19029

Вычисления с осцилляторными функциями

Лекция

Физика

Лекция 11 Вычисления с осцилляторными функциями В различных задачах связанных с гармоническим осциллятором приходится вычислять интегралы типа или 1 где собственные функции гамильтониана осциллятора везде в этой лекции под будет подразумеваться б...

Русский

2013-07-11

156 KB

8 чел.

Лекция 11

Вычисления с осцилляторными функциями

В различных задачах, связанных с гармоническим осциллятором, приходится вычислять интегралы типа

 или      (1)

где  - собственные функции гамильтониана осциллятора (везде в этой лекции под  будет подразумеваться безразмерная переменная, связанная с размерной координатой через параметр длины ). Проблема заключается не только в том, что у нас нет явных выражений для полиномов Эрмита (а только рекуррентные соотношения), но и в том, что даже, если бы они существовали бы, не очень понятно как ими воспользоваться для больших индексов (очень громоздко).

Несмотря на то, что явное выражение для коэффициентов полиномов Эрмита действительно не существует (например, найти коэффициенты 2008 полинома Эрмита в каком-нибудь справочнике по математике невозможно), их свойства очень хорошо изучены, и для вычисления интегралов типа (1) и не нужны. Покажем, как вычисляются такого рода интегралы на основе рекуррентных соотношений между полиномами Эрмита.

Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные соотношения (см., например, Г.Корн, Т.Корн, Справочник по математике, М., Наука, 1978)

    (2)

      (3)

(эти формулы можно получить из рекуррентного соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита из лекции 9). Используем первое из этих соотношений для вычисления интеграла

     (4)

Для этого представим осцилляторные функции в (4) как произведения полиномов Эрмита на экспоненты , и для произведения  воспользуемся рекуррентным соотношением (2). В результате получим

(5)

где

     (6)

нормировочные постоянные в осцилляторных функциях. Из формулы (5) сразу следует, что далеко не для всех значений индексов рассматриваемый интеграл отличен от нуля. Действительно, первый интеграл в (5) сводится к интегралу от -ой и -ой осцилляторных функций, и потому отличен от нуля только если  (из-за ортогональности осцилляторных функций). Аналогично, второй интеграл отличен от нуля, если . Т.е. рассматриваемый интеграл, который представляет собой матричный элемент матрицы оператора координаты в базисе из осцилляторных функций, отличен от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу. Кроме того, из формулы (5) видна и «техническая сторона» дальнейших вычислений рассматриваемого интеграла – нужно свести произведения  и  к собственным функциям осцилляторного гамильтониана  и  и воспользоваться тем, что осцилляторные функции нормированы на единицу (т.е. интеграл от квадрата каждой функции равен единице).

Реализуем этот план. Сначала первое слагаемое формулы (5). Используя выражение для коэффициента  (6), имеем

 (7)

Поэтому первый интеграл в (5) сводится к выражению

откуда, пользуясь нормированностью осцилляторных функций, имеем

Аналогичные вычисления второго слагаемого в (5) приводят к следующему результату

В результате для интеграла (4) получаем

   (8)

Мы получили очень важный для исследования свойств гармонического осциллятора результат: матричные элементы оператора координаты отличны от нуля только если индексы отличаются на единицы, и, следовательно, матрица оператора координаты является околодиагональной.

Матричные элементы оператора производной

    (9)

(с которым связан оператор импульса) можно вычислить с помощью второго рекуррентного соотношения. Приведем только основную идею вычисления и результат.

При дифференцировании осцилляторной функции  в подынтегральном выражении в (9) необходимо продифференцировать и полином Эрмита  и экспоненту . В результате для производной от собственной функции гамильтониана гармонического осциллятора имеем

  (10)

Далее для первого слагаемого нужно воспользоваться рекуррентным соотношением (3), для второго – соотношением (2). В результате получим, что производная от -ой осцилляторной функции по координате сводится к определенной линейной комбинации -ой и -ой осцилляторных функций. Отсюда сразу следует, что интеграл (9) отличен от нуля только в случаях  или . Для дальнейшего вычисления этого интеграла необходимо свести его к двум нормировочным интегралам от осцилляторных функций (при этом необходимо использовать явное выражение для нормировочного коэффициента (6)). Поскольку технически эти действия мало чем отличаются от подробно описанных выше, приведем только окончательный результат

  (11)

Из формулы (11) следует, что матрица оператора импульса в базисе из осцилляторных функций также является околодиагональной.

Напомним, что все вычисления мы проводили в безразмерных переменных. Однако, их очень легко исправить на случай вычисления «настоящих» (размерных) матричных элементов. Основная идея такого исправления заключается в том, матричный элемент оператора координаты имеет размерность длины, и, следовательно, выражается через параметр длины для осциллятора , а матричный элемент оператора импульса – через параметр импульса . Поэтому после обезразмеривания соответствующих интегралов они сведутся к вычисленным безразмерным интегралам и указанным размерным множителям (кроме того, чтобы свести интеграл (9) к матричному элементу оператора импульса его нужно умножить на ). Поэтому матричные элементы операторов координаты и импульса равны

 (12)

  (13)

Аналогично проведенному рассмотрению можно найти матричные элементы квадратов операторов координаты и импульса в базисе из осцилляторных функций.  Для этого необходимо дважды применить рекуррентные соотношения (2) или (3) сначала к -ой осцилляторной функции, а затем к полученным в результате -ой и -ой функциям. Отсюда следует, что матричные элементы

      и             

отличны от нуля, если  или . Поскольку в различных частях курса квантовой механики нам придется иметь дело с этими матричными элементами, приведем для справок соответствующие результаты

 (14)

(15)

Из формул (14), (15) легко найти средние значения потенциальной и кинетической энергий осциллятора, находящегося в стационарном состоянии (поскольку кинетическая энергия сводится к квадрату оператора импульса, потенциальная – к квадрату оператора координаты).. Пусть, осциллятор находится в -ом стационарном состоянии. Тогда из формул (14), (15) имеем

     (16)

а из (16) можно найти и среднее значение энергии осциллятора в этом состоянии

   (17)

Этот результат можно было предсказать и без вычислений, так как средняя энергия осциллятора в любом состоянии, являющимся собственным состоянием гамильтониана, равна соответствующему собственному значению.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56398. Where do they come from? Present Simple Tense 37 KB
  I аm glad to see you, friends. I like to play games very much. Listen to me and try to guess words which begin with a letter e. g. B. We will play Miss Bells bag. I write the letter B on the board. The first team names an item for that letter scores a point and another for putting it in a correct sentence, e. g. In her bag Miss Bell has a banana.
56399. Теорема про три перпендикуляри, її застосування при розвʼязанні задач 412 KB
  Ідея цього уроку може бути використана на будь-якому з типів уроку. Така форма проведення уроку потребує попередньої підготовки як збоку вчителя так і з боку учнів. Учні обєднуються в групи по 34 чоловіки кожна група готує презентацію...
56400. ТЕОРЕМА ПІФАГОРА 109.5 KB
  Наше товариство обіцяє вам, що сума кутів, що прилягають до гіпотенузи, завжди 90º. Ми попереджаємо, що тільки у прямокутному трикутнику застосовується теорема Піфагора, і тільки у ньому гіпотенуза більше катетів, тільки у нас катет...
56402. Старение и смерть. Теории старения. Биологические основы активного долголетия 133.5 KB
  Выделяют несколько видов смерти: клиническая смерть биологическая истинная смерть и смерть мозга. Если реанимационные мероприятия не проводились или оказались безуспешными наступает биологическая или истинная смерть которая представляет собой необратимое прекращение физиологических процессов в клетках и тканях.
56403. The Problems of Terrorism in the Modern World 60.5 KB
  We live in uneasy world nowadays. From time to time we can learn from news on TV, radio and the Internet about this or that act of terrorism that happens in different parts of the world: Israel, Iraq, Turkey, Italy, the USA, recent suicide bombings on the Moscow’s subway system and at Domodedovo Airport in Russia.
56405. Тест Гилфорда «Социальный интеллект» 569 KB
  Согласно концепции Гилфорда социальный интеллект включает в себя 6 факторов связанных с познанием поведения: познание элементов поведения способность выделять из контекста вербальную и невербальную экспрессию поведения; познание классов поведения...
56406. Творчество марка Твена 18.14 KB
  ТВЕН Марк, псевдоним Самуэля Ланггорна Клеменса — американский писатель. Родился в семье мелкого торговца. Участвовал в гражданской войне. Свою литературную деятельность начал с журналистики.бления.