19028

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Лекция

Физика

Лекция 10 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции решение с помощью операторов рождения и уничтожения Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Вопервых этот способ и сам по себе поучительный а вовторых ...

Русский

2013-07-11

1.04 MB

18 чел.

Лекция 10

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

  (1)

Уравнение на собственные значения имеет обычный вид:

  (2)

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

Разделим уравнение на  и введем следующие безразмерные величины:

  (3)

в координатном представлении:

  (4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

 (5)

 (6)

Операторы  и  - эрмитовы. Введём неэрмитовые операторы:

 (7)

 (8)

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Рассмотрим коммутационные соотношения:

 (9)

Поэтому из определений операторов и предыдущего равенства следует:

 (10)

Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы  выразить через  и :

 (11)

 (12)

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, получим:

 (13)

Возьмём произвольное состояние  и найдем среднее значение гамильтониана в этом состоянии:

  (14)

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

  (15)

Если мы возьмём состояние , такое что:

  (16)

то это состояние - собственное состояние гамильтониана , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию  можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по ). В состоянии  величина  принимает наименьшее значение. Из (13), (16) получим

  (17)

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

  (18)

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

  (19)

Далее. Пусть  - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собственному значению . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора  на функцию  

  (20)

также является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем  (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

 (21)

оператором . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамильтона через  и  (13), получим

 

 (22)

Формула (22) и означает, что . По этой причине оператор  называется оператором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

 (23)

то есть оператор  является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения  начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе шагов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию  и собственному значению:

 (24)

или 

 (25)

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

  (26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств оператора :

 (27)

Тогда

 (28)

 (29)

 

  (30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния  

  (31)

Используя явное выражение для понижающего оператора

  (32)

получаем из уравнения (31):

  (33)

Интегрируя это уравнение, получим:

  (34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волновые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора  находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

  (35)

где, как это легко видеть из (34),  - некоторый многочлен степени , который называется полином Эрмита. 

Так как в  безразмерные операторы импульса и координаты входят симметрично, то в импульсном представлении волновая функция имеет подобное (35) выражение:

  (36)

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

  (37)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23355. Изучение дифракции света 358.5 KB
  Исследуя дифракцию излучения лазера на щели и дифракционной решетке определить длину волны излучения лазера. На экране наблюдается дифракционная картина чередующиеся светлые и темные полосы параллельные щели. Длина щели намного больше длины волны света поэтому дифракционная картина вдоль щели отсутствует. Результирующая освещенность любой точки экрана направление на которую составляет с нормалью n к поверхности щели угол определяется интерференцией всех вторичных волн.
23357. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПОЛЯРИЗАЦИИ СВЕТА 107.5 KB
  Направление плоскости поляризации можно изменить и контролировать с помощью лимба на поляризаторе. Снять с оптической скамьи анализатор и поляризатор. Поставить поляризатор и измерить фототок обусловленный плоскополяризованным светом ip .
23358. СЛОЖЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ И ВЗАИМНОПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ 383.5 KB
  СЛОЖЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ И ВЗАИМНОПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Цель работы: изучение эффектов возникающих при сложения однонаправленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Представим каждое из колебаний как проекцию на ось X вектора длиной равной амплитуде вращающегося по часовой стрелке с угловой скоростью  рис. Тогда результат сложения колебаний можно представить как проекцию суммарного вектора .
23359. Изучение влияние емкости конденсатора на период колебаний в электрическом контуре 179.5 KB
  Основы теории Рассмотрим процесс возникновения колебаний в идеальном электрическом контуре осцилляторе рис. Таким образом можно сделать вывод что частота гармонических колебаний в идеальном электрическом контуре равна корню квадратному из коэффициента при заряде q формула 2: При этом период колебаний равен формула Томсона: 6 Связь периода колебаний с величинами С и L качественно объясняется следующим образом. С увеличением...
23361. Списки та стрічки в Python 3.02 MB
  3 Дії зі списками 1.4 Методи роботи зі списками 1.1 Дожина списка 1.
23362. Функції в мові Пітон 300.73 KB
  Київ 2013 Завдання: Вивчення засобів роботи і принципів організації функції в мові Пітон.1 Функції параметри аргументи 1.2 Поверненне значення функції 1.
23363. Кортежі і словники 277.75 KB
  1 Загальні відомості 1.1 Загальні відомості 2.