжения при токах в несколько тысяч ампер возможно только с помощью явления электромагнитной индукции и трансформаторов что создает возможность для последующей эффективной передачи электроэнергии переменным током. Потребление электроэнергии производится на относительно низком напряжения сотни тысячи вольт. Доставка ЭЭ от электростанции к электроприемникам в общем случае осуществляется сетями различного класса номинального напряжения т. представлена принципиальная упрощенная схема передачи и распределения ЭЭ...
74332. Характерные значения удельных (погонных) параметров схем замещения и электрических режимов воздушных и кабельных линий электропередачи и соотношения между ними 496 KB
  Волновые параметры реальной линии волновое сопротивление ZB и коэффициент распространения волны γо определяются через ее удельные погонные отнесенные к 1 км параметры: где β0 коэффициент затухания α0 коэффициент изменения фазы фазовый угол. Удобно определять параметры Побразной схемы замещения линии через удельные погонные сопротивления Zo=RojX0 Ом км и проводимости Yo=g0jb0 См км. При этом равномерную распределенность параметров линии по длине учитывают приближенно с помощью поправочных коэффициентов по формулам Z...
74333. Двухобмоточные силовые тр-ры. Виды, условные обозначения, принципиальные сх., сх. замещения. Моделирование трансформаторов и определение параметров сх. замещения 224 KB
  замещения. замещения. Установим связь схемы замещения трансформатора с его реальными схемнорежимными параметрами. Эта схема в которой магнитная связь между обмотками заменена электрической называется схемой замещения трансформатора.
74334. Понятие пропускной способности электропередачи, факторы её определяющие 32 KB
  Второе ограничение связано с риском нарушения синхронной работы генератора при повышении нагрузки на которых возникает условие для выхода из синхронизма. Это ограничение чаще практикуется по статической устойчивости. При некоторой меньшей длине активным ограничение будет являться ограничение по нагреванию. Заметим что ограничение по нагреванию не зависит от длины ЛЭП.
74335. Компактные, компенсированные электропередачи переменного тока 66 KB
  Компактные компенсированные электропередачи переменного тока. В основу конструкций перспективных компактных воздушных линий электропередач разработанных в нашей стране положена простая идея. Образцы таких распорок уже созданы и составлены проекты будущих компактных воздушных линий электропередач рис. В скобках показаны для сравнения расстояния между фазами для обычных воздушных линий электропередач Расчеты показали что при меньших по сравнению с обычными воздушными линиями электропередач размерами компактные воздушные линии электропередач...
74336. Моделирование (представление) эл нагрузок при расчете рабочих режимов эл.передач и эл.сетей 114.5 KB
  Активные элементы схем замещения электрических сетей и систем нагрузки и генераторы представляются в виде линейных или нелинейных источников. Способы задания нагрузок при расчетах режимов: а постоянный по модулю и фазе ток; б постоянная по модулю мощность; вгпостоянные проводимость или сопротивление; дстатические характеристики нагрузки по напряжению; еслучайный ток Нагрузка задается постоянным по модулю и фазе током рис.Такая форма представления нагрузки принимается при всех расчетах распределительных сетей низкого напряжения...