19028

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Лекция

Физика

Лекция 10 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции решение с помощью операторов рождения и уничтожения Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Вопервых этот способ и сам по себе поучительный а вовторых ...

Русский

2013-07-11

1.04 MB

22 чел.

Лекция 10

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

  (1)

Уравнение на собственные значения имеет обычный вид:

  (2)

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

Разделим уравнение на  и введем следующие безразмерные величины:

  (3)

в координатном представлении:

  (4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

 (5)

 (6)

Операторы  и  - эрмитовы. Введём неэрмитовые операторы:

 (7)

 (8)

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Рассмотрим коммутационные соотношения:

 (9)

Поэтому из определений операторов и предыдущего равенства следует:

 (10)

Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы  выразить через  и :

 (11)

 (12)

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, получим:

 (13)

Возьмём произвольное состояние  и найдем среднее значение гамильтониана в этом состоянии:

  (14)

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

  (15)

Если мы возьмём состояние , такое что:

  (16)

то это состояние - собственное состояние гамильтониана , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию  можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по ). В состоянии  величина  принимает наименьшее значение. Из (13), (16) получим

  (17)

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

  (18)

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

  (19)

Далее. Пусть  - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собственному значению . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора  на функцию  

  (20)

также является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем  (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

 (21)

оператором . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамильтона через  и  (13), получим

 

 (22)

Формула (22) и означает, что . По этой причине оператор  называется оператором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

 (23)

то есть оператор  является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения  начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе шагов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию  и собственному значению:

 (24)

или 

 (25)

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

  (26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств оператора :

 (27)

Тогда

 (28)

 (29)

 

  (30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния  

  (31)

Используя явное выражение для понижающего оператора

  (32)

получаем из уравнения (31):

  (33)

Интегрируя это уравнение, получим:

  (34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волновые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора  находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

  (35)

где, как это легко видеть из (34),  - некоторый многочлен степени , который называется полином Эрмита. 

Так как в  безразмерные операторы импульса и координаты входят симметрично, то в импульсном представлении волновая функция имеет подобное (35) выражение:

  (36)

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

  (37)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82903. ЛАЗЕРНЫЕ ДОПЛЕРОВСКИЕ ИЗМЕРИТЕЛИ СКОРОСТИ И ДЛИНЫ ПРОТЯЖЕННЫХ ОБЪЕКТОВ 321.49 KB
  При проведении работ по модернизации современного производства связанного с изготовлением электрических кабелей проводников с изоляционным покрытием возникает целый ряд технологических задач контроля длины и скорости линейного перемещения изготавливаемых протяженных изделий.
82904. Кровельные материалы 46.01 KB
  В данной статье будут рассмотрены кровельные материалы. Узнаем виды крыш, их назначение, где используются, выявим их преимущества и недостатки. Так же рассмотрим основные кровельные материалы, узнаем их функции и виды. Оценим их область применения, срок службы, методы крепежа и ценовую характеристику.
82905. Первая медицинская помощь при отморожении и общем охлаждении 77 KB
  Статистика свидетельствует что достаточно часто тяжёлые отморожения приведшие к ампутации конечностей происходят в состоянии сильного алкогольного опьянения. Классификация По глубине поражения тканей выделяют степени отморожения: Отморожение I степени наиболее лёгкое обычно наступает при непродолжительном воздействии холода.
82906. Додавання і віднімання чисел другого розряду (круглих десятків) 39.5 KB
  Мета: Ознайомити учнів із додаванням і відніманням круглих десятків, вправляти у розв’язанні простих і складених задач, розвивати мислення, пам’ять, спостережливість, увагу, формувати вміння записувати і розв’язувати вирази з дужками, виховувати старанність, працелюбність.
82908. Вправи на закріплення таблиці множення числа 5. Розв’язування задач на збільшення та зменшення числа в кілька разів 79.5 KB
  Розвязування задач на збільшення та зменшення числа в кілька разів. Закріплювати знання табличного множення числа 5; удосконалювати обчислювальні навички вміння розвязувати задачі на збільшення та зменшення числа в кілька разів; розвивати логічне мислення...
82909. Ділення і множення багатоцифрових чисел на двоцифрове. Свято Великодня. Робота з геометричним матеріалом 367 KB
  Мета: слайд № 2 навчальна: удосконалювати з учнями алгоритм письмового множення та ділення багатоцифрових чисел на двоцифрове; ознайомити учнів із народними звичаями традиціями що повязані з початком весняного календарного обрядового циклу; розвиваюча: розвивати мовлення мислення увагу память...
82910. Множення у випадку кількох нулів у множнику 210 KB
  Спробуємо знайти другий спосіб розв’язування задачі. Чому катер за той самий час пройшов більшу відстань? (Тому, що в нього була більша швидкість). Знаючи, що катер має більшу швидкість, про що ми можемо дізнатися? (На скільки швидкість катера більша, ніж швидкість буксира?) Що для цього потрібно зробити?
82911. Чи може музика передавати рух? 102 KB
  Мета: формувати в учнів уявлення про зображальні можливості музики в передачі руху. Повторення понять темп, ритм. Розвивати уявлення учнів. Виховувати любов до української народної пісні, етикетне поводження в школі. Обладнання: фортепіано, аудіозаписи, малюнки, презентація.