19028

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Лекция

Физика

Лекция 10 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции решение с помощью операторов рождения и уничтожения Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Вопервых этот способ и сам по себе поучительный а вовторых ...

Русский

2013-07-11

1.04 MB

22 чел.

Лекция 10

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

  (1)

Уравнение на собственные значения имеет обычный вид:

  (2)

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

Разделим уравнение на  и введем следующие безразмерные величины:

  (3)

в координатном представлении:

  (4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

 (5)

 (6)

Операторы  и  - эрмитовы. Введём неэрмитовые операторы:

 (7)

 (8)

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Рассмотрим коммутационные соотношения:

 (9)

Поэтому из определений операторов и предыдущего равенства следует:

 (10)

Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы  выразить через  и :

 (11)

 (12)

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, получим:

 (13)

Возьмём произвольное состояние  и найдем среднее значение гамильтониана в этом состоянии:

  (14)

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

  (15)

Если мы возьмём состояние , такое что:

  (16)

то это состояние - собственное состояние гамильтониана , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию  можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по ). В состоянии  величина  принимает наименьшее значение. Из (13), (16) получим

  (17)

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

  (18)

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

  (19)

Далее. Пусть  - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собственному значению . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора  на функцию  

  (20)

также является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем  (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

 (21)

оператором . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамильтона через  и  (13), получим

 

 (22)

Формула (22) и означает, что . По этой причине оператор  называется оператором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

 (23)

то есть оператор  является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения  начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе шагов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию  и собственному значению:

 (24)

или 

 (25)

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

  (26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств оператора :

 (27)

Тогда

 (28)

 (29)

 

  (30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния  

  (31)

Используя явное выражение для понижающего оператора

  (32)

получаем из уравнения (31):

  (33)

Интегрируя это уравнение, получим:

  (34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волновые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора  находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

  (35)

где, как это легко видеть из (34),  - некоторый многочлен степени , который называется полином Эрмита. 

Так как в  безразмерные операторы импульса и координаты входят симметрично, то в импульсном представлении волновая функция имеет подобное (35) выражение:

  (36)

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

  (37)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6821. SQL Oracle functions. Additional clauses of SELECT statement 272 KB
  SQL Oracle functions. Additional clauses of SELECT statement Purpose of the lab To study SQL Oracle functions and SGROUPBY, HAVING, ORDERBY clauses of SELECT statement. To acquire practical skills in SQL Oracle function...
6822. Исследование организации переходов в программе 213.5 KB
  Исследование организации переходов в программе Контрольные вопросы Назовите три типа команды безусловного перехода. JMP - переход безусловный: переход типа short (короткий переход) - если адрес перехода находится в пределах от...
6823. Базовий Spanning Tree Protocol 266 KB
  Базовий Spanning Tree Protocol Мета роботи Після виконання цієї лабораторної роботи ви зможете: Створити мережу відповідно до діаграми топології Видалити стартову конфігурацію і перезавантажити комутатор у режим по замовчуванню...
6824. Функции SQL Oracle. Дополнительные фразы предложения SELECT 370 KB
  Функции SQL Oracle. Дополнительные фразы предложения SELECT Цели лабораторной работы Изучить функции SQL Oracle, а также фразы GROUPBY, HAVING, ORDERBY предложения SELECT. Приобрести практический опыт по использованию ф...
6826. Автоматизация минимизации булевых функций 181 KB
  Автоматизация минимизации булевых функций Номер зачётной книжки: Основные этапы минимизации методом Квайна-МакКласки: Сначала определяем основные конститутенты, далее подготавливаем к склеиванию термов. Склеиваим все ...
6827. Embedded queries (subqueries) in SQL Oracle 92 KB
  Embedded queries (subqueries) in SQL Oracle Purpose of the lab To study SQL Oracle possibilities to formulate and process subqueries. To acquire practical skills in formulating and processing subqueries. Theoretical backgroun...
6828. Вложенные запросы (подзапросы) в SQL Oracle 163 KB
  Вложенные запросы (подзапросы) в SQL Oracle Цели лабораторной работы Изучить возможности SQL Oracle по формулировке и обработке подзапросов. Приобрести практический опыт по формулировке и обработке подзапросов с использованием SQL...
6829. Базова Inter-VLAN маршрутизація 348.5 KB
  Базова Inter-VLANмаршрутизація Мета роботи Після виконання цієї лабораторної роботи ви зможете: Створити мережу відповідно до діаграми топології Видалити стартову конфігурацію і перезавантажити комутатор і маршрутизатор у режим по ...