19029

Вычисления с осцилляторными функциями

Лекция

Физика

Лекция 11 Вычисления с осцилляторными функциями В различных задачах связанных с гармоническим осциллятором приходится вычислять интегралы типа или 1 где собственные функции гамильтониана осциллятора везде в этой лекции под будет подразумеваться б...

Русский

2013-07-11

156 KB

6 чел.

Лекция 11

Вычисления с осцилляторными функциями

В различных задачах, связанных с гармоническим осциллятором, приходится вычислять интегралы типа

 или      (1)

где  - собственные функции гамильтониана осциллятора (везде в этой лекции под  будет подразумеваться безразмерная переменная, связанная с размерной координатой через параметр длины ). Проблема заключается не только в том, что у нас нет явных выражений для полиномов Эрмита (а только рекуррентные соотношения), но и в том, что даже, если бы они существовали бы, не очень понятно как ими воспользоваться для больших индексов (очень громоздко).

Несмотря на то, что явное выражение для коэффициентов полиномов Эрмита действительно не существует (например, найти коэффициенты 2008 полинома Эрмита в каком-нибудь справочнике по математике невозможно), их свойства очень хорошо изучены, и для вычисления интегралов типа (1) и не нужны. Покажем, как вычисляются такого рода интегралы на основе рекуррентных соотношений между полиномами Эрмита.

Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные соотношения (см., например, Г.Корн, Т.Корн, Справочник по математике, М., Наука, 1978)

    (2)

      (3)

(эти формулы можно получить из рекуррентного соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита из лекции 9). Используем первое из этих соотношений для вычисления интеграла

     (4)

Для этого представим осцилляторные функции в (4) как произведения полиномов Эрмита на экспоненты , и для произведения  воспользуемся рекуррентным соотношением (2). В результате получим

(5)

где

     (6)

нормировочные постоянные в осцилляторных функциях. Из формулы (5) сразу следует, что далеко не для всех значений индексов рассматриваемый интеграл отличен от нуля. Действительно, первый интеграл в (5) сводится к интегралу от -ой и -ой осцилляторных функций, и потому отличен от нуля только если  (из-за ортогональности осцилляторных функций). Аналогично, второй интеграл отличен от нуля, если . Т.е. рассматриваемый интеграл, который представляет собой матричный элемент матрицы оператора координаты в базисе из осцилляторных функций, отличен от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу. Кроме того, из формулы (5) видна и «техническая сторона» дальнейших вычислений рассматриваемого интеграла – нужно свести произведения  и  к собственным функциям осцилляторного гамильтониана  и  и воспользоваться тем, что осцилляторные функции нормированы на единицу (т.е. интеграл от квадрата каждой функции равен единице).

Реализуем этот план. Сначала первое слагаемое формулы (5). Используя выражение для коэффициента  (6), имеем

 (7)

Поэтому первый интеграл в (5) сводится к выражению

откуда, пользуясь нормированностью осцилляторных функций, имеем

Аналогичные вычисления второго слагаемого в (5) приводят к следующему результату

В результате для интеграла (4) получаем

   (8)

Мы получили очень важный для исследования свойств гармонического осциллятора результат: матричные элементы оператора координаты отличны от нуля только если индексы отличаются на единицы, и, следовательно, матрица оператора координаты является околодиагональной.

Матричные элементы оператора производной

    (9)

(с которым связан оператор импульса) можно вычислить с помощью второго рекуррентного соотношения. Приведем только основную идею вычисления и результат.

При дифференцировании осцилляторной функции  в подынтегральном выражении в (9) необходимо продифференцировать и полином Эрмита  и экспоненту . В результате для производной от собственной функции гамильтониана гармонического осциллятора имеем

  (10)

Далее для первого слагаемого нужно воспользоваться рекуррентным соотношением (3), для второго – соотношением (2). В результате получим, что производная от -ой осцилляторной функции по координате сводится к определенной линейной комбинации -ой и -ой осцилляторных функций. Отсюда сразу следует, что интеграл (9) отличен от нуля только в случаях  или . Для дальнейшего вычисления этого интеграла необходимо свести его к двум нормировочным интегралам от осцилляторных функций (при этом необходимо использовать явное выражение для нормировочного коэффициента (6)). Поскольку технически эти действия мало чем отличаются от подробно описанных выше, приведем только окончательный результат

  (11)

Из формулы (11) следует, что матрица оператора импульса в базисе из осцилляторных функций также является околодиагональной.

Напомним, что все вычисления мы проводили в безразмерных переменных. Однако, их очень легко исправить на случай вычисления «настоящих» (размерных) матричных элементов. Основная идея такого исправления заключается в том, матричный элемент оператора координаты имеет размерность длины, и, следовательно, выражается через параметр длины для осциллятора , а матричный элемент оператора импульса – через параметр импульса . Поэтому после обезразмеривания соответствующих интегралов они сведутся к вычисленным безразмерным интегралам и указанным размерным множителям (кроме того, чтобы свести интеграл (9) к матричному элементу оператора импульса его нужно умножить на ). Поэтому матричные элементы операторов координаты и импульса равны

 (12)

  (13)

Аналогично проведенному рассмотрению можно найти матричные элементы квадратов операторов координаты и импульса в базисе из осцилляторных функций.  Для этого необходимо дважды применить рекуррентные соотношения (2) или (3) сначала к -ой осцилляторной функции, а затем к полученным в результате -ой и -ой функциям. Отсюда следует, что матричные элементы

      и             

отличны от нуля, если  или . Поскольку в различных частях курса квантовой механики нам придется иметь дело с этими матричными элементами, приведем для справок соответствующие результаты

 (14)

(15)

Из формул (14), (15) легко найти средние значения потенциальной и кинетической энергий осциллятора, находящегося в стационарном состоянии (поскольку кинетическая энергия сводится к квадрату оператора импульса, потенциальная – к квадрату оператора координаты).. Пусть, осциллятор находится в -ом стационарном состоянии. Тогда из формул (14), (15) имеем

     (16)

а из (16) можно найти и среднее значение энергии осциллятора в этом состоянии

   (17)

Этот результат можно было предсказать и без вычислений, так как средняя энергия осциллятора в любом состоянии, являющимся собственным состоянием гамильтониана, равна соответствующему собственному значению.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20860. Проблемы преподавания планиметрии и стереометрии через элективные курсы в школе 278.53 KB
  Перехода к профильному обучению математике в общеобразовательной школе, предусматривающей также элективные курсы по геометрии, и не разработанностью теоретических основ их проектирования; осуществления преемственности базового, профильного и элективного курсов по геометрии и отсутствием требований к отбору содержания последних...
20861. Хіміко-термічна обробка металів та сплавів 108 KB
  Мета хіміко-термічної обробки - надати поверхневому шару стальних деталей підвищеної твердості, зносостійкості, жаростійкості, корозійної стійкості та ін. Для цього нагріті деталі поміщають у середовище, з якого в процесі дифузії у поверхневий шар переходять деякі елементи (вуглець, азот, алюміній, хром, кремній, бор та ін.)
20862. Толковый словарь психиатрических терминов 1.75 MB
  В словаре представлены толкования основных терминов и понятий, наиболее часто употребляемых в современной психиатрической литературе, а также в смежных науках и областях знаний (психотерапии, неврологии, психологии, философии, физиологии и др.). Приведено лаконичное, но достаточно полное смысловое значение каждого термина
20863. Дифференциальная диагностика и лечение некоронарогенных заболеваний миокарда 279.5 KB
  Миокардит представляет собой поражение сердечной мышцы преимущественно воспалительного характера, обусловленное опосредованным через иммунные механизмы воздействием инфекции, паразитарной или протозойной инвазии, химических и физических факторов, а также возникающее при аллергических и иммунных заболеваниях.
20864. Договор дарения и специфика его применения в практической юриспруденции в условиях Российской Федерации 228.5 KB
  Совершенно ясно, что, как в теоретических, так и в практических позиций, договор уже очень давно перестал быть чем-то вторичным, вспомогательным среди воплощений права. Об этом, бесспорно, свидетельствует то обстоятельство, что договорами буквально пронизаны все сферы жизни современного общества.
20865. Учет и аудит выпуска готовой продукции (работ, услуг) 505 KB
  Целью дипломной работы является изучение операций по выпуску и оприходованию готовой продукции (работ, услуг), правилами их оценки и методикой отражения в бухгалтерском учете всех этих операций, рассмотрение порядка отражения этих операций на синтетических и аналитических счетах в бухгалтерском учете.
20866. Расчет и проект привода к пластинчатому транспартеру 2.46 MB
  В курсовом проекте проведены расчеты входных данных для проектирования привода: передаточных чисел, частот вращения, мощностей, вращающих моментов для всех валов редуктора. Проведены проектировочные и проверочные расчеты передач, валов, подшипников, муфт, шпоночных соединений, группового болтового соединения. Подобраны стандартные детали и смазка. Описана конструкция редуктора.
20868. Б.А. ТАРАШКЕВІЧ – АЎТАР ПЕРШАЙ “БЕЛАРУСКАЙ ГРАМАТЫКІ” 103.5 KB
  Сярод старэйшых людзей у былой Заходняй Беларусі і сёння амаль не сустрэнеш чалавека, які б не ведаў імя Браніслава Тарашкевіча. Адны ўспамінаюць, што вывучалі родную мову па ягонай граматыцы, другім з даўніх год запала ў сэрца палымянае слова Тарашкевіча- дэпутата, сказанае ім на мітынгу, ці баявая антыўрадавая прамова ў польскім сейме