19029

Вычисления с осцилляторными функциями

Лекция

Физика

Лекция 11 Вычисления с осцилляторными функциями В различных задачах связанных с гармоническим осциллятором приходится вычислять интегралы типа или 1 где собственные функции гамильтониана осциллятора везде в этой лекции под будет подразумеваться б...

Русский

2013-07-11

156 KB

7 чел.

Лекция 11

Вычисления с осцилляторными функциями

В различных задачах, связанных с гармоническим осциллятором, приходится вычислять интегралы типа

 или      (1)

где  - собственные функции гамильтониана осциллятора (везде в этой лекции под  будет подразумеваться безразмерная переменная, связанная с размерной координатой через параметр длины ). Проблема заключается не только в том, что у нас нет явных выражений для полиномов Эрмита (а только рекуррентные соотношения), но и в том, что даже, если бы они существовали бы, не очень понятно как ими воспользоваться для больших индексов (очень громоздко).

Несмотря на то, что явное выражение для коэффициентов полиномов Эрмита действительно не существует (например, найти коэффициенты 2008 полинома Эрмита в каком-нибудь справочнике по математике невозможно), их свойства очень хорошо изучены, и для вычисления интегралов типа (1) и не нужны. Покажем, как вычисляются такого рода интегралы на основе рекуррентных соотношений между полиномами Эрмита.

Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные соотношения (см., например, Г.Корн, Т.Корн, Справочник по математике, М., Наука, 1978)

    (2)

      (3)

(эти формулы можно получить из рекуррентного соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита из лекции 9). Используем первое из этих соотношений для вычисления интеграла

     (4)

Для этого представим осцилляторные функции в (4) как произведения полиномов Эрмита на экспоненты , и для произведения  воспользуемся рекуррентным соотношением (2). В результате получим

(5)

где

     (6)

нормировочные постоянные в осцилляторных функциях. Из формулы (5) сразу следует, что далеко не для всех значений индексов рассматриваемый интеграл отличен от нуля. Действительно, первый интеграл в (5) сводится к интегралу от -ой и -ой осцилляторных функций, и потому отличен от нуля только если  (из-за ортогональности осцилляторных функций). Аналогично, второй интеграл отличен от нуля, если . Т.е. рассматриваемый интеграл, который представляет собой матричный элемент матрицы оператора координаты в базисе из осцилляторных функций, отличен от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу. Кроме того, из формулы (5) видна и «техническая сторона» дальнейших вычислений рассматриваемого интеграла – нужно свести произведения  и  к собственным функциям осцилляторного гамильтониана  и  и воспользоваться тем, что осцилляторные функции нормированы на единицу (т.е. интеграл от квадрата каждой функции равен единице).

Реализуем этот план. Сначала первое слагаемое формулы (5). Используя выражение для коэффициента  (6), имеем

 (7)

Поэтому первый интеграл в (5) сводится к выражению

откуда, пользуясь нормированностью осцилляторных функций, имеем

Аналогичные вычисления второго слагаемого в (5) приводят к следующему результату

В результате для интеграла (4) получаем

   (8)

Мы получили очень важный для исследования свойств гармонического осциллятора результат: матричные элементы оператора координаты отличны от нуля только если индексы отличаются на единицы, и, следовательно, матрица оператора координаты является околодиагональной.

Матричные элементы оператора производной

    (9)

(с которым связан оператор импульса) можно вычислить с помощью второго рекуррентного соотношения. Приведем только основную идею вычисления и результат.

При дифференцировании осцилляторной функции  в подынтегральном выражении в (9) необходимо продифференцировать и полином Эрмита  и экспоненту . В результате для производной от собственной функции гамильтониана гармонического осциллятора имеем

  (10)

Далее для первого слагаемого нужно воспользоваться рекуррентным соотношением (3), для второго – соотношением (2). В результате получим, что производная от -ой осцилляторной функции по координате сводится к определенной линейной комбинации -ой и -ой осцилляторных функций. Отсюда сразу следует, что интеграл (9) отличен от нуля только в случаях  или . Для дальнейшего вычисления этого интеграла необходимо свести его к двум нормировочным интегралам от осцилляторных функций (при этом необходимо использовать явное выражение для нормировочного коэффициента (6)). Поскольку технически эти действия мало чем отличаются от подробно описанных выше, приведем только окончательный результат

  (11)

Из формулы (11) следует, что матрица оператора импульса в базисе из осцилляторных функций также является околодиагональной.

Напомним, что все вычисления мы проводили в безразмерных переменных. Однако, их очень легко исправить на случай вычисления «настоящих» (размерных) матричных элементов. Основная идея такого исправления заключается в том, матричный элемент оператора координаты имеет размерность длины, и, следовательно, выражается через параметр длины для осциллятора , а матричный элемент оператора импульса – через параметр импульса . Поэтому после обезразмеривания соответствующих интегралов они сведутся к вычисленным безразмерным интегралам и указанным размерным множителям (кроме того, чтобы свести интеграл (9) к матричному элементу оператора импульса его нужно умножить на ). Поэтому матричные элементы операторов координаты и импульса равны

 (12)

  (13)

Аналогично проведенному рассмотрению можно найти матричные элементы квадратов операторов координаты и импульса в базисе из осцилляторных функций.  Для этого необходимо дважды применить рекуррентные соотношения (2) или (3) сначала к -ой осцилляторной функции, а затем к полученным в результате -ой и -ой функциям. Отсюда следует, что матричные элементы

      и             

отличны от нуля, если  или . Поскольку в различных частях курса квантовой механики нам придется иметь дело с этими матричными элементами, приведем для справок соответствующие результаты

 (14)

(15)

Из формул (14), (15) легко найти средние значения потенциальной и кинетической энергий осциллятора, находящегося в стационарном состоянии (поскольку кинетическая энергия сводится к квадрату оператора импульса, потенциальная – к квадрату оператора координаты).. Пусть, осциллятор находится в -ом стационарном состоянии. Тогда из формул (14), (15) имеем

     (16)

а из (16) можно найти и среднее значение энергии осциллятора в этом состоянии

   (17)

Этот результат можно было предсказать и без вычислений, так как средняя энергия осциллятора в любом состоянии, являющимся собственным состоянием гамильтониана, равна соответствующему собственному значению.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37963. Определение моментов инерции тел произвольной формы 180 KB
  Определение моментов инерции математического и физического маятников8 3. Определение момента инерции физического маятника в зависимости от распределения массы10 4.11 Лабораторная работа № 5 Определение моментов инерции тел произвольной формы 1. Цель работы Определение момента инерции математического и физического маятника а также изучение зависимости момента инерции физического маятника от распределения массы.
37964. Изучение законов поступательного движения тела 786 KB
  Изучение законов поступательного движения тела 1. Цель работы Проверка основных законов кинематики и динамики поступательного движения тела на машине Атвуда. Теоретическая часть Простейшая форма движения это механическое движение которое характеризуется изменением с течением времени взаимного расположения тел или их частей относительно друг друга в пространстве.
37965. ПРОВЕРКА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 480 KB
  МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИФЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ ПРОВЕРКА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Методические указания К лабораторной работе № 6 По курсу общей физики Уфа 2000 Составитель А.43 Проверка основных законов кинематики и динамики поступательного движения твердого тела; Методические указания к лабораторной работе № 6 по курсу общей физики Уфимск. Работа знакомит с...
37966. Изучение законов соударения тел 128 KB
  Центральный удар двух шаров. Цель работы Определение коэффициентов восстановления скорости и энергии при центральном ударе двух шаров времени и средней силы соударения. Центральный удар двух шаров Рассмотрим два шара подвешенных рядом так что их центры находятся на одном уровне. Отведем один из шаров на некоторый угол α и отпустим без начальной скорости.
37967. Конституция РФ 135 KB
  Найдите по тексту статью и главу Конституции РФ Федеративное устройство Российской Федерации основано на ее государственной целостности единстве системы государственной власти разграничении предметов ведения и полномочий между органами государственной власти Российской Федерации и органами государственной власти субъектов Российской Федерации равноправии и самоопределении народов в Российской Федерации Путь поиска: поиск контекста базовый поиск Федеративное устройство Российской Федерации основано на ее...
37968. Моделирование электростатического поля, знакомство с моделированием электрического поля методом электролитической ванны 87 KB
  Вектор напряженности направлен в каждой точке силовой линии по касательной к ней. Силовые линии пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом. Перемещая зонд таким образом чтобы показания вольтметра не изменялись определите положение эквипотенциальной линии. Отметьте положение эквипотенциальной линии на координатной сетке 10.
37969. СМО з очікуванням. Багатоканальні пристрої 37 KB
  Система складається з 2 послідовних ланцюгів Кг 1й ланцюг 2й ланцюг Кількість каналів в 1му ланцюгу Кількість каналів в 2му ланцюгу 0 1 БКП ОКП 3 2 2 ОКП БКП 2 6 3 ОКП БКП 3 1 4 БКП БКП 1 2 5 і більше БКП ОКП 2 4 БКП багатоканальний пристрій ОКП одно канальний пристрій При написанні програми використати мінімум три різні розподіли при генерації та обробці транзактів Якщо вільного пристрою каналу немає транзакт ставиться до черги. Для ОКП: Якщо Кп парне то ОКП в пучку займаються по принципу: перший вільний починаючи...
37970. СМО з повторними визовами та очікуванням в черзі з обмеженою кількістю місць в черзі 27.5 KB
  Якщо Кг парне повторна спроба заняття каналу для першого та 3го ланцюгів а черга з обмеженою кількістю місць в 2му та 4му ланцюгах. якщо Кг непарне то повторна спроба заняття каналу для 2го та 4го ланцюгів а черга з обмеженою кількістю місць в 1му та 3му ланцюгах. Відповідно використовуєте ті ланцюги що наявні в Вашій моделі згідно ЛР №3 Для ланцюгів з чергою: при наявності вільних місць в черзі постановка в чергу з обмеженою кількістю місць.
37971. Гражданский кодекс РФ 128.5 KB
  Согласно ГК РФ определите действие гражданского законодательства во времени Путь поиска: толковый словарь контекстный фильтр навигационного меню действие гражданского законодательства во времени Результат поиска: статья 4 Статья 4. Путь поиска: толковый словарь контекстный фильтр навигационного меню правоспособность Результат поиска: статья 17 Статья 17. Результат поиска: статья 22 Статья 22. На основании ГК РФ дайте определение понятия юридического лица Путь поиска: толковый словарь контекстный фильтр навигационного меню...