19029

Вычисления с осцилляторными функциями

Лекция

Физика

Лекция 11 Вычисления с осцилляторными функциями В различных задачах связанных с гармоническим осциллятором приходится вычислять интегралы типа или 1 где собственные функции гамильтониана осциллятора везде в этой лекции под будет подразумеваться б...

Русский

2013-07-11

156 KB

6 чел.

Лекция 11

Вычисления с осцилляторными функциями

В различных задачах, связанных с гармоническим осциллятором, приходится вычислять интегралы типа

 или      (1)

где  - собственные функции гамильтониана осциллятора (везде в этой лекции под  будет подразумеваться безразмерная переменная, связанная с размерной координатой через параметр длины ). Проблема заключается не только в том, что у нас нет явных выражений для полиномов Эрмита (а только рекуррентные соотношения), но и в том, что даже, если бы они существовали бы, не очень понятно как ими воспользоваться для больших индексов (очень громоздко).

Несмотря на то, что явное выражение для коэффициентов полиномов Эрмита действительно не существует (например, найти коэффициенты 2008 полинома Эрмита в каком-нибудь справочнике по математике невозможно), их свойства очень хорошо изучены, и для вычисления интегралов типа (1) и не нужны. Покажем, как вычисляются такого рода интегралы на основе рекуррентных соотношений между полиномами Эрмита.

Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные соотношения (см., например, Г.Корн, Т.Корн, Справочник по математике, М., Наука, 1978)

    (2)

      (3)

(эти формулы можно получить из рекуррентного соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита из лекции 9). Используем первое из этих соотношений для вычисления интеграла

     (4)

Для этого представим осцилляторные функции в (4) как произведения полиномов Эрмита на экспоненты , и для произведения  воспользуемся рекуррентным соотношением (2). В результате получим

(5)

где

     (6)

нормировочные постоянные в осцилляторных функциях. Из формулы (5) сразу следует, что далеко не для всех значений индексов рассматриваемый интеграл отличен от нуля. Действительно, первый интеграл в (5) сводится к интегралу от -ой и -ой осцилляторных функций, и потому отличен от нуля только если  (из-за ортогональности осцилляторных функций). Аналогично, второй интеграл отличен от нуля, если . Т.е. рассматриваемый интеграл, который представляет собой матричный элемент матрицы оператора координаты в базисе из осцилляторных функций, отличен от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу. Кроме того, из формулы (5) видна и «техническая сторона» дальнейших вычислений рассматриваемого интеграла – нужно свести произведения  и  к собственным функциям осцилляторного гамильтониана  и  и воспользоваться тем, что осцилляторные функции нормированы на единицу (т.е. интеграл от квадрата каждой функции равен единице).

Реализуем этот план. Сначала первое слагаемое формулы (5). Используя выражение для коэффициента  (6), имеем

 (7)

Поэтому первый интеграл в (5) сводится к выражению

откуда, пользуясь нормированностью осцилляторных функций, имеем

Аналогичные вычисления второго слагаемого в (5) приводят к следующему результату

В результате для интеграла (4) получаем

   (8)

Мы получили очень важный для исследования свойств гармонического осциллятора результат: матричные элементы оператора координаты отличны от нуля только если индексы отличаются на единицы, и, следовательно, матрица оператора координаты является околодиагональной.

Матричные элементы оператора производной

    (9)

(с которым связан оператор импульса) можно вычислить с помощью второго рекуррентного соотношения. Приведем только основную идею вычисления и результат.

При дифференцировании осцилляторной функции  в подынтегральном выражении в (9) необходимо продифференцировать и полином Эрмита  и экспоненту . В результате для производной от собственной функции гамильтониана гармонического осциллятора имеем

  (10)

Далее для первого слагаемого нужно воспользоваться рекуррентным соотношением (3), для второго – соотношением (2). В результате получим, что производная от -ой осцилляторной функции по координате сводится к определенной линейной комбинации -ой и -ой осцилляторных функций. Отсюда сразу следует, что интеграл (9) отличен от нуля только в случаях  или . Для дальнейшего вычисления этого интеграла необходимо свести его к двум нормировочным интегралам от осцилляторных функций (при этом необходимо использовать явное выражение для нормировочного коэффициента (6)). Поскольку технически эти действия мало чем отличаются от подробно описанных выше, приведем только окончательный результат

  (11)

Из формулы (11) следует, что матрица оператора импульса в базисе из осцилляторных функций также является околодиагональной.

Напомним, что все вычисления мы проводили в безразмерных переменных. Однако, их очень легко исправить на случай вычисления «настоящих» (размерных) матричных элементов. Основная идея такого исправления заключается в том, матричный элемент оператора координаты имеет размерность длины, и, следовательно, выражается через параметр длины для осциллятора , а матричный элемент оператора импульса – через параметр импульса . Поэтому после обезразмеривания соответствующих интегралов они сведутся к вычисленным безразмерным интегралам и указанным размерным множителям (кроме того, чтобы свести интеграл (9) к матричному элементу оператора импульса его нужно умножить на ). Поэтому матричные элементы операторов координаты и импульса равны

 (12)

  (13)

Аналогично проведенному рассмотрению можно найти матричные элементы квадратов операторов координаты и импульса в базисе из осцилляторных функций.  Для этого необходимо дважды применить рекуррентные соотношения (2) или (3) сначала к -ой осцилляторной функции, а затем к полученным в результате -ой и -ой функциям. Отсюда следует, что матричные элементы

      и             

отличны от нуля, если  или . Поскольку в различных частях курса квантовой механики нам придется иметь дело с этими матричными элементами, приведем для справок соответствующие результаты

 (14)

(15)

Из формул (14), (15) легко найти средние значения потенциальной и кинетической энергий осциллятора, находящегося в стационарном состоянии (поскольку кинетическая энергия сводится к квадрату оператора импульса, потенциальная – к квадрату оператора координаты).. Пусть, осциллятор находится в -ом стационарном состоянии. Тогда из формул (14), (15) имеем

     (16)

а из (16) можно найти и среднее значение энергии осциллятора в этом состоянии

   (17)

Этот результат можно было предсказать и без вычислений, так как средняя энергия осциллятора в любом состоянии, являющимся собственным состоянием гамильтониана, равна соответствующему собственному значению.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71549. Особенности управления в Новгородской республике и Пскове 58.5 KB
  Современные историки по-разному оценивают вечевой строй в Новгороде. видят в вече проявление начал народоправства. Различается и периодизация истории выборных институтов и реконструкция вечевых процедур. Янин опираясь на результаты своих многолетних археологических раскопок древних городов...
71550. Казанский университет 68 KB
  Так как с начала существования отделения в нем стала преподаваться хирургия то следует считать что история кафедры хирургии в Казани начинается с 1814 года. Вначале эта кафедра была единственной на врачебном отделении на ней начиналось и заканчивалось обучение студентов хирургии.
71551. Построение пространственной модели 833.5 KB
  Нужно представить форму разрабатываемой детали как совокупность простых геометрических элементов. Все элементы должны воспроизводиться как solids-примитивы. Ими могут быть призма, цилиндр, сфера, конус, тор. Более сложные элементы нужно представить как тела, получаемые...
71553. Формування полікапроамідної текстильної нитки 25.94 KB
  Мета: Ознайомитися з формуванням полікапроамідної текстильної нитки Методи: словесний, наочний План: Технічні показники прядильної машини «Текстима-2060» Опис технологічного процесу формування нитки на машині Текстима - 2060 Матеріально-технічне забезпечення та дидактичні засоби...
71554. История становления и развития социологии как науки 191.5 KB
  Концепция постиндустриального общества Д. Изменения в экономической политической и социальной сфере общества в XVIII-XIX веках. Конт первым решил использовать научный метод для изучения общества. Он полагал что с помощью науки можно познать скрытые законы управляющие всеми обществами.
71555. Методы педагогической психологии 93 KB
  Специфика применения основных методов психологического исследования в педагогической психологии. Классификация методов психолого педагогического исследования. Методом исследования любой науки является способ познания ее предметной области. Применительно к педагогической психологии метод...
71556. Образование государства Киевская Русь 52 KB
  В науке нет единого мнения о происхождении славян. Вопрос о древнейшей истории славян и поныне является дискуссионным. Главными источниками по истории славян являются сочинения древних авторов: Плиния, Тацита, Геродота, работы византийских авторов, сочинения арабских географов.
71557. Ликвидация последствий Смуты. Первые Романовы. Закрепощение крестьян 67.5 KB
  Последствия Смуты были тяжелыми для страны. Лежали заброшенными пашни, т.к. крестьяне бежали из разоренных сел и деревень. Пошатнулись вотчинные и монастырские хозяйства. Они меньше вывозили продуктов на рынок и меньше потребляли, что сокращало торговлю. Пришли в упадок помещичьи хозяйства.