19028

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Лекция

Физика

Лекция 10 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции решение с помощью операторов рождения и уничтожения Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Вопервых этот способ и сам по себе поучительный а вовторых ...

Русский

2013-07-11

1.04 MB

22 чел.

Лекция 10

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

  (1)

Уравнение на собственные значения имеет обычный вид:

  (2)

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

Разделим уравнение на  и введем следующие безразмерные величины:

  (3)

в координатном представлении:

  (4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

 (5)

 (6)

Операторы  и  - эрмитовы. Введём неэрмитовые операторы:

 (7)

 (8)

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Рассмотрим коммутационные соотношения:

 (9)

Поэтому из определений операторов и предыдущего равенства следует:

 (10)

Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы  выразить через  и :

 (11)

 (12)

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, получим:

 (13)

Возьмём произвольное состояние  и найдем среднее значение гамильтониана в этом состоянии:

  (14)

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

  (15)

Если мы возьмём состояние , такое что:

  (16)

то это состояние - собственное состояние гамильтониана , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию  можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по ). В состоянии  величина  принимает наименьшее значение. Из (13), (16) получим

  (17)

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

  (18)

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

  (19)

Далее. Пусть  - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собственному значению . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора  на функцию  

  (20)

также является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем  (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

 (21)

оператором . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамильтона через  и  (13), получим

 

 (22)

Формула (22) и означает, что . По этой причине оператор  называется оператором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

 (23)

то есть оператор  является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения  начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе шагов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию  и собственному значению:

 (24)

или 

 (25)

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

  (26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств оператора :

 (27)

Тогда

 (28)

 (29)

 

  (30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния  

  (31)

Используя явное выражение для понижающего оператора

  (32)

получаем из уравнения (31):

  (33)

Интегрируя это уравнение, получим:

  (34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волновые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора  находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

  (35)

где, как это легко видеть из (34),  - некоторый многочлен степени , который называется полином Эрмита. 

Так как в  безразмерные операторы импульса и координаты входят симметрично, то в импульсном представлении волновая функция имеет подобное (35) выражение:

  (36)

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

  (37)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46204. Условия договора 15.04 KB
  Предусмотренные договором обязательства сторон бывают альтернативными т. содержат два или более способа исполнения обязательства например расчеты между сторонами осуществляются платежными поручениями или платежными требованиями. Также могут устанавливаться два или более предмета исполнения обязательства например поставляется цемент марки М400 или марки М500. Встречное исполнение обязательств Большинство договоров предусматривает встречное исполнение обязательств когда исполнение обязательства одной из сторон обусловлено исполнением...
46205. Кент Рокуэлл 15.04 KB
  Рокуэлл Кент Rockwell Kent 1882 1971 родился 21 июня 1882 года в городе Тарритаун. Один из продолжателей реалистической традиции в американском искусстве Рокуэлл Кент выдающийся борец за прогресс и мир учился у Генри. Свое творчество Рокуэлл Кент посвятил народам Гренландии Аляски могучей природе Атлантики. Тяга к суровой не тронутой цивилизацией природе сочетается в живописи и графике Кента с острым чувством современности.
46207. Специфика земельного участка как объекта оценки 14.92 KB
  Владелец земли в первую очередь имеет право на доход приносимый всем объектом недвижимости поскольку стоимость зданий сооружений и других улучшений на земельном участке носит вторичный характер и выступает как дополнительный вклад в стоимость земельного участка. Отличия земельного участка от других видов недвижимости обусловлены следующими особенностями: а земля является природным ресурсом который невозможно сво бодно воспроизвести в отличие от других объектов недвижимости; б при оценке всегда необходимо учитывать возможность...
46209. Игра и психическое развитие ребенка 14.9 KB
  В условиях господства семейного воспитания есть только два вида деятельности которые оказывают влияние на процессы развития ребенка. Исследование значения игры для психического развития и формирования личности очень затруднено. Здесь невозможен чистый эксперимент просто потому что нельзя изъять игровую деятельность из жизни детей и посмотреть как при этом будет идти процесс развития.Главнейшим хотя до последнего времени и недостаточно оцененным является значение игры для развития мотивационнопотребностной сферы ребенка.
46210. Методы определения остаточного ресурса нефтепромыслового оборудования 14.84 KB
  Определение остаточного ресурса оборудования находится путем сбора систематизации и обработки статистических данных о наблюдениях за его работой обобщения результатов. Все работы по оценке остаточного ресурса состоят из 4 этапов: 1 накопление статистической информации об отказах оборудования. Достоверная информация об отказах оборудования достигается точным учетом времени его работы моментов возникновения отказов и времени затрачиваемого на их устранение.