19028

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Лекция

Физика

Лекция 10 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции решение с помощью операторов рождения и уничтожения Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Вопервых этот способ и сам по себе поучительный а вовторых ...

Русский

2013-07-11

1.04 MB

19 чел.

Лекция 10

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

  (1)

Уравнение на собственные значения имеет обычный вид:

  (2)

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

Разделим уравнение на  и введем следующие безразмерные величины:

  (3)

в координатном представлении:

  (4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

 (5)

 (6)

Операторы  и  - эрмитовы. Введём неэрмитовые операторы:

 (7)

 (8)

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Рассмотрим коммутационные соотношения:

 (9)

Поэтому из определений операторов и предыдущего равенства следует:

 (10)

Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы  выразить через  и :

 (11)

 (12)

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, получим:

 (13)

Возьмём произвольное состояние  и найдем среднее значение гамильтониана в этом состоянии:

  (14)

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

  (15)

Если мы возьмём состояние , такое что:

  (16)

то это состояние - собственное состояние гамильтониана , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию  можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по ). В состоянии  величина  принимает наименьшее значение. Из (13), (16) получим

  (17)

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

  (18)

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

  (19)

Далее. Пусть  - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собственному значению . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора  на функцию  

  (20)

также является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем  (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

 (21)

оператором . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамильтона через  и  (13), получим

 

 (22)

Формула (22) и означает, что . По этой причине оператор  называется оператором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

 (23)

то есть оператор  является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения  начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе шагов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию  и собственному значению:

 (24)

или 

 (25)

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

  (26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств оператора :

 (27)

Тогда

 (28)

 (29)

 

  (30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния  

  (31)

Используя явное выражение для понижающего оператора

  (32)

получаем из уравнения (31):

  (33)

Интегрируя это уравнение, получим:

  (34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волновые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора  находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

  (35)

где, как это легко видеть из (34),  - некоторый многочлен степени , который называется полином Эрмита. 

Так как в  безразмерные операторы импульса и координаты входят симметрично, то в импульсном представлении волновая функция имеет подобное (35) выражение:

  (36)

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

  (37)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39407. Статистика Методические указания по выполнению курсовой работы 2 MB
  Цель работы закрепление и углубление теоретических знаний полученных в ходе изучения курса Статистика формирование у студентов будущих специалистов обучающихся по специальности Государственное и муниципальное управление теоретических знаний и практических навыков по сбору обработке и анализу статистической информации выявление эффективных вариантов принимаемых управленческих решений развитие у студентов творческой инициативы и навыков исследовательской деятельности. Примерные темы курсовых работ Статистикоэкономический...
39408. Проектирование цифрового частотомера 840.51 KB
  В роли источника питания может выстапать гальванический элемент или аккумулятор напряжением 15 В. С помощью преобразователя напряжения это значение повышают до 5 В напряжение необходимое для стабильной работы устройства. Вход Рисунок 2 Функциональная схема В состав блока формирователя импульсного напряжения входит: входное гнездо XS1 на которе подают импульсное или переменное напряжение частоту которого нужно измерить; резисторы R1 ограничивает входной ток R2 R3 устанавливает нижний предел напряжения входного сигнала R4;...
39409. Проект полігонометрії 4 класу 192 KB
  Розграфлення система поділу топографічних карт на частини з метою одержання листів карт більш крупного масштабу. Основою для створення всіх крупно масштабних карт є карта масштабу 1:1000000. Для того щоб отримати карту масштабу 1:1000000 вся поверхня земної кулі умовно поділяється на колони через 6˚ по довготі від меридіана 180˚ та паралелями на пояси через 4˚ по широті на північ та на південь від лінії екватора. Утворення карти масштабу 1:1000000 Правило подальшого розграфлення листів топографічних карт полягає в постійному поділі листа...
39410. Геодезія, картографія та кадастр 349.5 KB
  070908 Геоінформаційні системи і технології ВСТУП Поряд з теоретичною підготовкою з курсу Організація планування і управління топографогеодезичним виробництвом і інших спеціальних дисциплін в лабораторних і індивідуальних заняттях складається курсовий проект для надбання студентами практичних навиків в плануванні і організації геодезичних робіт. Зміст технічних проектів на виконання робіт регламентується Положенням про складання технічних проектів і програм на виконання загальнодержавних топографогеодезичних і картографічних робіт та...
39411. Знімальні мережі 345.5 KB
  Мензульне і тахеометричне знімання При мензуальному або тахеометричному зніманні пункти планової знімальної мережі є одночасно пунктами висотної знімальної мережі і служать безпосередньо для встановлення на них мензули з кіпрегелем або теодоліта якими здійснюється набір пікетів для створення контурної частини плану і рельєфу місцевості. В цьому випадку пункти знімальної основи закріплюють на місцевості центрами тривалого збереження з таким розрахунком щоб на кожному планшеті було не менше трьох точок при зніманні в масштабі 1:2000...
39412. Проект робіт при оновленні топографічних карт масштабу 1:10000 515 KB
  Київський Державний Університет Будівництва та Архітектури КУРСОВИЙ ПРОЕКТ з дисципліни Організації управління і планування топографогеодезичного виробництва на тему: Проект робіт при оновленні топографічних карт масштабу 1:10000 Виконала:...
39413. Реализация и исследование быстрого алгоритма двумерного вещественного ДПФ по основанию 4 представлением данных в гиперкомплексной алгебре 294.73 KB
  Заданный алгоритм был реализован программно с помощью технологии Microsoft. NET Framework на языке программирования C++. Написанное приложение состоит из двух сборок: библиотеки классов FFT, содержащей все необходимое для вычисления ДПФ по формуле и БПФ.
39414. Реализация и исследование быстрого алгоритма двумерного вещественного ДПФ с расщеплением основания с представлением данных в алгебре кватернионов 308.5 KB
  ЗАДАНИЕ Реализация и исследование быстрого алгоритма двумерного вещественного ДПФ с расщеплением основания с представлением данных в алгебре кватернионов. Текст программы 1 Постановка задачи Нахождение спектра квадратной матрицы размера с помощью быстрого алгоритма двумерного вещественного ДПФ с расщеплением основания с представлением данных в алгебре кватернионов. Тестирование полученной реализации алгоритма ее исследование и сравнение с обычным алгоритмом двумерного ДПФ. Рассмотрим...
39415. РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ ОДНОСТУПЕНЧАТОГО ЗУБЧАТОГО РЕДУКТОРА 4.1 MB
  Проектный расчёт закрытой цилиндрической зубчатой передачи . Геометрический расчет закрытой цилиндрической передачи.5 Проверочный расчет закрытой цилиндрической передачи . Расчет открытой цилиндрической зубчатой передачи .