19028

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Лекция

Физика

Лекция 10 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции решение с помощью операторов рождения и уничтожения Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Вопервых этот способ и сам по себе поучительный а вовторых ...

Русский

2013-07-11

1.04 MB

16 чел.

Лекция 10

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

  (1)

Уравнение на собственные значения имеет обычный вид:

  (2)

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

Разделим уравнение на  и введем следующие безразмерные величины:

  (3)

в координатном представлении:

  (4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

 (5)

 (6)

Операторы  и  - эрмитовы. Введём неэрмитовые операторы:

 (7)

 (8)

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Рассмотрим коммутационные соотношения:

 (9)

Поэтому из определений операторов и предыдущего равенства следует:

 (10)

Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы  выразить через  и :

 (11)

 (12)

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, получим:

 (13)

Возьмём произвольное состояние  и найдем среднее значение гамильтониана в этом состоянии:

  (14)

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

  (15)

Если мы возьмём состояние , такое что:

  (16)

то это состояние - собственное состояние гамильтониана , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию  можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по ). В состоянии  величина  принимает наименьшее значение. Из (13), (16) получим

  (17)

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

  (18)

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

  (19)

Далее. Пусть  - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собственному значению . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора  на функцию  

  (20)

также является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем  (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

 (21)

оператором . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамильтона через  и  (13), получим

 

 (22)

Формула (22) и означает, что . По этой причине оператор  называется оператором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

 (23)

то есть оператор  является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения  начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе шагов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию  и собственному значению:

 (24)

или 

 (25)

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

  (26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств оператора :

 (27)

Тогда

 (28)

 (29)

 

  (30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния  

  (31)

Используя явное выражение для понижающего оператора

  (32)

получаем из уравнения (31):

  (33)

Интегрируя это уравнение, получим:

  (34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волновые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора  находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

  (35)

где, как это легко видеть из (34),  - некоторый многочлен степени , который называется полином Эрмита. 

Так как в  безразмерные операторы импульса и координаты входят симметрично, то в импульсном представлении волновая функция имеет подобное (35) выражение:

  (36)

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

  (37)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34536. Традиция семейного романа во франц. л-ре 20 в. (Р. Роллан, Ф. Мориак, Э. Базен) 15.92 KB
  Приступая к рассмотрению многотомных семейных циклов которые продолжают появляться во французской литературе послевоенного периода следует поставить вопрос о характере этого жанра как такового.Прежде всего надо отметить что то обстоятельство что сюжеты этих циклов связаны рамками одного или нескольких семейств отнюдь не означает их асоциальности. Во Франции например начиная с РугонМаккаров вплоть до Семьи Тибо и до нынешних послевоенных семейных циклов все это подчеркнуто социальные произведения которые выходят далеко за пределы...
34537. Проблема гуманизма в произведениях А. Де Сент-Экзюпери. «Маленький принц» как сказка-притча 18.04 KB
  Маленький принц как сказкапритча. Маленький принц был написан в 1943 году и трагедия Европы во второй мировой войне воспоминания писателя о разгромленной оккупированной Франции накладывают свой отпечаток на произведение. То что Маленький принц сказка мы определяют по имеющимся в повести сказочным признакам: фантастическое путешествие героя сказочные персонажи Лис Змея Роза. Прообразом литературной сказки Маленький принц можно считать фольклорную волшебную сказку с бродячей фабулой: прекрасный принц изза несчастной любви...
34538. От Сюрреализма к соцреализму. Арагон и Элюар 18.91 KB
  Арагон и Элюар СЮРРЕАЛИЗМ Мировой центр – Париж но среди участников движения были и немцы и чехи и американцы. Участники необычайно имениты: Арагон Ренуар Дали и т. Арагон поэт и романист которому принадлежит видное место во французской литературе социалистического реализма крупный общественный деятель. стала для Арагона первой школой жизни.
34539. Своеобразие мифотворчества Ф. Кафки 18.94 KB
  Странность Грегоранасекомого в том что он начинает превращаться и превращается не в насекомое а в Человека. Звучит абсурдно но мизансцена свидетельствует о том что Грегор трутень на нем паразитирует вся семья. Грегор Замза просыпаясь утром понимает кто он есть на самом деле и образ жука здесь служит символом очищения души ее возрождении и освобождении от гнета. Грегор человек в обличии насекомого; его родичи насекомые в человеческом облике.
34540. Теория эпического театра и Конфликт и его худ. воплощение в пьесах Брехта 17.5 KB
  Среди наиболее знаменитых пьес эмиграции Матушка Кураж и ее дети 1939. В условиях 30х годов Матушка Кураж звучала конечно как протест против демагогической пропаганды войны фашистами и адресовалась той части немецкого населения которая поддалась этой демагогии. Сущность эпического театра становится особенно ясной в связи с Матушкой Кураж . Поэтому в Матушке Кураж столь последовательный и выдержанный даже в мелких деталях подлинный лик жизни.
34541. Тема «потерянного поколения» в литературе 1 половины 20 в. (Э.М. Ремарк, Р. Олдингтон, Ф.С. Фицджеральд, Э. Хемингуэй и др.) 17.11 KB
  и Хемингуэя Прощай оружие. Все вы потерянное поколение эпиграф Хемингуэя затем стал лит. Они индивидуалисты и надеются как герои Хемингуэя лишь на себя на свою волю а если и способны на решительный общественный поступок то сепаратно заключая договор с войной и дезертируя. Хемингуэй рассказал о возвращении с войны сборник рассказов В наше время 1925 о сущности неприкаянной жизни фронтовиков и их подруг об одиночестве невест не дождавшихся возлюбленных Фиеста 1926 о горечи прозрения после первого ранения и утраты...
34542. Тема антифашистского сопротивления в творчестве А. Зегерс 15.34 KB
  Зегерс. Анна Зегерс 19001983 – псевдоним. Роман Седьмой крест давно признан лучшим романом Зегерс. В Седьмом кресте наиболее отчетливо сказалось замечательное умение Анны Зегерс показывать людей в нерасторжимом единстве личного и общественного ставить острые политические вопросы времени обращаясь к частной будничной жизни широких слоев народа.
34543. Исторический роман 13.83 KB
  В пределах этой общей характеристики исторического романа нового типа диапазона переходов и разновидностей достаточно велик: от модернизации истории т. романа в котором исторически достоверны сюжет основные факты описание быта национальный и временный колорит но в конфликты и отношения героев внесены современные мотивировки и проблемы Безобразная герцогиня или Еврей Зюсс Л. романа представляющего собой в сущности исторически костюмированную современность романа намеков и иносказаний в котором в условноисторической оболочке...
34544. Роман воспитания в немецкой литературе 16.13 KB
  Bildungsromn тип романа получивший распространение в литературе немецкого Просвещения. Роман воспитания традиционная разновидность жанра романа в эволюции которой проступает одна из магистральных линий развития немецкой романистики на протяжении нескольких столетий. Уходя своими истоками в глубь времен в рыцарские повествования средневековья и плутовской роман барокко XVII века он получил законченную классическую форму в творчестве великих просветителей Германии К.