19028

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Лекция

Физика

Лекция 10 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции решение с помощью операторов рождения и уничтожения Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Вопервых этот способ и сам по себе поучительный а вовторых ...

Русский

2013-07-11

1.04 MB

18 чел.

Лекция 10

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

  (1)

Уравнение на собственные значения имеет обычный вид:

  (2)

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

Разделим уравнение на  и введем следующие безразмерные величины:

  (3)

в координатном представлении:

  (4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

 (5)

 (6)

Операторы  и  - эрмитовы. Введём неэрмитовые операторы:

 (7)

 (8)

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Рассмотрим коммутационные соотношения:

 (9)

Поэтому из определений операторов и предыдущего равенства следует:

 (10)

Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы  выразить через  и :

 (11)

 (12)

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, получим:

 (13)

Возьмём произвольное состояние  и найдем среднее значение гамильтониана в этом состоянии:

  (14)

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

  (15)

Если мы возьмём состояние , такое что:

  (16)

то это состояние - собственное состояние гамильтониана , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию  можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по ). В состоянии  величина  принимает наименьшее значение. Из (13), (16) получим

  (17)

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

  (18)

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

  (19)

Далее. Пусть  - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собственному значению . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора  на функцию  

  (20)

также является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем  (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

 (21)

оператором . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамильтона через  и  (13), получим

 

 (22)

Формула (22) и означает, что . По этой причине оператор  называется оператором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

 (23)

то есть оператор  является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения  начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе шагов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию  и собственному значению:

 (24)

или 

 (25)

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

  (26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств оператора :

 (27)

Тогда

 (28)

 (29)

 

  (30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния  

  (31)

Используя явное выражение для понижающего оператора

  (32)

получаем из уравнения (31):

  (33)

Интегрируя это уравнение, получим:

  (34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волновые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора  находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

  (35)

где, как это легко видеть из (34),  - некоторый многочлен степени , который называется полином Эрмита. 

Так как в  безразмерные операторы импульса и координаты входят симметрично, то в импульсном представлении волновая функция имеет подобное (35) выражение:

  (36)

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

  (37)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46095. АНАЛИЗ СВЕДЕНИЙ ИЗ ИСТОРИ ИЗУЧЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ НАРУШЕНИЙ ПИСЬМЕННОЙ РЕЧИ. СОВРЕМЕННЫЕ НАУЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБ ЭТИОЛОГИИ НАРУШЕНИЙ ПИСЬМЕННОЙ РЕЧИ 30.5 KB
  Впервые на нарушения чтения и письма как на самостоятельную патологию речевой деятельности указал А. В этот период патология чтения и письма рассматривалась как единое расстройство письменной речи. было распространено мнение что нарушение чтения и письма представляют собой одно из проявлений общего слабоумия и наблюдаются только у УО детей.Морган описал случай нарушения чтения и письма у 14летнего мальчика с нормальным интеллектом.
46096. ДИСЛЕКСИЯ. ПСИХОФИЗИОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АКТА ЧТЕНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИСЛЕКСИЙ 26.5 KB
  Дислексия частичное специфическое нарушение процесса чтения обусловленное несформированностью нарушением ВПФ и проявляющегося в частых ошибках стойкого характера. Акустическая дислексия. Оптическая дислексия. Моторная дислексия.
46097. ХАРАКТЕРИСТИКА ОТДЕЛЬНЫХ ФОРМ ДИСЛЕКСИИ. СОДЕРЖАНИЕ КОРРЕКЦИОННО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ 31.5 KB
  Осуществляется работа по развитию зрительнопространственных функций памяти внимания аналитикосинтетической деятельности по формированию языкового анализа и синтеза лексики и грамматического строя по устранению нарушений устной речи. Логопедическая работа по дифференциации смешиваемых звуков включает 2 этапа: предварительный работа над каждым из смешиваемых звуков; этап слуховой и произносительной дифференциации смешиваемых звуков. Устранению артикуляторноакустической дисграфии предшествует работа по коррекции нарушений...
46098. ДИСГРАФИЯ. ПСИХОФИЗИОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АКТА ПИСЬМА. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИСГРАФИИ 20 KB
  ДИСГРАФИЯ. Дисграфия – специфическое и стойкое нарушение процесса письма обусловленное отклонениями от нормы в деятельности тех анализаторов и психических процессов которые обеспечивают письмо.Дисграфия аграфия 1Дисфоническая паралалическая фонематическая 2Метаязыковая дисграфия в следствии нарушения языкового анализа и синтеза 3 Дисорфографическая 2. ложная дисграфия.
46099. ХАРАКТЕРИСТИКА ОТДЕЛЬНЫХ ФОРМ ДИСГРАФИИ. СОДЕРЖАНИЕ КОРРЕКЦИОННО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ 28.5 KB
  Дисграфия – специфическое и стойкое нарушение процесса письма обусловленное отклонениями от нормы в деятельности тех анализаторов и психических процессов которые обеспечивают письмо. Осуществляется работа по развитию зрительнопространственных функций памяти внимания аналитикосинтетической деятельности по формированию языкового анализа и синтеза лексики и грамматического строя по устранению нарушений устной речи. Проводится с опорой на различные анализаторы. При этом учитывается что совершенствование слухопроизносительных...
46100. ОСОБЕННОСТИ ЛОГОПЕДИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО УСТРАНЕНИЮ РАЗЛИЧНЫХ РЕЧЕВЫХ РАССТРОЙСТВ ПРИ НАРУШЕНИИ СЛУХА 19.5 KB
  Бельтюкова тугоухостью называется такое понижение слуха при котором возникают затруднения в восприятии речи но речевое общение с помощью слуха хотя бы и в специально создаваемых условияхусиление голоса приближение говорящего непосредственно к говорящему использование звукоусиливающих приборов и т. Для детей со сниженным слухом типично недоразвитие всех компонентов речи которое непосредственно связано со слуховой недостаточностью. Нормальное функционирование фонематической системы предполагает возможность безошибочной слуховой...
46101. ОСОБЕННОСТИ ЛОГОПЕДИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО УСТРАНЕНИЮ РАЗЛИЧНЫХ РЕЧЕВЫХ РАССТРОЙСТВ ПРИ НАРУШЕНИИ ЗРЕНИЯ 18.5 KB
  В силу нарушения деятельности зрительного анализатора у слепых и слабовидящих детей может проявляться своеобразие речевого развития которое часто не укладывается в обычные возрастные границы и выражается в особенностях речи. Теоретически и экспериментально доказано что расстройство речи слепых и слабовидящих детей являются сложным дефектом в котором прослеживаются определённые связи и взаимодействие речевой и зрительной недостаточности. Речевые нарушения у детей со зрительным дефектом многообразны сложны по степени выраженности структуре...
46102. ОСОБЕННОСТИ ЛОГОПЕДИЧЕСКОЙ РАБОТЫ С ДЕТЬМИ, ИМЕЮЩИМИ НАРУШЕНИЯ В ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СФЕРЕ 32 KB
  Современный и перспективный аспект рассмотрения вопроса о структуре речевого дефекта у детей с ЗПР определяется тесной связью процессов развития речевой и познавательной деятельности ребёнка соотношением речи и мышления в процессе онтогенеза. Один из характерных признаков интеллектуальной недостаточности – недоразвитие ВПФ а следовательно и недоразвитие речи как одной из наиболее сложно организованных функций. У детей с неосложнённым инфантилизмом выявляются особенности речи связанные со своеобразием эмоциональноволевой сферы....
46103. СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДЫ ЛОГОПЕДИЧЕСКОЙ РАБОТЫ С ДЕТЬМИ, ИМЕЮЩИМИ ДЕТСКИЙ ЦЕРЕБРАЛЬНЫЙ ПАРАЛИЧ В КОМПЛЕКСЕ МЕДИКО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ 29.5 KB
  Особое место в клинике ДЦП занимают расстройства речи 80 случаев. Особенности нарушений речи и степень их выраженности зависят в первую очередь от локализации и тяжести поражения мозга. Ошибки в речи могут быть связаны с ограничением представлений об окружающем мире недостаточностью предметнопрактической деятельности и социальных контактов ошибки воспитания. Нарушение артикуляционной моторики при ДЦП не только затрудняют формирование произносительной речи но и вторично вызывают нарушение фонематического восприятия.