19028

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Лекция

Физика

Лекция 10 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции решение с помощью операторов рождения и уничтожения Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Вопервых этот способ и сам по себе поучительный а вовторых ...

Русский

2013-07-11

1.04 MB

19 чел.

Лекция 10

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

  (1)

Уравнение на собственные значения имеет обычный вид:

  (2)

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

Разделим уравнение на  и введем следующие безразмерные величины:

  (3)

в координатном представлении:

  (4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

 (5)

 (6)

Операторы  и  - эрмитовы. Введём неэрмитовые операторы:

 (7)

 (8)

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Рассмотрим коммутационные соотношения:

 (9)

Поэтому из определений операторов и предыдущего равенства следует:

 (10)

Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы  выразить через  и :

 (11)

 (12)

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, получим:

 (13)

Возьмём произвольное состояние  и найдем среднее значение гамильтониана в этом состоянии:

  (14)

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

  (15)

Если мы возьмём состояние , такое что:

  (16)

то это состояние - собственное состояние гамильтониана , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию  можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по ). В состоянии  величина  принимает наименьшее значение. Из (13), (16) получим

  (17)

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

  (18)

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

  (19)

Далее. Пусть  - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собственному значению . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора  на функцию  

  (20)

также является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем  (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

 (21)

оператором . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамильтона через  и  (13), получим

 

 (22)

Формула (22) и означает, что . По этой причине оператор  называется оператором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

 (23)

то есть оператор  является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения  начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе шагов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию  и собственному значению:

 (24)

или 

 (25)

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

  (26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств оператора :

 (27)

Тогда

 (28)

 (29)

 

  (30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния  

  (31)

Используя явное выражение для понижающего оператора

  (32)

получаем из уравнения (31):

  (33)

Интегрируя это уравнение, получим:

  (34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волновые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора  находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

  (35)

где, как это легко видеть из (34),  - некоторый многочлен степени , который называется полином Эрмита. 

Так как в  безразмерные операторы импульса и координаты входят симметрично, то в импульсном представлении волновая функция имеет подобное (35) выражение:

  (36)

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

  (37)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49490. Расчет компаратора для однополярных напряжений с гистерезисной характеристикой 1.4 MB
  Сравниваемые напряжения подаются на оба входа одновременно. В исходном состоянии Uх = 0 поэтому состояние выхода схемы определяется Uоп , т.е. получаем высокий уровень в точке С и низкий уровень на выходе схемы. Потенциал точки В будет равен потенциалу верхней точки срабатывания (считая, что операционный усилитель (ОУ) идеальный)
49491. Расчет компаратора для однополярных напряжений с гистерезисной характеристикой 89.5 KB
  Выбор и анализ схемы. Принцип работы схемы. Расчет схемы. Выбор и анализ схемы Выбор ОУ производился исходя из значений Tокр.
49492. Проект ОКС 7 на ГТС с УВС 1.27 MB
  Список всех возможных нормальных сигнальных маршрутов сети ОКС для каждой пары пунктов сигнализации ПСi ПСj формируется по следующим правилам: нормальный маршрут должен быть либо прямым без транзитов либо если прямых маршрутов нет проходить через минимальное число транзитных пунктов STP SP STP. телефонным Указатель выбранных нормальных маршрутов Исх i Вхд j...
49493. Vетоды проектирования линейной части цифровой волоконно-оптической системы передачи данных 1.3 MB
  Разработана линейная часть волоконнооптической системы передачи данных со следующими параметрами: а число каналов 4320 288 из них не заняты; б рабочая длины волны 1310 мкм; в протяженностью трассы 612 км; г метод прокладки: подвес вдоль ж д; д минимальный энергетический запас 4 дБ; е компенсация дисперсии на трассе не требуется; ж оптическое волокно марки OFS llWve; з марка кабеля ОФС ДТ 865 8; и семь регенерационных пунктов; к избыточностью системы 67; л стоимостью каналокилометра: ; м коэффициентом готовности 0. Так...
49495. Определение в планируемом периоде количества ТО и КР 287.5 KB
  Каждому типу машин присуще свое определенное распределение трудоемкости по видам работ. Удельный вес видов работ в общем, объеме трудоемкость остается без существенных изменений, несмотря на совершенствование технологии ремонта и снижение общих трудозатрат на ремонт машин данного типа.
49496. Разработка стенда для диагностирования системы охлаждения 1.15 MB
  Ремонтно-механические мастерские, как правило, работают в одну смену, и только при большой загрузке и в целях лучшего использования дорогостоящего оборудования механические отделения и некоторые другие участки иногда работают в две смены.
49497. Проект ОКС 7 на ГТС с УВС и УИС 717 KB
  ОКС7 предоставляет универсальную структуру для организации сигнализации сообщений сетевого взаимодействия и технического обслуживания телефонной сети. SS5 и более ранние версии использовали принцип сигнализации в линии где информация необходимая для соединения передавалась специальными тонами DTMF в телефонной линии известной как Bканал. Такой тип сигнализации создавал уязвимость в безопасности протокола поскольку злоумышленник мог эмулировать набор служебных...
49498. Система автоматического регулирования частоты вращения ДПТ 857 KB
  Область применения системы. Принцип работы системы. Передаточные функции системы. Анализ структурной устойчивости САР 20 Коэффициент усиления системы в разомкнутом состоянии.